23. Випадкова подія. Частота та ймовірність випадкової події

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 23.1. (Усно.) Які з подій є випадковими:
1) при підкиданні грального кубика випаде 6 очок;
2) за температури $0^{\circ} C$ вода замерзне;
3) придбавши лотерейний квиток, виграють 200 грн;
4) наступним днем після 1 березня буде 2 березня;
5) прізвище навмання вибраного дев’ятикласника починатиметься з букви «А»;
6) довжина кола радіуса $5 см$ дорівнюватиме $10 π см$ ?

Розв’язання:

1) Випадкова подія (у результаті випробування може випасти 6 очок, а може випасти будь-яке інше число від 1 до 5).

2) Достовірна (вірогідна) подія (за звичайних фізичних умов при температурі $0^{\circ} C$ вода обов’язково замерзає).

3) Випадкова подія (квиток може виявитися як виграшним, так і без виграшу).

4) Достовірна (вірогідна) подія (згідно з календарем після 1 березня завжди настає 2 березня).

5) Випадкова подія (прізвище учня може починатися на букву «А», а може починатися на будь-яку іншу літеру).

6) Достовірна (вірогідна) подія:
$C = 2 π r = 2 π \cdot 5 = 10 π (см)$
Обчислена довжина кола гарантовано дорівнює $10 π см$ , тому подія обов’язково відбудеться.

№ 23.2. (Усно.) Які з подій вірогідні, а які — неможливі:

1) сонце зійде на сході;

2) при підкиданні грального кубика випаде кількість очок, що кратна числу 11;

3) навмання вибране трицифрове число, складене із цифр 7, 8, 9, виявиться більшим за 600;

4) двоцифрове число, складене із цифр 1 і 2, буде кратним числу 10;

5) випаде білий сніг;

6) кількість днів навмання вибраного місяця буде більшою за 31.

Розв’язання:

1) Вірогідна подія (сонце завжди сходить на сході).

2) Неможлива подія (гральний кубик містить грані з числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, жодне з яких не ділиться націло на 11).

3) Вірогідна подія (найменше можливе трицифрове число — 789, що більше за 600).

4) Неможлива подія (із цифр 1 і 2 можна утворити лише числа 11, 12, 21, 22; жодне з них не закінчується нулем, тому не ділиться на 10).

5) Вірогідна подія (сніг за своєю природою завжди білий).

6) Неможлива подія (жоден місяць року не містить більше ніж 31 день).

№ 23.3. Які з подій випадкові, вірогідні, неможливі:
1) виграти партію в шахи у суперника свого рівня;
2) крокодил буде літати;
3) при підкиданні двох гральних кубиків з’являться очки, сума яких більша за $12$ ;
4) запізнення поїзда Харків — Львів;
5) 5 травня наступного року буде сонячно;
6) наступним днем після п’ятниці буде субота;
7) наступним днем після понеділка буде неділя;
8) днем народження людини, яку зустріли, буде 30 червня;
9) днем народження людини, яку зустріли, буде 31 червня;
10) вийняти зелену кульку з коробки із зеленими і чорними кульками?

Розв’язання:

1) Випадкова (результат партії заздалегідь невідомий: гравець може виграти, зіграти внічию або програти).

2) Неможлива (крокодили не мають крил і не здатні літати).

3) Неможлива (найбільша кількість очок на гральному кубику дорівнює 6, тому максимальна сума на двох кубиках становить $6 + 6 = 12$ ).

4) Випадкова (поїзд може прибути вчасно за графіком або запізнитися через непередбачувані обставини).

5) Випадкова (цього дня погода може бути як сонячною, так і похмурою чи дощовою).

6) Вірогідна (за календарем наступним днем після п’ятниці завжди є субота).

7) Неможлива (наступним днем після понеділка завжди є вівторок, а не неділя).

8) Випадкова (днем народження зустрітої людини може виявитися як 30 червня, так і будь-який інший день року).

9) Неможлива (у червні є лише 30 днів, дата 31 червня не існує).

10) Випадкова (з коробки можна навмання вийняти як зелену, так і чорну кульку).

Відповідь: 1) випадкова; 2) неможлива; 3) неможлива; 4) випадкова; 5) випадкова; 6) вірогідна; 7) неможлива; 8) випадкова; 9) неможлива; 10) випадкова.

№ 23.4. (Усно.) Наведіть по два приклади вірогідної, неможливої, випадкової події.

