14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель текстових і прикладних задач

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 14.1. Нехай $x$ та $y$ — деякі числа, різниця яких дорівнює числу $5$, а добуток — числу $6$. Яка система рівнянь відповідає умові задачі:

1) $\{\begin{array}{l}x+y=5,\\ xy=6;\end{array}$

2) $\{\begin{array}{l}x-y=6,\\ xy=5;\end{array}$

3) $\{\begin{array}{l}x-y=5,\\ xy=6;\end{array}$

4) $\{\begin{array}{l}x+y=6,\\ xy=5?\end{array}$

Розв’язання:
За умовою задачі:
Різниця чисел $x$ та $y$ дорівнює $5$, тобто $x-y=5$.
Добуток чисел $x$ та $y$ дорівнює $6$, тобто $xy=6$.

Складемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}x-y=5,\\ xy=6\end{array}$

Ця система рівнянь відповідає варіанту 3).

Відповідь: 3).

№ 14.2. Сума двох чисел дорівнює $-3$, а добуток дорівнює $-28$. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:
Нехай шукані числа дорівнюють $x$ та $y$.
Складемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}x+y=-3\\ x\cdot y=-28\end{array}$

Виразимо $x$ через $y$ з першого рівняння:
$x=-y-3$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$(-y-3)\cdot y=-28$
$-y^2-3y+28=0$
$y^2+3y-28=0$

За теоремою Вієта:
$y_1=-7$, $y_2=4$

Знайдемо відповідні значення $x$:
Якщо $y=-7$, то:
$x=-(-7)-3=7-3=4$

Якщо $y=4$, то:
$x=-4-3=-7$

Отримуємо розв’язки $(4;-7)$ та $(-7;4)$. Отже, шуканими числами є $-7$ та $4$.

Відповідь: $-7$ та $4$.

№ 14.3. Добуток двох чисел дорівнює $-12$, а сума дорівнює $1$. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:
Нехай шукані числа дорівнюють $x$ та $y$.

Складемо систему рівнянь:

Виразимо $x$ через $y$ з другого рівняння:
$x=1-y$

Підставимо вираз у перше рівняння:
$(1-y)y=-12$
$y-y^2=-12$
$y^2-y-12=0$

За теоремою Вієта:
$y_1=4$, $y_2=-3$

Знайдемо відповідні значення $x$:
Якщо $y_1=4$, то $x_1=1-4=-3$.
Якщо $y_2=-3$, то $x_2=1-(-3)=4$.

Отримуємо пари чисел: $(-3;4)$ та $(4;-3)$.
Отже, шуканими числами є $-3$ та $4$.

Відповідь: $-3$ і $4$.

№ 14.4. Різниця двох чисел дорівнює 3, а різниця квадратів більшого і меншого чисел дорівнює $-21$. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

Нехай $x$ — більше число, а $y$ — менше число ($x>y$).

За умовою задачі:
$x-y=3$
$x^2-y^2=-21$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}x-y=3\\ x^2-y^2=-21\end{array}$

Розкладемо ліву частину другого рівняння на множники:
$\{\begin{array}{l}x-y=3\\ (x-y)(x+y)=-21\end{array}$

Підставимо значення виразу $x-y=3$ у друге рівняння:
$\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3(x+y)=-21\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x-y=3\\ x+y=-7\end{array}$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$2x=-4$
$x=-2$

Підставимо знайдене значення $x=-2$ у перше рівняння системи:
$-2-y=3$
$-y=3+2$
$-y=5$
$y=-5$

Перевірка умови $x>y$: $-2>-5$ — виконується.

Відповідь: -2 і -5.

№ 14.5. Різниця двох натуральних чисел дорівнює 2, а сума їх квадратів дорівнює 52. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

Нехай шукані числа дорівнюють $x$ та $y$, причому $x\in \mathbb{N}$, $y\in \mathbb{N}$ і $x>y$.

Складемо систему рівнянь за умовою задачі:

$\{\begin{array}{l}x-y=2\\ x^2+y^2=52\end{array}$

Виразимо $y$ через $x$ із першого рівняння:

$y=x-2$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:

$x^2+(x-2{)}^2=52$

$x^2+x^2-4x+4-52=0$

$2x^2-4x-48=0$

Поділимо обидві частини рівняння на 2:

$x^2-2x-24=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=6$
$x_2=-4$ — не задовольняє умову, оскільки число має бути натуральним ($x\in \mathbb{N}$).

Знайдемо значення $y$:

$y=6-2=4$

Отже, шуканими числами є 6 і 4.

Відповідь: 6 і 4.

№ 14.6. Периметр земельної ділянки прямокутної форми дорівнює $100\text{ м}$, а її площа — $600{\text{ м}}^2$. Знайдіть сторони земельної ділянки.

Дано:

• $P=100\text{ м}$
• $S=600{\text{ м}}^2$

Знайти:

• довжини сторін ділянки

Розв’язання:
Нехай сторони земельної ділянки дорівнюють $x\text{ м}$ та $y\text{ м}$, де $x>0$ і $y>0$.

Периметр прямокутника визначається формулою $P=2(x+y)$, а його площа — $S=x\cdot y$.

Складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}2(x+y)=100\\ x\cdot y=600\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x+y=50\\ x\cdot y=600\end{array}$

Виразимо $y$ через $x$ із першого рівняння та підставимо в друге:

$\{\begin{array}{l}y=50-x\\ x(50-x)=600\end{array}$

Розв’яжемо друге рівняння системи:
$50x-x^2=600$
$x^2-50x+600=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=20$
$x_2=30$

Знайдемо відповідні значення $y$:
якщо $x=20$, то $y=50-20=30$;
якщо $x=30$, то $y=50-30=20$.

