2. Основні властивості числових нерівностей

Зміст

Сформулюйте й доведіть властивості числових нерівностей та наслідки з них.

До основних властивостей числових нерівностей належать такі твердження:

1. Властивість 1. Якщо $a>b$, то $b<a$; якщо $a<b$, то $b>a$.
   Доведення: Оскільки $a>b$, то різниця $a-b>0$. Тоді $-(a-b)<0$, але $-(a-b)=b-a$, тому $b-a<0$. Отже, $b<a$.
2. Властивість 2. Якщо $a>b$ і $b>c$, то $a>c$.
   Доведення: За умовою $a-b>0$ і $b-c>0$. Сума двох додатних чисел $a-b$ та $b-c$ також є додатним числом: $(a-b)+(b-c)=a-c>0$. Отже, $a>c$.
3. Властивість 3. Якщо $a>b$ і $p$ — будь-яке число, то $a+p>b+p$.
   Доведення: Розглянемо різницю $(a+p)-(b+p)=a+p-b-p=a-b$. Оскільки $a>b$, то $a-b>0$. Отже, $a+p>b+p$.

Наслідок: Якщо деякий доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то одержимо правильну нерівність.

4. Властивість 4. Якщо $a>b$ і $p>0$, то $ap>bp$; якщо $a>b$ і $p<0$, то $ap<bp$.
   Доведення: Розглянемо різницю $ap-bp=p(a-b)$. Оскільки $a>b$, то $a-b>0$. Якщо $p>0$, то $p(a-b)>0$, тому $ap>bp$. Якщо $p<0$, то $p(a-b)<0$, тому $ap<bp$.

Наслідок: Якщо $ab>0$ (числа одного знака) і $a>b$, то $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.

Наведіть приклади подвійних числових нерівностей.

Прикладами подвійних числових нерівностей є записи:

1. $2<x<5$ (читається: $x$ більше за 2, але менше від 5);
2. $-1\le y<3$ ($y$ більше або дорівнює $-1$, але менше від 3);
3. $10\le a\le 12$ ($a$ більше або дорівнює 10, але менше або дорівнює 12).

Сформулюйте властивості подвійних числових нерівностей.

Для подвійних числових нерівностей характерні такі властивості:

1. Якщо до всіх частин правильної подвійної нерівності додати одне й те саме число $p$, то одержимо правильну подвійну нерівність: $a+p<b+p<c+p$.
2. Якщо всі частини правильної подвійної нерівності помножити на одне й те саме додатне число $p$, то одержимо правильну подвійну нерівність: $ap<bp<cp$.
3. Якщо всі частини правильної подвійної нерівності помножити на одне й те саме від’ємне число $q$, то одержимо правильну подвійну нерівність, змінивши знаки нерівності на протилежні: $cq<bq<aq$.
4. Якщо $a,b,c$ — додатні числа і $a<b<c$, то для чисел, обернених до них, справджується нерівність: $\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.1. Запишіть правильну нерівність, яку отримаємо, якщо:

1. до обох частин нерівності $-2<5$ додамо $-5$:
   $-7<0$
2. від обох частин нерівності $7>3$ віднімемо $1$:
   $6>2$
3. обидві частини нерівності $-2<9$ помножимо на $3$:
   $-6<27$
4. обидві частини нерівності $-5>-10$ помножимо на $-2$:
   $10<20$
5. обидві частини нерівності $8>4$ поділимо на $2$:
   $4>2$
6. обидві частини нерівності $3<18$ поділимо на $-3$:
   $-1>-6$

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.2. Запишіть правильну нерівність, яку отримаємо, якщо: 1) до обох частин нерівності 7 > 5 додамо 8; 2) від обох частин нерівності 0 < 8 віднімемо 6; 3) обидві частини нерівності 12 > 4 помножимо на 3; на -1; 4) обидві частини нерівності 15 < 18 поділимо на 3; на -3.

