22. Комбінаторні задачі. Комбінаторні правила суми і добутку

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 22.1. На тарілці лежить 5 яблук і 8 слив. Скількома способами з тарілки можна взяти:
1) один фрукт;
2) одне яблуко й одну сливу?

Розв’язання:

1) Взяти один фрукт означає взяти або одне яблуко, або одну сливу. За правилом суми:
$5+8=13\text{ (способів).}$

2) Взяти одне яблуко й одну сливу означає утворити пару з двох елементів. За правилом добутку:
$5\cdot 8=40\text{ (способів).}$

Відповідь: 1) 13; 2) 40.

№ 22.2. У класі 10 юнаків і 15 дівчат. Скількома способами можна вибрати:
1) учня із цього класу;
2) пару учнів — юнака і дівчину?

Розв’язання:

1) Вибрати одного учня із класу (юнака або дівчину) за правилом суми можна:
$10+15=25\text{ способами.}$

2) Вибрати пару учнів із одного юнака і однієї дівчини за правилом добутку можна:
$10\cdot 15=150\text{ способами.}$

Відповідь: 1) 25; 2) 150.

№ 22.3. Костюм складається з блузки та спідниці. Скільки різних костюмів можна скласти з 5 видів блузок і 4 видів спідниць?

Розв’язання:
Блузку можна вибрати 5 способами, а спідницю — 4 способами.

За комбінаторним правилом добутку пару з блузки та спідниці можна скласти:

$5\cdot 4=20\text{ (костюмів)}$

Відповідь: 20 костюмів.

№ 22.4. У магазині є 7 видів ручок і 5 видів зошитів. Скількома способами можна обрати комплект з однієї ручки й одного зошита?

Розв’язання:
Одну ручку із 7 видів можна обрати 7 способами, а один зошит із 5 видів — 5 способами.

За комбінаторним правилом добутку комплект з однієї ручки й одного зошита можна обрати:

$7\cdot 5=35\text{ (способами)}$

Відповідь: 35 способами.

№ 22.5. Скільки чотирицифрових чисел можна скласти за допомогою цифр $5$, $6$, $7$, $8$, якщо цифри в числі не повторюються?

Розв’язання:
Першу цифру можна обрати $4$ способами (будь-яку з наданих цифр).
Другу цифру можна обрати $3$ способами (з трьох цифр, що залишилися).
Третю цифру можна обрати $2$ способами.
Четверту цифру можна обрати $1$ способом.

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість таких чисел становить:

$4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$

Відповідь: $24$.

№ 22.6. Скільки трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 1, 2, 3, якщо цифри в числі не повторюються?

Розв’язання:
Першу цифру (сотні) можна обрати $3$ способами (будь-яку з цифр 1, 2 або 3).
Другу цифру (десятки) можна обрати $2$ способами (з двох цифр, що залишилися).
Третю цифру (одиниці) можна обрати $1$ способом (цифра, що залишилася).

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість таких чисел дорівнює:
$3\cdot 2\cdot 1=6$

Відповідь: 6.

№ 22.7. Скількома способами можна вибрати пару з одного голосного й одного приголосного звуків у слові «студент»?

Розв’язання:
У слові «студент» $7$ звуків:
голосних — $2$ (у, е);
приголосних — $5$ (с, т, д, н, т).

Один голосний звук можна вибрати $2$ способами, а один приголосний — $5$ способами.

За правилом добутку пару з одного голосного й одного приголосного звуків можна вибрати:

$2\cdot 5=10\text{ (способами)}$

Відповідь: 10.

№ 22.8. Скількома способами можна вибрати пару з одного голосного й одного приголосного звуків у слові «функція»?

Розв’язання:
У слові «функція» $3$ голосних (у, і, я) та $4$ приголосних (ф, н, к, ц).

За правилом добутку вибрати пару з одного голосного й одного приголосного можна:

$3\cdot 4=12\text{ (способами)}$

Відповідь: 12.

№ 22.9. Скількома способами можна вишикувати в ряд 6 учнів?

Розв’язання:
Кількість способів вишикувати в ряд 6 учнів дорівнює кількості перестановок із 6 елементів:

$P_6=6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$

Відповідь: 720 способів.

№ 22.10. 10 учасниць шахового турніру грають у залі за 5 столиками. Скількома способами можна розмістити шахісток за столами, якщо учасниці всіх партій і колір фігур, якими вони грають, відомі?

