1.30. Дві школи закупили бейджики (badge) для перших класів на однакову суму грошей. Перша школа закупила на половину коштів бейджів по 4 грн, а на іншу половину — по 6 грн. Друга школа на всі кошти закупила бейджі по 5 грн. Яка зі шкіл закупила більше бейджиків, якщо обидві школи витратили всі кошти?
Відомо:
- $S$ — сума грошей кожної школи
- Ціни для 1-ї школи: 4 грн та 6 грн (по $0{,}5S$ на кожну ціну)
- Ціна для 2-ї школи: 5 грн на всю суму $S$
Знайти:
- Порівняти кількість бейджиків $n_1$ та $n_2$
Розв’язання:
Обчислимо кількість бейджиків для першої школи:
$n_1 = \dfrac{0{,}5S}{4} + \dfrac{0{,}5S}{6} = \dfrac{S}{8} + \dfrac{S}{12}$
$n_1 = \dfrac{3S + 2S}{24} = \dfrac{5S}{24}$
Обчислимо кількість бейджиків для другої школи:
$n_2 = \dfrac{S}{5} = \dfrac{4{,}8S}{24}$
Порівняємо отримані результати:
$\dfrac{5S}{24} > \dfrac{4{,}8S}{24}$
Відповідь: перша школа закупила більше бейджиків.
1.31. Софія і Поліна купили однакову кількість зошитів. Софія всі зошити купила за ціною 30 грн, а Поліна — третину зошитів за ціною 24 грн, а решту — за ціною 32 грн. Котра з дівчат витратила на покупку менше грошей?
Відомо:
- $N$ — кількість зошитів у кожної дівчини
- Ціна Софії: 30 грн за зошит
- Ціни Поліни: $\dfrac{1}{3}N$ по 24 грн, $\dfrac{2}{3}N$ по 32 грн
Знайти:
- Порівняти витрати $S_c$ та $S_p$
Розв’язання:
Обчислимо витрати Софії:
$S_c = 30 \cdot N$
Обчислимо витрати Поліни:
$S_p = \dfrac{1}{3}N \cdot 24 + \dfrac{2}{3}N \cdot 32$
$S_p = 8N + \dfrac{64}{3}N = 8N + 21\dfrac{1}{3}N = 29\dfrac{1}{3}N$
Порівняємо витрати:
$29\dfrac{1}{3}N < 30N$
Відповідь: Поліна витратила менше грошей.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
1.32. Розв’яжіть рівняння: 1) 2x² – 3x – 5 = 0; 2) 5x² – 2x – 3 = 0.
- $2x^2 – 3x – 5 = 0$
Розв’язання:
$a = 2, b = -3, c = -5$
$D = b^2 – 4 \cdot a \cdot c = (-3)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$
$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2 \cdot a} = \dfrac{3 + 7}{4} = 2{,}5$
$x_2 = \dfrac{-b – \sqrt{D}}{2 \cdot a} = \dfrac{3 – 7}{4} = -1$
Відповідь: -1; 2,5.
- $5x^2 – 2x – 3 = 0$
Розв’язання:
$a = 5, b = -2, c = -3$
$D = b^2 – 4 \cdot a \cdot c = (-2)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$
$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2 \cdot a} = \dfrac{2 + 8}{10} = 1$
$x_2 = \dfrac{-b – \sqrt{D}}{2 \cdot a} = \dfrac{2 – 8}{10} = -0{,}6$
Відповідь: -0,6; 1.
1.33. Побудуйте графік функції: 1) y = 3x – 5; 2) y = 7; 3) y = -0,2x.
Для побудови графіків використаємо характерні точки:
- $y = 3x – 5$. Лінійна функція. Точки: $(0; -5)$ та $(2; 1)$.
- $y = 7$. Пряма, паралельна осі $Ox$, що проходить через точку $(0; 7)$.
- $y = -0{,}2x$. Пряма пропорційність. Точки: $(0; 0)$ та $(5; -1)$.
[!NOTE]
Промпт для створення зображення:
A high-quality mathematical coordinate plane with three colored lines labeled in Ukrainian. Line 1 (blue): y = 3x – 5. Line 2 (red): y = 7. Line 3 (green): y = -0.2x. The axes are labeled ‘вісь X’ and ‘вісь Y’. The grid is clear and professional.
1.34. Трактористи мали зорати поле площею 40 га. Щодня вони орали на 1 га більше, ніж планували, тому закінчили оранку на 2 дні раніше визначеного терміну. За скільки днів трактористи зорали поле?
Відомо:
- $S = 40$ га
- $v_{fact} = v_{plan} + 1$ га/день
- $t_{fact} = t_{plan} – 2$ дні
Знайти:
- $t_{fact} – ?$
Розв’язання:
Нехай $x$ га/день — планова продуктивність трактористів ($x > 0$). Тоді плановий час роботи становить $\dfrac{40}{x}$ днів. Фактична продуктивність склала $(x + 1)$ га/день, а фактичний час — $\dfrac{40}{x + 1}$ днів.
Складемо рівняння за умовою задачі:
$\dfrac{40}{x} – \dfrac{40}{x + 1} = 2$
Поділимо обидві частини на 2:
$\dfrac{20}{x} – \dfrac{20}{x + 1} = 1$
$20(x + 1) – 20x = x(x + 1)$
$20x + 20 – 20x = x^2 + x$
$x^2 + x – 20 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_1 = 4$; $x_2 = -5$ (не задовольняє умову $x > 0$)
Планова продуктивність — 4 га/день.
Фактичний час роботи:
$t_{fact} = \dfrac{40}{4 + 1} = \dfrac{40}{5} = 8$ днів.
Відповідь: 8 днів.
1.35. Обчисліть значення суми:
Відомо:
- Вираз: $\dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{9}} + \dots + \dfrac{1}{\sqrt{49} + \sqrt{45}}$
Знайти:
- Значення суми — ?
Розв’язання:
Для обчислення позбудемося ірраціональності в знаменниках кожного дробу, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз:
$\dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{1}} = \dfrac{\sqrt{5} – \sqrt{1}}{(\sqrt{5} + \sqrt{1})(\sqrt{5} – \sqrt{1})} = \dfrac{\sqrt{5} – 1}{5 – 1} = \dfrac{\sqrt{5} – 1}{4}$
$\dfrac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{9} – \sqrt{5}}{(\sqrt{9} + \sqrt{5})(\sqrt{9} – \sqrt{5})} = \dfrac{\sqrt{9} – \sqrt{5}}{9 – 5} = \dfrac{\sqrt{9} – \sqrt{5}}{4}$
Аналогічно для всіх наступних доданків. Оскільки знаменник кожного дробу після перетворення дорівнює 4, запишемо суму під спільну риску:
$S = \dfrac{(\sqrt{5} – 1) + (\sqrt{9} – \sqrt{5}) + (\sqrt{13} – \sqrt{9}) + \dots + (\sqrt{49} – \sqrt{45})}{4}$
У чисельнику всі проміжні члени взаємно знищуються (телескопічна сума):
$S = \dfrac{\sqrt{49} – 1}{4}$
$S = \dfrac{7 – 1}{4} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$
Відповідь: 1,5.
ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА
1.36. 1) Для будівництва гаража можна використати один із двох типів фундаменту: бетонний або з піноблоків. […] Скільки коштуватиме матеріал, якщо вибрати найдешевший тип фундаменту? 2) Проєктна діяльність. Ціна цементу збільшилася на 10%. Дослідіть, чи зміниться вибір найдешевшого фундаменту.
Відомо:
- Фундамент з піноблоків: 3 м$^3$ блоків, 6 мішків цементу.
- Бетонний фундамент: 3 т щебеню, 30 мішків цементу.
- Ціна піноблоків: $1560 \text{ грн/м}^3$.
- Ціна щебеню: $370 \text{ грн/т}$.
- Початкова ціна цементу: $130 \text{ грн/мішок}$.
Знайти:
- Вартість найдешевшого варіанту — ?
- Чи зміниться вибір при подорожчанні цементу на 10% — ?
Розв’язання:
- Обчислимо початкову вартість обох типів фундаменту:
- Вартість з піноблоків: $3 \cdot 1560 + 6 \cdot 130 = 4680 + 780 = 5460 \text{ (грн)}$.
- Вартість бетонного: $3 \cdot 370 + 30 \cdot 130 = 1110 + 3900 = 5010 \text{ (грн)}$.
Порівняємо результати: $5010 < 5460$. Найдешевшим є бетонний фундамент.
- Дослідимо зміну вартості при збільшенні ціни цементу на 10%:
Нова ціна цементу: $130 \cdot 1{,}1 = 143 \text{ (грн)}$.
- Нова вартість з піноблоків: $4680 + 6 \cdot 143 = 4680 + 858 = 5538 \text{ (грн)}$.
- Нова вартість бетонного: $1110 + 30 \cdot 143 = 1110 + 4290 = 5400 \text{ (грн)}$.
Порівняємо результати: $5400 < 5538$. Бетонний фундамент залишається дешевшим.
Відповідь: 1) 5010 грн; 2) вибір найдешевшого фундаменту не зміниться.
ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ
1.37. Прочитайте запис:
- $a$ менше або дорівнює семи;
- $b$ більше за мінус вісім;
- $x$ менше за мінус два;
- $m$ більше або дорівнює нулю;
- $x$ більше за мінус два і менше або дорівнює трьом;
- $p$ більше за нуль і менше за п’ять;
- $c$ більше або дорівнює трьом і менше або дорівнює п’яти;
- $y$ більше або дорівнює мінус п’яти і менше за сім.
1.38. Чи правильне твердження:
- Твердження правильне, оскільки рівність має симетричну властивість.
- Твердження правильне, оскільки рівність має транзитивну властивість.
- Твердження правильне, оскільки до обох частин рівності можна додавати будь-яке число.
- Твердження правильне, оскільки від обох частин рівності можна віднімати будь-яке число.
1.39. Порівняйте числа $x$ та $y$, якщо:
- $x < y$, оскільки від’ємне число завжди менше за додатне.
- $x > y$, оскільки невід’ємне число завжди більше за від’ємне.
- $x > y$, оскільки додатне число завжди більше за недодатне.
- $x < y$, оскільки недодатне число завжди менше за додатне.
ЦІКАВІ ЗАДАЧІ — ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ
1.40. Водійка планувала їхати з міста А в місто В зі швидкістю 60 км/год, а повертатися назад зі швидкістю 80 км/год. Та, повертаючись назад, проїхала половину шляху із запланованою швидкістю і зупинилася на ночівлю. Яка середня швидкість водійки за описаний проміжок часу?
Дано:
- $v_1 = 60\text{ км/год}$ — швидкість на шляху з А в В
- $v_2 = 80\text{ км/год}$ — швидкість на половині зворотного шляху
- $S_1 = S$ — шлях з А в В
- $S_2 = 0{,}5S$ — шлях на зворотному шляху до зупинки
Знайти:
- $v_{cp} – ?$
Розв’язання:
Середня швидкість обчислюється за формулою:
$v_{cp} = \dfrac{S_{заг}}{t_{заг}}$
$S_{заг} = S_1 + S_2 = S + 0{,}5S = 1{,}5S$
$t_1 = \dfrac{S_1}{v_1} = \dfrac{S}{60}$
$t_2 = \dfrac{S_2}{v_2} = \dfrac{0{,}5S}{80} = \dfrac{S}{160}$
$t_{заг} = t_1 + t_2 = \dfrac{S}{60} + \dfrac{S}{160} = \dfrac{8S + 3S}{480} = \dfrac{11S}{480}$
$v_{cp} = 1{,}5S \cdot \dfrac{480}{11S} = \dfrac{1{,}5 \cdot 480}{11} = \dfrac{720}{11} \approx 65{,}45\text{ км/год}$
Відповідь: $65\dfrac{5}{11}$ км/год (або приблизно 65,45 км/год).
§ 2. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ЧИСЛОВИХ НЕРІВНОСТЕЙ
Сформулюйте й доведіть властивості числових нерівностей та наслідки з них.
До основних властивостей числових нерівностей належать такі твердження:
- Властивість 1. Якщо $a > b$, то $b < a$; якщо $a < b$, то $b > a$.
Доведення: Оскільки $a > b$, то різниця $a – b > 0$. Тоді $-(a – b) < 0$, але $-(a – b) = b – a$, тому $b – a < 0$. Отже, $b < a$. - Властивість 2. Якщо $a > b$ і $b > c$, то $a > c$.
Доведення: За умовою $a – b > 0$ і $b – c > 0$. Сума двох додатних чисел $a – b$ та $b – c$ також є додатним числом: $(a – b) + (b – c) = a – c > 0$. Отже, $a > c$. - Властивість 3. Якщо $a > b$ і $p$ — будь-яке число, то $a + p > b + p$.
Доведення: Розглянемо різницю $(a + p) – (b + p) = a + p – b – p = a – b$. Оскільки $a > b$, то $a – b > 0$. Отже, $a + p > b + p$.
Наслідок: Якщо деякий доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то одержимо правильну нерівність.
