25. Початкові відомості про статистику. Статистичні дані. Способи подання даних та їх обробки

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 25.1. Під час щорічного медичного огляду виміряли (у см) зріст десяти студенток і отримали такі дані:
$169$, $173$, $167$, $169$, $172$, $170$, $171$, $175$, $164$, $173$.
Знайдіть середнє значення цих вимірювань.

Розв’язання:
Обчислимо середнє значення вибірки:

$\overline{x}=\frac{169+173+167+169+172+170+171+175+164+173}{10}$

$\overline{x}=\frac{1703}{10}=170,3\text{ (см)}$

Відповідь: $170,3\text{ см.}$

№ 25.2. Виміряли (у м) зріст десяти дев’ятикласників, що взяли участь у конкурсі «Мужність класу», і отримали такі дані:
$1,67$, $1,72$, $1,68$, $1,70$, $1,73$, $1,80$, $1,68$, $1,81$, $1,78$, $1,67$.
Знайдіть середнє значення цих вимірювань.

Розв’язання:
Середнє значення вибірки обчислюється як середнє арифметичне всіх її значень:

$\overline{x}=\frac{1,67+1,72+1,68+1,70+1,73+1,80+1,68+1,81+1,78+1,67}{10}$

$\overline{x}=\frac{17,24}{10}=1,724\text{ (м)}$

Відповідь: $1,724\text{ м.}$

№ 25.3. У таблиці подано статистичні дані щодо місць, які посідала футбольна команда «Зоря» протягом десяти останніх чемпіонатів України з футболу. За даними таблиці побудуйте графік.

Розв’язання:

Побудуємо графік динаміки зміни місць команди «Зоря» за роками, де по осі абсцис відкладемо роки, а по осі ординат — відповідні зайняті місця. Позначимо точки з координатами $(\text{рік};\text{місце})$ та послідовно сполучимо їх відрізками:

№ 25.4. У таблиці подано статистичні дані щодо кількості медалей, які здобули українські спортсмени та спортсменки на літніх Олімпійських іграх. Побудуйте гістограму кількості золотих медалей, які здобули українські спортсмени і спортсменки.

Розв’язання:

Для побудови гістограми використаємо дані про кількість золотих медалей за роками Олімпіад:

№ 25.5. У таблиці подано статистичні дані щодо кількості медалей, які здобули українські школярі на міжнародних математичних олімпіадах за чотири роки поспіль. Побудуйте гістограму загальної кількості медалей, які здобули українські школярі на міжнародних математичних олімпіадах.

Розв’язання:

Для побудови гістограми використаємо дані за роками зі стовпця «Усього»:

№ 25.6. Використовуючи дані таблиці до задачі 25.4, побудуйте кругову діаграму розподілу золотих, срібних та бронзових медалей на літніх Олімпійських іграх 2008 року.

Розв’язання:

За даними таблиці до задачі 25.4 у 2008 році збірна України здобула:

• золотих медалей — 7;
• срібних медалей — 5;
• бронзових медалей — 15.

Знайдемо загальну кількість медалей:

$7+5+15=27$

Обчислимо градусну міру кругових секторів, що відповідають кожному виду медалей (повний круг становить $360^{\circ }$):

• золоті медалі:
  $\frac{7}{27}\cdot 360^{\circ }=\frac{7\cdot 40^{\circ }}{3}=\frac{280^{\circ }}{3}=93{\frac{1}{3}}^{\circ }\approx 93,3^{\circ }$

• срібні медалі:
  $\frac{5}{27}\cdot 360^{\circ }=\frac{5\cdot 40^{\circ }}{3}=\frac{200^{\circ }}{3}=66{\frac{2}{3}}^{\circ }\approx 66,7^{\circ }$

• бронзові медалі:
  $\frac{15}{27}\cdot 360^{\circ }=\frac{5}{9}\cdot 360^{\circ }=5\cdot 40^{\circ }=200^{\circ }$

Зведемо розрахункові дані до таблиці:

№ 25.7. Використовуючи дані таблиці до задачі 25.5, побудуйте кругову діаграму розподілу золотих, срібних та бронзових медалей на Міжнародній математичній олімпіаді 2015 року.

Розв’язання:
За даними таблиці до задачі 25.5, на Міжнародній математичній олімпіаді 2015 року було здобуто:

• золотих медалей — 2;
• срібних медалей — 3;
• бронзових медалей — 1.

Усього медалей:
$2+3+1=6$

Оскільки повний круг становить $360^{\circ }$, одній медалі відповідає центральний кут:
$\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$

Знайдемо градусні міри відповідних секторів кругової діаграми:

• золоті медалі: $2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }$;
• срібні медалі: $3\cdot 60^{\circ }=180^{\circ }$;
• бронзові медалі: $1\cdot 60^{\circ }=60^{\circ }$.

№ 25.8. Ціна письмового стола становить $4000\text{ грн}$. Якою буде ціна цього стола після:
1) зниження на $5\%$;
2) підвищення на $10\%$?

Розв’язання:

1) $100\%-5\%=95\%=0,95$
$4000\cdot 0,95=3800\text{ (грн)}$

2) $100\%+10\%=110\%=1,1$
$4000\cdot 1,1=4400\text{ (грн)}$

Відповідь: 1) $3800\text{ грн}$; 2) $4400\text{ грн}$.

