2. Основні властивості числових нерівностей

Зміст

Сформулюйте й доведіть властивості числових нерівностей та наслідки з них.

До основних властивостей числових нерівностей належать такі твердження:

1) Властивість 1. Якщо $a>b$, то $b<a$; якщо $a<b$, то $b>a$.
Доведення: Оскільки $a>b$, то різниця $a-b>0$. Тоді $-(a-b)<0$, але $-(a-b)=b-a$, тому $b-a<0$. Отже, $b<a$.

2) Властивість 2. Якщо $a>b$ і $b>c$, то $a>c$.
Доведення: За умовою $a-b>0$ і $b-c>0$. Сума двох додатних чисел $a-b$ та $b-c$ також є додатним числом: $(a-b)+(b-c)=a-c>0$. Отже, $a>c$.

3) Властивість 3. Якщо $a>b$ і $p$ — будь-яке число, то $a+p>b+p$.
Доведення: Розглянемо різницю $(a+p)-(b+p)=a+p-b-p=a-b$. Оскільки $a>b$, то $a-b>0$. Отже, $a+p>b+p$.

Наслідок: Якщо деякий доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то одержимо правильну нерівність.

4) Властивість 4. Якщо $a>b$ і $p>0$, то $ap>bp$; якщо $a>b$ і $p<0$, то $ap<bp$.
Доведення: Розглянемо різницю $ap-bp=p(a-b)$. Оскільки $a>b$, то $a-b>0$. Якщо $p>0$, то $p(a-b)>0$, тому $ap>bp$. Якщо $p<0$, то $p(a-b)<0$, тому $ap<bp$.

Наслідок: Якщо $ab>0$ (числа одного знака) і $a>b$, то $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.

Наведіть приклади подвійних числових нерівностей.

Прикладами подвійних числових нерівностей є записи:

1) $2<x<5$ (читається: $x$ більше за 2, але менше від 5);

2) $-1\le y<3$ ($y$ більше або дорівнює $-1$, але менше від 3);

3) $10\le a\le 12$ ($a$ більше або дорівнює 10, але менше або дорівнює 12).

Сформулюйте властивості подвійних числових нерівностей.

Для подвійних числових нерівностей характерні такі властивості:

1) Якщо до всіх частин правильної подвійної нерівності додати одне й те саме число $p$, то одержимо правильну подвійну нерівність: $a+p<b+p<c+p$.

2) Якщо всі частини правильної подвійної нерівності помножити на одне й те саме додатне число $p$, то одержимо правильну подвійну нерівність: $ap<bp<cp$.

3) Якщо всі частини правильної подвійної нерівності помножити на одне й те саме від’ємне число $q$, то одержимо правильну подвійну нерівність, змінивши знаки нерівності на протилежні: $cq<bq<aq$.

4) Якщо $a,b,c$ — додатні числа і $a<b<c$, то для чисел, обернених до них, справджується нерівність: $\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.1. Запишіть правильну нерівність, яку отримаємо, якщо:

1) до обох частин нерівності $-2<5$ додамо $-5$:
$-7<0$;

2) від обох частин нерівності $7>3$ віднімемо $1$:
$6>2$;

3) обидві частини нерівності $-2<9$ помножимо на $3$:
$-6<27$;

4) обидві частини нерівності $-5>-10$ помножимо на $-2$:
$10<20$;

5) обидві частини нерівності $8>4$ поділимо на $2$:
$4>2$;

6) обидві частини нерівності $3<18$ поділимо на $-3$:
$-1>-6$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.2. Запишіть правильну нерівність, яку отримаємо, якщо: 1) до обох частин нерівності $7>5$ додамо $8$; 2) від обох частин нерівності $0<8$ віднімемо $6$; 3) обидві частини нерівності $12>4$ помножимо на $3$; на $-1$; 4) обидві частини нерівності $15<18$ поділимо на $3$; на $-3$.

Розв’язання:

1) Додавши $8$ до обох частин нерівності $7>5$, отримаємо:
$7+8>5+8$;
$15>13$.

2) Віднявши $6$ від обох частин нерівності $0<8$, отримаємо:
$0-6<8-6$;
$-6<2$.

3) Помноживши обидві частини нерівності $12>4$ на $3$, отримаємо:
$12\cdot 3>4\cdot 3$;
$36>12$.

Помноживши обидві частини нерівності $12>4$ на $-1$ та змінивши знак нерівності на протилежний, отримаємо:
$12\cdot (-1)<4\cdot (-1)$;
$-12<-4$.

4) Поділивши обидві частини нерівності $15<18$ на $3$, отримаємо:
$15:3<18:3$;
$5<6$.

Поділивши обидві частини нерівності $15<18$ на $-3$ та змінивши знак нерівності на протилежний, отримаємо:
$15:(-3)>18:(-3)$;
$-5>-6$.

2.3. (Усно.) Порівняйте $x$ і $y$, якщо:

1) $x<5$, $5<y$;

2) $x>2$, $2>y$.

Розв’язання:

1) Оскільки $x<5$ та $5<y$, то за властивістю транзитивності $x<y$.

