16. Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 16.1. Які з послідовностей є арифметичними прогресіями? Укажіть для них перший член і різницю:

1) $2$ , $5$ , $8$ , $11$ ;

2) $4$ , $4$ , $4$ , $4$ ;

3) $0$ , $1$ , $5$ , $10$ ;

4) $4$ , $- 4$ , $4$ , $- 4$ ;

5) $- 5$ , $- 4$ , $- 3$ , $- 2$ ;

6) $0$ , $1$ , $0$ , $2$ .

Розв’язання:

1) Перевіримо різницю між сусідніми членами:
$5 - 2 = 3$
$8 - 5 = 3$
$11 - 8 = 3$
Різниця між сусідніми членами є сталою, отже, послідовність є арифметичною прогресією:
$a_{1} = 2$ , $d = 3$ .

2) Перевіримо різницю між сусідніми членами:
$4 - 4 = 0$
Різниця між сусідніми членами є сталою, отже, послідовність є арифметичною прогресією:
$a_{1} = 4$ , $d = 0$ .

3) Перевіримо різницю між сусідніми членами:
$1 - 0 = 1$
$5 - 1 = 4 \neq = 1$
Різниця між сусідніми членами не є сталою, отже, послідовність не є арифметичною прогресією.

4) Перевіримо різницю між сусідніми членами:
$- 4 - 4 = - 8$
$4 - (- 4) = 8 \neq = - 8$
Різниця між сусідніми членами не є сталою, отже, послідовність не є арифметичною прогресією.

5) Перевіримо різницю між сусідніми членами:
$- 4 - (- 5) = 1$
$- 3 - (- 4) = 1$
$- 2 - (- 3) = 1$
Різниця між сусідніми членами є сталою, отже, послідовність є арифметичною прогресією:
$a_{1} = - 5$ , $d = 1$ .

6) Перевіримо різницю між сусідніми членами:
$1 - 0 = 1$
$0 - 1 = - 1 \neq = 1$
Різниця між сусідніми членами не є сталою, отже, послідовність не є арифметичною прогресією.

Відповідь: 1) так, $a_{1} = 2$ , $d = 3$ ; 2) так, $a_{1} = 4$ , $d = 0$ ; 3) ні; 4) ні; 5) так, $a_{1} = - 5$ , $d = 1$ ; 6) ні.

№ 16.2. Чи є арифметичною прогресією послідовність:
1) натуральних чисел: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $\dots$ ;
2) квадратів натуральних чисел: $1$ , $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $\dots$ ;
3) непарних натуральних чисел: $1$ , $3$ , $5$ , $7$ , $9$ , $\dots$ ;
4) правильних дробів із чисельником $1$ : $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{5}$ , $\frac{1}{6}$ , $\dots$ ?

Розв’язання:

Послідовність є арифметичною прогресією, якщо різниця між кожним наступним і попереднім її членами є сталим числом: $a_{n + 1} - a_{n} = d$ .

1) Знайдемо різницю між сусідніми членами:
$2 - 1 = 1$
$3 - 2 = 1$
$4 - 3 = 1$
Різниця є сталою ( $d = 1$ ), отже, ця послідовність є арифметичною прогресією.

2) Знайдемо різницю між сусідніми членами:
$4 - 1 = 3$
$9 - 4 = 5$
Оскільки $3 \neq = 5$ , різниця не є сталою, отже, ця послідовність не є арифметичною прогресією.

3) Знайдемо різницю між сусідніми членами:
$3 - 1 = 2$
$5 - 3 = 2$
$7 - 5 = 2$
Різниця є сталою ( $d = 2$ ), отже, ця послідовність є арифметичною прогресією.

4) Знайдемо різницю між сусідніми членами:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{6}$
$\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{12}$
Оскільки $- \frac{1}{6} \neq = - \frac{1}{12}$ , різниця не є сталою, отже, ця послідовність не є арифметичною прогресією.

Відповідь: 1) так; 2) ні; 3) так; 4) ні.

№ 16.3. Запишіть п’ять перших членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , різниця якої дорівнює $d$ :

1) $a_{1} = 5$ , $d = 4$ ;

2) $a_{1} = 4, 7$ , $d = - 0, 7$ .

Розв’язання:

Кожен наступний член арифметичної прогресії знайдемо за формулою:
$a_{n + 1} = a_{n} + d$

$a_{1} = 5$
$a_{2} = a_{1} + d = 5 + 4 = 9$
$a_{3} = a_{2} + d = 9 + 4 = 13$
$a_{4} = a_{3} + d = 13 + 4 = 17$
$a_{5} = a_{4} + d = 17 + 4 = 21$

$a_{1} = 4, 7$
$a_{2} = a_{1} + d = 4, 7 + (- 0, 7) = 4$
$a_{3} = a_{2} + d = 4 + (- 0, 7) = 3, 3$
$a_{4} = a_{3} + d = 3, 3 + (- 0, 7) = 2, 6$
$a_{5} = a_{4} + d = 2, 6 + (- 0, 7) = 1, 9$

Відповідь:

1) $5$ ; $9$ ; $13$ ; $17$ ; $21$ .

2) $4, 7$ ; $4$ ; $3, 3$ ; $2, 6$ ; $1, 9$ .

№ 16.4. Запишіть чотири перших члени арифметичної прогресії $(a_{n})$ , різниця якої дорівнює $d$ :
1) $a_{1} = 4$ , $d = - 2$ ;
2) $a_{1} = 3, 8$ , $d = 0, 2$ .

Розв’язання:

За означенням арифметичної прогресії кожен наступний член дорівнює попередньому, до якого додано різницю $d$ :
$a_{n + 1} = a_{n} + d$ .

1) $a_{1} = 4$
$a_{2} = a_{1} + d = 4 + (- 2) = 2$
$a_{3} = a_{2} + d = 2 + (- 2) = 0$
$a_{4} = a_{3} + d = 0 + (- 2) = - 2$

2) $a_{1} = 3, 8$
$a_{2} = a_{1} + d = 3, 8 + 0, 2 = 4$
$a_{3} = a_{2} + d = 4 + 0, 2 = 4, 2$
$a_{4} = a_{3} + d = 4, 2 + 0, 2 = 4, 4$

Відповідь: 1) $4$ ; $2$ ; $0$ ; $- 2$ ; 2) $3, 8$ ; $4$ ; $4, 2$ ; $4, 4$ .

