18. Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена геометричної прогресії

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 18.1. Які з послідовностей є геометричними прогресіями? Укажіть для них перший член і знаменник:
1) $3$ , $6$ , $12$ ;
2) $7$ , $7$ , $7$ ;
3) $1$ , $2$ , $3$ ;
4) $8$ , $- 8$ , $8$ ;
5) $9$ , $3$ , $1$ ;
6) $2$ , $4$ , $6$ .

Розв’язання:

Послідовність є геометричною прогресією, якщо відношення кожного її члена, починаючи з другого, до попереднього є сталим числом $q$ (знаменником прогресії).

1) Знайдемо відношення послідовних членів:
$\frac{6}{3} = 2$
$\frac{12}{6} = 2$
Відношення стале, тому послідовність є геометричною прогресією, у якої $b_{1} = 3$ , $q = 2$ .

2) Знайдемо відношення послідовних членів:
$\frac{7}{7} = 1$
$\frac{7}{7} = 1$
Відношення стале, тому послідовність є геометричною прогресією, у якої $b_{1} = 7$ , $q = 1$ .

3) Знайдемо відношення послідовних членів:
$\frac{2}{1} = 2$
$\frac{3}{2} = 1, 5$
Оскільки $2 \neq = 1, 5$ , відношення не є сталим, тому послідовність не є геометричною прогресією.

4) Знайдемо відношення послідовних членів:
$\frac{- 8}{8} = - 1$
$\frac{8}{- 8} = - 1$
Відношення стале, тому послідовність є геометричною прогресією, у якої $b_{1} = 8$ , $q = - 1$ .

5) Знайдемо відношення послідовних членів:
$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$
Відношення стале, тому послідовність є геометричною прогресією, у якої $b_{1} = 9$ , $q = \frac{1}{3}$ .

6) Знайдемо відношення послідовних членів:
$\frac{4}{2} = 2$
$\frac{6}{4} = 1, 5$
Оскільки $2 \neq = 1, 5$ , відношення не є сталим, тому послідовність не є геометричною прогресією.

Відповідь: 1) $b_{1} = 3$ , $q = 2$ ; 2) $b_{1} = 7$ , $q = 1$ ; 3) не є геометричною прогресією; 4) $b_{1} = 8$ , $q = - 1$ ; 5) $b_{1} = 9$ , $q = \frac{1}{3}$ ; 6) не є геометричною прогресією.

№ 18.2. Чи є геометричною прогресією послідовність:
1) натуральних чисел: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , …;
2) натуральних степенів числа $2$ : $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , …;
3) натуральних степенів числа $- 5$ : $- 5$ , $25$ , $- 125$ , $625$ , …;
4) кубів натуральних чисел: $1$ , $8$ , $27$ , $64$ , $125$ , …?

Розв’язання:

Послідовність є геометричною прогресією, якщо для кожного її члена, починаючи з другого, відношення наступного члена до попереднього є сталим: $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = q$ .

1) Перевіримо відношення сусідніх членів:
$\frac{2}{1} = 2$
$\frac{3}{2} = 1, 5$
$2 \neq = 1, 5$
Відношення не є сталим, отже, послідовність не є геометричною прогресією.

2) Перевіримо відношення сусідніх членів:
$\frac{4}{2} = 2$
$\frac{8}{4} = 2$
$\frac{16}{8} = 2$
Відношення є сталим ( $q = 2$ ), отже, послідовність є геометричною прогресією.

3) Перевіримо відношення сусідніх членів:
$\frac{25}{- 5} = - 5$
$\frac{- 125}{25} = - 5$
$\frac{625}{- 125} = - 5$
Відношення є сталим ( $q = - 5$ ), отже, послідовність є геометричною прогресією.

4) Перевіримо відношення сусідніх членів:
$\frac{8}{1} = 8$
$\frac{27}{8} = 3, 375$
$8 \neq = 3, 375$
Відношення не є сталим, отже, послідовність не є геометричною прогресією.

Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) так; 4) ні.

№ 18.3. Знайдіть чотири перших члени геометричної прогресії $(b_{n})$ зі знаменником $q$ , якщо:
1) $b_{1} = 10$ , $q = 2$ ;
2) $b_{1} = - 20$ , $q = 0, 1$ ;
3) $b_{1} = - 5$ , $q = - 3$ ;
4) $b_{1} = 8$ , $q = \frac{1}{2}$ .

Розв’язання:

За рекурентною формулою геометричної прогресії $b_{n} = b_{n - 1} \cdot q$ :

1) $b_{1} = 10$
$b_{2} = 10 \cdot 2 = 20$
$b_{3} = 20 \cdot 2 = 40$
$b_{4} = 40 \cdot 2 = 80$

2) $b_{1} = - 20$
$b_{2} = - 20 \cdot 0, 1 = - 2$
$b_{3} = - 2 \cdot 0, 1 = - 0, 2$
$b_{4} = - 0, 2 \cdot 0, 1 = - 0, 02$

3) $b_{1} = - 5$
$b_{2} = - 5 \cdot (- 3) = 15$
$b_{3} = 15 \cdot (- 3) = - 45$
$b_{4} = - 45 \cdot (- 3) = 135$

4) $b_{1} = 8$
$b_{2} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$
$b_{3} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$
$b_{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Відповідь:

1) $10$ ; $20$ ; $40$ ; $80$ ;

2) $- 20$ ; $- 2$ ; $- 0, 2$ ; $- 0, 02$ ;

3) $- 5$ ; $15$ ; $- 45$ ; $135$ ;

4) $8$ ; $4$ ; $2$ ; $1$ .

№ 18.4. Знайдіть п’ять перших членів геометричної прогресії $(b_{n})$ зі знаменником $q$ , якщо:
1) $b_{1} = 125$ , $q = - \frac{1}{5}$ ;
2) $b_{1} = 0, 5$ , $q = 10$ .

