15. Числові послідовності

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 15.1. (Усно.) Дано послідовність: 2, 4, 7, 10, 15.
1) Скільки членів має ця послідовність?
2) Назвіть перший та останній члени цієї послідовності.
3) Який номер члена послідовності, що дорівнює 10?
4) Який член послідовності є наступним за членом послідовності, що дорівнює 4?
5) Який член послідовності попередній до члена послідовності, що дорівнює 15?

Розв’язання:

1) Послідовність складається з 5 чисел, тому вона має 5 членів.

2) Перший член послідовності дорівнює 2 ( $a_{1} = 2$ ), а останній член дорівнює 15 ( $a_{5} = 15$ ).

3) Число 10 стоїть на четвертому місці ( $a_{4} = 10$ ), отже, його номер дорівнює 4.

4) За числом 4 стоїть число 7 ( $a_{2} = 4$ , наступний член $a_{3} = 7$ ).

5) Перед числом 15 стоїть число 10 ( $a_{5} = 15$ , попередній член $a_{4} = 10$ ).

Відповідь: 1) 5 членів; 2) перший — 2, останній — 15; 3) 4; 4) 7; 5) 10.

№ 15.2. Послідовність задано формулою $a_{n} = 5 n - 1$ . Знайдіть перший, п’ятий та сьомий члени цієї послідовності.

Розв’язання:

Підставимо відповідні значення $n$ у формулу послідовності:

$a_{1} = 5 \cdot 1 - 1 = 5 - 1 = 4$
$a_{5} = 5 \cdot 5 - 1 = 25 - 1 = 24$
$a_{7} = 5 \cdot 7 - 1 = 35 - 1 = 34$

Відповідь: $a_{1} = 4$ ; $a_{5} = 24$ ; $a_{7} = 34$ .

№ 15.3. Послідовність задано формулою $b_{n} = 4 n + 3$ . Знайдіть перший, четвертий та восьмий члени цієї послідовності.

Розв’язання:

$b_{1} = 4 \cdot 1 + 3 = 4 + 3 = 7$
$b_{4} = 4 \cdot 4 + 3 = 16 + 3 = 19$
$b_{8} = 4 \cdot 8 + 3 = 32 + 3 = 35$

Відповідь: $b_{1} = 7$ ; $b_{4} = 19$ ; $b_{8} = 35$ .

№ 15.4. Запишіть чотири перших члени послідовності:
1) непарних натуральних чисел, узятих у порядку зростання;
2) кубів натуральних чисел, узятих у порядку зростання;
3) одноцифрових натуральних чисел, узятих у порядку спадання.

Розв’язання:

1) Непарні натуральні числа, взяті в порядку зростання:
1; 3; 5; 7

2) Куби перших чотирьох натуральних чисел:
$1^{3} = 1$
$2^{3} = 8$
$3^{3} = 27$
$4^{3} = 64$
Отримуємо послідовність:
1; 8; 27; 64

3) Одноцифрові натуральні числа, взяті в порядку спадання, починаються з 9:
9; 8; 7; 6

Відповідь: 1) 1; 3; 5; 7; 2) 1; 8; 27; 64; 3) 9; 8; 7; 6.

№ 15.5. Випишіть п’ять перших членів послідовності:
1) квадратів натуральних чисел, узятих у порядку зростання;
2) двоцифрових натуральних чисел, узятих у порядку спадання.

Розв’язання:

1) Перші п’ять натуральних чисел: 1, 2, 3, 4, 5.
Обчислимо їхні квадрати:
$1^{2} = 1$
$2^{2} = 4$
$3^{2} = 9$
$4^{2} = 16$
$5^{2} = 25$

Отримуємо перші п’ять членів послідовності: 1; 4; 9; 16; 25.

2) Найбільшим двоцифровим числом є 99.
Випишемо п’ять перших двоцифрових чисел у порядку спадання:
99; 98; 97; 96; 95.

Відповідь: 1) 1; 4; 9; 16; 25; 2) 99; 98; 97; 96; 95.

№ 15.6. Знайдіть чотири перших члени послідовності $(x_{n})$ , яку задано формулою:

1) $x_{n} = 4 n^{2} - 17$ ;

2) $x_{n} = \frac{n ^{2}}{n + 1}$ ;

3) $x_{n} = \frac{2 n - 17}{n + 3}$ ;

4) $x_{n} = \frac{n ^{3}}{2 ^{n}}$ .

