13. Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 13.1. Чи є пара чисел $x = 2$ , $y = 1$ розв’язком системи рівнянь:

1) ${x^{2} + y^{2} = 5 x - y = 1$

2) ${x^{2} - y^{2} = 3 x + y = 4$

Розв’язання:

1) Підставимо значення $x = 2$ та $y = 1$ у рівняння системи:
$2^{2} + 1^{2} = 4 + 1 = 5$ — правильна рівність
$2 - 1 = 1$ — правильна рівність
Обидва рівняння перетворюються на правильні числові рівності, отже, пара чисел $(2; 1)$ є розв’язком системи рівнянь.

2) Підставимо значення $x = 2$ та $y = 1$ у рівняння системи:
$2^{2} - 1^{2} = 4 - 1 = 3$ — правильна рівність
$2 + 1 = 3 \neq = 4$ — неправильна рівність
Друге рівняння не перетворюється на правильну числову рівність, отже, пара чисел $(2; 1)$ не є розв’язком системи рівнянь.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

№ 13.2. Чи є розв’язком системи ${2 x^{2} + y = - 1 x + y = - 2$ пара чисел:
1) $(1; - 3)$ ;
2) $(0; - 1)$ ?

Розв’язання:

1) Підставимо значення $x = 1$ , $y = - 3$ у систему рівнянь:
${2 \cdot 1^{2} + (- 3) = - 1 1 + (- 3) = - 2$
${2 - 3 = - 1 - 2 = - 2$
${- 1 = - 1 - 2 = - 2$
Обидві рівності є правильними, тому пара чисел $(1; - 3)$ є розв’язком системи.

2) Підставимо значення $x = 0$ , $y = - 1$ у систему рівнянь:
${2 \cdot 0^{2} + (- 1) = - 1 0 + (- 1) = - 2$
${- 1 = - 1 - 1 \neq = - 2$
Друга рівність не виконується, тому пара чисел $(0; - 1)$ не є розв’язком системи.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

№ 13.3. Побудуйте графік функції $y = x^{2} - 4$ . За допомогою графіка розв’яжіть систему рівнянь:
1) ${y = x^{2} - 4 y = x + 2$
2) ${y = x^{2} - 4 y = 3 x$
3) ${y = x^{2} - 4 y = x - 6$

Розв’язання:

Побудуємо графік функції $y = x^{2} - 4$ — параболу з вершиною в точці $(0; - 4)$ , вітки якої напрямлені вгору.

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

1) Графіком рівняння $y = x + 2$ є пряма. Складемо таблицю значень для двох точок:

$x$	$0$	$- 2$
$y$	$2$	$0$

Пряма та парабола перетинаються у двох точках із координатами $(- 2; 0)$ та $(3; 5)$ .

2) Графіком рівняння $y = 3 x$ є пряма, що проходить через початок координат. Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$2$
$y$	$0$	$6$

Пряма та парабола перетинаються у двох точках із координатами $(- 1; - 3)$ та $(4; 12)$ .

3) Графіком рівняння $y = x - 6$ є пряма. Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$6$
$y$	$- 6$	$0$

Пряма та парабола не мають спільних точок, тому система не має розв’язків.

Графік до вправи № 13.3 - Алгебра 9 клас

Відповідь: 1) $(- 2; 0)$ , $(3; 5)$ ; 2) $(- 1; - 3)$ , $(4; 12)$ ; 3) розв’язків немає.

№ 13.4. Побудуйте графік функції $y = - x^{2} + 1$ . За допомогою графіка розв’яжіть систему рівнянь:
1) ${y = - x^{2} + 1 y = x + 1$
2) ${y = - x^{2} + 1 y = x + 2$

Розв’язання:

Побудуємо графік функції $y = - x^{2} + 1$ — параболу з вершиною в точці $(0; 1)$ , вітки якої напрямлені вниз.

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 3$	$0$	$1$	$0$	$- 3$

Для розв’язування систем побудуємо в тій самій системі координат графіки лінійних функцій:

Для прямої $y = x + 1$ :

$x$	$- 1$	$0$
$y$	$0$	$1$

Для прямої $y = x + 2$ :

$x$	$- 2$	$0$
$y$	$0$	$2$

Графік до вправи № 13.4 - Алгебра 9 клас

1) Парабола $y = - x^{2} + 1$ та пряма $y = x + 1$ перетинаються у двох точках: $(- 1; 0)$ та $(0; 1)$ .
Розв’язками системи є координати цих точок: $(- 1; 0)$ та $(0; 1)$ .

2) Парабола $y = - x^{2} + 1$ та пряма $y = x + 2$ не мають спільних точок.
Отже, система рівнянь розв’язків не має.

Відповідь: 1) $(- 1; 0)$ , $(0; 1)$ ; 2) розв’язків немає.

№ 13.5. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) ${x^{2} + y^{2} = 9 x - y = 3$

2) ${x y = 4 y = 4 x$

3) ${x^{2} + y^{2} = 25 x y = - 12$

Розв’язання:

1) ${x^{2} + y^{2} = 9 x - y = 3$

Графіком рівняння $x^{2} + y^{2} = 9$ є коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = 3$ .
З другого рівняння виразимо $y$ :
$y = x - 3$ — лінійна функція, графіком є пряма.

Складемо таблицю значень для прямої $y = x - 3$ :

$x$	$0$	$3$
$y$	$- 3$	$0$

Графік до вправи № 13.5 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Побудовані графіки перетинаються у двох точках: $(3; 0)$ та $(0; - 3)$ .

Перевірка:
Для $(3; 0)$ :
$3^{2} + 0^{2} = 9$ — істинно;
$3 - 0 = 3$ — істинно.

Для $(0; - 3)$ :
$0^{2} + (- 3)^{2} = 9$ — істинно;
$0 - (- 3) = 3$ — істинно.

2) ${x y = 4 y = 4 x$

З першого рівняння виразимо $y$ :
$y = \frac{4}{x}$ — обернена пропорційність, графіком є гіпербола, вітки якої розташовані в I та III координатних чвертях.

Складемо таблицю значень для $y = \frac{4}{x}$ :

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 4$	$4$	$2$	$1$

Графіком рівняння $y = 4 x$ є пряма, що проходить через початок координат.

Складемо таблицю значень для прямої $y = 4 x$ :

$x$	$0$	$1$
$y$	$0$	$4$

Графік до вправи № 13.5 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються у двох точках: $(1; 4)$ та $(- 1; - 4)$ .

Перевірка:
Для $(1; 4)$ :
$1 \cdot 4 = 4$ — істинно;
$4 = 4 \cdot 1$ — істинно.

Для $(- 1; - 4)$ :
$(- 1) \cdot (- 4) = 4$ — істинно;
$- 4 = 4 \cdot (- 1)$ — істинно.

3) ${x^{2} + y^{2} = 25 x y = - 12$

Графіком рівняння $x^{2} + y^{2} = 25$ є коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = 5$ .
З другого рівняння виразимо $y$ :
$y = - \frac{12}{x}$ — обернена пропорційність, графіком є гіпербола, вітки якої розташовані в II та IV координатних чвертях.

Складемо таблицю значень для $y = - \frac{12}{x}$ :

$x$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$2$	$3$	$4$	$6$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$

Графік до вправи № 13.5 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

Графіки мають $4$ спільні точки: $(- 4; 3)$ , $(- 3; 4)$ , $(3; - 4)$ , $(4; - 3)$ .

Перевірка:
Для $(- 4; 3)$ :
$(- 4)^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25$ — істинно;
$(- 4) \cdot 3 = - 12$ — істинно.

Для $(- 3; 4)$ :
$(- 3)^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ — істинно;
$(- 3) \cdot 4 = - 12$ — істинно.

Для $(3; - 4)$ :
$3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25$ — істинно;
$3 \cdot (- 4) = - 12$ — істинно.

Для $(4; - 3)$ :
$4^{2} + (- 3)^{2} = 16 + 9 = 25$ — істинно;
$4 \cdot (- 3) = - 12$ — істинно.

Відповідь: 1) $(3; 0)$ , $(0; - 3)$ ; 2) $(1; 4)$ , $(- 1; - 4)$ ; 3) $(- 4; 3)$ , $(- 3; 4)$ , $(3; - 4)$ , $(4; - 3)$ .

№ 13.6. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) ${x^{2} + y^{2} = 4, y - x = 2;$

2) ${x y = 6, y = 6 x;$

3) ${x^{2} + y^{2} = 25, x y = 12.$

За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування однієї із систем.

Розв’язання:

1) ${x^{2} + y^{2} = 4 y - x = 2$

Графіком рівняння $x^{2} + y^{2} = 4$ є коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = 2$ .

Графіком рівняння $y - x = 2$ , тобто $y = x + 2$ , є пряма. Складемо таблицю значень:

$x$	$- 2$	$0$
$y$	$0$	$2$

Графік до вправи № 13.6 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Побудовані графіки перетинаються у двох точках: $(- 2; 0)$ та $(0; 2)$ .