1. Додавши 8 до обох частин нерівності $7>5$, отримаємо:
   $7+8>5+8$
   $15>13$
2. Віднявши 6 від обох частин нерівності $0<8$, отримаємо:
   $0-6<8-6$
   $-6<2$
3. Помноживши обидві частини нерівності $12>4$ на 3, отримаємо:
   $12\cdot 3>4\cdot 3$
   $36>12$
   Помноживши обидві частини нерівності $12>4$ на -1 та змінивши знак нерівності на протилежний, отримаємо:
   $12\cdot (-1)<4\cdot (-1)$
   $-12<-4$
4. Поділивши обидві частини нерівності $15<18$ на 3, отримаємо:
   $15:3<18:3$
   $5<6$
   Поділивши обидві частини нерівності $15<18$ на -3 та змінивши знак нерівності на протилежний, отримаємо:
   $15:(-3)>18:(-3)$
   $-5>-6$

2.3. (Усно.) Порівняйте x і y, якщо: 1) x < 5, 5 < y; 2) x > 2, 2 > y.

1. Оскільки $x<5$ та $5<y$, то за властивістю транзитивності $x<y$.
2. Оскільки $x>2$ та $2>y$, то за властивістю транзитивності $x>y$.

2.4. Покажіть на координатній прямій розташування точок, що відповідають числам a, b, c, d, e, якщо: a > b, b > c, d < c, a < e.

На основі заданих нерівностей встановимо послідовність чисел у порядку зростання:
З $a>b$ та $b>c$ маємо $c<b<a$.
З $d<c$ маємо $d<c<b<a$.
З $a<e$ маємо $d<c<b<a<e$.

Інструкція щодо побудови: на координатній прямій точки необхідно позначити зліва направо у такому порядку: $d,c,b,a,e$.

2.5. Відомо, що m > n, p < n, t > m. Порівняйте: 1) p і m; 2) p і t; 3) n і t.

Запишемо всі відомі відношення в один ланцюжок нерівностей:
$p<n<m<t$

1. Порівняння $p$ і $m$:
   Оскільки $p<n$ і $n<m$, то $p<m$.
2. Порівняння $p$ і $t$:
   Оскільки $p<m$ і $m<t$, то $p<t$.
3. Порівняння $n$ і $t$:
   Оскільки $n<m$ і $m<t$, то $n<t$.

2.6. Порівняйте число а з нулем, якщо: 1) a > b, b ≥ 1; 2) a < b, b < -2.

1. Якщо $a>b$ та $b\ge 1$, то за властивістю транзитивності $a>1$. Будь-яке число, що більше одиниці, є додатним.
   Відповідь: $a>0$.
2. Якщо $a<b$ та $b<-2$, то за властивістю транзитивності $a<-2$. Будь-яке число, що менше ніж -2, є від’ємним.
   Відповідь: $a<0$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.7. Порівняйте число x з нулем, якщо: 1) x < y, y ≤ -3; 2) x > y, y > 5.

1. Оскільки за умовою $x<y$ та $y\le -3$, а $-3<0$, то $y<0$. Відповідно, якщо $x$ менше за від’ємне число $y$, то $x<0$.
2. Оскільки за умовою $x>y$ та $y>5$, а $5>0$, то $y>0$. Відповідно, якщо $x$ більше за додатне число $y$, то $x>0$.

2.8. Відомо, що x > y. Яким знаком (> чи <) треба замінити «зірочку», щоб утворилася правильна нерівність: 1) x + 2 * y + 2; 2) x – 3 * y – 3; 3) 1,8x * 1,8y; 4) -x * -y; 5) -2,7x * -2,7y; 6) x/3 * y/3?

1. $x+2$ > $y+2$
2. $x-3$ > $y-3$
3. $1,8x$ > $1,8y$
4. $-x$ < $-y$
5. $-2,7x$ < $-2,7y$
6. $\frac{x}{3}$ > $\frac{y}{3}$

2.9. Дано: a < b. Порівняйте: 1) a – 7 і b – 7; 2) a + 3 і b + 3; 3) 1,9a і 1,9b; 4) -a і -b; 5) -0,8a і -0,8b; 6) a/5 і b/5.

1. $a-7<b-7$, оскільки при відніманні від обох частин правильної нерівності одного й того самого числа знак нерівності не змінюється.
2. $a+3<b+3$, оскільки при додаванні до обох частин правильної нерівності одного й того самого числа знак нерівності не змінюється.
3. $1,9a<1,9b$, оскільки при множенні обох частин нерівності на одне й те саме додатне число знак нерівності зберігається.
4. $-a>-b$, оскільки при множенні обох частин нерівності на $-1$ знак нерівності змінюється на протилежний.
5. $-0,8a>-0,8b$, оскільки при множенні обох частин нерівності на одне й те саме від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.
6. $\frac{a}{5}<\frac{b}{5}$, оскільки при діленні обох частин нерівності на одне й те саме додатне число знак нерівності зберігається.