Розв’язання:

1) $x_{n} = 4 n^{2} - 17$
$x_{1} = 4 \cdot 1^{2} - 17 = 4 - 17 = - 13$
$x_{2} = 4 \cdot 2^{2} - 17 = 4 \cdot 4 - 17 = 16 - 17 = - 1$
$x_{3} = 4 \cdot 3^{2} - 17 = 4 \cdot 9 - 17 = 36 - 17 = 19$
$x_{4} = 4 \cdot 4^{2} - 17 = 4 \cdot 16 - 17 = 64 - 17 = 47$

2) $x_{n} = \frac{n ^{2}}{n + 1}$
$x_{1} = \frac{1 ^{2}}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
$x_{2} = \frac{2 ^{2}}{2 + 1} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$
$x_{3} = \frac{3 ^{2}}{3 + 1} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$
$x_{4} = \frac{4 ^{2}}{4 + 1} = \frac{16}{5} = 3 \frac{1}{5}$

3) $x_{n} = \frac{2 n - 17}{n + 3}$
$x_{1} = \frac{2 \cdot 1 - 17}{1 + 3} = \frac{2 - 17}{4} = - \frac{15}{4} = - 3 \frac{3}{4}$
$x_{2} = \frac{2 \cdot 2 - 17}{2 + 3} = \frac{4 - 17}{5} = - \frac{13}{5} = - 2 \frac{3}{5}$
$x_{3} = \frac{2 \cdot 3 - 17}{3 + 3} = \frac{6 - 17}{6} = - \frac{11}{6} = - 1 \frac{5}{6}$
$x_{4} = \frac{2 \cdot 4 - 17}{4 + 3} = \frac{8 - 17}{7} = - \frac{9}{7} = - 1 \frac{2}{7}$

4) $x_{n} = \frac{n ^{3}}{2 ^{n}}$
$x_{1} = \frac{1 ^{3}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2}$
$x_{2} = \frac{2 ^{3}}{2 ^{2}} = \frac{8}{4} = 2$
$x_{3} = \frac{3 ^{3}}{2 ^{3}} = \frac{27}{8} = 3 \frac{3}{8}$
$x_{4} = \frac{4 ^{3}}{2 ^{4}} = \frac{64}{16} = 4$

Відповідь:

1) $- 13$ ; $- 1$ ; $19$ ; $47$ ;

2) $\frac{1}{2}$ ; $1 \frac{1}{3}$ ; $2 \frac{1}{4}$ ; $3 \frac{1}{5}$ ;

3) $- 3 \frac{3}{4}$ ; $- 2 \frac{3}{5}$ ; $- 1 \frac{5}{6}$ ; $- 1 \frac{2}{7}$ ;

4) $\frac{1}{2}$ ; $2$ ; $3 \frac{3}{8}$ ; $4$ .

№ 15.7. Знайдіть три перших члени послідовності $(y_{n})$ , яку задано формулою:

1) $y_{n} = 2 n^{2} + 3$ ;

2) $y_{n} = \frac{n ^{2} - 1}{n}$ ;

3) $y_{n} = \frac{4 n - 5}{n + 1}$ ;

4) $y_{n} = \frac{3 ^{n}}{n ^{2}}$ .

Розв’язання:

1) $y_{n} = 2 n^{2} + 3$
$y_{1} = 2 \cdot 1^{2} + 3 = 2 \cdot 1 + 3 = 5$
$y_{2} = 2 \cdot 2^{2} + 3 = 2 \cdot 4 + 3 = 11$
$y_{3} = 2 \cdot 3^{2} + 3 = 2 \cdot 9 + 3 = 21$

2) $y_{n} = \frac{n ^{2} - 1}{n}$
$y_{1} = \frac{1 ^{2} - 1}{1} = \frac{0}{1} = 0$
$y_{2} = \frac{2 ^{2} - 1}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$
$y_{3} = \frac{3 ^{2} - 1}{3} = \frac{9 - 1}{3} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$

3) $y_{n} = \frac{4 n - 5}{n + 1}$
$y_{1} = \frac{4 \cdot 1 - 5}{1 + 1} = \frac{4 - 5}{2} = - \frac{1}{2}$
$y_{2} = \frac{4 \cdot 2 - 5}{2 + 1} = \frac{8 - 5}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y_{3} = \frac{4 \cdot 3 - 5}{3 + 1} = \frac{12 - 5}{4} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$

4) $y_{n} = \frac{3 ^{n}}{n ^{2}}$
$y_{1} = \frac{3 ^{1}}{1 ^{2}} = \frac{3}{1} = 3$
$y_{2} = \frac{3 ^{2}}{2 ^{2}} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$
$y_{3} = \frac{3 ^{3}}{3 ^{2}} = \frac{27}{9} = 3$

Відповідь:

1) $5; 11; 21$ ;

2) $0; 1 \frac{1}{2}; 2 \frac{2}{3}$ ;

3) $- \frac{1}{2}; 1; 1 \frac{3}{4}$ ;

4) $3; 2 \frac{1}{4}; 3$ .

