14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель текстових і прикладних задач

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 14.1. (Усно.) Нехай $x$ та $y$ — деякі числа, різниця яких дорівнює числу 5, а добуток — числу 6. Яка система рівнянь відповідає умові задачі:

1) $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ xy=6\end{array}$;

2) $\{\begin{array}{l}x-y=6\\ xy=5\end{array}$;

3) $\{\begin{array}{l}x-y=5\\ xy=6\end{array}$;

4) $\{\begin{array}{l}x+y=6\\ xy=5\end{array}$?

Розв’язання:

Різниця чисел $x$ та $y$ дорівнює $5$, тобто $x-y=5$.

Добуток чисел $x$ та $y$ дорівнює $6$, тобто $xy=6$.

Отже, умові задачі відповідає система під номером 3):

Відповідь: 3).

№ 14.2. Сума двох чисел дорівнює $-3$, а добуток дорівнює $-28$. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

1) Позначимо перше число через $x$, а друге — через $y$.
За умовою задачі складаємо систему рівнянь:

2) Виразимо $y$ з першого рівняння через $x$:

3) Підставимо цей вираз у друге рівняння:

4) Розв’яжемо отримане квадратне рівняння:

5) Обчислимо відповідні значення $y$:

Якщо $x_1=4$, то $y_1=-3-4=-7$.

Якщо $x_2=-7$, то $y_2=-3-(-7)=4$.

У обох випадках шукана пара чисел — це $4$ та $-7$.

Відповідь: $4$ і $-7$.
№ 14.3. Добуток двох чисел дорівнює $-12$, а сума дорівнює $1$. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

1) Введення змінних та складання математичної моделі:

Нехай перше число дорівнює $x$, а друге число дорівнює $y$.

За умовою задачі добуток цих чисел дорівнює $-12$, тобто $x\cdot y=-12$, а їхня сума дорівнює $1$, тобто $x+y=1$.

Складемо систему рівнянь:

2) Розв’язання системи рівнянь:

Виразимо змінну $x$ через $y$ з першого рівняння:
$x=1-y$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$(1-y)\cdot y=-12$
$y-y^2=-12$
$y^2-y-12=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння за допомогою дискримінанта:
$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49=7^2$

$y_1=\frac{1+7}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4$

$y_2=\frac{1-7}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3$

Знайдемо відповідні значення змінної $x$:

• Якщо $y_1=4$, то $x_1=1-4=-3$.
• Якщо $y_2=-3$, то $x_2=1-(-3)=4$.

Отримуємо пари розв’язків $(-3;4)$ та $(4;-3)$, які відповідають шуканим числам $-3$ та $4$.

Відповідь: $-3$ і $4$.

№ 14.4. Різниця двох чисел дорівнює 3, а різниця квадратів більшого і меншого чисел дорівнює –21. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

1) Введення змінних та складання математичної моделі:

Нехай більше число дорівнює $x$, а менше число дорівнює $y$.

За умовою різниця більшого і меншого чисел дорівнює $3$:

Різниця квадратів більшого і меншого чисел дорівнює $-21$:

Складемо систему рівнянь:

2) Розв’язання системи рівнянь:

Розкладемо ліву частину другого рівняння за формулою різниці квадратів:

Підставимо значення $x-y=3$ з першого рівняння у друге:

Отримаємо систему двох лінійних рівнянь:

Додамо почленно ці два рівняння:

Знайдемо $y$, підставивши $x=-2$ у перше рівняння:

3) Перевірка:

Числа $-2$ та $-5$. Оскільки $-2>-5$, то більшим числом є $-2$, а меншим — $-5$.

Різниця: $-2-(-5)=3$.

Різниця квадратів: $(-2{)}^2-(-5{)}^2=4-25=-21$.

Відповідь: $-2$ і $-5$.

№ 14.5. Різниця двох натуральних чисел дорівнює 2, а сума квадратів дорівнює 52. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

1) Введення змінних та складання математичної моделі:

Нехай перше натуральне число дорівнює $x$, а друге натуральне число дорівнює $y$, де $x\in \mathbb{N}$ та $y\in \mathbb{N}$.

За умовою задачі:

• Різниця чисел дорівнює $2$: $x-y=2$;
• Сума квадратів чисел дорівнює $52$: $x^2+y^2=52$.

Складемо систему рівнянь:

2) Розв’язання системи рівнянь:

Виразимо $x$ через $y$ з першого рівняння:

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:

Знайдемо корені квадратного рівняння за теоремою Вієта:

3) Аналіз отриманих коренів:

За умовою задачі числа є натуральними ($x\in \mathbb{N}$, $y\in \mathbb{N}$).

Число $y_2=-6\notin \mathbb{N}$ не задовольняє умову задачі.

Отже, $y=4\in \mathbb{N}$.

Тоді $x=4+2=6\in \mathbb{N}$.

Шукані натуральні числа дорівнюють $6$ та $4$.

Відповідь: $6$ і $4$.

№ 14.6. Периметр земельної ділянки прямокутної форми дорівнює 100 м, а її площа – 600 м². Знайдіть сторони земельної ділянки.