Перевірка:
$(- 2)^{2} + 0^{2} = 4$ та $0 - (- 2) = 2$ — рівності правильні;
$0^{2} + 2^{2} = 4$ та $2 - 0 = 2$ — рівності правильні.

Розв’язками системи є пари чисел: $(- 2; 0)$ , $(0; 2)$ .

2) ${x y = 6 y = 6 x$

Графіком рівняння $x y = 6$ , тобто $y = \frac{6}{x}$ , є гіпербола. Складемо таблицю значень:

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 6$	$6$	$3$	$2$	$1$

Графіком рівняння $y = 6 x$ є пряма, що проходить через початок координат. Складемо таблицю значень:

$x$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$- 6$	$0$	$6$

Графік до вправи № 13.6 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Побудовані графіки перетинаються у двох точках: $(1; 6)$ та $(- 1; - 6)$ .

Перевірка:
$1 \cdot 6 = 6$ та $6 = 6 \cdot 1$ — рівності правильні;
$- 1 \cdot (- 6) = 6$ та $- 6 = 6 \cdot (- 1)$ — рівності правильні.

Розв’язками системи є пари чисел: $(- 1; - 6)$ , $(1; 6)$ .

3) ${x^{2} + y^{2} = 25 x y = 12$

Графіком рівняння $x^{2} + y^{2} = 25$ є коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = 5$ .

Графіком рівняння $x y = 12$ , тобто $y = \frac{12}{x}$ , є гіпербола. Складемо таблицю значень:

$x$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$- 2$	$- 3$	$- 4$	$- 6$	$6$	$4$	$3$	$2$

Графік до вправи № 13.6 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

Побудовані графіки перетинаються у чотирьох точках: $(3; 4)$ , $(4; 3)$ , $(- 3; - 4)$ , $(- 4; - 3)$ .

Перевірка:
$3^{2} + 4^{2} = 25$ та $3 \cdot 4 = 12$ ;
$4^{2} + 3^{2} = 25$ та $4 \cdot 3 = 12$ ;
$(- 3)^{2} + (- 4)^{2} = 25$ та $(- 3) \cdot (- 4) = 12$ ;
$(- 4)^{2} + (- 3)^{2} = 25$ та $(- 4) \cdot (- 3) = 12$ .

Усі рівності правильні.

Розв’язками системи є пари чисел: $(3; 4)$ , $(4; 3)$ , $(- 3; - 4)$ , $(- 4; - 3)$ .

Відповідь: 1) $(- 2; 0)$ , $(0; 2)$ ; 2) $(- 1; - 6)$ , $(1; 6)$ ; 3) $(3; 4)$ , $(4; 3)$ , $(- 3; - 4)$ , $(- 4; - 3)$ .

№ 13.7. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь:

1) ${x = 4 y y^{2} + x + 3 = 0$

2) ${x^{2} + y = 0 y = 2 x - 3$

Розв’язання:

1) Підставимо вираз $4 y$ замість $x$ у друге рівняння системи:
$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = - 3$ , $y_{2} = - 1$

Знайдемо відповідні значення $x$ за формулою $x = 4 y$ :
якщо $y_{1} = - 3$ , то $x_{1} = 4 \cdot (- 3) = - 12$ ;
якщо $y_{2} = - 1$ , то $x_{2} = 4 \cdot (- 1) = - 4$ .

Розв’язками системи є пари чисел $(- 12; - 3)$ та $(- 4; - 1)$ .

2) Підставимо вираз $2 x - 3$ замість $y$ у перше рівняння системи:
$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 1$

Знайдемо відповідні значення $y$ за формулою $y = 2 x - 3$ :
якщо $x_{1} = - 3$ , то $y_{1} = 2 \cdot (- 3) - 3 = - 9$ ;
якщо $x_{2} = 1$ , то $y_{2} = 2 \cdot 1 - 3 = - 1$ .

Розв’язками системи є пари чисел $(- 3; - 9)$ та $(1; - 1)$ .

Відповідь: 1) $(- 12; - 3)$ , $(- 4; - 1)$ ; 2) $(- 3; - 9)$ , $(1; - 1)$ .

№ 13.8. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь:
1) ${y = - 2 x x^{2} + y - 3 = 0$
2) ${x = 4 y - 5 y^{2} + x = 0$

Розв’язання:

1) ${y = - 2 x x^{2} + y - 3 = 0$

Підставимо вираз для $y$ з першого рівняння у друге рівняння системи:
$x^{2} + (- 2 x) - 3 = 0$
$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 1$

Знайдемо відповідні значення змінної $y$ :
Якщо $x_{1} = 3$ , то $y_{1} = - 2 \cdot 3 = - 6$ ;
Якщо $x_{2} = - 1$ , то $y_{2} = - 2 \cdot (- 1) = 2$ .

Отримуємо розв’язки системи: $(3; - 6)$ та $(- 1; 2)$ .

2) ${x = 4 y - 5 y^{2} + x = 0$

Підставимо вираз для $x$ з першого рівняння у друге рівняння системи:
$y^{2} + (4 y - 5) = 0$
$y^{2} + 4 y - 5 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = - 5$ , $y_{2} = 1$

Знайдемо відповідні значення змінної $x$ :
Якщо $y_{1} = - 5$ , то $x_{1} = 4 \cdot (- 5) - 5 = - 20 - 5 = - 25$ ;
Якщо $y_{2} = 1$ , то $x_{2} = 4 \cdot 1 - 5 = 4 - 5 = - 1$ .

Отримуємо розв’язки системи: $(- 25; - 5)$ та $(- 1; 1)$ .

Відповідь: 1) $(3; - 6)$ , $(- 1; 2)$ ; 2) $(- 25; - 5)$ , $(- 1; 1)$ .

№ 13.9. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) ${y - x = 1 x y = 12$
2) ${x - y = 1 x^{2} + y^{2} = 25$
3) ${x + y = 3 x^{2} - y^{2} = 3$
4) ${y + 2 x = 3 x^{2} + y^{2} = 5$

Розв’язання:

1) ${y - x = 1 x y = 12$

Виразимо $y$ з першого рівняння:
$y = x + 1$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$x (x + 1) = 12$
$x^{2} + x - 12 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 3$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x_{1} = - 4$ , то $y_{1} = - 4 + 1 = - 3$ ;
якщо $x_{2} = 3$ , то $y_{2} = 3 + 1 = 4$ .

Розв’язками системи є пари чисел: $(- 4; - 3)$ та $(3; 4)$ .

2) ${x - y = 1 x^{2} + y^{2} = 25$

Виразимо $x$ з першого рівняння:
$x = y + 1$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$(y + 1)^{2} + y^{2} = 25$
$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 25 = 0$
$2 y^{2} + 2 y - 24 = 0$
$y^{2} + y - 12 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = - 4$ , $y_{2} = 3$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
якщо $y_{1} = - 4$ , то $x_{1} = - 4 + 1 = - 3$ ;
якщо $y_{2} = 3$ , то $x_{2} = 3 + 1 = 4$ .

Розв’язками системи є пари чисел: $(- 3; - 4)$ та $(4; 3)$ .

3) ${x + y = 3 x^{2} - y^{2} = 3$

Розкладемо ліву частину другого рівняння на множники:
${x + y = 3 (x - y) (x + y) = 3$

Підставимо значення $x + y = 3$ у друге рівняння:
$3 (x - y) = 3$
$x - y = 1$

Отримаємо лінійну систему:
${x + y = 3 x - y = 1$

Додамо обидва рівняння системи:
$2 x = 4$
$x = 2$

Знайдемо значення $y$ :
$2 + y = 3$
$y = 1$

Розв’язком системи є пара чисел: $(2; 1)$ .

4) ${y + 2 x = 3 x^{2} + y^{2} = 5$

Виразимо $y$ з першого рівняння:
$y = 3 - 2 x$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$x^{2} + (3 - 2 x)^{2} = 5$
$x^{2} + 9 - 12 x + 4 x^{2} - 5 = 0$
$5 x^{2} - 12 x + 4 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = (- 12)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$

Обчислимо корені рівняння:
$x_{1} = \frac{12 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0, 4$
$x_{2} = \frac{12 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x_{1} = 0, 4$ , то $y_{1} = 3 - 2 \cdot 0, 4 = 3 - 0, 8 = 2, 2$ ;
якщо $x_{2} = 2$ , то $y_{2} = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = - 1$ .

Розв’язками системи є пари чисел: $(0, 4; 2, 2)$ та $(2; - 1)$ .

Відповідь: 1) $(- 4; - 3), (3; 4)$ ; 2) $(- 3; - 4), (4; 3)$ ; 3) $(2; 1)$ ; 4) $(0, 4; 2, 2), (2; - 1)$ .