2) Оскільки $x>2$ та $2>y$, то за властивістю транзитивності $x>y$.

Відповідь:

1) $x<y$;

2) $x>y$.

2.4. Покажіть на координатній прямій розташування точок, що відповідають числам $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, якщо: $a>b$, $b>c$, $d<c$, $a<e$.

Розв’язання:

На основі заданих нерівностей встановимо взаємне розміщення чисел у порядку зростання:

1) З нерівностей $a>b$ та $b>c$ випливає, що $c<b<a$;

2) Враховуючи, що $d<c$, маємо: $d<c<b<a$;

3) Враховуючи, що $a<e$, отримуємо подвійну нерівність: $d<c<b<a<e$.

Отже, на координатній прямій точки розташовуються зліва направо у порядку зростання відповідних чисел: $d$, $c$, $b$, $a$, $e$.

Відповідь: точки на координатній прямій позначаються зліва направо в порядку $d,c,b,a,e$.

2.5. Відомо, що $m>n$, $p<n$, $t>m$. Порівняйте: 1) $p$ і $m$; 2) $p$ і $t$; 3) $n$ і $t$.

Розв’язання:

Запишемо всі відомі відношення в один ланцюжок нерівностей:
$p<n<m<t$

1) Порівняння $p$ і $m$:
Оскільки $p<n$ і $n<m$, то за властивістю транзитивності $p<m$.

2) Порівняння $p$ і $t$:
Оскільки $p<n$ і $n<t$ (або $p<m$ і $m<t$), то $p<t$.

3) Порівняння $n$ і $t$:
Оскільки $n<m$ і $m<t$, то $n<t$.

Відповідь: 1) $p<m$; 2) $p<t$; 3) $n<t$.

2.6. Порівняйте число $a$ з нулем, якщо:

1) $a>b$, $b\ge 1$;

2) $a<b$, $b<-2$.

Розв’язання:

1) Якщо $a>b$ та $b\ge 1$, то за властивістю транзитивності $a>1$. Оскільки $1>0$, то $a>0$.

Відповідь: $a>0$.

2) Якщо $a<b$ та $b<-2$, то за властивістю транзитивності $a<-2$. Оскільки $-2<0$, то $a<0$.

Відповідь: $a<0$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.7. Порівняйте число $x$ з нулем, якщо:
1) $x<y$, $y\le -3$;
2) $x>y$, $y>5$.

Розв’язання:

1) Оскільки за умовою $x<y$ та $y\le -3$, а $-3<0$, то $y<0$. Відповідно, якщо $x$ менше за від’ємне число $y$, то $x<0$.

2) Оскільки за умовою $x>y$ та $y>5$, а $5>0$, то $y>0$. Відповідно, якщо $x$ більше за додатне число $y$, то $x>0$.

Відповідь:

1) $x<0$;

2) $x>0$.

№ 2.8. Відомо, що $x>y$. Яким знаком ($>$ чи $<$) треба замінити «зірочку», щоб утворилася правильна нерівність:

1) $x+2\ast y+2$;

2) $x-3\ast y-3$;

3) $1,8x\ast 1,8y$;

4) $-x\ast -y$;

5) $-2,7x\ast -2,7y$;

6) $\frac{x}{3}\ast \frac{y}{3}$?

Розв’язання:

1) $x+2>y+2$;

2) $x-3>y-3$;

3) $1,8x>1,8y$;

4) $-x<-y$;

5) $-2,7x<-2,7y$;

6) $\frac{x}{3}>\frac{y}{3}$.

Відповідь:

1) $>$;

2) $>$;

3) $>$;

4) $<$;

5) $<$;

6) $>$.

2.9. Дано: $a<b$. Порівняйте: 1) $a-7$ і $b-7$; 2) $a+3$ і $b+3$; 3) $1,9a$ і $1,9b$; 4) $-a$ і $-b$; 5) $-0,8a$ і $-0,8b$; 6) $\frac{a}{5}$ і $\frac{b}{5}$.

Розв’язання:

1) $a-7<b-7$, оскільки при відніманні від обох частин правильної нерівності одного й того самого числа знак нерівності не змінюється.

2) $a+3<b+3$, оскільки при додаванні до обох частин правильної нерівності одного й того самого числа знак нерівності не змінюється.

3) $1,9a<1,9b$, оскільки при множенні обох частин нерівності на одне й те саме додатне число знак нерівності зберігається.

4) $-a>-b$, оскільки при множенні обох частин нерівності на $-1$ знак нерівності змінюється на протилежний.

5) $-0,8a>-0,8b$, оскільки при множенні обох частин нерівності на одне й те саме від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

6) $\frac{a}{5}<\frac{b}{5}$, оскільки при діленні обох частин нерівності на одне й те саме додатне число знак нерівності зберігається.

2.10. Відомо, що $1<p<2$. Оцініть значення виразу:

1) $p+3$;

2) $p-4$;

3) $12p$;

4) $\frac{p}{2}$;

5) $-p$;

6) $-3p$.