2.10. Відомо, що 1 < p < 2. Оцініть значення виразу: 1) p + 3; 2) p – 4; 3) 12p; 4) p/2; 5) -p; 6) -3p.

1. Додамо до всіх частин нерівності число 3:
   $1+3<p+3<2+3$
   $4<p+3<5$
2. Віднімемо від всіх частин нерівності число 4:
   $1-4<p-4<2-4$
   $-3<p-4<-2$
3. Помножимо всі частини нерівності на 12:
   $1\cdot 12<12p<2\cdot 12$
   $12<12p<24$
4. Поділимо всі частини нерівності на 2:
   $\frac{1}{2}<\frac{p}{2}<\frac{2}{2}$
   $0,5<\frac{p}{2}<1$
5. Помножимо всі частини нерівності на $-1$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $-1>-p>-2$
   $-2<-p<-1$
6. Помножимо всі частини нерівності на $-3$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $1\cdot (-3)>-3p>2\cdot (-3)$
   $-3>-3p>-6$
   $-6<-3p<-3$

2.11. Відомо, що 2 < m < 10. Оцініть значення виразу: 1) m + 1; 2) m – 2; 3) 3m; 4) m/5; 5) -m; 6) -7m.

1. Додамо до всіх частин нерівності число 1:
   $2+1<m+1<10+1$
   $3<m+1<11$
2. Віднімемо від всіх частин нерівності число 2:
   $2-2<m-2<10-2$
   $0<m-2<8$
3. Помножимо всі частини нерівності на 3:
   $2\cdot 3<3m<10\cdot 3$
   $6<3m<30$
4. Поділимо всі частини нерівності на 5:
   $\frac{2}{5}<\frac{m}{5}<\frac{10}{5}$
   $0,4<\frac{m}{5}<2$
5. Помножимо всі частини нерівності на $-1$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $-2>-m>-10$
   $-10<-m<-2$
6. Помножимо всі частини нерівності на $-7$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $2\cdot (-7)>-7m>10\cdot (-7)$
   $-14>-7m>-70$
   $-70<-7m<-14$

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.12. Порівняйте числа: 1) $\frac{1}{a}$ і $\frac{1}{b}$, якщо $a>0$, $b>0$ і $a<b$; 2) $\frac{1}{m}$ і $\frac{1}{n}$, якщо $m>n$, $m$ і $n$ — додатні числа.

1. Оскільки $a$ та $b$ є додатними числами і $a<b$, то за наслідком із властивостей числових нерівностей при діленні одиниці на ці числа знак нерівності змінюється на протилежний, отже $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$.
2. Оскільки $m$ та $n$ є додатними числами і $m>n$, то за наслідком із властивостей числових нерівностей при переході до обернених чисел знак нерівності змінюється на протилежний, отже $\frac{1}{m}<\frac{1}{n}$.

2.13. Порівняйте числа: 1) $\frac{1}{x}$ і $\frac{1}{5}$, якщо $x>5$; 2) $\frac{1}{b}$ і $\frac{1}{2}$, якщо $0<b<2$.

1. Оскільки $x>5$ і обидва числа є додатними, то за властивістю числових нерівностей для обернених чисел $\frac{1}{x}<\frac{1}{5}$.
2. Оскільки $0<b<2$, обидва числа $b$ та $2$ є додатними, тому при переході до обернених величин знак нерівності змінюється на протилежний, отже $\frac{1}{b}>\frac{1}{2}$.

2.14. Порівняйте числа: 1) $\frac{1}{a}$ і $\frac{1}{9}$, якщо $0<a<9$; 2) $\frac{1}{c}$ і $\frac{1}{3}$, якщо $c>3$.

1. Оскільки $0<a<9$, числа $a$ та $9$ є додатними, отже за властивістю $\frac{1}{a}>\frac{1}{9}$.
2. Оскільки $c>3$ і числа є додатними, то для обернених значень справджується нерівність $\frac{1}{c}<\frac{1}{3}$.

2.15. Оцініть значення виразу $\frac{1}{a}$, якщо $10<a<20$.

Всі частини подвійної нерівності $10<a<20$ є додатними числами. За властивістю числових нерівностей, якщо $a<b<c$, то для додатних чисел $\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$.
$\frac{1}{20}<\frac{1}{a}<\frac{1}{10}$

Відповідь: $0,05<\frac{1}{a}<0,1$.