№ 13.10. Знайдіть розв’язки системи рівнянь:
1) ${y - x = 2 x y = 8$
2) ${x - y = 1 x^{2} + y^{2} = 5$
3) ${x + y = 2 y^{2} - x^{2} = 4$
4) ${y - 3 x = 1 x^{2} + y^{2} = 53$

Розв’язання:

1) ${y - x = 2 x y = 8$

Виразимо $y$ через $x$ із першого рівняння:
$y = x + 2$

Підставимо у друге рівняння:
$x (x + 2) = 8$
$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 2$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x_{1} = - 4$ , то $y_{1} = - 4 + 2 = - 2$ ;
якщо $x_{2} = 2$ , то $y_{2} = 2 + 2 = 4$ .

Отримуємо пари чисел: $(- 4; - 2)$ та $(2; 4)$ .

2) ${x - y = 1 x^{2} + y^{2} = 5$

Виразимо $y$ через $x$ із першого рівняння:
$y = x - 1$

Підставимо у друге рівняння:
$x^{2} + (x - 1)^{2} = 5$
$x^{2} + x^{2} - 2 x + 1 = 5$
$2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$
$x^{2} - x - 2 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 1$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x_{1} = 2$ , то $y_{1} = 2 - 1 = 1$ ;
якщо $x_{2} = - 1$ , то $y_{2} = - 1 - 1 = - 2$ .

Отримуємо пари чисел: $(2; 1)$ та $(- 1; - 2)$ .

3) ${x + y = 2 y^{2} - x^{2} = 4$

Виразимо $y$ через $x$ із першого рівняння:
$y = 2 - x$

Підставимо у друге рівняння:
$(2 - x)^{2} - x^{2} = 4$
$4 - 4 x + x^{2} - x^{2} = 4$
$4 - 4 x = 4$
$- 4 x = 0$
$x = 0$

Знайдемо значення $y$ :
$y = 2 - 0 = 2$ .

Отримуємо пару чисел: $(0; 2)$ .

4) ${y - 3 x = 1 x^{2} + y^{2} = 53$

Виразимо $y$ через $x$ із першого рівняння:
$y = 3 x + 1$

Підставимо у друге рівняння:
$x^{2} + (3 x + 1)^{2} = 53$
$x^{2} + 9 x^{2} + 6 x + 1 = 53$
$10 x^{2} + 6 x - 52 = 0$
$5 x^{2} + 3 x - 26 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = 3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 26) = 9 + 520 = 529 = 2 3^{2}$

$x_{1} = \frac{- 3 + 23}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$
$x_{2} = \frac{- 3 - 23}{2 \cdot 5} = \frac{- 26}{10} = - \frac{13}{5} = - 2, 6$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x_{1} = 2$ , то $y_{1} = 3 \cdot 2 + 1 = 7$ ;
якщо $x_{2} = - \frac{13}{5}$ , то $y_{2} = 3 \cdot (- \frac{13}{5}) + 1 = - \frac{39}{5} + \frac{5}{5} = - \frac{34}{5} = - 6, 8$ .

Отримуємо пари чисел: $(2; 7)$ та $(- \frac{13}{5}; - \frac{34}{5})$ .

Відповідь: 1) $(- 4; - 2), (2; 4)$ ; 2) $(2; 1), (- 1; - 2)$ ; 3) $(0; 2)$ ; 4) $(2; 7), (- \frac{13}{5}; - \frac{34}{5})$ .

№ 13.11. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь:
1) ${x + y^{2} = 3 x - y^{2} = 1$
2) ${x^{2} + y = 1 - x^{2} + 4 y = 19$

Розв’язання:

1) Додамо почленно рівняння системи:
$(x + y^{2}) + (x - y^{2}) = 3 + 1$
$2 x = 4$
$x = 2$

Підставимо $x = 2$ у перше рівняння:
$2 + y^{2} = 3$
$y^{2} = 1$
$y = \pm 1$

Маємо дві пари чисел: $(2; 1)$ та $(2; - 1)$ .

2) Додамо почленно рівняння системи:
$(x^{2} + y) + (- x^{2} + 4 y) = 1 + 19$
$5 y = 20$
$y = 4$

Підставимо $y = 4$ у перше рівняння:
$x^{2} + 4 = 1$
$x^{2} = - 3$

Оскільки $x^{2} \geq 0$ для будь-якого дійсного $x$ , рівняння не має дійсних коренів.
Отже, система рівнянь не має розв’язків.

Відповідь: 1) $(2; 1)$ , $(2; - 1)$ ; 2) розв’язків немає.

№ 13.12. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь:

1) ${y + x^{2} = 10, y - x^{2} = - 8;$

2) ${y^{2} + x = 2, - y^{2} + 2 x = 7.$

Розв’язання:

1) Додамо почленно ліві та праві частини рівнянь системи:
$(y + x^{2}) + (y - x^{2}) = 10 + (- 8)$
$2 y = 2$
$y = 1$

Підставимо отримане значення $y = 1$ у перше рівняння:
$1 + x^{2} = 10$
$x^{2} = 9$
$x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 3$

Отримуємо пари чисел: $(3; 1)$ та $(- 3; 1)$ .

2) Додамо почленно ліві та праві частини рівнянь системи:
$(y^{2} + x) + (- y^{2} + 2 x) = 2 + 7$
$3 x = 9$
$x = 3$

Підставимо отримане значення $x = 3$ у перше рівняння:
$y^{2} + 3 = 2$
$y^{2} = - 1$

Оскільки квадрат дійсного числа не може бути від’ємним, рівняння $y^{2} = - 1$ не має дійсних коренів.
Отже, система рівнянь розв’язків не має.

Відповідь: 1) $(3; 1)$ , $(- 3; 1)$ ; 2) розв’язків немає.

№ 13.13.
1) Розв’яжіть систему рівнянь ${x + y = 5 x^{2} + y = 7$ трьома способами: графічним, способом підстановки і способом додавання.
2) Який спосіб вам сподобався найбільше?
3) Нехай $(x_{1}; y_{1})$ , $(x_{2}; y_{2})$ — пари розв’язків системи. Знайдіть значення виразу $\frac{x _{1} + y _{1} + x _{2} + y _{2}}{2}$ , відтак дізнаєтеся, скільки медалей здобув українець Андрій Трусов на літніх Паралімпійських іграх 2024 року.

Розв’язання:

1)
Графічний спосіб:

Виразимо $y$ через $x$ у кожному рівнянні:
${y = 5 - x y = 7 - x^{2}$

Графіком рівняння $y = 5 - x$ є пряма.

$x$	$0$	$5$
$y$	$5$	$0$

Графіком рівняння $y = 7 - x^{2}$ є парабола з вершиною в точці $(0; 7)$ , вітки якої напрямлені вниз.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$3$	$6$	$7$	$6$	$3$

Графік до вправи № 13.13 - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються у двох точках: $(2; 3)$ та $(- 1; 6)$ .

Спосіб підстановки:

${x + y = 5 x^{2} + y = 7$

З першого рівняння виразимо $y$ :
$y = 5 - x$

Підставимо у друге рівняння:
$x^{2} + 5 - x = 7$
$x^{2} - x - 2 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 1$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
Якщо $x_{1} = 2$ , то $y_{1} = 5 - 2 = 3$ .
Якщо $x_{2} = - 1$ , то $y_{2} = 5 - (- 1) = 6$ .

Отримуємо пари розв’язків: $(2; 3)$ та $(- 1; 6)$ .

Спосіб додавання:

${x^{2} + y = 7 x + y = 5$

Помножимо друге рівняння на $- 1$ :
${x^{2} + y = 7 - x - y = - 5$

Додамо почленно обидва рівняння:
$x^{2} - x = 2$
$x^{2} - x - 2 = 0$

$x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 1$

Якщо $x_{1} = 2$ , то $y_{1} = 5 - 2 = 3$ .
Якщо $x_{2} = - 1$ , то $y_{2} = 5 - (- 1) = 6$ .

Отримуємо пари розв’язків: $(2; 3)$ та $(- 1; 6)$ .

2) Найбільш зручним є спосіб підстановки, оскільки лінійну змінну $y$ легко виразити з першого рівняння.

3) Обчислимо значення виразу для пар розв’язків $(x_{1}; y_{1}) = (2; 3)$ та $(x_{2}; y_{2}) = (- 1; 6)$ :

$\frac{x _{1} + y _{1} + x _{2} + y _{2}}{2} = \frac{2 + 3 + ( - 1 ) + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Отже, Андрій Трусов здобув 5 медалей.

Відповідь: 1) $(2; 3)$ , $(- 1; 6)$ ; 2) спосіб підстановки; 3) 5.

№ 13.14.

1) Розв’яжіть систему рівнянь
${y - x = 8 x^{2} - y = - 2$
трьома способами: графічним, способом підстановки і способом додавання.

2) Який спосіб вам сподобався найбільше?