Розв’язання:

1) Додамо до всіх частин нерівності число $3$:
$1+3<p+3<2+3$
$4<p+3<5$

2) Віднімемо від усіх частин нерівності число $4$:
$1-4<p-4<2-4$
$-3<p-4<-2$

3) Помножимо всі частини нерівності на $12$:
$1\cdot 12<12p<2\cdot 12$
$12<12p<24$

4) Поділимо всі частини нерівності на $2$:
$\frac{1}{2}<\frac{p}{2}<\frac{2}{2}$
$0,5<\frac{p}{2}<1$

5) Помножимо всі частини нерівності на $-1$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$-1>-p>-2$
$-2<-p<-1$

6) Помножимо всі частини нерівності на $-3$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$1\cdot (-3)>-3p>2\cdot (-3)$
$-3>-3p>-6$
$-6<-3p<-3$

2.11. Відомо, що $2<m<10$. Оцініть значення виразу: 1) $m+1$; 2) $m-2$; 3) $3m$; 4) $\frac{m}{5}$; 5) $-m$; 6) $-7m$.

Розв’язання:

1) Додамо до всіх частин нерівності число $1$:
$2+1<m+1<10+1$
$3<m+1<11$

2) Віднімемо від усіх частин нерівності число $2$:
$2-2<m-2<10-2$
$0<m-2<8$

3) Помножимо всі частини нерівності на $3$:
$2\cdot 3<3m<10\cdot 3$
$6<3m<30$

4) Поділимо всі частини нерівності на $5$:
$\frac{2}{5}<\frac{m}{5}<\frac{10}{5}$
$0,4<\frac{m}{5}<2$

5) Помножимо всі частини нерівності на $-1$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$-2>-m>-10$
$-10<-m<-2$

6) Помножимо всі частини нерівності на $-7$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$2\cdot (-7)>-7m>10\cdot (-7)$
$-14>-7m>-70$
$-70<-7m<-14$

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.12. Порівняйте числа:

1) $\frac{1}{a}$ і $\frac{1}{b}$, якщо $a>0$, $b>0$ і $a<b$;

2) $\frac{1}{m}$ і $\frac{1}{n}$, якщо $m>n$, $m$ і $n$ — додатні числа.

Розв’язання:

1) Оскільки $a$ та $b$ є додатними числами ($a>0$, $b>0$) і $a<b$, то за наслідком із властивостей числових нерівностей при переході до обернених чисел знак нерівності змінюється на протилежний, отже, $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$.

2) Оскільки $m$ та $n$ є додатними числами ($m>0$, $n>0$) і $m>n$, то за наслідком із властивостей числових нерівностей при переході до обернених чисел знак нерівності змінюється на протилежний, отже, $\frac{1}{m}<\frac{1}{n}$.

Відповідь:

1) $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$;

2) $\frac{1}{m}<\frac{1}{n}$.

2.13. Порівняйте числа:
1) $\frac{1}{x}$ і $\frac{1}{5}$, якщо $x>5$;
2) $\frac{1}{b}$ і $\frac{1}{2}$, якщо $0<b<2$.

Розв’язання:

1) Оскільки $x>5$ і обидва числа є додатними, то за властивістю числових нерівностей для обернених величин:
$\frac{1}{x}<\frac{1}{5}$.

2) Оскільки $0<b<2$, обидва числа $b$ та $2$ є додатними, тому при переході до обернених величин знак нерівності змінюється на протилежний:
$\frac{1}{b}>\frac{1}{2}$.

Відповідь:

1) $\frac{1}{x}<\frac{1}{5}$;

2) $\frac{1}{b}>\frac{1}{2}$.

2.14. Порівняйте числа:

1) $\frac{1}{a}$ і $\frac{1}{9}$, якщо $0<a<9$;

2) $\frac{1}{c}$ і $\frac{1}{3}$, якщо $c>3$.

Розв’язання:

1) Оскільки $0<a<9$, числа $a$ та $9$ є додатними, отже, за властивістю нерівностей: $\frac{1}{a}>\frac{1}{9}$.

2) Оскільки $c>3>0$, числа $c$ та $3$ є додатними, отже, за властивістю нерівностей: $\frac{1}{c}<\frac{1}{3}$.

Відповідь:

1) $\frac{1}{a}>\frac{1}{9}$;

2) $\frac{1}{c}<\frac{1}{3}$.

2.15. Оцініть значення виразу $\frac{1}{a}$, якщо $10<a<20$.

Розв’язання:

Всі частини подвійної нерівності $10<a<20$ є додатними числами. За властивістю числових нерівностей, якщо $a<b<c$, то для додатних чисел $\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$.

Відповідь: $\frac{1}{20}<\frac{1}{a}<\frac{1}{10}$ (або $0,05<\frac{1}{a}<0,1$).

2.16. Оцініть значення виразу $\frac{1}{x}$, якщо $5<x<10$.

Розв’язання:

Оскільки всі частини нерівності $5<x<10$ є додатними, скористаємося властивістю: якщо $a<x<b$ ($a>0$, $b>0$), то $\frac{1}{b}<\frac{1}{x}<\frac{1}{a}$.