2.16. Оцініть значення виразу $\frac{1}{x}$, якщо $5<x<10$.

Оскільки всі частини нерівності $5<x<10$ є додатними, скористаємося властивістю: якщо $a<x<b$, то $\frac{1}{b}<\frac{1}{x}<\frac{1}{a}$.
$\frac{1}{10}<\frac{1}{x}<\frac{1}{5}$

Відповідь: $0,1<\frac{1}{x}<0,2$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.17. Порівняйте число а з нулем, якщо: 1) a + 2 > b + 2 і b ≥ 0,3; 2) a – 3 < p – 3 і p < -0,7; 3) 7a > 7x і x > 8; 4) -9a < -9b і b > 13.

$a+2>b+2$
$a>b$
Оскільки $b\ge 0,3$, то $b>0$. Якщо $a>b$ і $b>0$, то $a>0$.

Відповідь: $a>0$.

$a-3<p-3$
$a<p$
Оскільки $p<-0,7$, то $p<0$. Якщо $a<p$ і $p<0$, то $a<0$.

Відповідь: $a<0$.

$7a>7x$
$a>x$
Оскільки $x>8$, то $x>0$. Якщо $a>x$ і $x>0$, то $a>0$.

Відповідь: $a>0$.

Розв’язання:
$-9a<-9b\mid :(-9)$
$a>b$
Оскільки $b>13$, то $b>0$. Якщо $a>b$ і $b>0$, то $a>0$.

Відповідь: $a>0$.

2.18. Порівняйте число x з нулем, якщо: 1) x – 5 < y – 5 і y < -1; 2) x + 7 > a + 7 і a ≥ 1; 3) 2x > 2p і p > 0,17; 4) -x > -t і t < -2,5.

$x-5<y-5$
$x<y$
Оскільки $y<-1$, то $y<0$. Якщо $x<y$ і $y<0$, то $x<0$.

Відповідь: $x<0$.

$x+7>a+7$
$x>a$
Оскільки $a\ge 1$, то $a>0$. Якщо $x>a$ і $a>0$, то $x>0$.

Відповідь: $x>0$.

$2x>2p\mid :2$
$x>p$
Оскільки $p>0,17$, то $p>0$. Якщо $x>p$ і $p>0$, то $x>0$.

Відповідь: $x>0$.

$-x>-t\mid \cdot (-1)$
$x<t$
Оскільки $t<-2,5$, то $t<0$. Якщо $x<t$ і $t<0$, то $x<0$.

Відповідь: $x<0$.

2.19. Чи правильне твердження: 1) якщо a > 5, то 1/a < 1/5; 2) якщо a < 5, то 1/a > 1/5?

1. Твердження правильне, оскільки для будь-яких додатних чисел $a$ і $b$, якщо $a>b$, то $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$. За умовою $a>5$, отже обидва числа додатні, тому нерівність $\frac{1}{a}<\frac{1}{5}$ є правильною.
2. Твердження неправильне, оскільки воно не виконується для від’ємних значень $a$. Наприклад, якщо $a=-1$, то умова $-1<5$ виконується, проте $\frac{1}{-1}=-1$, а $-1$ не є більшим за $\frac{1}{5}$.

2.20. Відомо, що x > y. Порівняйте, якщо це можливо: 1) x + 2 і y; 2) y – 3 і x; 3) -x + 1 і -y + 1; 4) -x і -y + 8; 5) -(x + 1) і -y; 6) x – 1 і y + 2.

1. $x+2>y$. Оскільки $x>y$ і $x+2>x$, то за властивістю транзитивності $x+2>y$.
2. $y-3<x$. Оскільки $y<x$ і $y-3<y$, то за властивістю транзитивності $y-3<x$.
3. $-x+1<-y+1$. Якщо $x>y$, то за властивістю множення на від’ємне число $-x<-y$. Додавши до обох частин $1$, отримуємо $-x+1<-y+1$.
4. $-x<-y+8$. Якщо $x>y$, то $-x<-y$. Оскільки $-y<-y+8$ (бо $8>0$), то $-x<-y+8$.
5. $-(x+1)<-y$. Оскільки $-(x+1)=-x-1$, а $-x-1<-x$ і $-x<-y$, то $-(x+1)<-y$.
6. Порівняти неможливо. Результат залежить від конкретних значень змінних: якщо $x=10,y=1$, то $9>3$; якщо $x=2,y=1$, то $1<3$; якщо $x=3,y=0$, то $2=2$.