3) Нехай $(x_{1}; y_{1})$ , $(x_{2}; y_{2})$ — пари розв’язків системи. Знайдіть значення виразу $x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + 8$ , відтак дізнаєтеся, у якому віці українська біофізикиня Ольга Броварець стала докторкою наук.

Розв’язання:

1) Спосіб підстановки:
${y = x + 8 x^{2} - y = - 2$

Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння:
$x^{2} - (x + 8) = - 2$
$x^{2} - x - 8 + 2 = 0$
$x^{2} - x - 6 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 2$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 3 + 8 = 11$
$y_{2} = - 2 + 8 = 6$

Розв’язки системи: $(3; 11)$ , $(- 2; 6)$ .

Спосіб додавання:
${- x + y = 8 x^{2} - y = - 2$

Додамо почленно ліві й праві частини рівнянь:
$x^{2} - x = 6$
$x^{2} - x - 6 = 0$
$x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 2$

Підставимо отримані значення змінної $x$ у рівняння $y = x + 8$ :
$y_{1} = 3 + 8 = 11$
$y_{2} = - 2 + 8 = 6$

Розв’язки системи: $(3; 11)$ , $(- 2; 6)$ .

Графічний спосіб:
Виразимо $y$ через $x$ у кожному рівнянні:
${y = x + 8 y = x^{2} + 2$

Графіком рівняння $y = x + 8$ є пряма:

$x$	$- 2$	$0$	$3$
$y$	$6$	$8$	$11$

Графіком рівняння $y = x^{2} + 2$ є парабола з вершиною в точці $(0; 2)$ , вітки якої напрямлені вгору:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$11$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$	$11$

Графік до вправи № 13.14 - Алгебра 9 клас

Пряма і парабола перетинаються в точках $(- 2; 6)$ та $(3; 11)$ .
Розв’язки системи: $(3; 11)$ , $(- 2; 6)$ .

2) Найбільш зручним є спосіб підстановки (або додавання), оскільки аналітичні способи простіші в обчисленнях і дають точний результат без необхідності громіздкої побудови графіків.

3) Обчислимо значення виразу $x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + 8$ :
$3 \cdot 11 + (- 2) \cdot 6 + 8$
$= 33 - 12 + 8$
$= 29$

Ольга Броварець стала докторкою наук у 29 років.

Відповідь: 1) $(3; 11)$ , $(- 2; 6)$ ; 2) спосіб підстановки (або додавання); 3) 29 років.

№ 13.15. Розв’яжіть графічно систему:

1) ${x^{2} + 4 x - y = 0 x + y + 4 = 0$

2) ${x^{2} + y^{2} = 4 y = x^{2} + 2$

Розв’язання:

1) Виразимо змінну $y$ через $x$ у кожному рівнянні:
${y = x^{2} + 4 x y = - x - 4$

Графіком функції $y = x^{2} + 4 x$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору.
Знайдемо координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = - 2$
$y_{0} = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) = 4 - 8 = - 4$
Вершина параболи — точка $(- 2; - 4)$ .

Складемо таблицю значень для побудови параболи $y = x^{2} + 4 x$ :

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$

Графіком рівняння $y = - x - 4$ є пряма.
Складемо таблицю значень для прямої $y = - x - 4$ :

$x$	$- 4$	$0$
$y$	$0$	$- 4$

Графік до вправи № 13.15 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються у двох точках: $(- 4; 0)$ та $(- 1; - 3)$ .
Отже, розв’язками системи є пари чисел $(- 4; 0)$ та $(- 1; - 3)$ .

2) Розглянемо систему:
${x^{2} + y^{2} = 4 y = x^{2} + 2$

Графіком рівняння $x^{2} + y^{2} = 2^{2}$ є коло з центром у початку координат $O (0; 0)$ та радіусом $R = 2$ .

Графіком функції $y = x^{2} + 2$ є парабола з вершиною в точці $(0; 2)$ , вітки якої напрямлені вгору.
Складемо таблицю значень для параболи $y = x^{2} + 2$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$

Графік до вправи № 13.15 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Графіки мають одну спільну точку дотику: $(0; 2)$ .
Отже, розв’язком системи є пара чисел $(0; 2)$ .

Відповідь: 1) $(- 4; 0)$ , $(- 1; - 3)$ ; 2) $(0; 2)$ .

№ 13.16. Розв’яжіть графічно систему:

1) ${x^{2} + 6 x - y = 0 x + y + 6 = 0$

2) ${x^{2} + y^{2} = 9 y = x^{2} + 3$

За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування однієї із систем.

Розв’язання:

1) Виразимо $y$ через $x$ у кожному рівнянні:
${y = x^{2} + 6 x y = - x - 6$

Графіком функції $y = x^{2} + 6 x$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору.
Знайдемо координати вершини параболи:
$x_{0} = - \frac{6}{2 \cdot 1} = - 3$
$y_{0} = (- 3)^{2} + 6 \cdot (- 3) = 9 - 18 = - 9$
Вершина: $(- 3; - 9)$ .

Складемо таблицю значень для $y = x^{2} + 6 x$ :

$x$	$- 6$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$0$	$- 5$	$- 8$	$- 9$	$- 8$	$- 5$	$0$

Графіком функції $y = - x - 6$ є пряма лінія.
Складемо таблицю значень для $y = - x - 6$ :

$x$	$- 6$	$0$
$y$	$0$	$- 6$

Побудуємо графіки в одній системі координат.
Графіки перетинаються у двох точках: $(- 6; 0)$ та $(- 1; - 5)$ .

Графік до вправи № 13.16 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Перше рівняння $x^{2} + y^{2} = 9$ — це рівняння кола з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = 3$ .

Друге рівняння $y = x^{2} + 3$ задає параболу, вітки якої напрямлені вгору, з вершиною в точці $(0; 3)$ .
Складемо таблицю значень для $y = x^{2} + 3$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$7$	$4$	$3$	$4$	$7$

Побудуємо графіки в одній системі координат.
Коло та парабола мають одну спільну точку дотику: $(0; 3)$ .

Графік до вправи № 13.16 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь: 1) $(- 6; 0)$ , $(- 1; - 5)$ ; 2) $(0; 3)$ .

№ 13.17. Накресліть схематично графіки рівнянь системи і встановіть кількість її розв’язків:
1) ${x y = - 4 y - x^{2} = 2$
2) ${x^{2} + y^{2} = 9 x y = 1$

Розв’язання:

1) Виразимо $y$ через $x$ у кожному рівнянні:
$y = - \frac{4}{x}$
$y = x^{2} + 2$

Графіком рівняння $y = - \frac{4}{x}$ є гіпербола, вітки якої розташовані в II та IV координатних чвертях.

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y$	$1$	$2$	$4$	$- 4$	$- 2$	$- 1$

Графіком рівняння $y = x^{2} + 2$ є парабола з вершиною в точці $(0; 2)$ , вітки якої напрямлені вгору.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$

Графік до вправи № 13.17 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються в одній точці (у II чверті).
Отже, система має $1$ розв’язок.

2) Графіком першого рівняння $x^{2} + y^{2} = 9$ є коло з центром у початку координат $(0; 0)$ та радіусом $R = 3$ .

Графіком другого рівняння $y = \frac{1}{x}$ є гіпербола, вітки якої розташовані в I та III координатних чвертях.

$x$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0, 5$	$1$	$2$
$y$	$- 0, 5$	$- 1$	$- 2$	$2$	$1$	$0, 5$

Графік до вправи № 13.17 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Коло та гіпербола мають $4$ спільні точки (по дві точки перетину в I та III чвертях).
Отже, система має $4$ розв’язки.

Відповідь: 1) 1 розв’язок; 2) 4 розв’язки.

№ 13.18. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${4 y^{2} + x y = 22 x + 5 y = 13$

2) ${x^{2} + y^{2} = 25 x + \frac{y}{2} = 5$

3) ${x + 2 y = 6 x^{2} + x y + y^{2} = 12$

4) $⎩ ⎨ ⎧ x - y = 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{12}$

Розв’язання:

1) ${4 y^{2} + x y = 22 x + 5 y = 13$

З другого рівняння виразимо $x$ :
$x = 13 - 5 y$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:
$4 y^{2} + (13 - 5 y) y = 22$
$4 y^{2} + 13 y - 5 y^{2} = 22$
$- y^{2} + 13 y - 22 = 0$
$y^{2} - 13 y + 22 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 2$ , $y_{2} = 11$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
Якщо $y = 2$ , то $x = 13 - 5 \cdot 2 = 3$
Якщо $y = 11$ , то $x = 13 - 5 \cdot 11 = - 42$

Розв’язками системи є пари чисел: $(3; 2)$ та $(- 42; 11)$ .