Отже, сторони земельної ділянки дорівнюють $20\text{ м}$ та $30\text{ м}$.

Відповідь: $20\text{ м}$ і $30\text{ м}$.

№ 14.7. Сума двох сусідніх сторін прямокутника дорівнює $18\text{ см}$. Знайдіть ці сторони, якщо площа прямокутника дорівнює $80{\text{ см}}^2$.

Розв’язання:
Нехай довжини сусідніх сторін прямокутника дорівнюють $x\text{ см}$ та $y\text{ см}$ ($x>0$, $y>0$).

Складемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}x+y=18\\ x\cdot y=80\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=18-x\\ x(18-x)=80\end{array}$

Розв’яжемо друге рівняння системи:
$18x-x^2=80$
$x^2-18x+80=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=10$
$x_2=8$

Знайдемо відповідні значення $y$:
Якщо $x=10$, то $y=18-10=8$.
Якщо $x=8$, то $y=18-8=10$.

Отже, сторони прямокутника дорівнюють $8\text{ см}$ та $10\text{ см}$.

Відповідь: $8\text{ см}$ і $10\text{ см}$.

№ 14.8. Сума катетів прямокутного трикутника дорівнює $17\text{ см}$. Знайдіть катети, якщо гіпотенуза трикутника дорівнює $13\text{ см}$.

Розв’язання:

Нехай $x\text{ см}$ і $y\text{ см}$ — катети прямокутного трикутника ($x>0,y>0$).

За умовою задачі сума катетів дорівнює $17\text{ см}$, тобто:
$x+y=17$

За теоремою Піфагора сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи:
$x^2+y^2=13^2$
$x^2+y^2=169$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}x+y=17\\ x^2+y^2=169\end{array}$

Виразимо змінну $y$ з першого рівняння:
$y=17-x$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння системи:
$x^2+(17-x{)}^2=169$
$x^2+289-34x+x^2=169$
$2x^2-34x+120=0$

Поділимо обидві частини рівняння на 2:
$x^2-17x+60=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=5$
$x_2=12$

Знайдемо відповідні значення $y$:
якщо $x=5$, то $y=17-5=12$;
якщо $x=12$, то $y=17-12=5$.

В обох випадках катети трикутника дорівнюють $5\text{ см}$ та $12\text{ см}$.

Відповідь: $5\text{ см}$ і $12\text{ см}$.

№ 14.9. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 24 см. Знайдіть катети цього трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 10 см.

Розв’язання:

Нехай катети прямокутного трикутника дорівнюють $x\text{ см}$ та $y\text{ см}$ ($x>0$, $y>0$).

За умовою задачі периметр трикутника дорівнює $24\text{ см}$, а гіпотенуза — $10\text{ см}$. За теоремою Піфагора та означенням периметра складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}x+y+10=24\\ x^2+y^2=10^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x+y=14\\ x^2+y^2=100\end{array}$

Виразимо $y$ через $x$ у першому рівнянні та підставимо в друге:

$\{\begin{array}{l}y=14-x\\ x^2+(14-x{)}^2=100\end{array}$

Розв’яжемо друге рівняння системи:
$x^2+196-28x+x^2=100$
$2x^2-28x+96=0$
$x^2-14x+48=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=6$
$x_2=8$

Знайдемо відповідні значення $y$:
Якщо $x=6$, то $y=14-6=8$
Якщо $x=8$, то $y=14-8=6$

Отже, катети трикутника дорівнюють 6 см і 8 см.

Відповідь: 6 см і 8 см.

№ 14.10. Сума двох чисел дорівнює 15, а різниця чисел, взаємно обернених з ними, дорівнює $0,1$. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

Нехай шукані числа дорівнюють $x$ та $y$.
Тоді обернені до них числа мають вигляд $\frac{1}{x}$ та $\frac{1}{y}$, де $x\ne 0$, $y\ne 0$.

Складемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}x+y=15,\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{10}\end{array}$

Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:
$y=15-x$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$\frac{1}{x}-\frac{1}{15-x}=\frac{1}{10}$
$\frac{15-x-x}{x(15-x)}=\frac{1}{10}$
$\frac{15-2x}{15x-x^2}=\frac{1}{10}$
$10(15-2x)=15x-x^2$
$150-20x=15x-x^2$
$x^2-35x+150=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=5$
$x_2=30$

Знайдемо відповідні значення $y$:
Якщо $x=5$, то $y=15-5=10$.
Якщо $x=30$, то $y=15-30=-15$.

Відповідь: 5 і 10 або 30 і -15.

№ 14.11. Різниця двох чисел дорівнює 3, а сума обернених до них чисел дорівнює 0,5. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

Нехай одне число дорівнює $x$, а друге — $y$ ($x\ne 0$, $y\ne 0$).

Складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}x-y=3,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0,5\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=x-3,\\ \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=x-3,\\ 2(x+y)=xy\end{array}$

Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння:
$2(x+x-3)=x(x-3)$
$2(2x-3)=x^2-3x$
$4x-6=x^2-3x$
$x^2-7x+6=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=6$
$x_2=1$

Знайдемо відповідні значення $y$:
якщо $x=6$, то $y=6-3=3$;
якщо $x=1$, то $y=1-3=-2$.

Обидві пари чисел задовольняють умову задачі.

Відповідь: 6 і 3 або 1 і -2.

№ 14.12. Видатна українська художниця-живописець Тетяна Нилівна Яблонська народилася в лютому 1917 р. Знайдіть двоцифрове число, яке в 4 рази більше за суму своїх цифр і у 3 рази більше за добуток своїх цифр, відтак дізнаєтеся день її народження.

Розв’язання:
Нехай $x$ — цифра десятків шуканого числа ($x\in \{1,2,\dots ,9\}$), а $y$ — цифра одиниць ($y\in \{0,1,\dots ,9\}$).

