19. Формула складних відсотків

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 19.1. Вкладник поклав на депозитний рахунок 100 000 грн під 11 % річних.
1) Скільки коштів буде на цьому рахунку через 3 роки; через 5 років?
2) Скільки відсоткових коштів матиме вкладник через 3 роки; через 5 років?

Розв’язання:

За формулою складних відсотків:
$A_n=A_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$

За умовою: $A_0=100000\text{ грн}$, $p=11\%$.

1) Знайдемо суму коштів на рахунку:

Через 3 роки ($n=3$):
$A_3=100000\cdot {\left(1+\frac{11}{100}\right)}^3=100000\cdot 1,11^3=100000\cdot 1,367631=136763,1\text{ (грн)}$

Через 5 років ($n=5$):
$A_5=100000\cdot {\left(1+\frac{11}{100}\right)}^5=100000\cdot 1,11^5\approx 100000\cdot 1,6850582\approx 168505,82\text{ (грн)}$

2) Знайдемо суму відсоткових коштів (прибутку):

Через 3 роки:
$A_3-A_0=136763,1-100000=36763,1\text{ (грн)}$

Через 5 років:
$A_5-A_0=168505,82-100000=68505,82\text{ (грн)}$

Відповідь:

1) $136763,1\text{ грн}$; $168505,82\text{ грн}$;

2) $36763,1\text{ грн}$; $68505,82\text{ грн}$.

№ 19.2. Вкладниця відкрила в банку депозитний рахунок на 200 000 грн під 12 % річних.
1) Якою буде сума на рахунку через 2 роки; через 4 роки?
2) Скільки відсоткових коштів отримає вкладниця за 2 роки; за 4 роки?

Розв’язання:

За формулою складних відсотків:
$A_n=A_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$

За умовою: $A_0=200000\text{ грн}$, $p=12\%$.

1) Сума на рахунку:
Через 2 роки:
$A_2=200000\cdot {\left(1+\frac{12}{100}\right)}^2=200000\cdot 1,12^2=200000\cdot 1,2544=250880\text{ (грн)}$

Через 4 роки:
$A_4=200000\cdot {\left(1+\frac{12}{100}\right)}^4=200000\cdot 1,12^4=200000\cdot 1,57351936=314703,872\approx 314703,87\text{ (грн)}$

2) Відсоткові кошти (прибуток):
За 2 роки:
$A_2-A_0=250880-200000=50880\text{ (грн)}$

За 4 роки:
$A_4-A_0\approx 314703,87-200000=114703,87\text{ (грн)}$

Відповідь: 1) $250880\text{ грн}$, $\approx 314703,87\text{ грн}$; 2) $50880\text{ грн}$, $\approx 114703,87\text{ грн}$.

№ 19.3. Вкладник відкрив депозит на 80 000 грн під 9 % річних. Складіть формулу для обчислення відсоткових коштів вкладника через $n$ років. Обчисліть за цією формулою відсоткові кошти, якщо: $n=2$; $n=3$.

Розв’язання:

Сума коштів на рахунку через $n$ років за формулою складних відсотків:

$A_n=A_0\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$

де $A_0=80000\text{ грн}$, $p=9\%$:

$A_n=80000\cdot 1,09^n$

Відсоткові кошти вкладника (нарощений прибуток) дорівнюють різниці між нарощеною сумою $A_n$ та початковим вкладом $A_0$:

$A_n-A_0=80000\cdot 1,09^n-80000=80000(1,09^n-1)\text{ (грн)}$

Обчислимо відсоткові кошти:

1) якщо $n=2$:
$80000\cdot (1,09^2-1)=80000\cdot (1,1881-1)=80000\cdot 0,1881=15048\text{ (грн)}$

2) якщо $n=3$:
$80000\cdot (1,09^3-1)=80000\cdot (1,295029-1)=80000\cdot 0,295029=23602,32\text{ (грн)}$

Відповідь: $80000(1,09^n-1)\text{ грн}$; $15048\text{ грн}$; $23602,32\text{ грн}$.

№ 19.4. Яку мінімальну суму коштів треба покласти в банк під 12 % річних, щоб через 2 роки мати на рахунку більше, ніж 100 000 грн? Відповідь округліть до тисяч гривень.

Розв’язання:
Нехай початкова сума коштів становить $x\text{ грн}$.

