20. Сума n перших членів геометричної прогресії

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 20.1. Знайдіть $S_{5}$ — суму п’яти перших членів геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо $b_{1} = 1$ , $q = 2$ .

Розв’язання:

За формулою суми $n$ перших членів геометричної прогресії:

$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$

Для $n = 5$ :

$S_{5} = \frac{1 \cdot ( 2 ^{5} - 1 )}{2 - 1} = \frac{32 - 1}{1} = 31$

Відповідь: 31.

№ 20.2. Знайдіть $S_{4}$ — суму чотирьох перших членів геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо $b_{1} = 1$ , $q = 3$ .

Розв’язання:

За формулою суми $n$ перших членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$

Підставимо значення $n = 4$ , $b_{1} = 1$ , $q = 3$ :
$S_{4} = \frac{1 \cdot ( 3 ^{4} - 1 )}{3 - 1} = \frac{81 - 1}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Відповідь: 40.

№ 20.3. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо:
1) $b_{1} = 81$ , $q = \frac{1}{3}$ ;
2) $b_{1} = - 17$ , $q = - 2$ ;
3) $b_{1} = 32$ , $q = - \frac{1}{2}$ ;
4) $b_{1} = 52$ , $q = 2$ .

Розв’язання:

Використаємо формулу суми $n$ перших членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ або $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ .

1) $b_{1} = 81$ , $q = \frac{1}{3}$ , $n = 6$ :
$S_{6} = \frac{81 \cdot ( 1 - ( \frac{1}{3} ) ^{6} )}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{81 \cdot ( 1 - \frac{1}{729} )}{\frac{2}{3}} = \frac{81 \cdot \frac{728}{729}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{728}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{728}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{364}{3} = 121 \frac{1}{3}$

2) $b_{1} = - 17$ , $q = - 2$ , $n = 6$ :
$S_{6} = \frac{- 17 \cdot ( 1 - ( - 2 ) ^{6} )}{1 - ( - 2 )} = \frac{- 17 \cdot ( 1 - 64 )}{1 + 2} = \frac{- 17 \cdot ( - 63 )}{3} = - 17 \cdot (- 21) = 357$

3) $b_{1} = 32$ , $q = - \frac{1}{2}$ , $n = 6$ :
$S_{6} = \frac{32 \cdot ( 1 - ( - \frac{1}{2} ) ^{6} )}{1 - ( - \frac{1}{2} )} = \frac{32 \cdot ( 1 - \frac{1}{64} )}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{32 \cdot \frac{63}{64}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{63}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{63}{2} \cdot \frac{2}{3} = 21$

4) $b_{1} = 52$ , $q = 2$ , $n = 6$ :
$S_{6} = \frac{5 2 \cdot (( 2 ) ^{6} - 1 )}{2 - 1} = \frac{5 2 \cdot ( 8 - 1 )}{2 - 1} = \frac{35 2}{2 - 1}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу:
$S_{6} = \frac{35 2 ( 2 + 1 )}{( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )} = \frac{35 \cdot 2 + 35 2}{( 2 ) ^{2} - 1 ^{2}} = \frac{70 + 35 2}{2 - 1} = 70 + 352$

Відповідь: 1) $121 \frac{1}{3}$ ; 2) $357$ ; 3) $21$ ; 4) $70 + 352$ .

№ 20.4. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо:
1) $b_{1} = 32$ , $q = \frac{1}{2}$ ;
2) $b_{1} = 5$ , $q = - 2$ ;
3) $b_{1} = 27$ , $q = - \frac{1}{3}$ ;
4) $b_{1} = 23$ , $q = 3$ .

Розв’язання:

Формула суми $n$ перших членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$

Для $n = 5$ :

1) $b_{1} = 32$ , $q = \frac{1}{2}$

$S_{5} = \frac{32 \cdot ( 1 - ( \frac{1}{2} ) ^{5} )}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{32 \cdot ( 1 - \frac{1}{32} )}{\frac{1}{2}} = \frac{32 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{31}{\frac{1}{2}} = 31 \cdot 2 = 62$

2) $b_{1} = 5$ , $q = - 2$

$S_{5} = \frac{5 \cdot ( 1 - ( - 2 ) ^{5} )}{1 - ( - 2 )} = \frac{5 \cdot ( 1 - ( - 32 ))}{1 + 2} = \frac{5 \cdot ( 1 + 32 )}{3} = \frac{5 \cdot 33}{3} = 5 \cdot 11 = 55$

3) $b_{1} = 27$ , $q = - \frac{1}{3}$

$S_{5} = \frac{27 \cdot ( 1 - ( - \frac{1}{3} ) ^{5} )}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{27 \cdot ( 1 - ( - \frac{1}{243} ) )}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{27 \cdot ( 1 + \frac{1}{243} )}{\frac{4}{3}} = \frac{27 \cdot \frac{244}{243}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{244}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{244}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{61}{3} = 20 \frac{1}{3}$

4) $b_{1} = 23$ , $q = 3$

$S_{5} = \frac{2 3 \cdot (( 3 ) ^{5} - 1 )}{3 - 1} = \frac{2 3 \cdot ( 9 3 - 1 )}{3 - 1} = \frac{2 3 \cdot 9 3 - 2 3}{3 - 1} = \frac{54 - 2 3}{3 - 1}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу:

$S_{5} = \frac{( 54 - 2 3 ) ( 3 + 1 )}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = \frac{54 3 + 54 - 2 \cdot 3 - 2 3}{( 3 ) ^{2} - 1 ^{2}} = \frac{48 + 52 3}{3 - 1} = \frac{48 + 52 3}{2} = 24 + 263$

Відповідь:

1) $62$ ;

2) $55$ ;

3) $20 \frac{1}{3}$ ;

4) $24 + 263$ .

№ 20.5. Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії:
1) $16$ ; $- 8$ ; $4$ ; …;
2) $1, 5$ ; $3$ ; $6$ ; …;
3) $4$ ; $4^{2}$ ; $4^{3}$ ; …;
4) $3$ ; $3$ ; $33$ ; ….

Розв’язання:

Суму $n$ перших членів геометричної прогресії обчислюють за формулою:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$

1) $b_{1} = 16$ , $b_{2} = - 8$ .
Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{- 8}{16} = - \frac{1}{2}$

Обчислимо суму чотирьох перших членів:
$S_{4} = \frac{16 \cdot ( 1 - ( - \frac{1}{2} ) ^{4} )}{1 - ( - \frac{1}{2} )} = \frac{16 \cdot ( 1 - \frac{1}{16} )}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{16 \cdot \frac{15}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{15}{\frac{3}{2}} = 15 \cdot \frac{2}{3} = 10$

2) $b_{1} = 1, 5$ , $b_{2} = 3$ .
Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{3}{1 , 5} = 2$

Обчислимо суму чотирьох перших членів:
$S_{4} = \frac{1 , 5 \cdot ( 2 ^{4} - 1 )}{2 - 1} = \frac{1 , 5 \cdot ( 16 - 1 )}{1} = 1, 5 \cdot 15 = 22, 5$

3) $b_{1} = 4$ , $b_{2} = 4^{2} = 16$ .
Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{4 ^{2}}{4} = 4$

Обчислимо суму чотирьох перших членів:
$S_{4} = \frac{4 \cdot ( 4 ^{4} - 1 )}{4 - 1} = \frac{4 \cdot ( 256 - 1 )}{3} = \frac{4 \cdot 255}{3} = 4 \cdot 85 = 340$

4) $b_{1} = 3$ , $b_{2} = 3$ .
Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{3}{3} = 3$

Обчислимо суму чотирьох перших членів:
$S_{4} = \frac{3 \cdot (( 3 ) ^{4} - 1 )}{3 - 1} = \frac{3 \cdot ( 9 - 1 )}{3 - 1} = \frac{8 3}{3 - 1}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу:
$\frac{8 3 ( 3 + 1 )}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = \frac{8 ( 3 + 3 )}{( 3 ) ^{2} - 1 ^{2}} = \frac{8 ( 3 + 3 )}{3 - 1} = \frac{8 ( 3 + 3 )}{2} = 4 (3 + 3) = 12 + 43$

Відповідь:

1) $10$ ;

2) $22, 5$ ;

3) $340$ ;

4) $12 + 43$ .