2.21. Відомо, що a < b. Порівняйте, якщо це можливо: 1) a – 2 і b; 2) b + 3 і a; 3) -a + 2 і -b + 2; 4) -b – 7 і -a; 5) -a і -(b + 3); 6) a + 3 і b – 1.

1. $a-2<b$. Оскільки $a<b$ і $a-2<a$, то $a-2<b$.
2. $b+3>a$. Оскільки $b>a$ і $b+3>b$, то $b+3>a$.
3. $-a+2>-b+2$. Якщо $a<b$, то $-a>-b$. Додавши до обох частин $2$, отримуємо $-a+2>-b+2$.
4. $-b-7<-a$. Якщо $a<b$, то $-a>-b$. Оскільки $-b-7<-b$, то $-b-7<-a$.
5. $-a>-(b+3)$. Оскільки $-(b+3)=-b-3$, а $-a>-b$ і $-b>-b-3$, то $-a>-(b+3)$.
6. Порівняти неможливо. Результат залежить від конкретних значень змінних: якщо $a=1,b=10$, то $4<9$; якщо $a=1,b=2$, то $4>1$; якщо $a=1,b=5$, то $4=4$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.22. Відомо, що $1,2<x<1,5$. Оцініть значення виразу: 1) $2x+0,7$; 2) $5-x$; 3) $x/3-1$; 4) $2-10x$.

1. Помножимо всі частини нерівності $1,2<x<1,5$ на 2:
   $1,2\cdot 2<2x<1,5\cdot 2$
   $2,4<2x<3,0$
   Додамо до всіх частин 0,7:
   $2,4+0,7<2x+0,7<3,0+0,7$
   $3,1<2x+0,7<3,7$
2. Помножимо всі частини нерівності $1,2<x<1,5$ на $-1$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $-1,5<-x<-1,2$
   Додамо до всіх частин 5:
   $5-1,5<5-x<5-1,2$
   $3,5<5-x<3,8$
3. Поділимо всі частини нерівності $1,2<x<1,5$ на 3:
   $\frac{1,2}{3}<\frac{x}{3}<\frac{1,5}{3}$
   $0,4<\frac{x}{3}<0,5$
   Віднімемо від усіх частин 1:
   $0,4-1<\frac{x}{3}-1<0,5-1$
   $-0,6<\frac{x}{3}-1<-0,5$
4. Помножимо всі частини нерівності $1,2<x<1,5$ на $-10$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $1,5\cdot (-10)<-10x<1,2\cdot (-10)$
   $-15<-10x<-12$
   Додамо до всіх частин 2:
   $2-15<2-10x<2-12$
   $-13<2-10x<-10$

2.23. Відомо, що $0,8<a<1,2$. Оцініть значення виразу: 1) $3a-0,2$; 2) $4-a$; 3) $a/2+3$; 4) $10-5a$.

1. Помножимо нерівність $0,8<a<1,2$ на 3:
   $2,4<3a<3,6$
   Віднімемо 0,2:
   $2,4-0,2<3a-0,2<3,6-0,2$
   $2,2<3a-0,2<3,4$
2. Помножимо нерівність $0,8<a<1,2$ на $-1$:
   $-1,2<-a<-0,8$
   Додамо 4:
   $4-1,2<4-a<4-0,8$
   $2,8<4-a<3,2$
3. Поділимо нерівність $0,8<a<1,2$ на 2:
   $0,4<\frac{a}{2}<0,6$
   Додамо 3:
   $0,4+3<\frac{a}{2}+3<0,6+3$
   $3,4<\frac{a}{2}+3<3,6$
4. Помножимо нерівність $0,8<a<1,2$ на $-5$:
   $1,2\cdot (-5)<-5a<0,8\cdot (-5)$
   $-6<-5a<-4$
   Додамо 10:
   $10-6<10-5a<10-4$
   $4<10-5a<6$

2.24. Оцініть значення виразу: 1) $20/a$, якщо $2<a<5$; 2) $1/(3a+4)$, якщо $-1<a<4$.