За формулою складних відсотків $A_n=A_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$ через $2\text{ роки}$ під $12\text{ \%}$ річних на рахунку буде:

$A_2=x{\left(1+\frac{12}{100}\right)}^2$

За умовою ця сума має бути більшою за $100000\text{ грн}$:

$x\cdot (1,12{)}^2>100000$

$1,2544x>100000$

$x>\frac{100000}{1,2544}$

$x>79719,\mathrm{38...}$

Округливши до тисяч гривень, отримаємо:
$x\approx 80000\text{ грн}$.

Відповідь: $80000\text{ грн.}$

№ 19.5. Яку суму треба внести на депозит під 10 % річних, щоб одержати через 2 роки прибуток у розмірі 12 180 грн?

Розв’язання:
Нехай початкова сума вкладу становить $A_0=x\text{ грн}$.

За формулою складних відсотків $A_n=A_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$ через $n=2\text{ роки}$ під $p=10\text{ \%}$ сума на рахунку становитиме:
$A_2=x{\left(1+\frac{10}{100}\right)}^2$
$A_2=x\cdot 1,1^2$
$A_2=1,21x\text{ (грн)}$

Прибуток дорівнює різниці нарощеної суми та початкового вкладу:
$A_2-A_0=1,21x-x=0,21x\text{ (грн)}$

За умовою задачі прибуток становить $12180\text{ грн}$. Складемо рівняння:
$0,21x=12180$
$x=\frac{12180}{0,21}$
$x=58000$

Отже, на депозит треба внести $58000\text{ грн}$.

Відповідь: $58000\text{ грн.}$

№ 19.6. Яку суму треба внести на депозит під 5 % річних, щоб одержати через 2 роки прибуток у розмірі 8200 грн?

Розв’язання:
Нехай початкова сума вкладу становить $A_0=x\text{ грн}$.

За формулою складних відсотків сума коштів на рахунку через $n=2\text{ роки}$ під $p=5\text{ \%}$ річних дорівнює:

$A_n=A_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$

$A_2=x{\left(1+\frac{5}{100}\right)}^2=x\cdot 1,05^2=1,1025x$

Прибуток за 2 роки дорівнює різниці між нарощеною сумою та початковим вкладом:

$A_2-A_0=1,1025x-x=0,1025x$

За умовою задачі прибуток становить $8200\text{ грн}$. Складемо рівняння:

$0,1025x=8200$

$x=\frac{8200}{0,1025}$

$x=80000$

Отже, на депозит потрібно внести $80000\text{ грн}$.

Відповідь: $80000\text{ грн.}$

№ 19.7. Товар коштує 2000 грн. Щомісяця ціна товару знижується на 3%. Якою буде ціна товару через:
1) 3 місяці;
2) пів року?
Відповідь округліть до сотих гривні.

Розв’язання:

Початкова ціна товару $A_0=2000\text{ грн}$, щомісячне зниження $p=3\%$.
За формулою складних відсотків:

$A_n=A_0\cdot {\left(1-\frac{p}{100}\right)}^n$

1) Через $n=3\text{ місяці}$:
$A_3=2000\cdot {\left(1-\frac{3}{100}\right)}^3$
$A_3=2000\cdot (0,97{)}^3$
$A_3=2000\cdot 0,912673=1825,346\approx 1825,35\text{ (грн)}$

2) Пів року — це $6\text{ місяців}$, тобто $n=6$:
$A_6=2000\cdot {\left(1-\frac{3}{100}\right)}^6$
$A_6=2000\cdot (0,97{)}^6$
$A_6\approx 2000\cdot 0,832972=1665,944\approx 1665,94\text{ (грн)}$

Відповідь: 1) $1825,35\text{ грн}$; 2) $1665,94\text{ грн}$.

№ 19.8. Населення міста становить $50000$ осіб і щороку зменшується на $1\%$. Якою буде кількість населення міста через:
1) $5$ років;
2) $10$ років?

Розв’язання:
За формулою складних відсотків при зменшенні величини:
$A_n=A_0{\left(1-\frac{p}{100}\right)}^n$

де $A_0=50000$, $p=1\%$.