№ 20.6. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії:
1) $1, 5$ ; $6$ ; $24$ ; …;
2) $- 4$ ; $2$ ; $- 1$ ; …;
3) $2$ ; $2^{2}$ ; $2^{3}$ ; …;
4) $2$ ; $2$ ; $1$ ; ….

Розв’язання:

Формула суми $n$ перших членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$

1) $b_{1} = 1, 5$ , $b_{2} = 6$ .
Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{6}{1 , 5} = 4$ .

Обчислимо суму шести перших членів:
$S_{6} = \frac{1 , 5 \cdot ( 4 ^{6} - 1 )}{4 - 1}$
$S_{6} = \frac{1 , 5 \cdot ( 4096 - 1 )}{3}$
$S_{6} = \frac{1 , 5 \cdot 4095}{3}$
$S_{6} = 0, 5 \cdot 4095 = 2047, 5$

2) $b_{1} = - 4$ , $b_{2} = 2$ .
Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2}$ .

Обчислимо суму шести перших членів:
$S_{6} = \frac{- 4 \cdot ( 1 - ( - \frac{1}{2} ) ^{6} )}{1 - ( - \frac{1}{2} )}$
$S_{6} = \frac{- 4 \cdot ( 1 - \frac{1}{64} )}{1 + \frac{1}{2}}$
$S_{6} = \frac{- 4 \cdot \frac{63}{64}}{\frac{3}{2}}$
$S_{6} = - \frac{63}{16} \cdot \frac{2}{3} = - \frac{21}{8} = - 2 \frac{5}{8}$

3) $b_{1} = 2$ , $b_{2} = 2^{2}$ .
Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{2 ^{2}}{2} = 2$ .

Обчислимо суму шести перших членів:
$S_{6} = \frac{2 \cdot ( 2 ^{6} - 1 )}{2 - 1}$
$S_{6} = \frac{2 \cdot ( 64 - 1 )}{1}$
$S_{6} = 2 \cdot 63 = 126$

4) $b_{1} = 2$ , $b_{2} = 2$ .
Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$ .

Обчислимо суму шести перших членів:
$S_{6} = \frac{2 \cdot ( 1 - ( \frac{1}{2} ) ^{6} )}{1 - \frac{1}{2}}$
$S_{6} = \frac{2 \cdot ( 1 - \frac{1}{8} )}{\frac{2 - 1}{2}}$
$S_{6} = \frac{2 \cdot \frac{7}{8} \cdot 2}{2 - 1}$
$S_{6} = \frac{7 2}{4 ( 2 - 1 )}$
Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу:
$S_{6} = \frac{7 2 ( 2 + 1 )}{4 ( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )}$
$S_{6} = \frac{7 ( 2 + 2 )}{4 ( 2 - 1 )} = \frac{7 ( 2 + 2 )}{4} = 3, 5 + 1, 752$

Відповідь: 1) $2047, 5$ ; 2) $- 2 \frac{5}{8}$ ; 3) $126$ ; 4) $\frac{7 ( 2 + 2 )}{4}$ .

№ 20.7. Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть:

1) $S_{7}$ , якщо $b_{1} = 2$ , $q = - 3$ ;

2) $S_{8}$ , якщо $b_{1} = - 1$ , $q = 4$ .

Розв’язання:
Використаємо формулу суми $n$ перших членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$

1) $b_{1} = 2$ , $q = - 3$ , $n = 7$ :
$S_{7} = \frac{2 \cdot ( 1 - ( - 3 ) ^{7} )}{1 - ( - 3 )} = \frac{2 \cdot ( 1 - ( - 2187 ))}{4} = \frac{2 \cdot 2188}{4} = 1094$

2) $b_{1} = - 1$ , $q = 4$ , $n = 8$ :
$S_{8} = \frac{- 1 \cdot ( 1 - 4 ^{8} )}{1 - 4} = \frac{- 1 \cdot ( 1 - 65536 )}{- 3} = \frac{- 1 \cdot ( - 65535 )}{- 3} = \frac{65535}{- 3} = - 21845$

Відповідь: 1) $1094$ ; 2) $- 21845$ .

№ 20.8. Використовуючи формулу (2) із цього параграфа, обчисліть суму чисел, що є послідовними членами геометричної прогресії:

1) $1 + 3 + 9 + \dots + 729$ ;

2) $\frac{1}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \dots + 2$ .

Розв’язання:

Формула (2): $S_{n} = \frac{b _{n} q - b _{1}}{q - 1}$ .

1) $b_{1} = 1$ , $b_{2} = 3$ , $b_{n} = 729$
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{3}{1} = 3$
$S_{n} = \frac{729 \cdot 3 - 1}{3 - 1} = \frac{2187 - 1}{2} = \frac{2186}{2} = 1093$

2) $b_{1} = \frac{1}{16}$ , $b_{2} = \frac{1}{8}$ , $b_{n} = 2$
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{1}{8} : \frac{1}{16} = \frac{1}{8} \cdot 16 = 2$
$S_{n} = \frac{2 \cdot 2 - \frac{1}{16}}{2 - 1} = \frac{4 - \frac{1}{16}}{1} = 3 \frac{15}{16}$

Відповідь: 1) $1093$ ; 2) $3 \frac{15}{16}$ .

№ 20.9. Використовуючи формулу (2) із цього параграфа, обчисліть суму чисел, що є послідовними членами геометричної прогресії:

1) $2 + 4 + 8 + \dots + 128$ ;

2) $\frac{1}{5} + 1 + 5 + \dots + 625$ .

Розв’язання:
Формула для обчислення суми:
$S_{n} = \frac{b _{n} q - b _{1}}{q - 1}$

1) $b_{1} = 2$ , $b_{2} = 4$ , $b_{n} = 128$ .
Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{4}{2} = 2$

Обчислимо суму:
$S_{n} = \frac{128 \cdot 2 - 2}{2 - 1} = \frac{256 - 2}{1} = 254$

2) $b_{1} = \frac{1}{5}$ , $b_{2} = 1$ , $b_{n} = 625$ .
Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5$

Обчислимо суму:
$S_{n} = \frac{625 \cdot 5 - \frac{1}{5}}{5 - 1} = \frac{3125 - 0 , 2}{4} = \frac{3124 , 8}{4} = 781, 2$

Відповідь: 1) 254; 2) $781, 2$ .