Розв’язання:

За означенням геометричної прогресії $b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$ :

$b_{1} = 125$
$b_{2} = 125 \cdot (- \frac{1}{5}) = - 25$
$b_{3} = - 25 \cdot (- \frac{1}{5}) = 5$
$b_{4} = 5 \cdot (- \frac{1}{5}) = - 1$
$b_{5} = - 1 \cdot (- \frac{1}{5}) = \frac{1}{5} = 0, 2$

$b_{1} = 0, 5$
$b_{2} = 0, 5 \cdot 10 = 5$
$b_{3} = 5 \cdot 10 = 50$
$b_{4} = 50 \cdot 10 = 500$
$b_{5} = 500 \cdot 10 = 5000$

Відповідь:

1) $125$ ; $- 25$ ; $5$ ; $- 1$ ; $0, 2$ .

2) $0, 5$ ; $5$ ; $50$ ; $500$ ; $5000$ .

№ 18.5. $(x_{n})$ — геометрична прогресія, $x_{1} = \frac{1}{32}$ , $q = - 2$ . Знайдіть:
1) $x_{2}$ ;
2) $x_{5}$ ;
3) $x_{8}$ ;
4) $x_{k}$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$x_{n} = x_{1} \cdot q^{n - 1}$

1) $x_{2} = x_{1} \cdot q$
$x_{2} = \frac{1}{32} \cdot (- 2) = - \frac{1}{16}$

2) $x_{5} = x_{1} \cdot q^{4}$
$x_{5} = \frac{1}{32} \cdot (- 2)^{4} = \frac{1}{32} \cdot 16 = \frac{1}{2}$

3) $x_{8} = x_{1} \cdot q^{7}$
$x_{8} = \frac{1}{32} \cdot (- 2)^{7} = \frac{1}{32} \cdot (- 128) = - 4$

4) $x_{k} = x_{1} \cdot q^{k - 1}$
$x_{k} = \frac{1}{32} \cdot (- 2)^{k - 1}$

Відповідь: 1) $- \frac{1}{16}$ ; 2) $\frac{1}{2}$ ; 3) $- 4$ ; 4) $\frac{1}{32} \cdot (- 2)^{k - 1}$ .

№ 18.6. $(y_{n})$ — геометрична прогресія, $y_{1} = 81$ , $q = - \frac{1}{3}$ . Знайдіть:
1) $y_{2}$ ;
2) $y_{4}$ ;
3) $y_{7}$ ;
4) $y_{k}$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$y_{n} = y_{1} \cdot q^{n - 1}$

1) Знайдемо $y_{2}$ :
$y_{2} = y_{1} \cdot q$
$y_{2} = 81 \cdot (- \frac{1}{3}) = - 27$

2) Знайдемо $y_{4}$ :
$y_{4} = y_{1} \cdot q^{3}$
$y_{4} = 81 \cdot (- \frac{1}{3})^{3} = 81 \cdot (- \frac{1}{27}) = - 3$

3) Знайдемо $y_{7}$ :
$y_{7} = y_{1} \cdot q^{6}$
$y_{7} = 81 \cdot (- \frac{1}{3})^{6} = 81 \cdot \frac{1}{729} = \frac{1}{9}$

4) Знайдемо $y_{k}$ :
$y_{k} = y_{1} \cdot q^{k - 1}$
$y_{k} = 81 \cdot (- \frac{1}{3})^{k - 1}$

Відповідь: 1) $- 27$ ; 2) $- 3$ ; 3) $\frac{1}{9}$ ; 4) $81 \cdot (- \frac{1}{3})^{k - 1}$ .

№ 18.7. Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть:
1) $b_{6}$ , якщо $b_{1} = 1$ , $q = 2$ ;
2) $b_{5}$ , якщо $b_{1} = 125$ , $q = - \frac{1}{5}$ ;
3) $b_{7}$ , якщо $b_{1} = 64$ , $q = \frac{1}{2}$ ;
4) $b_{4}$ , якщо $b_{1} = 2$ , $q = \frac{1}{2}$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :

1) $b_{6} = b_{1} \cdot q^{5}$
$b_{6} = 1 \cdot 2^{5} = 32$

2) $b_{5} = b_{1} \cdot q^{4}$
$b_{5} = 125 \cdot (- \frac{1}{5})^{4} = 125 \cdot \frac{1}{625} = \frac{1}{5}$

3) $b_{7} = b_{1} \cdot q^{6}$
$b_{7} = 64 \cdot (\frac{1}{2})^{6} = 64 \cdot \frac{1}{64} = 1$

4) $b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$
$b_{4} = 2 \cdot (\frac{1}{2})^{3} = 2 \cdot \frac{1}{2 2} = \frac{1}{2}$

Відповідь: 1) 32; 2) $\frac{1}{5}$ ; 3) 1; 4) $\frac{1}{2}$ .

№ 18.8. Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть:
1) $b_{5}$ , якщо $b_{1} = 2$ , $q = - 1$ ;
2) $b_{4}$ , якщо $b_{1} = - 128$ , $q = \frac{1}{2}$ ;
3) $b_{7}$ , якщо $b_{1} = 64$ , $q = - \frac{1}{4}$ ;
4) $b_{3}$ , якщо $b_{1} = 3$ , $q = - 2$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :

1) $b_{5} = b_{1} \cdot q^{4}$
$b_{5} = 2 \cdot (- 1)^{4} = 2 \cdot 1 = 2$

2) $b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$
$b_{4} = - 128 \cdot (\frac{1}{2})^{3} = - 128 \cdot \frac{1}{8} = - 16$

3) $b_{7} = b_{1} \cdot q^{6}$
$b_{7} = 64 \cdot (- \frac{1}{4})^{6} = 64 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{1}{64}$

4) $b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$
$b_{3} = 3 \cdot (- 2)^{2} = 3 \cdot 2 = 6$

Відповідь: 1) 2; 2) -16; 3) $\frac{1}{64}$ ; 4) 6.

№ 18.9. Знайдіть шостий та $n$ -й члени геометричної прогресії:

1) $10000$ ; $1000$ ; $100$ ; …;
2) $3$ ; $- 6$ ; $12$ ; ….

Розв’язання:

1) Маємо $b_{1} = 10000$ , $b_{2} = 1000$ .

Знайдемо знаменник геометричної прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{1000}{10 000} = 0, 1$

За формулою $n$ -го члена $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :
$b_{6} = b_{1} \cdot q^{5}$
$b_{6} = 10000 \cdot 0, 1^{5} = 10000 \cdot 0, 00001 = 0, 1$

$b_{n} = 10000 \cdot 0, 1^{n - 1} = 1 0^{4} \cdot 1 0^{- (n - 1)} = 1 0^{5 - n}$

2) Маємо $b_{1} = 3$ , $b_{2} = - 6$ .

