26. Вибірка. Числові характеристики вибірки. Графічне подання інформації про вибірку

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 26.1. Дано генеральну сукупність із 30 об’єктів:
7, 12, 11, 8, 13, 1, 9, 11, 12, 17, 20, 14, 17, 18, 20, 2, 14, 19, 20, 3, 7, 15, 19, 20, 14, 5, 4, 9, 7, 13.
Створіть вибірку цієї генеральної сукупності:
1) усіх об’єктів, що стоять на парних місцях;
2) п’яти об’єктів поспіль, починаючи з тринадцятого;
3) об’єктів, узятих через два, починаючи з третього;
4) шести об’єктів поспіль, починаючи з номера, який відповідає номеру вашого прізвища у класному журналі.

Розв’язання:

Пронумеруємо елементи заданої генеральної сукупності від 1 до 30:
1: 7, 2: 12, 3: 11, 4: 8, 5: 13, 6: 1, 7: 9, 8: 11, 9: 12, 10: 17, 11: 20, 12: 14, 13: 17, 14: 18, 15: 20, 16: 2, 17: 14, 18: 19, 19: 20, 20: 3, 21: 7, 22: 15, 23: 19, 24: 20, 25: 14, 26: 5, 27: 4, 28: 9, 29: 7, 30: 13.

1) Об’єкти, що стоять на парних місцях (номери 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30):
12, 8, 1, 11, 17, 14, 18, 2, 19, 3, 15, 20, 5, 9, 13.

2) П’ять об’єктів поспіль, починаючи з 13-го місця (номери 13, 14, 15, 16, 17):
17, 18, 20, 2, 14.

3) Об’єкти, взяті через два, починаючи з 3-го місця (номери 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30):
11, 1, 12, 14, 20, 19, 7, 20, 4, 13.

4) Нехай номер прізвища у класному журналі дорівнює 1. Тоді беремо шість об’єктів поспіль від 1-го до 6-го місця (номери 1, 2, 3, 4, 5, 6):
7, 12, 11, 8, 13, 1.

Відповідь:

1) 12, 8, 1, 11, 17, 14, 18, 2, 19, 3, 15, 20, 5, 9, 13;

2) 17,

№ 26.2. Дано генеральну сукупність із 40 об’єктів:

7, 19, 21, 14, 30, 9, 17, 22, 21, 8,
13, 17, 22, 9, 20, 3, 15, 21, 11, 1,
3, 19, 20, 24, 27, 12, 14, 19, 13, 14,
29, 17, 21, 30, 25, 13, 19, 8, 1, 5.

Створіть вибірку цієї генеральної сукупності:
1) усіх об’єктів, що стоять на непарних місцях;
2) семи об’єктів поспіль, починаючи з дванадцятого;
3) об’єктів, узятих через три, починаючи з другого;
4) п’яти об’єктів поспіль, починаючи з номера літери в українській абетці, яка відповідає першій літері вашого імені.

Розв’язання:

1) Непарні місця — це позиції: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39.
Виписуємо відповідні об’єкти:
7, 21, 30, 17, 21, 13, 22, 20, 15, 11, 3, 20, 27, 14, 13, 29, 21, 25, 19, 1.

2) Починаючи з дванадцятого об’єкта, беремо сім елементів поспіль (позиції 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18):
17, 22, 9, 20, 3, 15, 21.

3) Починаючи з другого об’єкта, беремо елементи через три (тобто кожен четвертий — позиції 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38):
19, 9, 8, 9, 21, 19, 12, 14, 30, 8.

4) Наприклад, для імені Андрій перша літера «А» є 1-ю в українській абетці.
Починаючи з 1-го об’єкта, беремо п’ять поспіль (позиції 1, 2, 3, 4, 5):
7, 19, 21, 14, 30.

Відповідь:

1) 7, 21, 30, 17, 21, 13, 22, 20, 15, 11, 3, 20, 27, 14, 13, 29, 21, 25, 19, 1;

2) 17, 22, 9, 20, 3, 15, 21;

3) 19, 9, 8, 9, 21, 19, 12, 14, 30, 8;

4) наприклад, для імені на літеру «А»: 7, 19, 21, 14, 30.

№ 26.3. Стрілець у п’яти серіях по 10 пострілів у кожній влучив у мішень таку кількість разів: $7$ , $6$ , $8$ , $9$ , $6$ . Знайдіть для цієї вибірки:
1) розмах;
2) моду;
3) медіану;
4) середнє значення.