№ 15.8. 1) Послідовність задано формулою $b_{n} = 4 n + 25$ . Знайдіть номер члена послідовності, що дорівнює 65.
2) Знайдений номер укаже довжину (у метрах) найбільшої витинанки авторства відомої майстрині Тетяни Кузьмич (Кашуби), що представлена в Музеї історії міста Києва.

Розв’язання:

1) За умовою $b_{n} = 65$ :
$4 n + 25 = 65$
$4 n = 65 - 25$
$4 n = 40$
$n = \frac{40}{4}$
$n = 10$

2) За умовою довжина витинанки у метрах дорівнює знайденому номеру члена послідовності:
$n = 10$ , отже, довжина становить $10 м$ .

Відповідь: 1) 10; 2) $10 м$ .

№ 15.9. Послідовність задано формулою $a_{n} = 5 - 3 n$ . Знайдіть номер члена послідовності, що дорівнює $- 46$ .

Розв’язання:
За умовою $a_{n} = - 46$ . Складемо рівняння:
$5 - 3 n = - 46$
$- 3 n = - 46 - 5$
$- 3 n = - 51$
$n = \frac{- 51}{- 3}$
$n = 17$

Число $17$ є натуральним ( $17 \in N$ ), отже, воно є шуканим номером.

Відповідь: 17.

№ 15.10.
1) Задайте таблицею п’ять перших членів послідовності натуральних чисел, які кратні числу 3.
2) Знайдіть номер члена цієї послідовності, що дорівнює 12.

Розв’язання:

1) Послідовність натуральних чисел, кратних числу 3, задається формулою $a_{n} = 3 n$ .
Обчислимо п’ять перших членів послідовності:
$a_{1} = 3 \cdot 1 = 3$
$a_{2} = 3 \cdot 2 = 6$
$a_{3} = 3 \cdot 3 = 9$
$a_{4} = 3 \cdot 4 = 12$
$a_{5} = 3 \cdot 5 = 15$

$n$	1	2	3	4	5
$a_{n}$	3	6	9	12	15

2) За умовою $a_{n} = 12$ :
$3 n = 12$
$n = \frac{12}{3}$
$n = 4$

Відповідь: 1) таблицю наведено в розв’язанні; 2) 4.

№ 15.11. Послідовність задано формулою $y_{n} = 2 n^{2} - 18 n + 7$ . Які із чисел є членами цієї послідовності:

1) $7$ ;

2) $- 29$ ;

3) $50$ ;

4) $79$ ?
Для чисел, що є членами послідовності, укажіть їхні номери.

Розв’язання:

Число є членом послідовності, якщо рівняння $y_{n} = a$ має розв’язок серед натуральних чисел ( $n \in N$ ).

1) $2 n^{2} - 18 n + 7 = 7$
$2 n^{2} - 18 n = 0$
$2 n (n - 9) = 0$
$n = 0$ або $n = 9$
Оскільки $n \in N$ , то $n = 9$ ( $0 \in / N$ ).
Отже, число $7$ є членом послідовності з номером $9$ ( $y_{9} = 7$ ).

2) $2 n^{2} - 18 n + 7 = - 29$
$2 n^{2} - 18 n + 36 = 0$
$n^{2} - 9 n + 18 = 0$
За теоремою Вієта:
$n_{1} = 3$
$n_{2} = 6$
Обидва числа є натуральними ( $3 \in N$ , $6 \in N$ ).
Отже, число $- 29$ є членом послідовності з номерами $3$ та $6$ ( $y_{3} = - 29$ , $y_{6} = - 29$ ).

3) $2 n^{2} - 18 n + 7 = 50$
$2 n^{2} - 18 n - 43 = 0$
$D = (- 18)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 43) = 324 + 344 = 668$
$n_{1, 2} = \frac{18 \pm 668}{4}$
Оскільки значення $n$ не є натуральними числами ( $n \in / N$ ), то число $50$ не є членом послідовності.

4) $2 n^{2} - 18 n + 7 = 79$
$2 n^{2} - 18 n - 72 = 0$
$n^{2} - 9 n - 36 = 0$
За теоремою Вієта:
$n_{1} = 12$
$n_{2} = - 3$
Оскільки $n \in N$ , то $n = 12$ (корінь $- 3 \in / N$ ).
Отже, число $79$ є членом послідовності з номером $12$ ( $y_{12} = 79$ ).

Відповідь: 1) $y_{9} = 7$ ; 2) $y_{3} = y_{6} = - 29$ ; 3) не є членом послідовності; 4) $y_{12} = 79$ .