Відповідь: $\frac{1}{10}<\frac{1}{x}<\frac{1}{5}$ (або $0,1<\frac{1}{x}<0,2$).

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.17. Порівняйте число $a$ з нулем, якщо:
1) $a+2>b+2$ і $b\ge 0,3$;
2) $a-3<p-3$ і $p<-0,7$;
3) $7a>7x$ і $x>8$;
4) $-9a<-9b$ і $b>13$.

Розв’язання:

1) $a+2>b+2$

$a>b$

Оскільки $b\ge 0,3$, то $b>0$. Якщо $a>b$ і $b>0$, то $a>0$.

Відповідь: $a>0$.

2) $a-3<p-3$

$a<p$

Оскільки $p<-0,7$, то $p<0$. Якщо $a<p$ і $p<0$, то $a<0$.

Відповідь: $a<0$.

3) $7a>7x$

$a>x$

Оскільки $x>8$, то $x>0$. Якщо $a>x$ і $x>0$, то $a>0$.

Відповідь: $a>0$.

4) $-9a<-9b\mid :(-9)$

$a>b$

Оскільки $b>13$, то $b>0$. Якщо $a>b$ і $b>0$, то $a>0$.

Відповідь: $a>0$.

№ 2.18. Порівняйте число $x$ з нулем, якщо:

1) $x-5<y-5$ і $y<-1$;

2) $x+7>a+7$ і $a\ge 1$;

3) $2x>2p$ і $p>0,17$;

4) $-x>-t$ і $t<-2,5$.

Розв’язання:

1) $x-5<y-5$

$x<y$

Оскільки $y<-1$, а $-1<0$, то $y<0$.

Якщо $x<y$ і $y<0$, то за властивістю транзитивності $x<0$.

Відповідь: $x<0$.

2) $x+7>a+7$

$x>a$

Оскільки $a\ge 1$, а $1>0$, то $a>0$.

Якщо $x>a$ і $a>0$, то $x>0$.

Відповідь: $x>0$.

3) $2x>2p$

$x>p$

Оскільки $p>0,17$, а $0,17>0$, то $p>0$.

Якщо $x>p$ і $p>0$, то $x>0$.

Відповідь: $x>0$.

4) $-x>-t$

$x<t$

Оскільки $t<-2,5$, а $-2,5<0$, то $t<0$.

Якщо $x<t$ і $t<0$, то $x<0$.

Відповідь: $x<0$.

2.19. Чи правильне твердження: 1) якщо $a>5$, то $\frac{1}{a}<\frac{1}{5}$; 2) якщо $a<5$, то $\frac{1}{a}>\frac{1}{5}$?

Розв’язання:

1) Твердження правильне, оскільки для будь-яких додатних чисел $a$ і $b$, якщо $a>b$, то $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$. За умовою $a>5$, отже, обидва числа додатні, тому нерівність $\frac{1}{a}<\frac{1}{5}$ є правильною.

2) Твердження неправильне, оскільки воно не виконується для від’ємних значень $a$ та $a=0$. Наприклад, якщо $a=-1$, то умова $-1<5$ виконується, проте $\frac{1}{-1}=-1$, а $-1<\frac{1}{5}$ (тобто нерівність $\frac{1}{a}>\frac{1}{5}$ не виконується).

Відповідь:

1) так;

2) ні.

2.20. Відомо, що $x>y$. Порівняйте, якщо це можливо:
1) $x+2$ і $y$;
2) $y-3$ і $x$;
3) $-x+1$ і $-y+1$;
4) $-x$ і $-y+8$;
5) $-(x+1)$ і $-y$;
6) $x-1$ і $y+2$.

Розв’язання:

1) $x+2>y$. Оскільки $x>y$ і $x+2>x$, то за властивістю транзитивності $x+2>y$.

2) $y-3<x$. Оскільки $y<x$ і $y-3<y$, то за властивістю транзитивності $y-3<x$.

3) $-x+1<-y+1$. Якщо $x>y$, то за властивістю множення на від’ємне число $-x<-y$. Додавши до обох частин $1$, отримуємо $-x+1<-y+1$.

4) $-x<-y+8$. Якщо $x>y$, то $-x<-y$. Оскільки $-y<-y+8$ (бо $8>0$), то за властивістю транзитивності $-x<-y+8$.

5) $-(x+1)<-y$. Оскільки $-(x+1)=-x-1$, а $-x-1<-x$ і $-x<-y$, то $-(x+1)<-y$.

6) Порівняти неможливо. Результат залежить від конкретних значень змінних: якщо $x=10$, $y=1$, то $9>3$; якщо $x=2$, $y=1$, то $1<3$; якщо $x=3$, $y=0$, то $2=2$.

Відповідь:

1) $x+2>y$;

2) $y-3<x$;

3) $-x+1<-y+1$;

4) $-x<-y+8$;

5) $-(x+1)<-y$;

6) порівняти неможливо.