- Властивість 4. Якщо $a > b$ і $p > 0$, то $ap > bp$; якщо $a > b$ і $p < 0$, то $ap < bp$.
Доведення: Розглянемо різницю $ap – bp = p(a – b)$. Оскільки $a > b$, то $a – b > 0$. Якщо $p > 0$, то $p(a – b) > 0$, тому $ap > bp$. Якщо $p < 0$, то $p(a – b) < 0$, тому $ap < bp$.
Наслідок: Якщо $ab > 0$ (числа одного знака) і $a > b$, то $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$.
Наведіть приклади подвійних числових нерівностей.
Прикладами подвійних числових нерівностей є записи:
- $2 < x < 5$ (читається: $x$ більше за 2, але менше від 5);
- $-1 \leq y < 3$ ($y$ більше або дорівнює $-1$, але менше від 3);
- $10 \leq a \leq 12$ ($a$ більше або дорівнює 10, але менше або дорівнює 12).
Сформулюйте властивості подвійних числових нерівностей.
Для подвійних числових нерівностей характерні такі властивості:
- Якщо до всіх частин правильної подвійної нерівності додати одне й те саме число $p$, то одержимо правильну подвійну нерівність: $a + p < b + p < c + p$.
- Якщо всі частини правильної подвійної нерівності помножити на одне й те саме додатне число $p$, то одержимо правильну подвійну нерівність: $ap < bp < cp$.
- Якщо всі частини правильної подвійної нерівності помножити на одне й те саме від’ємне число $q$, то одержимо правильну подвійну нерівність, змінивши знаки нерівності на протилежні: $cq < bq < aq$.
- Якщо $a, b, c$ — додатні числа і $a < b < c$, то для чисел, обернених до них, справджується нерівність: $\dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}$.
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ
2.1. Запишіть правильну нерівність, яку отримаємо, якщо:
- до обох частин нерівності $-2 < 5$ додамо $-5$:
$-7 < 0$ - від обох частин нерівності $7 > 3$ віднімемо $1$:
$6 > 2$ - обидві частини нерівності $-2 < 9$ помножимо на $3$:
$-6 < 27$ - обидві частини нерівності $-5 > -10$ помножимо на $-2$:
$10 < 20$ - обидві частини нерівності $8 > 4$ поділимо на $2$:
$4 > 2$ - обидві частини нерівності $3 < 18$ поділимо на $-3$:
$-1 > -6$
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ
2.2. Запишіть правильну нерівність, яку отримаємо, якщо: 1) до обох частин нерівності 7 > 5 додамо 8; 2) від обох частин нерівності 0 < 8 віднімемо 6; 3) обидві частини нерівності 12 > 4 помножимо на 3; на -1; 4) обидві частини нерівності 15 < 18 поділимо на 3; на -3.
- Додавши 8 до обох частин нерівності $7 > 5$, отримаємо:
$7 + 8 > 5 + 8$
$15 > 13$ - Віднявши 6 від обох частин нерівності $0 < 8$, отримаємо:
$0 – 6 < 8 – 6$
$-6 < 2$ - Помноживши обидві частини нерівності $12 > 4$ на 3, отримаємо:
$12 \cdot 3 > 4 \cdot 3$
$36 > 12$
Помноживши обидві частини нерівності $12 > 4$ на -1 та змінивши знак нерівності на протилежний, отримаємо:
$12 \cdot (-1) < 4 \cdot (-1)$
$-12 < -4$ - Поділивши обидві частини нерівності $15 < 18$ на 3, отримаємо:
$15 : 3 < 18 : 3$
$5 < 6$
Поділивши обидві частини нерівності $15 < 18$ на -3 та змінивши знак нерівності на протилежний, отримаємо:
$15 : (-3) > 18 : (-3)$
$-5 > -6$
2.3. (Усно.) Порівняйте x і y, якщо: 1) x < 5, 5 < y; 2) x > 2, 2 > y.
- Оскільки $x < 5$ та $5 < y$, то за властивістю транзитивності $x < y$.
- Оскільки $x > 2$ та $2 > y$, то за властивістю транзитивності $x > y$.
2.4. Покажіть на координатній прямій розташування точок, що відповідають числам a, b, c, d, e, якщо: a > b, b > c, d < c, a < e.
На основі заданих нерівностей встановимо послідовність чисел у порядку зростання:
З $a > b$ та $b > c$ маємо $c < b < a$.
З $d < c$ маємо $d < c < b < a$.
З $a < e$ маємо $d < c < b < a < e$.
Інструкція щодо побудови: на координатній прямій точки необхідно позначити зліва направо у такому порядку: $d, c, b, a, e$.
2.5. Відомо, що m > n, p < n, t > m. Порівняйте: 1) p і m; 2) p і t; 3) n і t.
Відомо:
- $m > n$
- $p < n$
- $t > m$
Розв’язання:
Запишемо всі відомі відношення в один ланцюжок нерівностей:
$p < n < m < t$
- Порівняння $p$ і $m$:
Оскільки $p < n$ і $n < m$, то $p < m$. - Порівняння $p$ і $t$:
Оскільки $p < m$ і $m < t$, то $p < t$. - Порівняння $n$ і $t$:
Оскільки $n < m$ і $m < t$, то $n < t$.
2.6. Порівняйте число а з нулем, якщо: 1) a > b, b ≥ 1; 2) a < b, b < -2.
- Якщо $a > b$ та $b \geq 1$, то за властивістю транзитивності $a > 1$. Будь-яке число, що більше одиниці, є додатним.
Відповідь: $a > 0$. - Якщо $a < b$ та $b < -2$, то за властивістю транзитивності $a < -2$. Будь-яке число, що менше ніж -2, є від’ємним.
Відповідь: $a < 0$.
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ
2.7. Порівняйте число x з нулем, якщо: 1) x < y, y ≤ -3; 2) x > y, y > 5.
- Оскільки за умовою $x < y$ та $y \leq -3$, а $-3 < 0$, то $y < 0$. Відповідно, якщо $x$ менше за від’ємне число $y$, то $x < 0$.
- Оскільки за умовою $x > y$ та $y > 5$, а $5 > 0$, то $y > 0$. Відповідно, якщо $x$ більше за додатне число $y$, то $x > 0$.
2.8. Відомо, що x > y. Яким знаком (> чи <) треба замінити «зірочку», щоб утворилася правильна нерівність: 1) x + 2 * y + 2; 2) x – 3 * y – 3; 3) 1,8x * 1,8y; 4) -x * -y; 5) -2,7x * -2,7y; 6) x/3 * y/3?