Розв’язання:

Вірогідні події:

1) При підкиданні грального кубика випаде кількість очок, менша від 7.

2) Якщо в коробці лежать тільки червоні та зелені кульки, навмання вийнята кулька буде червоною або зеленою.

Неможливі події:

1) При підкиданні грального кубика випаде число очок, більше за 6.

2) Із коробки, у якій лежать тільки червоні та зелені кульки, навмання виймуть жовту кульку.

Випадкові події:

1) При підкиданні грального кубика випаде 2 очка.

2) Із коробки, у якій лежать червоні та зелені кульки, навмання виймуть червону кульку.

№ 23.5. Випадковий дослід полягав у підкиданні грального кубика, проведеному 200 разів. Результати досліду занесено в таблицю. Перемалюйте її в зошит та обчисліть відносну частоту випадання кожного окремого числа.

Число	1	2	3	4	5	6
Кількість випадання числа	33	32	35	34	36	30
Відносна частота випадання числа

Розв’язання:
Загальна кількість випробувань: $n = 200$ .

Відносну частоту події обчислюють за формулою:
$W = \frac{m}{n}$

Обчислимо відносну частоту випадання кожного числа:
Для числа 1: $W_{1} = \frac{33}{200} = 0, 165$
Для числа 2: $W_{2} = \frac{32}{200} = 0, 16$
Для числа 3: $W_{3} = \frac{35}{200} = 0, 175$
Для числа 4: $W_{4} = \frac{34}{200} = 0, 17$
Для числа 5: $W_{5} = \frac{36}{200} = 0, 18$
Для числа 6: $W_{6} = \frac{30}{200} = 0, 15$

Заповнена таблиця:

Число	1	2	3	4	5	6
Кількість випадання числа	33	32	35	34	36	30
Відносна частота випадання числа	$0, 165$	$0, 16$	$0, 175$	$0, 17$	$0, 18$	$0, 15$

№ 23.6. Було виконано п’ять серій по 50 підкидань монети в кожній. Результати досліду занесено в таблицю. Перемалюйте її в зошит та обчисліть відносну частоту події $A$ в кожній із серій.

Серія	1	2	3	4	5
Випадання аверсу (подія $A$ )	$23$	$26$	$24$	$25$	$28$
Відносна частота події $A$

Розв’язання:

Відносна частота події $A$ обчислюється за формулою:

$w (A) = \frac{m}{n}$

де $m$ — кількість сприятливих результатів (випадання аверсу), $n = 50$ — загальна кількість спроб у кожній серії.

Обчислимо відносну частоту для кожної серії:

1) $w_{1} (A) = \frac{23}{50} = \frac{46}{100} = 0, 46$

2) $w_{2} (A) = \frac{26}{50} = \frac{52}{100} = 0, 52$

3) $w_{3} (A) = \frac{24}{50} = \frac{48}{100} = 0, 48$

4) $w_{4} (A) = \frac{25}{50} = \frac{50}{100} = 0, 5$

5) $w_{5} (A) = \frac{28}{50} = \frac{56}{100} = 0, 56$

Занесемо отримані результати в таблицю:

Серія	1	2	3	4	5
Випадання аверсу (подія $A$ )	$23$	$26$	$24$	$25$	$28$
Відносна частота події $A$	$0, 46$	$0, 52$	$0, 48$	$0, 5$	$0, 56$

№ 23.7. Перемалюйте таблицю в зошит і для кожного досліду вкажіть приклад вірогідної, неможливої, випадкової події.

Розв’язання:

№ п/п	Дослід	Вірогідна подія	Неможлива подія	Випадкова подія
1	Виймання навмання кульки з коробки з білими і чорними кульками	Вийнято білу або чорну кульку	Вийнято зелену кульку	Вийнято білу кульку
2	Відривання листка у відривному календарі	На відірваному листку число не більше за 31	Відірвано листок з датою «31 лютого»	Відірвано листок з днем тижня «середа»
3	Виймання навмання карти з колоди карт	Вийнято карту однієї з чотирьох мастей	Одночасно вийнято і короля, і даму	Вийнято карту пікової масті
4	Складання двоцифрового числа із цифр 3 і 4	Отримане число більше за 30	Отримане число є трицифровим	Складено число 43

№ 23.8. Перемалюйте таблицю в зошит і для кожного досліду вкажіть приклад вірогідної, неможливої і випадкової події.

