17. Сума n перших членів арифметичної прогресії

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 17.1. Знайдіть $S_{8}$ — суму восьми перших членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо $a_{1} = 5$ , $a_{8} = 10$ .

Розв’язання:
За формулою суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$

Підставимо значення для $n = 8$ :
$S_{8} = \frac{a _{1} + a _{8}}{2} \cdot 8$

$S_{8} = \frac{5 + 10}{2} \cdot 8 = 15 \cdot 4 = 60$

Відповідь: 60.

№ 17.2. Знайдіть $S_{10}$ — суму десяти перших членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо $a_{1} = 7$ , $a_{10} = 15$ .

Розв’язання:
За формулою суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:

$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$

Обчислимо $S_{10}$ :

$S_{10} = \frac{a _{1} + a _{10}}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{7 + 15}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{22}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 11 \cdot 10 = 110$

Відповідь: 110.

№ 17.3. Знайдіть суму вісімнадцяти перших членів арифметичної прогресії $(c_{n})$ , якщо $c_{1} = 17$ , $d = - 2$ .

Розв’язання:
За формулою суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{2 c _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$

Підставимо значення $n = 18$ , $c_{1} = 17$ , $d = - 2$ :
$S_{18} = \frac{2 \cdot 17 + ( 18 - 1 ) \cdot ( - 2 )}{2} \cdot 18$

$S_{18} = \frac{34 + 17 \cdot ( - 2 )}{2} \cdot 18$

$S_{18} = \frac{34 - 34}{2} \cdot 18$

$S_{18} = 0 \cdot 9 = 0$

Відповідь: 0.

№ 17.4. Знайдіть суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо $a_{1} = 15$ , $d = - 3$ .

Розв’язання:
За формулою суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$

Підставимо значення $a_{1} = 15$ , $d = - 3$ та $n = 20$ :
$S_{20} = \frac{2 \cdot 15 + 19 \cdot ( - 3 )}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{30 - 57}{2} \cdot 20$
$S_{20} = - 27 \cdot 10$
$S_{20} = - 270$

Відповідь: $- 270$ .

№ 17.5. Знайдіть суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії:
1) $2$ ; $- 1$ ; $- 4$ ; …;
2) $5$ ; $6, 5$ ; $8$ ; … .

Розв’язання:

Суму $n$ перших членів арифметичної прогресії обчислюють за формулою:
$S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$

Для $n = 20$ :
$S_{20} = \frac{2 a _{1} + 19 d}{2} \cdot 20 = (2 a_{1} + 19 d) \cdot 10$

1) $a_{1} = 2$ , $a_{2} = - 1$

Знайдемо різницю прогресії:
$d = a_{2} - a_{1} = - 1 - 2 = - 3$

Обчислимо суму двадцяти перших членів:
$S_{20} = \frac{2 \cdot 2 + 19 \cdot ( - 3 )}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (4 - 57) \cdot 10$
$S_{20} = - 53 \cdot 10 = - 530$

2) $a_{1} = 5$ , $a_{2} = 6, 5$

Знайдемо різницю прогресії:
$d = a_{2} - a_{1} = 6, 5 - 5 = 1, 5$

Обчислимо суму двадцяти перших членів:
$S_{20} = \frac{2 \cdot 5 + 19 \cdot 1 , 5}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (10 + 28, 5) \cdot 10$
$S_{20} = 38, 5 \cdot 10 = 385$

Відповідь: 1) $- 530$ ; 2) $385$ .

№ 17.6. Знайдіть суму тридцяти перших членів арифметичної прогресії:
1) $5$ , $8$ , $11$ , …;
2) $0$ , $- 2, 5$ , $- 5$ , ….

Розв’язання:

1) $a_{1} = 5$
$d = 8 - 5 = 3$
$S_{30} = \frac{2 \cdot 5 + ( 30 - 1 ) \cdot 3}{2} \cdot 30 = (10 + 29 \cdot 3) \cdot 15 = (10 + 87) \cdot 15 = 97 \cdot 15 = 1455$

2) $a_{1} = 0$
$d = - 2, 5 - 0 = - 2, 5$
$S_{30} = \frac{2 \cdot 0 + ( 30 - 1 ) \cdot ( - 2 , 5 )}{2} \cdot 30 = 29 \cdot (- 2, 5) \cdot 15 = - 72, 5 \cdot 15 = - 1087, 5$

Відповідь: 1) 1455; 2) $- 1087, 5$ .

№ 17.7. Знайдіть суму шістдесяти перших членів арифметичної прогресії $(x_{n})$ , якщо $x_{n} = - 5 n + 17$ .

Розв’язання:
Знайдемо перший та шістдесятий члени арифметичної прогресії:
$x_{1} = - 5 \cdot 1 + 17 = 12$
$x_{60} = - 5 \cdot 60 + 17 = - 300 + 17 = - 283$

Обчислимо суму шістдесяти перших членів прогресії:

$S_{60} = \frac{x _{1} + x _{60}}{2} \cdot 60$

$S_{60} = \frac{12 - 283}{2} \cdot 60 = \frac{- 271}{2} \cdot 60 = - 271 \cdot 30 = - 8130$

Відповідь: $- 8130$ .

№ 17.8. Знайдіть суму вісімдесяти перших членів арифметичної прогресії $(y_{n})$ , якщо $y_{n} = 3 n - 19$ .

Розв’язання:

Знайдемо перший та вісімдесятий члени арифметичної прогресії:

$y_{1} = 3 \cdot 1 - 19 = 3 - 19 = - 16$
$y_{80} = 3 \cdot 80 - 19 = 240 - 19 = 221$

Формула для обчислення суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:

$S_{n} = \frac{y _{1} + y _{n}}{2} \cdot n$

Обчислимо суму вісімдесяти перших членів ( $n = 80$ ):

$S_{80} = \frac{- 16 + 221}{2} \cdot 80$

$S_{80} = \frac{205}{2} \cdot 80$

$S_{80} = 205 \cdot 40 = 8200$

Відповідь: $8200$ .