№ 16.5. Знайдіть три наступних члени арифметичної прогресії $4, 2$ ; $3, 8$ ; $3, 4$ ; … .

Розв’язання:
Дано арифметичну прогресію $(a_{n})$ :
$a_{1} = 4, 2$
$a_{2} = 3, 8$
$a_{3} = 3, 4$

Знайдемо різницю $d$ :
$d = a_{2} - a_{1} = 3, 8 - 4, 2 = - 0, 4$

Обчислимо три наступних члени прогресії:
$a_{4} = a_{3} + d = 3, 4 + (- 0, 4) = 3$
$a_{5} = a_{4} + d = 3 + (- 0, 4) = 2, 6$
$a_{6} = a_{5} + d = 2, 6 + (- 0, 4) = 2, 2$

Відповідь: $3$ ; $2, 6$ ; $2, 2$ .

№ 16.6. Знайдіть чотири наступних члени арифметичної прогресії $5, 7$ ; $6, 1$ ; $6, 5$ ; … .

Розв’язання:
Дано арифметичну прогресію $(a_{n})$ :
$a_{1} = 5, 7$
$a_{2} = 6, 1$
$a_{3} = 6, 5$

Знайдемо різницю прогресії $d$ :
$d = a_{2} - a_{1} = 6, 1 - 5, 7 = 0, 4$

Обчислимо наступні чотири члени прогресії:
$a_{4} = a_{3} + d = 6, 5 + 0, 4 = 6, 9$
$a_{5} = a_{4} + d = 6, 9 + 0, 4 = 7, 3$
$a_{6} = a_{5} + d = 7, 3 + 0, 4 = 7, 7$
$a_{7} = a_{6} + d = 7, 7 + 0, 4 = 8, 1$

Відповідь: $6, 9$ ; $7, 3$ ; $7, 7$ ; $8, 1$ .

№ 16.7.
1) В арифметичній прогресії $(a_{n})$ $a_{1} = 13$ , $a_{2} = 33$ . Знайдіть $a_{34}$ .
2) Обчисліть значення виразу $3 a_{34}$ , відтак дізнаєтеся, якого року збірна України з футболу віком до 20 років стала чемпіоном світу.

Розв’язання:

1) Знайдемо різницю арифметичної прогресії $d$ :
$d = a_{2} - a_{1} = 33 - 13 = 20$

За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ :
$a_{34} = a_{1} + (34 - 1) d$
$a_{34} = a_{1} + 33 d$
$a_{34} = 13 + 33 \cdot 20$
$a_{34} = 13 + 660$
$a_{34} = 673$

2) Обчислимо значення виразу $3 a_{34}$ :
$3 \cdot 673 = 2019$

Отже, збірна України з футболу віком до 20 років стала чемпіоном світу у 2019 році.

Відповідь: 1) 673; 2) 2019 рік.

№ 16.8. Послідовність $(a_{n})$ — арифметична прогресія. Знайдіть:
1) $a_{7}$ , якщо $a_{1} = 3$ , $d = - 8$ ;
2) $a_{12}$ , якщо $a_{1} = 2, 7$ , $d = 0, 4$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ :

1) $a_{7} = a_{1} + 6 d$
$a_{7} = 3 + 6 \cdot (- 8)$
$a_{7} = 3 - 48$
$a_{7} = - 45$

2) $a_{12} = a_{1} + 11 d$
$a_{12} = 2, 7 + 11 \cdot 0, 4$
$a_{12} = 2, 7 + 4, 4$
$a_{12} = 7, 1$

Відповідь: 1) $- 45$ ; 2) $7, 1$ .

№ 16.9. В арифметичній прогресії $(a_{n})$ $a_{1} = - 15$ , $d = 3, 7$ . Знайдіть:
1) $a_{2}$ ;
2) $a_{5}$ ;
3) $a_{10}$ ;
4) $a_{101}$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ :

1) $a_{2} = a_{1} + d$
$a_{2} = - 15 + 3, 7 = - 11, 3$

2) $a_{5} = a_{1} + 4 d$
$a_{5} = - 15 + 4 \cdot 3, 7 = - 15 + 14, 8 = - 0, 2$

3) $a_{10} = a_{1} + 9 d$
$a_{10} = - 15 + 9 \cdot 3, 7 = - 15 + 33, 3 = 18, 3$

4) $a_{101} = a_{1} + 100 d$
$a_{101} = - 15 + 100 \cdot 3, 7 = - 15 + 370 = 355$

Відповідь: 1) $- 11, 3$ ; 2) $- 0, 2$ ; 3) $18, 3$ ; 4) $355$ .

№ 16.10. Знайдіть різницю, десятий і вісімнадцятий члени арифметичної прогресії:

1) $1$ , $\frac{1}{2}$ , $0$ , …;

2) $0$ , $1, 5$ , $3$ , ….

Розв’язання:

1) $a_{1} = 1$ , $a_{2} = \frac{1}{2}$
$d = a_{2} - a_{1} = \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$
$a_{10} = a_{1} + 9 d = 1 + 9 \cdot (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{9}{2} = - \frac{7}{2} = - 3 \frac{1}{2}$
$a_{18} = a_{1} + 17 d = 1 + 17 \cdot (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{17}{2} = - \frac{15}{2} = - 7 \frac{1}{2}$

2) $a_{1} = 0$ , $a_{2} = 1, 5$
$d = a_{2} - a_{1} = 1, 5 - 0 = 1, 5$
$a_{10} = a_{1} + 9 d = 0 + 9 \cdot 1, 5 = 13, 5$
$a_{18} = a_{1} + 17 d = 0 + 17 \cdot 1, 5 = 25, 5$

Відповідь:

1) $d = - \frac{1}{2}$ ; $a_{10} = - 3 \frac{1}{2}$ ; $a_{18} = - 7 \frac{1}{2}$ .