Тоді шукане двоцифрове число дорівнює $10x+y$, сума його цифр — $(x+y)$, а добуток цифр — $x\cdot y$.

За умовою задачі складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}10x+y=4(x+y)\\ 10x+y=3xy\end{array}$

$\{\begin{array}{l}10x+y=4x+4y\\ 10x+y=3xy\end{array}$

$\{\begin{array}{l}6x-3y=0\\ 10x+y=3xy\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=2x\\ 10x+2x=3x\cdot 2x\end{array}$

Розв’яжемо друге рівняння системи:
$12x=6x^2$
$6x^2-12x=0$
$6x(x-2)=0$
$x=0$ або $x-2=0$
$x_1=0$ — не задовольняє умову, оскільки перша цифра двоцифрового числа не може дорівнювати нулю
$x_2=2$

Знайдемо $y$:
$y=2\cdot 2=4$

Отже, шукане двоцифрове число: $10\cdot 2+4=24$.

Відповідь: 24.

№ 14.13. Знайдіть двоцифрове число, яке в $1,5$ раза більше за добуток своїх цифр і в 4 рази більше за їх суму, відтак дізнаєтеся, скільки медалей виборола Україна на Всесвітній гімназіаді 2022 року.

Розв’язання:
Нехай $x$ — цифра десятків ($x\in \{1;2;\dots ;9\}$), а $y$ — цифра одиниць ($y\in \{0;1;\dots ;9\}$).
Тоді шукане двоцифрове число дорівнює $10x+y$.

За умовою задачі складемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}10x+y=1,5xy\\ 10x+y=4(x+y)\end{array}$

Спростимо друге рівняння системи:
$10x+y=4x+4y$
$6x-3y=0$
$y=2x$

Підставимо вираз $y=2x$ у перше рівняння:
$10x+2x=1,5x\cdot 2x$
$12x=3x^2$
$3x^2-12x=0$
$3x(x-4)=0$

$x=0$ (не задовольняє умову, оскільки $x\ne 0$) або $x-4=0$
$x=4$

Знайдемо цифру одиниць:
$y=2\cdot 4=8$

Отже, шукане двоцифрове число дорівнює 48, тобто Україна виборола 48 медалей.

Відповідь: 48.

№ 14.14. Кожен із двох принтерів має надрукувати текстовий файл обсягом 120 сторінок. Перший принтер за одну хвилину друкує на 2 сторінки менше, ніж другий, і тому пропрацював на 3 хв довше. Скільки сторінок за хвилину друкує кожен принтер?

Розв’язання:
Нехай перший принтер друкує за одну хвилину $x\text{ сторінок}$, а другий — $y\text{ сторінок}$ ($x>0$, $y>0$).

Час роботи першого принтера становить $\frac{120}{x}\text{ хв}$, а другого — $\frac{120}{y}\text{ хв}$.

За умовою задачі перший принтер друкує за хвилину на 2 сторінки менше, ніж другий, тому:
$y-x=2$

Оскільки перший принтер працював на 3 хв довше за другий, маємо:
$\frac{120}{x}-\frac{120}{y}=3$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}y-x=2\\ \frac{120}{x}-\frac{120}{y}=3\end{array}$

З першого рівняння виразимо $y$:
$y=x+2$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+2}=3$

Поділимо обидві частини рівняння на 3:
$\frac{40}{x}-\frac{40}{x+2}=1$

Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник $x(x+2)\ne 0$:
$40(x+2)-40x=x(x+2)$
$40x+80-40x=x^2+2x$
$x^2+2x-80=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=8$
$x_2=-10$ — не задовольняє умову задачі, оскільки $x>0$.

Отже, перший принтер друкує $8\text{ сторінок}$ за хвилину.

Знайдемо продуктивність другого принтера:
$y=8+2=10\text{ (сторінок за хвилину)}$

Відповідь: 8 сторінок, 10 сторінок.

№ 14.15. Під час зимових канікул Яна та Олег мали розв’язати по 60 задач. Яна щодня розв’язувала на 1 задачу більше, ніж Олег, а тому впоралася із завданням на 2 дні раніше за Олега. Скільки задач щодня розв’язував кожен із друзів?

Розв’язання:

Нехай Яна щодня розв’язувала $x$ задач, а Олег — $y$ задач ($x>0$, $y>0$).

Яна витратила на розв’язування $\frac{60}{x}\text{ днів}$, а Олег — $\frac{60}{y}\text{ днів}$.

За умовою задачі складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}x-y=1\\ \frac{60}{y}-\frac{60}{x}=2\end{array}$

Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:
$y=x-1$

Підставимо у друге рівняння:

$\frac{60}{x-1}-\frac{60}{x}=2$

Поділимо обидві частини рівняння на 2:

$\frac{30}{x-1}-\frac{30}{x}=1$

Помножимо обидві частини на $x(x-1)\ne 0$:
$30x-30(x-1)=x(x-1)$
$30x-30x+30=x^2-x$
$x^2-x-30=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=6$
$x_2=-5$ — не задовольняє умову ($x>0$)

Отже, Яна щодня розв’язувала 6 задач.

Знайдемо, скільки задач щодня розв’язував Олег:
$y=6-1=5$

Відповідь: Яна — 6 задач, Олег — 5 задач.

№ 14.16. Маємо два шматки кабелю різних видів. Маса першого шматка дорівнює $65\text{ кг}$; другий, довжина якого на $3\text{ м}$ більша за перший і маса кожного метра якого на $2\text{ кг}$ більша за масу кожного метра першого шматка, має масу $120\text{ кг}$. Знайдіть довжини цих шматків.

