13. Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними

Поясніть на прикладах, що називають степенем рівняння з двома змінними.

Степенем рівняння з двома змінними називають степінь многочлена стандартного вигляду, якому дорівнює ліва частина рівняння за умови, що права частина дорівнює нулю. Щоб визначити степінь рівняння, його замінюють рівносильним рівнянням вигляду $P (x; y) = 0$ .

Приклади:

1) Рівняння $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 1 = 0$ є рівнянням другого степеня, оскільки ліва частина є многочленом другого степеня.

2) Рівняння $(x^{2} + y)^{2} = x^{4} + 3 y^{2} + 7$ розкриттям дужок $x^{4} + 2 x^{2} y + y^{2} = x^{4} + 3 y^{2} + 7$ зводиться до рівносильного рівняння $2 x^{2} y - 2 y^{2} - 7 = 0$ . Найбільший степінь доданка $2 x^{2} y$ дорівнює $2 + 1 = 3$ , тому початкове рівняння є рівнянням третього степеня.

Як розв’язати систему рівнянь із двома змінними графічно?

Щоб розв’язати систему рівнянь із двома змінними графічно, виконайте таку послідовність кроків:

1) Побудувати графіки рівнянь системи в одній координатній площині.

2) Знайти координати точок їхнього перетину або впевнитися, що графіки рівнянь спільних точок не мають.

3) Якщо координати точок перетину є цілими числами, виконати перевірку; якщо ні, то розв’язки системи знайти наближено.

4) Записати відповідь.

Як розв’язати систему рівнянь із двома змінними способом підстановки?

Щоб розв’язати систему рівнянь із двома змінними способом підстановки, виконайте таку послідовність кроків:

1) Виразити в одному з рівнянь (зазвичай у рівнянні першого степеня) одну змінну через іншу.

2) Підставити отриманий вираз у друге рівняння системи замість відповідної змінної.

3) Розв’язати отримане рівняння з однією змінною.

4) Знайти відповідні значення другої змінної.

5) Записати відповідь.

Як розв’язати систему рівнянь із двома змінними способом додавання?

Щоб розв’язати систему рівнянь із двома змінними способом додавання, виконайте таку послідовність кроків:

1) Помножити (за потреби) обидва або одне з рівнянь системи на такі числа, щоб коефіцієнти при одній зі змінних або при однаковому виразі стали протилежними числами.

2) Почленно додати рівняння системи, отримавши рівняння з однією змінною.

3) Розв’язати отримане рівняння з однією змінною.

4) Знайти відповідні значення другої змінної, підставивши знайдене значення у будь-яке початкове рівняння системи.

5) Записати відповідь.

№ 13.1. Чи є пара чисел $x = 2$ , $y = 1$ розв’язком системи рівнянь:

\begin{cases}
x^2 + y^2 = 5 \
x - y = 1
\end{cases}

**Розв'язання:** Підставимо значення $x = 2$ та $y = 1$ у кожне рівняння системи: Перше рівняння: $2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$ — правильна числова рівність. Друге рівняння: $2 - 1 = 1$ — правильна числова рівність. Оскільки пара чисел $(2; 1)$ перетворює кожне рівняння системи на правильну числову рівність, вона є розв'язком цієї системи. **Відповідь:** так. 2) $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x + y = 4 \end{cases}

Розв’язання:

Підставимо значення $x = 2$ та $y = 1$ у кожне рівняння системи:

Перше рівняння: $2^{2} - 1^{2} = 4 - 1 = 3$ — правильна числова рівність.

Друге рівняння: $2 + 1 = 3 \neq = 4$ — неправильна числова рівність.

Оскільки пара чисел $(2; 1)$ не перетворює друге рівняння системи на правильну числову рівність, вона не є розв’язком цієї системи.

Відповідь: ні.
13.2. Чи є розв’язком системи

{2 x^{2} + y = - 1 x + y = - 2

пара чисел: 1) $(1; - 3)$ ; 2) $(0; - 1)$ ?

Розв’язання:

1) Перевіримо пару чисел $(1; - 3)$ , тобто $x = 1$ , $y = - 3$ :

Підставимо значення у перше рівняння:
$2 \cdot 1^{2} + (- 3) = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = - 1$
Перше рівняння перетворюється на правильну числову рівність $- 1 = - 1$ .

Підставимо значення у друге рівняння:
$1 + (- 3) = 1 - 3 = - 2$
Друге рівняння перетворюється на правильну числову рівність $- 2 = - 2$ .

Оскільки пара чисел $(1; - 3)$ перетворює кожне з рівнянь системи на правильну числову рівність, вона є розв’язком системи.

2) Перевіримо пару чисел $(0; - 1)$ , тобто $x = 0$ , $y = - 1$ :

Підставимо значення у перше рівняння:
$2 \cdot 0^{2} + (- 1) = 0 - 1 = - 1$
Перше рівняння перетворюється на правильну числову рівність $- 1 = - 1$ .

Підставимо значення у друге рівняння:
$0 + (- 1) = - 1 \neq = - 2$
Друге рівняння не перетворюється на правильну числову рівність.

Оскільки пара чисел $(0; - 1)$ не задовольняє друге рівняння системи, вона не є розв’язком системи.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

13.3. Побудуйте графік функції $y = x^{2} - 4$ . За допомогою графіка розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${y = x^{2} - 4 y = x + 2$

2) ${y = x^{2} - 4 y = 3 x$

3) ${y = x^{2} - 4 y = x - 6$

Розв’язання:

Графіком функції $y = x^{2} - 4$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору, з вершиною у точці $(0; - 4)$ .

Складемо таблицю значень для побудови параболи $y = x^{2} - 4$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

1) Побудуємо пряму $y = x + 2$ за двома точками:

$x$	$- 2$	$3$
$y$	$0$	$5$

Знайдемо точки перетину параболи $y = x^{2} - 4$ та прямої $y = x + 2$ на координатній площині:
Графіки перетинаються у двох точках $A (- 2; 0)$ та $B (3; 5)$ .

Перевірка:

Для $(- 2; 0)$ : $0 = (- 2)^{2} - 4 = 0$ та $0 = - 2 + 2 = 0$ (істинно).
Для $(3; 5)$ : $5 = 3^{2} - 4 = 5$ та $5 = 3 + 2 = 5$ (істинно).

Відповідь: $(- 2; 0)$ , $(3; 5)$ .

2) Побудуємо пряму $y = 3 x$ за двома точками:

$x$	$- 1$	$4$
$y$	$- 3$	$12$

Знайдемо точки перетину параболи $y = x^{2} - 4$ та прямої $y = 3 x$ на координатній площині:
Графіки перетинаються у двох точках $C (- 1; - 3)$ та $D (4; 12)$ .

Перевірка:

Для $(- 1; - 3)$ : $- 3 = (- 1)^{2} - 4 = - 3$ та $- 3 = 3 \cdot (- 1) = - 3$ (істинно).
Для $(4; 12)$ : $12 = 4^{2} - 4 = 12$ та $12 = 3 \cdot 4 = 12$ (істинно).

Відповідь: $(- 1; - 3)$ , $(4; 12)$ .

3) Побудуємо пряму $y = x - 6$ за двома точками:

$x$	$0$	$4$
$y$	$- 6$	$- 2$

Парабола $y = x^{2} - 4$ та пряма $y = x - 6$ не мають спільних точок (пряма проходить нижче параболи).
Отже, система рівнянь не має розв’язків.

Відповідь: розв’язків немає.

13.4. Побудуйте графік функції $y = - x^{2} + 1$ . За допомогою графіка розв’яжіть систему рівнянь:

\begin{cases}
y = -x^2 + 1 \
y = x + 1
\end{cases}

2) $$ \begin{cases} y = -x^2 + 1 \\ y = x + 2 \end{cases}

Розв’язання:

Графіком функції $y = - x^{2} + 1$ є парабола, вітки якої напрямлені вниз, з вершиною у точці $(0; 1)$ .

Складемо таблицю значень для побудови параболи $y = - x^{2} + 1$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 8$	$- 3$	$0$	$1$	$0$	$- 3$	$- 8$

1) Побудуємо пряму $y = x + 1$ за двома точками:

$x$	$- 1$	$0$
$y$	$0$	$1$

Знайдемо точки перетину параболи $y = - x^{2} + 1$ та прямої $y = x + 1$ на координатній площині:
Графіки перетинаються у двох точках: $A (- 1; 0)$ та $B (0; 1)$ .

Перевірка:

для точки $(- 1; 0)$ : $0 = - (- 1)^{2} + 1$ та $0 = - 1 + 1$ (істинно);
для точки $(0; 1)$ : $1 = - 0^{2} + 1$ та $1 = 0 + 1$ (істинно).

Відповідь: $(- 1; 0)$ , $(0; 1)$ .

2) Побудуємо пряму $y = x + 2$ за двома точками:

$x$	$- 2$	$0$
$y$	$0$	$2$

Аналіз відносного розташування графіків:
Парабола $y = - x^{2} + 1$ та пряма $y = x + 2$ не мають спільних точок (пряма розташована вище параболи).
Отже, система рівнянь не має розв’язків.

Відповідь: розв’язків немає.

13.5. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) ${x^{2} + y^{2} = 9, x - y = 3;$

2) ${x y = 4, y = 4 x;$

3) ${x^{2} + y^{2} = 25, x y = - 12.$

За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування однієї із систем.

Розв’язання:

Рівняння $x^{2} + y^{2} = 9$ задає коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = 9 = 3$ .
Рівняння $x - y = 3 ⟹ y = x - 3$ задає пряму.