Розв’язання:

№ п/п	Дослід	Вірогідна подія	Неможлива подія	Випадкова подія
1	Витягування навмання цукерки з коробки із цукерками з білого і чорного шоколаду	Вийнято цукерку з білого або чорного шоколаду	Вийнято карамельку	Вийнято цукерку з білого шоколаду
2	Складання двоцифрового числа із цифр 8 і 9	Отримане число є більшим за 10	Отримане число є трицифровим	Отримано число 89
3	Визначення дати народження деякої людини	Число місяця народження не перевищує 31	Дата народження — 32 січня	Дата народження — 1 січня
4	Визначення кількості днів навмання вибраного року	У році не більше 366 днів	У році 367 днів	У році 365 днів

№ 23.9. Відомо, що в партії зі 1000 батарейок зазвичай є 3 браковані. Яка ймовірність придбати браковану батарейку з такої партії?

Розв’язання:
Нехай подія $A$ — придбано браковану батарейку.
Загальна кількість можливих наслідків: $n = 1000$ .
Кількість сприятливих наслідків: $m = 3$ .

За формулою класичної ймовірності:

$P (A) = \frac{m}{n}$

$P (A) = \frac{3}{1000} = 0, 003$

Відповідь: $0, 003$ .

№ 23.10. У заводській партії, що налічує 10 000 деталей, 15 є бракованими. Яка ймовірність того, що взята навмання з партії деталь виявиться бракованою?

Розв’язання:
Нехай подія $A$ — взята навмання з партії деталь є бракованою.

Загальна кількість усіх можливих наслідків:
$n = 10000$

Кількість сприятливих для події $A$ наслідків:
$m = 15$

За формулою класичної ймовірності:
$P (A) = \frac{m}{n} = \frac{15}{10 000} = 0, 0015$

Відповідь: $0, 0015$ .

№ 23.11. Проєктна діяльність.

1) Кожен зі здобувачів освіти класу має провести серію із $30$ підкидань монети.
2) Складіть зведену таблицю випадання аверсу (подія $A$ ) за зразком № 23.8.
3) Обчисліть відносну частоту події $A$ .
4) Зробіть висновки.

Розв’язання:

1) Кожен учень проводить серію з $n = 30$ підкидань монети та фіксує кількість випадань аверсу $m$ .

2) Зразок зведеної таблиці результатів експерименту для учнів класу:

Здобувач освіти	Кількість підкидань, $n$	Кількість випадань аверсу, $m$	Відносна частота, $w (A) = \frac{m}{n}$
Учень 1	$30$	$14$	$\frac{14}{30} \approx 0, 47$
Учень 2	$30$	$16$	$\frac{16}{30} \approx 0, 53$
Учень 3	$30$	$15$	$\frac{15}{30} = 0, 50$
Учень 4	$30$	$13$	$\frac{13}{30} \approx 0, 43$
Разом	$120$	$58$	$\frac{58}{120} \approx 0, 48$

3) Обчислимо спільну відносну частоту події $A$ для всієї серії випробувань:

Загальна кількість підкидань:
$n = 120$

Загальна кількість випадань аверсу:
$m = 58$

Відносна частота події $A$ :
$w (A) = \frac{m}{n}$
$w (A) = \frac{58}{120} = \frac{29}{60} \approx 0, 48$

4) Висновок: зі збільшенням кількості підкидань відносна частота випадкової події $A$ стабілізується і наближається до теоретичної ймовірності випадання аверсу, яка дорівнює $P (A) = \frac{1}{2} = 0, 5$ .

№ 23.12. (Усно.) Стрілець виконав два постріли по мішені: один раз влучив, а другий — ні. Чи можна стверджувати, що для цього стрільця ймовірність влучення в мішень за таких умов дорівнює $0, 5$ ? Чому?

Розв’язання:

Ні, стверджувати це не можна.

Відносна частота події обчислюється за формулою:
$W (A) = \frac{m}{n}$
де $m = 1$ — кількість влучень, $n = 2$ — загальна кількість пострілів.

Для двох пострілів відносна частота становить:
$W (A) = \frac{1}{2} = 0, 5$

Проте статистична ймовірність наближається до теоретичної ймовірності лише за умови проведення великої кількості незалежних випробувань. Два постріли — це занадто мала серія спроб, тому отримана відносна частота є випадковою і не визначає справжню ймовірність влучення стрільця в мішень.

