12. Квадратна нерівність

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 12.1. (Усно.) Які з нерівностей є квадратними:

1) $2 x + 3 > 0$ ;

2) $3 x^{2} - 7 x - 5 \geq 0$ ;

3) $\frac{1}{x ^{2} - 5 x} < 0$ ;

4) $9 x^{2} - 3 x^{3} \leq 0$ ;

5) $x^{2} + 7 x < 0$ ;

6) $x^{2} + 9 \geq 0$ ?

Розв’язання:

Квадратною називають нерівність виду $a x^{2} + b x + c > 0$ (або $< 0$ , $\geq 0$ , $\leq 0$ ), де $x$ — змінна, $a, b, c$ — числа, причому $a \neq = 0$ .

1) $2 x + 3 > 0$ — лінійна нерівність (не є квадратною).

2) $3 x^{2} - 7 x - 5 \geq 0$ — квадратна нерівність ( $a = 3$ , $b = - 7$ , $c = - 5$ ).

3) $\frac{1}{x ^{2} - 5 x} < 0$ — дробово-раціональна нерівність (не є квадратною).

4) $9 x^{2} - 3 x^{3} \leq 0$ — нерівність третього степеня (не є квадратною).

5) $x^{2} + 7 x < 0$ — квадратна нерівність ( $a = 1$ , $b = 7$ , $c = 0$ ).

6) $x^{2} + 9 \geq 0$ — квадратна нерівність ( $a = 1$ , $b = 0$ , $c = 9$ ).

Відповідь: квадратними є нерівності 2), 5), 6).

№ 12.2. Які із чисел $- 3$ , $0$ , $2$ є розв’язками квадратної нерівності:
1) $x^{2} - x > 0$ ;
2) $x^{2} - x + 2 > 0$ ;
3) $4 x^{2} + 3 x - 1 < 0$ ?

Розв’язання:

1) $x^{2} - x > 0$
Якщо $x = - 3$ :
$(- 3)^{2} - (- 3) = 9 + 3 = 12$
$12 > 0$ — правильно, число $- 3$ є розв’язком.
Якщо $x = 0$ :
$0^{2} - 0 = 0$
$0 > 0$ — неправильно, число $0$ не є розв’язком.
Якщо $x = 2$ :
$2^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$
$2 > 0$ — правильно, число $2$ є розв’язком.

2) $x^{2} - x + 2 > 0$
Якщо $x = - 3$ :
$(- 3)^{2} - (- 3) + 2 = 9 + 3 + 2 = 14$
$14 > 0$ — правильно, число $- 3$ є розв’язком.
Якщо $x = 0$ :
$0^{2} - 0 + 2 = 2$
$2 > 0$ — правильно, число $0$ є розв’язком.
Якщо $x = 2$ :
$2^{2} - 2 + 2 = 4 - 2 + 2 = 4$
$4 > 0$ — правильно, число $2$ є розв’язком.

3) $4 x^{2} + 3 x - 1 < 0$
Якщо $x = - 3$ :
$4 \cdot (- 3)^{2} + 3 \cdot (- 3) - 1 = 36 - 9 - 1 = 26$
$26 < 0$ — неправильно, число $- 3$ не є розв’язком.
Якщо $x = 0$ :
$4 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 - 1 = - 1$
$- 1 < 0$ — правильно, число $0$ є розв’язком.
Якщо $x = 2$ :
$4 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 = 16 + 6 - 1 = 21$
$21 < 0$ — неправильно, число $2$ не є розв’язком.

Відповідь: 1) $- 3; 2$ ; 2) $- 3; 0; 2$ ; 3) $0$ .

№ 12.3. Які із чисел -2, 0, 1 є розв’язками квадратної нерівності:

1) $x^{2} + x > 0$ ;

2) $x^{2} + 6 x + 8 < 0$ ;

3) $3 x^{2} - x + 2 > 0$ ?

Розв’язання:

1) $x^{2} + x > 0$
Для $x = - 2$ :
$(- 2)^{2} + (- 2) = 4 - 2 = 2 > 0$ — є розв’язком.
Для $x = 0$ :
$0^{2} + 0 = 0 ≯ 0$ — не є розв’язком.
Для $x = 1$ :
$1^{2} + 1 = 2 > 0$ — є розв’язком.

2) $x^{2} + 6 x + 8 < 0$
Для $x = - 2$ :
$(- 2)^{2} + 6 \cdot (- 2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0 ≮ 0$ — не є розв’язком.
Для $x = 0$ :
$0^{2} + 6 \cdot 0 + 8 = 8 ≮ 0$ — не є розв’язком.
Для $x = 1$ :
$1^{2} + 6 \cdot 1 + 8 = 15 ≮ 0$ — не є розв’язком.

3) $3 x^{2} - x + 2 > 0$
Для $x = - 2$ :
$3 \cdot (- 2)^{2} - (- 2) + 2 = 3 \cdot 4 + 2 + 2 = 16 > 0$ — є розв’язком.
Для $x = 0$ :
$3 \cdot 0^{2} - 0 + 2 = 2 > 0$ — є розв’язком.
Для $x = 1$ :
$3 \cdot 1^{2} - 1 + 2 = 3 - 1 + 2 = 4 > 0$ — є розв’язком.

Відповідь: 1) -2; 1; 2) жодне з чисел; 3) -2; 0; 1.

№ 12.4. На малюнку 12.9 схематично зображено графік функції $y = 2 x^{2} + 3 x - 5$ . Використовуючи графік, запишіть розв’язки нерівності:
1) $2 x^{2} + 3 x - 5 > 0$ ;
2) $2 x^{2} + 3 x - 5 \geq 0$ ;
3) $2 x^{2} + 3 x - 5 < 0$ ;
4) $2 x^{2} + 3 x - 5 \leq 0$ .

Розв’язання:

Графік до вправи № 12.4 - Алгебра 9 клас

Графік перетинає вісь абсцис у точках $x = - 2, 5$ та $x = 1$ , а вітки параболи напрямлені вгору.

1) $2 x^{2} + 3 x - 5 > 0$
$x \in (- \infty; - 2, 5) \cup (1; + \infty)$

2) $2 x^{2} + 3 x - 5 \geq 0$
$x \in (- \infty; - 2, 5] \cup [1; + \infty)$

3) $2 x^{2} + 3 x - 5 < 0$
$x \in (- 2, 5; 1)$

4) $2 x^{2} + 3 x - 5 \leq 0$
$x \in [- 2, 5; 1]$

Відповідь: 1) $(- \infty; - 2, 5) \cup (1; + \infty)$ ; 2) $(- \infty; - 2, 5] \cup [1; + \infty)$ ; 3) $(- 2, 5; 1)$ ; 4) $[- 2, 5; 1]$ .

№ 12.5. На малюнку 12.10 схематично зображено графік функції $y = - x^{2} + 2 x$ . Використовуючи графік, запишіть розв’язки нерівності:
1) $- x^{2} + 2 x < 0$
2) $- x^{2} + 2 x \leq 0$
3) $- x^{2} + 2 x > 0$
4) $- x^{2} + 2 x \geq 0$

Розв’язання:

Графік до вправи № 12.5 - Алгебра 9 клас

Графік функції $y = - x^{2} + 2 x$ — парабола з вітками, напрямленими вниз, яка перетинає вісь абсцис у точках $x = 0$ та $x = 2$ .