№ 17.9. Знайдіть суму:
1) сорока перших натуральних чисел;
2) натуральних чисел від 1 до 70.

Розв’язання:

Послідовність натуральних чисел утворює арифметичну прогресію, де $a_{1} = 1$ , $d = 1$ .
Формула суми перших $n$ членів: $S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$ .

1) Для сорока перших натуральних чисел: $a_{1} = 1$ , $a_{40} = 40$ , $n = 40$ .
$S_{40} = \frac{1 + 40}{2} \cdot 40$
$S_{40} = 41 \cdot 20$
$S_{40} = 820$

2) Для натуральних чисел від 1 до 70: $a_{1} = 1$ , $a_{70} = 70$ , $n = 70$ .
$S_{70} = \frac{1 + 70}{2} \cdot 70$
$S_{70} = 71 \cdot 35$
$S_{70} = 2485$

Відповідь: 1) 820; 2) 2485.

№ 17.10. Знайдіть суму дев’ятнадцяти перших натуральних чисел.

Розв’язання:
Послідовність натуральних чисел є арифметичною прогресією, у якій:
$a_{1} = 1$
$a_{19} = 19$
$n = 19$

За формулою суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$

$S_{19} = \frac{1 + 19}{2} \cdot 19 = \frac{20}{2} \cdot 19 = 10 \cdot 19 = 190$

Відповідь: $190$ .

№ 17.11. Дрова складено так, що в нижньому ряду лежить 15 колод, а в кожному наступному на одну колоду менше, ніж у попередньому. Скільки всього колод у дванадцяти рядах?

Розв’язання:
Кількість колод у рядах утворює арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де:
$a_{1} = 15$
$d = - 1$
$n = 12$

Знайдемо суму дванадцяти перших членів прогресії за формулою:

$S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$

$S_{12} = \frac{2 \cdot 15 + 11 \cdot ( - 1 )}{2} \cdot 12$

$S_{12} = \frac{30 - 11}{2} \cdot 12$

$S_{12} = 19 \cdot 6 = 114$

Відповідь: $114 колод .$

№ 17.12. В одному із секторів стадіону 14 рядів, причому в першому ряду 5 місць, а в кожному наступному на одне місце більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць у цьому секторі?

Розв’язання:
Кількість місць у рядах утворює арифметичну прогресію $(a_{n})$ , у якій:
$a_{1} = 5$
$d = 1$
$n = 14$

Знайдемо загальну кількість місць у секторі як суму $14$ перших членів арифметичної прогресії:

$S_{n} = \frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n$

$S_{14} = \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot ( 14 - 1 )}{2} \cdot 14$

$S_{14} = \frac{10 + 13}{2} \cdot 14$

$S_{14} = 23 \cdot 7$

$S_{14} = 161$

Відповідь: 161 місце.

№ 17.13. Знайдіть суму:
1) усіх натуральних чисел від $125$ до $317$ включно;
2) усіх натуральних чисел, які кратні числу $5$ і не більші за число $350$ ;
3) усіх натуральних чисел, які кратні числу $9$ і не перевищують числа $470$ ;
4) усіх двоцифрових натуральних чисел, які при діленні на $3$ дають в остачі $2$ .

Розв’язання:

1) Числа від $125$ до $317$ утворюють арифметичну прогресію $(a_{n})$ , у якій:
$a_{1} = 125$
$d = 1$
$a_{n} = 317$

Знайдемо кількість членів прогресії:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
$317 = 125 + (n - 1) \cdot 1$
$n - 1 = 317 - 125$
$n - 1 = 192$
$n = 193$

Обчислимо суму:
$S_{193} = \frac{a _{1} + a _{193}}{2} \cdot 193$
$S_{193} = \frac{125 + 317}{2} \cdot 193 = \frac{442}{2} \cdot 193 = 221 \cdot 193 = 42653$

2) Натуральні числа, кратні $5$ , утворюють арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де $a_{1} = 5$ , $d = 5$ , $a_{n} = 5 n$ .
Знайдемо кількість членів, які не перевищують $350$ :
$5 n \leq 350$
$n \leq 70$
$n = 70$

Останній член:
$a_{70} = 350$

Обчислимо суму:
$S_{70} = \frac{a _{1} + a _{70}}{2} \cdot 70$
$S_{70} = \frac{5 + 350}{2} \cdot 70 = 355 \cdot 35 = 12425$

3) Натуральні числа, кратні $9$ , утворюють арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де $a_{1} = 9$ , $d = 9$ , $a_{n} = 9 n$ .
Знайдемо кількість членів, які не перевищують $470$ :
$9 n \leq 470$
$n \leq \frac{470}{9}$
$n \leq 52 \frac{2}{9}$
$n = 52$

Останній член:
$a_{52} = 9 \cdot 52 = 468$

Обчислимо суму:
$S_{52} = \frac{a _{1} + a _{52}}{2} \cdot 52$
$S_{52} = \frac{9 + 468}{2} \cdot 52 = 477 \cdot 26 = 12402$

4) Двоцифрові числа, які при діленні на $3$ дають в остачі $2$ , утворюють арифметичну прогресію $(a_{n})$ :
$a_{1} = 11$
$d = 3$
$a_{n} = 11 + 3 (n - 1) = 3 n + 8$

Оскільки числа двоцифрові, вони не перевищують $99$ :
$3 n + 8 \leq 99$
$3 n \leq 91$
$n \leq 30 \frac{1}{3}$
$n = 30$

Останній член:
$a_{30} = 3 \cdot 30 + 8 = 98$

Обчислимо суму:
$S_{30} = \frac{a _{1} + a _{30}}{2} \cdot 30$
$S_{30} = \frac{11 + 98}{2} \cdot 30 = 109 \cdot 15 = 1635$

Відповідь: 1) $42653$ ; 2) $12425$ ; 3) $12402$ ; 4) $1635$ .

№ 17.14. Знайдіть суму:

1) усіх натуральних чисел, які кратні числу $7$ і не перевищують числа $420$ ;

2) усіх трицифрових натуральних чисел, які при діленні на $4$ дають в остачі $1$ .