№ 23.13. Щоб з’ясувати, з яким кольором волосся жителів у місті найбільше, а з яким — найменше, дослідники розійшлися по різних частинах міста й записували колір волосся кожного зустрічного мешканця. Результати цього дослідження було занесено в таблицю.

Колір волосся	шатени	блондини	брюнети	руді
Кількість людей	423	238	222	87

Оцініть (із точністю до сотих) імовірність того, що обраний навмання житель міста:

1) шатен;

2) брюнет;

3) не блондин;

4) не рудий.

Розв’язання:

Загальна кількість опитаних жителів:
$N = 423 + 238 + 222 + 87 = 970$

1) Кількість шатенів становить $423$ .
Ймовірність того, що обраний навмання житель міста є шатеном:
$P \approx \frac{423}{970} \approx 0, 44$

2) Кількість брюнетів становить $222$ .
Ймовірність того, що обраний навмання житель міста є брюнетом:
$P \approx \frac{222}{970} \approx 0, 23$

3) Кількість жителів, які не є блондинами:
$970 - 238 = 732$
Ймовірність того, що обраний навмання житель міста не блондин:
$P \approx \frac{732}{970} \approx 0, 75$

4) Кількість жителів, які не є рудими:
$970 - 87 = 883$
Ймовірність того, що обраний навмання житель міста не рудий:
$P \approx \frac{883}{970} \approx 0, 91$

Відповідь: 1) $\approx 0, 44$ ; 2) $\approx 0, 23$ ; 3) $\approx 0, 75$ ; 4) $\approx 0, 91$ .

№ 23.14. В умовах попередньої задачі оцініть (із точністю до сотих) імовірність того, що обраний навмання житель міста:
1) рудий;
2) блондин;
3) не шатен;
4) не брюнет.

Розв’язання:

Загальна кількість опитаних жителів міста:
$N = 970$

1) Кількість рудих становить $87$ .
$P \approx \frac{87}{970} \approx 0, 09$

2) Кількість блондинів становить $238$ .
$P \approx \frac{238}{970} \approx 0, 25$

3) Кількість жителів, які не є шатенами:
$970 - 423 = 547$
$P \approx \frac{547}{970} \approx 0, 56$

4) Кількість жителів, які не є брюнетами:
$970 - 222 = 748$
$P \approx \frac{748}{970} \approx 0, 77$

Відповідь: 1) $\approx 0, 09$ ; 2) $\approx 0, 25$ ; 3) $\approx 0, 56$ ; 4) $\approx 0, 77$ .

№ 23.15. Троє друзів прийшли в комп’ютерний клуб і здали свої капелюхи. Коли вони розходилися по домівках, раптово вимкнулося світло і кожен узяв капелюх навмання. Які з наступних подій випадкові, неможливі, вірогідні:
1) кожен узяв свій капелюх;
2) кожен вийшов з капелюхом;
3) усі надягли чужі капелюхи;
4) двоє надягли чужі капелюхи, а один — свій;
5) один надягнув чужий капелюх, а двоє — свої?

Розв’язання:

1) Подія випадкова, оскільки за вказаних умов вона може як відбутися, так і не відбутися.

2) Подія вірогідна, оскільки капелюхів троє і кожен узяв собі один капелюх.

3) Подія випадкова, оскільки може відбутися за умови зміщення (наприклад, перший узяв капелюх другого, другий — третього, третій — першого).

4) Подія випадкова, оскільки один із друзів може взяти свій капелюх, а двоє інших — помінятися капелюхами між собою.

5) Подія неможлива, оскільки якщо двоє друзів узяли свої капелюхи, то для третього залишається саме його власний капелюх (він не може взяти чужий).

Відповідь: 1), 3), 4) — випадкові; 2) — вірогідна; 5) — неможлива.

№ 23.16. Проєктна діяльність. Візьміть деякий текст українською мовою, виберіть у ньому будь-яких п’ять рядків поспіль. Обчисліть відносну частоту в цих рядках кожної з букв «а» і «й» та порівняйте їх.

Розв’язання:

Для дослідження виберемо уривок тексту з підручника:

1) Поняття степеня виникло в давнину. Збереглися

2) глиняні плитки древніх вавилонян, які містять

3) записи таблиць квадратів і кубів та їх обернених

№ 23.17. Проєктна діяльність. Візьміть деякий текст українською мовою, виберіть у ньому будь-які десять рядків поспіль. Обчисліть відносну частоту в цих рядках кожної з букв «р» і «ф» та порівняйте їх.