№ 2.21. Відомо, що $a<b$. Порівняйте, якщо це можливо:

1) $a-2$ і $b$;

2) $b+3$ і $a$;

3) $-a+2$ і $-b+2$;

4) $-b-7$ і $-a$;

5) $-a$ і $-(b+3)$;

6) $a+3$ і $b-1$.

Розв’язання:

1) $a-2<b$. Оскільки $a<b$ і $a-2<a$, то $a-2<b$.

2) $b+3>a$. Оскільки $b>a$ і $b+3>b$, то $b+3>a$.

3) $-a+2>-b+2$. Якщо $a<b$, то $-a>-b$. Додавши до обох частин нерівності число $2$, отримуємо $-a+2>-b+2$.

4) $-b-7<-a$. Якщо $a<b$, то $-b>-a$ (або $-a>-b$). Оскільки $-b-7<-b$, то $-b-7<-a$.

5) $-a>-(b+3)$. Оскільки $-(b+3)=-b-3$, а $-a>-b$ і $-b>-b-3$, то $-a>-(b+3)$.

6) Порівняти неможливо. Результат залежить від конкретних значень змінних:
якщо $a=1$, $b=10$, то $1+3<10-1$ ($4<9$);
якщо $a=1$, $b=2$, то $1+3>2-1$ ($4>1$);
якщо $a=1$, $b=5$, то $1+3=5-1$ ($4=4$).

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.22. Відомо, що $1,2<x<1,5$. Оцініть значення виразу: 1) $2x+0,7$; 2) $5-x$; 3) $\frac{x}{3}-1$; 4) $2-10x$.

Розв’язання:

1) Помножимо всі частини нерівності $1,2<x<1,5$ на $2$:
$1,2\cdot 2<2x<1,5\cdot 2$
$2,4<2x<3$
Додамо до всіх частин $0,7$:
$2,4+0,7<2x+0,7<3+0,7$
$3,1<2x+0,7<3,7$

2) Помножимо всі частини нерівності $1,2<x<1,5$ на $-1$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$-1,5<-x<-1,2$
Додамо до всіх частин $5$:
$5-1,5<5-x<5-1,2$
$3,5<5-x<3,8$

3) Поділимо всі частини нерівності $1,2<x<1,5$ на $3$:
$\frac{1,2}{3}<\frac{x}{3}<\frac{1,5}{3}$
$0,4<\frac{x}{3}<0,5$
Віднімемо від усіх частин $1$:
$0,4-1<\frac{x}{3}-1<0,5-1$
$-0,6<\frac{x}{3}-1<-0,5$

4) Помножимо всі частини нерівності $1,2<x<1,5$ на $-10$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$1,5\cdot (-10)<-10x<1,2\cdot (-10)$
$-15<-10x<-12$
Додамо до всіх частин $2$:
$2-15<2-10x<2-12$
$-13<2-10x<-10$

Відповідь:

1) $3,1<2x+0,7<3,7$;

2) $3,5<5-x<3,8$;

3) $-0,6<\frac{x}{3}-1<-0,5$;

4) $-13<2-10x<-10$.

2.23. Відомо, що $0,8<a<1,2$. Оцініть значення виразу:

1) $3a-0,2$;

2) $4-a$;

3) $\frac{a}{2}+3$;

4) $10-5a$.

Розв’язання:

1) Помножимо нерівність $0,8<a<1,2$ на $3$:
$2,4<3a<3,6$

Віднімемо $0,2$:
$2,4-0,2<3a-0,2<3,6-0,2$
$2,2<3a-0,2<3,4$

2) Помножимо нерівність $0,8<a<1,2$ на $-1$:
$-1,2<-a<-0,8$

Додамо $4$:
$4-1,2<4-a<4-0,8$
$2,8<4-a<3,2$

3) Поділимо нерівність $0,8<a<1,2$ на $2$:
$0,4<\frac{a}{2}<0,6$

Додамо $3$:
$0,4+3<\frac{a}{2}+3<0,6+3$
$3,4<\frac{a}{2}+3<3,6$

4) Помножимо нерівність $0,8<a<1,2$ на $-5$:
$1,2\cdot (-5)<-5a<0,8\cdot (-5)$
$-6<-5a<-4$

Додамо $10$:
$10-6<10-5a<10-4$
$4<10-5a<6$

Відповідь:

1) $2,2<3a-0,2<3,4$;

2) $2,8<4-a<3,2$;

3) $3,4<\frac{a}{2}+3<3,6$;

4) $4<10-5a<6$.

2.24. Оцініть значення виразу:
1) $\frac{20}{a}$, якщо $2<a<5$;
2) $\frac{1}{3a+4}$, якщо $-1<a<4$.

Розв’язання:

1) Для оцінки $\frac{20}{a}$ використаємо властивість: якщо $2<a<5$, то $\frac{1}{5}<\frac{1}{a}<\frac{1}{2}$.