Розв’язання:

Упорядкуємо вибірку за зростанням:
$6$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ .

1) Розмах вибірки — різниця між найбільшим і найменшим значеннями:
$R = 9 - 6 = 3$

2) Мода вибірки — значення, яке трапляється найчастіше:
$M_{o} = 6$

3) Медіана вибірки — число, що стоїть посередині впорядкованого ряду:
$M_{e} = 7$

4) Середнє значення вибірки:
$\overline{x} = \frac{6 + 6 + 7 + 8 + 9}{5} = \frac{36}{5} = 7, 2$

Відповідь: 1) 3; 2) 6; 3) 7; 4) $7, 2$ .

№ 26.4. Баскетболістка в десяти серіях по 5 кидків у кожній влучила в кошик таку кількість разів: 2, 3, 4, 3, 3, 1, 5, 3, 2, 4. Знайдіть для цієї вибірки:
1) розмах;
2) моду;
3) медіану;
4) середнє значення.

Розв’язання:

Упорядкуємо вибірку за зростанням:
$1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $3$ , $3$ , $3$ , $4$ , $4$ , $5$ .

Обсяг вибірки: $n = 10$ .

1) Розмах вибірки:
$R = 5 - 1 = 4$

2) Мода вибірки — варіанта, яка зустрічається найчастіше: число $3$ трапляється 4 рази.
$M_{o} = 3$

3) Оскільки кількість варіант парна ( $n = 10$ ), медіана дорівнює середньому арифметичному двох серединних чисел (п’ятого та шостого елементів):
$M_{e} = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

4) Середнє значення вибірки:
$\overline{x} = \frac{1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5}{10}$
$\overline{x} = \frac{30}{10} = 3$

Відповідь: 1) 4; 2) 3; 3) 3; 4) 3.

№ 26.5.
1) Проведіть ранжування генеральної сукупності об’єктів задачі 26.1.
2) Знайдіть медіану цієї генеральної сукупності.

Розв’язання:

Генеральна сукупність із задачі 26.1 складається з $30$ об’єктів:
7, 12, 11, 8, 13, 1, 9, 11, 12, 17, 20, 14, 17, 18, 20, 2, 14, 19, 20, 3, 7, 15, 19, 20, 14, 5, 4, 9, 7, 13.

1) Запишемо елементи генеральної сукупності в порядку неспадання (ранжований ряд):
1, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 20.

2) Кількість об’єктів у вибірці парна ( $n = 30$ ). Тому медіана дорівнює середньому арифметичному двох чисел, що стоять посередині ранжованого ряду — 15-го та 16-го елементів:

15-й елемент: 12
16-й елемент: 13

$M e = \frac{12 + 13}{2} = \frac{25}{2} = 12, 5$

Відповідь:

1) 1, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 20;

2) $12, 5$ .

№ 26.6.
1) Проведіть ранжування генеральної сукупності об’єктів задачі 26.2.
2) Знайдіть медіану цієї генеральної сукупності.

Розв’язання:

Генеральна сукупність із задачі 26.2 (40 об’єктів):
7, 19, 21, 14, 30, 9, 17, 22, 21, 8, 13, 17, 22, 9, 20, 3, 15, 21, 11, 1, 3, 19, 20, 24, 27, 12, 14, 19, 13, 14, 29, 17, 21, 30, 25, 13, 19, 8, 1, 5.

1) Ранжування — розміщення значень сукупності в порядку неспадання:
1, 1, 3, 3, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 11, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 17, 17, 17, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 30.

2) Кількість елементів $n = 40$ — парне число.
Медіана дорівнює середньому арифметичному 20-го та 21-го елементів ранжованого ряду:

$M e = \frac{17 + 17}{2} = 17$

Відповідь:
1) 1, 1, 3, 3, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 11, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 17, 17, 17, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 30;
2) 17.

№ 26.7.
1) Заповніть таблицю за даними задачі 26.4.
2) Побудуйте полігон частот за отриманими даними.

Розв’язання:

1) Дані вибірки задачі 26.4 (кількість влучень у мішень за 10 серій):
$2$ , $3$ , $4$ , $3$ , $3$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $4$ .