Розв’язання:

1) Введення змінних та складання математичної моделі:

Нехай довжина земельної ділянки дорівнює $x\text{ м}$, а її ширина — $y\text{ м}$. За змістом задачі $x>0$ та $y>0$.

Периметр прямокутника обчислюється за формулою $P=2(x+y)$. За умовою $P=100\text{ м}$:

Площа прямокутника обчислюється за формулою $S=x\cdot y$. За умовою $S=600{\text{ м}}^2$:

Складемо систему рівнянь:

2) Розв’язання системи рівнянь:

Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:

Знайдемо корені квадратного рівняння за теоремою Вієта:

Знайдемо відповідні значення $y$:

Якщо $x=30$, то $y=50-30=20$.

Якщо $x=20$, то $y=50-20=30$.

Обидва значення додатні та задовольняють умову задачі. Отже, сторони земельної ділянки дорівнюють $30\text{ м}$ та $20\text{ м}$.

Відповідь: $30\text{ м}$ і $20\text{ м}$.

№ 14.7. Сума двох сусідніх сторін прямокутника дорівнює $18\text{ см}$. Знайдіть ці сторони, якщо площа прямокутника дорівнює $80{\text{ см}}^2$.

Розв’язання:

1) Введення змінних та складання математичної моделі:

Нехай довжини двох сусідніх сторін прямокутника дорівнюють $x\text{ см}$ та $y\text{ см}$. Оскільки довжини сторін є додатними величинами, $x>0$ та $y>0$.

Сума сусідніх сторін дорівнює $18\text{ см}$:

$x+y=18$

Площа прямокутника дорівнює $80{\text{ см}}^2$:

$x\cdot y=80$

Складемо систему рівнянь:

2) Розв’язання системи рівнянь:

Виразимо $x$ через $y$ з першого рівняння:

$x=18-y$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:

$(18-y)\cdot y=80$

$18y-y^2=80$

$y^2-18y+80=0$

Знайдемо корені за допомогою дискримінанта:

$D=(-18{)}^2-4\cdot 1\cdot 80=324-320=4=2^2$

$y_1=\frac{18+2}{2\cdot 1}=\frac{20}{2}=10$

$y_2=\frac{18-2}{2\cdot 1}=\frac{16}{2}=8$

Обчислимо відповідні значення $x$:

• якщо $y=10$, то $x=18-10=8$;
• якщо $y=8$, то $x=18-8=10$.

Значення $x$ та $y$ є додатними, отже, сторони прямокутника дорівнюють $10\text{ см}$ і $8\text{ см}$.

Відповідь: $10\text{ см}$ і $8\text{ см}$.
№ 14.8. Сума катетів прямокутного трикутника дорівнює 17 см. Знайдіть катети, якщо гіпотенуза трикутника дорівнює 13 см.

Розв’язання:

1) Нехай один з катетів прямокутного трикутника дорівнює $x\text{ см}$, а другий — $y\text{ см}$. За змістом задачі $x>0$ та $y>0$.

2) За умовою сума катетів дорівнює $17\text{ см}$, тобто $x+y=17$.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника з катетами $x$ і $y$ та гіпотенузою $13\text{ см}$ маємо:

3) Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:

Знайдемо корені квадратного рівняння за допомогою дискримінанта:

Обидва значення задовольняють умову $x>0$.

4) Знайдемо відповідні значення $y$:

• Якщо $x=12$, то $y=17-12=5$.
• Якщо $x=5$, то $y=17-5=12$.

Отже, катети даного трикутника дорівнюють $12\text{ см}$ і $5\text{ см}$.

Відповідь: $12\text{ см}$ і $5\text{ см}$.

№ 14.9. Периметр прямокутного трикутника дорівнює $24\text{ см}$. Знайдіть катети цього трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює $10\text{ см}$.

Розв’язання:

1) Нехай катети прямокутного трикутника дорівнюють $x\text{ см}$ та $y\text{ см}$, де $x>0$ і $y>0$.

2) За умовою гіпотенуза трикутника дорівнює $10\text{ см}$, а його периметр дорівнює $24\text{ см}$:

$x+y+10=24$

$x+y=14$

За теоремою Піфагора:

$x^2+y^2=10^2$

$x^2+y^2=100$

3) Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:

$y=14-x$

Підставимо у друге рівняння:

$x^2+(14-x{)}^2=100$

$x^2+196-28x+x^2=100$

$2x^2-28x+96=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:

$x^2-14x+48=0$

За теоремою Вієта:

Звідси $x_1=6$, $x_2=8$.

4) Обчислимо відповідні значення $y$:

• Якщо $x=6$, то $y=14-6=8$;
• Якщо $x=8$, то $y=14-8=6$.

Таким чином, катети трикутника дорівнюють $6\text{ см}$ і $8\text{ см}$.

Відповідь: $6\text{ см}$ і $8\text{ см}$.