Знайдемо знаменник геометричної прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{- 6}{3} = - 2$

За формулою $n$ -го члена $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :
$b_{6} = b_{1} \cdot q^{5}$
$b_{6} = 3 \cdot (- 2)^{5} = 3 \cdot (- 32) = - 96$

$b_{n} = 3 \cdot (- 2)^{n - 1}$

Відповідь:
1) $b_{6} = 0, 1$ ; $b_{n} = 10000 \cdot 0, 1^{n - 1}$ (або $1 0^{5 - n}$ );
2) $b_{6} = - 96$ ; $b_{n} = 3 \cdot (- 2)^{n - 1}$ .

№ 18.10. Знайдіть п’ятий та $n$ -й члени геометричної прогресії:
1) $20$ , $5$ , $1, 25$ , …;
2) $4$ , $- 8$ , $16$ , ….

Розв’язання:

1) Перший член прогресії $b_{1} = 20$ , другий член $b_{2} = 5$ .
Знайдемо знаменник геометричної прогресії $q$ :
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :
$b_{5} = b_{1} \cdot q^{4}$
$b_{5} = 20 \cdot (\frac{1}{4})^{4} = 20 \cdot \frac{1}{256} = \frac{5}{64}$

$b_{n} = 20 \cdot (\frac{1}{4})^{n - 1} = \frac{20}{4 ^{n - 1}} = \frac{5 \cdot 4}{4 ^{n - 1}} = \frac{5}{4 ^{n - 2}}$

2) Перший член прогресії $b_{1} = 4$ , другий член $b_{2} = - 8$ .
Знайдемо знаменник геометричної прогресії $q$ :
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{- 8}{4} = - 2$

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :
$b_{5} = b_{1} \cdot q^{4}$
$b_{5} = 4 \cdot (- 2)^{4} = 4 \cdot 16 = 64$

$b_{n} = 4 \cdot (- 2)^{n - 1} = (- 2)^{2} \cdot (- 2)^{n - 1} = (- 2)^{n + 1}$

Відповідь:

1) $b_{5} = \frac{5}{64}$ , $b_{n} = \frac{5}{4 ^{n - 2}}$ ;

2) $b_{5} = 64$ , $b_{n} = (- 2)^{n + 1}$ .

№ 18.11. Знайдіть перший член геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо:
1) $b_{4} = 40$ , $q = 2$ ;
2) $b_{3} = 27$ , $q = - 3$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$

1) $b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$
$40 = b_{1} \cdot 2^{3}$
$40 = 8 b_{1}$
$b_{1} = \frac{40}{8}$
$b_{1} = 5$

2) $b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$
$27 = b_{1} \cdot (- 3)^{2}$
$27 = 9 b_{1}$
$b_{1} = \frac{27}{9}$
$b_{1} = 3$

Відповідь: 1) 5; 2) 3.

№ 18.12. Знайдіть перший член геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо:
1) $b_{3} = 100$ , $q = - 2$ ;
2) $b_{4} = 64$ , $q = 4$ .

Розв’язання:

Формула $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$

1) $b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$
$100 = b_{1} \cdot (- 2)^{2}$
$100 = b_{1} \cdot 4$
$b_{1} = \frac{100}{4}$
$b_{1} = 25$

2) $b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$
$64 = b_{1} \cdot 4^{3}$
$64 = b_{1} \cdot 64$
$b_{1} = \frac{64}{64}$
$b_{1} = 1$

Відповідь: 1) $25$ ; 2) $1$ .

№ 18.13.
1) $(b_{n})$ — геометрична прогресія, у якої $b_{2} = 6$ , $q = 2$ . Знайдіть $b_{4}$ .
2) Знайдіть, чому дорівнює $83 b_{4}$ , відтак дізнаєтеся, якого року на Олімпійських іграх уперше прозвучав гімн України.

Розв’язання:

1) За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$

Оскільки $b_{2} = b_{1} \cdot q$ , знайдемо перший член прогресії:
$b_{1} = \frac{b _{2}}{q}$
$b_{1} = \frac{6}{2} = 3$

Знайдемо $b_{4}$ :
$b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$
$b_{4} = 3 \cdot 2^{3} = 3 \cdot 8 = 24$

(або за формулою зв’язку членів прогресії: $b_{4} = b_{2} \cdot q^{2} = 6 \cdot 2^{2} = 6 \cdot 4 = 24$ )

2) Обчислимо значення виразу:
$83 \cdot b_{4} = 83 \cdot 24 = 1992$

Отже, гімн України вперше прозвучав на Олімпійських іграх у 1992 році.

Відповідь: 1) 24; 2) 1992 рік.

№ 18.14. Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть $b_{7}$ , якщо $b_{6} = 4$ , $b_{8} = 9$ .

Розв’язання:
За характеристичною властивістю геометричної прогресії:
$b_{7}^{2} = b_{6} \cdot b_{8}$
$b_{7}^{2} = 4 \cdot 9$
$b_{7}^{2} = 36$
$b_{7} = 6$ або $b_{7} = - 6$

Відповідь: $6$ або $- 6$ .

№ 18.15. Матеріальна точка за першу секунду подолала $5$ м, а за кожну наступну — утричі більшу за попередню відстань. Скільки метрів подолала матеріальна точка за четверту секунду?

Розв’язання:
Послідовність відстаней, які долає матеріальна точка за кожну секунду, утворює геометричну прогресію $(b_{n})$ , у якій:
$b_{1} = 5 м$
$q = 3$

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$

Знайдемо відстань, яку подолала точка за четверту секунду ( $n = 4$ ):
$b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$
$b_{4} = 5 \cdot 3^{3}$
$b_{4} = 5 \cdot 27$
$b_{4} = 135 (м)$

Відповідь: $135 м .$

№ 18.16. Ламана складається з п’яти ланок. Перша з них дорівнює 48 см, а кожна наступна вдвічі коротша від попередньої. Яка довжина п’ятої (найкоротшої) ланки?