1. Для оцінки $\frac{20}{a}$ використаємо властивість: якщо $2<a<5$, то $\frac{1}{5}<\frac{1}{a}<\frac{1}{2}$.
   Помножимо всі частини на 20:
   $20\cdot \frac{1}{5}<\frac{20}{a}<20\cdot \frac{1}{2}$
   $4<\frac{20}{a}<10$
2. Оцінимо знаменник $3a+4$:
   $-1<a<4|\cdot 3$
   $-3<3a<12|+4$
   $1<3a+4<16$
   Оскільки обидві частини додатні, застосуємо властивість для обернених чисел:
   $\frac{1}{16}<\frac{1}{3a+4}<\frac{1}{1}$
   $\frac{1}{16}<\frac{1}{3a+4}<1$

2.25. Оцініть значення виразу: 1) $100/x$, якщо $5<x<10$; 2) $1/(2x-3)$, якщо $2<x<4$.

1. Якщо $5<x<10$, то для обернених величин:
   $\frac{1}{10}<\frac{1}{x}<\frac{1}{5}$
   Помножимо на 100:
   $100\cdot \frac{1}{10}<\frac{100}{x}<100\cdot \frac{1}{5}$
   $10<\frac{100}{x}<20$
2. Оцінимо вираз у знаменнику $2x-3$:
   $2<x<4|\cdot 2$
   $4<2x<8|-3$
   $1<2x-3<5$
   Знайдемо межі для оберненого виразу:
   $\frac{1}{5}<\frac{1}{2x-3}<\frac{1}{1}$
   $0,2<\frac{1}{2x-3}<1$

2.26. Ділянка землі має форму рівностороннього трикутника, периметр якого дорівнює $P$ м. Оцініть сторону $a$ (у м), якщо $126<P<150$.

Дано:

• Трикутник рівносторонній
• $P=3a$
• $126<P<150$

Знайти:

• $a-?$

Розв’язання:

Оскільки трикутник рівносторонній, його сторона $a$ обчислюється за формулою:
$a=\frac{P}{3}$

За умовою:
$126<P<150$

Поділимо всі частини нерівності на 3:
$\frac{126}{3}<\frac{P}{3}<\frac{150}{3}$
$42<a<50$

Відповідь: $42<a<50$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.27. Маса чотирьох однакових мішків із цукром дорівнює m кг. Оцініть масу p (у кг) одного такого мішка, якщо 192 < m < 204.

Відомо:

• $192<m<204$
• $p=\frac{m}{4}$

Оцінити:

• $p-?$

Розв’язання:

Оскільки маса чотирьох мішків становить $m$ кг, то маса одного мішка $p$ обчислюється шляхом ділення загальної маси на 4.

$192<m<204$

Поділимо всі частини нерівності на 4:

$\frac{192}{4}<\frac{m}{4}<\frac{204}{4}$

$48<p<51$

Відповідь: $48<p<51$.

2.28. Порівняйте x і y, якщо: 1) x + 2 > m > y + 3; 2) x – 2 < p < y – 3.

1. За умовою $x+2>y+3$.
   Віднімемо від обох частин нерівності число 2:
   $x+2-2>y+3-2$
   $x>y+1$
   Оскільки $y+1>y$, то $x>y$.
2. За умовою $x-2<y-3$.
   Додамо до обох частин нерівності число 2:
   $x-2+2<y-3+2$
   $x<y-1$
   Оскільки $y-1<y$, то $x<y$.

2.29. Порівняйте a і b, якщо: 1) a + 3 < c < b + 2; 2) a – 7 > d > b – 5.

1. За умовою $a+3<b+2$.
   Віднімемо від обох частин нерівності число 3:
   $a+3-3<b+2-3$
   $a<b-1$
   Оскільки $b-1<b$, то $a<b$.
2. За умовою $a-7>b-5$.
   Додамо до обох частин нерівності число 7:
   $a-7+7>b-5+7$
   $a>b+2$
   Оскільки $b+2>b$, то $a>b$.

2.30. Відомо, що 1 < a < 2. Оцініть значення виразу 12 / (7 – 3a).

Послідовно оцінимо складові виразу:

1. Помножимо нерівність на $-3$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $-3\cdot 2<-3\cdot a<-3\cdot 1$
   $-6<-3a<-3$
2. Додамо до всіх частин число 7:
   $7-6<7-3a<7-3$
   $1<7-3a<4$
3. Застосуємо властивість для обернених чисел ($1<a<b\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{1}{a}$):
   $\frac{1}{4}<\frac{1}{7-3a}<\frac{1}{1}$
   $\frac{1}{4}<\frac{1}{7-3a}<1$
4. Помножимо всі частини на 12:
   $12\cdot \frac{1}{4}<\frac{12}{7-3a}<12\cdot 1$
   $3<\frac{12}{7-3a}<12$

Відповідь: $3<\frac{12}{7-3a}<12$.

