21. Нескінченна геометрична прогресія та її сума

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 21.1. Знайдіть $S$ — суму нескінченної геометричної прогресії $(b_n)$, якщо:
1) $b_1=4$, $q=0,5$;
2) $b_1=1$, $q=\frac{2}{3}$.

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $|q|<1$ обчислюється за формулою:
$S=\frac{b_1}{1-q}$

1) Оскільки $|0,5|<1$:
$S=\frac{4}{1-0,5}=\frac{4}{0,5}=8$

2) Оскільки $\left|\frac{2}{3}\right|<1$:
$S=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$

Відповідь: 1) 8; 2) 3.

№ 21.2. Знайдіть $S$ — суму нескінченної геометричної прогресії $(b_n)$, якщо:
1) $b_1=8$, $q=\frac{1}{2}$;
2) $b_1=1$, $q=0,75$.

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії, у якій $|q|<1$, обчислюється за формулою:

$S=\frac{b_1}{1-q}$

1) Оскільки $|q|=\left|\frac{1}{2}\right|<1$:

$S=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=8\cdot 2=16$

2) Оскільки $|q|=|0,75|<1$:

$S=\frac{1}{1-0,75}=\frac{1}{0,25}=4$

Відповідь: 1) $16$; 2) $4$.

№ 21.3. Перевірте, що знаменник $q$ нескінченної геометричної прогресії задовольняє умову $|q|<1$, і знайдіть суму цієї прогресії:

1) $7$, $1$, $\frac{1}{7}$, …;

2) $-1$, $-\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{16}$, …;

3) $0,5$, $-0,05$, $0,005$, …;

4) $-10$, $4$, $-1,6$, ….

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $|q|<1$ обчислюється за формулою:
$S=\frac{b_1}{1-q}$

1) $b_1=7$, $b_2=1$
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{7}$
Оскільки $|q|=\left|\frac{1}{7}\right|=\frac{1}{7}<1$, то сума існує:
$S=\frac{7}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{\frac{6}{7}}=\frac{49}{6}=8\frac{1}{6}$

2) $b_1=-1$, $b_2=-\frac{1}{4}$
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-\frac{1}{4}}{-1}=\frac{1}{4}$
Оскільки $|q|=\left|\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{4}<1$, то сума існує:
$S=\frac{-1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{-1}{\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}$

3) $b_1=0,5$, $b_2=-0,05$
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-0,05}{0,5}=-0,1$
Оскільки $|q|=|-0,1|=0,1<1$, то сума існує:
$S=\frac{0,5}{1-(-0,1)}=\frac{0,5}{1+0,1}=\frac{0,5}{1,1}=\frac{5}{11}$

4) $b_1=-10$, $b_2=4$
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{4}{-10}=-0,4$
Оскільки $|q|=|-0,4|=0,4<1$, то сума існує:
$S=\frac{-10}{1-(-0,4)}=\frac{-10}{1+0,4}=\frac{-10}{1,4}=-\frac{100}{14}=-\frac{50}{7}=-7\frac{1}{7}$

Відповідь: 1) $8\frac{1}{6}$; 2) $-1\frac{1}{3}$; 3) $\frac{5}{11}$; 4) $-7\frac{1}{7}$.

№ 21.4. Перевірте, що знаменник $q$ нескінченної геометричної прогресії задовольняє умову $|q|<1$, і знайдіть суму цієї прогресії:
1) $5$, $1$, $\frac{1}{5}$, …;
2) $-1$, $-\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{9}$, …;
3) $0,3$, $-0,03$, $0,003$, …;
4) $-16$, $2$, $-0,25$, ….