№ 20.10. На п’яти ділянках висаджено смородину. На першій ділянці 16 кущів, а на кожній наступній у 1,5 раза більше, ніж на попередній. Скільки всього кущів смородини висаджено на п’яти ділянках?

Розв’язання:
Кількість кущів на ділянках утворює геометричну прогресію $(b_{n})$ , де:
$b_{1} = 16$
$q = 1, 5 = \frac{3}{2}$
$n = 5$

Знайдемо загальну кількість висаджених кущів за формулою суми $n$ перших членів геометричної прогресії $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ :

$S_{5} = \frac{16 \cdot ( ( \frac{3}{2} ) ^{5} - 1 )}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{16 \cdot ( \frac{243}{32} - 1 )}{\frac{1}{2}} = \frac{16 \cdot \frac{211}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{211}{2}}{\frac{1}{2}} = 211$

Відповідь: $211 кущів .$

№ 20.11. Одна зі сторін чотирикутника дорівнює $12, 5$ см, а кожна наступна — у $1, 2$ раза довша за попередню. Знайдіть периметр чотирикутника.

Розв’язання:
Довжини сторін чотирикутника утворюють геометричну прогресію $(b_{n})$ , у якій:
$b_{1} = 12, 5 см$
$q = 1, 2$
$n = 4$

Периметр чотирикутника дорівнює сумі чотирьох його сторін, тобто $P = S_{4}$ .

За формулою суми $n$ перших членів геометричної прогресії:

$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$

$S_{4} = \frac{12 , 5 \cdot ( 1 , 2 ^{4} - 1 )}{1 , 2 - 1}$

$S_{4} = \frac{12 , 5 \cdot ( 2 , 0736 - 1 )}{0 , 2}$

$S_{4} = \frac{12 , 5 \cdot 1 , 0736}{0 , 2}$

$S_{4} = 12, 5 \cdot 5, 368 = 67, 1 (см)$

Відповідь: $67, 1 см .$

№ 20.12. Аріна розмістила на YouTube цікавий ролик. Першого дня ролик отримав 40 лайків. Протягом наступних 3 днів кількість лайків щодня збільшувалася у $2, 5$ раза, порівняно з попереднім днем.

1) Скільки лайків отримав ролик на четвертий день?

2) Скільки всього лайків ролик Аріни зібрав за перші чотири дні?

Розв’язання:

Кількість лайків щодня утворює геометричну прогресію $(b_{n})$ , у якій:
$b_{1} = 40$
$q = 2, 5$

1) Знайдемо кількість лайків на четвертий день ( $b_{4}$ ):
$b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$
$b_{4} = 40 \cdot 2, 5^{3} = 40 \cdot 15, 625 = 625$

2) Знайдемо загальну кількість лайків за перші чотири дні ( $S_{4}$ ):
$S_{4} = \frac{b _{1} ( q ^{4} - 1 )}{q - 1}$
$S_{4} = \frac{40 ( 2 , 5 ^{4} - 1 )}{2 , 5 - 1} = \frac{40 ( 39 , 0625 - 1 )}{1 , 5} = \frac{40 \cdot 38 , 0625}{1 , 5} = \frac{1522 , 5}{1 , 5} = 1015$

Відповідь: 1) 625 лайків; 2) 1015 лайків.

№ 20.13. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії $(b_{n})$ , у якої:
1) $b_{2} = 6$ , $q = 2$ ;
2) $b_{3} = 8$ , $q = - 4$ .

Розв’язання:

Формула суми $n$ перших членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$

1) Знайдемо перший член прогресії $b_{1}$ :
$b_{1} = \frac{b _{2}}{q}$
$b_{1} = \frac{6}{2} = 3$

Обчислимо суму шести перших членів:
$S_{6} = \frac{3 \cdot ( 2 ^{6} - 1 )}{2 - 1} = \frac{3 \cdot ( 64 - 1 )}{1} = 3 \cdot 63 = 189$

2) Знайдемо перший член прогресії $b_{1}$ :
$b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$
$b_{1} = \frac{b _{3}}{q ^{2}}$
$b_{1} = \frac{8}{( - 4 ) ^{2}} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = 0, 5$

Обчислимо суму шести перших членів:
$S_{6} = \frac{0 , 5 \cdot ( ( - 4 ) ^{6} - 1 )}{- 4 - 1} = \frac{0 , 5 \cdot ( 4096 - 1 )}{- 5} = \frac{0 , 5 \cdot 4095}{- 5} = \frac{2047 , 5}{- 5} = - 409, 5$

Відповідь: 1) 189; 2) $- 409, 5$ .

№ 20.14. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії $(b_{n})$ , у якої:
1) $b_{2} = 8$ , $q = 4$ ;
2) $b_{3} = 27$ , $q = - 3$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо перший член прогресії:
$b_{1} = \frac{b _{2}}{q}$
$b_{1} = \frac{8}{4} = 2$

Знайдемо суму п’яти перших членів прогресії:
$S_{5} = \frac{b _{1} ( q ^{5} - 1 )}{q - 1}$
$S_{5} = \frac{2 \cdot ( 4 ^{5} - 1 )}{4 - 1} = \frac{2 \cdot ( 1024 - 1 )}{3} = \frac{2 \cdot 1023}{3} = 2 \cdot 341 = 682$

2) Знайдемо перший член прогресії:
$b_{1} = \frac{b _{3}}{q ^{2}}$
$b_{1} = \frac{27}{( - 3 ) ^{2}} = \frac{27}{9} = 3$

Знайдемо суму п’яти перших членів прогресії:
$S_{5} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{5} )}{1 - q}$
$S_{5} = \frac{3 \cdot ( 1 - ( - 3 ) ^{5} )}{1 - ( - 3 )} = \frac{3 \cdot ( 1 - ( - 243 ))}{4} = \frac{3 \cdot 244}{4} = 3 \cdot 61 = 183$

Відповідь: 1) 682; 2) 183.

№ 20.15. Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть:
1) $S_{8}$ , якщо $b_{3} = \frac{1}{4}$ , $b_{4} = \frac{1}{8}$ ;
2) $S_{5}$ , якщо $b_{1} = 5$ , $b_{3} = 45$ , $q > 0$ ;
3) $S_{4}$ , якщо $b_{2} = 8$ , $b_{4} = 2$ , $q < 0$ ;
4) $S_{7}$ , якщо $b_{1} = 5$ , $b_{4} = 40$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо знаменник прогресії $q$ :
$q = \frac{b _{4}}{b _{3}}$
$q = \frac{1}{8} : \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{1} = \frac{1}{2}$

Знайдемо перший член $b_{1}$ :
$b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$
$b_{1} = \frac{b _{3}}{q ^{2}}$
$b_{1} = \frac{1}{4} : (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} : \frac{1}{4} = 1$

Обчислимо суму восьми перших членів $S_{8}$ :
$S_{8} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{8} )}{1 - q}$
$S_{8} = \frac{1 \cdot ( 1 - ( \frac{1}{2} ) ^{8} )}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{256}}{\frac{1}{2}} = \frac{255}{256} \cdot 2 = \frac{255}{128} = 1 \frac{127}{128}$

2) Виразимо $b_{3}$ через $b_{1}$ і $q$ :
$b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$
$q^{2} = \frac{b _{3}}{b _{1}}$
$q^{2} = \frac{45}{5} = 9$