Підрахуємо частоту кожного значення:

значення 1 трапляється 1 раз;
значення 2 трапляється 2 рази;
значення 3 трапляється 4 рази;
значення 4 трапляється 2 рази;
значення 5 трапляється 1 раз.

Таблиця розподілу частот вибірки:

Кількість влучень у серії, $x$	1	2	3	4	5
Частота, $n$	1	2	4	2	1

Сума частот: $1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 10$ , що відповідає обсягу вибірки.

2) Для побудови полігона частот нанесемо на координатну площину точки $(x; n)$ з координатами:
$(1; 1)$ , $(2; 2)$ , $(3; 4)$ , $(4; 2)$ , $(5; 1)$
і послідовно сполучимо їх відрізками.

Графік до вправи № 26.7 - Алгебра 9 клас

№ 26.8.

1) Заповніть таблицю за даними задачі 26.3.

2) Побудуйте полігон частот за отриманими даними.

Розв’язання:

1) Дані задачі 26.3 (кількість влучень у мішень у п’яти серіях): 7, 6, 8, 9, 6.

Обсяг вибірки: $N = 5$ .
Значення 6 зустрічається 2 рази, а значення 7, 8 і 9 — по 1 разу.

Кількість влучень у серії, $x$	6	7	8	9
Частота, $n$	2	1	1	1

2) Для побудови полігона частот позначимо на координатній площині точки $(6; 2)$ , $(7; 1)$ , $(8; 1)$ , $(9; 1)$ та послідовно сполучимо їх відрізками.

Графік до вправи № 26.8 - Алгебра 9 клас

№ 26.9. Придумайте вибірку з п’яти елементів, медіаною якої є число 7.

Розв’язання:
Медіаною впорядкованої вибірки з непарної кількості елементів є число, що стоїть посередині.

Для вибірки з 5 елементів медіаною є третій елемент варіаційного ряду:
$x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq x_{4} \leq x_{5}$

За умовою:
$x_{3} = 7$

Доберемо значення так, щоб третім елементом було число 7. Наприклад:
$5, 6, 7, 8, 9$

Відповідь: наприклад, $5, 6, 7, 8, 9.$

№ 26.10. Придумайте вибірку із семи елементів, медіаною якої є число 5.

Розв’язання:
Медіаною впорядкованої вибірки з непарною кількістю даних є число, розташоване посередині варіаційного ряду.
Для вибірки з $7$ елементів медіаною є четвертий за порядком елемент.

Запишемо впорядкований ряд із $7$ чисел, де четвертим є число $5$ :
$1, 2, 3, 5, 6, 7, 8$

Відповідь: наприклад, $1, 2, 3, 5, 6, 7, 8$ .

№ 26.11. Розмах деякої вибірки дорівнює 9, а її найбільший елемент дорівнює 17. Знайдіть найменший елемент вибірки.

Розв’язання:
Розмах вибірки дорівнює різниці між найбільшим і найменшим її елементами:
$R = x_{max} - x_{min}$

Нехай $x$ — найменший елемент вибірки.
$17 - x = 9$
$x = 17 - 9$
$x = 8$

Відповідь: 8.

№ 26.12. Розмах деякої вибірки дорівнює 13, а її найменший елемент дорівнює 10. Знайдіть найбільший елемент вибірки.

Розв’язання:
Розмах вибірки дорівнює різниці між найбільшим і найменшим її елементами:
$R = x_{max} - x_{min}$

За умовою $R = 13$ , а $x_{min} = 10$ . Підставимо дані у формулу:
$x_{max} - 10 = 13$
$x_{max} = 13 + 10$
$x_{max} = 23$

Відповідь: 23.

№ 26.13. Придумайте вибірку із семи елементів, модою якої є число 7, а медіаною — число 9.

Розв’язання:
Нехай вибірка складається із семи впорядкованих за зростанням чисел:
$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7}$

Оскільки кількість елементів дорівнює 7, медіаною є четвертий елемент:
$M e = x_{4} = 9$

Мода вибірки дорівнює 7, отже, число 7 має зустрічатися частіше за будь-яке інше число. Оскільки $7 < 9$ , розмістимо його серед перших трьох елементів (наприклад, двічі), а решту чисел оберемо так, щоб вони не повторювалися:
$x_{1} = 7$
$x_{2} = 7$
$x_{3} = 8$
$x_{4} = 9$
$x_{5} = 10$
$x_{6} = 11$
$x_{7} = 12$

Перевірка:

Мода: $M o = 7$ (зустрічається 2 рази, інші елементи — по 1 разу).
Медіана: $M e = 9$ (знаходиться посередині впорядкованого ряду).