№ 14.10. Сума двох чисел дорівнює $15$, а різниця чисел, взаємно обернених з ними, дорівнює $0,1$. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

1) Позначимо перше число через $x$, а друге число через $y$. Числа, взаємно обернені з ними, дорівнюють $\frac{1}{x}$ та $\frac{1}{y}$.
Оскільки ці вирази мають зміст, $x\ne 0$ і $y\ne 0$.

2) За умовою сума чисел дорівнює $15$:

Різниця чисел, взаємно обернених з ними, дорівнює $0,1=\frac{1}{10}$:

3) Складемо систему рівнянь:

З першого рівняння виразимо $y$:

Підставимо у друге рівняння:

Зведемо дроби у лівій частині до спільного знаменника $x(15-x)$:

За властивістю пропорції (при $x\ne 0$ та $x\ne 15$):

Знайдемо корені рівняння за допомогою дискримінанта:

4) Обчислимо відповідні значення $y$:

• Якщо $x=30$, то $y=15-30=-15$;
• Якщо $x=5$, то $y=15-5=10$.

Перевіримо отримані пари чисел:

• Для $30$ і $-15$: $\frac{1}{30}-\left(-\frac{1}{15}\right)=\frac{1}{30}+\frac{2}{30}=\frac{3}{30}=0,1$;
• Для $5$ і $10$: $\frac{1}{5}-\frac{1}{10}=\frac{2}{10}-\frac{1}{10}=\frac{1}{10}=0,1$.

Відповідь: $5$ і $10$ або $30$ і $-15$.

№ 14.11. Різниця двох чисел дорівнює $3$, а сума обернених до них чисел дорівнює $0,5$. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

1) Позначимо перше число через $x$, а друге — через $y$.
Оскільки існують обернені числа $\frac{1}{x}$ та $\frac{1}{y}$, то $x\ne 0$ і $y\ne 0$.

2) За умовою різниця двох чисел дорівнює $3$:

Сума обернених до них чисел дорівнює $0,5=\frac{1}{2}$:

3) Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

Виразимо $x$ через $y$ з першого рівняння:

Підставимо у друге рівняння:

Зведемо дроби в лівій частині до спільного знаменника $y(y+3)$:

За властивістю пропорції (при $y\ne 0$ та $y\ne -3$):

За теоремою Вієта:

Звідси $y_1=3$, $y_2=-2$.

4) Знайдемо відповідні значення $x$:

• Якщо $y=3$, то $x=3+3=6$.
• Якщо $y=-2$, то $x=-2+3=1$.

Перевіримо отримані пари:

• Для чисел $6$ і $3$: $6-3=3$ та $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}=0,5$.
• Для чисел $1$ і $-2$: $1-(-2)=3$ та $\frac{1}{1}+\left(-\frac{1}{2}\right)=0,5$.

Відповідь: $6$ і $3$ або $1$ і $-2$.

№ 14.12. Видатна українська художниця-живописець Тетяна Нилівна Яблонська народилася в лютому 1917 р. Знайдіть двоцифрове число, яке в 4 рази більше за суму своїх цифр і у 3 рази більше за добуток своїх цифр, відтак дізнаєтеся день її народження.

Розв’язання:

1) Нехай шукане двоцифрове число має вигляд $\overline{ab}=10a+b$, де $a$ — кількість десятків ($a\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$), $b$ — кількість одиниць ($b\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$).

2) За умовою задачі число в $4$ рази більше за суму своїх цифр:

Також число у $3$ рази більше за добуток своїх цифр:

3) Складемо систему рівнянь:

Спростимо перше рівняння:

Підставимо $b=2a$ у друге рівняння:

Оскільки $a$ — перша цифра двоцифрового числа, то $a\ne 0$. Поділимо обидві частини рівняння на $6a$:

Знайдемо цифру $b$:

Отже, шукане двоцифрове число дорівнює $24$.

Таким чином, Тетяна Нилівна Яблонська народилася $24$ лютого 1917 року.

Відповідь: двоцифрове число — $24$; день народження — $24$ лютого.
№ 14.13. Знайдіть двоцифрове число, яке в $1,5$ раза більше за добуток своїх цифр і в $4$ рази більше за їх суму, відтак дізнаєтеся, скільки медалей виборола Україна на Всесвітній гімназіаді 2022 року.

Розв’язання:

1) Нехай цифра десятків шуканого двоцифрового числа дорівнює $x$, а цифра одиниць — $y$.
Тоді дане двоцифрове число має вигляд $10x+y$, де $x\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, $y\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

2) За умовою задачі:

• Число в $1,5$ раза більше за добуток своїх цифр: $10x+y=1,5xy$;
• Число в $4$ рази більше за суму своїх цифр: $10x+y=4(x+y)$.

Складемо систему рівнянь:

3) Спростимо друге рівняння системи:

Підставимо $y=2x$ у перше рівняння системи:

Оскільки $x$ — цифра десятків двоцифрового числа, то $x\ne 0$. Звідси:

Обчислимо цифру одиниць $y$:

Шукане двоцифрове число дорівнює $10\cdot 4+8=48$.
Отже, Україна виборола $48$ медалей на Всесвітній гімназіаді 2022 року.

Відповідь: $48$.