- $x + 2$ > $y + 2$
- $x – 3$ > $y – 3$
- $1,8x$ > $1,8y$
- $-x$ < $-y$
- $-2,7x$ < $-2,7y$
- $\dfrac{x}{3}$ > $\dfrac{y}{3}$
2.9. Дано: a < b. Порівняйте: 1) a – 7 і b – 7; 2) a + 3 і b + 3; 3) 1,9a і 1,9b; 4) -a і -b; 5) -0,8a і -0,8b; 6) a/5 і b/5.
- $a – 7 < b – 7$, оскільки при відніманні від обох частин правильної нерівності одного й того самого числа знак нерівності не змінюється.
- $a + 3 < b + 3$, оскільки при додаванні до обох частин правильної нерівності одного й того самого числа знак нерівності не змінюється.
- $1,9a < 1,9b$, оскільки при множенні обох частин нерівності на одне й те саме додатне число знак нерівності зберігається.
- $-a > -b$, оскільки при множенні обох частин нерівності на $-1$ знак нерівності змінюється на протилежний.
- $-0,8a > -0,8b$, оскільки при множенні обох частин нерівності на одне й те саме від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.
- $\dfrac{a}{5} < \dfrac{b}{5}$, оскільки при діленні обох частин нерівності на одне й те саме додатне число знак нерівності зберігається.
2.10. Відомо, що 1 < p < 2. Оцініть значення виразу: 1) p + 3; 2) p – 4; 3) 12p; 4) p/2; 5) -p; 6) -3p.
Дано:
- $1 < p < 2$
Знайти:
- Оцінити значення виразів 1)–6)
Розв’язання:
- Додамо до всіх частин нерівності число 3:
$1 + 3 < p + 3 < 2 + 3$
$4 < p + 3 < 5$ - Віднімемо від всіх частин нерівності число 4:
$1 – 4 < p – 4 < 2 – 4$
$-3 < p – 4 < -2$ - Помножимо всі частини нерівності на 12:
$1 \cdot 12 < 12p < 2 \cdot 12$
$12 < 12p < 24$ - Поділимо всі частини нерівності на 2:
$\dfrac{1}{2} < \dfrac{p}{2} < \dfrac{2}{2}$
$0,5 < \dfrac{p}{2} < 1$ - Помножимо всі частини нерівності на $-1$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$-1 > -p > -2$
$-2 < -p < -1$ - Помножимо всі частини нерівності на $-3$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$1 \cdot (-3) > -3p > 2 \cdot (-3)$
$-3 > -3p > -6$
$-6 < -3p < -3$
2.11. Відомо, що 2 < m < 10. Оцініть значення виразу: 1) m + 1; 2) m – 2; 3) 3m; 4) m/5; 5) -m; 6) -7m.
Дано:
- $2 < m < 10$
Знайти:
- Оцінити значення виразів 1)–6)
Розв’язання:
- Додамо до всіх частин нерівності число 1:
$2 + 1 < m + 1 < 10 + 1$
$3 < m + 1 < 11$ - Віднімемо від всіх частин нерівності число 2:
$2 – 2 < m – 2 < 10 – 2$
$0 < m – 2 < 8$ - Помножимо всі частини нерівності на 3:
$2 \cdot 3 < 3m < 10 \cdot 3$
$6 < 3m < 30$ - Поділимо всі частини нерівності на 5:
$\dfrac{2}{5} < \dfrac{m}{5} < \dfrac{10}{5}$
$0,4 < \dfrac{m}{5} < 2$ - Помножимо всі частини нерівності на $-1$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$-2 > -m > -10$
$-10 < -m < -2$ - Помножимо всі частини нерівності на $-7$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$2 \cdot (-7) > -7m > 10 \cdot (-7)$
$-14 > -7m > -70$
$-70 < -7m < -14$
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ
2.12. Порівняйте числа: 1) $\dfrac{1}{a}$ і $\dfrac{1}{b}$, якщо $a > 0$, $b > 0$ і $a < b$; 2) $\dfrac{1}{m}$ і $\dfrac{1}{n}$, якщо $m > n$, $m$ і $n$ — додатні числа.
- Оскільки $a$ та $b$ є додатними числами і $a < b$, то за наслідком із властивостей числових нерівностей при діленні одиниці на ці числа знак нерівності змінюється на протилежний, отже $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.
- Оскільки $m$ та $n$ є додатними числами і $m > n$, то за наслідком із властивостей числових нерівностей при переході до обернених чисел знак нерівності змінюється на протилежний, отже $\dfrac{1}{m} < \dfrac{1}{n}$.
2.13. Порівняйте числа: 1) $\dfrac{1}{x}$ і $\dfrac{1}{5}$, якщо $x > 5$; 2) $\dfrac{1}{b}$ і $\dfrac{1}{2}$, якщо $0 < b < 2$.
- Оскільки $x > 5$ і обидва числа є додатними, то за властивістю числових нерівностей для обернених чисел $\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{5}$.
- Оскільки $0 < b < 2$, обидва числа $b$ та $2$ є додатними, тому при переході до обернених величин знак нерівності змінюється на протилежний, отже $\dfrac{1}{b} > \dfrac{1}{2}$.
2.14. Порівняйте числа: 1) $\dfrac{1}{a}$ і $\dfrac{1}{9}$, якщо $0 < a < 9$; 2) $\dfrac{1}{c}$ і $\dfrac{1}{3}$, якщо $c > 3$.
- Оскільки $0 < a < 9$, числа $a$ та $9$ є додатними, отже за властивістю $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{9}$.
- Оскільки $c > 3$ і числа є додатними, то для обернених значень справджується нерівність $\dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{3}$.
2.15. Оцініть значення виразу $\dfrac{1}{a}$, якщо $10 < a < 20$.
Відомо:
- $10 < a < 20$
Знайти:
- оцінку для $\dfrac{1}{a} – ?$
Розв’язання:
Всі частини подвійної нерівності $10 < a < 20$ є додатними числами. За властивістю числових нерівностей, якщо $a < b < c$, то для додатних чисел $\dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}$.
$\dfrac{1}{20} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{10}$
Відповідь: $0,05 < \dfrac{1}{a} < 0,1$.
2.16. Оцініть значення виразу $\dfrac{1}{x}$, якщо $5 < x < 10$.
Відомо:
- $5 < x < 10$
Знайти:
- оцінку для $\dfrac{1}{x} – ?$
Розв’язання:
Оскільки всі частини нерівності $5 < x < 10$ є додатними, скористаємося властивістю: якщо $a < x < b$, то $\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{a}$.
$\dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{5}$
Відповідь: $0,1 < \dfrac{1}{x} < 0,2$.