Розв’язання:

1) Натуральні числа, кратні числу $7$ , утворюють арифметичну прогресію $(a_{n})$ , у якій:
$a_{1} = 7$
$d = 7$
$a_{n} = 7 n$

Знайдемо кількість членів прогресії, які не перевищують $420$ :
$7 n \leq 420$
$n \leq 60$
$n = 60$

Знайдемо шістдесятий член прогресії:
$a_{60} = 7 \cdot 60 = 420$

Обчислимо суму перших $60$ членів прогресії:
$S_{60} = \frac{a _{1} + a _{60}}{2} \cdot 60$

$S_{60} = \frac{7 + 420}{2} \cdot 60 = 427 \cdot 30 = 12810$

2) Трицифрові натуральні числа, які при діленні на $4$ дають в остачі $1$ , утворюють арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де:
перше трицифрове число з такою властивістю — $a_{1} = 101$
різниця прогресії — $d = 4$

Формула $n$ -го члена має вигляд:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
$a_{n} = 101 + 4 (n - 1) = 97 + 4 n$

Оскільки числа трицифрові, вони не перевищують $999$ :
$97 + 4 n \leq 999$
$4 n \leq 999 - 97$
$4 n \leq 902$
$n \leq 225, 5$

Отже, прогресія містить $n = 225$ членів.

Знайдемо останній член прогресії:
$a_{225} = 97 + 4 \cdot 225 = 997$

Обчислимо суму $225$ членів прогресії:
$S_{225} = \frac{a _{1} + a _{225}}{2} \cdot 225$

$S_{225} = \frac{101 + 997}{2} \cdot 225 = \frac{1098}{2} \cdot 225 = 549 \cdot 225 = 123525$

Відповідь: 1) $12810$ ; 2) $123525$ .

№ 17.15. Знайдіть суму восьми перших членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо:
1) $a_{1} = 5$ , $a_{5} = - 7$ ;
2) $a_{5} = 13$ , $a_{9} = 19$ .

Розв’язання:

1) За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{5} = a_{1} + 4 d$
$- 7 = 5 + 4 d$
$4 d = - 12$
$d = - 3$

Знайдемо суму восьми перших членів:
$S_{8} = \frac{2 a _{1} + 7 d}{2} \cdot 8$
$S_{8} = (2 a_{1} + 7 d) \cdot 4$
$S_{8} = (2 \cdot 5 + 7 \cdot (- 3)) \cdot 4$
$S_{8} = (10 - 21) \cdot 4$
$S_{8} = - 11 \cdot 4 = - 44$

2) Складемо систему рівнянь за формулою $n$ -го члена:
${a_{1} + 4 d = 13 a_{1} + 8 d = 19$

Віднімемо перше рівняння від другого:
$4 d = 6$
$d = 1, 5$

Знайдемо $a_{1}$ :
$a_{1} + 4 \cdot 1, 5 = 13$
$a_{1} + 6 = 13$
$a_{1} = 7$

Знайдемо суму восьми перших членів:
$S_{8} = \frac{2 a _{1} + 7 d}{2} \cdot 8$
$S_{8} = (2 a_{1} + 7 d) \cdot 4$
$S_{8} = (2 \cdot 7 + 7 \cdot 1, 5) \cdot 4$
$S_{8} = (14 + 10, 5) \cdot 4$
$S_{8} = 24, 5 \cdot 4 = 98$

Відповідь: 1) -44; 2) 98.

№ 17.16. Знайдіть суму десяти перших членів арифметичної прогресії $(x_{n})$ , якщо:
1) $x_{1} = 4$ , $x_{6} = - 31$ ;
2) $x_{3} = 13$ , $x_{7} = 23$ .

Розв’язання:

1) За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$x_{6} = x_{1} + 5 d$
$- 31 = 4 + 5 d$
$5 d = - 35$
$d = - 7$

Обчислимо суму десяти перших членів:
$S_{10} = \frac{2 x _{1} + 9 d}{2} \cdot 10$
$S_{10} = (2 \cdot 4 + 9 \cdot (- 7)) \cdot 5$
$S_{10} = (8 - 63) \cdot 5$
$S_{10} = - 55 \cdot 5$
$S_{10} = - 275$

2) Складемо систему рівнянь за формулою $n$ -го члена:
${x_{1} + 2 d = 13 x_{1} + 6 d = 23$

Віднімемо від другого рівняння системи перше:
$4 d = 10$
$d = 2, 5$

Знайдемо перший член прогресії:
$x_{1} = 13 - 2 d$
$x_{1} = 13 - 2 \cdot 2, 5$
$x_{1} = 13 - 5$
$x_{1} = 8$

Обчислимо суму десяти перших членів:
$S_{10} = \frac{2 x _{1} + 9 d}{2} \cdot 10$
$S_{10} = (2 \cdot 8 + 9 \cdot 2, 5) \cdot 5$
$S_{10} = (16 + 22, 5) \cdot 5$
$S_{10} = 38, 5 \cdot 5$
$S_{10} = 192, 5$

Відповідь: 1) $- 275$ ; 2) $192, 5$ .

№ 17.17. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, якщо сума перших п’ятнадцяти членів цієї прогресії дорівнює 375, а різниця прогресії дорівнює 3.

Розв’язання:
За умовою: $S_{15} = 375$ , $d = 3$ , $n = 15$ .

Формула суми перших $n$ членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$

Підставимо відомі значення:
$375 = \frac{2 a _{1} + ( 15 - 1 ) \cdot 3}{2} \cdot 15$

$375 = \frac{2 a _{1} + 14 \cdot 3}{2} \cdot 15$

$375 = \frac{2 a _{1} + 42}{2} \cdot 15$

$375 = (a_{1} + 21) \cdot 15$

$a_{1} + 21 = \frac{375}{15}$

$a_{1} + 21 = 25$

$a_{1} = 25 - 21$

$a_{1} = 4$

Відповідь: 4.

№ 17.18. Знайдіть різницю арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо $a_{1} = 7$ , а сума восьми її перших членів дорівнює $168$ .