1) $- x^{2} + 2 x < 0$
Графік лежить нижче осі абсцис при:
$x \in (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$

2) $- x^{2} + 2 x \leq 0$
Графік лежить нижче осі абсцис або перетинає її при:
$x \in (- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$

3) $- x^{2} + 2 x > 0$
Графік лежить вище осі абсцис при:
$x \in (0; 2)$

4) $- x^{2} + 2 x \geq 0$
Графік лежить вище осі абсцис або перетинає її при:
$x \in [0; 2]$

Відповідь: 1) $(- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ ; 2) $(- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ ; 3) $(0; 2)$ ; 4) $[0; 2]$ .

№ 12.6. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} - 3 x \geq 0$

2) $x^{2} + 5 x < 0$

3) $- x^{2} + 8 x \leq 0$

4) $- x^{2} - 7 x > 0$

Розв’язання:

1) $x^{2} - 3 x \geq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 3 x$ .
Графіком є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 3 x = 0$
$x (x - 3) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$

Графік до вправи № 12.6 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; 0] \cup [3; + \infty)$

2) $x^{2} + 5 x < 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} + 5 x$ .
Графіком є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} + 5 x = 0$
$x (x + 5) = 0$
$x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 0$

Графік до вправи № 12.6 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- 5; 0)$

3) $- x^{2} + 8 x \leq 0$
Розглянемо функцію $y = - x^{2} + 8 x$ .
Графіком є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$- x^{2} + 8 x = 0$
$- x (x - 8) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 8$

Графік до вправи № 12.6 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; 0] \cup [8; + \infty)$

4) $- x^{2} - 7 x > 0$
Розглянемо функцію $y = - x^{2} - 7 x$ .
Графіком є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$- x^{2} - 7 x = 0$
$- x (x + 7) = 0$
$x_{1} = - 7$ , $x_{2} = 0$

Графік до вправи № 12.6 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$x \in (- 7; 0)$

Відповідь: 1) $(- \infty; 0] \cup [3; + \infty)$ ; 2) $(- 5; 0)$ ; 3) $(- \infty; 0] \cup [8; + \infty)$ ; 4) $(- 7; 0)$ .

№ 12.7. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} - 6 x < 0$

2) $x^{2} + 2 x \geq 0$

3) $- x^{2} + 7 x > 0$

4) $- x^{2} - x \leq 0$

Розв’язання:

1) $x^{2} - 6 x < 0$
Знайдемо нулі функції $y = x^{2} - 6 x$ :
$x^{2} - 6 x = 0$
$x (x - 6) = 0$
$x_{1} = 0$ або $x_{2} = 6$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.7 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (0; 6)$

2) $x^{2} + 2 x \geq 0$
Знайдемо нулі функції $y = x^{2} + 2 x$ :
$x^{2} + 2 x = 0$
$x (x + 2) = 0$
$x_{1} = - 2$ або $x_{2} = 0$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.7 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 2] \cup [0; + \infty)$

3) $- x^{2} + 7 x > 0$
Знайдемо нулі функції $y = - x^{2} + 7 x$ :
$- x^{2} + 7 x = 0$
$- x (x - 7) = 0$
$x_{1} = 0$ або $x_{2} = 7$
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).

Графік до вправи № 12.7 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

$x \in (0; 7)$

4) $- x^{2} - x \leq 0$
Знайдемо нулі функції $y = - x^{2} - x$ :
$- x^{2} - x = 0$
$- x (x + 1) = 0$
$x_{1} = - 1$ або $x_{2} = 0$
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).

Графік до вправи № 12.7 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 1] \cup [0; + \infty)$

Відповідь: 1) $(0; 6)$ ; 2) $(- \infty; - 2] \cup [0; + \infty)$ ; 3) $(0; 7)$ ; 4) $(- \infty; - 1] \cup [0; + \infty)$ .

№ 12.8. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} - 16 \leq 0$

2) $x^{2} - 4 > 0$

3) $- x^{2} + 1 \geq 0$

4) $25 - x^{2} < 0$

Розв’язання:

1) $x^{2} - 16 \leq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 16$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 16 = 0$
$(x - 4) (x + 4) = 0$
$x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 4$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
$y \leq 0$ при $x \in [- 4; 4]$ .

Графік до вправи № 12.8 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in [- 4; 4]$

2) $x^{2} - 4 > 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 4$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 4 = 0$
$(x - 2) (x + 2) = 0$
$x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 2$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
$y > 0$ при $x \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .

Графік до вправи № 12.8 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$

3) $- x^{2} + 1 \geq 0$
Розглянемо функцію $y = - x^{2} + 1$ .
Знайдемо нулі функції:
$- x^{2} + 1 = 0$
$x^{2} = 1$
$x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 1$
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
$y \geq 0$ при $x \in [- 1; 1]$ .

Графік до вправи № 12.8 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

$x \in [- 1; 1]$

4) $25 - x^{2} < 0$
Розглянемо функцію $y = 25 - x^{2}$ .
Знайдемо нулі функції:
$25 - x^{2} = 0$
$x^{2} = 25$
$x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 5$
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
$y < 0$ при $x \in (- \infty; - 5) \cup (5; + \infty)$ .

Графік до вправи № 12.8 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 5) \cup (5; + \infty)$

Відповідь: 1) $x \in [- 4; 4]$ ; 2) $x \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ ; 3) $x \in [- 1; 1]$ ; 4) $x \in (- \infty; - 5) \cup (5; + \infty)$ .

№ 12.9. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} - 36 > 0$ ;

2) $x^{2} - 100 \leq 0$ ;

3) $- x^{2} + 64 < 0$ ;

4) $9 - x^{2} \geq 0$ .

Розв’язання:

1) Розглянемо функцію $y = x^{2} - 36$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 36 = 0$
$x^{2} = 36$
$x_{1} = - 6$ , $x_{2} = 6$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
З’ясуємо, на яких проміжках $y > 0$ :

Графік до вправи № 12.9 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 6) \cup (6; + \infty)$

2) Розглянемо функцію $y = x^{2} - 100$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 100 = 0$
$x^{2} = 100$
$x_{1} = - 10$ , $x_{2} = 10$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
З’ясуємо, на яких проміжках $y \leq 0$ :

Графік до вправи № 12.9 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in [- 10; 10]$

3) Розглянемо функцію $y = - x^{2} + 64$ .
Знайдемо нулі функції:
$- x^{2} + 64 = 0$
$x^{2} = 64$
$x_{1} = - 8$ , $x_{2} = 8$
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
З’ясуємо, на яких проміжках $y < 0$ :

Графік до вправи № 12.9 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 8) \cup (8; + \infty)$

4) Розглянемо функцію $y = 9 - x^{2}$ .
Знайдемо нулі функції:
$9 - x^{2} = 0$
$x^{2} = 9$
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 3$
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
З’ясуємо, на яких проміжках $y \geq 0$ :

Графік до вправи № 12.9 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$x \in [- 3; 3]$

Відповідь: 1) $(- \infty; - 6) \cup (6; + \infty)$ ; 2) $[- 10; 10]$ ; 3) $(- \infty; - 8) \cup (8; + \infty)$ ; 4) $[- 3; 3]$ .