Складемо таблицю значень для прямої $y = x - 3$ :

$x$	$0$	$3$
$y$	$- 3$	$0$

Побудувавши коло та пряму в одній системі координат, знаходимо їхні спільні точки: $(3; 0)$ та $(0; - 3)$ .

Перевірка:

Для $(3; 0)$ : $3^{2} + 0^{2} = 9$ , $3 - 0 = 3$ .
Для $(0; - 3)$ : $0^{2} + (- 3)^{2} = 9$ , $0 - (- 3) = 3$ .

Відповідь: $(3; 0)$ , $(0; - 3)$ .

Рівняння $x y = 4 ⟹ y = \frac{4}{x}$ задає гіперболу, розташовану в I та III координатних чвертях.

Складемо таблицю значень для гіперболи $y = \frac{4}{x}$ :

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 4$	$4$	$2$	$1$

Рівняння $y = 4 x$ задає пряму, яка проходить через початок координат.

Складемо таблицю значень для прямої $y = 4 x$ :

$x$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$- 4$	$0$	$4$

Побудувавши гіперболу та пряму, знаходимо точки їх перетину: $(- 1; - 4)$ та $(1; 4)$ .

Перевірка:

Для $(1; 4)$ : $1 \cdot 4 = 4$ , $4 = 4 \cdot 1$ .
Для $(- 1; - 4)$ : $(- 1) \cdot (- 4) = 4$ , $- 4 = 4 \cdot (- 1)$ .

Відповідь: $(- 1; - 4)$ , $(1; 4)$ .

Рівняння $x^{2} + y^{2} = 25$ задає коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = 25 = 5$ .
Рівняння $x y = - 12 ⟹ y = - \frac{12}{x}$ задає гіперболу, розташовану в II та IV координатних чвертях.

Складемо таблицю значень для гіперболи $y = - \frac{12}{x}$ :

$x$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$2$	$3$	$4$	$6$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$

Побудувавши коло та гіперболу на одній координатній площині, знаходимо 4 точки їх перетину: $(- 4; 3)$ , $(- 3; 4)$ , $(3; - 4)$ , $(4; - 3)$ .

Перевірка:

Для $(- 4; 3)$ : $(- 4)^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25$ , $(- 4) \cdot 3 = - 12$ .
Для $(- 3; 4)$ : $(- 3)^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ , $(- 3) \cdot 4 = - 12$ .
Для $(3; - 4)$ : $3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25$ , $3 \cdot (- 4) = - 12$ .
Для $(4; - 3)$ : $4^{2} + (- 3)^{2} = 16 + 9 = 25$ , $4 \cdot (- 3) = - 12$ .

Відповідь: $(- 4; 3)$ , $(- 3; 4)$ , $(3; - 4)$ , $(4; - 3)$ .

Перевірка за допомогою програми для побудови графіків (GeoGebra / Desmos):
Ввівши у графічній програмі GeoGebra рівняння $x^{2} + y^{2} = 9$ та $x - y = 3$ , отримуємо коло радіуса $3$ та пряму, перетин яких точно відображає інструмент «Перетин» у точках $(3; 0)$ та $(0; - 3)$ , що підтверджує правильність розв’язання першої системи.

13.6. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 \
y - x = 2
\end{cases}

2) $$ \begin{cases} xy = 6 \\ y = 6x \end{cases}

\begin{cases}
x^2 + y^2 = 25 \
xy = 12
\end{cases}

**За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування однієї із систем.** **Розв'язання:** 1) - Рівняння $x^2 + y^2 = 4$ задає коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = \sqrt{4} = 2$. - Рівняння $y - x = 2 \implies y = x + 2$ задає пряму. Складемо таблицю значень для прямої $y = x + 2$: | $x$ | $-2$ | $0$ | | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $2$ | Побудувавши коло та пряму, знаходимо точки перетину графіків: $(-2; 0)$ та $(0; 2)$. Перевірка: - Для $(-2; 0)$: $(-2)^2 + 0^2 = 4$, $0 - (-2) = 2$. - Для $(0; 2)$: $0^2 + 2^2 = 4$, $2 - 0 = 2$. **Відповідь:** $(-2; 0)$, $(0; 2)$. 2) - Рівняння $xy = 6 \implies y = \dfrac{6}{x}$ задає гіперболу, розташовану в I та III чвертях. Складемо таблицю значень для гіперболи $y = \dfrac{6}{x}$: | $x$ | $-6$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $6$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-1$ | $-2$ | $-3$ | $-6$ | $6$ | $3$ | $2$ | $1$ | - Рівняння $y = 6x$ задає пряму, що проходить через початок координат. Складемо таблицю значень для прямої $y = 6x$: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-6$ | $0$ | $6$ | Побудувавши гіперболу та пряму, знаходимо точки їх перетину: $(-1; -6)$ та $(1; 6)$. Перевірка: - Для $(1; 6)$: $1 \cdot 6 = 6$, $6 = 6 \cdot 1$. - Для $(-1; -6)$: $(-1) \cdot (-6) = 6$, $-6 = 6 \cdot (-1)$. **Відповідь:** $(-1; -6)$, $(1; 6)$. 3) - Рівняння $x^2 + y^2 = 25$ задає коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = \sqrt{25} = 5$. - Рівняння $xy = 12 \implies y = \dfrac{12}{x}$ задає гіперболу, розташовану в I та III чвертях. Складемо таблицю значень для гіперболи $y = \dfrac{12}{x}$: | $x$ | $-6$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $2$ | $3$ | $4$ | $6$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-2$ | $-3$ | $-4$ | $-6$ | $6$ | $4$ | $3$ | $2$ | Побудувавши коло та гіперболу на одній координатній площині, знаходимо 4 точки їх перетину: $(3; 4)$, $(4; 3)$, $(-3; -4)$, $(-4; -3)$. Перевірка: - Для $(3; 4)$: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, $3 \cdot 4 = 12$. - Для $(4; 3)$: $4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$, $4 \cdot 3 = 12$. - Для $(-3; -4)$: $(-3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$, $(-3) \cdot (-4) = 12$. - Для $(-4; -3)$: $(-4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$, $(-4) \cdot (-3) = 12$. **Відповідь:** $(3; 4)$, $(4; 3)$, $(-3; -4)$, $(-4; -3)$. **Перевірка за допомогою програми для побудови графіків (GeoGebra / Desmos):** Побудувавши в графічному процесорі Desmos коло $x^2 + y^2 = 4$ та пряму $y - x = 2$, бачимо, що пряма є січною для кола й перетинає його чітко у точках $(-2; 0)$ та $(0; 2)$, що підтверджує правильність знайденого розв’язку першої системи. **№ 13.7. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь:** 1) $$ \begin{cases} x = 4y \\ y^2 + x + 3 = 0 \end{cases}

Розв’язання:

Підставимо вираз для $x$ з першого рівняння у друге рівняння системи:

y^{2} + 4 y + 3 = 0

Розв’яжемо отримане квадратне рівняння відносно $y$ :

D = b^{2} - 4 a c = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4

y_{1} = \frac{- 4 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{- 4 + 2}{2} = - 1

y_{2} = \frac{- 4 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{- 4 - 2}{2} = - 3

Знайдемо відповідні значення $x$ , використовуючи формулу $x = 4 y$ :

Якщо $y_{1} = - 1$ , то $x_{1} = 4 \cdot (- 1) = - 4$ ;

Якщо $y_{2} = - 3$ , то $x_{2} = 4 \cdot (- 3) = - 12$ .

Відповідь: $(- 4; - 1)$ , $(- 12; - 3)$ .

\begin{cases}
x^2 + y = 0 \
y = 2x - 3
\end{cases}

**Розв'язання:** Підставимо вираз для $y$ з другого рівняння у перше рівняння системи:

x^2 + (2x - 3) = 0

x^2 + 2x - 3 = 0

Розв'яжемо отримане квадратне рівняння відносно $x$:

D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16

x_1 = \dfrac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1

x_2 = \dfrac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-2 - 4}{2} = -3

Знайдемо відповідні значення $y$, використовуючи формулу $y = 2x - 3$: Якщо $x_1 = 1$, то $y_1 = 2 \cdot 1 - 3 = -1$; Якщо $x_2 = -3$, то $y_2 = 2 \cdot (-3) - 3 = -6 - 3 = -9$. **Відповідь:** $(1; -1)$, $(-3; -9)$. **№ 13.8. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь:** 1)

\begin{cases}
y = -2x, \
x^2 + y - 3 = 0;
\end{cases}

**Розв'язання:** Підставимо вираз для $y$ з першого рівняння у друге рівняння системи: $$x^2 + (-2x) - 3 = 0$$ $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Розв'яжемо квадратне рівняння відносно $x$: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$x_1 = \dfrac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$$ $$x_2 = \dfrac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$$ Знайдемо відповідні значення $y$, використовуючи формулу $y = -2x$: Якщо $x_1 = 3$, то $y_1 = -2 \cdot 3 = -6$; Якщо $x_2 = -1$, то $y_2 = -2 \cdot (-1) = 2$. **Відповідь:** $(3; -6)$, $(-1; 2)$. 2)

\begin{cases}
x = 4y - 5, \
y^2 + x = 0.
\end{cases}

**Розв'язання:** Підставимо вираз для $x$ з першого рівняння у друге рівняння системи: $$y^2 + (4y - 5) = 0$$ $$y^2 + 4y - 5 = 0$$ Розв'яжемо квадратне рівняння відносно $y$: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$y_1 = \dfrac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 + 6}{2} = 1$$ $$y_2 = \dfrac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 - 6}{2} = -5$$ Знайдемо відповідні значення $x$, використовуючи формулу $x = 4y - 5$: Якщо $y_1 = 1$, то $x_1 = 4 \cdot 1 - 5 = -1$; Якщо $y_2 = -5$, то $x_2 = 4 \cdot (-5) - 5 = -20 - 5 = -25$. **Відповідь:** $(-1; 1)$, $(-25; -5)$. **№ 13.9. Розв’яжіть систему рівнянь:** 1)

\begin{cases}
y - x = 1, \
xy = 12;
\end{cases}

**Розв'язання:** Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:

y = x + 1

Підставимоцейвиразудругерівняння :

x(x + 1) = 12

x^2 + x - 12 = 0

Розв'яжемо квадратне рівняння відносно $x$:

D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49

x_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 + 7}{2} = 3

x_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 - 7}{2} = -4

Обчислимо відповідні значення $y$: 1) Якщо $x_1 = 3$, то $y_1 = 3 + 1 = 4$; 2) Якщо $x_2 = -4$, то $y_2 = -4 + 1 = -3$. **Відповідь:** $(3; 4)$, $(-4; -3)$. 2)

\begin{cases}
x - y = 1, \
x^2 + y^2 = 25;
\end{cases}

**Розв'язання:** Виразимо $x$ через $y$ з першого рівняння:

x = y + 1

Підставимоотриманийвиразудругерівняння :

(y + 1)^2 + y^2 = 25

y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25

2y^2 + 2y - 24 = 0

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:

y^2 + y - 12 = 0

Розв'яжемо квадратне рівняння відносно $y$:

D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49

y_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 + 7}{2} = 3

y_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 - 7}{2} = -4

Обчислимо відповідні значення $x$: 1) Якщо $y_1 = 3$, то $x_1 = 3 + 1 = 4$; 2) Якщо $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 1 = -3$. **Відповідь:** $(4; 3)$, $(-3; -4)$. 3)

\begin{cases}
x + y = 3, \
x^2 - y^2 = 3;
\end{cases}

* * Роз в^{'} язання : * * Розкладемолівучастинудругогорівняннязаформулоюрізниціквадратів :

(x - y)(x + y) = 3

Оскільки з першого рівняння $x + y = 3$, підставимо це значення:

(x - y) \cdot 3 = 3 \implies x - y = 1

Складемоновуеквівалентнусистемулінійнихрівнянь :

\begin{cases}
x + y = 3, \
x - y = 1.
\end{cases}

Додамообидварівняннясистеми :

2x = 4 \implies x = 2

Підставимо $x = 2$ у перше рівняння:

2 + y = 3 \implies y = 1

**Відповідь:** $(2; 1)$. 4)

\begin{cases}
y + 2x = 3, \
x^2 + y^2 = 5;
\end{cases}

**Розв'язання:** Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:

y = 3 - 2x

Підставимоцейвиразудругерівняння :

x^2 + (3 - 2x)^2 = 5

x^2 + 9 - 12x + 4x^2 = 5

5x^2 - 12x + 4 = 0

Розв'яжемо квадратне рівняння відносно $x$:

D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64

x_1 = \dfrac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \dfrac{12 + 8}{10} = 2

x_2 = \dfrac{12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \dfrac{12 - 8}{10} = 0{,}4

Знайдемо відповідні значення $y$: 1) Якщо $x_1 = 2$, то $y_1 = 3 - 2 \cdot 2 = -1$; 2) Якщо $x_2 = 0{,}4$, то $y_2 = 3 - 2 \cdot 0{,}4 = 2{,}2$. **Відповідь:** $(2; -1)$, $(0{,}4; 2{,}2)$. **№ 13.10. Знайдіть розв’язки системи рівнянь:** 1)

\begin{cases}
y - x = 2 \
xy = 8
\end{cases}

**Розв'язання:** Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:

y = x + 2

Підставимовиразудругерівняння :

x(x + 2) = 8

x^2 + 2x - 8 = 0

Розв'яжемо квадратне рівняння відносно $x$:

D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36

x_1 = \dfrac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-2 + 6}{2} = 2

x_2 = \dfrac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-2 - 6}{2} = -4

Обчислимо відповідні значення $y$: Якщо $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 + 2 = 4$; Якщо $x_2 = -4$, то $y_2 = -4 + 2 = -2$. **Відповідь:** $(2; 4)$, $(-4; -2)$. 2)

\begin{cases}
x - y = 1 \
x^2 + y^2 = 5
\end{cases}

**Розв'язання:** Виразимо $x$ через $y$ з першого рівняння:

x = y + 1

Підставимовиразудругерівняння :

(y + 1)^2 + y^2 = 5

y^2 + 2y + 1 + y^2 = 5

2y^2 + 2y - 4 = 0

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:

y^2 + y - 2 = 0

Розв'яжемо квадратне рівняння відносно $y$:

D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9

y_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1

y_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 - 3}{2} = -2

Обчислимо відповідні значення $x$: Якщо $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$; Якщо $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 1 = -1$. **Відповідь:** $(2; 1)$, $(-1; -2)$. 3)

\begin{cases}
x + y = 2 \
y^2 - x^2 = 4
\end{cases}

* * Роз в^{'} язання : * * Застосуємоформулурізниціквадратівдодругогорівняння :

(y - x)(y + x) = 4

Оскільки з першого рівняння $y + x = 2$, маємо:

(y - x) \cdot 2 = 4 \implies y - x = 2

Складемотароз в^{'} яжемосистемулінійнихрівнянь :

\begin{cases}
x + y = 2 \
-x + y = 2
\end{cases}

Додаморівняннясистеми :

2y = 4 \implies y = 2

Підставимо $y = 2$ у перше рівняння:

x + 2 = 2 \implies x = 0

**Відповідь:** $(0; 2)$. 4)

\begin{cases}
y - 3x = 1 \
x^2 + y^2 = 53
\end{cases}

**Розв'язання:** Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:

y = 3x + 1

Підставимовиразудругерівняння :

x^2 + (3x + 1)^2 = 53

x^2 + 9x^2 + 6x + 1 = 53

10x^2 + 6x - 52 = 0

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:

5x^2 + 3x - 26 = 0

Розв'яжемо квадратне рівняння відносно $x$:

D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-26) = 9 + 520 = 529 = 23^2

x_1 = \dfrac{-3 + 23}{2 \cdot 5} = \dfrac{20}{10} = 2

x_2 = \dfrac{-3 - 23}{2 \cdot 5} = \dfrac{-26}{10} = -2{,}6

Знайдемо відповідні значення $y$: Якщо $x_1 = 2$, то $y_1 = 3 \cdot 2 + 1 = 7$; Якщо $x_2 = -2{,}6$, то $y_2 = 3 \cdot (-2{,}6) + 1 = -7{,}8 + 1 = -6{,}8$. **Відповідь:** $(2; 7)$, $(-2{,}6; -6{,}8)$. **№ 13.11. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь:** 1)

\begin{cases}
x + y^2 = 3 \
x - y^2 = 1
\end{cases}

* * Роз в^{'} язання : * * Додамопочленнообидварівняннясистеми :

(x + y^2) + (x - y^2) = 3 + 1

2x = 4 \implies x = 2

Підставимо значення $x = 2$ у перше рівняння:

2 + y^2 = 3

y^2 = 1 \implies \left[
\begin{array}{l}
y = 1 \
y = -1
\end{array}
\right.

Отримуємо дві пари чисел: $(2; 1)$ та $(2; -1)$. **Відповідь:** $(2; 1)$, $(2; -1)$. 2)

\begin{cases}
x^2 + y = 1 \
-x^2 + 4y = 19
\end{cases}

* * Роз в^{'} язання : * * Додамопочленнообидварівняннясистеми :

(x^2 + y) + (-x^2 + 4y) = 1 + 19

5y = 20 \implies y = 4

Підставимо значення $y = 4$ у перше рівняння:

x^2 + 4 = 1

x^2 = -3

Оскільки квадрат дійсного числа не може бути від'ємним ($x^2 \ge 0$), рівняння $x^2 = -3$ не має дійсних коренів. Отже, система рівнянь не має розв'язків. **Відповідь:** розв'язків немає (або $\varnothing$). **13.12. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь:** 1)

\begin{cases}
y + x^2 = 10 \
y - x^2 = -8
\end{cases}

Додамопочленнообидварівняннясистеми :

(y + x^2) + (y - x^2) = 10 + (-8)

2y = 2

y = 1

Підставимо отримане значення $y = 1$ у перше рівняння системи:

1 + x^2 = 10

x^2 = 9

\left[
\begin{array}{l}
x = 3 \
x = -3
\end{array}
\right.