Розв’язання:

Для дослідження обрано фрагмент історичної довідки з підручника математики:

1) Дробові показники ступеня і найпростіші правила

2) дій над степенями з дробовими показниками зустрічаються

3) у французького математика Н. Орема. Відомо, що

4) Н. Шюке розглядав степені з від’ємним і нульовим

5) показниками. Термін радикал і корінь уведені в XII ст.,

6) походять від латинського radix, що має два значення:

7) сторона і корінь. Грецькі математики замість

8) «добути корінь» казали «знайти сторону квадрата

9) за його даною величиною (площею)». Знак кореня

10) у вигляді символу з’явився в 1525 році.

Підрахуємо загальну кількість букв, а також кількість букв «р» і «ф» у кожному з десяти рядків:

Номер рядка	Кількість букв у рядку	Кількість «р»	Кількість «ф»
1	42	3	0
2	47	2	0
3	37	2	1
4	38	1	0
5	45	3	0
6	43	1	0
7	36	3	0
8	42	3	0
9	36	1	0
10	32	1	0
Усього	398	20	1

Загальна кількість букв у вибраному тексті:
$N = 398$

Кількість появ букви «р»:
$M_{р} = 20$

Кількість появ букви «ф»:
$M_{ф} = 1$

Обчислимо відносну частоту появи букви «р»:
$W (« р ») = \frac{M _{р}}{N} = \frac{20}{398} \approx 0, 0503 \approx 0, 05$ (або $5%$ )

Обчислимо відносну частоту появи букви «ф»:
$W (« ф ») = \frac{M _{ф}}{N} = \frac{1}{398} \approx 0, 0025$ (або $0, 25%$ )

Порівняємо отримані відносні частоти:
$\frac{W ( « р » )}{W ( « ф » )} = \frac{20}{1} = 20$
$0, 05 > 0, 0025$

Отже, буква «р» у вибраному тексті зустрічається у $20$ разів частіше, ніж буква «ф».

Відповідь: відносна частота букви «р» становить приблизно $0, 05$ ( $5%$ ), букви «ф» — приблизно $0, 0025$ ( $0, 25%$ ); буква «р» зустрічається значно частіше за букву «ф» (у $20$ разів).

№ 23.18. (Усно.) На основі задач 23.16—23.17 дайте відповідь на запитання: чому на клавіатурах комп’ютерів букви «а» та «р» розташовані ближче до центра, а букви «й» та «ф» — ближче до краю.

Розв’язання:
Ймовірність появи (частота використання) букв «а» та «р» в українських текстах значно більша за ймовірність появи букв «й» та «ф».

Для зручності та підвищення швидкості друку літери, які трапляються частіше, розміщують ближче до центра клавіатури (у зоні найрухливіших пальців — вказівних і середніх), а літери, які вживаються рідко, розташовують ближче до країв.

№ 23.19. Було перевірено 1000 деталей, з яких 5 виявилися бракованими.
1) Скільки приблизно бракованих деталей буде в партії з 1800 деталей?
2) Скільки приблизно деталей було в партії, якщо серед них виявлено 12 бракованих?

Розв’язання:

Відносна частота виготовлення бракованої деталі дорівнює:
$\frac{5}{1000} = 0, 005$

1) Нехай у партії з 1800 деталей буде $x$ бракованих.
$\frac{x}{1800} = 0, 005$
$x = 1800 \cdot 0, 005$
$x = 9$

2) Нехай у партії було $y$ деталей.
$\frac{12}{y} = 0, 005$
$y = \frac{12}{0 , 005}$
$y = 2400$

Відповідь: 1) 9; 2) 2400.

№ 23.20. Серед 200 опитаних жителів міста 198 мають мобільний телефон.
1) Скільки приблизно мобільних телефонів буде в 500 опитаних жителів цього міста?
2) Скільки приблизно було опитано жителів міста, якщо серед них, які мали мобільний телефон, виявилося 693?

Розв’язання:

Частота наявності мобільного телефону серед опитаних становить:

$\frac{198}{200} = \frac{99}{100} = 0, 99$

1) Нехай серед 500 опитаних жителів мобільний телефон мають $x$ осіб. Складемо пропорцію:

$\frac{200}{500} = \frac{198}{x}$

$x = \frac{500 \cdot 198}{200}$

$x = \frac{5 \cdot 198}{2}$

$x = 5 \cdot 99$

$x = 495$

2) Нехай було опитано $y$ жителів міста. Складемо пропорцію:

$\frac{198}{y} = \frac{198}{200}$

$\frac{693}{y} = \frac{99}{100}$

$y = \frac{693 \cdot 100}{99}$

$y = 7 \cdot 100$

$y = 700$

Відповідь: 1) 495; 2) 700.