Розв’язання:
Нехай довжина першого шматка кабелю дорівнює $x\text{ м}$ ($x>0$), а другого — $y\text{ м}$ ($y>0$).

Тоді маса одного метра першого шматка становить $\frac{65}{x}\text{ кг}$, а другого — $\frac{120}{y}\text{ кг}$.

За умовою задачі довжина другого шматка на $3\text{ м}$ більша за довжину першого, а маса кожного метра другого шматка на $2\text{ кг}$ більша за масу кожного метра першого. Складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}y-x=3,\\ \frac{120}{y}-\frac{65}{x}=2\end{array}$

З першого рівняння виразимо $y$:
$y=x+3$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:

$\frac{120}{x+3}-\frac{65}{x}=2$

Помножимо обидві частини рівняння на $x(x+3)\ne 0$:

$120x-65(x+3)=2x(x+3)$

$120x-65x-195=2x^2+6x$

$55x-195=2x^2+6x$

$2x^2-49x+195=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння:

$D=(-49{)}^2-4\cdot 2\cdot 195=2401-1560=841=29^2$

$x_1=\frac{49+29}{2\cdot 2}=\frac{78}{4}=19,5$

$x_2=\frac{49-29}{4}=\frac{20}{4}=5$

Обидва значення задовольняють умову $x>0$.

Знайдемо відповідні значення $y$:

1) Якщо $x_1=19,5$, то:
$y_1=19,5+3=22,5$

2) Якщо $x_2=5$, то:
$y_2=5+3=8$

Отже, довжини шматків кабелю дорівнюють $19,5\text{ м}$ і $22,5\text{ м}$ або $5\text{ м}$ і $8\text{ м}$.

Відповідь: $19,5\text{ м}$ і $22,5\text{ м}$ або $5\text{ м}$ і $8\text{ м}$.

№ 14.17. У кінотеатрі було 320 місць, розташованих однаковими рядами. Після того як кількість місць у кожному ряду збільшили на 4 і додали ще один ряд, місць стало 420. Скільки стало рядів у кінотеатрі, якщо їх було більше, ніж 15?

Розв’язання:
Нехай спочатку в кінотеатрі було $x$ рядів і в кожному ряду було $y$ місць ($x>15,y>0$).
Тоді після змін стало $(x+1)$ рядів і по $(y+4)$ місць у кожному ряду.

Складемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}xy=320,\\ (x+1)(y+4)=420\end{array}$

Розкриємо дужки в другому рівнянні:
$xy+4x+y+4=420$

Підставимо значення $xy=320$:
$320+4x+y+4=420$
$4x+y+324=420$
$4x+y=96$
$y=96-4x$

Підставимо вираз для $y$ у перше рівняння системи:
$x(96-4x)=320$
$96x-4x^2=320$
$4x^2-96x+320=0$

Поділимо обидві частини рівняння на 4:
$x^2-24x+80=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=4$ — не задовольняє умову, оскільки $x>15$
$x_2=20$

Отже, спочатку в кінотеатрі було 20 рядів.

Знайдемо, скільки рядів стало:
$x+1=20+1=21\text{ (ряд)}$

Відповідь: 21 ряд.

№ 14.18. Два автомобілі виїхали одночасно з міст $A$ і $B$ назустріч один одному і зустрілися через годину. Після цього вони, не зупиняючись, продовжили рухатися з тією самою швидкістю. Один з них прибув у місто $B$ на $35$ хв пізніше, ніж другий у місто $A$. Знайдіть швидкість кожного з автомобілів, якщо відстань між містами $140$ км.

Розв’язання:

Нехай швидкість першого автомобіля дорівнює $x\text{ км/год}$, а другого — $y\text{ км/год}$ ($x>0$, $y>0$).

Оскільки автомобілі рухалися назустріч один одному і зустрілися через $1\text{ год}$, подолавши разом усю відстань $140\text{ км}$, маємо:
$(x+y)\cdot 1=140$, тобто $x+y=140$.

Весь шлях між містами становить $140\text{ км}$. Перший автомобіль подолав його за $\frac{140}{x}\text{ год}$, а другий — за $\frac{140}{y}\text{ год}$.

Переведемо $35\text{ хв}$ у години:
$35\text{ хв}=\frac{35}{60}\text{ год}=\frac{7}{12}\text{ год}$.

За умовою перший автомобіль витратив на дорогу на $\frac{7}{12}\text{ год}$ більше, ніж другий. Складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}x+y=140,\\ \frac{140}{x}-\frac{140}{y}=\frac{7}{12}\end{array}$

Виразимо $x$ з першого рівняння:
$x=140-y$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$\frac{140}{140-y}-\frac{140}{y}=\frac{7}{12}$

Поділимо обидві частини рівняння на $7$:
$\frac{20}{140-y}-\frac{20}{y}=\frac{1}{12}$

Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник $12y(140-y)\ne 0$:
$20\cdot 12y-20\cdot 12(140-y)=y(140-y)$
$240y-240(140-y)=140y-y^2$
$240y-33600+240y=140y-y^2$
$480y-33600=140y-y^2$
$y^2+340y-33600=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння:
$D_1=170^2-1\cdot (-33600)=28900+33600=62500=250^2$
$y_1=-170+250=80$
$y_2=-170-250=-420$ — не задовольняє умову задачі, оскільки $y>0$

Отже, швидкість другого автомобіля становить $80\text{ км/год}$.

Знайдемо швидкість першого автомобіля:
$x=140-80=60\text{ (км/год)}$

Відповідь: $60\text{ км/год}$, $80\text{ км/год}$.