Розв’язання:

Суму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $|q|<1$ обчислюють за формулою:
$S=\frac{b_1}{1-q}$

1) $b_1=5$, $b_2=1$
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{5}=0,2$
$|q|=|0,2|<1$, отже, умова виконується і сума існує.
$S=\frac{5}{1-0,2}=\frac{5}{0,8}=6,25$

2) $b_1=-1$, $b_2=-\frac{1}{3}$
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-\frac{1}{3}}{-1}=\frac{1}{3}$
$|q|=\left|\frac{1}{3}\right|<1$, отже, умова виконується і сума існує.
$S=\frac{-1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{-1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}=-1,5$

3) $b_1=0,3$, $b_2=-0,03$
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-0,03}{0,3}=-0,1$
$|q|=|-0,1|<1$, отже, умова виконується і сума існує.
$S=\frac{0,3}{1-(-0,1)}=\frac{0,3}{1,1}=\frac{3}{11}$

4) $b_1=-16$, $b_2=2$
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{2}{-16}=-\frac{1}{8}=-0,125$
$|q|=|-0,125|<1$, отже, умова виконується і сума існує.
$S=\frac{-16}{1-\left(-\frac{1}{8}\right)}=\frac{-16}{\frac{9}{8}}=-\frac{128}{9}=-14\frac{2}{9}$

Відповідь: 1) $6,25$; 2) $-1,5$; 3) $\frac{3}{11}$; 4) $-14\frac{2}{9}$.

№ 21.5. (Задача Архімеда.) Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

$1+\frac{1}{4}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(\frac{1}{4}\right)}^3+\dots$

Розв’язання:

Даний вираз є сумою нескінченної спадної геометричної прогресії, у якої:

$b_1=1$
$q=\frac{1}{4}$

Оскільки $|q|=\left|\frac{1}{4}\right|<1$, застосуємо формулу суми нескінченної геометричної прогресії:

$S=\frac{b_1}{1-q}$

Обчислимо значення суми:

$S=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$

Відповідь: $1\frac{1}{3}$.

№ 21.6. Знайдіть перший член нескінченної геометричної прогресії, якщо відомо її суму $S$ та знаменник $q$:
1) $S=16$, $q=0,5$;
2) $S=27$, $q=-\frac{1}{3}$.

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою:

$S=\frac{b_1}{1-q}$

Звідси виразимо перший член прогресії:

$b_1=S(1-q)$

1) Підставимо значення $S=16$ та $q=0,5$:
$b_1=16\cdot (1-0,5)$
$b_1=16\cdot 0,5$
$b_1=8$

2) Підставимо значення $S=27$ та $q=-\frac{1}{3}$:
$b_1=27\cdot \left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$
$b_1=27\cdot \left(1+\frac{1}{3}\right)$
$b_1=27\cdot \frac{4}{3}$
$b_1=9\cdot 4$
$b_1=36$

Відповідь: 1) 8; 2) 36.

№ 21.7. Знайдіть перший член нескінченної геометричної прогресії, сума якої дорівнює 8, а знаменник дорівнює $\frac{1}{4}$.

Розв’язання:

Суму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $|q|<1$ знаходять за формулою:

$S=\frac{b_1}{1-q}$

За умовою $S=8$, $q=\frac{1}{4}$. Підставимо ці значення у формулу:

$8=\frac{b_1}{1-\frac{1}{4}}$

$8=\frac{b_1}{\frac{3}{4}}$

$b_1=8\cdot \frac{3}{4}$

$b_1=6$

Відповідь: 6.

№ 21.8. Знайдіть знаменник $q$, де $|q|<1$, нескінченної геометричної прогресії $(b_n)$, якщо:
1) $S=10$, $b_1=5$;
2) $S=9$, $b_1=15$.

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $|q|<1$ обчислюється за формулою:
$S=\frac{b_1}{1-q}$

1) Підставимо $S=10$ та $b_1=5$:
$10=\frac{5}{1-q}$
$1-q=\frac{5}{10}$
$1-q=0,5$
$q=1-0,5$
$q=0,5$

2) Підставимо $S=9$ та $b_1=15$:
$9=\frac{15}{1-q}$
$1-q=\frac{15}{9}$
$1-q=\frac{5}{3}$
$q=1-\frac{5}{3}$
$q=-\frac{2}{3}$

Відповідь: 1) $0,5$; 2) $-\frac{2}{3}$.