№ 14.14. Кожен із двох принтерів має надрукувати текстовий файл обсягом 120 сторінок. Перший принтер за одну хвилину друкує на 2 сторінки менше, ніж другий, і тому пропрацював на 3 хв довше. Скільки сторінок за хвилину друкує кожен принтер?

Розв’язання:

1) Нехай продуктивність першого принтера дорівнює $x\text{ сторінок/хв}$, а другого — $y\text{ сторінок/хв}$. За змістом задачі $x>0$ та $y>0$.

2) Складемо математичну модель:

• Перший принтер за одну хвилину друкує на 2 сторінки менше, ніж другий:

$y-x=2⟹y=x+2$

• Час роботи першого принтера для друку 120 сторінок дорівнює $\frac{120}{x}\text{ хв}$, а другого — $\frac{120}{y}\text{ хв}$. Перший пропрацював на $3\text{ хв}$ довше:

$\frac{120}{x}-\frac{120}{y}=3$

3) Підставимо $y=x+2$ у друге рівняння:

$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+2}=3$

Поділимо обидві частини рівняння на 3:

$\frac{40}{x}-\frac{40}{x+2}=1$

Зведемо дроби до спільного знаменника $x(x+2)$:

$\frac{40(x+2)-40x}{x(x+2)}=1$

$\frac{40x+80-40x}{x^2+2x}=1$

$\frac{80}{x^2+2x}=1$

Оскільки $x>0$:

$x^2+2x=80$

$x^2+2x-80=0$

Знайдемо корені за допомогою дискримінанта:

$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-80)=4+320=324=18^2$

$x_1=\frac{-2+18}{2}=8$

$x_2=\frac{-2-18}{2}=-10$

Значення $x_2=-10$ є стороннім коренем, оскільки продуктивність друку має бути додатною ($x>0$).

Отже, $x=8\text{ сторінок/хв}$ — продуктивність першого принтера.

Знайдемо продуктивність другого принтера:

$y=x+2=8+2=10\text{ сторінок/хв}$

Відповідь: перший принтер друкує 8 сторінок за хвилину, другий — 10 сторінок за хвилину.

№ 14.15. Під час зимових канікул Яна та Олег мали розв’язати по 60 задач. Яна щодня розв’язувала на 1 задачу більше, ніж Олег, а тому впоралася із завданням на 2 дні раніше за Олега. Скільки задач щодня розв’язував кожен із друзів?

Розв’язання:

1) Нехай Олег щодня розв’язував $x\text{ задач}$, а Яна — $y\text{ задач}$.
За змістом задачі $x>0$ та $y>0$.

2) За умовою задачі:

• Яна щодня розв’язувала на 1 задачу більше, ніж Олег:
  $y-x=1⟹y=x+1$

• Олег витратив на розв’язання 60 задач $\frac{60}{x}\text{ днів}$, а Яна — $\frac{60}{y}\text{ днів}$. Яна впоралася на 2 дні раніше:
  $\frac{60}{x}-\frac{60}{y}=2$

3) Підставимо $y=x+1$ у друге рівняння:
$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+1}=2$

Поділимо обидві частини рівняння на 2:
$\frac{30}{x}-\frac{30}{x+1}=1$

Зведемо до спільного знаменника $x(x+1)$:
$\frac{30(x+1)-30x}{x(x+1)}=1$

$\frac{30x+30-30x}{x^2+x}=1$

$\frac{30}{x^2+x}=1$

При $x>0$:
$x^2+x=30$

$x^2+x-30=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=5,x_2=-6$

Корінь $x_2=-6$ є стороннім, оскільки кількість задач має бути додатною ($x>0$).
Отже, Олег щодня розв’язував $x=5\text{ задач}$.

Знайдемо кількість задач, яку щодня розв’язувала Яна:
$y=5+1=6\text{ задач}$

Відповідь: Олег розв’язував 5 задач щодня, Яна — 6 задач щодня.

№ 14.16. Маємо два шматки кабелю різних видів. Маса першого шматка дорівнює 65 кг; другий, довжина якого на 3 м більша за перший і маса кожного метра якого на 2 кг більша за масу кожного метра першого шматка, має масу 120 кг. Знайдіть довжини цих шматків.

Розв’язання:

1) Нехай довжина першого шматка кабелю дорівнює $x\text{ м}$, а другого — $y\text{ м}$.
За змістом задачі $x>0$ та $y>0$.