1) Через $5$ років ($n=5$):
$A_5=50000\cdot {\left(1-\frac{1}{100}\right)}^5$
$A_5=50000\cdot 0,99^5$
$A_5\approx 50000\cdot 0,95099\approx 47550\text{ (осіб)}$

2) Через $10$ років ($n=10$):
$A_{10}=50000\cdot {\left(1-\frac{1}{100}\right)}^{10}$
$A_{10}=50000\cdot 0,99^{10}$
$A_{10}\approx 50000\cdot 0,90438\approx 45219\text{ (осіб)}$

Відповідь: 1) $\approx 47550\text{ осіб}$; 2) $\approx 45219\text{ осіб}$.

№ 19.9. Який відсоток річних має нараховувати банк, щоб через три роки початковий розмір вкладу збільшився в $1\frac{91}{125}$ раза?

Розв’язання:

За формулою складних відсотків:
$A_n=A_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$

За умовою задачі $n=3$, а нарощений капітал становить $A_3=1\frac{91}{125}{A}_0$.

Складемо рівняння:
$A_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^3=1\frac{91}{125}{A}_0$

Оскільки $A_0>0$, поділимо обидві частини рівняння на $A_0$:
${\left(1+\frac{p}{100}\right)}^3=1\frac{91}{125}$

Перетворимо мішане число у неправильний дріб:
$1\frac{91}{125}=\frac{1\cdot 125+91}{125}=\frac{216}{125}$

Отримуємо:
${\left(1+\frac{p}{100}\right)}^3=\frac{216}{125}$

${\left(1+\frac{p}{100}\right)}^3={\left(\frac{6}{5}\right)}^3$

$1+\frac{p}{100}=\frac{6}{5}$

$1+\frac{p}{100}=1,2$

$\frac{p}{100}=0,2$

$p=0,2\cdot 100$

$p=20$

Відповідь: $20\%$.

№ 19.10. Скільки цілих розв’язків має нерівність $x(x-2)+3x\ge 2x(x+1)-6$?

Розв’язання:

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:
$x^2-2x+3x\ge 2x^2+2x-6$
$x^2+x\ge 2x^2+2x-6$
$x^2+x-2x^2-2x+6\ge 0$
$-x^2-x+6\ge 0$
$x^2+x-6\le 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^2+x-6=0$:
За теоремою Вієта:
$x_1=-3$
$x_2=2$

Розв’язком нерівності $x^2+x-6\le 0$ є проміжок:
$x\in [-3;2]$

Цілими розв’язками нерівності є числа:
$-3$; $-2$; $-1$; $0$; $1$; $2$.

Кількість цілих розв’язків становить 6.

Відповідь: 6.

№ 19.11. Розв’яжіть систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=12\\ \frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=3\end{array}$

Розв’язання:

ОДЗ: $x\ne 0$, $y\ne 0$.

Розглянемо друге рівняння системи:

$\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=3$

Нехай $\frac{x}{y}=t$, тоді $\frac{y}{x}=\frac{1}{t}$. Отримуємо рівняння:

$t+\frac{2}{t}=3$

Помножимо обидві частини на $t\ne 0$:

$t^2-3t+2=0$

За теоремою Вієта:
$t_1=1$
$t_2=2$

Повернемося до заміни:

1) Якщо $t=1$, то:
$\frac{x}{y}=1$
$x=y$

Підставимо у перше рівняння:
$y^2-y^2=12$
$0=12$ — рівняння не має розв’язків.

2) Якщо $t=2$, то:
$\frac{x}{y}=2$
$x=2y$

Підставимо у перше рівняння:
$(2y{)}^2-y^2=12$
$4y^2-y^2=12$
$3y^2=12$
$y^2=4$
$y_1=2$ або $y_2=-2$

Знайдемо відповідні значення $x$:
Якщо $y_1=2$, то $x_1=2\cdot 2=4$.
Якщо $y_2=-2$, то $x_2=2\cdot (-2)=-4$.

Обидва розв’язки задовольняють ОДЗ.

Відповідь: $(4;2)$, $(-4;-2)$.

№ 19.12. Волонтерська організація збирає кошти для закупівлі пластмаси, яка використовується для друку необхідних виробів на 3D-принтері. За місяць вдалося зібрати 51 000 грн волонтерських коштів. На ринку є такі пропозиції

Як краще розпорядитися зібраними коштами?**

Розв’язання:

Обчислимо кількість пластмаси, яку можна придбати у кожного продавця на суму 51 000 грн.