Помножимо всі частини нерівності на $20$:

$20\cdot \frac{1}{5}<\frac{20}{a}<20\cdot \frac{1}{2}$

$4<\frac{20}{a}<10$

2) Оцінимо знаменник $3a+4$:

$-1<a<4\mid \cdot 3$

$-3<3a<12\mid +4$

$1<3a+4<16$

Оскільки всі частини нерівності додатні, застосуємо властивість для обернених чисел:

$\frac{1}{16}<\frac{1}{3a+4}<\frac{1}{1}$

$\frac{1}{16}<\frac{1}{3a+4}<1$

Відповідь:

1) $4<\frac{20}{a}<10$;

2) $\frac{1}{16}<\frac{1}{3a+4}<1$.

2.25. Оцініть значення виразу:

1) $\frac{100}{x}\text{, якщо }5<x<10$;

2) $\frac{1}{2x-3}\text{, якщо }2<x<4$.

Розв’язання:

1) Якщо $5<x<10$, то для обернених величин:
$\frac{1}{10}<\frac{1}{x}<\frac{1}{5}$

Помножимо всі частини нерівності на $100$:
$100\cdot \frac{1}{10}<\frac{100}{x}<100\cdot \frac{1}{5}$

$10<\frac{100}{x}<20$

2) Оцінимо вираз у знаменнику $2x-3$:
$2<x<4$

Помножимо на $2$:
$4<2x<8$

Віднімемо $3$:
$1<2x-3<5$

Знайдемо межі для оберненого виразу:
$\frac{1}{5}<\frac{1}{2x-3}<1$

$0,2<\frac{1}{2x-3}<1$

Відповідь:

1) $10<\frac{100}{x}<20$;

2) $0,2<\frac{1}{2x-3}<1$ (або $\frac{1}{5}<\frac{1}{2x-3}<1$).

2.26. Ділянка землі має форму рівностороннього трикутника, периметр якого дорівнює $P\text{ м}$. Оцініть сторону $a$ (у м), якщо $126<P<150$.

Дано:

• Трикутник рівносторонній
• $P=3a$
• $126<P<150$

Знайти:

• $a-?$

Розв’язання:

Оскільки трикутник рівносторонній, його сторона $a$ обчислюється за формулою:
$a=\frac{P}{3}$

За умовою:
$126<P<150$

Поділимо всі частини нерівності на $3$:
$\frac{126}{3}<\frac{P}{3}<\frac{150}{3}$

$42<a<50$

Відповідь: $42<a<50$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.27. Маса чотирьох однакових мішків із цукром дорівнює $m\text{ кг}$. Оцініть масу $p$ (у кг) одного такого мішка, якщо $192<m<204$.

Відомо:

• $192<m<204$
• $p=\frac{m}{4}$

Оцінити:

• $p-?$

Розв’язання:

Оскільки маса чотирьох мішків становить $m\text{ кг}$, то маса одного мішка $p$ обчислюється шляхом ділення загальної маси на $4$:

$192<m<204$

Поділимо всі частини нерівності на $4$:

$\frac{192}{4}<\frac{m}{4}<\frac{204}{4}$

$48<p<51$

Відповідь: $48<p<51$.

2.28. Порівняйте $x$ і $y$, якщо:
1) $x+2>m>y+3$;
2) $x-2<p<y-3$.

Розв’язання:

1) Оскільки $x+2>m$ і $m>y+3$, то за властивістю транзитивності:
$x+2>y+3$.

Віднімемо від обох частин нерівності число $2$:

$x+2-2>y+3-2$;

$x>y+1$.

Оскільки для будь-якого $y$ виконується $y+1>y$, то за властивістю транзитивності $x>y$.

2) Оскільки $x-2<p$ і $p<y-3$, то за властивістю транзитивності:
$x-2<y-3$.

Додамо до обох частин нерівності число $2$:

$x-2+2<y-3+2$;

$x<y-1$.

Оскільки для будь-якого $y$ виконується $y-1<y$, то за властивістю транзитивності $x<y$.

Відповідь:

1) $x>y$;

2) $x<y$.

2.29. Порівняйте $a$ і $b$, якщо:

1) $a+3<c<b+2$;

2) $a-7>d>b-5$.

Розв’язання:

1) Оскільки $a+3<c$ і $c<b+2$, то за властивістю транзитивності:
$a+3<b+2$.

Віднімемо від обох частин нерівності число $3$:
$a+3-3<b+2-3$;
$a<b-1$.

Оскільки $b-1<b$, то $a<b$.

2) Оскільки $a-7>d$ і $d>b-5$, то за властивістю транзитивності:
$a-7>b-5$.

Додамо до обох частин нерівності число $7$:
$a-7+7>b-5+7$;
$a>b+2$.

Оскільки $b+2>b$, то $a>b$.

Відповідь:

1) $a<b$;

2) $a>b$.

2.30. Відомо, що $1<a<2$. Оцініть значення виразу $\frac{12}{7-3a}$.