№ 23.21. Відомо, що деякий баскетболіст зі штрафного кидка влучає в кошик з імовірністю, більшою за $0, 8$ , але меншою від $0, 83$ . Скільки приблизно штрафних кидків він виконав під час тренування, якщо серед них припустився $4$ промахів?

Розв’язання:

Нехай $x$ — кількість виконаних штрафних кидків ( $x \in N$ , $x > 4$ ).
Тоді кількість влучань становить $x - 4$ , а ймовірність влучання дорівнює $\frac{x - 4}{x}$ .

За умовою задачі:

$0, 8 < \frac{x - 4}{x} < 0, 83$

Запишемо подвійну нерівність у вигляді системи:

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - 4}{x} > 0, 8 \frac{x - 4}{x} < 0, 83$

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - 4 - 0 , 8 x}{x} > 0 \frac{x - 4 - 0 , 83 x}{x} < 0$

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{0 , 2 x - 4}{x} > 0 \frac{0 , 17 x - 4}{x} < 0$

Розв’яжемо першу нерівність системи:
$\frac{0 , 2 x - 4}{x} > 0$
Нулі чисельника та знаменника:
$0, 2 x - 4 = 0$
$0, 2 x = 4$
$x = 20$
$x = 0$

Графік до вправи № 23.21 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; 0) \cup (20; + \infty)$

Розв’яжемо другу нерівність системи:
$\frac{0 , 17 x - 4}{x} < 0$
Нулі чисельника та знаменника:
$0, 17 x - 4 = 0$
$0, 17 x = 4$
$x = \frac{400}{17} = 23 \frac{9}{17} \approx 23, 5$
$x = 0$

Графік до вправи № 23.21 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (0; 23 \frac{9}{17})$

Знайдемо перетин розв’язків нерівностей:

$x \in (20; 23 \frac{9}{17})$

Оскільки $x$ — натуральне число (кількість кидків), то $x$ може дорівнювати 21, 22 або 23.

Відповідь: 21, 22 або 23.

№ 23.22. Відомо, що стрільчиня влучає в мішень з імовірністю, більшою за $0, 89$ , але меншою від $0, 9$ . Скільки приблизно пострілів вона виконала під час тренування, якщо серед них сталося 6 промахів?

Розв’язання:
Нехай стрільчиня виконала $x$ пострілів, де $x \in N$ , $x > 6$ .
Тоді кількість влучань дорівнює $x - 6$ , а ймовірність влучання становить $\frac{x - 6}{x}$ .

За умовою:
$0, 89 < \frac{x - 6}{x} < 0, 9$

Складемо та розв’яжемо систему нерівностей:

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - 6}{x} > 0, 89 \frac{x - 6}{x} < 0, 9$

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - 6 - 0 , 89 x}{x} > 0 \frac{x - 6 - 0 , 9 x}{x} < 0$

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{0 , 11 x - 6}{x} > 0 \frac{0 , 1 x - 6}{x} < 0$

1) Розв’яжемо першу нерівність системи:
$\frac{0 , 11 x - 6}{x} > 0$

Нулі чисельника та знаменника:
$0, 11 x - 6 = 0$
$0, 11 x = 6$
$x = \frac{600}{11} = 54 \frac{6}{11} \approx 54, 55$
$x = 0$

Графік до вправи № 23.22 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; 0) \cup (54 \frac{6}{11}; + \infty)$

2) Розв’яжемо другу нерівність системи:
$\frac{0 , 1 x - 6}{x} < 0$

Нулі чисельника та знаменника:
$0, 1 x - 6 = 0$
$0, 1 x = 6$
$x = 60$
$x = 0$

Графік до вправи № 23.22 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (0; 60)$

Знайдемо перетин розв’язків з урахуванням того, що $x > 0$ :

$x \in (54 \frac{6}{11}; 60)$

Оскільки кількість пострілів $x$ є натуральним числом, то:
$x = 55$ , або $x = 56$ , або $x = 57$ , або $x = 58$ , або $x = 59$ .