№ 12.10. Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) $x^{2} - 3 x - 40 \geq 0$ ;
2) $x^{2} - 8 x + 15 < 0$ ;
3) $- x^{2} + 6 x + 7 \leq 0$ ;
4) $- x^{2} - 5 x - 4 > 0$ .

Розв’язання:

1) $x^{2} - 3 x - 40 \geq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 3 x - 40$ .
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 3 x - 40 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 8$

Графік до вправи № 12.10 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$y \geq 0$ , якщо $x \leq - 5$ або $x \geq 8$ .
$x \in (- \infty; - 5] \cup [8; + \infty)$

2) $x^{2} - 8 x + 15 < 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 8 x + 15$ .
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 8 x + 15 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = 3$ , $x_{2} = 5$

Графік до вправи № 12.10 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$y < 0$ , якщо $3 < x < 5$ .
$x \in (3; 5)$

3) $- x^{2} + 6 x + 7 \leq 0$
Розглянемо функцію $y = - x^{2} + 6 x + 7$ .
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$- x^{2} + 6 x + 7 = 0$
$x^{2} - 6 x - 7 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 7$

Графік до вправи № 12.10 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

$y \leq 0$ , якщо $x \leq - 1$ або $x \geq 7$ .
$x \in (- \infty; - 1] \cup [7; + \infty)$

4) $- x^{2} - 5 x - 4 > 0$
Розглянемо функцію $y = - x^{2} - 5 x - 4$ .
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$- x^{2} - 5 x - 4 = 0$
$x^{2} + 5 x + 4 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4$ , $x_{2} = - 1$

Графік до вправи № 12.10 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$y > 0$ , якщо $- 4 < x < - 1$ .
$x \in (- 4; - 1)$

Відповідь: 1) $(- \infty; - 5] \cup [8; + \infty)$ ; 2) $(3; 5)$ ; 3) $(- \infty; - 1] \cup [7; + \infty)$ ; 4) $(- 4; - 1)$ .

№ 12.11. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $x^{2} - 7 x + 12 \leq 0$ ;

2) $x^{2} - 2 x - 24 > 0$ ;

3) $- x^{2} - x + 6 \geq 0$ ;

4) $- x^{2} + 3 x + 10 < 0$ .

Розв’язання:

1) $x^{2} - 7 x + 12 \leq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 7 x + 12$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 7 x + 12 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = 3$ , $x_{2} = 4$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Нерівність нестрога, точки зафарбовані.

Графік до вправи № 12.11 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in [3; 4]$

2) $x^{2} - 2 x - 24 > 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 2 x - 24$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 2 x - 24 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 6$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Нерівність строга, точки виколоті.

Графік до вправи № 12.11 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 4) \cup (6; + \infty)$

3) $- x^{2} - x + 6 \geq 0$
Розглянемо функцію $y = - x^{2} - x + 6$ .
Знайдемо нулі функції:
$- x^{2} - x + 6 = 0$
$x^{2} + x - 6 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 2$
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Нерівність нестрога, точки зафарбовані.

Графік до вправи № 12.11 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

$x \in [- 3; 2]$

4) $- x^{2} + 3 x + 10 < 0$
Розглянемо функцію $y = - x^{2} + 3 x + 10$ .
Знайдемо нулі функції:
$- x^{2} + 3 x + 10 = 0$
$x^{2} - 3 x - 10 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 5$
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Нерівність строга, точки виколоті.

Графік до вправи № 12.11 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 2) \cup (5; + \infty)$

Відповідь: 1) $[3; 4]$ ; 2) $(- \infty; - 4) \cup (6; + \infty)$ ; 3) $[- 3; 2]$ ; 4) $(- \infty; - 2) \cup (5; + \infty)$ .

№ 12.12. Знайдіть, за яких значень $x$ квадратний тричлен:
1) $x^{2} - 5 x - 6$ набуває додатних значень;
2) $x^{2} + x - 12$ набуває від’ємних значень.

Розв’язання:

1) Складемо нерівність:
$x^{2} - 5 x - 6 > 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 5 x - 6$ .
Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 5 x - 6 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 6$
Схематично зобразимо графік функції:

Графік до вправи № 12.12 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$y > 0$ при $x \in (- \infty; - 1) \cup (6; + \infty)$ .

2) Складемо нерівність:
$x^{2} + x - 12 < 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} + x - 12$ .
Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} + x - 12 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 3$
Схематично зобразимо графік функції:

Графік до вправи № 12.12 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$y < 0$ при $x \in (- 4; 3)$ .

Відповідь: 1) $x \in (- \infty; - 1) \cup (6; + \infty)$ ; 2) $x \in (- 4; 3)$ .

№ 12.13. Знайдіть, за яких значень $x$ квадратний тричлен:
1) $x^{2} - x - 2$ набуває від’ємних значень;
2) $x^{2} + 2 x - 8$ набуває додатних значень.

Розв’язання:

1) Складемо нерівність:
$x^{2} - x - 2 < 0$

Розглянемо функцію $y = x^{2} - x - 2$ .
Графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - x - 2 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 2$

Графік до вправи № 12.13 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x^{2} - x - 2 < 0$ при $x \in (- 1; 2)$ .

2) Складемо нерівність:
$x^{2} + 2 x - 8 > 0$

Розглянемо функцію $y = x^{2} + 2 x - 8$ .
Графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Знайдемо нулі функції:
$x^{2} + 2 x - 8 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 2$

Графік до вправи № 12.13 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x^{2} + 2 x - 8 > 0$ при $x \in (- \infty; - 4) \cup (2; + \infty)$ .

Відповідь: 1) $(- 1; 2)$ ; 2) $(- \infty; - 4) \cup (2; + \infty)$ .

№ 12.14. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} < 4$ ;

2) $x^{2} \geq 100$ ;

3) $x^{2} \leq 7 x$ ;

4) $- x^{2} > - 3 x$ .

Розв’язання:

1) $x^{2} < 4$
$x^{2} - 4 < 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 4$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 4 = 0$
$(x - 2) (x + 2) = 0$
$x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 2$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Схематично зобразимо параболу та визначимо проміжок, де $y < 0$ :

Графік до вправи № 12.14 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (- 2; 2)$

2) $x^{2} \geq 100$
$x^{2} - 100 \geq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 100$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 100 = 0$
$(x - 10) (x + 10) = 0$
$x_{1} = - 10$ , $x_{2} = 10$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Схематично зобразимо параболу та визначимо проміжки, де $y \geq 0$ :

Графік до вправи № 12.14 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 10] \cup [10; + \infty)$

3) $x^{2} \leq 7 x$
$x^{2} - 7 x \leq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 7 x$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 7 x = 0$
$x (x - 7) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 7$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Схематично зобразимо параболу та визначимо проміжок, де $y \leq 0$ :

Графік до вправи № 12.14 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

$x \in [0; 7]$

4) $- x^{2} > - 3 x$
$- x^{2} + 3 x > 0$
Розглянемо функцію $y = - x^{2} + 3 x$ .
Знайдемо нулі функції:
$- x^{2} + 3 x = 0$
$- x (x - 3) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Схематично зобразимо параболу та визначимо проміжок, де $y > 0$ :

Графік до вправи № 12.14 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$x \in (0; 3)$

Відповідь:

1) $x \in (- 2; 2)$ ;

2) $x \in (- \infty; - 10] \cup [10; + \infty)$ ;

3) $x \in [0; 7]$ ;

4) $x \in (0; 3)$ .