Відповідь: $7, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ (відповідь не є єдиною).

№ 26.14. Придумайте вибірку з п’яти елементів, модою якої є число 10, а медіаною — число 8.

Розв’язання:

Нехай упорядкована вибірка складається з п’яти чисел:
$x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq x_{4} \leq x_{5}$

1) Медіаною вибірки з непарною кількістю значень є її серединний (третій) елемент, тому:
$x_{3} = 8$

2) Мода вибірки — це число, що трапляється найчастіше. Оскільки мода дорівнює 10 і $10 > 8$ , це число має повторюватися щонайменше двічі праворуч від медіани:
$x_{4} = 10$
$x_{5} = 10$

3) Елементи $x_{1}$ та $x_{2}$ можуть бути будь-якими числами, що не перевищують 8 і не порушують умову єдиності моди (вони не повинні утворювати іншу моду з частотою два або більше).
Оберемо, наприклад:
$x_{1} = 1$
$x_{2} = 2$

Отримуємо вибірку: 1, 2, 8, 10, 10.

Відповідь: наприклад, 1, 2, 8, 10, 10.

№ 26.15. Вибірка, середнє значення якої дорівнює $8, 4$ , складається із чисел $9$ , $a$ , $12$ , $6$ , $2 a$ . Знайдіть:
1) $a$ ;
2) медіану цієї вибірки.

Розв’язання:

1) Середнє значення вибірки дорівнює сумі всіх її елементів, поділеній на їхню кількість:
$\frac{9 + a + 12 + 6 + 2 a}{5} = 8, 4$
$\frac{27 + 3 a}{5} = 8, 4$
$27 + 3 a = 8, 4 \cdot 5$
$27 + 3 a = 42$
$3 a = 42 - 27$
$3 a = 15$
$a = 5$

2) Знайдемо елементи вибірки при $a = 5$ :
$2 a = 2 \cdot 5 = 10$
Вибірка складається з чисел: $9, 5, 12, 6, 10$ .

Упорядкуємо дані вибірки за зростанням:
$5, 6, 9, 10, 12$

Кількість елементів вибірки $n = 5$ — непарне число, тому медіаною є число, яке стоїть посередині (на третьому місці):
$M e = 9$

Відповідь: 1) 5; 2) 9.

№ 26.16. Вибірка, середнє значення якої дорівнює $10, 6$ , складається із чисел $b$ , $7$ , $16$ , $3 b$ , $10$ . Знайдіть:
1) $b$ ;
2) медіану цієї вибірки.

Розв’язання:

1) Кількість елементів у вибірці дорівнює 5. Середнє значення вибірки:

$\frac{b + 7 + 16 + 3 b + 10}{5} = 10, 6$

$\frac{4 b + 33}{5} = 10, 6$

$4 b + 33 = 10, 6 \cdot 5$

$4 b + 33 = 53$

$4 b = 53 - 33$

$4 b = 20$

$b = 5$

2) Підставимо значення $b = 5$ у вибірку:
$3 b = 3 \cdot 5 = 15$

Вибірка має вигляд:
5, 7, 16, 15, 10

Упорядкуємо ряд даних за зростанням:
5, 7, 10, 15, 16

Кількість елементів є непарною ( $n = 5$ ), тому медіаною є число, розміщене посередині (на третьому місці):
$Me = 10$

Відповідь: 1) 5; 2) 10.

№ 26.17. На телефонній станції спостерігають за кількістю неправильних з’єднань протягом хвилини. Результати спостережень систематизовано в таблицю.

Кількість неправильних з’єднань протягом хвилини, $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Кількість хвилин, $n$	$4$	$10$	$11$	$12$	$3$

Знайдіть для випадкової величини $x$ :
1) середнє значення;
2) моду;
3) медіану.