2) $d = 1, 5$ ; $a_{10} = 13, 5$ ; $a_{18} = 25, 5$ .

№ 16.11. Знайдіть перший член арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо:

1) $a_{2} = 8$ , $d = - 5$ ;

2) $a_{10} = 7$ , $d = 4$ .

Розв’язання:

1) За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{2} = a_{1} + d$
$8 = a_{1} + (- 5)$
$a_{1} = 8 - (- 5)$
$a_{1} = 13$

2) За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{10} = a_{1} + 9 d$
$7 = a_{1} + 9 \cdot 4$
$7 = a_{1} + 36$
$a_{1} = 7 - 36$
$a_{1} = - 29$

Відповідь: 1) $13$ ; 2) $- 29$ .

№ 16.12. Знайдіть перший член арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо:
1) $a_{2} = - 7$ , $d = 4$ ;
2) $a_{8} = 5$ , $d = - 2$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ :

1) $a_{2} = a_{1} + d$
$- 7 = a_{1} + 4$
$a_{1} = - 7 - 4$
$a_{1} = - 11$

2) $a_{8} = a_{1} + 7 d$
$5 = a_{1} + 7 \cdot (- 2)$
$5 = a_{1} - 14$
$a_{1} = 5 + 14$
$a_{1} = 19$

Відповідь: 1) $- 11$ ; 2) $19$ .

№ 16.13. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, у якої перший член дорівнює 8, а одинадцятий — 33.

Розв’язання:
За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$

Для одинадцятого члена:
$a_{11} = a_{1} + 10 d$

Підставимо задані значення $a_{1} = 8$ та $a_{11} = 33$ :
$33 = 8 + 10 d$
$10 d = 33 - 8$
$10 d = 25$
$d = \frac{25}{10}$
$d = 2, 5$

Відповідь: $2, 5$ .

№ 16.14. Знайдіть різницю арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо $a_{1} = - 5$ , $a_{9} = 7$ .

Розв’язання:
За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Для дев’ятого члена прогресії:
$a_{9} = a_{1} + 8 d$
$7 = - 5 + 8 d$
$8 d = 7 + 5$
$8 d = 12$
$d = \frac{12}{8}$
$d = 1, 5$

Відповідь: $1, 5$ .

№ 16.15. Тіло за першу секунду подолало 5 м, а за кожну наступну — на 2 м більше, ніж за попередню. Скільки метрів подолало тіло за шосту секунду; за десяту секунду?

Розв’язання:
Кількість метрів, яку тіло долає за кожну секунду, утворює арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де:
$a_{1} = 5$
$d = 2$

За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ :

Знайдемо відстань, яку тіло подолало за шосту секунду ( $a_{6}$ ):
$a_{6} = a_{1} + 5 d$
$a_{6} = 5 + 5 \cdot 2$
$a_{6} = 5 + 10 = 15 (м)$

Знайдемо відстань, яку тіло подолало за десяту секунду ( $a_{10}$ ):
$a_{10} = a_{1} + 9 d$
$a_{10} = 5 + 9 \cdot 2$
$a_{10} = 5 + 18 = 23 (м)$

Відповідь: $15 м$ ; $23 м$ .

№ 16.16. Учень прочитав книжку за 10 днів. Першого дня він прочитав 40 сторінок, а кожного наступного дня читав на 3 сторінки менше, ніж попереднього. Скільки сторінок учень прочитав за третій день; за останній день?

Розв’язання:
Кількість сторінок, які учень читав щодня, утворює арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де:
$a_{1} = 40$
$d = - 3$
$n = 10$

Формула $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$

Кількість сторінок, прочитаних за третій день:
$a_{3} = a_{1} + 2 d$
$a_{3} = 40 + 2 \cdot (- 3) = 40 - 6 = 34 (с .)$

Кількість сторінок, прочитаних за останній (десятий) день:
$a_{10} = a_{1} + 9 d$
$a_{10} = 40 + 9 \cdot (- 3) = 40 - 27 = 13 (с .)$

Відповідь: 34 сторінки; 13 сторінок.

№ 16.17. Між числами $3$ і $7$ вставте:

1) одне число;

2) два числа;

3) три числа
таких, щоб вони разом із заданими утворювали арифметичну прогресію.

Розв’язання:

Нехай задана послідовність є арифметичною прогресією $(a_{n})$ , у якій перший член $a_{1} = 3$ , а останній член $a_{n} = 7$ .
Різницю арифметичної прогресії знайдемо за формулою:
$d = \frac{a _{n} - a _{1}}{n - 1}$ .

1) Якщо між числами вставити одне число, то всього в прогресії буде $n = 3$ члени, де $a_{1} = 3$ , $a_{3} = 7$ .
$d = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$
Шукане число:
$a_{2} = a_{1} + d = 3 + 2 = 5$

2) Якщо між числами вставити два числа, то всього в прогресії буде $n = 4$ члени, де $a_{1} = 3$ , $a_{4} = 7$ .
$d = \frac{7 - 3}{4 - 1} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$
Шукані числа:
$a_{2} = a_{1} + d = 3 + 1 \frac{1}{3} = 4 \frac{1}{3}$
$a_{3} = a_{2} + d = 4 \frac{1}{3} + 1 \frac{1}{3} = 5 \frac{2}{3}$

3) Якщо між числами вставити три числа, то всього в прогресії буде $n = 5$ членів, де $a_{1} = 3$ , $a_{5} = 7$ .
$d = \frac{7 - 3}{5 - 1} = \frac{4}{4} = 1$
Шукані числа:
$a_{2} = a_{1} + d = 3 + 1 = 4$
$a_{3} = a_{2} + d = 4 + 1 = 5$
$a_{4} = a_{3} + d = 5 + 1 = 6$

Відповідь: 1) $5$ ; 2) $4 \frac{1}{3}$ , $5 \frac{2}{3}$ ; 3) $4$ , $5$ , $6$ .

№ 16.18. Між числами $15$ і $30$ вставте чотири таких числа, щоб вони разом із заданими утворювали арифметичну прогресію.

Розв’язання:
Нехай задані числа є першим і шостим членами арифметичної прогресії $(a_{n})$ :
$a_{1} = 15$ , $a_{6} = 30$ .