Оскільки за умовою $q > 0$ :
$q = 3$

Обчислимо суму п’яти перших членів $S_{5}$ :
$S_{5} = \frac{b _{1} ( q ^{5} - 1 )}{q - 1}$
$S_{5} = \frac{5 \cdot ( 3 ^{5} - 1 )}{3 - 1} = \frac{5 \cdot ( 243 - 1 )}{2} = \frac{5 \cdot 242}{2} = 5 \cdot 121 = 605$

3) Виразимо $b_{4}$ через $b_{2}$ і $q$ :
$b_{4} = b_{2} \cdot q^{2}$
$q^{2} = \frac{b _{4}}{b _{2}}$
$q^{2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оскільки за умовою $q < 0$ :
$q = - \frac{1}{2}$

Знайдемо перший член $b_{1}$ :
$b_{1} = \frac{b _{2}}{q}$
$b_{1} = 8 : (- \frac{1}{2}) = 8 \cdot (- 2) = - 16$

Обчислимо суму чотирьох перших членів $S_{4}$ :
$S_{4} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{4} )}{1 - q}$
$S_{4} = \frac{- 16 \cdot ( 1 - ( - \frac{1}{2} ) ^{4} )}{1 - ( - \frac{1}{2} )} = \frac{- 16 \cdot ( 1 - \frac{1}{16} )}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{- 16 \cdot \frac{15}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{- 15}{\frac{3}{2}} = - 15 \cdot \frac{2}{3} = - 10$

4) Виразимо $b_{4}$ через $b_{1}$ і $q$ :
$b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$
$q^{3} = \frac{b _{4}}{b _{1}}$
$q^{3} = \frac{40}{5} = 8$
$q = 2$

Обчислимо суму семи перших членів $S_{7}$ :
$S_{7} = \frac{b _{1} ( q ^{7} - 1 )}{q - 1}$
$S_{7} = \frac{5 \cdot ( 2 ^{7} - 1 )}{2 - 1} = \frac{5 \cdot ( 128 - 1 )}{1} = 5 \cdot 127 = 635$

Відповідь: 1) $1 \frac{127}{128}$ ; 2) $605$ ; 3) $- 10$ ; 4) $635$ .

№ 20.16. Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть:
1) $S_{7}$ , якщо $b_{2} = \frac{1}{3}$ , $b_{3} = \frac{1}{9}$ ;
2) $S_{8}$ , якщо $b_{1} = 9$ , $b_{3} = 36$ , $q > 0$ ;
3) $S_{4}$ , якщо $b_{2} = 25$ , $b_{4} = 1$ , $q < 0$ ;
4) $S_{6}$ , якщо $b_{1} = 1$ , $b_{4} = 27$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо знаменник $q$ та перший член прогресії $b_{1}$ :

$q = \frac{b _{3}}{b _{2}} = \frac{1}{9} : \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{1}{3}$

$b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = \frac{1}{3} : \frac{1}{3} = 1$

Обчислимо суму семи перших членів:

$S_{7} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{7} )}{1 - q} = \frac{1 \cdot ( 1 - ( \frac{1}{3} ) ^{7} )}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \frac{1}{2187}}{\frac{2}{3}} = \frac{2186}{2187} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1093}{729} = 1 \frac{364}{729}$

2) Знайдемо знаменник прогресії:

$b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$

$q^{2} = \frac{b _{3}}{b _{1}} = \frac{36}{9} = 4$

Оскільки $q > 0$ :

$q = 2$

Обчислимо суму восьми перших членів:

$S_{8} = \frac{b _{1} ( q ^{8} - 1 )}{q - 1} = \frac{9 \cdot ( 2 ^{8} - 1 )}{2 - 1} = \frac{9 \cdot ( 256 - 1 )}{1} = 9 \cdot 255 = 2295$

3) Знайдемо знаменник $q$ та перший член $b_{1}$ :

$b_{4} = b_{2} \cdot q^{2}$

$q^{2} = \frac{b _{4}}{b _{2}} = \frac{1}{25}$

Оскільки $q < 0$ :

$q = - \frac{1}{5}$

$b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = 25 : (- \frac{1}{5}) = 25 \cdot (- 5) = - 125$

Обчислимо суму чотирьох перших членів:

$S_{4} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{4} )}{1 - q} = \frac{- 125 \cdot ( 1 - ( - \frac{1}{5} ) ^{4} )}{1 - ( - \frac{1}{5} )} = \frac{- 125 \cdot ( 1 - \frac{1}{625} )}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{- 125 \cdot \frac{624}{625}}{\frac{6}{5}} = \frac{- \frac{624}{5}}{\frac{6}{5}} = - \frac{624}{6} = - 104$

4) Знайдемо знаменник прогресії:

$b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$

$q^{3} = \frac{b _{4}}{b _{1}} = \frac{27}{1} = 27$

$q = 3$

Обчислимо суму шести перших членів:

$S_{6} = \frac{b _{1} ( q ^{6} - 1 )}{q - 1} = \frac{1 \cdot ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1} = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364$

Відповідь: 1) $1 \frac{364}{729}$ ; 2) 2295; 3) -104; 4) 364.

№ 20.17. Знайдіть перший член геометричної прогресії $(b_{n})$ , у якої:
1) $q = 2$ , $S_{6} = 315$ ;
2) $q = - \frac{2}{3}$ , $S_{4} = 13$ .

Розв’язання:

1) За формулою суми перших $n$ членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$
$S_{6} = \frac{b _{1} ( 2 ^{6} - 1 )}{2 - 1}$
$315 = \frac{b _{1} ( 64 - 1 )}{1}$
$315 = 63 b_{1}$
$b_{1} = \frac{315}{63}$
$b_{1} = 5$

2) За формулою суми перших $n$ членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$
$S_{4} = \frac{b _{1} ( 1 - ( - \frac{2}{3} ) ^{4} )}{1 - ( - \frac{2}{3} )}$
$13 = \frac{b _{1} ( 1 - \frac{16}{81} )}{1 + \frac{2}{3}}$
$13 = \frac{b _{1} \cdot \frac{65}{81}}{\frac{5}{3}}$
$13 = b_{1} \cdot \frac{65}{81} \cdot \frac{3}{5}$
$13 = b_{1} \cdot \frac{13}{27}$
$b_{1} = 13 \cdot \frac{27}{13}$
$b_{1} = 27$

Відповідь: 1) $5$ ; 2) $27$ .

№ 20.18. Знайдіть перший член геометричної прогресії $(b_{n})$ , у якої:

1) $q = - 2$ , $S_{6} = - 63$ ;

2) $q = \frac{1}{3}$ , $S_{5} = 121$ .

Розв’язання:

1) Використаємо формулу суми $n$ перших членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$
$S_{6} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{6} )}{1 - q}$
$- 63 = \frac{b _{1} ( 1 - ( - 2 ) ^{6} )}{1 - ( - 2 )}$
$- 63 = \frac{b _{1} ( 1 - 64 )}{1 + 2}$
$- 63 = \frac{b _{1} \cdot ( - 63 )}{3}$
$- 63 = - 21 b_{1}$
$b_{1} = \frac{- 63}{- 21}$
$b_{1} = 3$

2) Використаємо формулу суми $n$ перших членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$
$S_{5} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{5} )}{1 - q}$
$121 = \frac{b _{1} ( 1 - ( \frac{1}{3} ) ^{5} )}{1 - \frac{1}{3}}$
$121 = \frac{b _{1} ( 1 - \frac{1}{243} )}{\frac{2}{3}}$
$121 = \frac{b _{1} \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$
$121 = b_{1} \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2}$
$121 = b_{1} \cdot \frac{121}{81}$
$b_{1} = 121 \cdot \frac{81}{121}$
$b_{1} = 81$

Відповідь: 1) 3; 2) 81.