№ 12.15. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} > 9$

2) $x^{2} \leq 1$

3) $x^{2} \geq 4 x$

4) $- x^{2} < - 5 x$

Розв’язання:

1) $x^{2} > 9$
$x^{2} - 9 > 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 9$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 9 = 0$
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 3$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.15 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$

2) $x^{2} \leq 1$
$x^{2} - 1 \leq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 1$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 1 = 0$
$x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 1$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.15 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in [- 1; 1]$

3) $x^{2} \geq 4 x$
$x^{2} - 4 x \geq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 4 x$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 4 x = 0$
$x (x - 4) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.15 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; 0] \cup [4; + \infty)$

4) $- x^{2} < - 5 x$
$- x^{2} + 5 x < 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ :
$x^{2} - 5 x > 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 5 x$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 5 x = 0$
$x (x - 5) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 5$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.15 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$

Відповідь: 1) $(- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$ ; 2) $[- 1; 1]$ ; 3) $(- \infty; 0] \cup [4; + \infty)$ ; 4) $(- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$ .

№ 12.16. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} + 2 x - 7 > 0$ ;

2) $x^{2} - x - 3 \leq 0$ .

Розв’язання:

1) Розглянемо функцію $y = x^{2} + 2 x - 7$ .
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} + 2 x - 7 = 0$
$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7) = 4 + 28 = 32$
$D = 32 = 42$
$x_{1} = \frac{- 2 - 4 2}{2} = - 1 - 22$
$x_{2} = \frac{- 2 + 4 2}{2} = - 1 + 22$

Схематично зобразимо розміщення параболи відносно осі $O x$ :

Графік до вправи № 12.16 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$y > 0$ , коли $x \in (- \infty; - 1 - 22) \cup (- 1 + 22; + \infty)$ .

2) Розглянемо функцію $y = x^{2} - x - 3$ .
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - x - 3 = 0$
$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 1 + 12 = 13$
$D = 13$
$x_{1} = \frac{1 - 13}{2}$
$x_{2} = \frac{1 + 13}{2}$

Схематично зобразимо розміщення параболи відносно осі $O x$ :

Графік до вправи № 12.16 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$y \leq 0$ , коли $x \in [\frac{1 - 13}{2}; \frac{1 + 13}{2}]$ .

Відповідь: 1) $(- \infty; - 1 - 22) \cup (- 1 + 22; + \infty)$ ; 2) $[\frac{1 - 13}{2}; \frac{1 + 13}{2}]$ .

№ 12.17. Розв’яжіть нерівність:
1) $x^{2} - 4 x - 3 < 0$ ;
2) $x^{2} + x - 5 \geq 0$ .

Розв’язання:

1) $x^{2} - 4 x - 3 < 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 4 x - 3$ . Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 4 x - 3 = 0$
$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16 + 12 = 28$
$x_{1} = \frac{4 - 28}{2} = \frac{4 - 2 7}{2} = 2 - 7$
$x_{2} = \frac{4 + 28}{2} = \frac{4 + 2 7}{2} = 2 + 7$

Графік до вправи № 12.17 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (2 - 7; 2 + 7)$

2) $x^{2} + x - 5 \geq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} + x - 5$ . Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} + x - 5 = 0$
$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 1 + 20 = 21$
$x_{1} = \frac{- 1 - 21}{2}$
$x_{2} = \frac{- 1 + 21}{2}$

Графік до вправи № 12.17 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; \frac{- 1 - 21}{2}] \cup [\frac{- 1 + 21}{2}; + \infty)$

Відповідь:

1) $(2 - 7; 2 + 7)$ ;

2) $(- \infty; \frac{- 1 - 21}{2}] \cup [\frac{- 1 + 21}{2}; + \infty)$ .

№ 12.18. Знайдіть область визначення функції:
1) $y = x^{2} + 2 x - 3$ ;
2) $y = \frac{1}{12 - x - x ^{2}}$ .

Розв’язання:

1) Область визначення функції визначається умовою:
$x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$

Розв’яжемо відповідне квадратне рівняння:
$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 1$

Графіком функції $y = x^{2} + 2 x - 3$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Нерівність $x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$ виконується при:
$x \leq - 3$ або $x \geq 1$
$x \in (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$

Графік до вправи № 12.18 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Отже, $D (y) = (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$ .

2) Вираз у знаменнику під знаком кореня має бути строго додатним:
$12 - x - x^{2} > 0$
$- x^{2} - x + 12 > 0$

Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} + x - 12 < 0$

Розв’яжемо відповідне квадратне рівняння:
$x^{2} + x - 12 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 3$

Графіком функції $y = x^{2} + x - 12$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Нерівність $x^{2} + x - 12 < 0$ виконується при:
$- 4 < x < 3$
$x \in (- 4; 3)$

Графік до вправи № 12.18 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Отже, $D (y) = (- 4; 3)$ .

Відповідь: 1) $(- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$ ; 2) $(- 4; 3)$ .

№ 12.19. Знайдіть область визначення функції:
1) $y = 3 - x^{2} + 2 x$ ;
2) $y = \frac{1}{x ^{2} + 4 x - 5}$ .

Розв’язання:

1) Область визначення функції задається нерівністю:
$3 - x^{2} + 2 x \geq 0$
$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$
$x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$

Знайдемо нулі тричлена $x^{2} - 2 x - 3$ :
$x^{2} - 2 x - 3 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 3$

Вітки параболи напрямлені вгору, нерівність $x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$ виконується для значень змінної між коренями:
$x \in [- 1; 3]$

Графік до вправи № 12.19 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Отже, $D (y) = [- 1; 3]$ .

2) Вираз під знаком кореня в знаменнику дробу повинен бути строго додатним, тому:
$x^{2} + 4 x - 5 > 0$

Знайдемо нулі тричлена $x^{2} + 4 x - 5$ :
$x^{2} + 4 x - 5 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 1$

Вітки параболи напрямлені вгору, нерівність $x^{2} + 4 x - 5 > 0$ виконується для значень змінної поза проміжком між коренями:
$x \in (- \infty; - 5) \cup (1; + \infty)$

Графік до вправи № 12.19 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Отже, $D (y) = (- \infty; - 5) \cup (1; + \infty)$ .

Відповідь: 1) $[- 1; 3]$ ; 2) $(- \infty; - 5) \cup (1; + \infty)$ .