За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
$a_{6} = a_{1} + 5 d$
$15 + 5 d = 30$
$5 d = 30 - 15$
$5 d = 15$
$d = 3$

Обчислимо шукані числа:
$a_{2} = a_{1} + d = 15 + 3 = 18$
$a_{3} = a_{2} + d = 18 + 3 = 21$
$a_{4} = a_{3} + d = 21 + 3 = 24$
$a_{5} = a_{4} + d = 24 + 3 = 27$

Відповідь: $18$ ; $21$ ; $24$ ; $27$ .

№ 16.19. Знайдіть формулу $n$ -го члена арифметичної прогресії:
1) $2 x$ , $5 x$ , $8 x$ , …;
2) $\frac{m - 1}{m}$ , $1$ , $\frac{m + 1}{m}$ , ….

Розв’язання:
Формула $n$ -го члена арифметичної прогресії має вигляд:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .

1) $a_{1} = 2 x$
$d = 5 x - 2 x = 3 x$
$a_{n} = 2 x + (n - 1) \cdot 3 x$
$a_{n} = 2 x + 3 n x - 3 x$
$a_{n} = 3 n x - x$

2) $a_{1} = \frac{m - 1}{m}$
$d = 1 - \frac{m - 1}{m} = \frac{m - ( m - 1 )}{m} = \frac{1}{m}$
$a_{n} = \frac{m - 1}{m} + (n - 1) \cdot \frac{1}{m}$
$a_{n} = \frac{m - 1 + n - 1}{m}$
$a_{n} = \frac{m + n - 2}{m}$

Відповідь:

1) $a_{n} = 3 n x - x$ ;

2) $a_{n} = \frac{m + n - 2}{m}$ .

№ 16.20. Знайдіть перший член та різницю арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо:
1) $a_{18} = 5$ , $a_{19} = 3$ ;
2) $a_{4} = 11$ , $a_{20} = 43$ .

Розв’язання:

1) За означенням арифметичної прогресії:
$d = a_{19} - a_{18} = 3 - 5 = - 2$

За формулою $n$ -го члена $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ :
$a_{18} = a_{1} + 17 d$
$5 = a_{1} + 17 \cdot (- 2)$
$5 = a_{1} - 34$
$a_{1} = 5 + 34$
$a_{1} = 39$

2) За формулою $n$ -го члена:
$a_{4} = a_{1} + 3 d$
$a_{20} = a_{1} + 19 d$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
${a_{1} + 3 d = 11 a_{1} + 19 d = 43$

Віднімемо від другого рівняння перше:
$16 d = 32$
$d = \frac{32}{16}$
$d = 2$

Підставимо значення $d = 2$ у перше рівняння системи:
$a_{1} + 3 \cdot 2 = 11$
$a_{1} + 6 = 11$
$a_{1} = 11 - 6$
$a_{1} = 5$

Відповідь:

1) $a_{1} = 39$ , $d = - 2$ ;

2) $a_{1} = 5$ , $d = 2$ .

№ 16.21. Знайдіть перший член та різницю арифметичної прогресії $(c_{n})$ , якщо:

1) $c_{17} = 3$ , $c_{18} = 6$ ;

2) $c_{8} = - 22$ , $c_{14} = - 40$ .

Розв’язання:

1) За означенням арифметичної прогресії:
$d = c_{18} - c_{17} = 6 - 3 = 3$

За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$c_{17} = c_{1} + 16 d$
$3 = c_{1} + 16 \cdot 3$
$3 = c_{1} + 48$
$c_{1} = 3 - 48$
$c_{1} = - 45$

2) За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$c_{8} = c_{1} + 7 d$
$c_{14} = c_{1} + 13 d$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
${c_{1} + 7 d = - 22 c_{1} + 13 d = - 40$

Віднімемо від другого рівняння системи перше:
$(c_{1} + 13 d) - (c_{1} + 7 d) = - 40 - (- 22)$
$6 d = - 18$
$d = \frac{- 18}{6}$
$d = - 3$

Підставимо значення $d$ у перше рівняння:
$c_{1} + 7 \cdot (- 3) = - 22$
$c_{1} - 21 = - 22$
$c_{1} = - 22 + 21$
$c_{1} = - 1$

Відповідь:

1) $c_{1} = - 45$ , $d = 3$ ;

2) $c_{1} = - 1$ , $d = - 3$ .

№ 16.22. Таксі «Найкраще» обслуговує клієнтів за таким тарифом: замовлення (подача таксі) — 50 грн, вартість проїзду — 8 грн за розпочатий кілометр.
1) Складіть формулу, за якою можна обчислити загальну вартість проїзду $C$ (у грн) залежно від відстані $s$ (у км), яку проїхав пасажир.
2) Чи буде ця залежність арифметичною прогресією, якщо $s$ є натуральним числом?
3) Знайдіть $C$ , якщо $s = 12 км$ .
4) Знайдіть $s$ , якщо $C = 170 грн$ .

Розв’язання:

1) Вартість поїздки складається з фіксованої плати за замовлення ( $50 грн$ ) та вартості проїзду ( $8 грн$ за кожний кілометр $s$ ):
$C = 50 + 8 s$

2) Якщо $s \in N$ , то для послідовних значень $s = 1, 2, 3, \dots$ отримуємо послідовність значень вартості:
$C_{1} = 50 + 8 \cdot 1 = 58$
$C_{2} = 50 + 8 \cdot 2 = 66$
$C_{3} = 50 + 8 \cdot 3 = 74$
Знайдемо різницю між будь-якими двома сусідніми членами послідовності:
$C_{n + 1} - C_{n} = (50 + 8 (n + 1)) - (50 + 8 n) = 50 + 8 n + 8 - 50 - 8 n = 8$
Оскільки різниця між будь-яким наступним і попереднім членами є сталою величиною ( $d = 8$ ), ця залежність є арифметичною прогресією з першим членом $a_{1} = 58$ і різницею $d = 8$ .