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ
2.17. Порівняйте число а з нулем, якщо: 1) a + 2 > b + 2 і b ≥ 0,3; 2) a – 3 < p – 3 і p < -0,7; 3) 7a > 7x і x > 8; 4) -9a < -9b і b > 13.
1)
Відомо:
- $a + 2 > b + 2$
- $b \geq 0{,}3$
Порівняти:
- $a$ і $0$
Розв’язання:
$a + 2 > b + 2$
$a > b$
Оскільки $b \geq 0{,}3$, то $b > 0$. Якщо $a > b$ і $b > 0$, то $a > 0$.
Відповідь: $a > 0$.
2)
Відомо:
- $a – 3 < p – 3$
- $p < -0{,}7$
Порівняти:
- $a$ і $0$
Розв’язання:
$a – 3 < p – 3$
$a < p$
Оскільки $p < -0{,}7$, то $p < 0$. Якщо $a < p$ і $p < 0$, то $a < 0$.
Відповідь: $a < 0$.
3)
Відомо:
- $7a > 7x$
- $x > 8$
Порівняти:
- $a$ і $0$
Розв’язання:
$7a > 7x$
$a > x$
Оскільки $x > 8$, то $x > 0$. Якщо $a > x$ і $x > 0$, то $a > 0$.
Відповідь: $a > 0$.
4)
Відомо:
- $-9a < -9b$
- $b > 13$
Порівняти:
- $a$ і $0$
Розв’язання:
$-9a < -9b \mid : (-9)$
$a > b$
Оскільки $b > 13$, то $b > 0$. Якщо $a > b$ і $b > 0$, то $a > 0$.
Відповідь: $a > 0$.
2.18. Порівняйте число x з нулем, якщо: 1) x – 5 < y – 5 і y < -1; 2) x + 7 > a + 7 і a ≥ 1; 3) 2x > 2p і p > 0,17; 4) -x > -t і t < -2,5.
1)
Відомо:
- $x – 5 < y – 5$
- $y < -1$
Порівняти:
- $x$ і $0$
Розв’язання:
$x – 5 < y – 5$
$x < y$
Оскільки $y < -1$, то $y < 0$. Якщо $x < y$ і $y < 0$, то $x < 0$.
Відповідь: $x < 0$.
2)
Відомо:
- $x + 7 > a + 7$
- $a \geq 1$
Порівняти:
- $x$ і $0$
Розв’язання:
$x + 7 > a + 7$
$x > a$
Оскільки $a \geq 1$, то $a > 0$. Якщо $x > a$ і $a > 0$, то $x > 0$.
Відповідь: $x > 0$.
3)
Відомо:
- $2x > 2p$
- $p > 0{,}17$
Порівняти:
- $x$ і $0$
Розв’язання:
$2x > 2p \mid : 2$
$x > p$
Оскільки $p > 0{,}17$, то $p > 0$. Якщо $x > p$ і $p > 0$, то $x > 0$.
Відповідь: $x > 0$.
4)
Відомо:
- $-x > -t$
- $t < -2{,}5$
Порівняти:
- $x$ і $0$
Розв’язання:
$-x > -t \mid \cdot (-1)$
$x < t$
Оскільки $t < -2{,}5$, то $t < 0$. Якщо $x < t$ і $t < 0$, то $x < 0$.
Відповідь: $x < 0$.
2.19. Чи правильне твердження: 1) якщо a > 5, то 1/a < 1/5; 2) якщо a < 5, то 1/a > 1/5?
- Твердження правильне, оскільки для будь-яких додатних чисел $a$ і $b$, якщо $a > b$, то $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$. За умовою $a > 5$, отже обидва числа додатні, тому нерівність $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{5}$ є правильною.
- Твердження неправильне, оскільки воно не виконується для від’ємних значень $a$. Наприклад, якщо $a = -1$, то умова $-1 < 5$ виконується, проте $\dfrac{1}{-1} = -1$, а $-1$ не є більшим за $\dfrac{1}{5}$.
2.20. Відомо, що x > y. Порівняйте, якщо це можливо: 1) x + 2 і y; 2) y – 3 і x; 3) -x + 1 і -y + 1; 4) -x і -y + 8; 5) -(x + 1) і -y; 6) x – 1 і y + 2.
- $x + 2 > y$. Оскільки $x > y$ і $x + 2 > x$, то за властивістю транзитивності $x + 2 > y$.
- $y – 3 < x$. Оскільки $y < x$ і $y – 3 < y$, то за властивістю транзитивності $y – 3 < x$.
- $-x + 1 < -y + 1$. Якщо $x > y$, то за властивістю множення на від’ємне число $-x < -y$. Додавши до обох частин $1$, отримуємо $-x + 1 < -y + 1$.
- $-x < -y + 8$. Якщо $x > y$, то $-x < -y$. Оскільки $-y < -y + 8$ (бо $8 > 0$), то $-x < -y + 8$.
- $-(x + 1) < -y$. Оскільки $-(x + 1) = -x – 1$, а $-x – 1 < -x$ і $-x < -y$, то $-(x + 1) < -y$.
- Порівняти неможливо. Результат залежить від конкретних значень змінних: якщо $x=10, y=1$, то $9 > 3$; якщо $x=2, y=1$, то $1 < 3$; якщо $x=3, y=0$, то $2 = 2$.
2.21. Відомо, що a < b. Порівняйте, якщо це можливо: 1) a – 2 і b; 2) b + 3 і a; 3) -a + 2 і -b + 2; 4) -b – 7 і -a; 5) -a і -(b + 3); 6) a + 3 і b – 1.
- $a – 2 < b$. Оскільки $a < b$ і $a – 2 < a$, то $a – 2 < b$.
- $b + 3 > a$. Оскільки $b > a$ і $b + 3 > b$, то $b + 3 > a$.
- $-a + 2 > -b + 2$. Якщо $a < b$, то $-a > -b$. Додавши до обох частин $2$, отримуємо $-a + 2 > -b + 2$.
- $-b – 7 < -a$. Якщо $a < b$, то $-a > -b$. Оскільки $-b – 7 < -b$, то $-b – 7 < -a$.
- $-a > -(b + 3)$. Оскільки $-(b + 3) = -b – 3$, а $-a > -b$ і $-b > -b – 3$, то $-a > -(b + 3)$.
- Порівняти неможливо. Результат залежить від конкретних значень змінних: якщо $a=1, b=10$, то $4 < 9$; якщо $a=1, b=2$, то $4 > 1$; якщо $a=1, b=5$, то $4 = 4$.
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ
2.22. Відомо, що $1,2 < x < 1,5$. Оцініть значення виразу: 1) $2x + 0,7$; 2) $5 – x$; 3) $x/3 – 1$; 4) $2 – 10x$.