№ 12.20. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $x^{2} + 10 x + 25 \geq 0$

2) $25 - 20 x + 4 x^{2} < 0$

3) $9 x^{2} - 6 x + 1 > 0$

4) $x^{2} - 8 x + 16 \leq 0$

5) $- x^{2} - 2 x - 1 < 0$

6) $10 x - x^{2} - 25 \geq 0$

7) $- 25 x^{2} + 30 x - 9 \leq 0$

8) $- 49 x^{2} - 70 x - 25 > 0$

Розв’язання:

1) $x^{2} + 10 x + 25 \geq 0$
Знайдемо нулі функції $y = x^{2} + 10 x + 25$ :
$x^{2} + 10 x + 25 = 0$
$(x + 5)^{2} = 0$
$x = - 5$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Графік дотикається до осі $O x$ у точці $x = - 5$ і лежить не нижче неї.
$x \in (- \infty; + \infty)$

Графік до вправи № 12.20 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $25 - 20 x + 4 x^{2} < 0$
$4 x^{2} - 20 x + 25 < 0$
Знайдемо нулі функції $y = 4 x^{2} - 20 x + 25$ :
$4 x^{2} - 20 x + 25 = 0$
$(2 x - 5)^{2} = 0$
$x = 2, 5$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 4 > 0$ ). Графік дотикається до осі $O x$ у точці $x = 2, 5$ і лежить вище або на рівні осі $O x$ , тому значень $y < 0$ немає.
$x \in \emptyset$

Графік до вправи № 12.20 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $9 x^{2} - 6 x + 1 > 0$
Знайдемо нулі функції $y = 9 x^{2} - 6 x + 1$ :
$9 x^{2} - 6 x + 1 = 0$
$(3 x - 1)^{2} = 0$
$x = \frac{1}{3}$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 9 > 0$ ). Графік лежить вище осі $O x$ при всіх $x$ , крім точки дотику $x = \frac{1}{3}$ .
$x \in (- \infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; + \infty)$

Графік до вправи № 12.20 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $x^{2} - 8 x + 16 \leq 0$
Знайдемо нулі функції $y = x^{2} - 8 x + 16$ :
$x^{2} - 8 x + 16 = 0$
$(x - 4)^{2} = 0$
$x = 4$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Нерівність виконується лише в точці дотику з віссю $O x$ .
$x = 4$

Графік до вправи № 12.20 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

5) $- x^{2} - 2 x - 1 < 0$
Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} + 2 x + 1 > 0$
$(x + 1)^{2} > 0$
Знайдемо нулі функції:
$(x + 1)^{2} = 0$
$x = - 1$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Нерівність правильна для всіх $x$ , крім $x = - 1$ .
$x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$

Графік до вправи № 12.20 (рис. 5) - Алгебра 9 клас

6) $10 x - x^{2} - 25 \geq 0$
$- x^{2} + 10 x - 25 \geq 0$
Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} - 10 x + 25 \leq 0$
$(x - 5)^{2} \leq 0$
Квадрат виразу не може бути меншим від нуля, тому залишається випадок рівності:
$(x - 5)^{2} = 0$
$x = 5$

Графік до вправи № 12.20 (рис. 6) - Алгебра 9 клас

7) $- 25 x^{2} + 30 x - 9 \leq 0$
Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$25 x^{2} - 30 x + 9 \geq 0$
$(5 x - 3)^{2} \geq 0$
Квадрат будь-якого дійсного числа невід’ємний, отже, нерівність виконується при будь-якому $x$ .
$x \in (- \infty; + \infty)$

Графік до вправи № 12.20 (рис. 7) - Алгебра 9 клас

8) $- 49 x^{2} - 70 x - 25 > 0$
Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$49 x^{2} + 70 x + 25 < 0$
$(7 x + 5)^{2} < 0$
Оскільки $(7 x + 5)^{2} \geq 0$ при всіх дійсних значеннях $x$ , дана нерівність розв’язків не має.
$x \in \emptyset$

Графік до вправи № 12.20 (рис. 8) - Алгебра 9 клас

Відповідь: 1) $(- \infty; + \infty)$ ; 2) $\emptyset$ ; 3) $(- \infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; + \infty)$ ; 4) $4$ ; 5) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ ; 6) $5$ ; 7) $(- \infty; + \infty)$ ; 8) $\emptyset$ .

№ 12.21. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $x^{2} + 8 x + 16 < 0$
2) $25 x^{2} - 10 x + 1 \geq 0$
3) $9 - 6 x + x^{2} \leq 0$
4) $100 x^{2} - 120 x + 36 > 0$
5) $2 x - x^{2} - 1 \geq 0$
6) $- 36 x^{2} + 60 x - 25 > 0$
7) $- 64 x^{2} - 112 x - 49 \leq 0$
8) $- x^{2} + 16 x - 64 < 0$

Розв’язання:

1) $x^{2} + 8 x + 16 < 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} + 8 x + 16$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} + 8 x + 16 = 0$
$(x + 4)^{2} = 0$
$x = - 4$
Вітки параболи напрямлені вгору, парабола дотикається до осі $O x$ у точці $x = - 4$ і не опускається нижче від осі $O x$ .
Отже, нерівність не має розв’язків.
$x \in \emptyset$

Графік до вправи № 12.21 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $25 x^{2} - 10 x + 1 \geq 0$
Розглянемо функцію $y = 25 x^{2} - 10 x + 1$ .
Знайдемо нулі функції:
$25 x^{2} - 10 x + 1 = 0$
$(5 x - 1)^{2} = 0$
$5 x - 1 = 0$
$x = \frac{1}{5} = 0, 2$
Вітки параболи напрямлені вгору, парабола дотикається до осі $O x$ у точці $x = 0, 2$ та лежить вище від осі $O x$ при всіх інших значеннях $x$ .
Отже, нерівність виконується для будь-якого значення $x$ .
$x \in (- \infty; + \infty)$

Графік до вправи № 12.21 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $9 - 6 x + x^{2} \leq 0$
$x^{2} - 6 x + 9 \leq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 6 x + 9$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 6 x + 9 = 0$
$(x - 3)^{2} = 0$
$x = 3$
Вітки параболи напрямлені вгору, графік розташований вище від осі $O x$ , окрім точки дотику $x = 3$ , де $y = 0$ .
Отже, нерівність виконується лише при $x = 3$ .

Графік до вправи № 12.21 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $100 x^{2} - 120 x + 36 > 0$
Розглянемо функцію $y = 100 x^{2} - 120 x + 36$ .
Знайдемо нулі функції:
$100 x^{2} - 120 x + 36 = 0$
$(10 x - 6)^{2} = 0$
$10 x - 6 = 0$
$x = \frac{6}{10} = 0, 6$
Вітки параболи напрямлені вгору, графік лежить вище від осі $O x$ усюди, крім точки $x = 0, 6$ , де значення дорівнює нулю.
$x \in (- \infty; 0, 6) \cup (0, 6; + \infty)$

Графік до вправи № 12.21 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

5) $2 x - x^{2} - 1 \geq 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} - 2 x + 1 \leq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 2 x + 1$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 2 x + 1 = 0$
$(x - 1)^{2} = 0$
$x = 1$
Вітки параболи напрямлені вгору, парабола розташована вище від осі $O x$ , окрім точки дотику $x = 1$ , де $y = 0$ .
Отже, нерівність виконується лише при $x = 1$ .