№ 15.12. Послідовність задано формулою $x_{n} = n^{2} - 4 n + 9$ . Які із чисел є членами цієї послідовності:
1) $69$ ;
2) $68$ ;
3) $5$ ;
4) $6$ ?
Для чисел, що є членами послідовності, укажіть їхні номери.

Розв’язання:

Число буде членом послідовності, якщо рівняння $x_{n} = n^{2} - 4 n + 9$ має розв’язком натуральне число $n$ ( $n \in N$ ).

1) $n^{2} - 4 n + 9 = 69$
$n^{2} - 4 n - 60 = 0$
За теоремою Вієта:
$n_{1} = 10$
$n_{2} = - 6$
Оскільки $n \in N$ , корінь $n = - 6$ не задовольняє умову.
Отже, $n = 10$ , тобто $x_{10} = 69$ . Число 69 є десятим членом послідовності.

2) $n^{2} - 4 n + 9 = 68$
$n^{2} - 4 n - 59 = 0$
$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 59) = 16 + 236 = 252$
$n_{1, 2} = \frac{4 \pm 252}{2} = 2 \pm 37 \in / N$
Рівняння не має натуральних коренів.
Отже, число 68 не є членом послідовності.

3) $n^{2} - 4 n + 9 = 5$
$n^{2} - 4 n + 4 = 0$
$(n - 2)^{2} = 0$
$n = 2 \in N$
Отже, $x_{2} = 5$ . Число 5 є другим членом послідовності.

4) $n^{2} - 4 n + 9 = 6$
$n^{2} - 4 n + 3 = 0$
За теоремою Вієта:
$n_{1} = 1 \in N$
$n_{2} = 3 \in N$
Отже, $x_{1} = 6$ та $x_{3} = 6$ . Число 6 є першим і третім членами послідовності.

Відповідь: 1) є, $n = 10$ ( $x_{10} = 69$ ); 2) не є; 3) є, $n = 2$ ( $x_{2} = 5$ ); 4) є, $n = 1$ і $n = 3$ ( $x_{1} = 6$ , $x_{3} = 6$ ).

№ 15.13. Знайдіть п’ять перших членів послідовності $(c_{n})$ , яку задано рекурентно:
1) $c_{1} = 8$ , $c_{n + 1} = c_{n} - 5$ ;
2) $c_{1} = - 3$ , $c_{n + 1} = 2 c_{n} + 3$ ;
3) $c_{1} = - 2$ , $c_{2} = 3$ , $c_{n + 2} = c_{n + 1} + c_{n}$ ;
4) $c_{1} = 0$ , $c_{2} = - 5$ , $c_{n + 2} = \frac{c _{n + 1}}{c _{n} + 1}$ .

Розв’язання:

1) $c_{1} = 8$
$c_{2} = c_{1} - 5 = 8 - 5 = 3$
$c_{3} = c_{2} - 5 = 3 - 5 = - 2$
$c_{4} = c_{3} - 5 = - 2 - 5 = - 7$
$c_{5} = c_{4} - 5 = - 7 - 5 = - 12$

2) $c_{1} = - 3$
$c_{2} = 2 \cdot c_{1} + 3 = 2 \cdot (- 3) + 3 = - 6 + 3 = - 3$
$c_{3} = 2 \cdot c_{2} + 3 = 2 \cdot (- 3) + 3 = - 6 + 3 = - 3$
$c_{4} = 2 \cdot c_{3} + 3 = 2 \cdot (- 3) + 3 = - 6 + 3 = - 3$
$c_{5} = 2 \cdot c_{4} + 3 = 2 \cdot (- 3) + 3 = - 6 + 3 = - 3$

3) $c_{1} = - 2$
$c_{2} = 3$
$c_{3} = c_{2} + c_{1} = 3 + (- 2) = 1$
$c_{4} = c_{3} + c_{2} = 1 + 3 = 4$
$c_{5} = c_{4} + c_{3} = 4 + 1 = 5$

4) $c_{1} = 0$
$c_{2} = - 5$
$c_{3} = \frac{c _{2}}{c _{1} + 1} = \frac{- 5}{0 + 1} = - 5$
$c_{4} = \frac{c _{3}}{c _{2} + 1} = \frac{- 5}{- 5 + 1} = \frac{- 5}{- 4} = 1, 25$
$c_{5} = \frac{c _{4}}{c _{3} + 1} = \frac{1 , 25}{- 5 + 1} = \frac{1 , 25}{- 4} = - 0, 3125$

Відповідь:

1) $8$ ; $3$ ; $- 2$ ; $- 7$ ; $- 12$ .

2) $- 3$ ; $- 3$ ; $- 3$ ; $- 3$ ; $- 3$ .

3) $- 2$ ; $3$ ; $1$ ; $4$ ; $5$ .

4) $0$ ; $- 5$ ; $- 5$ ; $1, 25$ ; $- 0, 3125$ .