Відповідь: 55, 56, 57, 58 або 59 пострілів.

№ 23.23. Виконайте дію:

1) $\frac{6 a + 7}{2 a - 1} + \frac{4 a + 8}{1 - 2 a}$

2) $32 p^{3} n^{2} \cdot \frac{n ^{7}}{8 p ^{6}}$

Розв’язання:

1) $\frac{6 a + 7}{2 a - 1} + \frac{4 a + 8}{1 - 2 a} =$
$= \frac{6 a + 7}{2 a - 1} - \frac{4 a + 8}{2 a - 1} =$
$= \frac{6 a + 7 - ( 4 a + 8 )}{2 a - 1} =$
$= \frac{6 a + 7 - 4 a - 8}{2 a - 1} =$
$= \frac{2 a - 1}{2 a - 1} = 1$

2) $32 p^{3} n^{2} \cdot \frac{n ^{7}}{8 p ^{6}} =$
$= \frac{32 p ^{3} n ^{2} \cdot n ^{7}}{8 p ^{6}} =$
$= \frac{4 n ^{2 + 7}}{p ^{6 - 3}} =$
$= \frac{4 n ^{9}}{p ^{3}}$

Відповідь: 1) $1$ ; 2) $\frac{4 n ^{9}}{p ^{3}}$ .

№ 23.24. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь $x^{2} + y^{2} = 16$ і $x - y = 4$ . Накресліть графіки цих рівнянь і позначте знайдені точки.

Розв’язання:
Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

${x^{2} + y^{2} = 16 x - y = 4$

Виразимо змінну $y$ з другого рівняння:
$y = x - 4$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:
$x^{2} + (x - 4)^{2} = 16$
$x^{2} + x^{2} - 8 x + 16 = 16$
$2 x^{2} - 8 x = 0$
$2 x (x - 4) = 0$
$x = 0$ або $x - 4 = 0$
$x_{1} = 0$
$x_{2} = 4$

Знайдемо відповідні значення $y$ :

1) Якщо $x_{1} = 0$ , то:
$y_{1} = 0 - 4 = - 4$

2) Якщо $x_{2} = 4$ , то:
$y_{2} = 4 - 4 = 0$

Отже, координатами точок перетину є $(0; - 4)$ та $(4; 0)$ .

Для побудови графіків:

1) $x^{2} + y^{2} = 16$ — коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = 4$ .

2) $x - y = 4$ ( $y = x - 4$ ) — пряма лінія. Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$4$
$y$	$- 4$	$0$

Графік до вправи № 23.24 - Алгебра 9 клас

Відповідь: $(0; - 4)$ , $(4; 0)$ .

№ 23.25. Розв’яжіть нерівність:
$15 x + (4 x + 1) (3 x - 8) > (4 x - 5) (4 x + 5) + 27$

Розв’язання:
$15 x + (4 x + 1) (3 x - 8) > (4 x - 5) (4 x + 5) + 27$
$15 x + 12 x^{2} - 32 x + 3 x - 8 > 16 x^{2} - 25 + 27$
$12 x^{2} - 14 x - 8 > 16 x^{2} + 2$
$12 x^{2} - 16 x^{2} - 14 x - 8 - 2 > 0$
$- 4 x^{2} - 14 x - 10 > 0$
Поділимо обидві частини нерівності на $- 2$ , змінивши знак нерівності:
$2 x^{2} + 7 x + 5 < 0$

Знайдемо нулі квадратного тричлена:
$2 x^{2} + 7 x + 5 = 0$
$D = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^{2}$
$x_{1} = \frac{- 7 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{- 10}{4} = - 2, 5$
$x_{2} = \frac{- 7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{- 4}{4} = - 1$

Графік до вправи № 23.25 - Алгебра 9 клас

$x \in (- 2, 5; - 1)$

Відповідь: $(- 2, 5; - 1)$ .

№ 23.26. Відомо, що $x_{1}$ і $x_{2}$ — корені рівняння $5 x^{2} + 7 x - 9 = 0$ . Не розв’язуючи рівняння, знайдіть $x_{1}^{3} x_{2} + x_{2}^{3} x_{1}$ .