- Помножимо всі частини нерівності $1,2 < x < 1,5$ на 2:
$1,2 \cdot 2 < 2x < 1,5 \cdot 2$
$2,4 < 2x < 3,0$
Додамо до всіх частин 0,7:
$2,4 + 0,7 < 2x + 0,7 < 3,0 + 0,7$
$3,1 < 2x + 0,7 < 3,7$ - Помножимо всі частини нерівності $1,2 < x < 1,5$ на $-1$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$-1,5 < -x < -1,2$
Додамо до всіх частин 5:
$5 – 1,5 < 5 – x < 5 – 1,2$
$3,5 < 5 – x < 3,8$ - Поділимо всі частини нерівності $1,2 < x < 1,5$ на 3:
$\dfrac{1,2}{3} < \dfrac{x}{3} < \dfrac{1,5}{3}$
$0,4 < \dfrac{x}{3} < 0,5$
Віднімемо від усіх частин 1:
$0,4 – 1 < \dfrac{x}{3} – 1 < 0,5 – 1$
$-0,6 < \dfrac{x}{3} – 1 < -0,5$ - Помножимо всі частини нерівності $1,2 < x < 1,5$ на $-10$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$1,5 \cdot (-10) < -10x < 1,2 \cdot (-10)$
$-15 < -10x < -12$
Додамо до всіх частин 2:
$2 – 15 < 2 – 10x < 2 – 12$
$-13 < 2 – 10x < -10$
2.23. Відомо, що $0,8 < a < 1,2$. Оцініть значення виразу: 1) $3a – 0,2$; 2) $4 – a$; 3) $a/2 + 3$; 4) $10 – 5a$.
- Помножимо нерівність $0,8 < a < 1,2$ на 3:
$2,4 < 3a < 3,6$
Віднімемо 0,2:
$2,4 – 0,2 < 3a – 0,2 < 3,6 – 0,2$
$2,2 < 3a – 0,2 < 3,4$ - Помножимо нерівність $0,8 < a < 1,2$ на $-1$:
$-1,2 < -a < -0,8$
Додамо 4:
$4 – 1,2 < 4 – a < 4 – 0,8$
$2,8 < 4 – a < 3,2$ - Поділимо нерівність $0,8 < a < 1,2$ на 2:
$0,4 < \dfrac{a}{2} < 0,6$
Додамо 3:
$0,4 + 3 < \dfrac{a}{2} + 3 < 0,6 + 3$
$3,4 < \dfrac{a}{2} + 3 < 3,6$ - Помножимо нерівність $0,8 < a < 1,2$ на $-5$:
$1,2 \cdot (-5) < -5a < 0,8 \cdot (-5)$
$-6 < -5a < -4$
Додамо 10:
$10 – 6 < 10 – 5a < 10 – 4$
$4 < 10 – 5a < 6$
2.24. Оцініть значення виразу: 1) $20/a$, якщо $2 < a < 5$; 2) $1/(3a + 4)$, якщо $-1 < a < 4$.
- Для оцінки $\dfrac{20}{a}$ використаємо властивість: якщо $2 < a < 5$, то $\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{2}$.
Помножимо всі частини на 20:
$20 \cdot \dfrac{1}{5} < \dfrac{20}{a} < 20 \cdot \dfrac{1}{2}$
$4 < \dfrac{20}{a} < 10$ - Оцінимо знаменник $3a + 4$:
$-1 < a < 4 \quad | \cdot 3$
$-3 < 3a < 12 \quad | + 4$
$1 < 3a + 4 < 16$
Оскільки обидві частини додатні, застосуємо властивість для обернених чисел:
$\dfrac{1}{16} < \dfrac{1}{3a + 4} < \dfrac{1}{1}$
$\dfrac{1}{16} < \dfrac{1}{3a + 4} < 1$
2.25. Оцініть значення виразу: 1) $100/x$, якщо $5 < x < 10$; 2) $1/(2x – 3)$, якщо $2 < x < 4$.
- Якщо $5 < x < 10$, то для обернених величин:
$\dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{5}$
Помножимо на 100:
$100 \cdot \dfrac{1}{10} < \dfrac{100}{x} < 100 \cdot \dfrac{1}{5}$
$10 < \dfrac{100}{x} < 20$ - Оцінимо вираз у знаменнику $2x – 3$:
$2 < x < 4 \quad | \cdot 2$
$4 < 2x < 8 \quad | – 3$
$1 < 2x – 3 < 5$
Знайдемо межі для оберненого виразу:
$\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{2x – 3} < \dfrac{1}{1}$
$0,2 < \dfrac{1}{2x – 3} < 1$
2.26. Ділянка землі має форму рівностороннього трикутника, периметр якого дорівнює $P$ м. Оцініть сторону $a$ (у м), якщо $126 < P < 150$.
Дано:
- Трикутник рівносторонній
- $P = 3a$
- $126 < P < 150$
Знайти:
- $a – ?$
Розв’язання:
Оскільки трикутник рівносторонній, його сторона $a$ обчислюється за формулою:
$a = \dfrac{P}{3}$
За умовою:
$126 < P < 150$
Поділимо всі частини нерівності на 3:
$\dfrac{126}{3} < \dfrac{P}{3} < \dfrac{150}{3}$
$42 < a < 50$
Відповідь: $42 < a < 50$.
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ
2.27. Маса чотирьох однакових мішків із цукром дорівнює m кг. Оцініть масу p (у кг) одного такого мішка, якщо 192 < m < 204.
Відомо:
- $192 < m < 204$
- $p = \dfrac{m}{4}$
Оцінити:
- $p – ?$
Розв’язання:
Оскільки маса чотирьох мішків становить $m$ кг, то маса одного мішка $p$ обчислюється шляхом ділення загальної маси на 4.
$192 < m < 204$
Поділимо всі частини нерівності на 4:
$\dfrac{192}{4} < \dfrac{m}{4} < \dfrac{204}{4}$
$48 < p < 51$
Відповідь: $48 < p < 51$.
2.28. Порівняйте x і y, якщо: 1) x + 2 > m > y + 3; 2) x – 2 < p < y – 3.
- За умовою $x + 2 > y + 3$.
Віднімемо від обох частин нерівності число 2:
$x + 2 – 2 > y + 3 – 2$
$x > y + 1$
Оскільки $y + 1 > y$, то $x > y$. - За умовою $x – 2 < y – 3$.
Додамо до обох частин нерівності число 2:
$x – 2 + 2 < y – 3 + 2$
$x < y – 1$
Оскільки $y – 1 < y$, то $x < y$.
2.29. Порівняйте a і b, якщо: 1) a + 3 < c < b + 2; 2) a – 7 > d > b – 5.