№ 15.14. Знайдіть п’ять перших членів послідовності $(y_{n})$ , яку задано рекурентно:
1) $y_{1} = 5$ , $y_{n + 1} = 2 y_{n} - 7$ ;
2) $y_{1} = 16$ , $y_{2} = 1$ , $y_{n + 2} = \frac{y _{n}}{2 y _{n + 1}}$ .

Розв’язання:

1) За умовою $y_{1} = 5$ .
Обчислимо наступні члени послідовності за формулою $y_{n + 1} = 2 y_{n} - 7$ :
$y_{2} = 2 y_{1} - 7 = 2 \cdot 5 - 7 = 3$
$y_{3} = 2 y_{2} - 7 = 2 \cdot 3 - 7 = - 1$
$y_{4} = 2 y_{3} - 7 = 2 \cdot (- 1) - 7 = - 9$
$y_{5} = 2 y_{4} - 7 = 2 \cdot (- 9) - 7 = - 25$

2) За умовою $y_{1} = 16$ , $y_{2} = 1$ .
Обчислимо наступні члени послідовності за формулою $y_{n + 2} = \frac{y _{n}}{2 y _{n + 1}}$ :
$y_{3} = \frac{y _{1}}{2 y _{2}} = \frac{16}{2 \cdot 1} = 8$
$y_{4} = \frac{y _{2}}{2 y _{3}} = \frac{1}{2 \cdot 8} = \frac{1}{16}$
$y_{5} = \frac{y _{3}}{2 y _{4}} = \frac{8}{2 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{8}{\frac{1}{8}} = 8 \cdot 8 = 64$

Відповідь:

1) $5; 3; - 1; - 9; - 25$ ;

2) $16; 1; 8; \frac{1}{16}; 64$ .

№ 15.15. Знайдіть найбільший член послідовності, заданої формулою $n$ -го члена:

1) $a_{n} = 26 - n^{2}$ ;

2) $b_{n} = - 2 n^{2} + 16 n$ ;

3) $c_{n} = (- 1)^{n}$ ;

4) $y_{n} = - n^{2} + 5 n$ .

Розв’язання:

1) $a_{n} = 26 - n^{2}$
Вираз $26 - n^{2}$ набуває найбільшого значення тоді, коли від’ємник $n^{2}$ є найменшим.
Оскільки $n \in N$ , найменшим значенням номера є $n = 1$ .
$a_{1} = 26 - 1^{2} = 25$ .

2) $b_{n} = - 2 n^{2} + 16 n$
Розглянемо квадратичну функцію $f (n) = - 2 n^{2} + 16 n$ . Вітки відповідної параболи напрямлені вниз ( $a = - 2 < 0$ ), тому найбільшого значення функція набуває у вершині:
$n_{0} = - \frac{16}{2 \cdot ( - 2 )} = 4$
Оскільки $4 \in N$ , то найбільшим членом послідовності є $b_{4}$ :
$b_{4} = - 2 \cdot 4^{2} + 16 \cdot 4$
$b_{4} = - 32 + 64 = 32$ .

3) $c_{n} = (- 1)^{n}$
Якщо $n$ — непарне число ( $n = 2 k - 1, k \in N$ ), то $c_{n} = - 1$ .
Якщо $n$ — парне число ( $n = 2 k, k \in N$ ), то $c_{n} = 1$ .
Оскільки $1 > - 1$ , то найбільше значення членів цієї послідовності дорівнює $1$ .

4) $y_{n} = - n^{2} + 5 n$
Розглянемо квадратичну функцію $f (n) = - n^{2} + 5 n$ . Її графіком є парабола з вітками, напрямленими вниз ( $a = - 1 < 0$ ). Знайдемо абсцису вершини:
$n_{0} = - \frac{5}{2 \cdot ( - 1 )} = 2, 5$
Оскільки номер $n$ має бути натуральним числом ( $n \in N$ ), найближчими цілими значеннями до $2, 5$ є $n = 2$ та $n = 3$ . Обчислимо відповідні члени:
$y_{2} = - 2^{2} + 5 \cdot 2 = - 4 + 10 = 6$
$y_{3} = - 3^{2} + 5 \cdot 3 = - 9 + 15 = 6$
Отже, найбільшими членами послідовності є $y_{2} = y_{3} = 6$ .

Відповідь: 1) $a_{1} = 25$ ; 2) $b_{4} = 32$ ; 3) $1$ ; 4) $y_{2} = y_{3} = 6$ .

№ 15.16. Знайдіть найменший член послідовності, заданої формулою $n$ -го члена:
1) $x_{n} = 2 n^{2} - 3$ ;
2) $a_{n} = n^{2} - 8 n - 5$ .