№ 20.19. Скоротіть дріб:

1) $\frac{1 + x ^{2} + x ^{4} + x ^{6} + x ^{8}}{x ^{10} - 1}$

2) $\frac{1 - x + x ^{2} - x ^{3} + x ^{4} - x ^{5}}{x ^{6} - 1}$

Розв’язання:

1) Чисельник дробу $1 + x^{2} + x^{4} + x^{6} + x^{8}$ є сумою перших п’яти членів геометричної прогресії, у якій $b_{1} = 1$ , $q = x^{2}$ , $n = 5$ .

За формулою суми $n$ перших членів геометричної прогресії $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ :

$1 + x^{2} + x^{4} + x^{6} + x^{8} = \frac{1 \cdot (( x ^{2} ) ^{5} - 1 )}{x ^{2} - 1} = \frac{x ^{10} - 1}{x ^{2} - 1}$

Підставимо отриманий вираз у початковий дріб:

$\frac{1 + x ^{2} + x ^{4} + x ^{6} + x ^{8}}{x ^{10} - 1} = \frac{\frac{x ^{10} - 1}{x ^{2} - 1}}{x ^{10} - 1} = \frac{x ^{10} - 1}{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{10} - 1 )} = \frac{1}{x ^{2} - 1}$

2) Чисельник дробу $1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} - x^{5}$ є сумою перших шести членів геометричної прогресії, у якій $b_{1} = 1$ , $q = - x$ , $n = 6$ .

За формулою суми $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ :

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} - x^{5} = \frac{1 \cdot (( - x ) ^{6} - 1 )}{- x - 1} = \frac{x ^{6} - 1}{- ( x + 1 )} = - \frac{x ^{6} - 1}{x + 1}$

Підставимо отриманий вираз у початковий дріб:

$\frac{1 - x + x ^{2} - x ^{3} + x ^{4} - x ^{5}}{x ^{6} - 1} = \frac{- \frac{x ^{6} - 1}{x + 1}}{x ^{6} - 1} = - \frac{x ^{6} - 1}{( x + 1 ) ( x ^{6} - 1 )} = - \frac{1}{x + 1}$

Відповідь: 1) $\frac{1}{x ^{2} - 1}$ ; 2) $- \frac{1}{x + 1}$ .

№ 20.20. Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія, $b_{2} = 125$ , $b_{4} = 5$ . Знайдіть $S_{5}$ .

Розв’язання:
За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{4} = b_{2} \cdot q^{2}$
$5 = 125 \cdot q^{2}$
$q^{2} = \frac{5}{125}$
$q^{2} = \frac{1}{25}$
$q = \frac{1}{5}$ або $q = - \frac{1}{5}$

1) Якщо $q = \frac{1}{5}$ :
$b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = \frac{125}{\frac{1}{5}} = 125 \cdot 5 = 625$

$S_{5} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{5} )}{1 - q} = \frac{625 \cdot ( 1 - ( \frac{1}{5} ) ^{5} )}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{625 \cdot ( 1 - \frac{1}{3125} )}{\frac{4}{5}} = \frac{625 \cdot \frac{3124}{3125}}{\frac{4}{5}} = \frac{3124}{5} \cdot \frac{5}{4} = 781$

2) Якщо $q = - \frac{1}{5}$ :
$b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = \frac{125}{- \frac{1}{5}} = - 625$

$S_{5} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{5} )}{1 - q} = \frac{- 625 \cdot ( 1 - ( - \frac{1}{5} ) ^{5} )}{1 - ( - \frac{1}{5} )} = \frac{- 625 \cdot ( 1 + \frac{1}{3125} )}{\frac{6}{5}} = \frac{- 625 \cdot \frac{3126}{3125}}{\frac{6}{5}} = - \frac{3126}{5} \cdot \frac{5}{6} = - 521$

Відповідь: $781$ або $- 521$ .

№ 20.21. Послідовність $(c_{n})$ — геометрична прогресія, $c_{3} = 27$ , $c_{5} = 3$ . Знайдіть $S_{6}$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$c_{5} = c_{3} \cdot q^{2}$
$3 = 27 \cdot q^{2}$
$q^{2} = \frac{3}{27}$
$q^{2} = \frac{1}{9}$
$q = \frac{1}{3}$ або $q = - \frac{1}{3}$

Знайдемо перший член прогресії $c_{1}$ :
$c_{1} = \frac{c _{3}}{q ^{2}} = \frac{27}{\frac{1}{9}} = 27 \cdot 9 = 243$

1) Якщо $q = \frac{1}{3}$ :

$S_{6} = \frac{c _{1} ( 1 - q ^{6} )}{1 - q} = \frac{243 \cdot ( 1 - ( \frac{1}{3} ) ^{6} )}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{243 \cdot ( 1 - \frac{1}{729} )}{\frac{2}{3}} = \frac{243 \cdot \frac{728}{729}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{728}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{728}{2} = 364$

2) Якщо $q = - \frac{1}{3}$ :

$S_{6} = \frac{c _{1} ( 1 - q ^{6} )}{1 - q} = \frac{243 \cdot ( 1 - ( - \frac{1}{3} ) ^{6} )}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{243 \cdot ( 1 - \frac{1}{729} )}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{243 \cdot \frac{728}{729}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{728}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{728}{4} = 182$

Відповідь: $364$ або $182$ .

№ 20.22. Один чоловік запропонував багатію таку угоду: чоловік щодня протягом місяця сплачуватиме багатію по $100000$ карбованців, а багатій сплачуватиме цьому чоловікові: першого дня — $1$ копійку, другого — $2$ копійки, третього — $4$ копійки, четвертого — $8$ копійок і далі в той самий спосіб. Угода діятиме рівно $30$ днів. Багатій погодився. Хто з них виграє за такої угоди? Візьміть до уваги, що $1$ карбованець = $100$ копійок.

Розв’язання:

1) Знайдемо суму, яку чоловік сплатить багатію за $30$ днів:

$30 \cdot 100000 = 3000000 (крб .)$

2) Виплати багатія утворюють геометричну прогресію $(b_{n})$ , де:
$b_{1} = 1 (коп .)$
$q = 2$
$n = 30$

За формулою суми $n$ перших членів геометричної прогресії:

$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$

$S_{30} = \frac{1 \cdot ( 2 ^{30} - 1 )}{2 - 1} = 2^{30} - 1$

Обчислимо значення $2^{30}$ :
$2^{10} = 1024$
$2^{30} = (2^{10})^{3} = 102 4^{3} = 1073741824$

Тоді сума виплат становить:

$S_{30} = 1073741824 - 1 = 1073741823 (коп .)$

Переведемо копійки в карбованці ( $1 крб . = 100 коп .$ ):

$1073741823 коп . = 10737418, 23 крб .$

3) Порівняємо суми:
Багатій отримав $3000000 крб .$ , а заплатив $10737418, 23 крб .$
Оскільки $10737418, 23 крб . > 3000000 крб .$ , виграє чоловік (на суму $7737418, 23 крб .$ ).