Розв’язання:

Послідовно оцінимо складові виразу:

1) Помножимо нерівність $1<a<2$ на $-3$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$-3\cdot 2<-3a<-3\cdot 1$
$-6<-3a<-3$

2) Додамо до всіх частин нерівності число $7$:
$7-6<7-3a<7-3$
$1<7-3a<4$

3) Застосуємо властивість для обернених чисел (якщо $0<x<y$, то $\frac{1}{y}<\frac{1}{x}$):
$\frac{1}{4}<\frac{1}{7-3a}<\frac{1}{1}$
$\frac{1}{4}<\frac{1}{7-3a}<1$

4) Помножимо всі частини нерівності на $12$:
$12\cdot \frac{1}{4}<12\cdot \frac{1}{7-3a}<12\cdot 1$
$3<\frac{12}{7-3a}<12$

Відповідь: $3<\frac{12}{7-3a}<12$.

2.31. Відомо, що $2<b<5$. Оцініть значення виразу $\frac{27}{13-2b}$.

Розв’язання:

1) Помножимо нерівність $2<b<5$ на $-2$, змінивши знаки нерівності на протилежні:

$-2\cdot 5<-2\cdot b<-2\cdot 2$;

$-10<-2b<-4$.

2) Додамо до всіх частин нерівності число $13$:

$13-10<13-2b<13-4$;

$3<13-2b<9$.

3) Оскільки всі частини нерівності є додатними числами, знайдемо обернені до них значення:

$\frac{1}{9}<\frac{1}{13-2b}<\frac{1}{3}$.

4) Помножимо всі частини нерівності на додатне число $27$:

$27\cdot \frac{1}{9}<\frac{27}{13-2b}<27\cdot \frac{1}{3}$;

$3<\frac{27}{13-2b}<9$.

Відповідь: $3<\frac{27}{13-2b}<9$.

2.32. Дано $-2<x<2$. Оцініть значення виразу $\frac{6}{x}$.

Розв’язання:

Оскільки дільник не може дорівнювати нулю ($x\ne 0$), розглянемо два випадки для змінної $x$:

1) Якщо $0<x<2$, то за властивістю числових нерівностей для додатних чисел:
$\frac{1}{x}>\frac{1}{2}$

Помножимо обидві частини нерівності на додатне число $6$:
$6\cdot \frac{1}{x}>6\cdot \frac{1}{2}$

$\frac{6}{x}>3$

2) Якщо $-2<x<0$, то за властивістю числових нерівностей для від’ємних чисел:
$\frac{1}{x}<-\frac{1}{2}$

Помножимо обидві частини нерівності на додатне число $6$:
$6\cdot \frac{1}{x}<6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$\frac{6}{x}<-3$

Отже, $\frac{6}{x}<-3$ або $\frac{6}{x}>3$ (тобто $\frac{6}{x}\in (-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )$).

Відповідь: $\frac{6}{x}<-3$ або $\frac{6}{x}>3$.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

2.33. Виконайте дії:

1) $\frac{x+3y}{3x}-\frac{x+2y}{2x}$

Розв’язання:

Для виконання віднімання зведемо дроби до спільного знаменника $6x$:

$\frac{x+3y}{3x}-\frac{x+2y}{2x}=\frac{2(x+3y)-3(x+2y)}{6x}=\frac{2x+6y-3x-6y}{6x}=\frac{-x}{6x}=-\frac{1}{6}$

Відповідь: $-\frac{1}{6}$

2) $\frac{1}{m(m+n)}+\frac{1}{n(m+n)}$

Розв’язання:

Спільним знаменником для цих дробів є вираз $mn(m+n)$:

$\frac{1}{m(m+n)}+\frac{1}{n(m+n)}=\frac{n+m}{mn(m+n)}=\frac{m+n}{mn(m+n)}=\frac{1}{mn}$

Відповідь: $\frac{1}{mn}$

3) $\frac{3p^2}{p-2}-3p$

Розв’язання:

Представимо цілий вираз у вигляді дробу та зведемо до спільного знаменника $p-2$:

$\frac{3p^2}{p-2}-3p=\frac{3p^2-3p(p-2)}{p-2}=\frac{3p^2-3p^2+6p}{p-2}=\frac{6p}{p-2}$

Відповідь: $\frac{6p}{p-2}$

4) $\frac{a}{a-5}+\frac{5}{5-a}$

Розв’язання:

Змінимо знак у знаменнику другого дробу, щоб отримати спільний знаменник $a-5$:

$\frac{a}{a-5}+\frac{5}{5-a}=\frac{a}{a-5}-\frac{5}{a-5}=\frac{a-5}{a-5}=1$

Відповідь: $1$

2.34. Розв’яжіть рівняння:

1) $\frac{x+3}{x+1}-\frac{x+2}{1-x}=\frac{x+5}{x^2-1}$

Розв’язання:

Визначимо область допустимих значень (ОДЗ):
$x\ne 1$, $x\ne -1$.

Перенесемо всі члени в одну сторону та зведемо до спільного знаменника $(x-1)(x+1)$:

$\frac{x+3}{x+1}+\frac{x+2}{x-1}-\frac{x+5}{(x-1)(x+1)}=0$

$(x+3)(x-1)+(x+2)(x+1)-(x+5)=0$

$x^2+2x-3+x^2+3x+2-x-5=0$

$2x^2+4x-6=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:

$x^2+2x-3=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=-3$, $x_2=1$.