№ 21.9. Знайдіть знаменник $q$, де $|q|<1$, нескінченної геометричної прогресії, якщо її перший член дорівнює $12$, а сума дорівнює $14$.

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $|q|<1$ обчислюється за формулою:

$S=\frac{b_1}{1-q}$

Підставимо відомі значення $b_1=12$ та $S=14$:

$14=\frac{12}{1-q}$

$14(1-q)=12$
$1-q=\frac{12}{14}$
$1-q=\frac{6}{7}$
$q=1-\frac{6}{7}$
$q=\frac{1}{7}$

Оскільки $\left|\frac{1}{7}\right|<1$, знайдений знаменник задовольняє умову задачі.

Відповідь: $\frac{1}{7}$.

№ 21.10. На промені $OP$ від точки $O$ послідовно відкладено відрізки. Довжина першого з них дорівнює $12\text{ см}$, а довжина кожного наступного дорівнює $\frac{1}{4}$ від довжини попереднього. Обчисліть суму довжин усіх відрізків, якщо їх відкладати нескінченну кількість разів.

Розв’язання:
Довжини послідовно відкладених відрізків утворюють нескінченну геометричну прогресію $(b_n)$, у якій:
$b_1=12\text{ см}$
$q=\frac{1}{4}$

Оскільки $|q|=\left|\frac{1}{4}\right|<1$, суму довжин усіх відрізків знайдемо за формулою суми нескінченної геометричної прогресії:

$S=\frac{b_1}{1-q}$

Підставимо значення:

$S=\frac{12}{1-\frac{1}{4}}=\frac{12}{\frac{3}{4}}=12\cdot \frac{4}{3}=16\text{ (см)}$

Відповідь: $16\text{ см.}$

№ 21.11. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

1) $5\sqrt{2}$, $5$, $\frac{5\sqrt{2}}{2}$, …;

2) $\frac{1}{4-2\sqrt{2}}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2+\sqrt{2}}$, …

Розв’язання:

Суму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $|q|<1$ обчислюють за формулою:

$S=\frac{b_1}{1-q}$

1) Маємо $b_1=5\sqrt{2}$, $b_2=5$.

Знайдемо знаменник прогресії:

$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Оскільки $|q|=\left|\frac{\sqrt{2}}{2}\right|<1$, прогресія є нескінченно спадною.

Знайдемо її суму:

$S=\frac{5\sqrt{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику:

$S=\frac{10\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{20\sqrt{2}+20}{4-2}=\frac{20(\sqrt{2}+1)}{2}=10(\sqrt{2}+1)=10\sqrt{2}+10$

2) Маємо $b_1=\frac{1}{4-2\sqrt{2}}$, $b_2=\frac{1}{2}$.

Знайдемо знаменник прогресії:

$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{2}:\frac{1}{4-2\sqrt{2}}=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}$

Оскільки $|q|=|2-\sqrt{2}|\approx 0,59<1$, прогресія є нескінченно спадною.

Знайдемо різницю:

$1-q=1-(2-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$

Обчислимо суму прогресії:

$S=\frac{\frac{1}{4-2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-1}=\frac{1}{(4-2\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}$

Перемножимо вирази в знаменнику:

$(4-2\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=4\sqrt{2}-4-2\cdot 2+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}-8$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику:

$S=\frac{1}{6\sqrt{2}-8}=\frac{6\sqrt{2}+8}{(6\sqrt{2}-8)(6\sqrt{2}+8)}=\frac{6\sqrt{2}+8}{(6\sqrt{2}{)}^2-8^2}=\frac{6\sqrt{2}+8}{72-64}=\frac{6\sqrt{2}+8}{8}=\frac{3\sqrt{2}+4}{4}$

Відповідь: 1) $10\sqrt{2}+10$; 2) $\frac{3\sqrt{2}+4}{4}$.

№ 21.12. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

1) $3\sqrt{3}$, $3$, $\sqrt{3}$, …;
2) $1+\sqrt{5}$, $\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$, $\frac{1+\sqrt{5}}{5}$, … .