Відповідь: виграє чоловік.

№ 20.23. Послідовність $(c_{n})$ — геометрична прогресія, $c_{5} - c_{3} = 144$ , $c_{4} - c_{2} = 48$ . Знайдіть $S_{6}$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії $c_{n} = c_{1} q^{n - 1}$ .
Складемо систему рівнянь:

${c_{5} - c_{3} = 144 c_{4} - c_{2} = 48$

${c_{1} q^{4} - c_{1} q^{2} = 144 c_{1} q^{3} - c_{1} q = 48$

${c_{1} q^{2} (q^{2} - 1) = 144 c_{1} q (q^{2} - 1) = 48$

Поділимо почленно перше рівняння системи на друге:

$\frac{c _{1} q ^{2} ( q ^{2} - 1 )}{c _{1} q ( q ^{2} - 1 )} = \frac{144}{48}$

$q = 3$

Підставимо знайдене значення $q = 3$ у друге рівняння системи:

$c_{1} \cdot 3 \cdot (3^{2} - 1) = 48$

$c_{1} \cdot 3 \cdot 8 = 48$

$24 c_{1} = 48$

$c_{1} = 2$

Обчислимо суму перших шести членів прогресії за формулою $S_{n} = \frac{c _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ :

$S_{6} = \frac{2 ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1}$

$S_{6} = \frac{2 ( 729 - 1 )}{2} = 728$

Відповідь: $728$ .

№ 20.24. Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія, $b_{6} - b_{4} = 48$ , $b_{3} - b_{5} = 24$ . Знайдіть $S_{5}$ .

Розв’язання:
За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ виразимо дані члени через $b_{1}$ та $q$ :

${b_{6} - b_{4} = 48 b_{3} - b_{5} = 24$

${b_{1} q^{5} - b_{1} q^{3} = 48 b_{1} q^{2} - b_{1} q^{4} = 24$

Винесемо спільні множники за дужки:

${b_{1} q^{3} (q^{2} - 1) = 48 - b_{1} q^{2} (q^{2} - 1) = 24$

Поділимо почленно перше рівняння системи на друге:

$\frac{b _{1} q ^{3} ( q ^{2} - 1 )}{- b _{1} q ^{2} ( q ^{2} - 1 )} = \frac{48}{24}$

$- q = 2$
$q = - 2$

Підставимо значення $q = - 2$ у друге рівняння:

$b_{1} \cdot (- 2)^{2} \cdot (1 - (- 2)^{2}) = 24$
$b_{1} \cdot 4 \cdot (1 - 4) = 24$
$b_{1} \cdot 4 \cdot (- 3) = 24$
$- 12 b_{1} = 24$
$b_{1} = - 2$

Обчислимо суму перших п’яти членів прогресії за формулою $S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ :

$S_{5} = \frac{- 2 \cdot ( 1 - ( - 2 ) ^{5} )}{1 - ( - 2 )} = \frac{- 2 \cdot ( 1 - ( - 32 ))}{1 + 2} = \frac{- 2 \cdot 33}{3} = - 2 \cdot 11 = - 22$

Відповідь: $- 22$ .

№ 20.25. Друзі Марічка та Павло, кожен окремо, зареєстрували ФОП. Марічка першого місяця отримала прибуток $60000 грн$ , а кожного наступного місяця — на $5 %$ більше, ніж попереднього. Павло першого місяця також отримав прибуток $60000 грн$ , а кожного наступного місяця — на $5000 грн$ більше, ніж попереднього.

1) Хто з друзів отримав більший загальний прибуток за пів року; на скільки? (Відповідь округліть до тисяч гривень.)

2) Як зміниться відповідь на перше запитання, якщо в перший місяць кожен із підприємців отримав прибуток $100000 грн$ ?

3) Зробіть висновки.

Розв’язання:

Пів року становить $6 місяців$ , отже, $n = 6$ .

1) Прибуток Марічки щомісяця збільшується на $5 %$ , тому її щомісячний прибуток утворює геометричну прогресію, у якій:
$b_{1} = 60000$
$q = 1 + 0, 05 = 1, 05$

Знайдемо загальний прибуток Марічки за $6 місяців$ :

$S_{6} = \frac{b _{1} ( q ^{6} - 1 )}{q - 1}$

$S_{6} = \frac{60 000 \cdot ( 1 , 0 5 ^{6} - 1 )}{1 , 05 - 1} = \frac{60 000 \cdot ( 1 , 3401 - 1 )}{0 , 05} = \frac{60 000 \cdot 0 , 3401}{0 , 05} \approx 408120 (грн)$

Округлимо до тисяч гривень:
$S_{6} \approx 408000 грн$ .

Прибуток Павла кожного місяця збільшується на сталу суму $5000 грн$ , тому його щомісячний прибуток утворює арифметичну прогресію, у якій:
$a_{1} = 60000$
$d = 5000$

Знайдемо загальний прибуток Павла за $6 місяців$ :

$S_{6} = \frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n$

$S_{6} = \frac{2 \cdot 60 000 + 5000 \cdot ( 6 - 1 )}{2} \cdot 6 = (120000 + 25000) \cdot 3 = 145000 \cdot 3 = 435000 (грн)$

Порівняємо прибутки:

$435000 - 408000 = 27000 (грн)$

Отже, Павло отримав більший прибуток на $27000 грн$ .

2) Нехай початковий прибуток кожного становить $100000 грн$ .

Для Марічки ( $b_{1} = 100000$ , $q = 1, 05$ ):

$S_{6} = \frac{100 000 \cdot ( 1 , 0 5 ^{6} - 1 )}{1 , 05 - 1} = \frac{100 000 \cdot 0 , 3401}{0 , 05} \approx 680200 (грн)$

Округлимо до тисяч гривень:
$S_{6} \approx 680000 грн$ .

Для Павла ( $a_{1} = 100000$ , $d = 5000$ ):

$S_{6} = \frac{2 \cdot 100 000 + 5000 \cdot 5}{2} \cdot 6 = (200000 + 25000) \cdot 3 = 225000 \cdot 3 = 675000 (грн)$

Порівняємо прибутки:

$680000 - 675000 = 5000 (грн)$

Отже, більший прибуток отримала Марічка на $5000 грн$ .

3) При відносно невеликому початковому значенні арифметична прогресія зі значною різницею ( $d = 5000$ ) дає більший приріст за короткий термін. Проте зі збільшенням базового значення геометрична прогресія (відсоткове зростання) стає значно вигіднішою.

Відповідь:

1) Павло, на $27000 грн$ ;

2) Марічка, на $5000 грн$ ;

3) зі зростанням початкового капіталу геометрична прогресія стає вигіднішою за арифметичну.

№ 20.26. Знайдіть кількість членів геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо:
1) $b_{1} = 15$ , $q = 2$ , $S_{n} = 945$ ;
2) $b_{1} = 2$ , $b_{n} = 128$ , $S_{n} = 254$ ;
3) $q = 3$ , $b_{n} = 486$ , $S_{n} = 726$ .