Дано:

$(b_{n})$ — геометрична прогресія
$b_{1} = 48 см$
$q = \frac{1}{2}$
$n = 5$

Знайти:

$b_{5} - ?$

Розв’язання:
Довжини ланок ламаної утворюють геометричну прогресію $(b_{n})$ , перший член якої $b_{1} = 48 см$ , а знаменник $q = \frac{1}{2}$ .

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:

$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$

$b_{5} = b_{1} \cdot q^{4}$

Підставимо значення:

$b_{5} = 48 \cdot (\frac{1}{2})^{4}$

$b_{5} = 48 \cdot \frac{1}{16} = 3 (см)$

Відповідь: $3 см .$

№ 18.17. Доведіть, що послідовність $(x_{n})$ , задана формулою $x_{n} = 3 \cdot 4^{n}$ , є геометричною прогресією. Знайдіть її перший член і знаменник.

Розв’язання:
Знайдемо відношення $(n + 1)$ -го члена послідовності до $n$ -го:

$\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{3 \cdot 4 ^{n + 1}}{3 \cdot 4 ^{n}} = \frac{3 \cdot 4 ^{n} \cdot 4}{3 \cdot 4 ^{n}} = 4$

Оскільки відношення $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = 4$ є сталим числом для будь-якого натурального $n$ , то за означенням послідовність $(x_{n})$ є геометричною прогресією зі знаменником $q = 4$ .

Знайдемо перший член прогресії:
$x_{1} = 3 \cdot 4^{1} = 12$

Знаменник прогресії:
$q = 4$

Відповідь: $x_{1} = 12$ , $q = 4$ .

№ 18.18. Знайдіть знаменник геометричної прогресії $(b_{n})$ , у якої:
1) $b_{7} = 12$ , $b_{9} = 48$ ;
2) $b_{8} = 9$ , $b_{11} = 243$ ;
3) $b_{16} = 16$ , $b_{18} = 9$ ;
4) $b_{30} = 1$ , $b_{33} = - 1$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ . Звідси для будь-яких двох членів прогресії виконується співвідношення $b_{k} = b_{m} \cdot q^{k - m}$ .

1) $b_{9} = b_{7} \cdot q^{9 - 7}$
$b_{9} = b_{7} \cdot q^{2}$
$q^{2} = \frac{b _{9}}{b _{7}}$
$q^{2} = \frac{48}{12}$
$q^{2} = 4$
$q = 2$ або $q = - 2$

2) $b_{11} = b_{8} \cdot q^{11 - 8}$
$b_{11} = b_{8} \cdot q^{3}$
$q^{3} = \frac{b _{11}}{b _{8}}$
$q^{3} = \frac{243}{9}$
$q^{3} = 27$
$q = 3$

3) $b_{18} = b_{16} \cdot q^{18 - 16}$
$b_{18} = b_{16} \cdot q^{2}$
$q^{2} = \frac{b _{18}}{b _{16}}$
$q^{2} = \frac{9}{16}$
$q = \frac{3}{4}$ або $q = - \frac{3}{4}$

4) $b_{33} = b_{30} \cdot q^{33 - 30}$
$b_{33} = b_{30} \cdot q^{3}$
$q^{3} = \frac{b _{33}}{b _{30}}$
$q^{3} = \frac{- 1}{1}$
$q^{3} = - 1$
$q = - 1$

Відповідь: 1) $2$ або $- 2$ ; 2) $3$ ; 3) $\frac{3}{4}$ або $- \frac{3}{4}$ ; 4) $- 1$ .

№ 18.19. Знайдіть знаменник геометричної прогресії $(b_{n})$ , у якої:

1) $b_{10} = 11$ , $b_{12} = 99$ ;

2) $b_{10} = 27$ , $b_{13} = 1$ .

Розв’язання:

1) За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{12} = b_{10} \cdot q^{2}$
$q^{2} = \frac{b _{12}}{b _{10}}$
$q^{2} = \frac{99}{11}$
$q^{2} = 9$
$q = 3$ або $q = - 3$

2) За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{13} = b_{10} \cdot q^{3}$
$q^{3} = \frac{b _{13}}{b _{10}}$
$q^{3} = \frac{1}{27}$
$q = \frac{1}{3}$

Відповідь: 1) $3$ або $- 3$ ; 2) $\frac{1}{3}$ .

№ 18.20. Запишіть геометричну прогресію з п’яти членів, у якої третій член дорівнює 10, а знаменник дорівнює $- 2$ .

Розв’язання:
Нехай $(b_{n})$ — геометрична прогресія, де $b_{3} = 10$ , $q = - 2$ .

Знайдемо попередні члени прогресії:
$b_{2} = \frac{b _{3}}{q} = \frac{10}{- 2} = - 5$
$b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = \frac{- 5}{- 2} = 2, 5$

Знайдемо наступні члени прогресії:
$b_{4} = b_{3} \cdot q = 10 \cdot (- 2) = - 20$
$b_{5} = b_{4} \cdot q = - 20 \cdot (- 2) = 40$

Отримуємо п’ять членів геометричної прогресії:
$2, 5$ ; $- 5$ ; $10$ ; $- 20$ ; $40$ .

Відповідь: $2, 5$ ; $- 5$ ; $10$ ; $- 20$ ; $40$ .

№ 18.21. Запишіть геометричну прогресію із шести членів, четвертий член якої дорівнює $80$ , а знаменник дорівнює $- 4$ .

Розв’язання:
За умовою $b_{4} = 80$ , $q = - 4$ .

Знайдемо попередні члени прогресії:
$b_{3} = \frac{b _{4}}{q} = \frac{80}{- 4} = - 20$
$b_{2} = \frac{b _{3}}{q} = \frac{- 20}{- 4} = 5$
$b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = \frac{5}{- 4} = - 1, 25$

Знайдемо наступні члени прогресії:
$b_{5} = b_{4} \cdot q = 80 \cdot (- 4) = - 320$
$b_{6} = b_{5} \cdot q = - 320 \cdot (- 4) = 1280$

Шість членів геометричної прогресії:
$- 1, 25$ ; $5$ ; $- 20$ ; $80$ ; $- 320$ ; $1280$ .

Відповідь: $- 1, 25$ ; $5$ ; $- 20$ ; $80$ ; $- 320$ ; $1280$ .

№ 18.22. Послідовність $(x_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть $x_{5}$ , якщо $x_{1} = \frac{1}{2}$ , $x_{3} = \frac{1}{8}$ .