2) Маса $1\text{ м}$ першого шматка становить $\frac{65}{x}\text{ кг}$, а другого — $\frac{120}{y}\text{ кг}$.
За умовою задачі:

• довжина другого шматка на $3\text{ м}$ більша за перший:

$y-x=3⟹y=x+3$

• маса $1\text{ м}$ другого шматка на $2\text{ кг}$ більша за масу $1\text{ м}$ першого:

$\frac{120}{y}-\frac{65}{x}=2$

3) Підставимо $y=x+3$ у друге рівняння:

$\frac{120}{x+3}-\frac{65}{x}=2$

Зведемо до спільного знаменника $x(x+3)$:

$\frac{120x-65(x+3)}{x(x+3)}=2$

$\frac{120x-65x-195}{x^2+3x}=2$

$\frac{55x-195}{x^2+3x}=2$

За умови $x>0$:

$55x-195=2(x^2+3x)$

$55x-195=2x^2+6x$

$2x^2-49x+195=0$

Знайдемо корені рівняння за допомогою дискримінанта:

$D=(-49{)}^2-4\cdot 2\cdot 195=2401-1560=841=29^2$

$x_1=\frac{49+29}{2\cdot 2}=\frac{78}{4}=19,5$

$x_2=\frac{49-29}{4}=\frac{20}{4}=5$

Обидва корені задовольняють умову $x>0$:

• якщо $x=5\text{ м}$, то $y=5+3=8\text{ м}$;
• якщо $x=19,5\text{ м}$, то $y=19,5+3=22,5\text{ м}$.

Відповідь: $5\text{ м}$ і $8\text{ м}$ або $19,5\text{ м}$ і $22,5\text{ м}$.

№ 14.17. У кінотеатрі було 320 місць, розташованих однаковими рядами. Після того як кількість місць у кожному ряду збільшили на 4 і додали ще один ряд, місць стало 420. Скільки стало рядів у кінотеатрі, якщо їх було більше, ніж 15?

Розв’язання:

1) Нехай початкова кількість рядів у кінотеатрі дорівнює $x$, а початкова кількість місць у кожному ряду — $y$.
За змістом задачі $x\in \mathbb{N}$, $y\in \mathbb{N}$ та за умовою $x>15$.

2) Складемо систему рівнянь за умовою задачі:

Початкова кількість місць у кінотеатрі:

$x\cdot y=320⟹y=\frac{320}{x}$

Після того як додали 1 ряд, їх стало $(x+1)$, а місць у кожному ряду стало $(y+4)$. Нова загальна кількість місць:

$(x+1)(y+4)=420$

3) Розкриємо дужки у другому рівнянні:

$x\cdot y+4x+y+4=420$

Підставимо $x\cdot y=320$:

$320+4x+y+4=420$

$4x+y=420-324$

$4x+y=96⟹y=96-4x$

Прирівняємо два вирази для $y$:

$\frac{320}{x}=96-4x$

Поділимо обидві частини на 4:

$\frac{80}{x}=24-x$

Помножимо обидві частини рівняння на $x$ ($x>0$):

$80=24x-x^2$

$x^2-24x+80=0$

За теоремою Вієта:

$x_1=20,x_2=4$

За умовою задачі початкова кількість рядів повинна бути більшою за 15 ($x>15$). Отже, корінь $x_2=4$ є стороннім, тому початкова кількість рядів $x=20$.

4) Знайдемо нову кількість рядів у кінотеатрі:

$x+1=20+1=21$

Відповідь: 21 ряд.
14.18. Два автомобілі виїхали одночасно з міст A і B назустріч один одному і зустрілися через годину. Після цього вони, не зупиняючись, продовжили рухатися з тією самою швидкістю. Один з них прибув у місто B на 35 хв пізніше, ніж другий у місто A. Знайдіть швидкість кожного з автомобілів, якщо відстань між містами 140 км.

Розв’язання:

1) Введення змінних та аналіз умови:

Нехай швидкість першого автомобіля дорівнює $x\text{ км/год}$, а швидкість другого — $y\text{ км/год}$ ($x>0$, $y>0$).
Оскільки автомобілі виїхали одночасно назустріч один одному і зустрілися через $1\text{ год}$, то разом за $1\text{ год}$ вони подолали всю відстань між містами, яка дорівнює $140\text{ км}$:

$x+y=140$

2) Складання математичної моделі:

Час, витрачений першим автомобілем на весь шлях від $A$ до $B$, становить $\frac{140}{x}\text{ год}$, а другим від $B$ до $A$ — $\frac{140}{y}\text{ год}$.
За умовою один з автомобілів прибув у пункт призначення на $35\text{ хв}$ пізніше за другого.
Переведемо хвилини у години: $35\text{ хв}=\frac{35}{60}\text{ год}=\frac{7}{12}\text{ год}$.
Нехай перший автомобіль рухався швидше ($x>y$), тоді другий автомобіль витратив на шлях більше часу:

$\frac{140}{y}-\frac{140}{x}=\frac{7}{12}$

Маємо систему рівнянь:

3) Розв’язання системи рівнянь:

З першого рівняння виразимо $y$:

$y=140-x$

Підставимо у друге рівняння:

$\frac{140}{140-x}-\frac{140}{x}=\frac{7}{12}$

Поділимо обидві частини рівняння на $7$:

$\frac{20}{140-x}-\frac{20}{x}=\frac{1}{12}$

Помножимо обидві частини рівняння на $12x(140-x)$ за умови $0<x<140$:

$20\cdot 12x-20\cdot 12(140-x)=x(140-x)$

$240x-240(140-x)=140x-x^2$

$240x-33600+240x=140x-x^2$

$x^2+340x-33600=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння через дискримінант:

$D_1={\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac=170^2-1\cdot (-33600)=28900+33600=62500=250^2$

$x_1=-170+250=80$

$x_2=-170-250=-420\text{ (не задовольняє умову }x>0\text{)}$

4) Аналіз значень:

Якщо $x=80\text{ км/год}$, то $y=140-80=60\text{ км/год}$.
Швидкості автомобілів дорівнюють $80\text{ км/год}$ та $60\text{ км/год}$.