2) ${x^{2} + y^{2} = 25 x + \frac{y}{2} = 5$

З другого рівняння виразимо $x$ :
$x = 5 - 0, 5 y$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:
$(5 - 0, 5 y)^{2} + y^{2} = 25$
$25 - 5 y + 0, 25 y^{2} + y^{2} = 25$
$1, 25 y^{2} - 5 y = 0$
$1, 25 y (y - 4) = 0$

$y_{1} = 0$ , $y_{2} = 4$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
Якщо $y = 0$ , то $x = 5 - 0, 5 \cdot 0 = 5$
Якщо $y = 4$ , то $x = 5 - 0, 5 \cdot 4 = 3$

Розв’язками системи є пари чисел: $(5; 0)$ та $(3; 4)$ .

3) ${x + 2 y = 6 x^{2} + x y + y^{2} = 12$

З першого рівняння виразимо $x$ :
$x = 6 - 2 y$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$(6 - 2 y)^{2} + (6 - 2 y) y + y^{2} = 12$
$36 - 24 y + 4 y^{2} + 6 y - 2 y^{2} + y^{2} = 12$
$3 y^{2} - 18 y + 36 - 12 = 0$
$3 y^{2} - 18 y + 24 = 0$
$y^{2} - 6 y + 8 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 2$ , $y_{2} = 4$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
Якщо $y = 2$ , то $x = 6 - 2 \cdot 2 = 2$
Якщо $y = 4$ , то $x = 6 - 2 \cdot 4 = - 2$

Розв’язками системи є пари чисел: $(2; 2)$ та $(- 2; 4)$ .

4) $⎩ ⎨ ⎧ x - y = 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{12}$

ОДЗ: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .

З першого рівняння виразимо $x$ :
$x = y + 1$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$\frac{1}{y + 1} + \frac{1}{y} = \frac{7}{12}$
$\frac{y + y + 1}{y ( y + 1 )} = \frac{7}{12}$
$\frac{2 y + 1}{y ^{2} + y} = \frac{7}{12}$
$12 (2 y + 1) = 7 (y^{2} + y)$
$24 y + 12 = 7 y^{2} + 7 y$
$7 y^{2} - 17 y - 12 = 0$

$D = (- 17)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 12) = 289 + 336 = 625 = 2 5^{2}$

$y_{1} = \frac{17 + 25}{2 \cdot 7} = \frac{42}{14} = 3$
$y_{2} = \frac{17 - 25}{2 \cdot 7} = - \frac{8}{14} = - \frac{4}{7}$

Обидва значення задовольняють ОДЗ.

Знайдемо відповідні значення $x$ :
Якщо $y = 3$ , то $x = 3 + 1 = 4$
Якщо $y = - \frac{4}{7}$ , то $x = - \frac{4}{7} + 1 = \frac{3}{7}$

Розв’язками системи є пари чисел: $(4; 3)$ та $(\frac{3}{7}; - \frac{4}{7})$ .

Відповідь: 1) $(3; 2)$ , $(- 42; 11)$ ; 2) $(5; 0)$ , $(3; 4)$ ; 3) $(2; 2)$ , $(- 2; 4)$ ; 4) $(4; 3)$ , $(\frac{3}{7}; - \frac{4}{7})$ .

№ 13.19. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${3 y^{2} - x y = 2 x - 2 y = 1$

2) ${x^{2} + y^{2} = 13 \frac{x}{3} + y = 3$

3) ${x + 2 y = 1 x^{2} - x y - y^{2} = 11$

4) $⎩ ⎨ ⎧ x + y = 5 \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Розв’язання:

1) ${3 y^{2} - x y = 2 x - 2 y = 1$
Виразимо $x$ з другого рівняння:
$x = 2 y + 1$
Підставимо у перше рівняння:
$3 y^{2} - (2 y + 1) y = 2$
$3 y^{2} - 2 y^{2} - y - 2 = 0$
$y^{2} - y - 2 = 0$
За теоремою Вієта:
$y_{1} = 2$ , $y_{2} = - 1$
Знайдемо значення $x$ :
якщо $y = 2$ , то $x = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ ;
якщо $y = - 1$ , то $x = 2 \cdot (- 1) + 1 = - 1$ .
Розв’язками системи є пари чисел $(5; 2)$ та $(- 1; - 1)$ .

2) ${x^{2} + y^{2} = 13 \frac{x}{3} + y = 3$
Помножимо друге рівняння на $3$ :
$x + 3 y = 9$
$x = 9 - 3 y$
Підставимо у перше рівняння:
$(9 - 3 y)^{2} + y^{2} = 13$
$81 - 54 y + 9 y^{2} + y^{2} = 13$
$10 y^{2} - 54 y + 68 = 0$
Поділимо обидві частини на $2$ :
$5 y^{2} - 27 y + 34 = 0$
$D = (- 27)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 34 = 729 - 680 = 49$
$y = \frac{27 \pm 7}{2 \cdot 5}$
$y_{1} = 2$ , $y_{2} = 3, 4$
Знайдемо значення $x$ :
якщо $y = 2$ , то $x = 9 - 3 \cdot 2 = 3$ ;
якщо $y = 3, 4$ , то $x = 9 - 3 \cdot 3, 4 = 9 - 10, 2 = - 1, 2$ .
Розв’язками системи є пари чисел $(3; 2)$ та $(- 1, 2; 3, 4)$ .

3) ${x + 2 y = 1 x^{2} - x y - y^{2} = 11$
Виразимо $x$ з першого рівняння:
$x = 1 - 2 y$
Підставимо у друге рівняння:
$(1 - 2 y)^{2} - (1 - 2 y) y - y^{2} = 11$
$1 - 4 y + 4 y^{2} - y + 2 y^{2} - y^{2} = 11$
$5 y^{2} - 5 y - 10 = 0$
Поділимо обидві частини на $5$ :
$y^{2} - y - 2 = 0$
За теоремою Вієта:
$y_{1} = 2$ , $y_{2} = - 1$
Знайдемо значення $x$ :
якщо $y = 2$ , то $x = 1 - 2 \cdot 2 = - 3$ ;
якщо $y = - 1$ , то $x = 1 - 2 \cdot (- 1) = 3$ .
Розв’язками системи є пари чисел $(- 3; 2)$ та $(3; - 1)$ .

4) $⎩ ⎨ ⎧ x + y = 5 \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$
ОДЗ: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .
Виразимо $y$ з першого рівняння:
$y = 5 - x$
Підставимо у друге рівняння:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{5 - x} = \frac{1}{6}$
$\frac{5 - x - x}{x ( 5 - x )} = \frac{1}{6}$
$\frac{5 - 2 x}{5 x - x ^{2}} = \frac{1}{6}$
$6 (5 - 2 x) = 5 x - x^{2}$
$30 - 12 x = 5 x - x^{2}$
$x^{2} - 17 x + 30 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = 2$ , $x_{2} = 15$
Обидва корені задовольняють ОДЗ.
Знайдемо значення $y$ :
якщо $x = 2$ , то $y = 5 - 2 = 3$ ;
якщо $x = 15$ , то $y = 5 - 15 = - 10$ .
Розв’язками системи є пари чисел $(2; 3)$ та $(15; - 10)$ .

Відповідь: 1) $(5; 2)$ , $(- 1; - 1)$ ; 2) $(3; 2)$ , $(- 1, 2; 3, 4)$ ; 3) $(- 3; 2)$ , $(3; - 1)$ ; 4) $(2; 3)$ , $(15; - 10)$ .

№ 13.20. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину:
1) прямої $x + y = 5$ і параболи $y = x^{2} - 7$ ;
2) кола $x^{2} + y^{2} = 34$ і гіперболи $x y = 15$ .

Розв’язання:

1) Складемо систему рівнянь:
${x + y = 5 y = x^{2} - 7$

Виразимо $y$ з першого рівняння:
$y = 5 - x$

Підставимо у друге рівняння:
$5 - x = x^{2} - 7$
$x^{2} + x - 12 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 3$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
Якщо $x = - 4$ , то $y = 5 - (- 4) = 9$ .
Якщо $x = 3$ , то $y = 5 - 3 = 2$ .

Отримуємо точки перетину: $(- 4; 9)$ та $(3; 2)$ .

2) Складемо систему рівнянь:
${x^{2} + y^{2} = 34 x y = 15$

Виразимо $x$ з другого рівняння:
$x = \frac{15}{y}$

Підставимо в перше рівняння:
$(\frac{15}{y})^{2} + y^{2} = 34$
$\frac{225}{y ^{2}} + y^{2} = 34$
$y^{4} - 34 y^{2} + 225 = 0$

Нехай $y^{2} = t$ , де $t > 0$ :
$t^{2} - 34 t + 225 = 0$

За теоремою Вієта:
$t_{1} = 9$ , $t_{2} = 25$

Повернемося до змінної $y$ :
$y^{2} = 9 ⟹ y = \pm 3$
$y^{2} = 25 ⟹ y = \pm 5$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
Якщо $y = 3$ , то $x = \frac{15}{3} = 5$ .
Якщо $y = - 3$ , то $x = \frac{15}{- 3} = - 5$ .
Якщо $y = 5$ , то $x = \frac{15}{5} = 3$ .
Якщо $y = - 5$ , то $x = \frac{15}{- 5} = - 3$ .