Розв’язання:
За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$x_{3} = x_{1} \cdot q^{2}$

Підставимо відомі значення:
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot q^{2}$
$q^{2} = \frac{1}{8} : \frac{1}{2}$
$q^{2} = \frac{1}{4}$

Оскільки $x_{5} = x_{3} \cdot q^{2}$ , маємо:
$x_{5} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$

Відповідь: $\frac{1}{32}$ .

№ 18.23. Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть $b_{1}$ , якщо $b_{4} = - 1$ , $b_{6} = - 100$ .

Розв’язання:
За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{4} = b_{1} \cdot q^{3} = - 1$
$b_{6} = b_{1} \cdot q^{5} = - 100$

Знайдемо знаменник прогресії $q$ :
$\frac{b _{6}}{b _{4}} = \frac{b _{1} \cdot q ^{5}}{b _{1} \cdot q ^{3}} = q^{2}$
$q^{2} = \frac{- 100}{- 1}$
$q^{2} = 100$
$q = 10$ або $q = - 10$

1) Якщо $q = 10$ :
$b_{1} \cdot 1 0^{3} = - 1$
$1000 b_{1} = - 1$
$b_{1} = - \frac{1}{1000}$

2) Якщо $q = - 10$ :
$b_{1} \cdot (- 10)^{3} = - 1$
$- 1000 b_{1} = - 1$
$b_{1} = \frac{1}{1000}$

Відповідь: $- \frac{1}{1000}$ або $\frac{1}{1000}$ .

№ 18.24. Послідовність $(c_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть:

1) $c_{1}$ , якщо $c_{3} = 10$ , $c_{5} = \frac{1}{10}$ ;

2) $c_{6}$ , якщо $c_{1} = 2$ , $c_{3} = 8$ .

Розв’язання:

1) За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$c_{3} = c_{1} \cdot q^{2}$
$c_{5} = c_{1} \cdot q^{4}$

Поділимо $c_{5}$ на $c_{3}$ :
$\frac{c _{5}}{c _{3}} = \frac{c _{1} \cdot q ^{4}}{c _{1} \cdot q ^{2}} = q^{2}$
$q^{2} = \frac{1}{10} : 10 = \frac{1}{100}$

Знайдемо $c_{1}$ :
$c_{1} = \frac{c _{3}}{q ^{2}} = \frac{10}{\frac{1}{100}} = 10 \cdot 100 = 1000$

2) За формулою $n$ -го члена:
$c_{3} = c_{1} \cdot q^{2}$
$q^{2} = \frac{c _{3}}{c _{1}} = \frac{8}{2} = 4$
$q = 2$ або $q = - 2$

Знайдемо $c_{6} = c_{1} \cdot q^{5}$ :

Якщо $q = 2$ :
$c_{6} = 2 \cdot 2^{5} = 2 \cdot 32 = 64$
Якщо $q = - 2$ :
$c_{6} = 2 \cdot (- 2)^{5} = 2 \cdot (- 32) = - 64$

Відповідь: 1) 1000; 2) 64 або -64.

№ 18.25. Під мікроскопом розглядають 5 клітин, які розмножуються поділом навпіл щохвилини. Скільки утвориться клітин через одну хвилину; через три хвилини; через шість хвилин?

Розв’язання:

Початкова кількість клітин дорівнює $5$ . Оскільки щохвилини кожна клітина ділиться навпіл, їх кількість збільшується вдвічі щохвилини, утворюючи геометричну прогресію $(b_{n})$ , знаменник якої $q = 2$ .

Кількість клітин через $1 хв$ :
$b_{1} = 5 \cdot 2 = 10$

Кількість клітин через $3 хв$ :
$b_{3} = b_{1} \cdot q^{3 - 1}$
$b_{3} = 10 \cdot 2^{2} = 10 \cdot 4 = 40$

Кількість клітин через $6 хв$ :
$b_{6} = b_{1} \cdot q^{6 - 1}$
$b_{6} = 10 \cdot 2^{5} = 10 \cdot 32 = 320$

Відповідь: $10$ клітин; $40$ клітин; $320$ клітин.

№ 18.26. У перший тиждень після відкриття піцерії «Найкраща» в ній зробили замовлення 500 клієнтів. Надалі кількість замовлень збільшувалася у $1, 2$ раза щотижня, і такий приріст тривав наступні 3 тижні.
1) Скільки клієнтів зробило замовлення у четвертий тиждень?
2) Чи можна стверджувати, що в разі збереження такої тенденції через 2 місяці (тобто на 9-й тиждень) після відкриття, піцерія обслуговуватиме понад 1500 клієнтів щотижня?

Розв’язання:
Кількість щотижневих замовлень утворює геометричну прогресію $(b_{n})$ , де:
$b_{1} = 500$
$q = 1, 2$

1) За формулою $n$ -го члена $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ знайдемо кількість замовлень на 4-й тиждень:
$b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$
$b_{4} = 500 \cdot 1, 2^{3}$
$b_{4} = 500 \cdot 1, 728$
$b_{4} = 864$

2) Знайдемо кількість замовлень на 9-й тиждень:
$b_{9} = b_{1} \cdot q^{8}$
$b_{9} = 500 \cdot 1, 2^{8}$
$1, 2^{8} \approx 4, 2998$
$b_{9} \approx 500 \cdot 4, 2998$
$b_{9} \approx 2150$

Оскільки $2150 > 1500$ , таке твердження є правильним.

Відповідь: 1) 864 клієнти; 2) так, можна.

№ 18.27. У чемпіонаті України із шахів були встановлені грошові призи для учасників, які посіли перші вісім місць. Чемпіон отримував $100000 грн$ . Кожен наступний призер, починаючи з 2-го місця, отримував $90%$ від суми призу, яку отримав учасник, що посів місце на одну позицію вище.

1) Який приз отримав учасник, який посів 4-те місце?
2) Чи отримав учасник, який посів 8-ме місце, приз, більший за $50000 грн$ ?