Розв’язання:

1) За формулою суми $n$ перших членів геометричної прогресії $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ :
$945 = \frac{15 ( 2 ^{n} - 1 )}{2 - 1}$
$945 = 15 (2^{n} - 1)$
$2^{n} - 1 = \frac{945}{15}$
$2^{n} - 1 = 63$
$2^{n} = 64$
$2^{n} = 2^{6}$
$n = 6$

2) За формулою суми $S_{n} = \frac{b _{n} q - b _{1}}{q - 1}$ :
$254 = \frac{128 q - 2}{q - 1}$
$254 (q - 1) = 128 q - 2$
$254 q - 254 = 128 q - 2$
$254 q - 128 q = 254 - 2$
$126 q = 252$
$q = 2$

Знайдемо $n$ за формулою $n$ -го члена $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :
$128 = 2 \cdot 2^{n - 1}$
$64 = 2^{n - 1}$
$2^{6} = 2^{n - 1}$
$n - 1 = 6$
$n = 7$

3) За формулою суми $S_{n} = \frac{b _{n} q - b _{1}}{q - 1}$ :
$726 = \frac{486 \cdot 3 - b _{1}}{3 - 1}$
$726 = \frac{1458 - b _{1}}{2}$
$1458 - b_{1} = 726 \cdot 2$
$1458 - b_{1} = 1452$
$b_{1} = 1458 - 1452$
$b_{1} = 6$

Знайдемо $n$ за формулою $n$ -го члена $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :
$486 = 6 \cdot 3^{n - 1}$
$3^{n - 1} = \frac{486}{6}$
$3^{n - 1} = 81$
$3^{n - 1} = 3^{4}$
$n - 1 = 4$
$n = 5$

Відповідь: 1) 6; 2) 7; 3) 5.

№ 20.27. Розв’яжіть нерівність:

1) $5 (x - 2) \leq x + 26$ ;

2) $2 x^{2} - 3 x - 5 > 0$ .

Розв’язання:

1) $5 (x - 2) \leq x + 26$
$5 x - 10 \leq x + 26$
$5 x - x \leq 26 + 10$
$4 x \leq 36$
$x \leq 9$
$x \in (- \infty; 9]$

2) $2 x^{2} - 3 x - 5 > 0$
Розглянемо функцію $y = 2 x^{2} - 3 x - 5$ .
Знайдемо нулі функції:
$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$
$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49$
$x_{1} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2, 5$
$x_{2} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{- 4}{4} = - 1$

Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору.

Графік до вправи № 20.27 - Алгебра 9 клас

$y > 0$ при $x \in (- \infty; - 1) \cup (2, 5; + \infty)$ .

Відповідь: 1) $(- \infty; 9]$ ; 2) $(- \infty; - 1) \cup (2, 5; + \infty)$ .

№ 20.28. Знайдіть суму всіх від’ємних членів прогресії $- 4, 8$ ; $- 4, 4$ ; $- 4$ ; … .

Розв’язання:

Дана послідовність є арифметичною прогресією, у якій:
$a_{1} = - 4, 8$
$a_{2} = - 4, 4$

Знайдемо різницю прогресії:
$d = a_{2} - a_{1}$
$d = - 4, 4 - (- 4, 8) = 0, 4$

Запишемо формулу $n$ -го члена прогресії:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
$a_{n} = - 4, 8 + (n - 1) \cdot 0, 4$
$a_{n} = - 4, 8 + 0, 4 n - 0, 4$
$a_{n} = 0, 4 n - 5, 2$

Знайдемо номери членів прогресії, які є від’ємними:
$a_{n} < 0$
$0, 4 n - 5, 2 < 0$
$0, 4 n < 5, 2$
$n < \frac{5 , 2}{0 , 4}$
$n < 13$

Оскільки $n \in N$ , то прогресія має 12 від’ємних членів ( $n = 12$ ).

Знайдемо дванадцятий член прогресії:
$a_{12} = - 4, 8 + 11 \cdot 0, 4$
$a_{12} = - 4, 8 + 4, 4$
$a_{12} = - 0, 4$

Обчислимо суму дванадцяти від’ємних членів прогресії:
$S_{12} = \frac{a _{1} + a _{12}}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{- 4 , 8 + ( - 0 , 4 )}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{- 5 , 2}{2} \cdot 12$
$S_{12} = - 2, 6 \cdot 12$
$S_{12} = - 31, 2$

Відповідь: $- 31, 2$ .

№ 20.29. Обчисліть:
$(\frac{7 + 3}{7 - 3} - \frac{7 - 3}{7 + 3})^{2}$

Розв’язання:
Зведемо дроби в дужках до спільного знаменника:

$(\frac{7 + 3}{7 - 3} - \frac{7 - 3}{7 + 3})^{2} = (\frac{( 7 + 3 ) ^{2} - ( 7 - 3 ) ^{2}}{( 7 - 3 ) ( 7 + 3 )})^{2} = (\frac{( 7 + 6 7 + 9 ) - ( 7 - 6 7 + 9 )}{( 7 ) ^{2} - 3 ^{2}})^{2} = (\frac{16 + 6 7 - 16 + 6 7}{7 - 9})^{2} = (\frac{12 7}{- 2})^{2} = (- 67)^{2} = 36 \cdot 7 = 252$

Відповідь: $252$ .

№ 20.30. Вкладниця внесла до банку на два різних рахунки кошти на загальну суму $60000 грн$ . За першим із них банк нараховує $10 %$ річних, а за другим — $7 %$ . Через рік вкладниця отримала $4800 грн$ прибутку. Яку суму коштів вона внесла на кожен з рахунків?

Розв’язання:

Нехай на перший рахунок вкладниця внесла $x грн$ , тоді на другий рахунок — $(60000 - x) грн$ .

Річний прибуток за першим рахунком становить $10 %$ :
$0, 1 x (грн)$

Річний прибуток за другим рахунком становить $7 %$ :
$0, 07 (60000 - x) (грн)$

Загальний прибуток за рік дорівнює $4800 грн$ . Складемо рівняння:

$0, 1 x + 0, 07 (60000 - x) = 4800$

Розв’яжемо отримане рівняння:
$0, 1 x + 4200 - 0, 07 x = 4800$
$0, 03 x = 4800 - 4200$
$0, 03 x = 600$
$x = \frac{600}{0 , 03}$
$x = 20000$

Отже, на перший рахунок було внесено $20000 грн$ .

Знайдемо суму коштів на другому рахунку:
$60000 - 20000 = 40000 (грн)$

Відповідь: $20000 грн$ , $40000 грн$ .

№ 20.31. Доведіть, що значення виразу

$\frac{a - 20}{( a - 5 ) ^{2}} : (\frac{a}{a ^{2} - 25} - \frac{a - 8}{a ^{2} - 10 a + 25})$

є додатним, якщо $a < - 5$ .

Розв’язання:

Спростимо вираз по діях.