Графік до вправи № 12.21 (рис. 5) - Алгебра 9 клас

6) $- 36 x^{2} + 60 x - 25 > 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$36 x^{2} - 60 x + 25 < 0$
Розглянемо функцію $y = 36 x^{2} - 60 x + 25$ .
Знайдемо нулі функції:
$36 x^{2} - 60 x + 25 = 0$
$(6 x - 5)^{2} = 0$
$6 x - 5 = 0$
$x = \frac{5}{6}$
Вітки параболи напрямлені вгору, графік не набуває від’ємних значень.
Отже, нерівність не має розв’язків.
$x \in \emptyset$

Графік до вправи № 12.21 (рис. 6) - Алгебра 9 клас

7) $- 64 x^{2} - 112 x - 49 \leq 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$64 x^{2} + 112 x + 49 \geq 0$
Розглянемо функцію $y = 64 x^{2} + 112 x + 49$ .
Знайдемо нулі функції:
$64 x^{2} + 112 x + 49 = 0$
$(8 x + 7)^{2} = 0$
$8 x + 7 = 0$
$x = - \frac{7}{8}$
Вітки параболи напрямлені вгору, графік розташований не нижче від осі $O x$ при всіх $x$ .
Отже, нерівність виконується для будь-якого значення $x$ .
$x \in (- \infty; + \infty)$

Графік до вправи № 12.21 (рис. 7) - Алгебра 9 клас

8) $- x^{2} + 16 x - 64 < 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} - 16 x + 64 > 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 16 x + 64$ .
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 16 x + 64 = 0$
$(x - 8)^{2} = 0$
$x = 8$
Вітки параболи напрямлені вгору, графік лежить вище від осі $O x$ для всіх $x$ , крім точки дотику $x = 8$ .
$x \in (- \infty; 8) \cup (8; + \infty)$

Графік до вправи № 12.21 (рис. 8) - Алгебра 9 клас

Відповідь:
1) $\emptyset$ ;
2) $(- \infty; + \infty)$ ;
3) $3$ ;
4) $(- \infty; 0, 6) \cup (0, 6; + \infty)$ ;
5) $1$ ;
6) $\emptyset$ ;
7) $(- \infty; + \infty)$ ;
8) $(- \infty; 8) \cup (8; + \infty)$ .

№ 12.22. Знайдіть усі цілі розв’язки нерівності:

1) $2 x^{2} - 5 x + 2 < 0$ ;

2) $9 x - 2 x^{2} - 4 \geq 0$ .

Розв’язання:

1) $2 x^{2} - 5 x + 2 < 0$

Розглянемо функцію $y = 2 x^{2} - 5 x + 2$ .
Знайдемо нулі функції:
$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$x_{1} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$x_{2} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0, 5$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.22 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (0, 5; 2)$
Цілі розв’язки: $1$ .

2) $9 x - 2 x^{2} - 4 \geq 0$

Помножимо обидві частини на $- 1$ :
$2 x^{2} - 9 x + 4 \leq 0$

Розглянемо функцію $y = 2 x^{2} - 9 x + 4$ .
Знайдемо нулі функції:
$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$
$D = (- 9)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$
$x_{1} = \frac{9 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$
$x_{2} = \frac{9 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0, 5$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.22 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in [0, 5; 4]$
Цілі розв’язки: $1; 2; 3; 4$ .

Відповідь: 1) 1; 2) 1; 2; 3; 4.

№ 12.23. Знайдіть усі цілі розв’язки нерівності:
1) $2 x^{2} - 7 x + 3 \leq 0$ ;
2) $4 - 11 x - 3 x^{2} > 0$ .

Розв’язання:

1) $2 x^{2} - 7 x + 3 \leq 0$
Розглянемо функцію $y = 2 x^{2} - 7 x + 3$ .
Знайдемо нулі функції:
$2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$
$D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
$x_{1} = \frac{7 + 25}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = 3$
$x_{2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Вітки параболи напрямлені вгору, оскільки $a = 2 > 0$ .

Графік до вправи № 12.23 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in [\frac{1}{2}; 3]$
Цілими розв’язками нерівності є числа: 1; 2; 3.

2) $4 - 11 x - 3 x^{2} > 0$
$- 3 x^{2} - 11 x + 4 > 0$
Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$3 x^{2} + 11 x - 4 < 0$
Розглянемо функцію $y = 3 x^{2} + 11 x - 4$ .
Знайдемо нулі функції:
$3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$
$D = 1 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4) = 121 + 48 = 169$
$x_{1} = \frac{- 11 + 169}{2 \cdot 3} = \frac{- 11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_{2} = \frac{- 11 - 13}{6} = \frac{- 24}{6} = - 4$
Вітки параболи напрямлені вгору, оскільки $a = 3 > 0$ .

Графік до вправи № 12.23 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- 4; \frac{1}{3})$
Цілими розв’язками нерівності є числа: -3; -2; -1; 0.

Відповідь: 1) 1; 2; 3; 2) -3; -2; -1; 0.

№ 12.24. Національний університет «Острозька академія» — один з найдавніших навчальних закладів Європи і перший — створений в Україні — заснований у 1576 р. Від самого початку свого існування академія була надзвичайно прогресивною. Знайдіть суму всіх цілих розв’язків нерівності $19 x + 51 - 10 x^{2} \geq 0$ , відтак дізнаєтеся, скільки іноземних мов вивчали перші студенти цієї академії.

Розв’язання:
Запишемо нерівність у стандартному вигляді:
$- 10 x^{2} + 19 x + 51 \geq 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:
$10 x^{2} - 19 x - 51 \leq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $10 x^{2} - 19 x - 51 = 0$ :
$D = (- 19)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 51) = 361 + 2040 = 2401 = 4 9^{2}$

$x_{1} = \frac{19 - 49}{2 \cdot 10} = \frac{- 30}{20} = - 1, 5$
$x_{2} = \frac{19 + 49}{2 \cdot 10} = \frac{68}{20} = 3, 4$

Оскільки вітки параболи $y = 10 x^{2} - 19 x - 51$ напрямлені вгору, нерівність $10 x^{2} - 19 x - 51 \leq 0$ виконується для:
$x \in [- 1, 5; 3, 4]$

Цілими розв’язками нерівності є числа: $- 1$ ; $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ .

Знайдемо їхню суму:
$- 1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5$

Відповідь: 5.

№ 12.25. 2025 року в Канаді відбулися «Ігри нескорених» (Invictus Games), у яких брали участь спортсмени / спортсменки з України. Розв’яжіть нерівність $49 x - 5 x^{2} - 72 \geq 0$ . Добуток найменшого і найбільшого натуральних розв’язків нерівності підкажуть вам, скільки медалей спортсмени / спортсменки України здобули в зимових видах цих змагань.

Розв’язання:

Запишемо нерівність у стандартному вигляді:
$- 5 x^{2} + 49 x - 72 \geq 0$
Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:
$5 x^{2} - 49 x + 72 \leq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $5 x^{2} - 49 x + 72$ :
$5 x^{2} - 49 x + 72 = 0$
$D = (- 49)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 72 = 2401 - 1440 = 961 = 3 1^{2}$
$x_{1} = \frac{49 - 31}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = 1, 8$
$x_{2} = \frac{49 + 31}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8$

Схематично зобразимо параболу $y = 5 x^{2} - 49 x + 72$ , вітки якої напрямлені вгору і яка перетинає вісь абсцис у точках $x = 1, 8$ та $x = 8$ :

Розв’язком нерівності $5 x^{2} - 49 x + 72 \leq 0$ є проміжок:
$x \in [1, 8; 8]$

Знайдемо натуральні розв’язки нерівності:
$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$

Найменший натуральний розв’язок дорівнює 2, а найбільший — 8.
Обчислимо їхній добуток:
$2 \cdot 8 = 16$

Отже, спортсмени та спортсменки України здобули 16 медалей.

Відповідь: 16 медалей.

№ 12.26. Розв’яжіть нерівність:
1) $x^{2} + x + 7 \geq 0$ ;
2) $x^{2} - 2 x + 5 < 0$ ;
3) $- x^{2} - 2 x - 9 \leq 0$ ;
4) $- 3 x^{2} + 4 x - 5 > 0$ .