Розв’язання:
Оскільки пари суперниць і колір фігур для кожної учасниці вже визначено, розсаджування зводиться до розподілу $5$ сформованих пар за $5$ столиками (кожна шахістка сідає за свій колір фігур однозначно).

Кількість таких способів дорівнює числу перестановок із $5$ елементів:

$P_5=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$

Відповідь: $120$.

№ 22.11. Із села $A$ до села $B$ ведуть $3$ дороги, а з села $B$ до села $C$ — $2$ дороги (мал. 22.5). Скількома способами поштар може пройти від села $A$ до села $C$?

Розв’язання:

Дорогу із села $A$ до села $B$ можна вибрати $3$ способами.
Для кожного вибору першої дороги існує $2$ способи вибрати дорогу із села $B$ до села $C$.

За комбінаторним правилом добутку кількість способів пройти від села $A$ до села $C$ становить:

$3\cdot 2=6$

Відповідь: $6$.

№ 22.12. Кожну клітинку квадратної таблиці $2\times 2$ (мал. 22.6) можна пофарбувати в зелений або червоний колір. Скільки є різних варіантів розфарбування цієї таблиці?

Розв’язання:
Квадратна таблиця розміром $2\times 2$ містить $4$ клітинки.

Для кожної з $4$ клітинок існує $2$ можливих варіанти пофарбування (зелений або червоний колір).

Оскільки вибір кольору для кожної клітинки не залежить від вибору інших, за комбінаторним правилом добутку загальна кількість варіантів розфарбування становить:

$N=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4=16$

Відповідь: 16.

№ 22.13. Скількома способами з 5 членів президії зборів можна вибрати голову зборів і секретаря?

Розв’язання:
Голову зборів можна обрати з 5 членів президії $5$ способами.

Після обрання голови на посаду секретаря залишається $4$ претенденти, тобто секретаря можна обрати $4$ способами.

За комбінаторним правилом добутку голову зборів і секретаря можна вибрати:

$5\cdot 4=20\text{ (способами)}$

Відповідь: $20\text{ способами.}$

№ 22.14. У секції легкої атлетики тренуються 8 спортсменів. Скількома способами між ними можна розподілити етапи естафети 4 по 100 м (тобто кожен із чотирьох атлетів, що бере участь в естафеті, має пробігти один з етапів: перший, або другий, або третій, або четвертий)?

Розв’язання:
На перший етап естафети можна обрати будь-кого з 8 спортсменів.
На другий етап можна обрати одного з 7 спортсменів, що залишилися.
На третій етап — одного з 6 спортсменів.
На четвертий етап — одного з 5 спортсменів.

За комбінаторним правилом добутку кількість способів розподілу етапів естафети становить:

$8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$

Відповідь: 1680 способів.

№ 22.15. Гральний кубик підкидають двічі. Скільки різних пар чисел можна при цьому отримати?

Розв’язання:
При першому підкиданні грального кубика може випасти будь-яке з $6$ чисел (від $1$ до $6$).
При другому підкиданні також може випасти будь-яке з $6$ чисел.

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість різних пар чисел дорівнює:

$6\cdot 6=36$

Відповідь: $36$.

№ 22.16. Монету підкидають тричі. Скільки різних послідовностей випадання аверсу та реверсу можна при цьому отримати?

Розв’язання:

При кожному підкиданні монети є $2$ можливих наслідки: випадання аверсу або реверсу.

Оскільки монету підкидають тричі, то за комбінаторним правилом добутку загальна кількість різних послідовностей дорівнює:

$2\cdot 2\cdot 2=8$

Відповідь: $8$.

№ 22.17. Скільки різних трицифрових чисел, у запису яких є тільки непарні цифри, можна скласти, якщо:

1) цифри в числі не повторюються;

2) цифри в числі можуть повторюватися?

Розв’язання:

Непарними є цифри: $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ (усього $5$ цифр).

1) На перше місце (сотні) можна обрати будь-яку з $5$ непарних цифр.
Оскільки цифри не повторюються, на друге місце (десятки) залишається $4$ способи, а на третє місце (одиниці) — $3$ способи.
За правилом добутку:

$5\cdot 4\cdot 3=60$

2) На кожне з трьох місць (сотні, десятки, одиниці) можна обрати будь-яку з $5$ непарних цифр, оскільки цифри можуть повторюватися.
За правилом добутку:

$5\cdot 5\cdot 5=125$

Відповідь: 1) 60; 2) 125.