3) Обчислимо значення $C$ при $s = 12$ :
$C = 50 + 8 \cdot 12$
$C = 50 + 96$
$C = 146 (грн)$

4) Знайдемо значення $s$ , якщо $C = 170$ :
$50 + 8 s = 170$
$8 s = 170 - 50$
$8 s = 120$
$s = \frac{120}{8}$
$s = 15 (км)$

Відповідь:

1) $C = 50 + 8 s$ ;

2) так;

3) $146 грн$ ;

4) $15 км$ .

№ 16.23. Брокерська фірма «Вереснева» здає кімнату подобово на таких умовах: плата за укладення договору (бронювання кімнати) — 800 грн (одноразово), вартість добової оренди — 600 грн за кожну розпочату добу.
1) Складіть формулу, за якою можна обчислити загальну плату за оренду $C$ (у грн) залежно від кількості діб $n$ , на які орендовано кімнату.
2) Чи буде ця залежність арифметичною прогресією, якщо $n$ є натуральним числом?
3) Знайдіть $C$ , якщо $n = 5$ діб.
4) Знайдіть $n$ , якщо $C = 5600$ грн.

Розв’язання:

1) Загальна плата $C$ складається з фіксованої одноразової суми за бронювання ( $800 грн$ ) та вартості проживання за $n$ діб по $600 грн$ за добу:
$C = 800 + 600 n$

2) За умовою $n \in N$ . Розглянемо послідовність $C_{n} = 600 n + 800$ .
Знайдемо різницю між наступним і попереднім членами послідовності:
$C_{n + 1} - C_{n} = (600 (n + 1) + 800) - (600 n + 800)$
$C_{n + 1} - C_{n} = 600 n + 600 + 800 - 600 n - 800$
$C_{n + 1} - C_{n} = 600$
Оскільки різниця між кожним наступним і попереднім членами послідовності є сталою величиною ( $d = 600$ ), ця залежність є арифметичною прогресією.

3) Якщо $n = 5$ :
$C = 800 + 600 \cdot 5$
$C = 800 + 3000$
$C = 3800 (грн)$

4) Якщо $C = 5600$ :
$800 + 600 n = 5600$
$600 n = 5600 - 800$
$600 n = 4800$
$n = \frac{4800}{600}$
$n = 8 (діб)$

Відповідь: 1) $C = 800 + 600 n$ ; 2) так; 3) $3800 грн$ ; 4) $8 діб$ .

№ 16.24. Чи містить арифметична прогресія $5; 8; 11; \dots$ число:
1) $92$ ;
2) $112$ ?

Розв’язання:

В арифметичній прогресії $(a_{n})$ маємо $a_{1} = 5$ , $a_{2} = 8$ .
Знайдемо різницю прогресії:
$d = a_{2} - a_{1} = 8 - 5 = 3$

Запишемо формулу $n$ -го члена:
$a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$
$a_{n} = 5 + 3 (n - 1)$
$a_{n} = 3 n + 2$

1) Перевіримо, чи є число $92$ членом даної прогресії:
$3 n + 2 = 92$
$3 n = 90$
$n = 30$

Оскільки $n = 30$ є натуральним числом ( $n \in N$ ), то число $92$ є тридцятим членом прогресії ( $a_{30} = 92$ ).

2) Перевіримо, чи є число $112$ членом даної прогресії:
$3 n + 2 = 112$
$3 n = 110$
$n = \frac{110}{3}$
$n = 36 \frac{2}{3}$

Оскільки число $36 \frac{2}{3}$ не є натуральним ( $n \in / N$ ), то число $112$ не є членом цієї прогресії.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

№ 16.25. В арифметичній прогресії $(x_{n})$ $x_{1} = 12$ , $d = - 2, 5$ . Чи є членом цієї прогресії число:

1) $- 7$ ;

2) $- 23$ ?

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$x_{n} = x_{1} + d (n - 1)$
$x_{n} = 12 + (- 2, 5) \cdot (n - 1)$
$x_{n} = 12 - 2, 5 n + 2, 5$
$x_{n} = 14, 5 - 2, 5 n$

1) Нехай $x_{n} = - 7$ :
$14, 5 - 2, 5 n = - 7$
$- 2, 5 n = - 7 - 14, 5$
$- 2, 5 n = - 21, 5$
$n = \frac{- 21 , 5}{- 2 , 5}$
$n = 8, 6 \in / N$

Оскільки $n$ не є натуральним числом, число $- 7$ не є членом прогресії.

2) Нехай $x_{n} = - 23$ :
$14, 5 - 2, 5 n = - 23$
$- 2, 5 n = - 23 - 14, 5$
$- 2, 5 n = - 37, 5$
$n = \frac{- 37 , 5}{- 2 , 5}$
$n = 15 \in N$

Оскільки $n = 15$ — натуральне число, число $- 23$ є $15$ -м членом цієї прогресії ( $x_{15} = - 23$ ).

Відповідь: 1) ні; 2) так.

№ 16.26. Знайдіть номер першого від’ємного члена арифметичної прогресії $(y_{n})$ , у якої $y_{1} = 12$ , $d = - 0, 4$ .

Розв’язання:
За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$y_{n} = y_{1} + d (n - 1)$

Підставимо значення $y_{1} = 12$ та $d = - 0, 4$ :
$y_{n} = 12 - 0, 4 (n - 1) = 12 - 0, 4 n + 0, 4 = 12, 4 - 0, 4 n$

Знайдемо значення $n$ , при яких члени прогресії є від’ємними, тобто $y_{n} < 0$ :
$12, 4 - 0, 4 n < 0$
$- 0, 4 n < - 12, 4$
$n > \frac{- 12 , 4}{- 0 , 4}$
$n > 31$

Оскільки номер члена прогресії $n$ є натуральним числом ( $n \in N$ ), то найменшим натуральним числом, що задовольняє нерівність $n > 31$ , є $n = 32$ .

Відповідь: 32.