1) Продавець 1:
$m_1=\frac{51000}{270}=\frac{1700}{9}=188\frac{8}{9}\text{ кг}\approx 188,89\text{ кг}$

2) Продавець 2:
Ціна за $1\text{ кг}$ зі знижкою $15\%$:
$300\cdot (1-0,15)=300\cdot 0,85=255\text{ (грн)}$
Кількість пластмаси:
$m_2=\frac{51000}{255}=200\text{ (кг)}$
Оскільки $200\text{ кг}>10\text{ кг}$, умова надання знижки виконується.

3) Продавець 3:
Ціна за $1\text{ кг}$ зі знижкою $20\%$:
$320\cdot (1-0,20)=320\cdot 0,8=256\text{ (грн)}$
Кількість пластмаси:
$m_3=\frac{51000}{256}=199,21875\text{ кг}\approx 199,22\text{ кг}$
Оскільки $199,22\text{ кг}>15\text{ кг}$, умова надання знижки виконується.

Порівняємо отримані результати:
$200\text{ кг}>199,22\text{ кг}>188,89\text{ кг}$

Отже, найбільшу кількість матеріалу ($200\text{ кг}$) можна придбати у другого продавця.

Відповідь: найкраще придбати пластмасу у продавця 2 ($200\text{ кг}$).

№ 19.13. (Національна олімпіада Румунії, 1981 р.) Розв’яжіть рівняння $x^6+3x^3+1=y^4$ у цілих числах.

Розв’язання:

Запишемо рівняння у вигляді:

$x^6+3x^3+1=(y^2{)}^2$

Оскільки $y\in \mathbb{Z}$, то $y^2$ — невід’ємне ціле число, а $(y^2{)}^2$ — точний квадрат цілого числа.

Розглянемо можливі значення для $x$:

1) Якщо $x=0$:
$0^6+3\cdot 0^3+1=y^4$
$y^4=1$
$y=1$ або $y=-1$
Отримуємо розв’язки: $(0;1)$ та $(0;-1)$.

2) Якщо $x=-1$:
$(-1{)}^6+3\cdot (-1{)}^3+1=y^4$
$1-3+1=y^4$
$y^4=-1$
Рівняння не має цілих розв’язків, оскільки $y^4\ge 0$.

3) Якщо $x>0$ (тобто $x\ge 1$ і $x^3>0$):
Порівняємо вираз $x^6+3x^3+1$ із двома послідовними квадратами $(x^3+1{)}^2$ та $(x^3+2{)}^2$:
$(x^3+1{)}^2=x^6+2x^3+1$
$(x^3+2{)}^2=x^6+4x^3+4$

Оскільки для $x>0$:
$(x^6+3x^3+1)-(x^6+2x^3+1)=x^3>0$
$(x^6+4x^3+4)-(x^6+3x^3+1)=x^3+3>0$

Отримуємо подвійну нерівність:
$(x^3+1{)}^2<(y^2{)}^2<(x^3+2{)}^2$

Між квадратами двох послідовних цілих чисел $(x^3+1)$ та $(x^3+2)$ не існує іншого точного квадрата цілого числа. Отже, при $x>0$ рівняння розв’язків не має.

4) Якщо $x\le -2$:
Нехай $x=-k$, де $k\ge 2$, $k\in \mathbb{Z}$. Тоді:
$(-k{)}^6+3(-k{)}^3+1=(y^2{)}^2$
$k^6-3k^3+1=(y^2{)}^2$

Порівняємо цей вираз із квадратами $(k^3-2{)}^2$ та $(k^3-1{)}^2$:
$(k^3-2{)}^2=k^6-4k^3+4$
$(k^3-1{)}^2=k^6-2k^3+1$

Оскільки $k\ge 2$, то $k^3\ge 8$:
$(k^6-3k^3+1)-(k^3-2{)}^2=k^3-3\ge 8-3=5>0$
$(k^3-1{)}^2-(k^6-3k^3+1)=k^3\ge 8>0$

Звідси маємо:
$(k^3-2{)}^2<(y^2{)}^2<(k^3-1{)}^2$

Число $(y^2{)}^2$ міститься строго між двома послідовними цілими квадратами, тому не може бути точним квадратом цілого числа. Отже, при $x\le -2$ рівняння розв’язків не має.

Відповідь: $(0;1)$, $(0;-1)$.