№ 25.9. Відстань між селами, що дорівнює 18 км, велосипедист планував подолати за певний час. Але оскільки він рухався зі швидкістю, на 3 км/год меншою від запланованої, то витратив на дорогу на 12 хв більше, ніж планував. З якою швидкістю рухався велосипедист?

Розв’язання:

Нехай фактична швидкість велосипедиста дорівнює $x\text{ км/год}$ ($x>0$), тоді запланована швидкість становила $(x+3)\text{ км/год}$.

Переведемо різницю в часі у години:
$12\text{ хв}=\frac{12}{60}\text{ год}=\frac{1}{5}\text{ год}$.

За умовою задачі фактичний час на $\frac{1}{5}\text{ год}$ більший за запланований. Складемо рівняння:

$\frac{18}{x}-\frac{18}{x+3}=\frac{1}{5}$

$\frac{18(x+3)-18x}{x(x+3)}=\frac{1}{5}$

$\frac{54}{x^2+3x}=\frac{1}{5}$

$x^2+3x=270$

$x^2+3x-270=0$

$D=3^2-4\cdot 1\cdot (-270)=9+1080=1089=33^2$

$x_1=\frac{-3+33}{2}=15$
$x_2=\frac{-3-33}{2}=-18$ — не задовольняє умову задачі ($x>0$).

Отже, швидкість, з якою рухався велосипедист, дорівнює $15\text{ км/год}$.

Відповідь: $15\text{ км/год}$.

№ 25.10. Податок на додану вартість (ПДВ) у Люксембурзі становить 15%, в Угорщині — 25%, а в Україні — 20% від ціни товару. Яку суму ПДВ під час купівлі планшета доведеться сплатити в кожній із цих країн, якщо його ціна (без ПДВ) в Угорщині становить 31 250 угорських форинтів, а курс угорського форинта такий: 100 угорських форинтів дорівнюють 0,32 євро або 9,17 гривні.

Розв’язання:

1) Знайдемо суму ПДВ в Угорщині:
$31250\cdot 0,25=7812,5\text{ (угорських форинтів)}$

2) Знайдемо ціну планшета без ПДВ у Люксембурзі (в євро):
$\frac{31250\cdot 0,32}{100}=312,5\cdot 0,32=100\text{ (євро)}$

Знайдемо суму ПДВ у Люксембурзі:
$100\cdot 0,15=15\text{ (євро)}$

3) Знайдемо ціну планшета без ПДВ в Україні (у гривнях):
$\frac{31250\cdot 9,17}{100}=312,5\cdot 9,17=2865,625\text{ (грн)}$

Знайдемо суму ПДВ в Україні:
$2865,625\cdot 0,2=573,125\approx 573,13\text{ (грн)}$

Відповідь: у Люксембурзі — $15\text{ євро}$, в Угорщині — $7812,5\text{ угорських форинтів}$, в Україні — $573,13\text{ грн}$.

№ 25.11. (Київська обласна олімпіада юних математиків, 2016 рік.) Скільки існує трицифрових чисел з ненульовими цифрами, які мають таку властивість: за будь-якої перестановки цифр отримаємо трицифрове число, що ділиться націло на 4?

Розв’язання:

Нехай шукане трицифрове число складається з ненульових цифр $a$, $b$, $c$.

За ознакою подільності число ділиться націло на $4$ тоді й тільки тоді, коли число, утворене двома його останніми цифрами, ділиться на $4$.

1) Оскільки будь-яке число, що ділиться на $4$, є парним, його остання цифра має бути парною. За будь-якої перестановки цифр на останньому місці може опинитися кожна з цифр $a$, $b$, $c$. Отже, усі три цифри мають бути парними:
$a,b,c\in \{2;4;6;8\}$

2) Розглянемо число $\overline{xy}=10x+y$, утворене двома останніми цифрами при довільній перестановці.
Оскільки цифра десятків $x$ є парною ($x=2k$, де $k\in \mathbb{N}$):
$10x=10\cdot 2k=20k$
Число $20k$ ділиться на $4$ націло при будь-якому цілому $k$.

Тому для подільності числа $\overline{xy}=10x+y$ на $4$ необхідно і достатньо, щоб цифра одиниць $y$ ділилася на $4$.
Оскільки останньою цифрою може бути будь-яка з цифр $a$, $b$, $c$, то кожна з них повинна ділитися на $4$.

Серед парних ненульових цифр $\{2;4;6;8\}$ націло на $4$ діляться тільки $4$ та $8$:
$a,b,c\in \{4;8\}$

3) Будь-яке трицифрове число, складене лише з цифр $4$ та $8$, закінчується на одне з чисел: $44$, $48$, $84$ або $88$. Кожне з цих чисел ділиться на $4$, тому умова задачі виконується для будь-якої перестановки таких цифр.

Для кожної з трьох позицій є по $2$ варіанти вибору цифри ($4$ або $8$):
$N=2\cdot 2\cdot 2=8$

Такими числами є: $444$, $448$, $484$, $488$, $844$, $848$, $884$, $888$.

Відповідь: $8$ чисел.