№ 14.19. Двоє велосипедистів виїхали назустріч одне одному з Києва і Боярки, перебуваючи на відстані 30 км. Через годину вони зустрілися і, не зупиняючись, продовжили рух з тією самою швидкістю. Велосипедист прибув у Боярку на 50 хв пізніше, ніж велосипедистка у Київ. Знайдіть швидкість кожного з велосипедистів.

Розв’язання:

Нехай швидкість велосипедиста дорівнює $x\text{ км/год}$, а швидкість велосипедистки — $y\text{ км/год}$ ($x>0$, $y>0$).

Оскільки до зустрічі вони рухалися 1 год і подолали разом усю відстань $30\text{ км}$, маємо:
$x+y=30$

Весь шлях між містами становить $30\text{ км}$. Велосипедист витратив на нього $\frac{30}{x}\text{ год}$, а велосипедистка — $\frac{30}{y}\text{ год}$.

Переведемо $50\text{ хв}$ у години:
$50\text{ хв}=\frac{50}{60}\text{ год}=\frac{5}{6}\text{ год}$

За умовою велосипедист прибув на $\frac{5}{6}\text{ год}$ пізніше. Складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}x+y=30\\ \frac{30}{x}-\frac{30}{y}=\frac{5}{6}\end{array}$

Виразимо $y$ з першого рівняння:
$y=30-x$

Підставимо у друге рівняння:

$\frac{30}{x}-\frac{30}{30-x}=\frac{5}{6}$

Поділимо обидві частини рівняння на $5$:

$\frac{6}{x}-\frac{6}{30-x}=\frac{1}{6}$

Помножимо обидві частини рівняння на $6x(30-x)\ne 0$:

$36(30-x)-36x=x(30-x)$

$1080-36x-36x=30x-x^2$

$1080-72x=30x-x^2$

$x^2-102x+1080=0$

Знайдемо дискримінант:
$D=(-102{)}^2-4\cdot 1\cdot 1080$
$D=10404-4320=6084=78^2$

Знайдемо корені рівняння:
$x_1=\frac{102-78}{2}=\frac{24}{2}=12$
$x_2=\frac{102+78}{2}=\frac{180}{2}=90$

Значення $x=90$ не задовольняє умову задачі, оскільки $x<30$ (швидкість велосипедиста не може перевищувати спільну швидкість зближення).

Отже, швидкість велосипедиста дорівнює $12\text{ км/год}$.

Знайдемо швидкість велосипедистки:
$y=30-12=18\text{ (км/год)}$

Відповідь: $12\text{ км/год}$; $18\text{ км/год}$.

№ 14.20. Із села Яблунівка в село Грушівка, відстань між якими $9\text{ км}$, вийшов пішохід. Через $30\text{ хв}$ із села Грушівка йому назустріч виїхав велосипедист, який зустрівся з пішоходом через $30\text{ хв}$ після свого виїзду. Знайдіть швидкість пішохода і швидкість велосипедиста, якщо пішохід долає відстань між селами на $2\text{ год }15\text{ хв}$ повільніше, ніж велосипедист.

Розв’язання:

Нехай швидкість пішохода дорівнює $x\text{ км/год}$, а швидкість велосипедиста — $y\text{ км/год}$ ($x>0,y>0$).

Час руху пішохода до зустрічі:
$30\text{ хв}+30\text{ хв}=60\text{ хв}=1\text{ год}$

Час руху велосипедиста до зустрічі:
$30\text{ хв}=0,5\text{ год}$

Різниця в часі подолання всієї відстані:
$2\text{ год }15\text{ хв}=2\frac{15}{60}\text{ год}=2,25\text{ год}$

Складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}\frac{9}{x}-\frac{9}{y}=2,25\\ 1\cdot x+0,5y=9\end{array}$

Виразимо $x$ з другого рівняння:
$x=9-0,5y$

Підставимо вираз для $x$ у перше рівняння:
$\frac{9}{9-0,5y}-\frac{9}{y}=2,25$

Поділимо обидві частини рівняння на $2,25$:
$\frac{4}{9-0,5y}-\frac{4}{y}=1$

$\frac{4y-4(9-0,5y)}{y(9-0,5y)}=1$

$4y-36+2y=9y-0,5y^2$

$6y-36=9y-0,5y^2$

$0,5y^2-3y-36=0$

Помножимо обидві частини на $2$:
$y^2-6y-72=0$

За теоремою Вієта:
$y_1=12$
$y_2=-6$ — не задовольняє умову ($y>0$)

Отже, швидкість велосипедиста дорівнює $12\text{ км/год}$.

Знайдемо швидкість пішохода:
$x=9-0,5\cdot 12$
$x=9-6$
$x=3\text{ (км/год)}$

Відповідь: $3\text{ км/год; }12\text{ км/год.}$

№ 14.21. Діагональ прямокутника дорівнює 10 см. Якщо одну з його сторін збільшити на 9 см, а другу залишити без змін, то діагональ збільшиться на 7 см. Знайдіть периметр початкового прямокутника.

Розв’язання:
Нехай довжини сторін початкового прямокутника дорівнюють $x\text{ см}$ та $y\text{ см}$ ($x>0$, $y>0$).

За теоремою Піфагора для початкового прямокутника:
$x^2+y^2=10^2$
$x^2+y^2=100$

Після збільшення однієї зі сторін на $9\text{ см}$ її довжина становить $(x+9)\text{ см}$, а нова діагональ дорівнює:
$10+7=17\text{ (см)}$

За теоремою Піфагора для нового прямокутника:
$(x+9{)}^2+y^2=17^2$
$(x+9{)}^2+y^2=289$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=100\\ (x+9{)}^2+y^2=289\end{array}$

Розкриємо дужки в другому рівнянні:
$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=100\\ x^2+18x+81+y^2=289\end{array}$

Підставимо $x^2+y^2=100$ у друге рівняння:
$100+18x+81=289$
$18x+181=289$
$18x=108$
$x=6$

Підставимо значення $x=6$ у перше рівняння:
$6^2+y^2=100$
$36+y^2=100$
$y^2=64$
$y_1=8$
$y_2=-8$ — не задовольняє умову задачі, оскільки $y>0$

Отже, сторони початкового прямокутника дорівнюють $6\text{ см}$ і $8\text{ см}$.