Розв’язання:

Суму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $|q|<1$ обчислюють за формулою:
$S=\frac{b_1}{1-q}$

1) Перший член прогресії:
$b_1=3\sqrt{3}$

Знайдемо знаменник прогресії:
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Оскільки $|q|=\frac{1}{\sqrt{3}}<1$, прогресія є нескінченно спадною.

Знайдемо суму:
$S=\frac{3\sqrt{3}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}=\frac{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{9}{\sqrt{3}-1}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу:
$S=\frac{9(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{9(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{9(\sqrt{3}+1)}{2}=\frac{9\sqrt{3}+9}{2}$

2) Перший член прогресії:
$b_1=1+\sqrt{5}$

Знайдемо знаменник прогресії:
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}:(1+\sqrt{5})=\frac{1}{\sqrt{5}}$
Оскільки $|q|=\frac{1}{\sqrt{5}}<1$, прогресія є нескінченно спадною.

Знайдемо суму:
$S=\frac{1+\sqrt{5}}{1-\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5}(1+\sqrt{5})}{\sqrt{5}-1}=\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу:
$S=\frac{(5+\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{5\sqrt{5}+5+5+\sqrt{5}}{5-1}=\frac{10+6\sqrt{5}}{4}=\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$

Відповідь: 1) $\frac{9\sqrt{3}+9}{2}$; 2) $\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$.

№ 21.13. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії $(b_n)$, якщо:

1) $b_3=20$, $q=\frac{1}{2}$;

2) $b_4=1$, $q=-\frac{1}{3}$.

Розв’язання:

Суму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $|q|<1$ обчислюють за формулою:
$S=\frac{b_1}{1-q}$

1) За формулою $n$-го члена $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$:
$b_3=b_1\cdot q^2$
$20=b_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2$
$20=b_1\cdot \frac{1}{4}$
$b_1=20\cdot 4$
$b_1=80$

Обчислимо суму прогресії:
$S=\frac{80}{1-\frac{1}{2}}=\frac{80}{\frac{1}{2}}=80\cdot 2=160$

2) За формулою $n$-го члена:
$b_4=b_1\cdot q^3$
$1=b_1\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^3$
$1=b_1\cdot \left(-\frac{1}{27}\right)$
$b_1=-27$

Обчислимо суму прогресії:
$S=\frac{-27}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{-27}{1+\frac{1}{3}}=\frac{-27}{\frac{4}{3}}=-27\cdot \frac{3}{4}=-\frac{81}{4}=-20,25$

Відповідь: 1) $160$; 2) $-20,25$.

№ 21.14. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії $(b_n)$, якщо:
1) $b_5=1$, $q=\frac{1}{3}$;
2) $b_2=-10$, $q=-\frac{2}{3}$.

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою:

$S=\frac{b_1}{1-q},\text{де }|q|<1$

1) Знайдемо перший член прогресії за формулою $n$-го члена $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$:
$b_5=b_1\cdot q^4$
$1=b_1\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^4$
$1=b_1\cdot \frac{1}{81}$
$b_1=81$

Обчислимо суму:

$S=\frac{81}{1-\frac{1}{3}}=\frac{81}{\frac{2}{3}}=81\cdot \frac{3}{2}=\frac{243}{2}=121,5$

2) Знайдемо перший член прогресії:
$b_2=b_1\cdot q$
$-10=b_1\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)$
$b_1=-10\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)$
$b_1=15$

Обчислимо суму:

$S=\frac{15}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{15}{1+\frac{2}{3}}=\frac{15}{\frac{5}{3}}=15\cdot \frac{3}{5}=9$

Відповідь: 1) $121,5$; 2) $9$.