Оскільки $x=1$ не задовольняє ОДЗ, коренем рівняння є лише $x=-3$.

Відповідь: $-3$.

2) $\frac{3}{x}-\frac{x}{2-x}=\frac{x+2}{x^2-2x}$

Розв’язання:

Визначимо область допустимих значень (ОДЗ):
$x\ne 0$, $x\ne 2$.

Зведемо дроби до спільного знаменника $x(x-2)$, змінивши знак у знаменнику другого дробу:

$\frac{3}{x}+\frac{x}{x-2}-\frac{x+2}{x(x-2)}=0$

$3(x-2)+x^2-(x+2)=0$

$3x-6+x^2-x-2=0$

$x^2+2x-8=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=-4$, $x_2=2$.

Оскільки $x=2$ не задовольняє ОДЗ, коренем рівняння є лише $x=-4$.

Відповідь: $-4$.

2.35. Доведіть, що значення виразу $8^{15}-2^{40}$ кратне числу $31$.

Розв’язання:

Перетворимо вираз, звівши степені до спільної основи $2$:

$8^{15}-2^{40}=(2^3{)}^{15}-2^{40}=2^{45}-2^{40}$

Винесемо спільний множник $2^{40}$ за дужки:

$2^{45}-2^{40}=2^{40}\cdot (2^5-1)=2^{40}\cdot (32-1)=2^{40}\cdot 31$

Оскільки один із множників отриманого добутку дорівнює $31$, то весь вираз ділиться націло (є кратним) на $31$. Твердження доведено.

2.36. Відомо, що $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $2x^2-3x-10=0$. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу $x_1^2+x_2^2$.

Розв’язання:

За теоремою Вієта для квадратного рівняння $a{x}^2+bx+c=0$:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=1,5$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-10}{2}=-5$

Використаємо формулу квадрата суми для виділення шуканого виразу:

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1\cdot x_2$

Підставимо знайдені значення:

$x_1^2+x_2^2=(1,5{)}^2-2\cdot (-5)=2,25+10=12,25$

Відповідь: $12,25$.

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

2.37. Визначте моделі з найвищим і найнижчим рейтингами серед тих, які подано в таблиці. Додаткове завдання. Спробуйте розв’язати задачу, використовуючи електронні таблиці, наприклад Excel.

Відомо:

• Формула рейтингу: $R=4(2F+2Q+D)-0,01P$
• Дані моделей ($P$ — ціна, $F$ — функціональність, $Q$ — якість, $D$ — дизайн):
  • Модель А: $P=2800$, $F=3$, $Q=2$, $D=4$
  • Модель Б: $P=3000$, $F=3$, $Q=3$, $D=3$
  • Модель В: $P=3150$, $F=4$, $Q=2$, $D=4$
  • Модель Г: $P=3400$, $F=4$, $Q=3$, $D=2$

Знайти:

• Моделі з найвищим та найнижчим рейтингами.

Розв’язання:

Обчислимо рейтинг для кожної моделі за заданою формулою:

1) Для моделі А:
$R_{\text{А}}=4\cdot (2\cdot 3+2\cdot 2+4)-0,01\cdot 2800=4\cdot (6+4+4)-28=4\cdot 14-28=56-28=28$;

2) Для моделі Б:
$R_{\text{Б}}=4\cdot (2\cdot 3+2\cdot 3+3)-0,01\cdot 3000=4\cdot (6+6+3)-30=4\cdot 15-30=60-30=30$;

3) Для моделі В:
$R_{\text{В}}=4\cdot (2\cdot 4+2\cdot 2+4)-0,01\cdot 3150=4\cdot (8+4+4)-31,5=4\cdot 16-31,5=64-31,5=32,5$;

4) Для моделі Г:
$R_{\text{Г}}=4\cdot (2\cdot 4+2\cdot 3+2)-0,01\cdot 3400=4\cdot (8+6+2)-34=4\cdot 16-34=64-34=30$.

Зведемо результати в таблицю:

Порівнюючи отримані результати: $32,5>30>28$.
Найвищий рейтинг має модель В ($R=32,5$), а найнижчий рейтинг — модель А ($R=28$).

Відповідь: найвищий рейтинг у моделі В, найнижчий — у моделі А.

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ — ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

2.38.

1) Пригадайте алгебраїчні поняття і впишіть їх у рядки кросворда, деякі літери до якого вже внесено.

2) Користуючись додатковими джерелами інформації, зокрема інтернетом, знайдіть відомості про ці географічні об’єкти.

Розв’язання:

2) Відомості про географічні об’єкти:

• Говерла — найвища вершина Українських Карпат і найвища точка України, її висота становить $2061\text{ м}$ над рівнем моря. Вона розташована на межі Івано-Франківської та Закарпатської областей у масиві Чорногора. Говерла є популярним об’єктом пішохідного туризму.

• Дніпро — найбільша ріка в Україні, третя в Європі після Волги та Дунаю за площею басейну та четверта за довжиною.