Відповідь: $80\text{ км/год}$ та $60\text{ км/год}$.

14.19. Двоє велосипедистів виїхали назустріч одне одному з Києва і Боярки, перебуваючи на відстані 30 км. Через годину вони зустрілися і, не зупиняючись, продовжили рух з тією самою швидкістю. Велосипедист прибув у Боярку на 50 хв пізніше, ніж велосипедистка у Київ. Знайдіть швидкість кожного з велосипедистів.

Розв’язання:

1) Введення змінних та аналіз умови:

Нехай швидкість велосипедистки дорівнює $x\text{ км/год}$, а швидкість велосипедиста — $y\text{ км/год}$ ($x>0$, $y>0$).

Велосипедисти зустрілися через $1\text{ год}$, отже, разом вони подолали відстань $30\text{ км}$:

$x+y=30$

2) Складання математичної моделі:

Велосипедистка витрачає на весь шлях до Києва $\frac{30}{x}\text{ год}$, а велосипедист до Боярки — $\frac{30}{y}\text{ год}$.

За умовою велосипедист прибув на $50\text{ хв}$ пізніше. Переведемо хвилини у години:

$50\text{ хв}=\frac{50}{60}\text{ год}=\frac{5}{6}\text{ год}$

Отримуємо рівняння:

$\frac{30}{y}-\frac{30}{x}=\frac{5}{6}$

Складемо систему рівнянь:

3) Розв’язання системи рівнянь:

З першого рівняння маємо: $y=30-x$.

Підставимо у друге рівняння:

$\frac{30}{30-x}-\frac{30}{x}=\frac{5}{6}$

Поділимо обидві частини на $5$:

$\frac{6}{30-x}-\frac{6}{x}=\frac{1}{6}$

Помножимо на спільний знаменник $6x(30-x)$ за умови $0<x<30$:

$36x-36(30-x)=x(30-x)$

$36x-1080+36x=30x-x^2$

$x^2+42x-1080=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння:

$D_1=21^2-1\cdot (-1080)=441+1080=1521=39^2$

$x_1=-21+39=18$

$x_2=-21-39=-60\text{ (сторонній корінь, бо }x>0\text{)}$

4) Аналіз значень:

Якщо $x=18\text{ км/год}$, то:

$y=30-18=12\text{ (км/год)}$

Отже, швидкість велосипедистки дорівнює $18\text{ км/год}$, а велосипедиста — $12\text{ км/год}$.

Відповідь: $18\text{ км/год}$ і $12\text{ км/год}$.

14.20. Із села Яблунівка в село Грушівка, відстань між якими 9 км, вийшов пішохід. Через 30 хв із села Грушівка йому назустріч виїхав велосипедист, який зустрівся з пішоходом через 30 хв після свого виїзду. Знайдіть швидкість пішохода і швидкість велосипедиста, якщо пішохід долає відстань між селами на 2 год 15 хв повільніше, ніж велосипедист.

Розв’язання:

1) Введення змінних та аналіз умови:

Нехай швидкість пішохода дорівнює $x\text{ км/год}$, а швидкість велосипедиста — $y\text{ км/год}$ ($x>0$, $y>0$).

Пішохід був у дорозі до зустрічі $30\text{ хв}+30\text{ хв}=60\text{ хв}=1\text{ год}$ і пройшов $1\cdot x=x\text{ км}$.

Велосипедист був у дорозі до зустрічі $30\text{ хв}=0,5\text{ год}$ і проїхав $0,5\cdot y=0,5y\text{ км}$.

Разом вони подолали відстань між селами $9\text{ км}$:

2) Складання математичної моделі:

Пішохід долає відстань $9\text{ км}$ за $\frac{9}{x}\text{ год}$, а велосипедист — за $\frac{9}{y}\text{ год}$.

Різниця в часі становить $2\text{ год }15\text{ хв}=2\frac{15}{60}\text{ год}=2\frac{1}{4}\text{ год}=\frac{9}{4}\text{ год}$.

Складемо рівняння:

Маємо систему рівнянь:

3) Розв’язання системи рівнянь:

Поділимо друге рівняння на $9$:

З першого рівняння виразимо $y=18-2x$ та підставимо в друге:

Помножимо обидві частини на $4x(18-2x)$ при $0<x<9$:

Поділимо рівняння на $2$:

За теоремою Вієта:

4) Аналіз значень:

• Якщо $x=12$, то $y=18-2\cdot 12=-6<0$, що не задовольняє умову $y>0$.
• Якщо $x=3$, то $y=18-2\cdot 3=12>0$.

Отже, швидкість пішохода дорівнює $3\text{ км/год}$, а швидкість велосипедиста — $12\text{ км/год}$.