Розв’язання:
Формула суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n$

За умовою $n = 8$ , $a_{1} = 7$ , $S_{8} = 168$ . Складемо рівняння:

$168 = \frac{2 \cdot 7 + 7 d}{2} \cdot 8$

$168 = (14 + 7 d) \cdot 4$

$14 + 7 d = \frac{168}{4}$

$14 + 7 d = 42$

$7 d = 42 - 14$

$7 d = 28$

$d = 4$

Відповідь: $4$ .

№ 17.19. Знайдіть суму додатних членів арифметичної прогресії $19; 17; 15; \dots$

Розв’язання:
За умовою задано арифметичну прогресію, у якій:
$a_{1} = 19$
$d = 17 - 19 = - 2$

Запишемо формулу $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
$a_{n} = 19 + (n - 1) \cdot (- 2)$
$a_{n} = 19 - 2 n + 2$
$a_{n} = 21 - 2 n$

Знайдемо номери членів прогресії, які є додатними ( $a_{n} > 0$ ):
$21 - 2 n > 0$
$- 2 n > - 21$
$n < 10, 5$

Оскільки $n \in N$ , прогресія має $10$ додатних членів ( $n = 10$ ).

Знайдемо десятий член прогресії:
$a_{10} = 21 - 2 \cdot 10 = 1$

Обчислимо суму перших десяти членів:
$S_{10} = \frac{a _{1} + a _{10}}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{19 + 1}{2} \cdot 10 = \frac{20}{2} \cdot 10 = 10 \cdot 10 = 100$

Відповідь: 100.

№ 17.20. Знайдіть суму від’ємних членів арифметичної прогресії $- 23; - 20; - 17; \dots$

Розв’язання:

Для заданої арифметичної прогресії:
$a_{1} = - 23$
$d = a_{2} - a_{1} = - 20 - (- 23) = 3$

Запишемо формулу $n$ -го члена прогресії:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
$a_{n} = - 23 + 3 (n - 1) = 3 n - 26$

Знайдемо номери членів прогресії, які є від’ємними:
$a_{n} < 0$
$3 n - 26 < 0$
$3 n < 26$
$n < 8 \frac{2}{3}$

Оскільки $n \in N$ , то прогресія має $8$ від’ємних членів ( $n = 8$ ).

Знайдемо їхню суму:
$S_{8} = \frac{2 a _{1} + 7 d}{2} \cdot 8$
$S_{8} = \frac{2 \cdot ( - 23 ) + 7 \cdot 3}{2} \cdot 8$
$S_{8} = \frac{- 46 + 21}{2} \cdot 8$
$S_{8} = \frac{- 25}{2} \cdot 8 = - 25 \cdot 4 = - 100$

Відповідь: -100.

№ 17.21. Скільки треба взяти перших членів арифметичної прогресії $4; 6; 8; \dots$ , щоб їх сума дорівнювала $270$ ?

Розв’язання:
В арифметичній прогресії:
$a_{1} = 4$
$a_{2} = 6$
$d = a_{2} - a_{1} = 6 - 4 = 2$
$S_{n} = 270$

За формулою суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:

$S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$

Підставимо відомі значення:

$270 = \frac{2 \cdot 4 + ( n - 1 ) \cdot 2}{2} \cdot n$

$270 = \frac{2 ( 4 + n - 1 )}{2} \cdot n$

$270 = (n + 3) n$

$n^{2} + 3 n - 270 = 0$

За теоремою Вієта:
$n_{1} = 15$
$n_{2} = - 18$ — не задовольняє умову, оскільки кількість членів $n \in N$ .

Отже, потрібно взяти 15 членів прогресії.

Відповідь: 15.

№ 17.22. Запорізька атомна електростанція є найбільшою в Європі та третьою за розмірами у світі. Знайдіть суму перших 100 членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо $a_{2} + a_{99} = 120$ , відтак дізнаєтеся, якою є загальна електрична потужність цієї станції (у МВт).

Розв’язання:
За формулою суми перших $n$ членів арифметичної прогресії:

$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$

Для $n = 100$ :

$S_{100} = \frac{a _{1} + a _{100}}{2} \cdot 100 = (a_{1} + a_{100}) \cdot 50$

За властивістю арифметичної прогресії суми членів, рівновіддалених від кінців, рівні між собою:

$a_{1} + a_{100} = a_{2} + a_{99}$

За умовою $a_{2} + a_{99} = 120$ , тому:

$a_{1} + a_{100} = 120$

Обчислимо значення суми:

$S_{100} = 120 \cdot 50 = 6000$

Отже, загальна електрична потужність станції становить $6000 МВт$ .

Відповідь: $6000 МВт .$

№ 17.23. Знайдіть суму членів арифметичної прогресії з двадцятого до сорокового включно, якщо перший член прогресії дорівнює 8, а різниця прогресії дорівнює $- 0, 6$ .

Розв’язання:
За умовою $a_{1} = 8$ , $d = - 0, 6$ .

Суму членів арифметичної прогресії з двадцятого до сорокового включно можна знайти як різницю сум перших 40 членів і перших 19 членів прогресії:

$S = S_{40} - S_{19}$

Обчислимо суму перших 40 членів прогресії:

$S_{40} = \frac{2 a _{1} + 39 d}{2} \cdot 40$

$S_{40} = \frac{2 \cdot 8 + 39 \cdot ( - 0 , 6 )}{2} \cdot 40$

$S_{40} = (16 - 23, 4) \cdot 20$

$S_{40} = - 7, 4 \cdot 20$

$S_{40} = - 148$

Обчислимо суму перших 19 членів прогресії:

$S_{19} = \frac{2 a _{1} + 18 d}{2} \cdot 19$

$S_{19} = \frac{2 \cdot 8 + 18 \cdot ( - 0 , 6 )}{2} \cdot 19$

$S_{19} = \frac{16 - 10 , 8}{2} \cdot 19$

$S_{19} = 2, 6 \cdot 19$

$S_{19} = 49, 4$

Знайдемо шукану суму:

$S = - 148 - 49, 4 = - 197, 4$

Відповідь: $- 197, 4$ .