Знайдемо периметр початкового прямокутника:
$P=2(x+y)$
$P=2(6+8)=2\cdot 14=28\text{ (см)}$

Відповідь: 28 см.

№ 14.22. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює $13\text{ см}$. Якщо один з його катетів збільшити на $4\text{ см}$, а другий залишити без змін, то гіпотенуза нового трикутника дорівнюватиме $15\text{ см}$. Знайдіть площу початкового трикутника.

Розв’язання:
Нехай довжини катетів початкового прямокутного трикутника дорівнюють $x\text{ см}$ та $y\text{ см}$ ($x>0$, $y>0$).

За теоремою Піфагора для початкового трикутника:
$x^2+y^2=13^2$

Після збільшення одного з катетів на $4\text{ см}$ його довжина становить $(x+4)\text{ см}$, а гіпотенуза дорівнює $15\text{ см}$:
$(x+4{)}^2+y^2=15^2$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=169\\ (x+4{)}^2+y^2=225\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=169\\ x^2+8x+16+y^2=225\end{array}$

Підставимо $x^2+y^2=169$ у друге рівняння:
$169+8x+16=225$
$8x+185=225$
$8x=40$
$x=5$

Підставимо значення $x=5$ у перше рівняння:
$5^2+y^2=169$
$25+y^2=169$
$y^2=144$
$y=12$ або $y=-12$

Оскільки $y>0$, значення $y=-12$ не задовольняє умову задачі, отже, $y=12$.

Довжини катетів початкового трикутника дорівнюють $5\text{ см}$ та $12\text{ см}$.

Знайдемо площу початкового прямокутного трикутника:
$S=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30{\text{ (см}}^2\text{)}$

Відповідь: $30{\text{ см}}^2$.

№ 14.23. Два крани, якщо їх відкрити одночасно, можуть наповнити басейн за 2 год. За скільки годин можна наповнити басейн через кожен кран окремо, якщо через один з них третина басейну наповнюється на 1,5 год повільніше, ніж шоста частина басейну через другий?

Розв’язання:

Нехай один кран може наповнити басейн за $x\text{ год}$, а другий — за $y\text{ год}$ ($x>0$, $y>0$).

За $1\text{ год}$ перший кран наповнює $\frac{1}{x}$ частину басейну, а другий — $\frac{1}{y}$ частину. Працюючи разом, за $1\text{ год}$ вони наповнюють $\frac{1}{2}$ частину басейну.

Час наповнення третини басейну першим краном становить $\frac{x}{3}\text{ год}$, а шостої частини другим — $\frac{y}{6}\text{ год}$.

Складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\\ \frac{x}{3}-\frac{y}{6}=1,5\end{array}$

Помножимо друге рівняння системи на 6:
$2x-y=9$
$y=2x-9$

Оскільки $y>0$, то $2x-9>0$, звідки $x>4,5$.

Підставимо вираз для $y$ у перше рівняння:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x-9}=\frac{1}{2}$

Помножимо обидві частини рівняння на $2x(2x-9)\ne 0$:
$2(2x-9)+2x=x(2x-9)$
$4x-18+2x=2x^2-9x$
$6x-18=2x^2-9x$
$2x^2-15x+18=0$

Знайдемо дискримінант і корені квадратного рівняння:
$D=(-15{)}^2-4\cdot 2\cdot 18$
$D=225-144=81$
$x_1=\frac{15+\sqrt{81}}{2\cdot 2}=\frac{15+9}{4}=6$
$x_2=\frac{15-\sqrt{81}}{2\cdot 2}=\frac{15-9}{4}=1,5$

Корінь $x_2=1,5$ не задовольняє умову $x>4,5$ (при ньому $y=2\cdot 1,5-9=-6<0$).

Якщо $x=6$, то:
$y=2\cdot 6-9$
$y=3$

Отже, один кран може наповнити басейн за $6\text{ год}$, а другий — за $3\text{ год}$.

Відповідь: 3 год і 6 год.

№ 14.24. Батько й син, працюючи разом, виконують певне завдання за 6 днів. За скільки днів може виконати це завдання кожен з них, працюючи окремо, якщо сину для виконання $\frac{4}{5}$ завдання треба на 8 днів більше, ніж батькові для виконання $\frac{2}{5}$ завдання?

Розв’язання:

Нехай батько, працюючи окремо, може виконати завдання за $x\text{ днів}$, а син — за $y\text{ днів}$ ($x>0$, $y>0$).

Тоді за 1 день батько виконує $\frac{1}{x}$ частину завдання, а син — $\frac{1}{y}$ частину завдання.
Працюючи разом, за 1 день вони виконують $\frac{1}{6}$ частину завдання.
Час, потрібний сину для виконання $\frac{4}{5}$ завдання, становить $\frac{4}{5}y\text{ днів}$, а батькові для виконання $\frac{2}{5}$ завдання — $\frac{2}{5}x\text{ днів}$.

Складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\\ \frac{4}{5}y-\frac{2}{5}x=8\end{array}$

Спростимо друге рівняння системи:
$\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}x=8$
$4y-2x=40$
$2y-x=20$
$x=2y-20$

Підставимо вираз для $x$ у перше рівняння:
$\frac{1}{2y-20}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$

Помножимо обидві частини рівняння на $6y(2y-20)\ne 0$:
$6y+6(2y-20)=y(2y-20)$
$6y+12y-120=2y^2-20y$
$18y-120=2y^2-20y$
$2y^2-38y+120=0$
$y^2-19y+60=0$

За теоремою Вієта:
$y_1=15$
$y_2=4$

Знайдемо відповідні значення $x$:
Якщо $y=15$, то:
$x=2\cdot 15-20=10$

Якщо $y=4$, то:
$x=2\cdot 4-20=-12<0$ — не задовольняє умову задачі.

Отже, батько може виконати завдання за 10 днів, а син — за 15 днів.

Відповідь: батько — за 10 днів, син — за 15 днів.

№ 14.25. З пунктів $A$ і $B$, відстань між якими $10$ км, одночасно назустріч один одному вийшли два пішоходи. Через $1$ год їм залишилося пройти до зустрічі $1$ км. Якби один з пішоходів вийшов на $15$ хв раніше, то зустріч відбулася б на середині шляху. Знайдіть швидкість кожного пішохода.

Розв’язання:
Нехай $x\text{ км/год}$ — швидкість одного пішохода, $y\text{ км/год}$ — швидкість другого пішохода ($x>0$, $y>0$).

За $1\text{ год}$ пішоходи разом пройшли:
$10-1=9\text{ (км)}$

Тоді:
$x+y=9$

Половина всієї відстані дорівнює:
$10:2=5\text{ (км)}$

Час руху першого пішохода до середини шляху становить $\frac{5}{x}\text{ год}$, а другого — $\frac{5}{y}\text{ год}$.

Оскільки один із пішоходів вийшов раніше на $15\text{ хв}=\frac{15}{60}\text{ год}=\frac{1}{4}\text{ год}$, то різниця часу становить $\frac{1}{4}\text{ год}$.

Складемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}x+y=9\\ \frac{5}{x}-\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\end{array}$

Виразимо $y$ з першого рівняння:
$y=9-x$

Підставимо вираз у друге рівняння:
$\frac{5}{x}-\frac{5}{9-x}=\frac{1}{4}$

Помножимо обидві частини рівняння на $4x(9-x)\ne 0$:
$20(9-x)-20x=x(9-x)$
$180-20x-20x=9x-x^2$
$180-40x=9x-x^2$
$x^2-49x+180=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=4$
$x_2=45$

Знайдемо відповідні значення $y$:
якщо $x=4$, то $y=9-4=5$
якщо $x=45$, то $y=9-45=-36$ (не задовольняє умову $y>0$)

У випадку, коли раніше вийшов інший пішохід ($\frac{5}{y}-\frac{5}{x}=\frac{1}{4}$), дістанемо аналогічні значення швидкостей: $5\text{ км/год}$ та $4\text{ км/год}$.

Відповідь: $4\text{ км/год}$; $5\text{ км/год}$.

№ 14.26. Із двох міст, відстань між якими $72\text{ км}$, назустріч одна одній вирушили дві велосипедистки і зустрілися на середині шляху, причому одна з них виїхала на $1\text{ год}$ раніше за другу. Якби велосипедистки виїхали одночасно, то вони зустрілися б через $2\text{ год }24\text{ хв}$. Знайдіть швидкості велосипедисток.

Розв’язання:
Нехай швидкість першої велосипедистки дорівнює $x\text{ км/год}$, а другої — $y\text{ км/год}$ ($x>0$, $y>0$).

Оскільки вони зустрілися на середині шляху, кожна проїхала:

$\frac{72}{2}=36\text{ (км)}$

Перша велосипедистка виїхала на $1\text{ год}$ раніше, тому вона витратила на $1\text{ год}$ більше часу:

$\frac{36}{x}-\frac{36}{y}=1$

Переведемо час у години:

$2\text{ год }24\text{ хв}=2\frac{24}{60}\text{ год}=2\frac{2}{5}\text{ год}=2,4\text{ год}$

За умови одночасного виїзду вони зустрілися б через $2,4\text{ год}$, подолавши разом усю відстань:

$2,4(x+y)=72$

Складемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}2,4(x+y)=72,\\ \frac{36}{x}-\frac{36}{y}=1\end{array}$

З першого рівняння:
$x+y=\frac{72}{2,4}$
$x+y=30$
$y=30-x$

Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння:

$\frac{36}{x}-\frac{36}{30-x}=1$

Помножимо обидві частини рівняння на $x(30-x)\ne 0$:
$36(30-x)-36x=x(30-x)$
$1080-36x-36x=30x-x^2$
$1080-72x=30x-x^2$
$x^2-102x+1080=0$

Знайдемо дискримінант:
$D=(-102{)}^2-4\cdot 1\cdot 1080=10404-4320=6084=78^2$

Корені рівняння:
$x_1=\frac{102-78}{2}=\frac{24}{2}=12$
$x_2=\frac{102+78}{2}=\frac{180}{2}=90$

Знайдемо відповідні значення $y$:
Якщо $x=12$, то $y=30-12=18$.
Якщо $x=90$, то $y=30-90=-60$ (не задовольняє умову задачі, оскільки швидкість має бути додатною).

Отже, швидкість однієї велосипедистки становить $12\text{ км/год}$, а другої — $18\text{ км/год}$.

Відповідь: $12\text{ км/год}$, $18\text{ км/год}$.

№ 14.27. Моторний човен проплив 33 км за течією річки і повернув назад за 3 год 20 хв. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії річки, якщо відомо, що 11 км за течією і 6 км проти течії він долає за 50 хв.

Розв’язання:

Нехай власна швидкість човна дорівнює $x\text{ км/год}$, а швидкість течії річки — $y\text{ км/год}$ ($x>y>0$).
Тоді швидкість човна за течією річки становить $(x+y)\text{ км/год}$, а проти течії річки — $(x-y)\text{ км/год}$.