Відповідь: $3\text{ км/год}$ і $12\text{ км/год}$.

14.21. Діагональ прямокутника дорівнює $10\text{ см}$. Якщо одну з його сторін збільшити на $9\text{ см}$, а другу залишити без змін, то діагональ збільшиться на $7\text{ см}$. Знайдіть периметр початкового прямокутника.

Розв’язання:

1) Введення змінних та складання системи:

Нехай сторони початкового прямокутника дорівнюють $x\text{ см}$ та $y\text{ см}$ ($x>0$, $y>0$).

За теоремою Піфагора для початкового прямокутника з діагоналлю $10\text{ см}$:
$x^2+y^2=10^2⟹x^2+y^2=100$

Після збільшення однієї зі сторін на $9\text{ см}$ вона стала дорівнювати $(x+9)\text{ см}$, а нова діагональ дорівнює $10+7=17\text{ см}$.

Для нового прямокутника за теоремою Піфагора:
$(x+9{)}^2+y^2=17^2⟹(x+9{)}^2+y^2=289$

Запишемо систему рівнянь:

2) Розв’язання системи рівнянь:

Віднімемо від другого рівняння перше рівняння:
$((x+9{)}^2+y^2)-(x^2+y^2)=289-100$
$(x+9{)}^2-x^2=189$
$x^2+18x+81-x^2=189$
$18x=108$
$x=6$

Знайдемо $y$, підставивши $x=6$ у перше рівняння:
$6^2+y^2=100$
$36+y^2=100$
$y^2=64$

Оскільки $y>0$, то $y=8$.

3) Обчислення периметра:

Сторони початкового прямокутника дорівнюють $6\text{ см}$ і $8\text{ см}$.

Знайдемо його периметр:
$P=2(x+y)=2(6+8)=2\cdot 14=28\text{ (см)}$

Відповідь: $28\text{ см}$.

14.22. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 13 см. Якщо один з його катетів збільшити на 4 см, а другий залишити без змін, то гіпотенуза нового трикутника дорівнюватиме 15 см. Знайдіть площу початкового трикутника.

Розв’язання:

1) Введення змінних та складання системи:

Нехай катети початкового прямокутного трикутника дорівнюють $x\text{ см}$ та $y\text{ см}$ ($x>0$, $y>0$).
За теоремою Піфагора для початкового трикутника з гіпотенузою $13\text{ см}$:

Якщо один катет збільшити на $4\text{ см}$, він дорівнюватиме $(x+4)\text{ см}$, а нова гіпотенуза становить $15\text{ см}$.
За теоремою Піфагора для нового трикутника:

Складемо систему рівнянь:

2) Розв’язання системи рівнянь:

Віднімемо від другого рівняння системи перше рівняння:

Підставимо $x=5$ у перше рівняння для знаходження $y$:

Оскільки $y>0$, маємо $y=12$.

3) Обчислення площі:

Катети початкового трикутника дорівнюють $5\text{ см}$ і $12\text{ см}$.
Площа прямокутного трикутника обчислюється за формулою $S=\frac{1}{2}xy$:

Відповідь: $30{\text{ см}}^2$.
14.23. Два крани, якщо їх відкрити одночасно, можуть наповнити басейн за $2\text{ год}$. За скільки годин можна наповнити басейн через кожен кран окремо, якщо через один з них третина басейну наповнюється на $1,5\text{ год}$ повільніше, ніж шоста частина басейну через другий?

Розв’язання:

1) Приймемо обсяг усього басейну за $1$ (одиницю).
Нехай $x\text{ год}$ — час, за який може наповнити басейн перший кран, працюючи окремо ($x>0$), а $y\text{ год}$ — час, за який може наповнити басейн другий кран, працюючи окремо ($y>0$).

2) Продуктивність першого крана дорівнює $\frac{1}{x}$ басейну за годину, а другого — $\frac{1}{y}$ басейну за годину.
За умовою задачі, працюючи одночасно, вони наповнюють басейн за $2\text{ год}$, тому:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$

3) Третину басейну ($\frac{1}{3}$) перший кран наповнює за $\frac{1}{3}x\text{ год}$.
Шосту частину басейну ($\frac{1}{6}$) другий кран наповнює за $\frac{1}{6}y\text{ год}$.
За умовою, перший кран витрачає на це на $1,5\text{ год}$ більше, ніж другий:

$\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}y=1,5$

4) Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

Помножимо друге рівняння системи на $6$:

$2x-y=9⟹y=2x-9$

Оскільки $y>0$, має виконуватися умова $2x-9>0⟹x>4,5$.

Підставимо вираз $y=2x-9$ у перше рівняння системи:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x-9}=\frac{1}{2}$

Помножимо обидві частини рівняння на $2x(2x-9)\ne 0$:

$2(2x-9)+2x=x(2x-9)$

$4x-18+2x=2x^2-9x$

$2x^2-15x+18=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння через дискримінант $D$:

$D=(-15{)}^2-4\cdot 2\cdot 18=225-144=81$

$x_1=\frac{15+\sqrt{81}}{2\cdot 2}=\frac{15+9}{4}=\frac{24}{4}=6$

$x_2=\frac{15-9}{4}=\frac{6}{4}=1,5$

5) Проаналізуємо знайдені корені:

• Якщо $x=1,5$, то $y=2\cdot 1,5-9=-6<0$, що не задовольняє умову задачі, оскільки час не може бути від’ємним;

• Якщо $x=6$, то $y=2\cdot 6-9=3$ (задовольняє умову задачі, оскільки $x>0$ і $y>0$).