№ 17.24. Знайдіть суму членів арифметичної прогресії $2$ , $5$ , $8$ , … з десятого до двадцятого включно.

Розв’язання:
Для заданої арифметичної прогресії:
$a_{1} = 2$
$d = 5 - 2 = 3$

Суму членів прогресії з десятого до двадцятого включно знайдемо як різницю суми двадцяти перших членів і суми дев’яти перших членів:
$S = S_{20} - S_{9}$

Обчислимо $S_{20}$ :
$S_{20} = \frac{2 a _{1} + 19 d}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (2 \cdot 2 + 19 \cdot 3) \cdot 10$
$S_{20} = (4 + 57) \cdot 10 = 61 \cdot 10 = 610$

Обчислимо $S_{9}$ :
$S_{9} = \frac{2 a _{1} + 8 d}{2} \cdot 9$
$S_{9} = \frac{2 \cdot 2 + 8 \cdot 3}{2} \cdot 9$
$S_{9} = \frac{4 + 24}{2} \cdot 9 = 14 \cdot 9 = 126$

Знайдемо шукану суму:
$S = S_{20} - S_{9} = 610 - 126 = 484$

Відповідь: 484.

№ 17.25. Розв’яжіть рівняння:

1) $6 + 10 + 14 + \dots + (4 x - 2) = 448$ ;

2) $33 + 30 + 27 + \dots + x = 195$ .

Розв’язання:

1) Доданки лівої частини рівняння утворюють арифметичну прогресію $(a_{n})$ , у якій:
$a_{1} = 6$
$d = 10 - 6 = 4$
$a_{n} = 4 x - 2$

Знайдемо кількість членів $n$ за формулою $n$ -го члена:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
$4 x - 2 = 6 + (n - 1) \cdot 4$
$4 x - 2 = 6 + 4 n - 4$
$4 x - 2 = 4 n + 2$
$4 n = 4 x - 4$
$n = x - 1$ , де $n \in N$ (отже, $x > 1$ )

За формулою суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$

$\frac{6 + ( 4 x - 2 )}{2} \cdot (x - 1) = 448$

$\frac{4 x + 4}{2} \cdot (x - 1) = 448$

$2 (x + 1) (x - 1) = 448$

$x^{2} - 1 = 224$

$x^{2} = 225$

$x = 15$ або $x = - 15$

Оскільки $n = x - 1 \in N$ , корінь $x = - 15$ не задовольняє умову.
Отже, $x = 15$ .

2) Доданки лівої частини рівняння утворюють арифметичну прогресію $(a_{n})$ , у якій:
$a_{1} = 33$
$d = 30 - 33 = - 3$
$a_{n} = x$

Знайдемо кількість членів $n$ за формулою $n$ -го члена:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
$x = 33 + (n - 1) \cdot (- 3)$
$x = 33 - 3 n + 3$
$x = 36 - 3 n$
$3 n = 36 - x$
$n = \frac{36 - x}{3}$ , де $n \in N$

За формулою суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$

$\frac{33 + x}{2} \cdot \frac{36 - x}{3} = 195$

$\frac{( 33 + x ) ( 36 - x )}{6} = 195$

$(33 + x) (36 - x) = 1170$

$1188 - 33 x + 36 x - x^{2} = 1170$

$1188 + 3 x - x^{2} = 1170$

$- x^{2} + 3 x + 18 = 0$

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 6$
$x_{2} = - 3$

Перевіримо кількість доданків:
при $x = 6$ : $n = \frac{36 - 6}{3} = 10 \in N$ ;
при $x = - 3$ : $n = \frac{36 - ( - 3 )}{3} = 13 \in N$ .

Обидва корені задовольняють умову.

Відповідь: 1) $15$ ; 2) $- 3$ ; $6$ .

№ 17.26. Розв’яжіть рівняння:

1) $7 + 11 + 15 + \dots + (4 x - 1) = 297$ ;

2) $11 + 8 + 5 + \dots + x = - 221$ .

Розв’язання:

1) $7 + 11 + 15 + \dots + (4 x - 1) = 297$

У лівій частині рівняння записано суму членів арифметичної прогресії, у якій:
$a_{1} = 7$
$d = 11 - 7 = 4$
$a_{n} = 4 x - 1$
$S_{n} = 297$

Знайдемо кількість членів $n$ за формулою $n$ -го члена:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
$4 x - 1 = 7 + (n - 1) \cdot 4$
$4 x - 1 = 7 + 4 n - 4$
$4 x - 1 = 4 n + 3$
$4 n = 4 x - 4$
$n = x - 1$ (де $n \in N$ , отже $x$ — натуральне число, $x \geq 2$ )

За формулою суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$
$\frac{7 + ( 4 x - 1 )}{2} \cdot (x - 1) = 297$
$\frac{4 x + 6}{2} \cdot (x - 1) = 297$
$(2 x + 3) (x - 1) = 297$
$2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3 = 297$
$2 x^{2} + x - 300 = 0$
$D = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 300) = 1 + 2400 = 2401 = 4 9^{2}$
$x_{1} = \frac{- 1 + 49}{2 \cdot 2} = \frac{48}{4} = 12$
$x_{2} = \frac{- 1 - 49}{4} = - \frac{50}{4} = - 12, 5$ — не задовольняє умову, оскільки $n = x - 1$ має бути натуральним числом.

Отже, $x = 12$ .