№ 22.18. Скільки різних двоцифрових чисел, у запису яких є цифри 1, 2, 3, 4, 5, можна скласти, якщо цифри в числі:
1) не повторюються;
2) можуть повторитися?

Розв’язання:

1) Першою цифрою двоцифрового числа (кількість десятків) може бути будь-яка з 5 запропонованих цифр.
Оскільки цифри в числі не повторюються, для другої цифри (кількість одиниць) залишається будь-яка з 4 цифр, що залишилися.
За правилом добутку:
$5\cdot 4=20$

2) Першою цифрою може бути будь-яка з 5 цифр.
Оскільки цифри можуть повторюватися, для другої цифри також можна обрати будь-яку з цих самих 5 цифр.
За правилом добутку:
$5\cdot 5=25$

Відповідь: 1) 20; 2) 25.

№ 22.19. Скількома способами можна скласти ряд з 2 білих кульок, чорної, червоної і зеленої, якщо білі кульки мають розташовуватися з обох кінців ряду?

Розв’язання:
У ряду з 5 кульок білі кульки займають перше та останнє місця, тому їхнє положення фіксоване:

$\text{Б}\underline{}\underline{}\underline{}\text{Б}$

На 3 внутрішніх місцях потрібно розмістити 3 різні кульки: чорну, червону і зелену.

Кількість способів їх розміщення дорівнює кількості перестановок з 3 елементів (за комбінаторним правилом добутку):

$P_3=3!=3\cdot 2\cdot 1=6$

Відповідь: $6$.

№ 22.20. Скількома способами на книжковій полиці можна розставити підручники із шести різних предметів так, щоб підручник з алгебри був крайнім ліворуч?

Розв’язання:
Підручник з алгебри повинен стояти крайнім ліворуч (на першому місці), тому для нього є лише $1$ спосіб розміщення.

Решту $5$ місць займають інші $5$ підручників:

• на другому місці може стояти будь-який із $5$ підручників;
• на третьому місці — будь-який із $4$ підручників, що залишилися;
• на четвертому місці — будь-який із $3$ підручників;
• на п’ятому місці — будь-який із $2$ підручників;
• на шостому місці — $1$ підручник, що залишився.

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість способів дорівнює:

$1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$

(або кількість перестановок із $5$ елементів: $P_5=5!=120$).

Відповідь: $120$ способами.

№ 22.21. Скільки різних шестицифрових чисел можна скласти із цифр $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, якщо в кожному числі цифри не повторюються?

Розв’язання:
Шестицифрове число не може починатися із цифри $0$.

• Першу цифру (розряд сотень тисяч) можна обрати $5$ способами (будь-яка цифра з $1,2,3,4,5$).
• Другу цифру можна обрати $5$ способами (будь-яка з $5$ цифр, що залишилися, враховуючи $0$).
• Третю цифру — $4$ способами.
• Четверту цифру — $3$ способами.
• П’яту цифру — $2$ способами.
• Шосту цифру — $1$ способом (остання цифра, що залишилася).

За правилом добутку загальна кількість таких чисел дорівнює:

$5\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=600$

Відповідь: 600.

№ 22.22. Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти із цифр $0$, $2$, $4$, $8$, якщо цифри в числі не повторюються?

Розв’язання:
Чотирицифрове число складається з чотирьох розрядів:

• першою цифрою може бути будь-яка з трьох цифр: $2$, $4$ або $8$ (оскільки число не може починатися із цифри $0$) — 3 способи;
• другою цифрою може бути будь-яка з трьох цифр, що залишилися (враховуючи цифру $0$) — 3 способи;
• третьою цифрою може бути будь-яка з двох цифр, що залишилися — 2 способи;
• четвертою цифрою може бути єдина цифра, що залишилася — 1 спосіб.

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість таких чисел дорівнює:

$3\cdot 3\cdot 2\cdot 1=18$

Відповідь: 18.

№ 22.23. Скільки різних правильних нескоротних дробів можна скласти із чисел $2$, $3$, $5$, $7$, $12$?

Розв’язання:
Дріб $\frac{a}{b}$ є правильним, якщо $a<b$, і нескоротним, якщо $\text{НСД}(a;b)=1$.