№ 21.15. Знайдіть суму, якщо $|x|<1$:
1) $1+x+x^2+x^3+\dots$
2) $x-x^3+x^5-x^7+\dots$

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії, у якої $|q|<1$, обчислюється за формулою:

$S=\frac{b_1}{1-q}$

1) Перший член прогресії $b_1=1$, знаменник прогресії $q=\frac{x}{1}=x$.
Оскільки $|x|<1$, маємо $|q|<1$:

$S=\frac{1}{1-x}$

2) Перший член прогресії $b_1=x$, знаменник прогресії $q=\frac{-x^3}{x}=-x^2$.
Оскільки $|x|<1$, то $|q|=|-x^2|=|x{|}^2<1$:

$S=\frac{x}{1-(-x^2)}=\frac{x}{1+x^2}$

Відповідь: 1) $\frac{1}{1-x}$; 2) $\frac{x}{1+x^2}$.

№ 21.16. Запишіть нескінченний періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу:

1) $0,(3)$;

2) $0,(15)$;

3) $3,1111\dots$;

4) $7,393939\dots$;

5) $0,6(3)$;

6) $7,(25)$.

Розв’язання:

1) Подамо дріб у вигляді суми:
$0,(3)=0,3+0,03+0,003+\dots$
Це сума нескінченної геометричної прогресії, у якої:
$b_1=0,3$
$q=\frac{0,03}{0,3}=0,1$ ($|q|<1$)
За формулою суми $S=\frac{b_1}{1-q}$:
$0,(3)=\frac{0,3}{1-0,1}=\frac{0,3}{0,9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

2) Подамо дріб у вигляді суми:
$0,(15)=0,15+0,0015+0,000015+\dots$
Це сума нескінченної геометричної прогресії, у якої:
$b_1=0,15$
$q=\frac{0,0015}{0,15}=0,01$ ($|q|<1$)
$0,(15)=\frac{0,15}{1-0,01}=\frac{0,15}{0,99}=\frac{15}{99}=\frac{5}{33}$

3) Запишемо дріб у вигляді суми цілої частини та нескінченного спадного дробу:
$3,1111\dots =3+0,(1)$
Для дробу $0,(1)=0,1+0,01+0,001+\dots$:
$b_1=0,1$
$q=0,1$ ($|q|<1$)
$0,(1)=\frac{0,1}{1-0,1}=\frac{0,1}{0,9}=\frac{1}{9}$
Тоді:
$3,1111\dots =3+\frac{1}{9}=3\frac{1}{9}$

4) Запишемо дріб у вигляді суми:
$7,393939\dots =7+0,(39)$
Для дробу $0,(39)=0,39+0,0039+\dots$:
$b_1=0,39$
$q=0,01$ ($|q|<1$)
$0,(39)=\frac{0,39}{1-0,01}=\frac{0,39}{0,99}=\frac{39}{99}=\frac{13}{33}$
Тоді:
$7,393939\dots =7+\frac{13}{33}=7\frac{13}{33}$

5) Подамо дріб у вигляді суми:
$0,6(3)=0,6+0,03+0,003+0,0003+\dots$
Додамо нескінченну геометричну прогресію $0,03+0,003+\dots$:
$b_1=0,03$
$q=0,1$ ($|q|<1$)
$S=\frac{0,03}{1-0,1}=\frac{0,03}{0,9}=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}$
Тоді:
$0,6(3)=\frac{6}{10}+\frac{1}{30}=\frac{3}{5}+\frac{1}{30}=\frac{18}{30}+\frac{1}{30}=\frac{19}{30}$

6) Запишемо дріб у вигляді суми:
$7,(25)=7+0,(25)$
Для дробу $0,(25)=0,25+0,0025+\dots$:
$b_1=0,25$
$q=0,01$ ($|q|<1$)
$0,(25)=\frac{0,25}{1-0,01}=\frac{0,25}{0,99}=\frac{25}{99}$
Тоді:
$7,(25)=7+\frac{25}{99}=7\frac{25}{99}$

Відповідь: 1) $\frac{1}{3}$; 2) $\frac{5}{33}$; 3) $3\frac{1}{9}$; 4) $7\frac{13}{33}$; 5) $\frac{19}{30}$; 6) $7\frac{25}{99}$.

№ 21.17. Запишіть нескінченний періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу:

1) $0,(7)$;
2) $0,(18)$;
3) $5,2222\dots$;
4) $4,424242\dots$;
5) $0,5(4)$;
6) $4,(28)$.