Розв’язання:

Загальна кількість спостережень (обсяг вибірки):
$N = 4 + 10 + 11 + 12 + 3 = 40$

1) Середнє значення вибірки $\overline{x}$ :
$\overline{x} = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 10 + 2 \cdot 11 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 3}{40}$
$\overline{x} = \frac{0 + 10 + 22 + 36 + 12}{40}$
$\overline{x} = \frac{80}{40} = 2$

2) Мода ( $M_{o}$ ) — це значення ознаки, що зустрічається найчастіше (має найбільшу частоту).
Найбільшу частоту $n = 12$ має значення $x = 3$ .
Отже, $M_{o} = 3$ .

3) Медіана ( $M_{e}$ ) — значення, що розташоване посередині впорядкованого ряду даних.
Оскільки вибірка містить $N = 40$ значень (парне число), медіана дорівнює середньому арифметичному значень, що стоять на $20$ -му та $21$ -му місцях.

Знайдемо накопичені частоти:

значення $0$ займає місця з 1 по 4;
значення $1$ займає місця з 5 по 14 ( $4 + 10 = 14$ );
значення $2$ займає місця з 15 по 25 ( $14 + 11 = 25$ ).

Отже, і на $20$ -му, і на $21$ -му місцях стоїть число $2$ .
$M_{e} = \frac{2 + 2}{2} = 2$

Відповідь: 1) 2; 2) 3; 3) 2.

№ 26.18. На заводі спостерігають за кількістю бракованих деталей $x$ , виготовлених робітником протягом зміни. Результати спостережень систематизовано в таблицю.

Кількість бракованих деталей протягом зміни, $x$	$0$	$1$	$2$	$3$
Кількість змін, $n$	$4$	$5$	$7$	$4$

Знайдіть для випадкової величини $x$ :
1) середнє значення;
2) моду;
3) медіану.

Розв’язання:

Загальна кількість спостережень (об’єм вибірки):
$N = 4 + 5 + 7 + 4 = 20$

1) Середнє значення вибірки:
$\overline{x} = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 4}{20}$
$\overline{x} = \frac{0 + 5 + 14 + 12}{20}$
$\overline{x} = \frac{31}{20} = 1, 55$

2) Мода ( $M_{o}$ ) — це значення ознаки, що має найбільшу частоту в ряді даних.
Найбільшу частоту $n = 7$ має значення $x = 2$ .
$M_{o} = 2$

3) Об’єм вибірки $N = 20$ — парне число. Медіана ( $M_{e}$ ) дорівнює середньому арифметичному 10-го та 11-го значень упорядкованого ряду.
Знайдемо накопичені частоти:

значення $0$ займають місця з 1-го по 4-те;
значення $1$ займають місця з 5-го по 9-те ( $4 + 5 = 9$ );
значення $2$ займають місця з 10-го по 16-те ( $9 + 7 = 16$ ).

Отже, 10-те та 11-те значення дорівнюють $2$ .
$M_{e} = \frac{2 + 2}{2} = 2$

Відповідь: 1) $1, 55$ ; 2) $2$ ; 3) $2$ .

№ 26.19. Придумайте вибірку, що складається із цілих чисел, медіаною якої є число 7,5.

Розв’язання:
Оскільки медіаною вибірки із цілих чисел є дробове число $7, 5$ , вибірка повинна містити парну кількість елементів, а медіана дорівнює середньому арифметичному двох центральних чисел впорядкованого ряду даних:

$\frac{a + b}{2} = 7, 5$

$a + b = 15$

Доберемо два сусідніх цілих числа, сума яких дорівнює $15$ :
$a = 7$
$b = 8$

$\frac{7 + 8}{2} = \frac{15}{2} = 7, 5$

Складемо впорядковану вибірку, наприклад, із чотирьох чисел, центральними значеннями якої є $7$ та $8$ :
$6, 7, 8, 9$

Перевірка:
$M e = \frac{7 + 8}{2} = 7, 5$

Відповідь: наприклад, $6, 7, 8, 9$ .

№ 26.20. Практичне завдання.
1) Дізнайтеся оцінки, отримані учнями та ученицями вашого класу під час останньої контрольної роботи з алгебри. За допомогою комп’ютерної програми побудуйте гістограму за цими даними.
2) Систематизуйте отримані дані за рівнями навчальних досягнень. За допомогою комп’ютерної програми побудуйте кругову діаграму за цими даними.

Розв’язання:

Для прикладу наведено результати контрольної роботи $25$ учнів класу.