2) $11 + 8 + 5 + \dots + x = - 221$

У лівій частині рівняння записано суму членів арифметичної прогресії, у якій:
$a_{1} = 11$
$d = 8 - 11 = - 3$
$a_{n} = x$
$S_{n} = - 221$

Виразимо кількість членів $n$ через формулу $n$ -го члена:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
$x = 11 + (n - 1) \cdot (- 3)$
$x = 11 - 3 n + 3$
$3 n = 14 - x$
$n = \frac{14 - x}{3}$ (де $n \in N$ )

За формулою суми $n$ перших членів:
$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$
$\frac{11 + x}{2} \cdot \frac{14 - x}{3} = - 221$
$\frac{( 11 + x ) ( 14 - x )}{6} = - 221$
$(11 + x) (14 - x) = - 1326$
$154 - 11 x + 14 x - x^{2} = - 1326$
$- x^{2} + 3 x + 154 + 1326 = 0$
$- x^{2} + 3 x + 1480 = 0$
$x^{2} - 3 x - 1480 = 0$
$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1480) = 9 + 5920 = 5929 = 7 7^{2}$
$x_{1} = \frac{3 + 77}{2} = 40$
$x_{2} = \frac{3 - 77}{2} = - 37$

Перевіримо кількість членів:
якщо $x = 40$ , то $n = \frac{14 - 40}{3} = - \frac{26}{3} \in / N$ (не задовольняє умову);
якщо $x = - 37$ , то $n = \frac{14 - ( - 37 )}{3} = \frac{51}{3} = 17 \in N$ .

Отже, $x = - 37$ .

Відповідь: 1) $12$ ; 2) $- 37$ .

№ 17.27. Знайдіть суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо $a_{1} + a_{5} = 16$ , $a_{3} a_{4} = 88$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{5} = a_{1} + 4 d$
$a_{3} = a_{1} + 2 d$
$a_{4} = a_{1} + 3 d$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

${a_{1} + (a_{1} + 4 d) = 16 (a_{1} + 2 d) (a_{1} + 3 d) = 88$

${2 a_{1} + 4 d = 16 (a_{1} + 2 d) (a_{1} + 3 d) = 88$

${a_{1} + 2 d = 8 (a_{1} + 2 d) (a_{1} + 3 d) = 88$

Оскільки $a_{1} + 2 d = 8$ , підставимо цей вираз у друге рівняння:

$8 \cdot (8 + d) = 88$

$8 + d = 11$

$d = 3$

Знайдемо перший член прогресії $a_{1}$ :

$a_{1} = 8 - 2 d$

$a_{1} = 8 - 2 \cdot 3$

$a_{1} = 2$

Обчислимо суму двадцяти перших членів прогресії:

$S_{20} = \frac{2 a _{1} + 19 d}{2} \cdot 20$

$S_{20} = (2 \cdot 2 + 19 \cdot 3) \cdot 10$

$S_{20} = (4 + 57) \cdot 10$

$S_{20} = 61 \cdot 10 = 610$

Відповідь: 610.

№ 17.28. З пункту $A$ виїхала вантажівка, яка рухалася зі швидкістю $40$ км/год. Одночасно в тому самому напрямку з пункту $B$ вирушив легковик, який за першу годину проїхав $50$ км, а кожної наступної години долав на $5$ км більше, ніж за попередню. Через скільки годин легковик наздожене вантажівку, якщо відстань між пунктами $A$ і $B$ дорівнює $135$ км?

Розв’язання:
Нехай $t (год)$ — час, через який легковик наздожене вантажівку ( $t > 0$ ).

За цей час вантажівка подолала відстань:
$S_{1} = 40 t (км)$

Відстані, які щогодини долав легковик, утворюють арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де $a_{1} = 50$ , $d = 5$ .

Загальний шлях легковика за $t$ годин дорівнює сумі $t$ перших членів цієї прогресії:
$S_{2} = \frac{2 a _{1} + d ( t - 1 )}{2} \cdot t = \frac{2 \cdot 50 + 5 ( t - 1 )}{2} \cdot t = \frac{100 + 5 ( t - 1 )}{2} \cdot t$

Оскільки легковик вирушив з пункту $B$ , розташованого на відстані $135 км$ позаду пункту $A$ , то для того, щоб наздогнати вантажівку, він має пройти відстань на $135 км$ більшу:
$S_{2} = S_{1} + 135$

Складемо рівняння:
$\frac{100 + 5 ( t - 1 )}{2} \cdot t = 40 t + 135$

Помножимо обидві частини рівняння на $2$ :
$(100 + 5 t - 5) t = 80 t + 270$
$(5 t + 95) t = 80 t + 270$
$5 t^{2} + 95 t - 80 t - 270 = 0$
$5 t^{2} + 15 t - 270 = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на $5$ :
$t^{2} + 3 t - 54 = 0$

За теоремою Вієта:
$t_{1} = 6$
$t_{2} = - 9$ (не задовольняє умову $t > 0$ )

Отже, легковик наздожене вантажівку через $6$ годин.

Відповідь: через $6 год .$

№ 17.29. Зарплата менеджерки супермаркета у перший місяць роботи становила $12000 грн$ . Надалі її зарплата щомісяця підвищувалася на $1000 грн$ , порівняно з попереднім місяцем. Із нарахованої зарплати сплачувалися податки: $18 %$ — податок на доходи фізичних осіб та $5 %$ військового збору. Яку загальну суму (на руки) отримала менеджерка за пів року роботи після сплати податків?

Розв’язання:

Сума щомісячної нарахованої зарплати утворює арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де:
$a_{1} = 12000 грн$ — зарплата за перший місяць;
$d = 1000 грн$ — щомісячне підвищення;
$n = 6$ — кількість місяців (пів року).

Обчислимо загальну суму нарахованої зарплати за 6 місяців за формулою суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:

$S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$

$S_{6} = \frac{2 \cdot 12 000 + 5 \cdot 1000}{2} \cdot 6$

$S_{6} = (24000 + 5000) \cdot 3$

$S_{6} = 29000 \cdot 3 = 87000 (грн)$

Знайдемо загальний відсоток податків, що відраховуються із заробітної плати:

$18 % + 5 % = 23 %$

Відсоток суми, яку менеджерка отримує на руки:

$100 % - 23 % = 77 % = 0, 77$

Обчислимо суму, отриману після сплати податків:

$87000 \cdot 0, 77 = 66990 (грн)$

Відповідь: $66990 грн .$

№ 17.30. Між якими двома послідовними цілими числами міститься число:
1) $13$ ;
2) $7$ ;
3) $- 5$ ;
4) $- 17$ ?