Розв’язання:

Використаємо формулу суми нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $|q|<1$:

$S=\frac{b_1}{1-q}$

1) Подамо дріб у вигляді суми:
$0,(7)=0,7+0,07+0,007+\dots$
Це нескінченна геометрична прогресія, у якій $b_1=0,7$, $q=0,1$:
$S=\frac{0,7}{1-0,1}=\frac{0,7}{0,9}=\frac{7}{9}$
Отже, $0,(7)=\frac{7}{9}$.

2) Подамо дріб у вигляді суми:
$0,(18)=0,18+0,0018+0,000018+\dots$
Це нескінченна геометрична прогресія, у якій $b_1=0,18$, $q=0,01$:
$S=\frac{0,18}{1-0,01}=\frac{0,18}{0,99}=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}$
Отже, $0,(18)=\frac{2}{11}$.

3) Запишемо дріб як суму цілої частини та нескінченного спадного періоду:
$5,2222\dots =5+0,(2)$
Для $0,(2)=0,2+0,02+0,002+\dots$, де $b_1=0,2$, $q=0,1$:
$S=\frac{0,2}{1-0,1}=\frac{0,2}{0,9}=\frac{2}{9}$
Отже, $5,2222\dots =5+\frac{2}{9}=5\frac{2}{9}$.

4) Запишемо дріб як суму:
$4,424242\dots =4+0,(42)$
Для $0,(42)=0,42+0,0042+\dots$, де $b_1=0,42$, $q=0,01$:
$S=\frac{0,42}{1-0,01}=\frac{0,42}{0,99}=\frac{42}{99}=\frac{14}{33}$
Отже, $4,424242\dots =4+\frac{14}{33}=4\frac{14}{33}$.

5) Подамо дріб у вигляді суми:
$0,5(4)=0,5+0,04+0,004+0,0004+\dots$
Знайдемо суму нескінченної геометричної прогресії, починаючи з другого доданка, де $b_1=0,04$, $q=0,1$:
$S=\frac{0,04}{1-0,1}=\frac{0,04}{0,9}=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}$
Додамо перший доданок:
$0,5(4)=\frac{1}{2}+\frac{2}{45}=\frac{45+4}{90}=\frac{49}{90}$.

6) Запишемо дріб як суму цілої частини та дробового періоду:
$4,(28)=4+0,(28)$
Для $0,(28)=0,28+0,0028+\dots$, де $b_1=0,28$, $q=0,01$:
$S=\frac{0,28}{1-0,01}=\frac{0,28}{0,99}=\frac{28}{99}$
Отже, $4,(28)=4+\frac{28}{99}=4\frac{28}{99}$.

Відповідь:

1) $\frac{7}{9}$;

2) $\frac{2}{11}$;

3) $5\frac{2}{9}$;

4) $4\frac{14}{33}$;

5) $\frac{49}{90}$;

6) $4\frac{28}{99}$.

№ 21.18. Послідовність $(b_n)$ — нескінченна геометрична прогресія. Знайдіть:
1) $b_5$, якщо $S=13,5$, $q=\frac{1}{3}$;
2) $b_2$, якщо $S=49$, $b_1=56$.

Розв’язання:

1) Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $|q|<1$ обчислюється за формулою:
$S=\frac{b_1}{1-q}$

Підставимо відомі значення та знайдемо $b_1$:
$13,5=\frac{b_1}{1-\frac{1}{3}}$
$13,5=\frac{b_1}{\frac{2}{3}}$
$b_1=13,5\cdot \frac{2}{3}$
$b_1=\frac{27}{2}\cdot \frac{2}{3}$
$b_1=9$

Знайдемо $b_5$ за формулою $n$-го члена $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$:
$b_5=9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{5-1}$
$b_5=9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^4$
$b_5=9\cdot \frac{1}{81}$
$b_5=\frac{1}{9}$

2) Використаємо формулу суми нескінченної геометричної прогресії:
$S=\frac{b_1}{1-q}$

Підставимо відомі значення та знайдемо $q$:
$49=\frac{56}{1-q}$
$1-q=\frac{56}{49}$
$1-q=\frac{8}{7}$
$q=1-\frac{8}{7}$
$q=-\frac{1}{7}$

Оскільки $|q|=\left|-\frac{1}{7}\right|<1$, прогресія є нескінченно спадною.