Розв’язання:

1) Оскільки номер члена послідовності $n \in N$ , тобто $n \geq 1$ , то вираз $2 n^{2} - 3$ зростає зі збільшенням $n$ і набуває найменшого значення при $n = 1$ :
$x_{1} = 2 \cdot 1^{2} - 3 = 2 - 3 = - 1$ .

2) Виділимо квадрат двочлена у формулі $n$ -го члена:
$a_{n} = n^{2} - 8 n - 5$
$a_{n} = (n^{2} - 2 \cdot 4 n + 16) - 16 - 5$
$a_{n} = (n - 4)^{2} - 21$

Оскільки $(n - 4)^{2} \geq 0$ , то найменшого значення вираз набуває, коли $(n - 4)^{2} = 0$ , тобто при $n = 4 \in N$ :
$a_{4} = (4 - 4)^{2} - 21 = - 21$ .

Відповідь: 1) $- 1$ ; 2) $- 21$ .

№ 15.17. Доведіть, що послідовність $(p_{n})$ , у якої $p_{n} = 2 n^{2} + 6 n - 5$ , не містить найбільшого члена, а послідовність $(t_{n})$ , у якої $t_{n} = - n^{2} - 4 n$ , не містить найменшого члена.

Розв’язання:

1) Розглянемо послідовність $p_{n} = 2 n^{2} + 6 n - 5$ , де $n \in N$ .

Знайдемо різницю $p_{n + 1} - p_{n}$ :
$p_{n + 1} = 2 (n + 1)^{2} + 6 (n + 1) - 5$
$p_{n + 1} = 2 (n^{2} + 2 n + 1) + 6 n + 6 - 5$
$p_{n + 1} = 2 n^{2} + 4 n + 2 + 6 n + 1$
$p_{n + 1} = 2 n^{2} + 10 n + 3$

$p_{n + 1} - p_{n} = (2 n^{2} + 10 n + 3) - (2 n^{2} + 6 n - 5)$
$p_{n + 1} - p_{n} = 2 n^{2} + 10 n + 3 - 2 n^{2} - 6 n + 5$
$p_{n + 1} - p_{n} = 4 n + 8$

Оскільки $n \in N$ ( $n \geq 1$ ), то $4 n + 8 > 0$ .

Звідси $p_{n + 1} - p_{n} > 0$ , тобто $p_{n + 1} > p_{n}$ для будь-якого $n \in N$ .
Послідовність $(p_{n})$ є зростаючою. Для кожного члена послідовності існує наступний член, більший за нього, тому послідовність $(p_{n})$ не містить найбільшого члена.

2) Розглянемо послідовність $t_{n} = - n^{2} - 4 n$ , де $n \in N$ .

Знайдемо різницю $t_{n + 1} - t_{n}$ :
$t_{n + 1} = - (n + 1)^{2} - 4 (n + 1)$
$t_{n + 1} = - (n^{2} + 2 n + 1) - 4 n - 4$
$t_{n + 1} = - n^{2} - 2 n - 1 - 4 n - 4$
$t_{n + 1} = - n^{2} - 6 n - 5$

$t_{n + 1} - t_{n} = (- n^{2} - 6 n - 5) - (- n^{2} - 4 n)$
$t_{n + 1} - t_{n} = - n^{2} - 6 n - 5 + n^{2} + 4 n$
$t_{n + 1} - t_{n} = - 2 n - 5 = - (2 n + 5)$

Оскільки $n \in N$ ( $n \geq 1$ ), вираз $2 n + 5 > 0$ , тому $- (2 n + 5) < 0$ .

Звідси $t_{n + 1} - t_{n} < 0$ , тобто $t_{n + 1} < t_{n}$ для будь-якого $n \in N$ .
Послідовність $(t_{n})$ є спадною. Для кожного члена послідовності існує наступний член, менший за нього, тому послідовність $(t_{n})$ не містить найменшого члена.

№ 15.18.
1) Товар коштував 150 грн. Через деякий час його ціна зросла до 165 грн. На скільки відсотків підвищилася ціна товару?
2) Проєктна діяльність. Дослідіть зміну ціни на реальний товар. Обчисліть відсоток її зниження (підвищення).

Розв’язання:

1) Знайдемо різницю між новою та початковою ціною товару:
$165 - 150 = 15 (грн)$

Обчислимо, скільки відсотків становить ця різниця від початкової ціни:
$\frac{15}{150} \cdot 100% = \frac{1}{10} \cdot 100% = 10%$

2) Приклад дослідження:
Початкова ціна упаковки чаю становила $80 грн$ , після знижки вона стала $68 грн$ .