Розглянемо всі можливі випадки для чисельника $a$:

1) Якщо $a=2$, то знаменником $b$ можуть бути числа $3$, $5$, $7$ (число $12$ не підходить, оскільки дріб $\frac{2}{12}$ скоротний).
Маємо 3 дроби: $\frac{2}{3}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{2}{7}$.

2) Якщо $a=3$, то знаменником $b$ можуть бути числа $5$, $7$ (дріб $\frac{3}{12}$ скоротний).
Маємо 2 дроби: $\frac{3}{5}$, $\frac{3}{7}$.

3) Якщо $a=5$, то знаменником $b$ можуть бути числа $7$, $12$.
Маємо 2 дроби: $\frac{5}{7}$, $\frac{5}{12}$.

4) Якщо $a=7$, то знаменником $b$ може бути число $12$.
Маємо 1 дріб: $\frac{7}{12}$.

За правилом суми знайдемо загальну кількість таких дробів:
$3+2+2+1=8$

Відповідь: 8.

№ 22.24. У турнірі «Кубок Васюків» грало 10 шахістів, кожен з яких зіграв партію з кожним із суперників. Скільки партій було зіграно в цьому турнірі?

Розв’язання:

Кожен із $10$ шахістів зіграв по одній партії з кожним із решти $9$ учасників.

Оскільки в кожній партії беруть участь двоє гравців, то добуток $10\cdot 9$ враховує кожну партію двічі.

Кількість зіграних у турнірі партій:

$\frac{10\cdot 9}{2}=\frac{90}{2}=45$

Відповідь: $45\text{ партій.}$

№ 22.25. У змаганнях паралімпійців з футболу взяли участь 16 команд, кожна з яких провела по дві зустрічі з кожною іншою командою. Скільки матчів відбулося у цих змаганнях?

Розв’язання:

Кожна із $16$ команд зіграла з рештою $15$ командами по $2$ зустрічі.
Кількість зустрічей, яку провела одна команда:
$15\cdot 2=30\text{ (матчів)}$

Оскільки в кожній зустрічі беруть участь $2$ команди, то загальна кількість матчів дорівнює:
$\frac{16\cdot 30}{2}=240\text{ (матчів)}$

Інший спосіб (за правилом добутку):
Оскільки команди грають між собою двічі (наприклад, удома та на виїзді), кожен матч однозначно визначається парою команд — господар і гість. Першу команду можна обрати $16$ способами, а її суперника — $15$ способами:
$16\cdot 15=240\text{ (матчів)}$

Відповідь: $240\text{ матчів.}$

№ 22.26. Скільки різних непарних чотирицифрових чисел можна скласти із цифр 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри в числі не повторюються?

Розв’язання:

Чотирицифрове число є непарним, якщо його остання цифра (розряд одиниць) є непарною. Серед заданих цифр є дві непарні: $3$ і $5$.

1) Останню цифру (розряд одиниць) можна обрати $2$ способами (цифра $3$ або $5$).

2) Першу цифру (розряд тисяч) можна обрати із $4$ цифр, що залишилися — $4$ способами.

3) Другу цифру (розряд сотень) можна обрати із $3$ цифр, що залишилися — $3$ способами.

4) Третю цифру (розряд десятків) можна обрати із $2$ цифр, що залишилися — $2$ способами.

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість таких чисел дорівнює:

$4\cdot 3\cdot 2\cdot 2=48$

Відповідь: 48.

№ 22.27. Скільки різних парних трицифрових чисел можна скласти із цифр $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, якщо цифри в числі не повторюються?

Розв’язання:
Трицифрове число є парним, якщо його остання цифра (розряд одиниць) є парною.

Серед заданих цифр $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ парними є дві цифри: $2$ і $4$. Отже, останню цифру можна вибрати $2$ способами.

Оскільки цифри в числі не повторюються:

• першу цифру (розряд сотень) можна вибрати з $4$ цифр, що залишилися — $4$ способами;
• другу цифру (розряд десятків) можна вибрати з $3$ цифр, що залишилися — $3$ способами.

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість таких чисел становить:

$4\cdot 3\cdot 2=24$

Відповідь: 24.

№ 22.28. Спростіть вираз:

1) $-4x(3x+9)+1,5x(8x-2)$;

2) $(x-2{)}^2-(x+1)(x-1)$.