Розв’язання:

За теоремою Вієта для квадратного рівняння $5 x^{2} + 7 x - 9 = 0$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} = - \frac{7}{5} x_{1} \cdot x_{2} = - \frac{9}{5}$

Перетворимо вираз, винісши спільний множник за дужки:

$x_{1}^{3} x_{2} + x_{2}^{3} x_{1} = x_{1} x_{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})$

Виділимо повний квадрат:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$

Тоді:

$x_{1}^{3} x_{2} + x_{2}^{3} x_{1} = x_{1} x_{2} ((x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2})$

Підставимо значення суми та добутку коренів:

$x_{1}^{3} x_{2} + x_{2}^{3} x_{1} = - \frac{9}{5} \cdot ((- \frac{7}{5})^{2} - 2 \cdot (- \frac{9}{5}))$

$= - \frac{9}{5} \cdot (\frac{49}{25} + \frac{18}{5})$

$= - \frac{9}{5} \cdot (\frac{49 + 90}{25})$

$= - \frac{9}{5} \cdot \frac{139}{25}$

$= - \frac{1251}{125} = - 10, 008$

Відповідь: $- 10, 008$ .

№ 23.27. Побудуйте графік функції $y = \frac{x ^{4} - 4}{x ^{2} - 2}$ .

Розв’язання:

Знайдемо область визначення функції:
$x^{2} - 2 \neq = 0$
$x^{2} \neq = 2$
$x \neq = - 2$ і $x \neq = 2$
$D (y) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; 2) \cup (2; + \infty)$

Спростимо формулу функції при $x \neq = \pm 2$ :
$y = \frac{( x ^{2} - 2 ) ( x ^{2} + 2 )}{x ^{2} - 2}$
$y = x^{2} + 2$

Графіком функції є парабола $y = x^{2} + 2$ з двома виколотими точками, абсциси яких $x = - 2$ та $x = 2$ .
Знайдемо ординати виколотих точок:
$y = (\pm 2)^{2} + 2 = 2 + 2 = 4$
Виколоті точки: $(- 2; 4)$ та $(2; 4)$ .

Складемо таблицю значень для побудови параболи $y = x^{2} + 2$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$

Графік до вправи № 23.27 - Алгебра 9 клас

№ 23.28. 2025 року діяли такі тарифи на електроенергію для споживачів, які користуються електроопаленням:

Обсяг споживання	Тариф (грн за $1 кВт \cdot год$ , із ПДВ)
За обсяг, спожитий до $2000 кВт \cdot год$ електроенергії на місяць	$2, 64$
За обсяг, спожитий понад $2000 кВт \cdot год$	$4, 32$

Лічильник електроенергії на 1 листопада показував $12615 кВт \cdot год$ , а на 1 грудня — $14675 кВт \cdot год$ . Скільки треба заплатити за електроенергію за листопад? Відповідь подайте у гривнях.

Розв’язання:

1) Знайдемо обсяг спожитої електроенергії за листопад:
$14675 - 12615 = 2060 (кВт \cdot год)$

2) Оскільки $2060 кВт \cdot год > 2000 кВт \cdot год$ , то обсяг споживання розподіляється на дві частини:

перші $2000 кВт \cdot год$ за тарифом $2, 64 грн$ :
$2000 \cdot 2, 64 = 5280 (грн)$
понадлімітний обсяг за тарифом $4, 32 грн$ :
$2060 - 2000 = 60 (кВт \cdot год)$
$60 \cdot 4, 32 = 259, 2 (грн)$

3) Обчислимо загальну суму до сплати за листопад:
$5280 + 259, 2 = 5539, 2 (грн)$

Відповідь: $5539, 2 грн .$

№ 23.29. (Задача Ейлера.) Знайдіть число, четвертий степінь якого, поділений на половину цього числа і збільшений на 14,25, дорівнюватиме 100.

Розв’язання:

Нехай $x$ — шукане число, причому $x \neq = 0$ .

Четвертий степінь числа, поділений на його половину:
$x^{4} : \frac{x}{2} = x^{4} \cdot \frac{2}{x} = 2 x^{3}$

За умовою задачі:
$2 x^{3} + 14, 25 = 100$

$2 x^{3} = 100 - 14, 25$

$2 x^{3} = 85, 75$

$2 x^{3} = 85 \frac{3}{4}$

$2 x^{3} = \frac{343}{4}$

$x^{3} = \frac{343}{8}$

$x^{3} = (\frac{7}{2})^{3}$

$x = \frac{7}{2}$

$x = 3, 5$

Відповідь: $3, 5$ .

23. Випадкова подія. Частота та ймовірність випадкової події

Теги статті:

До уроку