Отже, перший кран може наповнити басейн за $6\text{ год}$, а другий — за $3\text{ год}$.

Відповідь: $6\text{ год}$ і $3\text{ год}$.

14.24. Батько й син, працюючи разом, виконують певне завдання за $6\text{ днів}$. За скільки днів може виконати це завдання кожен з них, працюючи окремо, якщо сину для виконання $\frac{4}{5}$ завдання треба на $8\text{ днів}$ більше, ніж батькові для виконання $\frac{2}{5}$ завдання?

Розв’язання:

1) Приймемо весь обсяг завдання за $1$.
Нехай батько може виконати це завдання окремо за $x\text{ днів}$ ($x>0$), а син — за $y\text{ днів}$ ($y>0$).

2) Продуктивність праці батька становить $\frac{1}{x}$ завдання за день, а сина — $\frac{1}{y}$ завдання за день.
Працюючи разом, вони виконують завдання за $6\text{ днів}$:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$

3) Сину для виконання $\frac{4}{5}$ завдання потрібно $\frac{4}{5}y\text{ днів}$.
Батькові для виконання $\frac{2}{5}$ завдання потрібно $\frac{2}{5}x\text{ днів}$.
За умовою задачі різниця цього часу становить $8\text{ днів}$:

$\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}x=8$

4) Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

Помножимо друге рівняння системи на $5$:

$4y-2x=40⟹2y-x=20⟹x=2y-20$

Оскільки $x>0$, то $2y-20>0⟹y>10$.

Підставимо вираз $x=2y-20$ у перше рівняння:

$\frac{1}{2y-20}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$

Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник $6y(2y-20)\ne 0$:

$6y+6(2y-20)=y(2y-20)$

$6y+12y-120=2y^2-20y$

$2y^2-38y+120=0$

Поділимо всі коефіцієнти на $2$:

$y^2-19y+60=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння через дискримінант $D$:

$D=(-19{)}^2-4\cdot 1\cdot 60=361-240=121$

$y_1=\frac{19+\sqrt{121}}{2}=\frac{19+11}{2}=15$

$y_2=\frac{19-11}{2}=\frac{8}{2}=4$

5) Проаналізуємо отримані значення:

— якщо $y=4$, то $x=2\cdot 4-20=-12<0$, що суперечить змісту задачі;

— якщо $y=15$, то $x=2\cdot 15-20=10$ ($x>0$ і $y>0$).

Отже, батько може виконати завдання самостійно за $10\text{ днів}$, а син — за $15\text{ днів}$.

Відповідь: $10\text{ днів}$ і $15\text{ днів}$.

14.25. З пунктів $A$ і $B$, відстань між якими $10\text{ км}$, одночасно назустріч один одному вийшли два пішоходи. Через $1\text{ год}$ їм залишилося пройти до зустрічі $1\text{ км}$. Якби один з пішоходів вийшов на $15\text{ хв}$ раніше, то зустріч відбулася б на середині шляху. Знайдіть швидкість кожного пішохода.

Розв’язання:

1) Нехай швидкість першого пішохода дорівнює $x\text{ км/год}$ ($x>0$), а швидкість другого — $y\text{ км/год}$ ($y>0$).

2) За $1\text{ год}$ руху назустріч один одному вони разом пройшли $10-1=9\text{ км}$.
Отримуємо перше рівняння:

$x+y=9$

3) Середина шляху між пунктами $A$ і $B$ становить $10:2=5\text{ км}$.
Час, витрачений першим пішоходом на подолання $5\text{ км}$, дорівнює $\frac{5}{x}\text{ год}$, а другим — $\frac{5}{y}\text{ год}$.
Переведемо $15\text{ хв}$ у години: $15\text{ хв}=\frac{15}{60}\text{ год}=\frac{1}{4}\text{ год}$.
Якщо один із пішоходів вийшов на $\frac{1}{4}\text{ год}$ раніше і зустріч відбулася посередині, то різниця в часі руху пішоходів до середини шляху становить $\frac{1}{4}\text{ год}$.

Припустимо, що раніше вийшов перший пішохід:

$\frac{5}{x}-\frac{5}{y}=\frac{1}{4}$

4) Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння: $y=9-x$.
Підставимо у друге рівняння:

$\frac{5}{x}-\frac{5}{9-x}=\frac{1}{4}$

Зведемо до спільного знаменника за умови $4x(9-x)\ne 0$:

$20(9-x)-20x=x(9-x)$

$180-20x-20x=9x-x^2$

$x^2-49x+180=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння через дискримінант $D$:

$D=(-49{)}^2-4\cdot 1\cdot 180=2401-720=1681=41^2$