Розв’язання:

1) Оскільки $9 < 13 < 16$ , маємо $9 < 13 < 16$ , тобто:
$3 < 13 < 4$
Отже, число $13$ міститься між числами 3 та 4.

2) Оскільки $4 < 7 < 9$ , маємо $4 < 7 < 9$ , тобто:
$2 < 7 < 3$
Отже, число $7$ міститься між числами 2 та 3.

3) Оскільки $4 < 5 < 9$ , маємо $4 < 5 < 9$ , тобто $2 < 5 < 3$ .
Помноживши всі частини нерівності на $- 1$ , отримуємо:
$- 3 < - 5 < - 2$
Отже, число $- 5$ міститься між числами -3 та -2.

4) Оскільки $16 < 17 < 25$ , маємо $16 < 17 < 25$ , тобто $4 < 17 < 5$ .
Помноживши всі частини нерівності на $- 1$ , отримуємо:
$- 5 < - 17 < - 4$
Отже, число $- 17$ міститься між числами -5 та -4.

Відповідь: 1) 3 та 4; 2) 2 та 3; 3) -3 та -2; 4) -5 та -4.

№ 17.31. Розв’яжіть нерівність $6 x - 40 > (3 x - 8) (3 x + 8)$ .

Розв’язання:
Застосуємо формулу різниці квадратів у правій частині:
$6 x - 40 > 9 x^{2} - 64$
$- 9 x^{2} + 6 x - 40 + 64 > 0$
$- 9 x^{2} + 6 x + 24 > 0$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 3$ , змінивши знак нерівності на протилежний:
$3 x^{2} - 2 x - 8 < 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ :
$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8) = 4 + 96 = 100$
$x_{1} = \frac{2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$
$x_{2} = \frac{2 - 10}{2 \cdot 3} = - \frac{8}{6} = - \frac{4}{3}$

Вітки параболи $y = 3 x^{2} - 2 x - 8$ напрямлені вгору, тому значення функції менші від нуля між її нулями:

Графік до вправи № 17.31 - Алгебра 9 клас

$x \in (- \frac{4}{3}; 2)$

Відповідь: $(- \frac{4}{3}; 2)$ .

№ 17.32. Розв’яжіть рівняння $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 3) = x^{2} (x^{2} + 7)$ .

Розв’язання:
Розкриємо дужки в лівій та правій частинах рівняння:
$2 x^{4} + 6 x^{2} - x^{2} - 3 = x^{4} + 7 x^{2}$
$2 x^{4} + 5 x^{2} - 3 = x^{4} + 7 x^{2}$
$2 x^{4} - x^{4} + 5 x^{2} - 7 x^{2} - 3 = 0$
$x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$

Нехай $x^{2} = t$ , де $t \geq 0$ . Отримаємо квадратне рівняння:
$t^{2} - 2 t - 3 = 0$

За теоремою Вієта:
$t_{1} = 3$
$t_{2} = - 1$ — не задовольняє умову $t \geq 0$ .

Повернемося до заміни:
$x^{2} = 3$
$x = - 3$ або $x = 3$

Відповідь: $- 3; 3 .$

№ 17.33. Побудуйте графік функції:

$y = \frac{x ^{3} + 3 x ^{2}}{x + 3} + \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x - 2}$

Розв’язання:

Знайдемо область визначення функції:
$x + 3 \neq = 0$
$x \neq = - 3$
$x - 2 \neq = 0$
$x \neq = 2$
$D (y) = (- \infty; - 3) \cup (- 3; 2) \cup (2; + \infty)$

Спростимо вираз функції для значень $x$ з області визначення:

$y = \frac{x ^{2} ( x + 3 )}{x + 3} + \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x - 2}$

$y = x^{2} + x - 2$

Графіком функції є парабола $y = x^{2} + x - 2$ з виколотими точками при $x = - 3$ та $x = 2$ .

Знайдемо координати виколотих точок:
при $x = - 3$ : $y = (- 3)^{2} + (- 3) - 2 = 4$
$(- 3; 4)$
при $x = 2$ : $y = 2^{2} + 2 - 2 = 4$
$(2; 4)$

Координати вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{1}{2 \cdot 1} = - 0, 5$
$y_{в} = (- 0, 5)^{2} + (- 0, 5) - 2 = 0, 25 - 0, 5 - 2 = - 2, 25$
Вершина: $(- 0, 5; - 2, 25)$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$ (вик.)	$0$	$- 2$	$- 2, 25$	$- 2$	$0$	$4$ (вик.)

Графік до вправи № 17.33 - Алгебра 9 клас

№ 17.34. До електромережі підключено прилади, загальний опір яких становить $R_{1} = 90 Ом$ . Паралельно з ними передбачено підключити ще й електрообігрівач. Визначте найменш можливий опір $R_{2}$ цього електрообігрівача, якщо відомо, що при паралельному з’єднанні двох провідників з опорами $R_{1} Ом$ і $R_{2} Ом$ їхній загальний опір обчислюють за формулою $R_{заг} = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ , а для нормального функціонування електромережі її загальний опір має бути не менше, ніж $9 Ом$ .

Розв’язання:

За умовою задачі:
$R_{1} = 90 Ом$
$R_{заг} \geq 9 Ом$
$R_{2} > 0$

Підставимо значення у формулу загального опору та складемо нерівність:

$\frac{90 R _{2}}{90 + R _{2}} \geq 9$

Оскільки $R_{2} > 0$ , вираз $90 + R_{2} > 0$ . Помножимо обидві частини нерівності на $(90 + R_{2})$ :

$90 R_{2} \geq 9 (90 + R_{2})$

$90 R_{2} \geq 810 + 9 R_{2}$

$90 R_{2} - 9 R_{2} \geq 810$

$81 R_{2} \geq 810$

$R_{2} \geq 10$

Отже, найменший можливий опір електрообігрівача становить $10 Ом$ .

Відповідь: $10 Ом .$

№ 17.35. Запишіть скінченну послідовність, що складається із шести членів, у якої перший член дорівнює 1, а кожен наступний утричі більший за попередній.