- За умовою $a + 3 < b + 2$.
Віднімемо від обох частин нерівності число 3:
$a + 3 – 3 < b + 2 – 3$
$a < b – 1$
Оскільки $b – 1 < b$, то $a < b$. - За умовою $a – 7 > b – 5$.
Додамо до обох частин нерівності число 7:
$a – 7 + 7 > b – 5 + 7$
$a > b + 2$
Оскільки $b + 2 > b$, то $a > b$.
2.30. Відомо, що 1 < a < 2. Оцініть значення виразу 12 / (7 – 3a).
Відомо:
- $1 < a < 2$
Оцінити:
- $\dfrac{12}{7 – 3a} – ?$
Розв’язання:
Послідовно оцінимо складові виразу:
- Помножимо нерівність на $-3$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
$-3 \cdot 2 < -3 \cdot a < -3 \cdot 1$
$-6 < -3a < -3$ - Додамо до всіх частин число 7:
$7 – 6 < 7 – 3a < 7 – 3$
$1 < 7 – 3a < 4$ - Застосуємо властивість для обернених чисел ($1 < a < b \Rightarrow \dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}$):
$\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{7 – 3a} < \dfrac{1}{1}$
$\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{7 – 3a} < 1$ - Помножимо всі частини на 12:
$12 \cdot \dfrac{1}{4} < \dfrac{12}{7 – 3a} < 12 \cdot 1$
$3 < \dfrac{12}{7 – 3a} < 12$
Відповідь: $3 < \dfrac{12}{7 – 3a} < 12$.
2.31. Відомо, що 2 < b < 5. Оцініть значення виразу 27 / (13 – 2b).
Відомо:
- $2 < b < 5$
Оцінити:
- $\dfrac{27}{13 – 2b} – ?$
Розв’язання:
- Помножимо нерівність на $-2$, змінюючи знаки:
$-2 \cdot 5 < -2 \cdot b < -2 \cdot 2$
$-10 < -2b < -4$ - Додамо до всіх частин число 13:
$13 – 10 < 13 – 2b < 13 – 4$
$3 < 13 – 2b < 9$ - Застосуємо властивість для обернених чисел:
$\dfrac{1}{9} < \dfrac{1}{13 – 2b} < \dfrac{1}{3}$ - Помножимо всі частини на 27:
$27 \cdot \dfrac{1}{9} < \dfrac{27}{13 – 2b} < 27 \cdot \dfrac{1}{3}$
$3 < \dfrac{27}{13 – 2b} < 9$
Відповідь: $3 < \dfrac{27}{13 – 2b} < 9$.
2.32. Дано $-2 < x < 2$. Оцініть значення виразу $\dfrac{6}{x}$.
Відомо:
- $-2 < x < 2$
- $x \neq 0$
Знайти:
- оцінку виразу $\dfrac{6}{x}$
Розв’язання:
Оскільки дільник не може дорівнювати нулю, розглянемо два проміжки для змінної $x$.
- Якщо $0 < x < 2$, то за властивістю числових нерівностей для додатних чисел:
$\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{2}$
Помножимо обидві частини нерівності на додатне число 6:
$6 \cdot \dfrac{1}{x} > 6 \cdot \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{6}{x} > 3$
- Якщо $-2 < x < 0$, то за властивістю числових нерівностей для від’ємних чисел:
$\dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{2}$
Помножимо обидві частини нерівності на додатне число 6:
$6 \cdot \dfrac{1}{x} < 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)$
$\dfrac{6}{x} < -3$
Відповідь: $\dfrac{6}{x} < -3$ або $\dfrac{6}{x} > 3$.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
2.33. Виконайте дії:
- $\dfrac{x + 3y}{3x} – \dfrac{x + 2y}{2x}$
Для виконання віднімання зведемо дроби до спільного знаменника $6x$:
$\dfrac{2(x + 3y) – 3(x + 2y)}{6x} = \dfrac{2x + 6y – 3x – 6y}{6x} = \dfrac{-x}{6x} = -\dfrac{1}{6}$
- $\dfrac{1}{m(m + n)} + \dfrac{1}{n(m + n)}$
Спільним знаменником для цих дробів є вираз $mn(m + n)$:
$\dfrac{n + m}{mn(m + n)} = \dfrac{m + n}{mn(m + n)} = \dfrac{1}{mn}$
- $\dfrac{3p^2}{p – 2} – 3p$
Представимо ціле число у вигляді дробу та зведемо до спільного знаменника $p – 2$:
$\dfrac{3p^2 – 3p(p – 2)}{p – 2} = \dfrac{3p^2 – 3p^2 + 6p}{p – 2} = \dfrac{6p}{p – 2}$
- $\dfrac{a}{a – 5} + \dfrac{5}{5 – a}$
Змінимо знак у знаменнику другого дробу, щоб отримати спільний знаменник $a – 5$:
$\dfrac{a}{a – 5} – \dfrac{5}{a – 5} = \dfrac{a – 5}{a – 5} = 1$
2.34. Розв’яжіть рівняння:
- $\dfrac{x + 3}{x + 1} – \dfrac{x + 2}{1 – x} = \dfrac{x + 5}{x^2 – 1}$
Визначимо область допустимих значень (ОДЗ): $x \neq 1, x \neq -1$.
Перенесемо всі члени в одну сторону та зведемо до спільного знаменника $(x – 1)(x + 1)$:
$\dfrac{x + 3}{x + 1} + \dfrac{x + 2}{x – 1} – \dfrac{x + 5}{(x – 1)(x + 1)} = 0$
$(x + 3)(x – 1) + (x + 2)(x + 1) – (x + 5) = 0$
$x^2 + 2x – 3 + x^2 + 3x + 2 – x – 5 = 0$
$2x^2 + 4x – 6 = 0$
Поділимо рівняння на 2:
$x^2 + 2x – 3 = 0$
За теоремою Вієта коренями є $x_1 = -3$ та $x_2 = 1$.
Оскільки $x = 1$ не входить до ОДЗ, розв’язком є лише одне число.
Відповідь: -3.
- $\dfrac{3}{x} – \dfrac{x}{2 – x} = \dfrac{x + 2}{x^2 – 2x}$
Визначимо ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 2$.
Зведемо дроби до спільного знаменника $x(x – 2)$, попередньо змінивши знак у другому дробі:
$\dfrac{3}{x} + \dfrac{x}{x – 2} – \dfrac{x + 2}{x(x – 2)} = 0$
$3(x – 2) + x^2 – (x + 2) = 0$
$3x – 6 + x^2 – x – 2 = 0$
$x^2 + 2x – 8 = 0$
За теоремою Вієта коренями є $x_1 = -4$ та $x_2 = 2$.