1) Систематизуємо оцінки за балами та знайдемо відносні частоти:

$\frac{1}{25} = 0, 04$
$\frac{2}{25} = 0, 08$
$\frac{3}{25} = 0, 12$
$\frac{4}{25} = 0, 16$
$\frac{6}{25} = 0, 24$

Бали	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	Разом
Частота	$1$	$1$	$1$	$1$	$3$	$2$	$4$	$6$	$2$	$1$	$1$	$2$	$25$
Відносна частота	$0, 04$	$0, 04$	$0, 04$	$0, 04$	$0, 12$	$0, 08$	$0, 16$	$0, 24$	$0, 08$	$0, 04$	$0, 04$	$0, 08$	$1$

Графік до вправи № 26.20 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Систематизуємо оцінки за рівнями навчальних досягнень:

Початковий ( $1$ – $3$ бали): $1 + 1 + 1 = 3$
Середній ( $4$ – $6$ балів): $1 + 3 + 2 = 6$
Достатній ( $7$ – $9$ балів): $4 + 6 + 2 = 12$
Високий ( $10$ – $12$ балів): $1 + 1 + 2 = 4$

Обчислимо відносні частоти кожного рівня:

$\frac{3}{25} = 0, 12 (або 12%)$
$\frac{6}{25} = 0, 24 (або 24%)$
$\frac{12}{25} = 0, 48 (або 48%)$
$\frac{4}{25} = 0, 16 (або 16%)$

Рівень навчальних досягнень	Початковий ( $1$ – $3$ )	Середній ( $4$ – $6$ )	Достатній ( $7$ – $9$ )	Високий ( $10$ – $12$ )	Разом
Частота	$3$	$6$	$12$	$4$	$25$
Відносна частота	$0, 12$	$0, 24$	$0, 48$	$0, 16$	$1$

Графік до вправи № 26.20 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 26.21.
1) Систематизуйте в частотну таблицю дані вибірки про розмір взуття, які отримано в результаті опитування 40 жінок:
36, 38, 35, 37, 38, 39, 36, 38, 37, 38;
39, 34, 37, 38, 35, 36, 39, 37, 38, 39;
37, 39, 35, 38, 36, 38, 40, 35, 37, 36;
38, 37, 39, 36, 38, 35, 38, 37, 34, 36.
2) Знайдіть частоти та відносні частоти значень вибірки.
3) Проєктна діяльність. Взуттєва фабрика планує випускати 10 000 пар жіночого взуття щорічно. Яку кількість пар взуття якого розміру доцільно випускати?

Розв’язання:

1) Підрахуємо кількість кожного значення у вибірці обсягом $n = 40$ :
розмір 34 — 2 рази
розмір 35 — 5 разів
розмір 36 — 7 разів
розмір 37 — 8 разів
розмір 38 — 11 разів
розмір 39 — 6 разів
розмір 40 — 1 раз

Частотна таблиця вибірки:

Розмір взуття	34	35	36	37	38	39	40	Разом
Частота	2	5	7	8	11	6	1	40

2) Відносна частота кожного варіанта дорівнює відношенню його частоти до

№ 26.22.

1) Систематизуйте в частотну таблицю дані вибірки про розмір взуття, які отримано в результаті опитування 40 чоловіків:
42, 39, 41, 43, 40, 42, 41, 44, 42, 43,
44, 42, 40, 38, 43, 41, 42, 44, 41, 43,
45, 41, 42, 40, 43, 39, 44, 41, 43, 42,
42, 43, 39, 42, 40, 44, 41, 42, 43, 40.
2) Знайдіть частоти та відносні частоти значень вибірки.
3) Проєктна діяльність. Взуттєва фабрика планує випускати $20000$ пар чоловічого взуття щорічно. Яку кількість пар якого розміру доцільно випускати?