Знайдемо суму знижки:
$80 - 68 = 12 (грн)$

Обчислимо відсоток зниження ціни відносно початкової:
$\frac{12}{80} \cdot 100% = \frac{3}{20} \cdot 100% = 15%$

Відповідь: 1) на 10%.

№ 15.19. Обчисліть:

$\frac{5 + 3}{5 - 3} + \frac{5 - 3}{5 + 3}$

Розв’язання:

Зведемо дроби до спільного знаменника та застосуємо формули скороченого множення:

$\frac{5 + 3}{5 - 3} + \frac{5 - 3}{5 + 3} =$

$= \frac{( 5 + 3 ) ^{2} + ( 5 - 3 ) ^{2}}{( 5 - 3 ) ( 5 + 3 )} =$

$= \frac{5 + 6 5 + 9 + 5 - 6 5 + 9}{( 5 ) ^{2} - 3 ^{2}} =$

$= \frac{28}{5 - 9} =$

$= \frac{28}{- 4} = - 7$

Відповідь: $- 7$ .

№ 15.20. Розв’яжіть систему рівнянь:

${x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4, x y + y^{2} = 4.$

Розв’язання:

Згорнемо ліву частину першого рівняння за формулою квадрата різниці, а в другому рівнянні винесемо спільний множник за дужки:

${(x - y)^{2} = 4, y (x + y) = 4$

З першого рівняння маємо: $x - y = 2$ або $x - y = - 2$ .

Розглянемо два випадки:

1) ${x - y = 2, y (x + y) = 4$

Виразимо $x$ через $y$ з першого рівняння та підставимо в друге:

${x = y + 2, y (y + 2 + y) = 4$

Розв’яжемо друге рівняння:
$y (2 y + 2) = 4$
$2 y^{2} + 2 y - 4 = 0$
$y^{2} + y - 2 = 0$
$y_{1} = - 2$
$y_{2} = 1$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
якщо $y_{1} = - 2$ , то $x_{1} = - 2 + 2 = 0$ ;
якщо $y_{2} = 1$ , то $x_{2} = 1 + 2 = 3$ .

Отримуємо пари розв’язків: $(0; - 2)$ , $(3; 1)$ .

2) ${x - y = - 2, y (x + y) = 4$

Виразимо $x$ через $y$ з першого рівняння та підставимо в друге:

${x = y - 2, y (y - 2 + y) = 4$

Розв’яжемо друге рівняння:
$y (2 y - 2) = 4$
$2 y^{2} - 2 y - 4 = 0$
$y^{2} - y - 2 = 0$
$y_{1} = 2$
$y_{2} = - 1$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
якщо $y_{1} = 2$ , то $x_{1} = 2 - 2 = 0$ ;
якщо $y_{2} = - 1$ , то $x_{2} = - 1 - 2 = - 3$ .

Отримуємо пари розв’язків: $(0; 2)$ , $(- 3; - 1)$ .

Відповідь: $(0; - 2)$ , $(3; 1)$ , $(0; 2)$ , $(- 3; - 1)$ .

№ 15.21.

1) До встановлення лічильників родина Заліщуків щомісяця сплачувала за користування водою 1120 грн. Після встановлення двох лічильників (на холодну і на гарячу воду) щомісячна плата за воду зменшилася до 700 грн. Вартість одного лічильника становить 740 грн, а його встановлення — 240 грн. Через яку найменшу кількість місяців економія на оплаті води перевищить витрати на придбання та встановлення лічильників, якщо тарифи на воду не змінюватимуться?

2) Проєктна діяльність. Зберіть дані про споживання ресурсів у родині та проаналізуйте їх.

Розв’язання:

1) Знайдемо загальні витрати на придбання та встановлення двох лічильників:
$2 \cdot (740 + 240) = 2 \cdot 980 = 1960 (грн)$

Знайдемо щомісячну економію на оплаті за воду:
$1120 - 700 = 420 (грн)$

Нехай $n$ — кількість місяців ( $n \in N$ ). Складемо нерівність за умовою, що економія має перевищити витрати:
$420 n > 1960$
$n > \frac{1960}{420}$
$n > 4 \frac{280}{420}$
$n > 4 \frac{2}{3}$

Найменшим натуральним числом, що задовольняє нерівність, є $n = 5$ .
Отже, економія перевищить витрати через 5 місяців.

2) Виконується самостійно (індивідуальний збір та аналіз даних про споживання ресурсів у родині).

Відповідь: 1) через 5 місяців.

№ 15.22.

1) Запишіть числову послідовність, що містить десять членів, у якої перший член дорівнює 2, а кожен наступний — на 3 більший за попередній.

2) Запишіть формулу $n$ -го члена цієї послідовності.