2.31. Відомо, що 2 < b < 5. Оцініть значення виразу 27 / (13 – 2b).

1. Помножимо нерівність на $-2$, змінюючи знаки:
   $-2\cdot 5<-2\cdot b<-2\cdot 2$
   $-10<-2b<-4$
2. Додамо до всіх частин число 13:
   $13-10<13-2b<13-4$
   $3<13-2b<9$
3. Застосуємо властивість для обернених чисел:
   $\frac{1}{9}<\frac{1}{13-2b}<\frac{1}{3}$
4. Помножимо всі частини на 27:
   $27\cdot \frac{1}{9}<\frac{27}{13-2b}<27\cdot \frac{1}{3}$
   $3<\frac{27}{13-2b}<9$

Відповідь: $3<\frac{27}{13-2b}<9$.

2.32. Дано $-2<x<2$. Оцініть значення виразу $\frac{6}{x}$.

Оскільки дільник не може дорівнювати нулю, розглянемо два проміжки для змінної $x$.

1. Якщо $0<x<2$, то за властивістю числових нерівностей для додатних чисел:
   $\frac{1}{x}>\frac{1}{2}$

Помножимо обидві частини нерівності на додатне число 6:
$6\cdot \frac{1}{x}>6\cdot \frac{1}{2}$
$\frac{6}{x}>3$

2. Якщо $-2<x<0$, то за властивістю числових нерівностей для від’ємних чисел:
   $\frac{1}{x}<-\frac{1}{2}$

Помножимо обидві частини нерівності на додатне число 6:
$6\cdot \frac{1}{x}<6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$\frac{6}{x}<-3$

Відповідь: $\frac{6}{x}<-3$ або $\frac{6}{x}>3$.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

2.33. Виконайте дії:

1. $\frac{x+3y}{3x}-\frac{x+2y}{2x}$

Для виконання віднімання зведемо дроби до спільного знаменника $6x$:
$\frac{2(x+3y)-3(x+2y)}{6x}=\frac{2x+6y-3x-6y}{6x}=\frac{-x}{6x}=-\frac{1}{6}$

2. $\frac{1}{m(m+n)}+\frac{1}{n(m+n)}$

Спільним знаменником для цих дробів є вираз $mn(m+n)$:
$\frac{n+m}{mn(m+n)}=\frac{m+n}{mn(m+n)}=\frac{1}{mn}$

3. $\frac{3p^2}{p-2}-3p$

Представимо ціле число у вигляді дробу та зведемо до спільного знаменника $p-2$:
$\frac{3p^2-3p(p-2)}{p-2}=\frac{3p^2-3p^2+6p}{p-2}=\frac{6p}{p-2}$

4. $\frac{a}{a-5}+\frac{5}{5-a}$

Змінимо знак у знаменнику другого дробу, щоб отримати спільний знаменник $a-5$:
$\frac{a}{a-5}-\frac{5}{a-5}=\frac{a-5}{a-5}=1$

2.34. Розв’яжіть рівняння:

1. $\frac{x+3}{x+1}-\frac{x+2}{1-x}=\frac{x+5}{x^2-1}$

Визначимо область допустимих значень (ОДЗ): $x\ne 1,x\ne -1$.
Перенесемо всі члени в одну сторону та зведемо до спільного знаменника $(x-1)(x+1)$:
$\frac{x+3}{x+1}+\frac{x+2}{x-1}-\frac{x+5}{(x-1)(x+1)}=0$
$(x+3)(x-1)+(x+2)(x+1)-(x+5)=0$
$x^2+2x-3+x^2+3x+2-x-5=0$
$2x^2+4x-6=0$
Поділимо рівняння на 2:
$x^2+2x-3=0$
За теоремою Вієта коренями є $x_1=-3$ та $x_2=1$.
Оскільки $x=1$ не входить до ОДЗ, розв’язком є лише одне число.
Відповідь: -3.