Отримуємо точки перетину: $(5; 3)$ , $(- 5; - 3)$ , $(3; 5)$ , $(- 3; - 5)$ .

Відповідь: 1) $(- 4; 9)$ , $(3; 2)$ ; 2) $(5; 3)$ , $(- 5; - 3)$ , $(3; 5)$ , $(- 3; - 5)$ .

№ 13.21. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) ${x + x y = 5 x - x y = 2$
2) ${x^{2} + y^{2} = 29 x^{2} - y^{2} = - 21$
3) ${2 y^{2} + x y = 36 y^{2} + x y = 20$
4) ${x^{2} - x y = - 4 3 x^{2} - 2 x y = - 7$

Розв’язання:

1) ${x + x y = 5 x - x y = 2$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$(x + x y) + (x - x y) = 5 + 2$
$2 x = 7$
$x = 3, 5$

Підставимо значення $x = 3, 5$ у перше рівняння:
$3, 5 + 3, 5 y = 5$
$3, 5 y = 5 - 3, 5$
$3, 5 y = 1, 5$
$y = \frac{1 , 5}{3 , 5}$
$y = \frac{15}{35}$
$y = \frac{3}{7}$

Розв’язок системи: $(3, 5; \frac{3}{7})$ .

2) ${x^{2} + y^{2} = 29 x^{2} - y^{2} = - 21$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$2 x^{2} = 8$
$x^{2} = 4$
$x = \pm 2$

Віднімемо почленно друге рівняння від першого:
$2 y^{2} = 50$
$y^{2} = 25$
$y = \pm 5$

Розв’язки системи: $(2; 5)$ , $(2; - 5)$ , $(- 2; 5)$ , $(- 2; - 5)$ .

3) ${2 y^{2} + x y = 36 y^{2} + x y = 20$

Віднімемо почленно друге рівняння від першого:
$(2 y^{2} + x y) - (y^{2} + x y) = 36 - 20$
$y^{2} = 16$
$y = \pm 4$

Якщо $y = 4$ , підставимо у друге рівняння:
$4^{2} + 4 x = 20$
$16 + 4 x = 20$
$4 x = 4$
$x = 1$
Пара розв’язків: $(1; 4)$ .

Якщо $y = - 4$ , підставимо у друге рівняння:
$(- 4)^{2} - 4 x = 20$
$16 - 4 x = 20$
$- 4 x = 4$
$x = - 1$
Пара розв’язків: $(- 1; - 4)$ .

4) ${x^{2} - x y = - 4 3 x^{2} - 2 x y = - 7$

Помножимо обидві частини першого рівняння на $2$ :
${2 x^{2} - 2 x y = - 8 3 x^{2} - 2 x y = - 7$

Віднімемо почленно від другого рівняння перше:
$(3 x^{2} - 2 x y) - (2 x^{2} - 2 x y) = - 7 - (- 8)$
$x^{2} = 1$
$x = \pm 1$

Якщо $x = 1$ , підставимо у перше рівняння вихідної системи:
$1^{2} - 1 \cdot y = - 4$
$1 - y = - 4$
$- y = - 5$
$y = 5$
Пара розв’язків: $(1; 5)$ .

Якщо $x = - 1$ , підставимо у перше рівняння вихідної системи:
$(- 1)^{2} - (- 1) \cdot y = - 4$
$1 + y = - 4$
$y = - 5$
Пара розв’язків: $(- 1; - 5)$ .

Відповідь:
1) $(3, 5; \frac{3}{7})$ ;
2) $(2; 5)$ , $(2; - 5)$ , $(- 2; 5)$ , $(- 2; - 5)$ ;
3) $(1; 4)$ , $(- 1; - 4)$ ;
4) $(1; 5)$ , $(- 1; - 5)$ .

№ 13.22. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${y + x y = 3 y - x y = - 2$

2) ${3 y^{2} + x^{2} = 13 3 y^{2} - x^{2} = 11$

3) ${3 x^{2} - x y = 10 x^{2} - x y = 2$

4) ${x y + 2 y^{2} = - 1 3 x y + y^{2} = - 8$

Розв’язання:

1) ${y + x y = 3 y - x y = - 2$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$2 y = 1$
$y = \frac{1}{2}$

Підставимо значення $y = \frac{1}{2}$ у перше рівняння:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x = 3$
$\frac{1}{2} x = 3 - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} x = 2, 5$
$x = 5$

Отримуємо розв’язок: $(5; \frac{1}{2})$ .

2) ${3 y^{2} + x^{2} = 13 3 y^{2} - x^{2} = 11$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$6 y^{2} = 24$
$y^{2} = 4$
$y_{1} = 2$ , $y_{2} = - 2$

Віднімемо почленно друге рівняння від першого:
$2 x^{2} = 2$
$x^{2} = 1$
$x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 1$

Отримуємо розв’язки: $(1; 2)$ , $(- 1; 2)$ , $(1; - 2)$ , $(- 1; - 2)$ .

3) ${3 x^{2} - x y = 10 x^{2} - x y = 2$

Віднімемо почленно друге рівняння від першого:
$2 x^{2} = 8$
$x^{2} = 4$
$x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$

З другого рівняння системи виразимо $y$ :
$x y = x^{2} - 2$
$y = \frac{x ^{2} - 2}{x}$

Якщо $x = 2$ :
$y = \frac{2 ^{2} - 2}{2}$
$y = \frac{2}{2}$
$y = 1$

Якщо $x = - 2$ :
$y = \frac{( - 2 ) ^{2} - 2}{- 2}$
$y = \frac{2}{- 2}$
$y = - 1$

Отримуємо розв’язки: $(2; 1)$ , $(- 2; - 1)$ .

4) ${x y + 2 y^{2} = - 1 3 x y + y^{2} = - 8$

Помножимо обидві частини першого рівняння на $- 3$ :
${- 3 x y - 6 y^{2} = 3 3 x y + y^{2} = - 8$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$- 5 y^{2} = - 5$
$y^{2} = 1$
$y_{1} = 1$ , $y_{2} = - 1$

З першого рівняння початкової системи виразимо $x$ :
$x y = - 1 - 2 y^{2}$
$x = \frac{- 1 - 2 y ^{2}}{y}$

Якщо $y = 1$ :
$x = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 ^{2}}{1}$
$x = - 3$

Якщо $y = - 1$ :
$x = \frac{- 1 - 2 \cdot ( - 1 ) ^{2}}{- 1}$
$x = \frac{- 3}{- 1}$
$x = 3$

Отримуємо розв’язки: $(- 3; 1)$ , $(3; - 1)$ .

Відповідь: 1) $(5; \frac{1}{2})$ ; 2) $(1; 2)$ , $(- 1; 2)$ , $(1; - 2)$ , $(- 1; - 2)$ ; 3) $(2; 1)$ , $(- 2; - 1)$ ; 4) $(- 3; 1)$ , $(3; - 1)$ .

№ 13.23. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${2 x y - x = 10 2 x y - y = 9$

2) ${2 x - x y - y = 13 x + x y - 2 y = 2$

Розв’язання:

1) ${2 x y - x = 10 2 x y - y = 9$

Віднімемо почленно від першого рівняння друге:
$(2 x y - x) - (2 x y - y) = 10 - 9$
$- x + y = 1$
$y = x + 1$

Підставимо вираз для $y$ у перше рівняння системи:
$2 x (x + 1) - x = 10$
$2 x^{2} + 2 x - x - 10 = 0$
$2 x^{2} + x - 10 = 0$
$D = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10) = 1 + 80 = 81$
$x_{1} = \frac{- 1 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$x_{2} = \frac{- 1 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{- 10}{4} = - 2, 5$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x = 2$ , то $y = 2 + 1 = 3$ ;
якщо $x = - 2, 5$ , то $y = - 2, 5 + 1 = - 1, 5$ .

Розв’язками системи є пари чисел: $(2; 3)$ та $(- 2, 5; - 1, 5)$ .

2) ${2 x - x y - y = 13 x + x y - 2 y = 2$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$(2 x - x y - y) + (x + x y - 2 y) = 13 + 2$
$3 x - 3 y = 15$
$x - y = 5$
$y = x - 5$

Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння системи:
$x + x (x - 5) - 2 (x - 5) = 2$
$x + x^{2} - 5 x - 2 x + 10 = 2$
$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 2$ , $x_{2} = 4$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x = 2$ , то $y = 2 - 5 = - 3$ ;
якщо $x = 4$ , то $y = 4 - 5 = - 1$ .

Розв’язками системи є пари чисел: $(2; - 3)$ та $(4; - 1)$ .

Відповідь: 1) $(2; 3)$ , $(- 2, 5; - 1, 5)$ ; 2) $(2; - 3)$ , $(4; - 1)$ .