Розв’язання:

Суми призів утворюють геометричну прогресію $(b_{n})$ , у якій:
$b_{1} = 100000$
$q = 90% = 0, 9$

1) За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :
$b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$
$b_{4} = 100000 \cdot (0, 9)^{3}$
$b_{4} = 100000 \cdot 0, 729 = 72900 (грн)$

2) Знайдемо приз за 8-ме місце:
$b_{8} = b_{1} \cdot q^{7}$
$b_{8} = 100000 \cdot (0, 9)^{7}$
$b_{8} = 100000 \cdot 0, 4782969 = 47829, 69 (грн)$

Оскільки $47829, 69 < 50000$ , учасник не отримав приз, більший за $50000 грн$ .

Відповідь: 1) $72900 грн$ ; 2) ні.

№ 18.28. Між числами $1$ і $64$ вставте:
1) одне число;
2) два числа,
таких, щоб вони разом з даними утворили геометричну прогресію.

Розв’язання:

1) Нехай шукане число дорівнює $x$ .
Тоді послідовність $1; x; 64$ є геометричною прогресією.
За характеристичною властивістю геометричної прогресії:
$x^{2} = 1 \cdot 64$
$x^{2} = 64$
$x = 8$ або $x = - 8$

2) Нехай шукані числа дорівнюють $x$ та $y$ .
Тоді послідовність $1; x; y; 64$ є геометричною прогресією $(b_{n})$ , де $b_{1} = 1$ , $b_{4} = 64$ .
За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$
$64 = 1 \cdot q^{3}$
$q^{3} = 64$
$q = 4$

Знайдемо невідомі члени прогресії:
$x = b_{2} = b_{1} \cdot q = 1 \cdot 4 = 4$
$y = b_{3} = b_{2} \cdot q = 4 \cdot 4 = 16$

Відповідь: 1) 8 або -8; 2) 4 і 16.

№ 18.29. Геометрична прогресія $(b_{n})$ складається з п’яти членів: $\frac{1}{2}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $4$ , $x_{5}$ . Знайдіть $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{5}$ .

Розв’язання:

За умовою задачі маємо геометричну прогресію $(b_{n})$ , у якій:
$b_{1} = \frac{1}{2}$
$b_{2} = x_{2}$
$b_{3} = x_{3}$
$b_{4} = 4$
$b_{5} = x_{5}$

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :

$b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$

$4 = \frac{1}{2} \cdot q^{3}$

$q^{3} = 8$

$q = 2$

Знайдемо невідомі члени прогресії:

$x_{2} = b_{1} \cdot q = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

$x_{3} = x_{2} \cdot q = 1 \cdot 2 = 2$

$x_{5} = b_{4} \cdot q = 4 \cdot 2 = 8$

Відповідь: $x_{2} = 1$ , $x_{3} = 2$ , $x_{5} = 8$ .

№ 18.30. За якого значення $x$ числа $x + 3$ , $2 x$ і $5 x - 4$ є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

Розв’язання:
За властивістю геометричної прогресії квадрат будь-якого її члена, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів:

$(2 x)^{2} = (x + 3) (5 x - 4)$

$4 x^{2} = 5 x^{2} - 4 x + 15 x - 12$

$4 x^{2} = 5 x^{2} + 11 x - 12$

$x^{2} + 11 x - 12 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 1$
$x_{2} = - 12$

Знайдемо шукані числа для кожного значення $x$ :

1) Якщо $x = 1$ :
$x + 3 = 1 + 3 = 4$
$2 x = 2 \cdot 1 = 2$
$5 x - 4 = 5 \cdot 1 - 4 = 1$
Отримали числа: $4$ ; $2$ ; $1$ .

2) Якщо $x = - 12$ :
$x + 3 = - 12 + 3 = - 9$
$2 x = 2 \cdot (- 12) = - 24$
$5 x - 4 = 5 \cdot (- 12) - 4 = - 64$
Отримали числа: $- 9$ ; $- 24$ ; $- 64$ .

Відповідь: якщо $x = 1$ , то числа $4$ ; $2$ ; $1$ ; якщо $x = - 12$ , то числа $- 9$ ; $- 24$ ; $- 64$ .

№ 18.31. За якого значення $y$ числа $y$ , $2 y + 3$ і $4 y + 3$ є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

$(2 y + 3)^{2} = y (4 y + 3)$

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:
$4 y^{2} + 12 y + 9 = 4 y^{2} + 3 y$
$12 y - 3 y = - 9$
$9 y = - 9$
$y = - 1$

Обчислимо шукані числа при $y = - 1$ :
$y = - 1$
$2 y + 3 = 2 \cdot (- 1) + 3 = 1$
$4 y + 3 = 4 \cdot (- 1) + 3 = - 1$

Отримали послідовні члени геометричної прогресії: $- 1$ ; $1$ ; $- 1$ (зі знаменником $q = - 1$ ).

Відповідь: $y = - 1$ ; числа: $- 1$ ; $1$ ; $- 1$ .

№ 18.32. Доведіть, що коли числа $a$ , $b$ і $c$ є послідовними членами геометричної прогресії, то справджується рівність: $(a + b + c) (a - b + c) = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Розв’язання:

Перетворимо ліву частину рівності, згрупувавши доданки та застосувавши формулу різниці квадратів:

$((a + c) + b) ((a + c) - b) = (a + c)^{2} - b^{2}$
$= a^{2} + 2 a c + c^{2} - b^{2}$

Оскільки числа $a$ , $b$ і $c$ є послідовними членами геометричної прогресії, то за характеристичною властивістю геометричної прогресії:

$b^{2} = a c$

Підставимо $a c = b^{2}$ у вираз:

$a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - b^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Ліва частина дорівнює правій частині:

$(a + b + c) (a - b + c) = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Рівність доведено.

№ 18.33. Для деяких чисел $x, y, z$ , жодне з яких не дорівнює нулю, справджується рівність:
$(x^{2} + y^{2}) (y^{2} + z^{2}) = (x y + y z)^{2}$ .
Доведіть, що $x, y, z$ — послідовні члени геометричної прогресії.