Знайдемо $b_2$:
$b_2=b_1\cdot q$
$b_2=56\cdot \left(-\frac{1}{7}\right)$
$b_2=-8$

Відповідь: 1) $\frac{1}{9}$; 2) $-8$.

№ 21.19. Послідовність $(b_n)$ — нескінченна геометрична прогресія. Знайдіть:

1) $b_3$, якщо $S=25$, $b_1=20$;

2) $b_4$, якщо $S=81$, $q=-\frac{2}{3}$.

Розв’язання:

Суму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $|q|<1$ знаходять за формулою:
$S=\frac{b_1}{1-q}$

1) Знайдемо знаменник прогресії $q$:
$25=\frac{20}{1-q}$
$1-q=\frac{20}{25}$
$1-q=0,8$
$q=1-0,8$
$q=0,2$

Знайдемо $b_3$ за формулою $n$-го члена $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$:
$b_3=b_1\cdot q^2$
$b_3=20\cdot (0,2{)}^2$
$b_3=20\cdot 0,04$
$b_3=0,8$

2) Знайдемо перший член прогресії $b_1$:
$81=\frac{b_1}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}$
$81=\frac{b_1}{1+\frac{2}{3}}$
$81=\frac{b_1}{\frac{5}{3}}$
$b_1=81\cdot \frac{5}{3}$
$b_1=27\cdot 5$
$b_1=135$

Знайдемо $b_4$:
$b_4=b_1\cdot q^3$
$b_4=135\cdot {\left(-\frac{2}{3}\right)}^3$
$b_4=135\cdot \left(-\frac{8}{27}\right)$
$b_4=-5\cdot 8$
$b_4=-40$

Відповідь: 1) $0,8$; 2) $-40$.

№ 21.20. Другий член нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q$, де $|q|<1$, дорівнює $24$, а сума прогресії дорівнює $108$. Знайдіть четвертий член цієї прогресії.

Розв’язання:

Нехай $b_1$ — перший член геометричної прогресії, $q$ — її знаменник.

За умовою:
$b_2=b_{1}q=24$

Сума нескінченної геометричної прогресії:
$S=\frac{b_1}{1-q}=108$

Складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}{b}_{1}q=24\\ \frac{b_1}{1-q}=108\end{array}$

З першого рівняння виразимо $b_1$:

$b_1=\frac{24}{q}$

Підставимо у друге рівняння:

$\frac{24}{q(1-q)}=108$

$24=108q(1-q)$

$108q^2-108q+24=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $12$:

$9q^2-9q+2=0$

$D=(-9{)}^2-4\cdot 9\cdot 2=81-72=9$

$q_1=\frac{9+3}{18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

$q_2=\frac{9-3}{18}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$

Обидва значення задовольняють умову $|q|<1$.

Розглянемо два випадки:

1) Якщо $q=\frac{2}{3}$, то:
$b_1=\frac{24}{\frac{2}{3}}=24\cdot \frac{3}{2}=36$
$b_4=b_1{q}^3=36\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^3=36\cdot \frac{8}{27}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$

2) Якщо $q=\frac{1}{3}$, то:
$b_1=\frac{24}{\frac{1}{3}}=24\cdot 3=72$
$b_4=b_1{q}^3=72\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3=72\cdot \frac{1}{27}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$

Відповідь: $10\frac{2}{3}$ або $2\frac{2}{3}$.

№ 21.21. Другий член нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q$, де $|q|<1$, дорівнює $36$, а сума прогресії дорівнює $144$. Знайдіть п’ятий член цієї прогресії.