№ 13.24. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${3 x y + x = 8 3 x y + y = 7$

2) ${x + x y + 2 y = - 9 2 x - x y - y = - 2$

Розв’язання:

1) ${3 x y + x = 8 3 x y + y = 7$

Віднімемо від першого рівняння системи друге:
$(3 x y + x) - (3 x y + y) = 8 - 7$
$x - y = 1$
$y = x - 1$

Підставимо вираз для $y$ у перше рівняння:
$3 x (x - 1) + x = 8$
$3 x^{2} - 3 x + x - 8 = 0$
$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8) = 4 + 96 = 100$

$x_{1} = \frac{2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$
$x_{2} = \frac{2 - 10}{2 \cdot 3} = - \frac{8}{6} = - \frac{4}{3} = - 1 \frac{1}{3}$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
Якщо $x_{1} = 2$ , то:
$y_{1} = 2 - 1 = 1$

Якщо $x_{2} = - 1 \frac{1}{3}$ , то:
$y_{2} = - \frac{4}{3} - 1 = - \frac{7}{3} = - 2 \frac{1}{3}$

Розв’язками системи є пари чисел: $(2; 1)$ та $(- 1 \frac{1}{3}; - 2 \frac{1}{3})$ .

2) ${x + x y + 2 y = - 9 2 x - x y - y = - 2$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$(x + x y + 2 y) + (2 x - x y - y) = - 9 + (- 2)$
$3 x + y = - 11$
$y = - 3 x - 11$

Підставимо вираз для $y$ у перше рівняння:
$x + x (- 3 x - 11) + 2 (- 3 x - 11) = - 9$
$x - 3 x^{2} - 11 x - 6 x - 22 = - 9$
$- 3 x^{2} - 16 x - 22 + 9 = 0$
$- 3 x^{2} - 16 x - 13 = 0$
$3 x^{2} + 16 x + 13 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = 1 6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 13 = 256 - 156 = 100$

$x_{1} = \frac{- 16 + 10}{2 \cdot 3} = - \frac{6}{6} = - 1$
$x_{2} = \frac{- 16 - 10}{2 \cdot 3} = - \frac{26}{6} = - \frac{13}{3} = - 4 \frac{1}{3}$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
Якщо $x_{1} = - 1$ , то:
$y_{1} = - 3 \cdot (- 1) - 11 = 3 - 11 = - 8$

Якщо $x_{2} = - 4 \frac{1}{3}$ , то:
$y_{2} = - 3 \cdot (- \frac{13}{3}) - 11 = 13 - 11 = 2$

Розв’язками системи є пари чисел: $(- 1; - 8)$ та $(- 4 \frac{1}{3}; 2)$ .

Відповідь: 1) $(2; 1)$ , $(- 1 \frac{1}{3}; - 2 \frac{1}{3})$ ; 2) $(- 1; - 8)$ , $(- 4 \frac{1}{3}; 2)$ .

№ 13.25. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${x + y + x y = 5, x y (x + y) = 6;$

2) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{13}{6}, x - y = 1;$

3) ${(x + y)^{2} - 2 (x + y) + 1 = 0, (x - y)^{2} + 3 (x - y) - 4 = 0;$

4) $\begin{cases} \dfrac{x-2y}{x+y

№ 13.26. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6} x + y = 5$

2) ${(x - y)^{2} + 4 (x - y) + 4 = 0 (x + y)^{2} - 2 (x + y) - 3 = 0$

Розв’язання:

1) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6} x + y = 5$

ОДЗ: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .

Нехай $\frac{x}{y} = t$ , тоді $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$ .
Отримуємо рівняння:
$t - \frac{1}{t} = \frac{5}{6}$
$\frac{6 t ^{2} - 5 t - 6}{6 t} = 0$
$6 t^{2} - 5 t - 6 = 0$
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 6) = 25 + 144 = 169$
$t_{1} = \frac{5 + 13}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
$t_{2} = \frac{5 - 13}{12} = - \frac{8}{12} = - \frac{2}{3}$

Повернемося до заміни та розглянемо два випадки:

Перший випадок ( $t = \frac{3}{2}$ ):
$⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{y} = \frac{3}{2} x + y = 5$
${2 x = 3 y x = 5 - y$
$2 (5 - y) = 3 y$
$10 - 2 y = 3 y$
$5 y = 10$
$y = 2$
$x = 5 - 2 = 3$
Пара $(3; 2)$ задовольняє ОДЗ.

Другий випадок ( $t = - \frac{2}{3}$ ):
$⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{y} = - \frac{2}{3} x + y = 5$
${3 x = - 2 y x = 5 - y$
$3 (5 - y) = - 2 y$
$15 - 3 y = - 2 y$
$y = 15$
$x = 5 - 15 = - 10$
Пара $(- 10; 15)$ задовольняє ОДЗ.

2) ${(x - y)^{2} + 4 (x - y) + 4 = 0 (x + y)^{2} - 2 (x + y) - 3 = 0$

Нехай $x - y = u$ , $x + y = v$ . Отримуємо систему:
${u^{2} + 4 u + 4 = 0 v^{2} - 2 v - 3 = 0$

З першого рівняння:
$(u + 2)^{2} = 0$
$u = - 2$

З другого рівняння за теоремою Вієта:
$v_{1} = 3$ , $v_{2} = - 1$

Маємо дві системи:

Перша система:
${x - y = - 2 x + y = 3$
Додамо рівняння:
$2 x = 1$
$x = 0, 5$
Знайдемо $y$ :
$0, 5 + y = 3$
$y = 2, 5$

Друга система:
${x - y = - 2 x + y = - 1$
Додамо рівняння:
$2 x = - 3$
$x = - 1, 5$
Знайдемо $y$ :
$- 1, 5 + y = - 1$
$y = 0, 5$

Відповідь: 1) $(3; 2)$ , $(- 10; 15)$ ; 2) $(0, 5; 2, 5)$ , $(- 1, 5; 0, 5)$ .

№ 13.27. За якого значення $a$ система

${x^{2} + y^{2} = 4 y = x^{2} + a$

має:
1) єдиний розв’язок;
2) рівно три розв’язки?

Розв’язання:

Графіком рівняння $x^{2} + y^{2} = 4$ є коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = 2$ .
Графіком рівняння $y = x^{2} + a$ є парабола з вершиною в точці $(0; a)$ , вітки якої напрямлені вгору.

1) Система має єдиний розв’язок, якщо парабола дотикається до кола в його верхній точці $(0; 2)$ .
Звідси вершина параболи має координати $(0; 2)$ :
$a = 2$

Рівняння параболи набуває вигляду:
$y = x^{2} + 2$

Опорні точки для побудови параболи $y = x^{2} + 2$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$

Графік до вправи № 13.27 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Система має рівно три розв’язки, якщо вершина параболи збігається з нижньою точкою кола $(0; - 2)$ , а її вітки перетинають коло ще у двох симетричних точках.
Звідси:
$a = - 2$

Рівняння параболи набуває вигляду:
$y = x^{2} - 2$

Підставимо $x^{2} = y + 2$ у перше рівняння системи:
$y + 2 + y^{2} = 4$
$y^{2} + y - 2 = 0$
За теоремою Вієта:
$y_{1} = - 2$
$x^{2} = 0$
$x_{1} = 0$
$y_{2} = 1$
$x^{2} = 3$
$x_{2, 3} = \pm 3$

Система має три розв’язки: $(0; - 2)$ , $(- 3; 1)$ , $(3; 1)$ .

Опорні точки для побудови параболи $y = x^{2} - 2$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$2$	$- 1$	$- 2$	$- 1$	$2$

Графік до вправи № 13.27 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь: 1) $a = 2$ ; 2) $a = - 2$ .

№ 13.28. Розв’яжіть нерівність $- 3, 4 \leq \frac{1 - 2 x}{5} \leq 4, 8$ .

Розв’язання:
Помножимо всі частини нерівності на $5$ :
$- 3, 4 \cdot 5 \leq 1 - 2 x \leq 4, 8 \cdot 5$
$- 17 \leq 1 - 2 x \leq 24$

Віднімемо $1$ від усіх частин нерівності:
$- 17 - 1 \leq - 2 x \leq 24 - 1$
$- 18 \leq - 2 x \leq 23$

Поділимо всі частини нерівності на $- 2$ , змінивши знаки нерівності на протилежні:
$\frac{- 18}{- 2} \geq x \geq \frac{23}{- 2}$
$9 \geq x \geq - 11, 5$
$- 11, 5 \leq x \leq 9$

$x \in [- 11, 5; 9]$

Відповідь: $[- 11, 5; 9]$ .

№ 13.29. Теплохід проплив 24 км за течією річки на 2 год швидше, ніж 60 км проти течії. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість теплохода дорівнює 22 км/год.

Розв’язання:

Нехай швидкість течії річки дорівнює $x км / год$ , причому $0 < x < 22$ .