Розв’язання:
Розкриємо дужки в обох частинах заданої рівності:

Ліва частина:
$(x^{2} + y^{2}) (y^{2} + z^{2}) = x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{4} + y^{2} z^{2}$

Права частина:
$(x y + y z)^{2} = (x y)^{2} + 2 \cdot x y \cdot y z + (y z)^{2} = x^{2} y^{2} + 2 x y^{2} z + y^{2} z^{2}$

Підставимо отримані вирази у вихідну рівність:
$x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{4} + y^{2} z^{2} = x^{2} y^{2} + 2 x y^{2} z + y^{2} z^{2}$

Зведемо подібні доданки, перенісши всі члени в ліву частину:
$y^{4} - 2 x y^{2} z + x^{2} z^{2} = 0$

Згорнемо ліву частину за формулою квадрата різниці:
$(y^{2} - x z)^{2} = 0$
$y^{2} - x z = 0$
$y^{2} = x z$

Оскільки за умовою $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ та $z \neq = 0$ , поділимо обидві частини рівності на $x y$ :
$\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$

Оскільки відношення наступного члена до попереднього є сталим ( $\frac{y}{x} = \frac{z}{y} = q$ , де $q \neq = 0$ ), числа $x, y, z$ є послідовними членами геометричної прогресії. Що й треба було довести.

№ 18.34. Дано квадрат зі стороною 16 см. Середини його сторін є вершинами другого квадрата, а середини сторін другого квадрата є вершинами третього і так само далі. Знайдіть площу шостого квадрата, побудованого в такий спосіб.

Розв’язання:
Площа першого квадрата:
$S_{1} = 1 6^{2} = 256 (см^{2})$

Вершини другого квадрата ділять сторони першого квадрата навпіл, утворюючи прямокутні трикутники з катетами по $8 см$ . За теоремою Піфагора сторона другого квадрата дорівнює:
$a_{2} = 8^{2} + 8^{2} = 64 + 64 = 128 = 82 (см)$

Площа другого квадрата:
$S_{2} = (82)^{2} = 128 (см^{2})$

Площа кожного наступного квадрата вдвічі менша від площі попереднього, тобто послідовність площ $(S_{n})$ є геометричною прогресією, у якій:
$S_{1} = 256$
$q = \frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{128}{256} = \frac{1}{2}$

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$S_{n} = S_{1} \cdot q^{n - 1}$

Знайдемо площу шостого квадрата ( $S_{6}$ ):
$S_{6} = S_{1} \cdot q^{5}$
$S_{6} = 256 \cdot (\frac{1}{2})^{5}$
$S_{6} = 256 \cdot \frac{1}{32}$
$S_{6} = 8 (см^{2})$

Відповідь: $8 см^{2}$ .

№ 18.35. Обчисліть:
1) $2^{7}$ ;
2) $4^{6}$ ;
3) $3^{5} - 1$ ;
4) $(3 - 1)^{5}$ .

Розв’язання:

1) $2^{7} = 128$

2) $4^{6} = 4096$

3) $3^{5} - 1 = 243 - 1 = 242$

4) $(3 - 1)^{5} = 2^{5} = 32$

Відповідь: 1) 128; 2) 4096; 3) 242; 4) 32.

№ 18.36. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо:
1) $a_{2} + a_{4} = 14$ , $a_{6} + a_{9} = 32$ ;
2) $a_{2} + a_{6} = 4$ , $a_{4} a_{3} = 6$ .

Розв’язання:

Використаємо формулу $n$ -го члена арифметичної прогресії: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .

1) Запишемо члени прогресії через $a_{1}$ та $d$ :
$a_{2} = a_{1} + d$
$a_{4} = a_{1} + 3 d$
$a_{6} = a_{1} + 5 d$
$a_{9} = a_{1} + 8 d$

Складемо систему рівнянь:
${(a_{1} + d) + (a_{1} + 3 d) = 14 (a_{1} + 5 d) + (a_{1} + 8 d) = 32$

${2 a_{1} + 4 d = 14 2 a_{1} + 13 d = 32$

Поділимо перше рівняння на $2$ :
${a_{1} + 2 d = 7 2 a_{1} + 13 d = 32$

З першого рівняння виразимо $a_{1}$ :
$a_{1} = 7 - 2 d$

Підставимо у друге рівняння:
$2 (7 - 2 d) + 13 d = 32$
$14 - 4 d + 13 d = 32$
$9 d = 32 - 14$
$9 d = 18$
$d = 2$

Знайдемо $a_{1}$ :
$a_{1} = 7 - 2 \cdot 2 = 3$

2) Запишемо суму $a_{2} + a_{6}$ :
$(a_{1} + d) + (a_{1} + 5 d) = 4$
$2 a_{1} + 6 d = 4$
$a_{1} + 3 d = 2$

Оскільки $a_{4} = a_{1} + 3 d$ , маємо:
$a_{4} = 2$

Підставимо значення $a_{4}$ у друге рівняння:
$a_{4} \cdot a_{3} = 6$
$2 \cdot a_{3} = 6$
$a_{3} = 3$

Знайдемо різницю прогресії $d$ :
$d = a_{4} - a_{3} = 2 - 3 = - 1$

Знайдемо перший член $a_{1}$ :
$a_{1} + 3 d = 2$
$a_{1} + 3 \cdot (- 1) = 2$
$a_{1} - 3 = 2$
$a_{1} = 5$

Відповідь: 1) $a_{1} = 3$ , $d = 2$ ; 2) $a_{1} = 5$ , $d = - 1$ .

№ 18.37. Доведіть, що значення виразу $\frac{a + 3}{2 a + 2} - \frac{a + 1}{2 a - 2} + \frac{2}{a ^{2} - 1}$ не залежить від значення змінної.

Розв’язання:

Спростимо заданий вираз:

$\frac{a + 3}{2 a + 2} - \frac{a + 1}{2 a - 2} + \frac{2}{a ^{2} - 1} =$

$= \frac{a + 3}{2 ( a + 1 )} - \frac{a + 1}{2 ( a - 1 )} + \frac{2}{( a - 1 ) ( a + 1 )} =$

$= \frac{( a + 3 ) ( a - 1 ) - ( a + 1 ) ^{2} + 2 \cdot 2}{2 ( a - 1 ) ( a + 1 )} =$

$= \frac{( a ^{2} + 2 a - 3 ) - ( a ^{2} + 2 a + 1 ) + 4}{2 ( a - 1 ) ( a + 1 )} =$

$= \frac{a ^{2} + 2 a - 3 - a ^{2} - 2 a - 1 + 4}{2 ( a - 1 ) ( a + 1 )} =$

$= \frac{0}{2 ( a - 1 ) ( a + 1 )} = 0$

При всіх допустимих значеннях змінної ( $a \neq = - 1$ , $a \neq = 1$ ) значення виразу дорівнює $0$ , тобто не залежить від значення змінної $a$ .