Розв’язання:

1) $x^{2} + x + 7 \geq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} + x + 7$ .
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} + x + 7 = 0$
$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = - 27 < 0$
Оскільки $D < 0$ , парабола не перетинає вісь $O x$ і повністю лежить вище від неї ( $y > 0$ для всіх $x \in R$ ).
Отже, нерівність $x^{2} + x + 7 \geq 0$ виконується при будь-якому значенні $x$ :
$x \in (- \infty; + \infty)$

Графік до вправи № 12.26 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $x^{2} - 2 x + 5 < 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 2 x + 5$ .
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 2 x + 5 = 0$
$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16 < 0$
Оскільки $D < 0$ , парабола не перетинає вісь $O x$ і повністю лежить вище від неї ( $y > 0$ для всіх $x \in R$ ).
Отже, нерівність $x^{2} - 2 x + 5 < 0$ не має розв’язків.

Графік до вправи № 12.26 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $- x^{2} - 2 x - 9 \leq 0$
Розглянемо функцію $y = - x^{2} - 2 x - 9$ .
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$- x^{2} - 2 x - 9 = 0$
$x^{2} + 2 x + 9 = 0$
$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = - 32 < 0$
Оскільки $D < 0$ , парабола не перетинає вісь $O x$ і повністю лежить нижче від неї ( $y < 0$ для всіх $x \in R$ ).
Отже, нерівність $- x^{2} - 2 x - 9 \leq 0$ виконується при будь-якому значенні $x$ :
$x \in (- \infty; + \infty)$

Графік до вправи № 12.26 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $- 3 x^{2} + 4 x - 5 > 0$
Розглянемо функцію $y = - 3 x^{2} + 4 x - 5$ .
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 3 < 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$- 3 x^{2} + 4 x - 5 = 0$
$3 x^{2} - 4 x + 5 = 0$
$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = - 44 < 0$
Оскільки $D < 0$ , парабола не перетинає вісь $O x$ і повністю лежить нижче від неї ( $y < 0$ для всіх $x \in R$ ).
Отже, нерівність $- 3 x^{2} + 4 x - 5 > 0$ не має розв’язків.

Графік до вправи № 12.26 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

Відповідь: 1) $(- \infty; + \infty)$ ; 2) розв’язків немає; 3) $(- \infty; + \infty)$ ; 4) розв’язків немає.

№ 12.27. Розв’яжіть нерівність:

1) $6 x^{2} + x + 1 > 0$

2) $x^{2} - 3 x + 7 \leq 0$

3) $- x^{2} + 4 x - 9 < 0$

4) $- x^{2} - 2 x - 5 \geq 0$

Розв’язання:

1) $6 x^{2} + x + 1 > 0$
Розглянемо квадратичну функцію $y = 6 x^{2} + x + 1$ .
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 6 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$6 x^{2} + x + 1 = 0$
$D = 1^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 1 - 24 = - 23 < 0$
Рівняння не має коренів. Парабола не перетинає вісь $O x$ і повністю лежить вище від неї, тому $y > 0$ при будь-якому значенні $x$ .
$x \in (- \infty; + \infty)$

Графік до вправи № 12.27 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $x^{2} - 3 x + 7 \leq 0$
Розглянемо квадратичну функцію $y = x^{2} - 3 x + 7$ .
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 3 x + 7 = 0$
$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = - 19 < 0$
Рівняння не має коренів. Парабола не перетинає вісь $O x$ і повністю лежить вище від неї, тому нерівність $y \leq 0$ не має розв’язків.
$x \in \emptyset$

Графік до вправи № 12.27 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $- x^{2} + 4 x - 9 < 0$
Розглянемо квадратичну функцію $y = - x^{2} + 4 x - 9$ .
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$- x^{2} + 4 x - 9 = 0$
$D = 4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9) = 16 - 36 = - 20 < 0$
Рівняння не має коренів. Парабола не перетинає вісь $O x$ і повністю лежить нижче від неї, тому $y < 0$ при будь-якому значенні $x$ .
$x \in (- \infty; + \infty)$

Графік до вправи № 12.27 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $- x^{2} - 2 x - 5 \geq 0$
Розглянемо квадратичну функцію $y = - x^{2} - 2 x - 5$ .
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$- x^{2} - 2 x - 5 = 0$
$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5) = 4 - 20 = - 16 < 0$
Рівняння не має коренів. Парабола не перетинає вісь $O x$ і повністю лежить нижче від неї, тому нерівність $y \geq 0$ не має розв’язків.
$x \in \emptyset$

Графік до вправи № 12.27 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

Відповідь: 1) $(- \infty; + \infty)$ ; 2) розв’язків немає; 3) $(- \infty; + \infty)$ ; 4) розв’язків немає.

№ 12.28. Доведіть, що за будь-якого значення $x$ справджується нерівність:

1) $3 x^{2} - x + 1 > 0$ ;

2) $6 x < x^{2} + 10$ .

Розв’язання:

1) $3 x^{2} - x + 1 > 0$
Розглянемо функцію $y = 3 x^{2} - x + 1$ .
Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 3 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$3 x^{2} - x + 1 = 0$
$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = - 11 < 0$
Оскільки $D < 0$ , рівняння не має коренів, тобто парабола не перетинає вісь $O x$ і повністю лежить вище від неї.
Тому $3 x^{2} - x + 1 > 0$ для всіх $x \in (- \infty; + \infty)$ .
Нерівність доведено.

Графік до вправи № 12.28 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $6 x < x^{2} + 10$
Перенесемо всі доданки в одну частину нерівності:
$- x^{2} + 6 x - 10 < 0$
$x^{2} - 6 x + 10 > 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 6 x + 10$ .
Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 6 x + 10 = 0$
$D = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = - 4 < 0$
Оскільки $D < 0$ , рівняння не має коренів, тобто парабола не перетинає вісь $O x$ і повністю лежить вище від неї.
Тому $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ , а отже, $6 x < x^{2} + 10$ для всіх $x \in (- \infty; + \infty)$ .
Нерівність доведено.

Графік до вправи № 12.28 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 12.29. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

1) $4 x^{2} + 11 x - 20 < 0$

2) $- 3 x^{2} + 11 x + 34 \geq 0$

Розв’язання:

1) $4 x^{2} + 11 x - 20 < 0$
Знайдемо нулі функції $y = 4 x^{2} + 11 x - 20$ :
$4 x^{2} + 11 x - 20 = 0$
$D = 1 1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 20) = 121 + 320 = 441$
$x_{1} = \frac{- 11 - 21}{2 \cdot 4} = \frac{- 32}{8} = - 4$
$x_{2} = \frac{- 11 + 21}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = 1, 25$
Вітки параболи спрямовані вгору ( $a = 4 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.29 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Розв’язок нерівності:
$x \in (- 4; 1, 25)$
Цілими розв’язками на цьому проміжку є числа: $- 3, - 2, - 1, 0, 1$ .
Найменший цілий розв’язок: $- 3$ .