Оскільки $x = 2$ не входить до ОДЗ, розв’язком є лише одне число.
Відповідь: -4.
2.35. Доведіть, що значення виразу $8^{15} – 2^{40}$ кратне числу 31.
Розв’язання:
Перетворимо вираз, звівши степені до спільної основи 2:
$8^{15} – 2^{40} = (2^3)^{15} – 2^{40} = 2^{45} – 2^{40}$
Винесемо спільний множник $2^{40}$ за дужки:
$2^{40} \cdot (2^5 – 1) = 2^{40} \cdot (32 – 1) = 2^{40} \cdot 31$
Оскільки один із множників отриманого добутку дорівнює 31, то і весь вираз ділиться націло на 31. Твердження доведено.
2.36. Відомо, що $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $2x^2 – 3x – 10 = 0$. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу $x_1^2 + x_2^2$.
Відомо:
- $2x^2 – 3x – 10 = 0$
- $x_1, x_2$ — корені рівняння
Знайти:
- $x_1^2 + x_2^2 – ?$
Розв’язання:
За теоремою Вієта для квадратного рівняння $ax^2 + bx + c = 0$:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-3}{2} = 1{,}5$
$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-10}{2} = -5$
Використаємо формулу квадрата суми для виділення шуканого виразу:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1 \cdot x_2$
Підставимо знайдені значення:
$x_1^2 + x_2^2 = (1{,}5)^2 – 2 \cdot (-5) = 2{,}25 + 10 = 12{,}25$
Відповідь: 12,25.
ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА
2.37. Визначте моделі з найвищим і найнижчим рейтингами серед тих, які подано в таблиці. Додаткове завдання. Спробуйте розв’язати задачу, використовуючи електронні таблиці, наприклад Excel.
Відомо:
- Формула рейтингу: $R = 4(2F + 2Q + D) – 0{,}01P$
- Дані моделей (P — ціна, F — функціональність, Q — якість, D — дизайн):
- Модель А: $P = 2800, F = 3, Q = 2, D = 4$
- Модель Б: $P = 3000, F = 3, Q = 3, D = 3$
- Модель В: $P = 3150, F = 4, Q = 2, D = 4$
- Модель Г: $P = 3400, F = 4, Q = 3, D = 2$
Знайти:
- Моделі з найвищим та найнижчим рейтингами.
Розв’язання:
Обчислимо рейтинг для кожної моделі за заданою формулою:
- Для моделі А:
$R_A = 4 \cdot (2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 4) – 0{,}01 \cdot 2800$
$R_A = 4 \cdot (6 + 4 + 4) – 28 = 4 \cdot 14 – 28 = 56 – 28 = 28$ - Для моделі Б:
$R_Б = 4 \cdot (2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 + 3) – 0{,}01 \cdot 3000$
$R_Б = 4 \cdot (6 + 6 + 3) – 30 = 4 \cdot 15 – 30 = 60 – 30 = 30$ - Для моделі В:
$R_В = 4 \cdot (2 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 4) – 0{,}01 \cdot 3150$
$R_В = 4 \cdot (8 + 4 + 4) – 31{,}5 = 4 \cdot 16 – 31{,}5 = 64 – 31{,}5 = 32{,}5$ - Для моделі Г:
$R_Г = 4 \cdot (2 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 2) – 0{,}01 \cdot 3400$
$R_Г = 4 \cdot (8 + 6 + 2) – 34 = 4 \cdot 16 – 34 = 64 – 34 = 30$
Зведемо результати в таблицю:
| Модель блендера | Середня ціна, $P$ (грн) | Функціональність, $F$ | Якість, $Q$ | Дизайн, $D$ | Рейтинг, $R$ |
|---|---|---|---|---|---|
| А | 2800 | 3 | 2 | 4 | 28 |
| Б | 3000 | 3 | 3 | 3 | 30 |
| В | 3150 | 4 | 2 | 4 | 32,5 |
| Г | 3400 | 4 | 3 | 2 | 30 |
Порівнюючи отримані результати: $32{,}5 > 30 > 28$.
Найвищий рейтинг має модель В ($R = 32{,}5$), найнижчий рейтинг має модель А ($R = 28$).
Відповідь: найвищий рейтинг у моделі В, найнижчий — у моделі А.
ЦІКАВІ ЗАДАЧІ — ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ
2.38. 1) Пригадайте алгебраїчні поняття і впишіть їх у рядки кросворда, деякі літери до якого вже внесено. 2) Користуючись додатковими джерелами інформації, зокрема інтернетом, знайдіть відомості про ці географічні об’єкти.
- Заповнений кросворд (алгебраїчні поняття підібрані відповідно до підказок у клітинках та вертикального слова):
| № | Слово | Пояснення |
|---|---|---|
| 1 | Г Р А Ф І К | Геометричне представлення функції (містить літеру Ф). |
| 2 | О Б Л А С Т Ь | Область визначення або значень (містить літеру Б). |
| 3 | В Е Р Ш И Н А | Точка параболи (містить літеру Н). |
| 4 | Е Л Е М Е Н Т Ь | Частина множини (умовно, для завершення вертикалі та містить Ь). |
| 5 | Р І З Н И Ц Я | Результат віднімання (містить літеру І). |
| 6 | Л О Г А Р И Ф М | Математичне поняття (містить літеру М). |
| 7 | А Б С Ц И С А | Координата $x$ (містить літеру С). |
Назва гори у виділеному першому стовпчику: ГОВЕРЛА.
Літери у зафарбованих клітинках (Ф, Б, Н, Ь, І, М, С) дозволяють скласти назву річки: СИМФОНІЯ (якщо розглядати це як метафоричну назву) або, зважаючи на географію України, річку ЛИБІДЬ чи СИНЮХА (якщо припустити варіативність кросворда). Проте найімовірніше, за набором літер і контекстом, мається на увазі річка ІНГУЛЕЦЬ (хоча набір літер у кросворді є специфічним).
- Відомості про географічні об’єкти:
- Говерла — найвища вершина Українських Карпат і найвища точка України, її висота становить 2061 метр над рівнем моря. Вона розташована на межі Івано-Франківської та Закарпатської областей у масиві Чорногора. Говерла є популярним об’єктом пішохідного туризму.
- Симфонія (якщо мається на увазі назва) — у географії України частіше зустрічається як назва пам’яток, проте з вказаних літер найвідомішою річкою, що протікає територією України, є ІНГУЛЕЦЬ (права притока Дніпра) або ЛИБІДЬ (права притока Дніпра в межах Києва), які є важливими водними артеріями та історичними символами.