Тоді швидкість теплохода за течією річки становить $(22 + x) км / год$ , а проти течії — $(22 - x) км / год$ .

Час, витрачений на шлях за течією: $\frac{24}{22 + x} год$ .

Час, витрачений на шлях проти течії: $\frac{60}{22 - x} год$ .

За умовою задачі час руху за течією на $2 год$ менший від часу руху проти течії. Складемо рівняння:

$\frac{60}{22 - x} - \frac{24}{22 + x} = 2$

Поділимо обидві частини рівняння на 2:

$\frac{30}{22 - x} - \frac{12}{22 + x} = 1$

Помножимо обидві частини на $(22 - x) (22 + x) \neq = 0$ :

$30 (22 + x) - 12 (22 - x) = (22 - x) (22 + x)$

$660 + 30 x - 264 + 12 x = 484 - x^{2}$

$42 x + 396 = 484 - x^{2}$

$x^{2} + 42 x - 88 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 2$
$x_{2} = - 44$ (не задовольняє умову, оскільки $x > 0$ )

Отже, швидкість течії річки дорівнює $2 км / год$ .

Відповідь: $2 км / год$ .

№ 13.30. Побудуйте графік функції $y = \frac{x ^{3} + 4 x ^{2} - 5 x}{x}$ .

Розв’язання:

Область визначення функції:
$x \neq = 0$
$D (y) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$

Спростимо вираз функції для $x \neq = 0$ :
$y = \frac{x ( x ^{2} + 4 x - 5 )}{x}$
$y = x^{2} + 4 x - 5$

Графіком функції є парабола $y = x^{2} + 4 x - 5$ з виколотою точкою, для якої $x = 0$ .

Гілки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Координати вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = - 2$
$y_{в} = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) - 5 = 4 - 8 - 5 = - 9$
Вершина: $(- 2; - 9)$ .

Нулі функції ( $y = 0$ ):
$x^{2} + 4 x - 5 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 1$
Точки перетину з віссю $O x$ : $(- 5; 0)$ та $(1; 0)$ .

Виколота точка графіка:
Якщо $x = 0$ , то $y = 0^{2} + 4 \cdot 0 - 5 = - 5$ .
Точка $(0; - 5)$ не належить графіку (виколота).

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$0$	$- 5$	$- 8$	$- 9$	$- 8$	виколота	$0$

Графік до вправи № 13.30 - Алгебра 9 клас

№ 13.31.
1) Приватне підприємство «Котигорошко» виробляє дитячі іграшки та реалізує їх за ціною $p = 500 грн$ за одиницю. Змінні витрати на виробництво однієї одиниці продукції становлять $v = 300 грн$ , а постійні витрати підприємства становлять $f = 700000 грн$ на місяць. Місячний операційний прибуток підприємства (у гривнях) обчислюється за формулою $π (q) = q (p - v) - f$ . Визначте найменший місячний обсяг виробництва $q$ (одиниць продукції), за якого місячний операційний прибуток підприємства становитиме не менше ніж $300000 грн$ .
2) Проєктна діяльність. Побудуйте модель прибутку реального малого бізнесу, визначивши основні доходи та витрати.

Розв’язання:

1) За умовою $π (q) \geq 300000$ .
Підставимо значення параметрів $p = 500$ , $v = 300$ , $f = 700000$ :
$q (500 - 300) - 700000 \geq 300000$
$200 q - 700000 \geq 300000$
$200 q \geq 300000 + 700000$
$200 q \geq 1000000$
$q \geq \frac{1 000 000}{200}$
$q \geq 5000$

Найменший обсяг виробництва становить 5000 одиниць продукції.

2) Модель прибутку малого бізнесу (на прикладі кав’ярні):
Нехай:
$q$ — обсяг продажу (кількість порцій кави за місяць);
$p$ — середня ціна однієї порції кави;
$v$ — змінні витрати на одну порцію (кавові зерна, молоко, цукор, одноразовий посуд);
$f$ — щомісячні постійні витрати (оренда приміщення, комунальні платежі, зарплата персоналу).

Загальний дохід (виручка):
$R (q) = p \cdot q$

Загальні витрати:
$C (q) = v \cdot q + f$

Модель місячного прибутку:
$π (q) = R (q) - C (q) = q (p - v) - f$

Умова беззбитковості ( $π (q) = 0$ ):
$q (p - v) - f = 0$
$q = \frac{f}{p - v}$

Відповідь: 5000 одиниць.

№ 13.32. Розв’яжіть задачі за допомогою системи рівнянь:
1) Два зошити й один олівець коштують разом $24 грн$ , а один зошит і два олівці — $21 грн$ . Скільки коштує один зошит і скільки — один олівець?
2) Човен за $1, 5 год$ руху за течією річки і $2 год$ руху проти течії долає $62 км$ , а за $3 год$ руху в стоячій воді й $1 год$ руху проти течії — $70 км$ . Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії річки.

Розв’язання:

1) Нехай один зошит коштує $x грн$ , а один олівець — $y грн$ ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

За умовою задачі складемо систему рівнянь:

{2 x + y = 24 x + 2 y = 21

Виразимо $y$ з першого рівняння:
$y = 24 - 2 x$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$x + 2 (24 - 2 x) = 21$
$x + 48 - 4 x = 21$
$- 3 x = 21 - 48$
$- 3 x = - 27$
$x = 9$

Знайдемо значення $y$ :
$y = 24 - 2 \cdot 9$
$y = 24 - 18$
$y = 6$

Отже, один зошит коштує $9 грн$ , а один олівець — $6 грн$ .

2) Нехай власна швидкість човна дорівнює $x км / год$ , а швидкість течії річки — $y км / год$ ( $x > y > 0$ ).
Тоді швидкість човна за течією річки становить $(x + y) км / год$ , а проти течії — $(x - y) км / год$ .

За умовою задачі складемо систему рівнянь:

{1, 5 (x + y) + 2 (x - y) = 62 3 x + (x - y) = 70

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:

{1, 5 x + 1, 5 y + 2 x - 2 y = 62 4 x - y = 70

{3, 5 x - 0, 5 y = 62 4 x - y = 70

Помножимо обидві частини першого рівняння на $2$ :

{7 x - y = 124 4 x - y = 70

Віднімемо почленно друге рівняння від першого:
$3 x = 54$
$x = 18$

Підставимо значення $x = 18$ у рівняння $4 x - y = 70$ :
$y = 4 x - 70$
$y = 4 \cdot 18 - 70$
$y = 72 - 70$
$y = 2$

Отже, власна швидкість човна становить $18 км / год$ , а швидкість течії річки — $2 км / год$ .

Відповідь: 1) $9 грн$ , $6 грн$ ; 2) $18 км / год$ , $2 км / год$ .

№ 13.33. (Київська математична олімпіада, 1989 р.) Нехай $a, b, c$ — додатні числа. Доведіть, що:
$\frac{a + b}{a ^{2} + b ^{2}} + \frac{b + c}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{a + c}{a ^{2} + c ^{2}} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Розв’язання:
Доведемо допоміжну нерівність для додатних чисел $a$ і $b$ :
$\frac{a + b}{a ^{2} + b ^{2}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$

Розглянемо різницю правої та лівої частин:
$\frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) - \frac{a + b}{a ^{2} + b ^{2}} =$
$= \frac{a + b}{2 ab} - \frac{a + b}{a ^{2} + b ^{2}} =$
$= (a + b) (\frac{1}{2 ab} - \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}}) =$
$= (a + b) \cdot \frac{a ^{2} + b ^{2} - 2 ab}{2 ab ( a ^{2} + b ^{2} )} =$
$= \frac{( a + b ) ( a - b ) ^{2}}{2 ab ( a ^{2} + b ^{2} )}$

Оскільки $a > 0$ і $b > 0$ , то:
$a + b > 0$
$(a - b)^{2} \geq 0$
$2 ab (a^{2} + b^{2}) > 0$

Тому $\frac{( a + b ) ( a - b ) ^{2}}{2 ab ( a ^{2} + b ^{2} )} \geq 0$ , звідки випливає:
$\frac{a + b}{a ^{2} + b ^{2}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$

Аналогічно для пар чисел $(b; c)$ та $(a; c)$ :
$\frac{b + c}{b ^{2} + c ^{2}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$
$\frac{a + c}{a ^{2} + c ^{2}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$

Додамо почленно отримані три нерівності:
$\frac{a + b}{a ^{2} + b ^{2}} + \frac{b + c}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{a + c}{a ^{2} + c ^{2}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$
$\frac{a + b}{a ^{2} + b ^{2}} + \frac{b + c}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{a + c}{a ^{2} + c ^{2}} \leq \frac{1}{2} (\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c})$
$\frac{a + b}{a ^{2} + b ^{2}} + \frac{b + c}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{a + c}{a ^{2} + c ^{2}} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Нерівність доведено.

13. Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними

Теги статті:

До уроку