1) Виконаємо віднімання дробів у дужках:

$\frac{a}{a ^{2} - 25} - \frac{a - 8}{a ^{2} - 10 a + 25} = \frac{a}{( a - 5 ) ( a + 5 )} - \frac{a - 8}{( a - 5 ) ^{2}} = \frac{a ( a - 5 ) - ( a - 8 ) ( a + 5 )}{( a - 5 ) ^{2} ( a + 5 )} = \frac{a ^{2} - 5 a - ( a ^{2} + 5 a - 8 a - 40 )}{( a - 5 ) ^{2} ( a + 5 )} = \frac{a ^{2} - 5 a - a ^{2} + 3 a + 40}{( a - 5 ) ^{2} ( a + 5 )} = \frac{- 2 a + 40}{( a - 5 ) ^{2} ( a + 5 )} = \frac{- 2 ( a - 20 )}{( a - 5 ) ^{2} ( a + 5 )}$

2) Виконаємо ділення:

$\frac{a - 20}{( a - 5 ) ^{2}} : \frac{- 2 ( a - 20 )}{( a - 5 ) ^{2} ( a + 5 )} = \frac{a - 20}{( a - 5 ) ^{2}} \cdot \frac{( a - 5 ) ^{2} ( a + 5 )}{- 2 ( a - 20 )} = \frac{a + 5}{- 2} = - \frac{a + 5}{2}$

3) Дослідимо знак отриманого виразу при $a < - 5$ :
Якщо $a < - 5$ , то:
$a + 5 < 0$
Тоді:
$\frac{a + 5}{- 2} > 0$

Оскільки чисельник і знаменник дробу від’ємні, значення виразу є додатним при будь-якому $a < - 5$ , що й треба було довести.

№ 20.32. Розв’яжіть систему рівнянь:

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{y}{2 x} - \frac{x}{y} = \frac{1}{2} y^{2} - 5 x y + 2 x^{2} = 32$

Розв’язання:

ОДЗ: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .

Нехай $\frac{y}{x} = t$ , тоді $\frac{x}{y} = \frac{1}{t}$ .

Перше рівняння набуває вигляду:

$\frac{t}{2} - \frac{1}{t} = \frac{1}{2}$

Помножимо обидві частини рівняння на $2 t \neq = 0$ :

$t^{2} - 2 = t$

$t^{2} - t - 2 = 0$

За теоремою Вієта:
$t_{1} = 2$
$t_{2} = - 1$

Розглянемо два випадки:

1) Якщо $t = 2$ , то $\frac{y}{x} = 2$ , звідки $y = 2 x$ .
Підставимо у друге рівняння системи:
$(2 x)^{2} - 5 x \cdot 2 x + 2 x^{2} = 32$
$4 x^{2} - 10 x^{2} + 2 x^{2} = 32$
$- 4 x^{2} = 32$
$x^{2} = - 8$
Рівняння не має дійсних коренів.

2) Якщо $t = - 1$ , то $\frac{y}{x} = - 1$ , звідки $y = - x$ .
Підставимо у друге рівняння системи:
$(- x)^{2} - 5 x \cdot (- x) + 2 x^{2} = 32$
$x^{2} + 5 x^{2} + 2 x^{2} = 32$
$8 x^{2} = 32$
$x^{2} = 4$
$x_{1} = 2$ або $x_{2} = - 2$

Якщо $x = 2$ , то $y = - 2$ .
Якщо $x = - 2$ , то $y = 2$ .

Пари чисел $(2; - 2)$ та $(- 2; 2)$ задовольняють умову $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .

Відповідь: $(2; - 2)$ , $(- 2; 2)$ .

№ 20.33. У трьох салонах мобільного зв’язку однаковий смартфон у кредит продають на різних умовах. Умови кредиту подано в таблиці.

Салон	Ціна смартфона, грн	Початковий внесок (у % від ціни)	Строк кредиту (місяців)	Сума щомісячного платежу, грн
Альфа	5000	15	12	400
Бета	5240	10	6	850
Гамма	4750	20	12	380

Визначте, у якому із салонів придбання смартфона в кредит є найвигіднішим, та обчисліть остаточну суму, у яку обійдеться купівля.

Розв’язання:
Обчислимо остаточну суму вартості смартфона в кожному салоні як суму початкового внеску та щомісячних платежів:

1) Салон «Альфа»:
Початковий внесок:
$5000 \cdot 0, 15 = 750 (грн)$
Сума щомісячних платежів:
$400 \cdot 12 = 4800 (грн)$
Остаточна сума:
$750 + 4800 = 5550 (грн)$

2) Салон «Бета»:
Початковий внесок:
$5240 \cdot 0, 10 = 524 (грн)$
Сума щомісячних платежів:
$850 \cdot 6 = 5100 (грн)$
Остаточна сума:
$524 + 5100 = 5624 (грн)$

3) Салон «Гамма»:
Початковий внесок:
$4750 \cdot 0, 20 = 950 (грн)$
Сума щомісячних платежів:
$380 \cdot 12 = 4560 (грн)$
Остаточна сума:
$950 + 4560 = 5510 (грн)$

Порівняємо отримані суми:
$5510 < 5550 < 5624$

Найменша сума витрат — у салоні «Гамма».

Відповідь: у салоні «Гамма», $5510 грн .$

№ 20.34. З пункту $A$ до пункту $B$ виїхав мотоцикліст. Через 2 год в тому самому напрямку виїхав легковик, який прибув до пункту $B$ одночасно з мотоциклістом. Якби мотоцикліст і легковик одночасно виїхали назустріч один одному з пунктів $A$ і $B$ , то вони зустрілися б через 1 год 20 хв. За який час кожен з них долає шлях від $A$ до $B$ ?

Розв’язання:

Нехай весь шлях між пунктами $A$ і $B$ дорівнює $1$ .

Нехай мотоцикліст долає шлях за $x год$ , тоді його швидкість становить $\frac{1}{x}$ шляху за годину.
Нехай легковик долає шлях за $y год$ , тоді його швидкість становить $\frac{1}{y}$ шляху за годину ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

Легковик виїхав на $2 год$ пізніше за мотоцикліста і прибув одночасно з ним, тобто мотоцикліст витратив на весь шлях на $2 год$ більше:

$x - y = 2$

Переведемо час руху до зустрічі в години:

$1 год 20 хв = 1 \frac{20}{60} год = 1 \frac{1}{3} год = \frac{4}{3} год$

За $\frac{4}{3} год$ спільного руху назустріч вони подолали всю відстань:

$\frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

$⎩ ⎨ ⎧ x - y = 2, \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}$

Виразимо $x$ з першого рівняння:

$x = y + 2$

Підставимо у друге рівняння:

$\frac{1}{y + 2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}$

$\frac{y + y + 2}{y ( y + 2 )} = \frac{3}{4}$

$\frac{2 y + 2}{y ^{2} + 2 y} = \frac{3}{4}$

$3 (y^{2} + 2 y) = 4 (2 y + 2)$

$3 y^{2} + 6 y = 8 y + 8$

$3 y^{2} - 2 y - 8 = 0$

Знайдемо корені квадратного рівняння:

$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8) = 4 + 96 = 100$

$y_{1} = \frac{2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$y_{2} = \frac{2 - 10}{6} = - \frac{8}{6} = - \frac{4}{3} < 0 (не задовольняє умову)$

Отже, $y = 2$ .

Знайдемо $x$ :

$x = 2 + 2 = 4$

Таким чином, мотоцикліст долає шлях від $A$ до $B$ за $4 год$ , а легковик — за $2 год$ .

Відповідь: мотоцикліст — за $4 год$ , легковик — за $2 год .$

20. Сума n перших членів геометричної прогресії

Теги статті:

До уроку