Переведемо час у години:
$3\text{ год }20\text{ хв}=3\frac{20}{60}\text{ год}=3\frac{1}{3}\text{ год}=\frac{10}{3}\text{ год}$
$50\text{ хв}=\frac{50}{60}\text{ год}=\frac{5}{6}\text{ год}$

За умовою задачі складемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}\frac{33}{x+y}+\frac{33}{x-y}=\frac{10}{3}\\ \frac{11}{x+y}+\frac{6}{x-y}=\frac{5}{6}\end{array}$

Зробимо заміну змінних: нехай $\frac{1}{x+y}=u$, а $\frac{1}{x-y}=v$ ($u>0,v>0$).
Отримаємо систему:
$\{\begin{array}{l}33u+33v=\frac{10}{3}\\ 11u+6v=\frac{5}{6}\end{array}$

Помножимо обидві частини другого рівняння на $-3$:
$\{\begin{array}{l}33u+33v=\frac{10}{3}\\ -33u-18v=-\frac{5}{2}\end{array}$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$15v=\frac{10}{3}-\frac{5}{2}$
$15v=\frac{20-15}{6}$
$15v=\frac{5}{6}$
$v=\frac{5}{6\cdot 15}$
$v=\frac{1}{18}$

Підставимо значення $v=\frac{1}{18}$ у друге рівняння системи:
$11u+6\cdot \frac{1}{18}=\frac{5}{6}$
$11u+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$
$11u=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$
$11u=\frac{5-2}{6}$
$11u=\frac{3}{6}$
$11u=\frac{1}{2}$
$u=\frac{1}{22}$

Повернемося до початкових змінних $x$ та $y$:
$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+y}=\frac{1}{22}\\ \frac{1}{x-y}=\frac{1}{18}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x+y=22\\ x-y=18\end{array}$

Додамо почленно рівняння системи:
$2x=40$
$x=20$

Віднімемо від першого рівняння друге:
$2y=4$
$y=2$

Отже, власна швидкість човна дорівнює $20\text{ км/год}$, а швидкість течії річки — $2\text{ км/год}$.

Відповідь: $20\text{ км/год}$, $2\text{ км/год}$.

№ 14.28. Із двох пунктів $A$ і $B$, відстань між якими $18$ км, одночасно виїхали назустріч одне одному велосипедист і велосипедистка. Велосипедист, що виїхав з пункту $A$, прибув до пункту $B$ через $24$ хв після зустрічі, а велосипедистка прибула до пункту $A$ через $54$ хв після зустрічі. Знайдіть швидкості велосипедистів.

Розв’язання:

Нехай швидкість велосипедиста, який виїхав із пункту $A$, дорівнює $x\text{ км/год}$, а швидкість велосипедистки, яка виїхала з пункту $B$, — $y\text{ км/год}$ ($x>0$, $y>0$).

До зустрічі велосипедист подолав шлях від пункту $A$ до місця зустрічі, який велосипедистка проїхала після зустрічі за $54\text{ хв}=\frac{54}{60}\text{ год}=\frac{9}{10}\text{ год}$, тобто $\frac{9}{10}y\text{ км}$.

Велосипедистка до зустрічі подолала шлях від пункту $B$ до місця зустрічі, який велосипедист проїхав після зустрічі за $24\text{ хв}=\frac{24}{60}\text{ год}=\frac{2}{5}\text{ год}$, тобто $\frac{2}{5}x\text{ км}$.

Загальна відстань між пунктами $A$ і $B$ дорівнює $18\text{ км}$:
$\frac{2}{5}x+\frac{9}{10}y=18$

Час руху до зустрічі був однаковим:
$t=\frac{\frac{9}{10}y}{x}=\frac{9y}{10x}$
$t=\frac{\frac{2}{5}x}{y}=\frac{2x}{5y}$

Складемо систему рівнянь:
$\{\begin{array}{l}\frac{2}{5}x+\frac{9}{10}y=18\\ \frac{9y}{10x}=\frac{2x}{5y}\end{array}$

Перетворимо друге рівняння системи:
$\frac{9y}{10x}=\frac{2x}{5y}$
$4x^2=9y^2$
Оскільки $x>0$ та $y>0$:
$2x=3y$
$x=1,5y$

Помножимо обидві частини першого рівняння на 10:
$4x+9y=180$

Підставимо $x=1,5y$ у перше рівняння:
$4\cdot 1,5y+9y=180$
$6y+9y=180$
$15y=180$
$y=12$

Знайдемо $x$:
$x=1,5\cdot 12$
$x=18$

Отже, швидкість велосипедиста становить $18\text{ км/год}$, а швидкість велосипедистки — $12\text{ км/год}$.

Відповідь: $18\text{ км/год}$, $12\text{ км/год}$.

№ 14.29. Розв’яжіть нерівність:
1) $x^2+5x\ge 0$;
2) $x^2-2x-15<0$.

Розв’язання:

1) $x^2+5x\ge 0$
Знайдемо нулі функції $y=x^2+5x$:
$x^2+5x=0$
$x(x+5)=0$
$x=0$ або $x+5=0$
$x_1=-5$
$x_2=0$

Вітки параболи $y=x^2+5x$ напрямлені вгору ($a=1>0$).

$x\in (-\infty ;-5]\cup [0;+\infty )$

2) $x^2-2x-15<0$
Знайдемо нулі функції $y=x^2-2x-15$:
$x^2-2x-15=0$
За теоремою Вієта:
$x_1+x_2=2$
$x_1\cdot x_2=-15$
$x_1=-3$
$x_2=5$

Вітки параболи $y=x^2-2x-15$ напрямлені вгору ($a=1>0$).