Розв’язання:
За умовою перший член послідовності $a_{1} = 1$ , а кожен наступний утричі більший за попередній:
$a_{1} = 1$
$a_{2} = 1 \cdot 3 = 3$
$a_{3} = 3 \cdot 3 = 9$
$a_{4} = 9 \cdot 3 = 27$
$a_{5} = 27 \cdot 3 = 81$
$a_{6} = 81 \cdot 3 = 243$

Відповідь: $1; 3; 9; 27; 81; 243$ .

№ 17.36. Знайдіть закономірність і продовжте ряд чисел, записавши чотири наступних числа:

1) $3$ , $6$ , $12$ , $24$ , … ;

2) $64$ , $32$ , $16$ , $8$ , … ;

3) $1$ , $- 3$ , $9$ , $- 27$ , … ;

4) $25000$ , $- 2500$ , $250$ , $- 25$ , … .

Розв’язання:

1) Кожне наступне число отримується множенням попереднього на $2$ :
$24 \cdot 2 = 48$
$48 \cdot 2 = 96$
$96 \cdot 2 = 192$
$192 \cdot 2 = 384$
Отримали ряд: $3$ , $6$ , $12$ , $24$ , $48$ , $96$ , $192$ , $384$ .

2) Кожне наступне число отримується діленням попереднього на $2$ (або множенням на $\frac{1}{2}$ ):
$8 : 2 = 4$
$4 : 2 = 2$
$2 : 2 = 1$
$1 : 2 = \frac{1}{2}$
Отримали ряд: $64$ , $32$ , $16$ , $8$ , $4$ , $2$ , $1$ , $\frac{1}{2}$ .

3) Кожне наступне число отримується множенням попереднього на $- 3$ :
$- 27 \cdot (- 3) = 81$
$81 \cdot (- 3) = - 243$
$- 243 \cdot (- 3) = 729$
$729 \cdot (- 3) = - 2187$
Отримали ряд: $1$ , $- 3$ , $9$ , $- 27$ , $81$ , $- 243$ , $729$ , $- 2187$ .

4) Кожне наступне число отримується діленням попереднього на $- 10$ (або множенням на $- 0, 1$ ):
$- 25 : (- 10) = 2, 5$
$2, 5 : (- 10) = - 0, 25$
$- 0, 25 : (- 10) = 0, 025$
$0, 025 : (- 10) = - 0, 0025$
Отримали ряд: $25000$ , $- 2500$ , $250$ , $- 25$ , $2, 5$ , $- 0, 25$ , $0, 025$ , $- 0, 0025$ .

Відповідь:

1) $48$ , $96$ , $192$ , $384$ ;

2) $4$ , $2$ , $1$ , $\frac{1}{2}$ ;

3) $81$ , $- 243$ , $729$ , $- 2187$ ;

4) $2, 5$ , $- 0, 25$ , $0, 025$ , $- 0, 0025$ .

№ 17.37. (Задача Стенфордського університету.) Знайдіть усі значення $m$ , за яких рівняння $x^{4} - (3 m + 2) x^{2} + m^{2} = 0$ має чотири корені, які є послідовними членами арифметичної прогресії.

Розв’язання:
Нехай $x^{2} = t$ . Тоді задане біквадратне рівняння набуває вигляду:

$t^{2} - (3 m + 2) t + m^{2} = 0$

Щоб початкове рівняння мало чотири різні дійсні корені, квадратне рівняння повинно мати два різних додатних корені: $0 < t_{1} < t_{2}$ .

Тоді корені початкового рівняння, записані в порядку зростання, мають вигляд:
$- t_{2}, - t_{1}, t_{1}, t_{2}$ .

Ці числа є послідовними членами арифметичної прогресії, отже, різниця між сусідніми членами є сталою:

$t_{1} - (- t_{1}) = t_{2} - t_{1}$

$2 t_{1} = t_{2} - t_{1}$
$t_{2} = 3 t_{1}$
$t_{2} = 9 t_{1}$

За теоремою Вієта для рівняння відносно $t$ :

${t_{1} + t_{2} = 3 m + 2 t_{1} \cdot t_{2} = m^{2}$

Підставимо $t_{2} = 9 t_{1}$ у перше рівняння системи:
$t_{1} + 9 t_{1} = 3 m + 2$
$10 t_{1} = 3 m + 2$
$t_{1} = \frac{3 m + 2}{10}$

Підставимо $t_{2} = 9 t_{1}$ у друге рівняння системи:
$t_{1} \cdot 9 t_{1} = m^{2}$
$9 t_{1}^{2} = m^{2}$
$3 t_{1} = ∣ m ∣$ (оскільки $t_{1} > 0$ )

Підставимо вираз для $t_{1}$ :

$3 \cdot \frac{3 m + 2}{10} = ∣ m ∣$

$3 (3 m + 2) = 10∣ m ∣$
$9 m + 6 = 10∣ m ∣$

Розглянемо два випадки розкриття модуля:

1) Якщо $m \geq 0$ :
$9 m + 6 = 10 m$
$m = 6$

2) Якщо $m < 0$ :
$9 m + 6 = - 10 m$
$19 m = - 6$
$m = - \frac{6}{19}$

Перевіримо умову додатності коренів $t_{1} > 0$ та $t_{2} > 0$ :

1) При $m = 6$ :
$t_{1} = \frac{3 \cdot 6 + 2}{10} = \frac{20}{10} = 2 > 0$
$t_{2} = 9 \cdot 2 = 18 > 0$
Умова виконується.

2) При $m = - \frac{6}{19}$ :
$t_{1} = \frac{3 \cdot ( - \frac{6}{19} ) + 2}{10} = \frac{- \frac{18}{19} + \frac{38}{19}}{10} = \frac{\frac{20}{19}}{10} = \frac{2}{19} > 0$
$t_{2} = 9 \cdot \frac{2}{19} = \frac{18}{19} > 0$
Умова виконується.

Отже, шуканими значеннями параметра є $m = 6$ та $m = - \frac{6}{19}$ .

Відповідь: $6$ ; $- \frac{6}{19}$ .

17. Сума n перших членів арифметичної прогресії

Теги статті:

До уроку