Розв’язання:

1) та 2) Загальний обсяг вибірки: $N = 40$ .
Підрахуємо частоту $n$ кожного значення розміру взуття та знайдемо відповідну відносну частоту за формулою $W = \frac{n}{N}$ :

Для розміру 38: $n = 1$ , $W = \frac{1}{40} = 0, 025$

Для розміру 39: $n = 3$ , $W = \frac{3}{40} = 0, 075$

Для розміру 40: $n = 5$ , $W = \frac{5}{40} = 0, 125$

Для розміру 41: $n = 7$ , $W = \frac{7}{40} = 0, 175$

Для розміру 42: $n = 10$ , $W = \frac{10}{40} = 0, 25$

Для розміру 43: $n = 8$ , $W = \frac{8}{40} = 0, 2$

Для розміру 44: $n = 5$ , $W = \frac{5}{40} = 0, 125$

Для розміру 45: $n = 1$ , $W = \frac{1}{40} = 0, 025$

Складемо частотну таблицю:

Розмір взуття	38	39	40	41	42	43	44	45	Разом
Частота	1	3	5	7	10	8	5	1	40
Відносна частота	$0, 025$	$0, 075$	$0, 125$	$0, 175$	$0, 25$	$0, 2$	$0, 125$	$0, 025$	1

3) Щоб визначити доцільну кількість пар кожного розміру для загального обсягу випуску $20000$ пар, помножимо заплановану кількість на відповідну відносну частоту:

38 розмір: $20000 \cdot 0, 025 = 500 (пар)$
39 розмір: $20000 \cdot 0, 075 = 1500 (пар)$
40 розмір: $20000 \cdot 0, 125 = 2500 (пар)$
41 розмір: $20000 \cdot 0, 175 = 3500 (пар)$
42 розмір: $20000 \cdot 0, 25 = 5000 (пар)$
43 розмір: $20000 \cdot 0, 2 = 4000 (пар)$
44 розмір: $20000 \cdot 0, 125 = 2500 (пар)$
45 розмір: $20000 \cdot 0, 025 = 500 (пар)$

№ 26.23. Відомо, що $a < b$ . Порівняйте:
1) $a + 3$ і $b + 3$ ;
2) $a - 7$ і $b - 7$ ;
3) $- a$ і $- b$ ;
4) $\frac{a}{3}$ і $\frac{b}{3}$ ;
5) $2 a - 3$ і $2 b - 3$ ;
6) $1 - 7 a$ і $1 - 7 b$ .

Розв’язання:

1) Додамо до обох частин нерівності $a < b$ число 3:
$a + 3 < b + 3$

2) Віднімемо від обох частин нерівності $a < b$ число 7:
$a - 7 < b - 7$

3) Помножимо обидві частини нерівності $a < b$ на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:
$- a > - b$

4) Поділимо обидві частини нерівності $a < b$ на додатне число 3:
$\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$

5) Помножимо обидві частини нерівності $a < b$ на 2:
$2 a < 2 b$
Віднімемо від обох частин нерівності число 3:
$2 a - 3 < 2 b - 3$

6) Помножимо обидві частини нерівності $a < b$ на від’ємне число $- 7$ , змінивши знак нерівності на протилежний:
$- 7 a > - 7 b$
Додамо до обох частин нерівності число 1:
$1 - 7 a > 1 - 7 b$

Відповідь:

1) $a + 3 < b + 3$ ;

2) $a - 7 < b - 7$ ;

3) $- a > - b$ ;

4) $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$ ;

5) $2 a - 3 < 2 b - 3$ ;

6) $1 - 7 a > 1 - 7 b$ .

№ 26.24. Побудуйте графік функції:
1) $y = ∣ x ∣$ ;
2) $y = ∣ x ∣ - 2$ ;
3) $y = ∣ x ∣ + 3$ ;
4) $y = ∣ x - 2∣$ ;
5) $y = ∣ x + 3∣$ ;
6) $y = 2 - ∣ x ∣$ .

Розв’язання:

1) $y = ∣ x ∣$
Вершина графіка розташована в точці $(0; 0)$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

Графік до вправи № 26.24 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = ∣ x ∣ - 2$
Графік утворюється паралельним перенесенням графіка $y = ∣ x ∣$ на $2$ одиниці вниз уздовж осі $O y$ . Вершина в точці $(0; - 2)$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 1$	$0$

Графік до вправи № 26.24 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $y = ∣ x ∣ + 3$
Графік утворюється паралельним перенесенням графіка $y = ∣ x ∣$ на $3$ одиниці вгору уздовж осі $O y$ . Вершина в точці $(0; 3)$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$5$	$4$	$3$	$4$	$5$

Графік до вправи № 26.24 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $y = ∣ x - 2∣$
Графік утворюється паралельним перенесенням графіка $y = ∣ x ∣$ на $2$ одиниці праворуч уздовж осі $O x$ . Вершина в точці $(2; 0)$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

Графік до вправи № 26.24 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

5) $y = ∣ x + 3∣$
Графік утворюється паралельним перенесенням графіка $y = ∣ x ∣$ на $3$ одиниці ліворуч уздовж осі $O x$ . Вершина в точці $(- 3; 0)$ .