Розв’язання:
За формулами $n$-го члена та суми нескінченної геометричної прогресії:

$\{\begin{array}{l}{b}_2=b_{1}q=36\\ S=\frac{b_1}{1-q}=144\end{array}$

З першого рівняння виразимо $b_1$:

$b_1=\frac{36}{q}$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:

$\frac{\frac{36}{q}}{1-q}=144$

$\frac{36}{q(1-q)}=144$

$q(1-q)=\frac{36}{144}$

$q-q^2=\frac{1}{4}$

$4q-4q^2=1$

$4q^2-4q+1=0$

$(2q-1{)}^2=0$

$2q-1=0$

$q=0,5$

Значення $q=0,5$ задовольняє умову $|q|<1$.

Знайдемо перший член прогресії:

$b_1=\frac{36}{0,5}=72$

Знайдемо п’ятий член прогресії:

$b_5=b_1\cdot q^4$

$b_5=72\cdot (0,5{)}^4=72\cdot 0,0625=4,5$

Відповідь: $4,5$.

№ 21.22. У рівносторонній трикутник вписано другий трикутник, вершинами якого є середини сторін першого. У другий трикутник у той самий спосіб вписано третій, і далі в такій само послідовності. Знайдіть суму периметрів усіх трикутників, якщо сторона першого дорівнює $a$ см.

Розв’язання:

Периметр першого рівностороннього трикутника зі стороною $a$:
$P_1=3a\text{ (см)}$

Сторони кожного наступного трикутника є середніми лініями попереднього трикутника, тому довжина сторони кожного наступного трикутника вдвічі менша за сторону попереднього:
$a_2=\frac{a}{2}$
$P_2=3\cdot \frac{a}{2}=\frac{3a}{2}\text{ (см)}$

$a_3=\frac{a}{4}$
$P_3=3\cdot \frac{a}{4}=\frac{3a}{4}\text{ (см)}$

Послідовність периметрів трикутників $(P_n)$ є нескінченною геометричною прогресією, у якій:
$b_1=3a$
$q=\frac{P_2}{P_1}=\frac{\frac{3a}{2}}{3a}=\frac{1}{2}$

Оскільки $|q|=\left|\frac{1}{2}\right|<1$, знайдемо суму цієї прогресії:

$S=\frac{b_1}{1-q}$

$S=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3a}{\frac{1}{2}}=6a\text{ (см)}$

Відповідь: $6a\text{ см.}$

№ 21.23. У квадрат, сторона якого дорівнює $c$ см, вписано другий квадрат так, що його вершини є серединами сторін першого. У другий квадрат у той самий спосіб вписано третій квадрат, і далі в такій само послідовності. Знайдіть суму площ усіх таких квадратів.

Розв’язання:

Площа першого квадрата зі стороною $c\text{ см}$:
$S_1=c^2{\text{ (см}}^2\text{)}$

Вершини другого квадрата ділять сторони першого навпіл на відрізки завдовжки $\frac{c}{2}\text{ см}$.
За теоремою Піфагора сторона другого квадрата дорівнює:
$a_2=\sqrt{{\left(\frac{c}{2}\right)}^2+{\left(\frac{c}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{c^2}{4}+\frac{c^2}{4}}=\sqrt{\frac{c^2}{2}}=\frac{c}{\sqrt{2}}\text{ (см)}$

Тоді площа другого квадрата:
$S_2=a_2^2={\left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{c^2}{2}{\text{ (см}}^2\text{)}$

Оскільки кожен наступний квадрат будується аналогічно, площа кожного нового квадрата у $2$ рази менша за площу попереднього.
Послідовність площ утворює нескінченну спадну геометричну прогресію $(b_n)$, у якій:
$b_1=c^2$
$q=\frac{S_2}{S_1}=\frac{\frac{c^2}{2}}{c^2}=\frac{1}{2}$ (оскільки $|q|<1$)

Знайдемо суму площ усіх таких квадратів:

$S=\frac{b_1}{1-q}$

$S=\frac{c^2}{1-\frac{1}{2}}=\frac{c^2}{\frac{1}{2}}=2c^2{\text{ (см}}^2\text{)}$

Відповідь: $2c^2{\text{ см}}^2$.