№ 16.27. Знайдіть номер першого додатного члена арифметичної прогресії $- 5$ ; $- 4, 8$ ; $- 4, 6$ ; …

Розв’язання:

Дано арифметичну прогресію $(a_{n})$ :
$a_{1} = - 5$
$a_{2} = - 4, 8$

Знайдемо різницю арифметичної прогресії:
$d = a_{2} - a_{1} = - 4, 8 - (- 5) = 0, 2$

Запишемо формулу $n$ -го члена прогресії:
$a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$
$a_{n} = - 5 + 0, 2 (n - 1)$
$a_{n} = - 5 + 0, 2 n - 0, 2$
$a_{n} = 0, 2 n - 5, 2$

Член прогресії є додатним за умови $a_{n} > 0$ :
$0, 2 n - 5, 2 > 0$
$0, 2 n > 5, 2$
$n > \frac{5 , 2}{0 , 2}$
$n > 26$

Оскільки номер члена прогресії $n \in N$ , то найменшим натуральним числом, що задовольняє нерівність, є $n = 27$ .

Відповідь: 27.

№ 16.28. Арифметичну прогресію задано формулою $a_{n} = 5 n - 7$ . Знайдіть:
1) різницю прогресії;
2) суму $a_{5} + a_{6} + a_{7}$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо перші два члени прогресії:
$a_{1} = 5 \cdot 1 - 7 = - 2$
$a_{2} = 5 \cdot 2 - 7 = 3$

Знайдемо різницю прогресії:
$d = a_{2} - a_{1} = 3 - (- 2) = 5$

2) Знайдемо значення $a_{5}$ , $a_{6}$ та $a_{7}$ :
$a_{5} = 5 \cdot 5 - 7 = 18$
$a_{6} = 5 \cdot 6 - 7 = 23$
$a_{7} = 5 \cdot 7 - 7 = 28$

Обчислимо їхню суму:
$a_{5} + a_{6} + a_{7} = 18 + 23 + 28 = 69$

Відповідь: 1) $d = 5$ ; 2) 69.

№ 16.29. За яких значень $x$ числа $x^{2} + 2$ , $4 x - 2$ , $x$ є послідовними членами арифметичної прогресії?

Розв’язання:
За характеристичною властивістю арифметичної прогресії кожен її член, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх із ним членів:

$4 x - 2 = \frac{( x ^{2} + 2 ) + x}{2}$

Помножимо обидві частини рівняння на $2$ :

$2 (4 x - 2) = x^{2} + x + 2$

$8 x - 4 = x^{2} + x + 2$

$x^{2} + x - 8 x + 2 + 4 = 0$

$x^{2} - 7 x + 6 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 1$
$x_{2} = 6$

Відповідь: $1; 6$ .

№ 16.30. За яких значень $y$ числа $y + 3$ , $2 y + 3$ , $y^{2} - 1$ є послідовними членами арифметичної прогресії?

$2 y + 3 = \frac{( y + 3 ) + ( y ^{2} - 1 )}{2}$

Помножимо обидві частини рівняння на 2:

$2 (2 y + 3) = y^{2} + y + 2$

$4 y + 6 = y^{2} + y + 2$

$y^{2} + y + 2 - 4 y - 6 = 0$

$y^{2} - 3 y - 4 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 4$
$y_{2} = - 1$

Відповідь: $y_{1} = 4$ , $y_{2} = - 1$ .

№ 16.31. За якого значення $m$ числа $m^{2} - 4$ , $m$ , $2 m + 3$ і $4 m^{2} + 5$ є послідовними членами арифметичної прогресії?

Розв’язання:

За характеристичною властивістю арифметичної прогресії кожен її член, починаючи з другого, є середнім арифметичним сусідніх членів:

${2 a_{2} = a_{1} + a_{3} 2 a_{3} = a_{2} + a_{4}$

Складемо систему рівнянь:

${2 m = (m^{2} - 4) + (2 m + 3) 2 (2 m + 3) = m + (4 m^{2} + 5)$

Спростимо кожне рівняння системи:

${2 m = m^{2} + 2 m - 1 4 m + 6 = 4 m^{2} + m + 5$

${m^{2} - 1 = 0 4 m^{2} - 3 m - 1 = 0$

З першого рівняння:
$m^{2} = 1$
$m = 1$ або $m = - 1$

Перевіримо знайдені значення для другого рівняння системи:

1) При $m = 1$ :
$4 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 - 1 = 4 - 3 - 1 = 0$ — рівність правильна.

Перевіримо утворені члени прогресії:
$a_{1} = 1^{2} - 4 = - 3$
$a_{2} = 1$
$a_{3} = 2 \cdot 1 + 3 = 5$
$a_{4} = 4 \cdot 1^{2} + 5 = 9$
Числа $- 3; 1; 5; 9$ утворюють арифметичну прогресію з різницею $d = 4$ .

2) При $m = - 1$ :
$4 \cdot (- 1)^{2} - 3 \cdot (- 1) - 1 = 4 + 3 - 1 = 6 \neq = 0$ — рівність неправильна, $m = - 1$ не є розв’язком.

Відповідь: $m = 1$ .

№ 16.32. Послідовність $(a_{n})$ — арифметична прогресія. Знайдіть:
1) $a_{5} + a_{19}$ , якщо $a_{1} + a_{23} = - 37$ ;
2) $a_{17}$ , якщо $a_{10} + a_{24} = 5$ .

Розв’язання:

1) За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ :
$a_{5} + a_{19} = (a_{1} + 4 d) + (a_{1} + 18 d) = 2 a_{1} + 22 d$
$a_{1} + a_{23} = a_{1} + (a_{1} + 22 d) = 2 a_{1} + 22 d$

Оскільки $5 + 19 = 1 + 23 = 24$ , то:
$a_{5} + a_{19} = a_{1} + a_{23} = - 37$

2) За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{10} + a_{24} = (a_{1} + 9 d) + (a_{1} + 23 d) = 2 a_{1} + 32 d = 2 (a_{1} + 16 d)$

Оскільки $a_{17} = a_{1} + 16 d$ , маємо:
$a_{10} + a_{24} = 2 a_{17}$
$2 a_{17} = 5$
$a_{17} = \frac{5}{2}$
$a_{17} = 2, 5$

Відповідь: 1) $- 37$ ; 2) $2, 5$ .