Розв’язання:

1) $-4x(3x+9)+1,5x(8x-2)=$
$=-12x^2-36x+12x^2-3x=$
$=-39x$

2) $(x-2{)}^2-(x+1)(x-1)=$
$=x^2-4x+4-(x^2-1)=$
$=x^2-4x+4-x^2+1=$
$=-4x+5$

Відповідь:

1) $-39x$;

2) $-4x+5$.

№ 22.29. Знайдіть координати точок параболи $y=2x-x^2$, у яких сума абсциси й ординати дорівнює 2.

Розв’язання:
Нехай $(x;y)$ — координати шуканої точки.

За умовою задачі сума абсциси й ординати дорівнює 2, тобто:
$x+y=2$
$y=2-x$

Оскільки точка належить параболі $y=2x-x^2$, складемо й розв’яжемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}y=2x-x^2\\ y=2-x\end{array}$

Підставимо вираз для $y$ у перше рівняння:
$2-x=2x-x^2$
$x^2-3x+2=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=1$
$x_2=2$

Знайдемо відповідні значення ординати $y$:
Якщо $x=1$, то $y=2-1=1$.
Якщо $x=2$, то $y=2-2=0$.

Отримуємо точки з координатами $(1;1)$ та $(2;0)$.

Відповідь: $(1;1)$, $(2;0)$.

№ 22.30. Розв’яжіть рівняння:
1) $2x^3+3x^2-5x=0$;
2) $x^3-3x^2-4x+12=0$.

Розв’язання:

1) $2x^3+3x^2-5x=0$
$x(2x^2+3x-5)=0$
$x=0$ або $2x^2+3x-5=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння $2x^2+3x-5=0$:
$D=3^2-4\cdot 2\cdot (-5)=9+40=49$
$x_1=\frac{-3+\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{-3+7}{4}=1$
$x_2=\frac{-3-\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{-3-7}{4}=-2,5$

Отже, рівняння має корені: $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=-2,5$.

2) $x^3-3x^2-4x+12=0$
$x^2(x-3)-4(x-3)=0$
$(x-3)(x^2-4)=0$
$x-3=0$ або $x^2-4=0$
$x=3$
$x^2=4$
$x=\pm 2$

Отже, рівняння має корені: $x_1=3$, $x_2=2$, $x_3=-2$.

Відповідь: 1) $-2,5$; $0$; $1$; 2) $-2$; $2$; $3$.

№ 22.31. Побудуйте графік рівняння $|x-y|=3$.

Розв’язання:
За означенням модуля:
$x-y=3$ або $x-y=-3$

Виразимо $y$ через $x$:
$y=x-3$ або $y=x+3$

Графіком даного рівняння є дві паралельні прямі. Складемо таблиці опорних точок для кожної прямої:

1) $y=x-3$

2) $y=x+3$

№ 22.32. Майстер спорту з легкої атлетики під час тренування пробіг $400$ м за $50$ секунд. Знайдіть його середню швидкість на дистанції. Відповідь подайте в кілометрах за годину.

Розв’язання:

Знайдемо середню швидкість у метрах за секунду:

$v=\frac{s}{t}=\frac{400}{50}=8\text{ (м/с)}$

Переведемо швидкість у кілометри за годину:

$8\text{ м/с}=\frac{8\cdot 3600}{1000}\text{ км/год}=\frac{288}{10}\text{ км/год}=28,8\text{ км/год}$

Відповідь: $28,8\text{ км/год}$.

№ 22.33. (Міжнародний математичний конкурс «Кенгуру», 2016 рік.) У класі 20 учнів. Усі сидять за партами по двоє. Рівно третина хлопців сидить із дівчатами, і рівно половина дівчат сидить із хлопцями. Скільки хлопців у класі?

Розв’язання:
Нехай у класі $b$ хлопців і $g$ дівчат.
Загальна кількість учнів дорівнює $20$:
$b+g=20$

Кількість хлопців, які сидять із дівчатами, дорівнює кількості дівчат, які сидять із хлопцями, оскільки кожен такий учень утворює змішану пару за партою:

$\frac{1}{3}b=\frac{1}{2}g$

Виразимо $g$ через $b$:

$g=\frac{2}{3}b$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:

$b+\frac{2}{3}b=20$

$\frac{5}{3}b=20$

$b=20\cdot \frac{3}{5}$

$b=12$

Отже, у класі $12$ хлопців (і $20-12=8$ дівчат).

Відповідь: 12 хлопців.