Отримали дві пари розв'язків: $(3; 1)$ та $(-3; 1)$. **Відповідь:** $(3; 1)$, $(-3; 1)$. 2)

\begin{cases}
y^2 + x = 2 \
-y^2 + 2x = 7
\end{cases}

Додамопочленнообидварівняннясистеми :

(y^2 + x) + (-y^2 + 2x) = 2 + 7

3x = 9

x = 3

Підставимо отримане значення $x = 3$ у перше рівняння системи:

y^2 + 3 = 2

y^2 = -1

Оскільки квадрат дійсного числа не може бути від'ємним ($y^2 \ge 0$), рівняння $y^2 = -1$ не має дійсних коренів. Отже, система рівнянь розв'язків не має. **Відповідь:** розв'язків немає. **13.13.** **1) Розв’яжіть систему рівнянь**

\begin{cases}
x + y = 5 \
x^2 + y = 7
\end{cases}

**трьома способами: графічним, способом підстановки і способом додавання.** **2) Який спосіб вам сподобався найбільше?** **3) Нехай $(x_1; y_1), (x_2; y_2)$ — пари розв’язків системи. Знайдіть значення виразу $\dfrac{x_1 + y_1 + x_2 + y_2}{2}$, відтак дізнаєтеся, скільки медалей здобув українець Андрій Трусов на літніх Паралімпійських іграх 2024 року.** **Розв'язання:** 1) **Спосіб підстановки:** Виразимо $y$ з першого рівняння: $$y = 5 - x$$ Підставимо отриманий вираз у друге рівняння замість $y$: $$x^2 + (5 - x) = 7$$ $$x^2 - x - 2 = 0$$ Знайдемо корені квадратного рівняння за теоремою Вієта: $$x_1 = 2, \quad x_2 = -1$$ Обчислимо відповідні значення $y$: - якщо $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$; - якщо $x_2 = -1$, то $y_2 = 5 - (-1) = 6$. Отримали дві пари розв'язків: $(2; 3)$ та $(-1; 6)$. **Спосіб додавання:** Помножимо перше рівняння системи на $-1$:

\begin{cases}
-x - y = -5 \
x^2 + y = 7
\end{cases}

Додамо почленно рівняння системи: $$(x^2 + y) + (-x - y) = 7 + (-5)$$ $$x^2 - x = 2$$ $$x^2 - x - 2 = 0$$ Корені рівняння: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. Знайдемо відповідні значення $y$ з рівняння $y = 5 - x$: - при $x_1 = 2$: $y_1 = 3$; - при $x_2 = -1$: $y_2 = 6$. Отримали дві пари розв'язків: $(2; 3)$ та $(-1; 6)$. **Графічний спосіб:** Виразимо $y$ з обох рівнянь системи: - $y = -x + 5$ — лінійна функція, графіком є пряма; - $y = -x^2 + 7$ — квадратична функція, графіком є парабола з вершиною у точці $(0; 7)$, вітки якої напрямлені вниз. Складемо таблицю значень для прямої $y = -x + 5$: | $x$ | $-1$ | $0$ | $2$ | | :-: | :--: | :-: | :-: | | $y$ | $6$ | $5$ | $3$ | Складемо таблицю значень для параболи $y = -x^2 + 7$: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :-: | :--: | :--: | :--: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $-2$ | $3$ | $6$ | $7$ | $6$ | $3$ | $-2$ | Нанесемо точки на координатну площину та побудуємо графіки. Графіки перетинаються у двох точках: $(-1; 6)$ та $(2; 3)$. 2) Найзручнішим і найшвидшим для цієї системи є спосіб підстановки (або додавання), оскільки змінна $y$ виражається з першого рівняння в один крок. 3) Для знайдених пар розв'язків $(2; 3)$ та $(-1; 6)$ обчислимо значення виразу: $$\dfrac{x_1 + y_1 + x_2 + y_2}{2} = \dfrac{2 + 3 + (-1) + 6}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$$ Отже, Андрій Трусов здобув $5$ медалей на літніх Паралімпійських іграх 2024 року. **Відповідь:** 1) $(2; 3)$, $(-1; 6)$; 2) спосіб підстановки (або додавання); 3) $5$ медалей. **13.14.** 1) Розв’яжіть систему рівнянь

\begin{cases}
y - x = 8 \
x^2 - y = -2
\end{cases}

трьома способами: графічним, способом підстановки і способом додавання. **Розв'язання:** **Спосіб підстановки:** Виразимо $y$ з першого рівняння:

y = x + 8

Підставимоудругерівняння :

x^2 - (x + 8) = -2

x^2 - x - 8 = -2

x^2 - x - 6 = 0

ЗатеоремоюВієтазнаходимокорені :

x_1 = 3, \quad x_2 = -2

Знаходимо відповідні значення $y$: - якщо $x_1 = 3$, то $y_1 = 3 + 8 = 11$; - якщо $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 8 = 6$. Отримали пари розв'язків: $(3; 11)$ та $(-2; 6)$. **Спосіб додавання:** Додамо почленно перше та друге рівняння системи:

(y - x) + (x^2 - y) = 8 + (-2)

x^2 - x = 6

x^2 - x - 6 = 0

Корені рівняння: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$. З рівняння $y = x + 8$ знаходимо відповідні значення $y$: - при $x_1 = 3$: $y_1 = 11$; - при $x_2 = -2$: $y_2 = 6$. Отримали пари розв'язків: $(3; 11)$ та $(-2; 6)$. **Графічний спосіб:** Виразимо $y$ з обох рівнянь: 1) $y = x + 8$ — пряма; 2) $y = x^2 + 2$ — парабола з вершиною у точці $(0; 2)$, вітки напрямлені вгору. Складемо таблицю значень для прямої $y = x + 8$: | $x$ | $-2$ | $0$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $6$ | $8$ | $11$ | Складемо таблицю значень для параболи $y = x^2 + 2$: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $11$ | $6$ | $3$ | $2$ | $3$ | $6$ | $11$ | Графіки перетинаються у точках $(-2; 6)$ та $(3; 11)$. 2) Який спосіб вам сподобався найбільше? Спосіб додавання є найбільш зручним для цієї системи, оскільки змінні $y$ та $-y$ одразу взаємно знищуються при додаванні. 3) Нехай $(x_1; y_1), (x_2; y_2)$ — пари розв’язків системи. Знайдіть значення виразу $x_1 \cdot y_1 + x_2 \cdot y_2 + 8$, відтак дізнаєтеся, у якому віці українська біофізикиня Ольга Броварець стала докторкою наук. Для знайдених пар розв'язків $(-2; 6)$ та $(3; 11)$ обчислимо значення виразу:

x_1 \cdot y_1 + x_2 \cdot y_2 + 8 = (-2) \cdot 6 + 3 \cdot 11 + 8 = -12 + 33 + 8 = 29

**Відповідь:** 1) $(3; 11)$, $(-2; 6)$; 2) спосіб додавання є найбільш зручним; 3) $29$ (у віці $29$ років Ольга Броварець стала докторкою наук). **13.15. Розв’яжіть графічно систему:** 1)

\begin{cases}
x^2 + 4x - y = 0 \
x + y + 4 = 0
\end{cases}

**Розв'язання:** Виразимо $y$ з кожного рівняння:

\begin{cases}
y = x^2 + 4x \
y = -x - 4
\end{cases}

Побудуємо графіки цих функцій: 1) $y = x^2 + 4x$ — квадратична функція, графіком є парабола, вітки якої напрямлені вгору. Координати вершини параболи: $$x_0 = -\dfrac{4}{2 \cdot 1} = -2$$ $$y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4$$ Вершина: $(-2; -4)$. Складемо таблицю значень для параболи: | $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | 2) $y = -x - 4$ — лінійна функція, графіком є пряма. Складемо таблицю значень для прямої: | $x$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | Побудувавши графіки в одній системі координат, знаходимо точки їх перетину: $(-4; 0)$ та $(-1; -3)$. **Перевірка:** - Для точки $(-4; 0)$: $(-4)^2 + 4 \cdot (-4) - 0 = 0$ та $-4 + 0 + 4 = 0$ (істинно). - Для точки $(-1; -3)$: $(-1)^2 + 4 \cdot (-1) - (-3) = 0$ та $-1 + (-3) + 4 = 0$ (істинно). **Відповідь:** $(-4; 0)$, $(-1; -3)$. 2)

\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 \
y = x^2 + 2
\end{cases}

**Розв'язання:** 1) $x^2 + y^2 = 4$ — графіком є коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = \sqrt{4} = 2$. 2) $y = x^2 + 2$ — квадратична функція, графіком є парабола з вершиною у точці $(0; 2)$, вітки якої напрямлені вгору. Складемо таблицю значень для параболи $y = x^2 + 2$: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $6$ | $3$ | $2$ | $3$ | $6$ | Побудувавши коло та параболу в одній системі координат, бачимо, що вони мають одну спільну точку дотику: $(0; 2)$. **Перевірка:** - Для точки $(0; 2)$: $0^2 + 2^2 = 4$ та $2 = 0^2 + 2$ (істинно). **Відповідь:** $(0; 2)$. **13.16. Розв’яжіть графічно систему:** 1)

\begin{cases}
x^2 + 6x - y = 0 \
x + y + 6 = 0
\end{cases}

Виразимо $y$ з кожного рівняння:

\begin{cases}
y = x^2 + 6x \
y = -x - 6
\end{cases}

- $y = x^2 + 6x$ — графіком є парабола, вітки якої напрямлені вгору. Координати вершини: $x_0 = -\dfrac{6}{2 \cdot 1} = -3$; $y_0 = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) = 9 - 18 = -9$. Вершина: $(-3; -9)$. Таблиця значень для параболи $y = x^2 + 6x$: | $x$ | $-6$ | $-5$ | $-3$ | $-1$ | $0$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $-5$ | $-9$ | $-5$ | $0$ | - $y = -x - 6$ — графіком є пряма. Таблиця значень для прямої $y = -x - 6$: | $x$ | $-6$ | $-1$ | $0$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $-5$ | $-6$ | Графіки перетинаються у двох точках: $(-6; 0)$ та $(-1; -5)$. Перевірка: - для точки $(-6; 0)$: $(-6)^2 + 6 \cdot (-6) - 0 = 36 - 36 = 0$ та $-6 + 0 + 6 = 0$ (правильно); - для точки $(-1; -5)$: $(-1)^2 + 6 \cdot (-1) - (-5) = 1 - 6 + 5 = 0$ та $-1 + (-5) + 6 = 0$ (правильно). **Відповідь:** $(-6; 0)$, $(-1; -5)$. 2)

\begin{cases}
x^2 + y^2 = 9 \
y = x^2 + 3
\end{cases}

- $x^2 + y^2 = 9$ — графіком є коло з центром у точці $(0; 0)$ і радіусом $R = \sqrt{9} = 3$. - $y = x^2 + 3$ — графіком є парабола з вершиною у точці $(0; 3)$, вітки напрямлені вгору. Таблиця значень для параболи $y = x^2 + 3$: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $7$ | $4$ | $3$ | $4$ | $7$ | Побудувавши коло та параболу, бачимо, що вони мають єдину спільну точку дотику: $(0; 3)$. Перевірка: - для точки $(0; 3)$: $0^2 + 3^2 = 9$ та $3 = 0^2 + 3$ (правильно). **Відповідь:** $(0; 3)$. **№ 13.17. Накресліть схематично графіки рівнянь системи і встановіть кількість її розв’язків:** 1) $$ \begin{cases} xy = -4 \\ y - x^2 = 2 \end{cases}

Розв’язання:

Графіком першого рівняння $y = - \frac{4}{x}$ є гіпербола, вітки якої розташовані у II та IV координатних чвертях.