$x$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$
$y$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

Графік до вправи № 26.24 (рис. 5) - Алгебра 9 клас

6) $y = 2 - ∣ x ∣$
Графік утворюється симетричним відображенням графіка $y = ∣ x ∣$ відносно осі $O x$ та паралельним перенесенням на $2$ одиниці вгору уздовж осі $O y$ . Вершина в точці $(0; 2)$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$0$	$1$	$2$	$1$	$0$

Графік до вправи № 26.24 (рис. 6) - Алгебра 9 клас

№ 26.25. Система навігації, вбудована у спинку літакового крісла, інформує пасажирів про те, що політ проходить на висоті $40000$ футів. Обчисліть висоту польоту в кілометрах. Вважайте, що $1$ фут дорівнює $30, 5$ см.

Розв’язання:

1) Знайдемо висоту польоту в сантиметрах:
$40000 \cdot 30, 5 = 1220000 (см)$

2) Переведемо сантиметри в метри ( $1 м = 100 см$ ):
$1220000 : 100 = 12200 (м)$

3) Переведемо метри в кілометри ( $1 км = 1000 м$ ):
$12200 : 1000 = 12, 2 (км)$

Відповідь: $12, 2 км .$

№ 26.26. За яких значень $a$ рівняння $\frac{a x ^{2} - 8 x + a}{x - 2} = 0$ має єдиний розв’язок?

Розв’язання:

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:

${a x^{2} - 8 x + a = 0 x - 2 \neq = 0$

${a x^{2} - 8 x + a = 0 x \neq = 2$

Розглянемо випадки:

1) Якщо $a = 0$ , то рівняння стає лінійним:
$- 8 x = 0$
$x = 0$
Оскільки $0 \neq = 2$ , то $x = 0$ є єдиним розв’язком.
Отже, значення $a = 0$ задовольняє умову.

2) Якщо $a \neq = 0$ , то рівняння $a x^{2} - 8 x + a = 0$ є квадратним. Воно має єдиний розв’язок у системі у двох випадках:

а) Дискримінант дорівнює нулю ( $D = 0$ ), і єдиний корінь не дорівнює $2$ :
$D = (- 8)^{2} - 4 \cdot a \cdot a = 64 - 4 a^{2}$
$64 - 4 a^{2} = 0$
$a^{2} = 16$
$a = 4$ або $a = - 4$

Перевіримо корені:

При $a = 4$ :
$4 x^{2} - 8 x + 4 = 0$
$x^{2} - 2 x + 1 = 0$
$(x - 1)^{2} = 0$
$x = 1$
Оскільки $1 \neq = 2$ , значення $a = 4$ підходить.
При $a = - 4$ :
$- 4 x^{2} - 8 x - 4 = 0$
$x^{2} + 2 x + 1 = 0$
$(x + 1)^{2} = 0$
$x = - 1$
Оскільки $- 1 \neq = 2$ , значення $a = - 4$ підходить.

б) Дискримінант $D > 0$ , але один із коренів дорівнює $2$ (сторонній корінь за умовою $x \neq = 2$ ), а другий корінь не дорівнює $2$ :
Підставимо $x = 2$ у квадратне рівняння:
$a \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + a = 0$
$4 a - 16 + a = 0$
$5 a = 16$
$a = 3, 2$

Перевіримо корені рівняння при $a = 3, 2$ :
$3, 2 x^{2} - 8 x + 3, 2 = 0$
Помножимо обидві частини на $5$ :
$16 x^{2} - 40 x + 16 = 0$
Поділимо на $8$ :
$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$
$(2 x - 1) (x - 2) = 0$
$x_{1} = 2$ — сторонній корінь
$x_{2} = 0, 5$

Оскільки $0, 5 \neq = 2$ , то $x = 0, 5$ — єдиний розв’язок.
Отже, значення $a = 3, 2$ підходить.

Відповідь: $- 4$ ; $0$ ; $3, 2$ ; $4$ .

26. Вибірка. Числові характеристики вибірки. Графічне подання інформації про вибірку

Теги статті:

До уроку