Розв’язання:

1) Перший член послідовності дорівнює $2$ , а кожний наступний отримуємо додаванням числа $3$ до попереднього:
$a_{1} = 2$
$a_{2} = 2 + 3 = 5$
$a_{3} = 5 + 3 = 8$
$a_{4} = 8 + 3 = 11$
$a_{5} = 11 + 3 = 14$
$a_{6} = 14 + 3 = 17$
$a_{7} = 17 + 3 = 20$
$a_{8} = 20 + 3 = 23$
$a_{9} = 23 + 3 = 26$
$a_{10} = 26 + 3 = 29$

Одержуємо послідовність:
$2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29$ .

2) Оскільки до першого члена число $3$ додається $(n - 1)$ разів, запишемо формулу для $n$ -го члена:
$a_{n} = 2 + 3 (n - 1)$
$a_{n} = 2 + 3 n - 3$
$a_{n} = 3 n - 1$

Відповідь:

1) $2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29$ ;

2) $a_{n} = 3 n - 1$ .

№ 15.23. Знайдіть закономірність і продовжте ряд чисел, записавши чотири наступних числа ряду:

1) $42; 45; 48; 51; \dots$ ;

2) $6; 1; - 4; - 9; \dots$ ;

3) $15; 0; - 15; - 30; \dots$ ;

4) $- 13; - 9; - 5; - 1; \dots$ .

Розв’язання:

1) Кожний наступний член послідовності більший за попередній на $3$ : $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ .
$51 + 3 = 54$
$54 + 3 = 57$
$57 + 3 = 60$
$60 + 3 = 63$
Ряд чисел: $42; 45; 48; 51; 54; 57; 60; 63; \dots$

2) Кожний наступний член послідовності менший від попереднього на $5$ : $a_{n + 1} = a_{n} - 5$ .
$- 9 - 5 = - 14$
$- 14 - 5 = - 19$
$- 19 - 5 = - 24$
$- 24 - 5 = - 29$
Ряд чисел: $6; 1; - 4; - 9; - 14; - 19; - 24; - 29; \dots$

3) Кожний наступний член послідовності менший від попереднього на $15$ : $a_{n + 1} = a_{n} - 15$ .
$- 30 - 15 = - 45$
$- 45 - 15 = - 60$
$- 60 - 15 = - 75$
$- 75 - 15 = - 90$
Ряд чисел: $15; 0; - 15; - 30; - 45; - 60; - 75; - 90; \dots$

4) Кожний наступний член послідовності більший за попередній на $4$ : $a_{n + 1} = a_{n} + 4$ .
$- 1 + 4 = 3$
$3 + 4 = 7$
$7 + 4 = 11$
$11 + 4 = 15$
Ряд чисел: $- 13; - 9; - 5; - 1; 3; 7; 11; 15; \dots$

Відповідь:

1) $54; 57; 60; 63$ ;

2) $- 14; - 19; - 24; - 29$ ;

3) $- 45; - 60; - 75; - 90$ ;

4) $3; 7; 11; 15$ .

№ 15.24. Розв’яжіть систему рівнянь:
$⎩ ⎨ ⎧ x y + y z = 8 y z + z x = 9 z x + x y = 5$

Розв’язання:
Додамо почленно всі три рівняння системи:
$(x y + y z) + (y z + z x) + (z x + x y) = 8 + 9 + 5$
$2 (x y + y z + z x) = 22$
$x y + y z + z x = 11$

Віднімемо від отриманої рівності почленно кожне з рівнянь початкової системи:

1) $(x y + y z + z x) - (x y + y z) = 11 - 8$
$z x = 3$

2) $(x y + y z + z x) - (y z + z x) = 11 - 9$
$x y = 2$

3) $(x y + y z + z x) - (z x + x y) = 11 - 5$
$y z = 6$

Перемножимо отримані три рівності:
$(x y) \cdot (y z) \cdot (z x) = 2 \cdot 6 \cdot 3$
$(x y z)^{2} = 36$
$x y z = 6$ або $x y z = - 6$

1) Якщо $x y z = 6$ :
$x = \frac{x y z}{y z} = \frac{6}{6} = 1$
$y = \frac{x y z}{z x} = \frac{6}{3} = 2$
$z = \frac{x y z}{x y} = \frac{6}{2} = 3$
Розв’язок: $(1; 2; 3)$ .

2) Якщо $x y z = - 6$ :
$x = \frac{x y z}{y z} = \frac{- 6}{6} = - 1$
$y = \frac{x y z}{z x} = \frac{- 6}{3} = - 2$
$z = \frac{x y z}{x y} = \frac{- 6}{2} = - 3$
Розв’язок: $(- 1; - 2; - 3)$ .

Відповідь: $(1; 2; 3)$ , $(- 1; - 2; - 3)$ .

15. Числові послідовності

Теги статті:

До уроку