Складемо таблицю значень для $y = - \frac{4}{x}$ :

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y$	$1$	$2$	$4$	$- 4$	$- 2$	$- 1$

Графіком другого рівняння $y = x^{2} + 2$ є парабола з вершиною у точці $(0; 2)$ , вітки якої напрямлені вгору.

Складемо таблицю значень для $y = x^{2} + 2$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$

Проаналізуємо взаємне розміщення графіків:

У IV чверті ( $x > 0$ ) гіпербола розташована нижче осі абсцис ( $y < 0$ ), а парабола — вище осі абсцис ( $y \geq 2$ ), тому спільних точок немає.
У II чверті ( $x < 0$ ) гіпербола спадає від $0$ до $+ \infty$ , а парабола спадає до вершини $(0; 2)$ . Вони перетинаються в одній точці.

Отже, система має 1 розв’язок.

Відповідь: 1 розв’язок.

\begin{cases}
x^2 + y^2 = 9 \
xy = 1
\end{cases}

**Розв'язання:** Графіком першого рівняння $x^2 + y^2 = 9$ є **коло** з центром у початку координат $(0; 0)$ та радіусом $R = 3$. Складемо характерні точки для кола $x^2 + y^2 = 9$: | $x$ | $-3$ | $0$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $\pm 3$ | $0$ | Графіком другого рівняння $y = \dfrac{1}{x}$ є **гіпербола**, вітки якої розташовані у I та III координатних чвертях. Складемо таблицю значень для $y = \dfrac{1}{x}$: | $x$ | $-3$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0{,}5$ | $1$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $-1$ | $-2$ | $2$ | $1$ | $\dfrac{1}{3}$ | Проаналізуємо взаємне розміщення графіків: - Вітка гіперболи у I чверті проходить усередині кола біля точки $(1; 1)$, оскільки $1^2 + 1^2 = 2 < 9$, і виходить назовні кола при більших і менших значеннях $x$, перетинаючи коло у двох точках. - Аналогічно, вітка гіперболи у III чверті перетинає коло у двох точках. Отже, графіки мають 4 спільні точки, тому система має **4 розв'язки**. **Відповідь:** 4 розв'язки. **№ 13.18. Розв’яжіть систему рівнянь:** 1) $\begin{cases} 4y^2 + xy = 22 \\ x + 5y = 13 \end{cases}$ **Розв'язання:** Застосуємо метод підстановки. З другого рівняння виразимо змінну $x$: $$x = 13 - 5y$$ Підставимо отриманий вираз у перше рівняння замість $x$: $$4y^2 + (13 - 5y) \cdot y = 22$$ $$4y^2 + 13y - 5y^2 = 22$$ $$-y^2 + 13y - 22 = 0$$ $$y^2 - 13y + 22 = 0$$ Знайдемо корені квадратного рівняння за теоремою Вієта: $$y_1 = 11, \quad y_2 = 2$$ Знайдемо відповідні значення змінної $x$: Якщо $y_1 = 11$, то $x_1 = 13 - 5 \cdot 11 = 13 - 55 = -42$. Якщо $y_2 = 2$, то $x_2 = 13 - 5 \cdot 2 = 13 - 10 = 3$. **Відповідь:** $(-42; 11)$, $(3; 2)$. 2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x + \dfrac{y}{2} = 5 \end{cases}$ **Розв'язання:** Виразимо з другого рівняння змінну $x$: $$x = 5 - \dfrac{y}{2}$$ Підставимо у перше рівняння: $$\left(5 - \dfrac{y}{2}\right)^2 + y^2 = 25$$ $$25 - 5y + \dfrac{y^2}{4} + y^2 = 25$$ $$\dfrac{5}{4}y^2 - 5y = 0$$ Помножимо обидві частини рівняння на $\dfrac{4}{5}$: $$y^2 - 4y = 0$$ $$y(y - 4) = 0$$ $$y_1 = 0, \quad y_2 = 4$$ Обчислимо відповідні значення $x$: Якщо $y_1 = 0$, то $x_1 = 5 - \dfrac{0}{2} = 5$. Якщо $y_2 = 4$, то $x_2 = 5 - \dfrac{4}{2} = 3$. **Відповідь:** $(5; 0)$, $(3; 4)$. 3) $\begin{cases} x + 2y = 6 \\ x^2 + xy + y^2 = 12 \end{cases}$ **Розв'язання:** Виразимо з першого рівняння змінну $x$: $$x = 6 - 2y$$ Підставимо у друге рівняння: $$(6 - 2y)^2 + (6 - 2y) \cdot y + y^2 = 12$$ $$36 - 24y + 4y^2 + 6y - 2y^2 + y^2 = 12$$ $$3y^2 - 18y + 36 = 12$$ $$3y^2 - 18y + 24 = 0$$ Поділимо кожний доданок на $3$: $$y^2 - 6y + 8 = 0$$ За теоремою Вієта: $$y_1 = 2, \quad y_2 = 4$$ Обчислимо значення $x$: Якщо $y_1 = 2$, то $x_1 = 6 - 2 \cdot 2 = 2$. Якщо $y_2 = 4$, то $x_2 = 6 - 2 \cdot 4 = -2$. **Відповідь:** $(2; 2)$, $(-2; 4)$. 4) $\begin{cases} x - y = 1 \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{7}{12} \end{cases}$ **Розв'язання:** $\text{ОДЗ: } x \ne 0, \quad y \ne 0$. З першого рівняння виразимо $x = y + 1$. Перетворимо друге рівняння, звівши дроби до спільного знаменника: $$\dfrac{y + x}{xy} = \dfrac{7}{12}$$ Підставимо вираз $x = y + 1$ у чисельник і знаменник: $$\dfrac{y + (y + 1)}{(y + 1) \cdot y} = \dfrac{7}{12}$$ $$\dfrac{2y + 1}{y^2 + y} = \dfrac{7}{12}$$ За основною властивістю пропорції: $$12(2y + 1) = 7(y^2 + y)$$ $$24y + 12 = 7y^2 + 7y$$ $$7y^2 - 17y - 12 = 0$$ Знайдемо дискримінант: $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12) = 289 + 336 = 625 = 25^2$$ $$y_1 = \dfrac{17 + 25}{2 \cdot 7} = \dfrac{42}{14} = 3$$ $$y_2 = \dfrac{17 - 25}{2 \cdot 7} = \dfrac{-8}{14} = -\dfrac{4}{7}$$ Знайдемо відповідні значення $x$: Якщо $y_1 = 3$, то $x_1 = 3 + 1 = 4$. Якщо $y_2 = -\dfrac{4}{7}$, то $x_2 = -\dfrac{4}{7} + 1 = \dfrac{3}{7}$. Обидві пари задовольняють ОДЗ. **Відповідь:** $(4; 3)$, $\left(\dfrac{3}{7}; -\dfrac{4}{7}\right)$. **№ 13.19. Розв’яжіть систему рівнянь:** 1)

\begin{cases}
3y^2 - xy = 2 \
x - 2y = 1
\end{cases}

**Розв'язання:** З другого рівняння виразимо $x = 2y + 1$. Підставимо у перше рівняння:

3y^2 - (2y + 1) \cdot y = 2

3y^2 - 2y^2 - y = 2

y^2 - y - 2 = 0

ЗатеоремоюВієта :

y_1 = 2, \quad y_2 = -1

Обчислимо відповідні значення $x$: 1) Якщо $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$; 2) Якщо $y_2 = -1$, то $x_2 = 2 \cdot (-1) + 1 = -1$. **Відповідь:** $(5; 2)$, $(-1; -1)$. 2)

\begin{cases}
x^2 + y^2 = 13 \
\dfrac{x}{3} + y = 3
\end{cases}

**Розв'язання:** З другого рівняння виразимо $y = 3 - \dfrac{x}{3}$. Підставимо у перше рівняння:

x^2 + \left(3 - \dfrac{x}{3}\right)^2 = 13

x^2 + 9 - 2x + \dfrac{x^2}{9} = 13

\dfrac{10}{9}x^2 - 2x - 4 = 0

Помножимо обидві частини рівняння на $9$:

10x^2 - 18x - 36 = 0

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:

5x^2 - 9x - 18 = 0

Знайдемодискримінант :