№ 16.33. Послідовність $(b_{n})$ — арифметична прогресія. Знайдіть:

1) $b_{9} + b_{11}$ , якщо $b_{1} + b_{19} = - 25$ ;

2) $b_{7} + b_{13}$ , якщо $b_{10} = 2, 7$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії $b_{n} = b_{1} + (n - 1) d$ :

1) $b_{9} + b_{11} = (b_{1} + 8 d) + (b_{1} + 10 d) = 2 b_{1} + 18 d$
$b_{1} + b_{19} = b_{1} + (b_{1} + 18 d) = 2 b_{1} + 18 d$
Оскільки $b_{1} + b_{19} = - 25$ , то:
$b_{9} + b_{11} = b_{1} + b_{19} = - 25$

2) $b_{7} + b_{13} = (b_{1} + 6 d) + (b_{1} + 12 d) = 2 b_{1} + 18 d = 2 (b_{1} + 9 d)$
Оскільки $b_{10} = b_{1} + 9 d = 2, 7$ , то:
$b_{7} + b_{13} = 2 \cdot b_{10} = 2 \cdot 2, 7 = 5, 4$

Відповідь: 1) $- 25$ ; 2) $5, 4$ .

№ 16.34. Доведіть, що якщо числа $\frac{1}{b + c}$ , $\frac{1}{a + c}$ і $\frac{1}{a + b}$ утворюють арифметичну прогресію, то числа $a^{2}$ , $b^{2}$ і $c^{2}$ також утворюють арифметичну прогресію.

Розв’язання:
За характеристичною властивістю арифметичної прогресії:

$\frac{1}{a + c} = \frac{\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b}}{2}$

$\frac{2}{a + c} = \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b}$

Зведемо дроби в правій частині до спільного знаменника:

$\frac{2}{a + c} = \frac{( a + b ) + ( b + c )}{( b + c ) ( a + b )}$

$\frac{2}{a + c} = \frac{a + 2 b + c}{( b + c ) ( a + b )}$

Скористаємося основною властивістю пропорції:

$2 (b + c) (a + b) = (a + c) (a + 2 b + c)$

$2 (ab + b^{2} + a c + b c) = a^{2} + 2 ab + a c + a c + 2 b c + c^{2}$

$2 ab + 2 b^{2} + 2 a c + 2 b c = a^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c + c^{2}$

Віднімемо від обох частин рівності вираз $2 ab + 2 a c + 2 b c$ :

$2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$

$b^{2} = \frac{a ^{2} + c ^{2}}{2}$

Отримали, що кожний середній член $b^{2}$ є середнім арифметичним двох сусідніх $a^{2}$ і $c^{2}$ .
Отже, числа $a^{2}$ , $b^{2}$ і $c^{2}$ утворюють арифметичну прогресію, що й треба було довести.

№ 16.35. Доведіть, що якщо числа $a^{2}$ , $b^{2}$ і $c^{2}$ утворюють арифметичну прогресію, то числа $\frac{1}{b + c}$ , $\frac{1}{a + c}$ і $\frac{1}{a + b}$ також утворюють арифметичну прогресію.

Розв’язання:
За характеристичною властивістю арифметичної прогресії для чисел $a^{2}$ , $b^{2}$ , $c^{2}$ :

$b^{2} - a^{2} = c^{2} - b^{2}$

Числа $\frac{1}{b + c}$ , $\frac{1}{a + c}$ і $\frac{1}{a + b}$ утворюють арифметичну прогресію тоді й тільки тоді, коли різниця між їхніми сусідніми членами є однаковою:

$\frac{1}{a + c} - \frac{1}{b + c} = \frac{1}{a + b} - \frac{1}{a + c}$

Перетворимо ліву частину:

$\frac{1}{a + c} - \frac{1}{b + c} = \frac{( b + c ) - ( a + c )}{( a + c ) ( b + c )} = \frac{b - a}{( a + c ) ( b + c )}$

Перетворимо праву частину:

$\frac{1}{a + b} - \frac{1}{a + c} = \frac{( a + c ) - ( a + b )}{( a + b ) ( a + c )} = \frac{c - b}{( a + b ) ( a + c )}$

Прирівняємо отримані вирази:

$\frac{b - a}{( a + c ) ( b + c )} = \frac{c - b}{( a + b ) ( a + c )}$

Помножимо обидві частини рівності на спільний знаменник $(a + b) (a + c) (b + c) \neq = 0$ :

$(b - a) (a + b) = (c - b) (b + c)$

$b^{2} - a^{2} = c^{2} - b^{2}$

Отримана рівність є правильною за умовою задачі.

Отже, числа $\frac{1}{b + c}$ , $\frac{1}{a + c}$ і $\frac{1}{a + b}$ також утворюють арифметичну прогресію.

№ 16.36. Спростіть вираз:
1) $- 4 p^{2} t \cdot (- 0, 5 p^{3} t^{4})$ ;
2) $\frac{39 p ^{3}}{5 a} : 13 p^{7} a^{5}$ .

Розв’язання:

1) $- 4 p^{2} t \cdot (- 0, 5 p^{3} t^{4}) = (- 4 \cdot (- 0, 5)) \cdot (p^{2} \cdot p^{3}) \cdot (t \cdot t^{4}) = 2 p^{5} t^{5}$

2) $\frac{39 p ^{3}}{5 a} : 13 p^{7} a^{5} = \frac{39 p ^{3}}{5 a \cdot 13 p ^{7} a ^{5}} = \frac{3}{5 a ^{6} p ^{4}}$

Відповідь: 1) $2 p^{5} t^{5}$ ; 2) $\frac{3}{5 a ^{6} p ^{4}}$ .

№ 16.37. Розв’яжіть рівняння:
1) $x^{3} + x^{2} - 3 x - 3 = 0$ ;
2) $(x^{2} - 2 x)^{2} + 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$ .