№ 18.38. Відомо, що $x_{1}$ і $x_{2}$ — корені рівняння $5 x^{2} + 7 x - 9 = 0$ . Не розв’язуючи рівняння, знайдіть $x_{1}^{3} x_{2} + x_{2}^{3} x_{1}$ .

Розв’язання:
За теоремою Вієта для рівняння $5 x^{2} + 7 x - 9 = 0$ :

$x_{1} + x_{2} = - \frac{7}{5}$

$x_{1} x_{2} = - \frac{9}{5}$

Перетворимо вираз, винісши спільний множник за дужки та виділивши повний квадрат:

$x_{1}^{3} x_{2} + x_{2}^{3} x_{1} = x_{1} x_{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = x_{1} x_{2} ((x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2})$

Підставимо значення суми та добутку коренів:

$x_{1}^{3} x_{2} + x_{2}^{3} x_{1} = - \frac{9}{5} \cdot ((- \frac{7}{5})^{2} - 2 \cdot (- \frac{9}{5}))$

$- \frac{9}{5} \cdot (\frac{49}{25} + \frac{18}{5}) = - \frac{9}{5} \cdot (\frac{49}{25} + \frac{90}{25}) = - \frac{9}{5} \cdot \frac{139}{25} = - \frac{1251}{125} = - 10 \frac{1}{125} = - 10, 008$

Відповідь: $- 10, 008$ .

№ 18.39. Побудуйте графік функції $y = \frac{x ^{4} - 4}{x ^{2} - 2}$ .

Розв’язання:
Знайдемо область визначення функції:
$x^{2} - 2 \neq = 0$
$x^{2} \neq = 2$
$x \neq = - 2$ і $x \neq = 2$
$D (y) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; 2) \cup (2; + \infty)$

Спростимо формулу функції, розклавши чисельник на множники за формулою різниці квадратів:

$y = \frac{( x ^{2} - 2 ) ( x ^{2} + 2 )}{x ^{2} - 2} = x^{2} + 2, при x \neq = \pm 2$

Графіком функції є парабола $y = x^{2} + 2$ з виколотими точками з абсцисами $x = - 2$ та $x = 2$ .

Знайдемо ординати виколотих точок:
при $x = \pm 2$
$y = (\pm 2)^{2} + 2 = 2 + 2 = 4$ .
Виколоті точки: $(- 2; 4)$ та $(2; 4)$ (де $2 \approx 1, 4$ ).

Складемо таблицю значень для побудови параболи $y = x^{2} + 2$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$

Графік до вправи № 18.39 - Алгебра 9 клас

№ 18.40. Після дощу рівень води в колодязі може підвищитися. Тарас вимірює час $t$ падіння невеликих камінчиків у колодязь і розраховує відстань до води за формулою $h = 5 t^{2}$ , де $h$ — відстань у метрах до води, $t$ — час падіння в секундах. В один із днів час падіння камінців становив $0, 9$ с, а після кількох дощових днів — $0, 8$ с. На скільки метрів піднявся рівень води в колодязі за ці дні?

Розв’язання:

Знайдемо відстань до води в перший день при $t_{1} = 0, 9 с$ :

$h_{1} = 5 \cdot (0, 9)^{2} = 5 \cdot 0, 81 = 4, 05 (м)$

Знайдемо відстань до води після дощових днів при $t_{2} = 0, 8 с$ :

$h_{2} = 5 \cdot (0, 8)^{2} = 5 \cdot 0, 64 = 3, 2 (м)$

Знайдемо, на скільки метрів зменшилася відстань від краю колодязя до поверхні води (тобто на скільки піднявся рівень води):

$h_{1} - h_{2} = 4, 05 - 3, 2 = 0, 85 (м)$

Відповідь: на $0, 85 м .$

№ 18.41. Знайдіть:
1) $7%$ від $10000$ ;
2) $9%$ від $20000$ ;
3) $11%$ від $15000$ ;
4) $12%$ від $8000$ .

Розв’язання:

1) $10000 \cdot 0, 07 = 700$

2) $20000 \cdot 0, 09 = 1800$

3) $15000 \cdot 0, 11 = 1650$

4) $8000 \cdot 0, 12 = 960$

Відповідь: 1) 700; 2) 1 800; 3) 1 650; 4) 960.

№ 18.42. Вкладниця відкрила в банку депозитний рахунок на $40000 грн$ під $15%$ річних.

1) Скільки відсоткових коштів матиме вкладниця через рік?

2) Якою буде сума на рахунку вкладниці через рік?

Розв’язання:

1) Обчислимо суму відсоткових коштів, нарахованих за рік ( $15% = 0, 15$ ):
$40000 \cdot 0, 15 = 6000 (грн)$

2) Обчислимо суму на рахунку вкладниці через рік:
$40000 + 6000 = 46000 (грн)$

Відповідь: 1) $6000 грн$ ; 2) $46000 грн$ .

№ 18.43. Про послідовність $(a_{n})$ відомо, що $a_{1} = 0$ , $a_{n + 1} = a_{n} + n$ . Знайдіть формулу $n$ -го члена цієї послідовності.

Розв’язання:

Запишемо перші кілька членів послідовності:
$a_{1} = 0$
$a_{2} = a_{1} + 1 = 0 + 1$
$a_{3} = a_{2} + 2 = 0 + 1 + 2$
$a_{4} = a_{3} + 3 = 0 + 1 + 2 + 3$

Для будь-якого $n > 1$ :
$a_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1)$

Отриманий вираз є сумою перших $(n - 1)$ членів арифметичної прогресії, у якій перший член дорівнює $1$ , а різниця дорівнює $1$ :
$a_{n} = \frac{1 + ( n - 1 )}{2} \cdot (n - 1)$
$a_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$

Перевіримо отриману формулу для $n = 1$ :
$a_{1} = \frac{1 \cdot ( 1 - 1 )}{2} = 0$ , що відповідає умові задачі.

Відповідь: $a_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .

18. Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена геометричної прогресії

Теги статті:

До уроку