D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-18) = 81 + 360 = 441 = 21^2

x_1 = \dfrac{9 + 21}{2 \cdot 5} = \dfrac{30}{10} = 3

x_2 = \dfrac{9 - 21}{2 \cdot 5} = \dfrac{-12}{10} = -1{,}2

Знайдемо відповідні значення $y$: 1) Якщо $x_1 = 3$, то $y_1 = 3 - \dfrac{3}{3} = 2$; 2) Якщо $x_2 = -1{,}2$, то $y_2 = 3 - \dfrac{-1{,}2}{3} = 3 + 0{,}4 = 3{,}4$. **Відповідь:** $(3; 2)$, $(-1{,}2; 3{,}4)$. 3)

\begin{cases}
x + 2y = 1 \
x^2 - xy - y^2 = 11
\end{cases}

**Розв'язання:** З першого рівняння виразимо $x = 1 - 2y$. Підставимо у друге рівняння:

(1 - 2y)^2 - (1 - 2y) \cdot y - y^2 = 11

1 - 4y + 4y^2 - y + 2y^2 - y^2 = 11

5y^2 - 5y + 1 = 11

5y^2 - 5y - 10 = 0

Поділимо обидві частини рівняння на $5$:

y^2 - y - 2 = 0

ЗатеоремоюВієта :

y_1 = 2, \quad y_2 = -1

Обчислимо відповідні значення $x$: 1) Якщо $y_1 = 2$, то $x_1 = 1 - 2 \cdot 2 = -3$; 2) Якщо $y_2 = -1$, то $x_2 = 1 - 2 \cdot (-1) = 3$. **Відповідь:** $(-3; 2)$, $(3; -1)$. 4)

\begin{cases}
x + y = 5 \
\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6}
\end{cases}

**Розв'язання:** $\text{ОДЗ: } x \ne 0, y \ne 0$. Зведемо дроби у другому рівнянні до спільного знаменника:

\dfrac{x + y}{xy} = \dfrac{1}{6}

Підставимо у чисельник значення $x + y = 5$:

\dfrac{5}{xy} = \dfrac{1}{6} \implies xy = 30

Отрималисистему :

\begin{cases}
x + y = 5 \
xy = 30
\end{cases}

Виразимо $y = 5 - x$ і підставимо в $xy = 30$:

x(5 - x) = 30

5x - x^2 = 30

x^2 - 5x + 30 = 0

Знайдемодискримінант :

D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 25 - 120 = -95 < 0

Оскільки $D < 0$, дійсних коренів немає, отже система розв'язків не має. **Відповідь:** розв'язків немає. **№ 13.20. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину:** 1) прямої $x + y = 5$ і параболи $y = x^2 - 7$; **Розв'язання:** Координати точок перетину є розв'язками системи рівнянь:

\begin{cases}
x + y = 5 \
y = x^2 - 7
\end{cases}

Виразимо з першого рівняння $y = 5 - x$ та підставимо у друге рівняння:

5 - x = x^2 - 7

x^2 + x - 12 = 0

ЗатеоремоюВієта :

x_1 = -4, \quad x_2 = 3

Обчислимо відповідні значення $y$: 1) Якщо $x_1 = -4$, то $y_1 = 5 - (-4) = 9$; 2) Якщо $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$. **Відповідь:** $(-4; 9)$, $(3; 2)$. 2) кола $x^2 + y^2 = 34$ і гіперболи $xy = 15$. **Розв'язання:** Складемо систему рівнянь:

\begin{cases}
x^2 + y^2 = 34 \
xy = 15
\end{cases}

Скористаємосяформуламискороченогомноження :

(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 34 + 2 \cdot 15 = 64 \implies x + y = \pm 8

(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 34 - 2 \cdot 15 = 4 \implies x - y = \pm 2

Розглянемо чотири випадки: 1) $\begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases} \implies 2x = 10 \implies x = 5, \; y = 3$; 2) $\begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = -2 \end{cases} \implies 2x = 6 \implies x = 3, \; y = 5$; 3) $\begin{cases} x + y = -8 \\ x - y = 2 \end{cases} \implies 2x = -6 \implies x = -3, \; y = -5$; 4) $\begin{cases} x + y = -8 \\ x - y = -2 \end{cases} \implies 2x = -10 \implies x = -5, \; y = -3$. **Відповідь:** $(5; 3)$, $(3; 5)$, $(-3; -5)$, $(-5; -3)$. **№ 13.21. Розв’яжіть систему рівнянь:** 1) $$ \begin{cases} x + xy = 5 \\ x - xy = 2 \end{cases}

Розв’язання:

Застосуємо спосіб додавання. Додамо почленно обидва рівняння системи:

$(x + x y) + (x - x y) = 5 + 2$

$2 x = 7 ⟹ x = 3, 5$

Віднімаючи від першого рівняння друге, отримаємо:

$(x + x y) - (x - x y) = 5 - 2$

$2 x y = 3$

Підставимо $x = 3, 5$ :

$2 \cdot 3, 5 \cdot y = 3 ⟹ 7 y = 3 ⟹ y = \frac{3}{7}$

Відповідь: $(3, 5; \frac{3}{7})$ .

\begin{cases}
x^2 + y^2 = 29 \
x^2 - y^2 = -21
\end{cases}

**Розв'язання:** Додамо почленно обидва рівняння системи: $$2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Віднімемо від першого рівняння друге: $$2y^2 = 50 \implies y^2 = 25 \implies y = \pm 5$$ Усі комбінації знаків задовольняють початкову систему. **Відповідь:** $(2; 5)$, $(2; -5)$, $(-2; 5)$, $(-2; -5)$. 3) $$ \begin{cases} 2y^2 + xy = 36 \\ y^2 + xy = 20 \end{cases}

Розв’язання:

Віднімемо від першого рівняння друге почленно:

$(2 y^{2} + x y) - (y^{2} + x y) = 36 - 20$

$y^{2} = 16 ⟹ y_{1} = 4, y_{2} = - 4$

З другого рівняння виразимо $x y = 20 - y^{2} = 20 - 16 = 4$ :

1) Якщо $y_{1} = 4$ , то $x_{1} \cdot 4 = 4 ⟹ x_{1} = 1$ .

2) Якщо $y_{2} = - 4$ , то $x_{2} \cdot (- 4) = 4 ⟹ x_{2} = - 1$ .

Відповідь: $(1; 4)$ , $(- 1; - 4)$ .

\begin{cases}
x^2 - xy = -4 \
3x^2 - 2xy = -7
\end{cases}

**Розв'язання:** Помножимо перше рівняння на $-2$:

\begin{cases}
-2x^2 + 2xy = 8 \
3x^2 - 2xy = -7
\end{cases}

Додамо почленно рівняння системи: $$(-2x^2 + 2xy) + (3x^2 - 2xy) = 8 + (-7)$$ $$x^2 = 1 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = -1$$ З першого рівняння виразимо $xy = x^2 + 4 = 1 + 4 = 5$: 1) Якщо $x_1 = 1$, то $1 \cdot y_1 = 5 \implies y_1 = 5$. 2) Якщо $x_2 = -1$, то $(-1) \cdot y_2 = 5 \implies y_2 = -5$. **Відповідь:** $(1; 5)$, $(-1; -5)$. **№ 13.22. Розв’яжіть систему рівнянь:** 1) $$ \begin{cases} y + xy = 3 \\ y - xy = -2 \end{cases}

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$(y + x y) + (y - x y) = 3 + (- 2)$

$2 y = 1 ⟹ y = 0, 5$

Підставимо $y = 0, 5$ у перше рівняння системи:
$0, 5 + 0, 5 \cdot x = 3$

$0, 5 \cdot x = 2, 5$

$x = 5$

Відповідь: $(5; 0, 5)$ .

\begin{cases}
3y^2 + x^2 = 13 \
3y^2 - x^2 = 11
\end{cases}

Додамо почленно обидва рівняння системи: $$6y^2 = 24 \implies y^2 = 4 \implies y_1 = 2, y_2 = -2$$ Віднімемо почленно друге рівняння від першого: $$2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$$ Утворимо всі можливі комбінації значень $x$ та $y$: $(1; 2)$, $(1; -2)$, $(-1; 2)$, $(-1; -2)$. **Відповідь:** $(1; 2)$, $(1; -2)$, $(-1; 2)$, $(-1; -2)$. 3) $$ \begin{cases} 3x^2 - xy = 10 \\ x^2 - xy = 2 \end{cases}

Віднімемо почленно друге рівняння від першого:
$(3 x^{2} - x y) - (x^{2} - x y) = 10 - 2$

$2 x^{2} = 8 ⟹ x^{2} = 4 ⟹ x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Знайдемо відповідні значення $y$ :

якщо $x = 2$ , підставимо у друге рівняння $x^{2} - x y = 2$ :
$2^{2} - 2 \cdot y = 2 ⟹ 4 - 2 y = 2 ⟹ 2 y = 2 ⟹ y = 1$
якщо $x = - 2$ :
$(- 2)^{2} - (- 2) \cdot y = 2 ⟹ 4 + 2 y = 2 ⟹ 2 y = - 2 ⟹ y = - 1$

Відповідь: $(2; 1)$ , $(- 2; - 1)$ .

\begin{cases}
xy + 2y^2 = -1 \
3xy + y^2 = -8
\end{cases}

Помножимо перше рівняння системи на $-3$:

\begin{cases}
-3xy - 6y^2 = 3 \
3xy + y^2 = -8
\end{cases}

Додамо почленно рівняння системи: $$-5y^2 = -5 \implies y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1$$ Знайдемо відповідні значення $x$, підставивши $y$ у перше початкове рівняння $xy + 2y^2 = -1$: - якщо $y = 1$: $$x \cdot 1 + 2 \cdot 1^2 = -1 \implies x + 2 = -1 \implies x = -3$$ - якщо $y = -1$: $$x \cdot (-1) + 2 \cdot (-1)^2 = -1 \implies -x + 2 = -1 \implies -x = -3 \implies x = 3$$ **Відповідь:** $(-3; 1)$, $(3; -1)$. **№ 13.23. Розв’яжіть систему рівнянь:** 1)

\begin{cases}
2xy - x = 10, \
2xy - y = 9;
\end{cases}

* * Роз в^{'} язання : * * Віднімемопочленнодругерівняннявідпершого :