Розв’язання:

1) $x^{3} + x^{2} - 3 x - 3 = 0$
$x^{2} (x + 1) - 3 (x + 1) = 0$
$(x + 1) (x^{2} - 3) = 0$
$x + 1 = 0$ або $x^{2} - 3 = 0$
$x_{1} = - 1$
$x^{2} = 3$
$x = \pm 3$
$x_{2} = - 3$
$x_{3} = 3$

2) $(x^{2} - 2 x)^{2} + 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$
Нехай $x^{2} - 2 x = y$ , тоді:
$y^{2} + 2 y - 3 = 0$
За теоремою Вієта:
$y_{1} = - 3$
$y_{2} = 1$

Повернемося до заміни:

якщо $y = - 3$ :
$x^{2} - 2 x = - 3$
$x^{2} - 2 x + 3 = 0$
$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = - 8 < 0$ — коренів немає.
якщо $y = 1$ :
$x^{2} - 2 x = 1$
$x^{2} - 2 x - 1 = 0$
$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 4 + 4 = 8$
$x = \frac{2 \pm 8}{2} = \frac{2 \pm 2 2}{2} = 1 \pm 2$
$x_{1} = 1 - 2$
$x_{2} = 1 + 2$

Відповідь:
1) $- 1$ ; $- 3$ ; $3$ ;
2) $1 - 2$ ; $1 + 2$ .

№ 16.38. Чи кратне значення виразу $8^{6} - 4^{7}$ числу $6$ ?

Розв’язання:
Перетворимо заданий вираз, подавши його основи у вигляді степенів числа $2$ :

$8^{6} - 4^{7} = (2^{3})^{6} - (2^{2})^{7} = 2^{18} - 2^{14} = 2^{14} (2^{4} - 1) = 2^{14} (16 - 1) = 2^{14} \cdot 15$

Виділимо множник $6$ :

$2^{14} \cdot 15 = 2^{13} \cdot 2 \cdot 15 = 2^{13} \cdot 30 = 6 \cdot (5 \cdot 2^{13})$

Оскільки отриманий добуток містить множник $6$ , то значення виразу ділиться на $6$ .

Відповідь: Так, кратне.

№ 16.39. Знайдіть область визначення функції:
$y = 10 - 9 x - x^{2} + \frac{x + 1}{x ^{2} - 3 x}$

Розв’язання:
Область визначення функції задається системою:
${10 - 9 x - x^{2} \geq 0, x^{2} - 3 x \neq = 0$

1) Розв’яжемо першу нерівність системи:
$- x^{2} - 9 x + 10 \geq 0$
$x^{2} + 9 x - 10 \leq 0$

Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 9 x - 10 = 0$ :
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 10$
$x_{2} = 1$

Звідси маємо:
$x \in [- 10; 1]$

Графік до вправи № 16.39 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Знайдемо обмеження для знаменника другого доданка:
$x^{2} - 3 x \neq = 0$
$x (x - 3) \neq = 0$
$x \neq = 0$ і $x \neq = 3$

Знайдемо спільний розв’язок системи нерівностей:

Графік до вправи № 16.39 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Отже, $x \in [- 10; 0) \cup (0; 1]$ .

Відповідь: $[- 10; 0) \cup (0; 1]$ .

№ 16.40.

1) Для транспортування $40 т$ вантажу на відстань $1200 км$ можна скористатися послугами однієї з трьох компаній-перевізників. Вартість перевезення і вантажопідйомність автомобілів у кожного перевізника подано в таблиці. Скільки коштуватиме найдешевше перевезення зазначеного вантажу?

Перевізник	Вартість перевезення одним автомобілем (грн на 100 км)	Вантажопідйомність автомобілів (тонн)
А	800	3,5
Б	1000	5
В	2300	12

2) Проєктна діяльність. Порівняйте тарифи реальних компаній-перевізників і оберіть оптимальний варіант.

Розв’язання:

1) Відстань $1200 км$ містить:
$1200 : 100 = 12$ (відрізків по $100 км$ ).

Розрахуємо витрати для кожного перевізника:

1) Перевізник А:
Кількість автомобілів:
$40 : 3, 5 = \frac{80}{7} = 11 \frac{3}{7} \approx 12 (авт .)$
Вартість рейсу одного автомобіля на $1200 км$ :
$800 \cdot 12 = 9600 (грн)$
Загальна вартість перевезення:
$9600 \cdot 12 = 115200 (грн)$

2) Перевізник Б:
Кількість автомобілів:
$40 : 5 = 8 (авт .)$
Вартість рейсу одного автомобіля на $1200 км$ :
$1000 \cdot 12 = 12000 (грн)$
Загальна вартість перевезення:
$12000 \cdot 8 = 96000 (грн)$

3) Перевізник В:
Кількість автомобілів:
$40 : 12 = 3 \frac{1}{3} \approx 4 (авт .)$
Вартість рейсу одного автомобіля на $1200 км$ :
$2300 \cdot 12 = 27600 (грн)$
Загальна вартість перевезення:
$27600 \cdot 4 = 110400 (грн)$

Порівняємо отримані суми:
$96000 грн < 110400 грн < 115200 грн$

Найдешевшим є перевезення компанією Б, вартість якого становить $96000 грн$ .

2) Для вибору оптимального варіанта перевізника в реальних умовах досліджують актуальні тарифи логістичних компаній (наприклад, «Нова Пошта», «Делівері», «SAT» або приватних вантажних перевізників), враховуючи тариф за кілометр, вантажопідйомність і наявність попутного завантаження.

Відповідь: 1) $96000 грн .$

№ 16.41. Доведіть нерівність $(x - 3) (x - 4) (x - 5) (x - 6) + 1 \geq 0$ .

Розв’язання:
Згрупуємо перший множник із четвертим, а другий — із третім:
$((x - 3) (x - 6)) \cdot ((x - 4) (x - 5)) + 1 =$
$= (x^{2} - 9 x + 18) (x^{2} - 9 x + 20) + 1$

Нехай $t = x^{2} - 9 x + 19$ . Тоді ліва частина нерівності набуває вигляду:
$(t - 1) (t + 1) + 1 =$
$= t^{2} - 1 + 1 =$
$= t^{2}$

Повертаючись до змінної $x$ , отримуємо:
$(x^{2} - 9 x + 19)^{2} \geq 0$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, нерівність $(x^{2} - 9 x + 19)^{2} \geq 0$ виконується для всіх дійсних значень $x$ .

Отже, нерівність доведено.

16. Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії

Теги статті:

До уроку