2. $\frac{3}{x}-\frac{x}{2-x}=\frac{x+2}{x^2-2x}$

Визначимо ОДЗ: $x\ne 0,x\ne 2$.
Зведемо дроби до спільного знаменника $x(x-2)$, попередньо змінивши знак у другому дробі:
$\frac{3}{x}+\frac{x}{x-2}-\frac{x+2}{x(x-2)}=0$
$3(x-2)+x^2-(x+2)=0$
$3x-6+x^2-x-2=0$
$x^2+2x-8=0$
За теоремою Вієта коренями є $x_1=-4$ та $x_2=2$.
Оскільки $x=2$ не входить до ОДЗ, розв’язком є лише одне число.
Відповідь: -4.

2.35. Доведіть, що значення виразу $8^{15}-2^{40}$ кратне числу 31.

Перетворимо вираз, звівши степені до спільної основи 2:
$8^{15}-2^{40}=(2^3{)}^{15}-2^{40}=2^{45}-2^{40}$

Винесемо спільний множник $2^{40}$ за дужки:
$2^{40}\cdot (2^5-1)=2^{40}\cdot (32-1)=2^{40}\cdot 31$

Оскільки один із множників отриманого добутку дорівнює 31, то і весь вираз ділиться націло на 31. Твердження доведено.

2.36. Відомо, що $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $2x^2-3x-10=0$. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу $x_1^2+x_2^2$.

За теоремою Вієта для квадратного рівняння $a{x}^2+bx+c=0$:
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=1,5$
$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-10}{2}=-5$

Використаємо формулу квадрата суми для виділення шуканого виразу:
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1\cdot x_2$

Підставимо знайдені значення:
$x_1^2+x_2^2=(1,5{)}^2-2\cdot (-5)=2,25+10=12,25$

Відповідь: 12,25.

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

2.37. Визначте моделі з найвищим і найнижчим рейтингами серед тих, які подано в таблиці. Додаткове завдання. Спробуйте розв’язати задачу, використовуючи електронні таблиці, наприклад Excel.

Відомо:

• Формула рейтингу: $R=4(2F+2Q+D)-0,01P$
• Дані моделей (P — ціна, F — функціональність, Q — якість, D — дизайн):
  • Модель А: $P=2800,F=3,Q=2,D=4$
  • Модель Б: $P=3000,F=3,Q=3,D=3$
  • Модель В: $P=3150,F=4,Q=2,D=4$
  • Модель Г: $P=3400,F=4,Q=3,D=2$

Знайти:

• Моделі з найвищим та найнижчим рейтингами.

Розв’язання:

Обчислимо рейтинг для кожної моделі за заданою формулою:

1. Для моделі А:
   $R_A=4\cdot (2\cdot 3+2\cdot 2+4)-0,01\cdot 2800$
   $R_A=4\cdot (6+4+4)-28=4\cdot 14-28=56-28=28$
2. Для моделі Б:
   $R_{Б}=4\cdot (2\cdot 3+2\cdot 3+3)-0,01\cdot 3000$
   $R_{Б}=4\cdot (6+6+3)-30=4\cdot 15-30=60-30=30$
3. Для моделі В:
   $R_{В}=4\cdot (2\cdot 4+2\cdot 2+4)-0,01\cdot 3150$
   $R_{В}=4\cdot (8+4+4)-31,5=4\cdot 16-31,5=64-31,5=32,5$
4. Для моделі Г:
   $R_{Г}=4\cdot (2\cdot 4+2\cdot 3+2)-0,01\cdot 3400$
   $R_{Г}=4\cdot (8+6+2)-34=4\cdot 16-34=64-34=30$

Зведемо результати в таблицю:

Порівнюючи отримані результати: $32,5>30>28$.
Найвищий рейтинг має модель В ($R=32,5$), найнижчий рейтинг має модель А ($R=28$).

Відповідь: найвищий рейтинг у моделі В, найнижчий — у моделі А.

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ — ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

2.38. 1) Пригадайте алгебраїчні поняття і впишіть їх у рядки кросворда, деякі літери до якого вже внесено. 2) Користуючись додатковими джерелами інформації, зокрема інтернетом, знайдіть відомості про ці географічні об’єкти.

2. Відомості про географічні об’єкти:

• Говерла — найвища вершина Українських Карпат і найвища точка України, її висота становить 2061 метр над рівнем моря. Вона розташована на межі Івано-Франківської та Закарпатської областей у масиві Чорногора. Говерла є популярним об’єктом пішохідного туризму.
• Дніпро — найбільша ріка в Україні, третя в Європі після Волги та Дунаю за площею басейну та четверта за довжиною.