(2xy - x) - (2xy - y) = 10 - 9 \implies y - x = 1 \implies y = x + 1

Підставимо вираз $y = x + 1$ у перше рівняння системи:

2x(x + 1) - x = 10

2x^2 + 2x - x - 10 = 0

2x^2 + x - 10 = 0

Знайдемокореніквадратногорівняннячерездискримінант :

D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81

x_1 = \dfrac{-1 + 9}{2 \cdot 2} = 2, \quad x_2 = \dfrac{-1 - 9}{2 \cdot 2} = -2{,}5

Знайдемо відповідні значення $y$: Якщо $x = 2$, то $y = 2 + 1 = 3$. Якщо $x = -2{,}5$, то $y = -2{,}5 + 1 = -1{,}5$. **Відповідь:** $(2; 3)$, $(-2{,}5; -1{,}5)$. 2)

\begin{cases}
2x - xy - y = 13, \
x + xy - 2y = 2;
\end{cases}

* * Роз в^{'} язання : * * Додамопочленнообидварівняннясистеми :

(2x - xy - y) + (x + xy - 2y) = 13 + 2

3x - 3y = 15 \implies x - y = 5 \implies x = y + 5

Підставимо вираз $x = y + 5$ у друге рівняння системи:

(y + 5) + (y + 5)y - 2y = 2

y + 5 + y^2 + 5y - 2y - 2 = 0

y^2 + 4y + 3 = 0

ЗатеоремоюВієтакоренямирівнянняє :

y_1 = -1, \quad y_2 = -3

Знайдемо відповідні значення $x$: Якщо $y = -1$, то $x = -1 + 5 = 4$. Якщо $y = -3$, то $x = -3 + 5 = 2$. **Відповідь:** $(4; -1)$, $(2; -3)$. **№ 13.24. Розв’яжіть систему рівнянь:** 1)

\begin{cases}
3xy + x = 8 \
3xy + y = 7
\end{cases}

* * Роз в^{'} язання : * * Віднімемопочленнодругерівняннявідпершого :

(3xy + x) - (3xy + y) = 8 - 7

x - y = 1 \implies x = y + 1

Підставимо вираз $x = y + 1$ у друге рівняння системи:

3(y + 1)y + y = 7

3y^2 + 3y + y - 7 = 0

3y^2 + 4y - 7 = 0

Обчислимодискримінант :

D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100

y_1 = \dfrac{-4 + 10}{2 \cdot 3} = \dfrac{6}{6} = 1

y_2 = \dfrac{-4 - 10}{2 \cdot 3} = -\dfrac{14}{6} = -\dfrac{7}{3} = -2\dfrac{1}{3}

Знайдемо відповідні значення $x$: Якщо $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$. Якщо $y_2 = -\dfrac{7}{3}$, то $x_2 = -\dfrac{7}{3} + 1 = -\dfrac{4}{3} = -1\dfrac{1}{3}$. **Відповідь:** $(2; 1)$, $\left(-1\dfrac{1}{3}; -2\dfrac{1}{3}\right)$. 2)

\begin{cases}
x + xy + 2y = -9 \
2x - xy - y = -2
\end{cases}

* * Роз в^{'} язання : * * Додамопочленнообидварівняннясистеми :

(x + xy + 2y) + (2x - xy - y) = -9 + (-2)

3x + y = -11 \implies y = -3x - 11

Підставимо вираз $y = -3x - 11$ у перше рівняння системи:

x + x(-3x - 11) + 2(-3x - 11) = -9

x - 3x^2 - 11x - 6x - 22 + 9 = 0

-3x^2 - 16x - 13 = 0 \implies 3x^2 + 16x + 13 = 0

Обчислимодискримінант :

D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 13 = 256 - 156 = 100

x_1 = \dfrac{-16 + 10}{2 \cdot 3} = \dfrac{-6}{6} = -1

x_2 = \dfrac{-16 - 10}{2 \cdot 3} = -\dfrac{26}{6} = -\dfrac{13}{3} = -4\dfrac{1}{3}

Знайдемо відповідні значення $y$: Якщо $x_1 = -1$, то $y_1 = -3 \cdot (-1) - 11 = 3 - 11 = -8$. Якщо $x_2 = -\dfrac{13}{3}$, то $y_2 = -3 \cdot \left(-\dfrac{13}{3}\right) - 11 = 13 - 11 = 2$. **Відповідь:** $(-1; -8)$, $\left(-4\dfrac{1}{3}; 2\right)$. **№ 13.25. Розв’яжіть систему рівнянь:** 1) $$ \begin{cases} x + y + xy = 5 \\ xy(x + y) = 6 \end{cases}

Розв’язання:

Введемо заміну змінних: $x + y = u$ , $x y = v$ . Отримаємо систему:

{u + v = 5 u \cdot v = 6

За теоремою, оберненою до теореми Вієта, $u$ та $v$ є коренями квадратного рівняння $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ , отже, маємо два випадки:

Випадок 1: $u = 2$ , $v = 3$ .

{x + y = 2 x y = 3 ⟹ x (2 - x) = 3 ⟹ x^{2} - 2 x + 3 = 0

D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = - 8 < 0 ⟹ дійсних коренів немає .

Випадок 2: $u = 3$ , $v = 2$ .

{x + y = 3 x y = 2 ⟹ t^{2} - 3 t + 2 = 0 ⟹ t_{1} = 1, t_{2} = 2

Отже, маємо дві пари розв’язків: $(1; 2)$ та $(2; 1)$ .

Відповідь: $(1; 2)$ , $(2; 1)$ .

\begin{cases}
\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{13}{6} \
x - y = 1
\end{cases}

**Розв'язання:** $\text{ОДЗ: } x \ne 0$, $y \ne 0$. У першому рівнянні введемо заміну $\dfrac{x}{y} = t$:

t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{13}{6} \implies \dfrac{t^2 + 1}{t} = \dfrac{13}{6} \implies 6t^2 - 13t + 6 = 0

D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25

t_1 = \dfrac{13 + 5}{12} = \dfrac{3}{2}, \quad t_2 = \dfrac{13 - 5}{12} = \dfrac{2}{3}

Розглянемо обидва випадки: 1) Якщо $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{2}$, то $x = 1{,}5y$. Підставимо у друге рівняння $x - y = 1$:

1{,}5y - y = 1 \implies 0{,}5y = 1 \implies y = 2 \implies x = 1{,}5 \cdot 2 = 3

2) Якщо $\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3}$, то $x = \dfrac{2}{3}y$. Підставимо у друге рівняння $x - y = 1$:

\dfrac{2}{3}y - y = 1 \implies -\dfrac{1}{3}y = 1 \implies y = -3 \implies x = \dfrac{2}{3} \cdot (-3) = -2

Обидві пари значень задовольняють ОДЗ. **Відповідь:** $(3; 2)$, $(-2; -3)$. 3) $$ \begin{cases} (x + y)^2 - 2(x + y) + 1 = 0 \\ (x - y)^2 + 3(x - y) - 4 = 0 \end{cases}

Розв’язання:

Перше рівняння є повним квадратом:

(x + y - 1)^{2} = 0 ⟹ x + y = 1

Друге рівняння розв’яжемо відносно змінної $v = x - y$ :

v^{2} + 3 v - 4 = 0 ⟹ v_{1} = 1, v_{2} = - 4

Маємо дві системи лінійних рівнянь:

\begin{cases}
x + y = 1 \
x - y = 1
\end{cases}
\implies 2x = 2 \implies x = 1; \quad 2y = 0 \implies y = 0

2) $$ \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = -4 \end{cases} \implies 2x = -3 \implies x = -1{,}5; \quad 2y = 5 \implies y = 2{,}5

Відповідь: $(1; 0)$ , $(- 1, 5; 2, 5)$ .

\begin{cases}
\dfrac{x - 2y}{x + y} + \dfrac{x + y}{x - 2y} = \dfrac{15}{4} \
4x + 5y = 3
\end{cases}

**Розв'язання:** $\text{ОДЗ: } x + y \ne 0$, $x - 2y \ne 0$. У першому рівнянні виконуємо заміну $t = \dfrac{x - 2y}{x + y}$:

t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{15}{4} \implies 4t^2 - 15t + 4 = 0

D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 225 - 64 = 161

t_{1,2} = \dfrac{15 \pm \sqrt{161}}{8}

З рівності $\dfrac{x - 2y}{x + y} = t$ виразимо $x$ через $y$:

x - 2y = tx + ty \implies x(1 - t) = y(2 + t) \implies x = \dfrac{2 + t}{1 - t}y

Підставимо у друге рівняння $4x + 5y = 3$:

4 \cdot \dfrac{2 + t}{1 - t}y + 5y = 3 \implies y \cdot \dfrac{13 - t}{1 - t} = 3 \implies y = \dfrac{3(1 - t)}{13 - t}

x = \dfrac{3(2 + t)}{13 - t}

Обчислимо координати для обох значень $t$: 1) Для $t_1 = \dfrac{15 + \sqrt{161}}{8}$:

x_1 = \dfrac{93 + 3\sqrt{161}}{89 - \sqrt{161}}, \quad y_1 = \dfrac{-21 - 3\sqrt{161}}{89 - \sqrt{161}}

2) Для $t_2 = \dfrac{15 - \sqrt{161}}{8}$:

x_2 = \dfrac{93 - 3\sqrt{161}}{89 + \sqrt{161}}, \quad y_2 = \dfrac{-21 + 3\sqrt{161}}{89 + \sqrt{161}}

**Відповідь:** $\left(\dfrac{93 + 3\sqrt{161}}{89 - \sqrt{161}}; \dfrac{-21 - 3\sqrt{161}}{89 - \sqrt{161}}\right)$, $\left(\dfrac{93 - 3\sqrt{161}}{89 + \sqrt{161}}; \dfrac{-21 + 3\sqrt{161}}{89 + \sqrt{161}}\right)$. **№ 13.26. Розв’яжіть систему рівнянь:** 1) $$ \begin{cases} \dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x} = \dfrac{5}{6} \\ x + y = 5 \end{cases}

Розв’язання:

Область допустимих значень (ОДЗ): $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .

У першому рівнянні введемо заміну $t = \frac{x}{y}$ :

$t - \frac{1}{t} = \frac{5}{6}$

$\frac{t ^{2} - 1}{t} = \frac{5}{6}$

$6 t^{2} - 5 t - 6 = 0$

$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 6) = 25 + 144 = 169$

$t_{1} = \frac{5 + 13}{12} = \frac{3}{2}, t_{2} = \frac{5 - 13}{12} = - \frac{2}{3}$

Розглянемо два випадки:

а) Якщо $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$ , то $x = 1, 5 y$ . Підставимо у друге рівняння $x + y = 5$ :

$1, 5 y + y = 5$

$2, 5 y = 5 ⟹ y = 2$

$x = 1, 5 \cdot 2 = 3$

б) Якщо $\frac{x}{y} = - \frac{2}{3}$ , то $x = - \frac{2}{3} y$ . Підставимо у друге рівняння $x + y = 5$ :

$- \frac{2}{3} y + y = 5$

$\frac{1}{3} y = 5 ⟹ y = 15$

$x = - \frac{2}{3} \cdot 15 = - 10$

Обидві пари задовольняють ОДЗ.

Відповідь: $(3; 2)$ , $(- 10; 15)$ .

\begin{cases}
(x - y)^2 + 4(x - y) + 4 = 0 \
(x + y)^2 - 2(x + y) - 3 = 0
\end{cases}

**Розв'язання:** Перше рівняння є повним квадратом відносно виразу $(x - y)$: $$(x - y + 2)^2 = 0 \implies x - y = -2$$ Друге рівняння розв'яжемо як квадратне відносно $v = x + y$: $$v^2 - 2v - 3 = 0 \implies v_1 = 3, \quad v_2 = -1$$ Отримуємо дві системи рівнянь: а) $$ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 3 \end{cases}

Додавши та віднявши рівняння, маємо:
$2 x = 1 ⟹ x = 0, 5$
$2 y = 5 ⟹ y = 2, 5$

б) $$
\begin{cases}
x - y = -2 \
x + y = -1
\end{cases}

Додавши та віднявши рівняння, маємо: $$2x = -3 \implies x = -1{,}5$$ $$2y = 1 \implies y = 0{,}5$$ **Відповідь:** $(0{,}5; 2{,}5)$, $(-1{,}5; 0{,}5)$. **№ 13.27.** За якого значення $a$ система

\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 \
y = x^2 + a
\end{cases}

має: 1) єдиний розв’язок; 2) рівно три розв’язки? **Розв'язання:** Графіком першого рівняння $x^2 + y^2 = 4$ є коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = 2$. Графіком другого рівняння $y = x^2 + a$ є парабола з вершиною у точці $(0; a)$, вітки якої напрямлені вгору. Виразимо $x^2$ з другого рівняння: $x^2 = y - a$. Підставимо цей вираз у перше рівняння:

(y - a) + y^2 = 4

y^2 + y - (a + 4) = 0

Оскільки $x^2 = y - a \ge 0$, то значення $y$ повинно задовольняти умову $y \ge a$: - якщо $y > a$, то з виразу $x^2 = y - a$ отримуємо два значення $x = \pm \sqrt{y - a}$ (тобто 2 розв'язки для такого $y$); - якщо $y = a$, то $x^2 = 0 \implies x = 0$ (тобто 1 розв'язок для такого $y$); - якщо $y < a$, то $x^2 < 0$ (дійсних розв'язків $x$ немає). Розглянемо випадок $y = a$. Підставимо $y = a$ у квадратне рівняння $y^2 + y - (a + 4) = 0$:

a^2 + a - (a + 4) = 0

a^2 - 4 = 0

\left[
\begin{array}{l}
a = 2 \
a = -2
\end{array}
\right.

\begin{cases}
2x + y = 24 \
x + 2y = 21
\end{cases}

Виразимо $x$ з другого рівняння: $$x = 21 - 2y$$ Підставимо отриманий вираз у перше рівняння: $$2(21 - 2y) + y = 24$$ $$42 - 4y + y = 24$$ $$-3y = 24 - 42$$ $$-3y = -18$$ $$y = 6$$ Знайдемо значення $x$: $$x = 21 - 2 \cdot 6 = 21 - 12 = 9$$ Отримані значення $x = 9$ та $y = 6$ задовольняють умову задачі. Отже, один зошит коштує $9\text{ грн}$, а один олівець — $6\text{ грн}$. **Відповідь:** один зошит коштує $9\text{ грн}$, один олівець — $6\text{ грн}$. 2) Човен за $1{,}5\text{ год}$ руху за течією річки і $2\text{ год}$ руху проти течії долає $62\text{ км}$, а за $3\text{ год}$ руху в стоячій воді й $1\text{ год}$ руху проти течії — $70\text{ км}$. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії річки. **Розв'язання:** Нехай власна швидкість човна дорівнює $x\text{ км/год}$, а швидкість течії річки — $y\text{ км/год}$ ($x > y > 0$). Тоді: - швидкість човна за течією дорівнює $(x + y)\text{ км/год}$; - швидкість човна проти течії дорівнює $(x - y)\text{ км/год}$; - швидкість човна в стоячій воді дорівнює $x\text{ км/год}$. За першою умовою човен за $1{,}5\text{ год}$ за течією та $2\text{ год}$ проти течії долає $62\text{ км}$: $$1{,}5(x + y) + 2(x - y) = 62$$ $$1{,}5x + 1{,}5y + 2x - 2y = 62$$ $$3{,}5x - 0{,}5y = 62$$ Помножимо обидві частини рівняння на $2$: $$7x - y = 124$$ За другою умовою за $3\text{ год}$ у стоячій воді та $1\text{ год}$ проти течії човен долає $70\text{ км}$: $$3x + 1(x - y) = 70$$ $$4x - y = 70$$ Складемо та розв'яжемо систему рівнянь:

\begin{cases}
7x - y = 124 \
4x - y = 70
\end{cases}

Віднімемо від першого рівняння друге: $$(7x - y) - (4x - y) = 124 - 70$$ $$3x = 54$$ $$x = 18$$ Підставимо $x = 18$ у друге рівняння $4x - y = 70$: $$4 \cdot 18 - y = 70$$ $$72 - y = 70$$ $$y = 2$$ Знайдені значення $x = 18$ та $y = 2$ задовольняють умову $x > y > 0$. Отже, власна швидкість човна становить $18\text{ км/год}$, а швидкість течії — $2\text{ км/год}$. **Відповідь:** власна швидкість човна — $18\text{ км/год}$, швидкість течії річки — $2\text{ км/год}$. **ЦІКАВІ ЗАДАЧІ – ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ** **13.33. (Київська математична олімпіада, 1989 р.) Нехай $a, b, c$ — додатні числа. Доведіть, що**

\dfrac{a + b}{a^2 + b^2} + \dfrac{b + c}{b^2 + c^2} + \dfrac{a + c}{a^2 + c^2} \le \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}

**Доведення:** 1) Розглянемо перший доданок у лівій частині нерівності: $\dfrac{a + b}{a^2 + b^2}$. Оскільки $a > 0$ та $b > 0$, скористаємося відомою нерівністю $a^2 + b^2 \ge 2ab$, яка є рівносильною $(a - b)^2 \ge 0$. 2) Оскільки $a^2 + b^2 \ge 2ab > 0$, то для обернених величин виконується:

\dfrac{1}{a^2 + b^2} \le \dfrac{1}{2ab}

Помножимо обидві частини цієї нерівності на додатне число $(a + b)$:

\dfrac{a + b}{a^2 + b^2} \le \dfrac{a + b}{2ab} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{ab} + \dfrac{b}{ab}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a}\right)

3) Аналогічнозапишемовідповідніоцінкидлядвохіншихдоданків :

\dfrac{b + c}{b^2 + c^2} \le \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right)

\dfrac{a + c}{a^2 + c^2} \le \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}\right)

4) Додамопочленноотриманітринерівностіоднаковогознака :

\dfrac{a + b}{a^2 + b^2} + \dfrac{b + c}{b^2 + c^2} + \dfrac{a + c}{a^2 + c^2} \le \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}\right)

Зведемоподібнідоданкивправійчастині :

\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot 2\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}

Отже, доведено, що :

\dfrac{a + b}{a^2 + b^2} + \dfrac{b + c}{b^2 + c^2} + \dfrac{a + c}{a^2 + c^2} \le \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}

(Рівність досягається за умови $a = b = c$). **Доведено.**

13. Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними

Теги статті:

До уроку