2) $- 3 x^{2} + 11 x + 34 \geq 0$
Знайдемо нулі функції $y = - 3 x^{2} + 11 x + 34$ :
$- 3 x^{2} + 11 x + 34 = 0$
$3 x^{2} - 11 x - 34 = 0$
$D = (- 11)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 34) = 121 + 408 = 529$
$x_{1} = \frac{11 - 23}{2 \cdot 3} = \frac{- 12}{6} = - 2$
$x_{2} = \frac{11 + 23}{2 \cdot 3} = \frac{34}{6} = 5 \frac{2}{3}$
Вітки параболи спрямовані вниз ( $a = - 3 < 0$ ).

Графік до вправи № 12.29 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Розв’язок нерівності:
$x \in [- 2; 5 \frac{2}{3}]$
Найменший цілий розв’язок: $- 2$ .

Відповідь: 1) -3; 2) -2.

№ 12.30. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

1) $- 3 x^{2} - 11 x + 14 \geq 0$
2) $12 x^{2} + 16 x - 3 < 0$

Розв’язання:

1) $- 3 x^{2} - 11 x + 14 \geq 0$
Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ :
$3 x^{2} + 11 x - 14 \leq 0$
Знайдемо нулі функції $y = 3 x^{2} + 11 x - 14$ :
$3 x^{2} + 11 x - 14 = 0$
$D = 1 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 14) = 121 + 168 = 289 = 1 7^{2}$
$x_{1} = \frac{- 11 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_{2} = \frac{- 11 - 17}{2 \cdot 3} = - \frac{28}{6} = - \frac{14}{3} = - 4 \frac{2}{3}$

Вітки параболи напрямлені вгору, нерівність нестрога ( $\leq 0$ ).
$x \in [- 4 \frac{2}{3}; 1]$

Графік до вправи № 12.30 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Цілими розв’язками нерівності є числа: $- 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1$ .
Найбільший цілий розв’язок: $x = 1$ .

2) $12 x^{2} + 16 x - 3 < 0$
Знайдемо нулі функції $y = 12 x^{2} + 16 x - 3$ :
$12 x^{2} + 16 x - 3 = 0$
$D = 1 6^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 3) = 256 + 144 = 400 = 2 0^{2}$
$x_{1} = \frac{- 16 + 20}{2 \cdot 12} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$
$x_{2} = \frac{- 16 - 20}{2 \cdot 12} = - \frac{36}{24} = - \frac{3}{2} = - 1, 5$

Вітки параболи напрямлені вгору, нерівність строга ( $< 0$ ).
$x \in (- 1, 5; \frac{1}{6})$

Графік до вправи № 12.30 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Цілими розв’язками нерівності є числа: $- 1; 0$ .
Найбільший цілий розв’язок: $x = 0$ .

Відповідь: 1) $1$ ; 2) $0$ .

№ 12.31. Розв’яжіть нерівність:
1) $2 x^{2} - 3 x \leq 2 (x - 1)$ ;
2) $4 x (x + 2) > 5$ ;
3) $x (x - 8) > (2 x - 1)^{2}$ ;
4) $3 x (x - 2) + 1 > (x - 1)^{2}$ .

Розв’язання:

1) $2 x^{2} - 3 x \leq 2 (x - 1)$
$2 x^{2} - 3 x \leq 2 x - 2$
$2 x^{2} - 3 x - 2 x + 2 \leq 0$
$2 x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ :
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$x_{1} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$x_{2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0, 5$

Вітки параболи $y = 2 x^{2} - 5 x + 2$ напрямлені вгору.
Нерівність $2 x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$ виконується для $x \in [0, 5; 2]$ .

Графік до вправи № 12.31 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $4 x (x + 2) > 5$
$4 x^{2} + 8 x - 5 > 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $4 x^{2} + 8 x - 5 = 0$ :
$D = 8^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 5) = 64 + 80 = 144$
$x_{1} = \frac{- 8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0, 5$
$x_{2} = \frac{- 8 - 12}{8} = \frac{- 20}{8} = - 2, 5$

Вітки параболи $y = 4 x^{2} + 8 x - 5$ напрямлені вгору.
Нерівність $4 x^{2} + 8 x - 5 > 0$ виконується для $x \in (- \infty; - 2, 5) \cup (0, 5; + \infty)$ .

Графік до вправи № 12.31 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $x (x - 8) > (2 x - 1)^{2}$
$x^{2} - 8 x > 4 x^{2} - 4 x + 1$
$x^{2} - 8 x - 4 x^{2} + 4 x - 1 > 0$
$- 3 x^{2} - 4 x - 1 > 0$
$3 x^{2} + 4 x + 1 < 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $3 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ :
$D = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$
$x_{1} = \frac{- 4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}$
$x_{2} = \frac{- 4 - 2}{6} = \frac{- 6}{6} = - 1$

Вітки параболи $y = 3 x^{2} + 4 x + 1$ напрямлені вгору.
Нерівність $3 x^{2} + 4 x + 1 < 0$ виконується для $x \in (- 1; - \frac{1}{3})$ .

Графік до вправи № 12.31 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $3 x (x - 2) + 1 > (x - 1)^{2}$
$3 x^{2} - 6 x + 1 > x^{2} - 2 x + 1$
$3 x^{2} - 6 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1 > 0$
$2 x^{2} - 4 x > 0$

Знайдемо корені рівняння $2 x^{2} - 4 x = 0$ :
$2 x (x - 2) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$

Вітки параболи $y = 2 x^{2} - 4 x$ напрямлені вгору.
Нерівність $2 x^{2} - 4 x > 0$ виконується для $x \in (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .

Графік до вправи № 12.31 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

Відповідь: 1) $x \in [0, 5; 2]$ ; 2) $x \in (- \infty; - 2, 5) \cup (0, 5; + \infty)$ ; 3) $x \in (- 1; - \frac{1}{3})$ ; 4) $x \in (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .

№ 12.32. Розв’яжіть нерівність:

1) $4 x (x - 1) \leq 3$ ;

2) $(x + 2)^{2} < 2 x (x + 3) + 5$ .

Розв’язання:

1) $4 x (x - 1) \leq 3$
$4 x^{2} - 4 x \leq 3$
$4 x^{2} - 4 x - 3 \leq 0$

Розглянемо функцію $y = 4 x^{2} - 4 x - 3$ .
Знайдемо нулі функції:
$4 x^{2} - 4 x - 3 = 0$
$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3) = 16 + 48 = 64$
$x_{1} = \frac{4 - 64}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = - \frac{4}{8} = - \frac{1}{2}$
$x_{2} = \frac{4 + 64}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Вітки параболи $y = 4 x^{2} - 4 x - 3$ напрямлені вгору ( $a = 4 > 0$ ).
Нерівність $4 x^{2} - 4 x - 3 \leq 0$ виконується для $x \in [- \frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$ .

Графік до вправи № 12.32 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $(x + 2)^{2} < 2 x (x + 3) + 5$
$x^{2} + 4 x + 4 < 2 x^{2} + 6 x + 5$
$x^{2} + 4 x + 4 - 2 x^{2} - 6 x - 5 < 0$
$- x^{2} - 2 x - 1 < 0$
$x^{2} + 2 x + 1 > 0$
$(x + 1)^{2} > 0$

Розглянемо функцію $y = (x + 1)^{2}$ .
Знайдемо нулі функції:
$(x + 1)^{2} = 0$
$x = - 1$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ), парабола дотикається до осі абсцис у точці $x = - 1$ .
Нерівність $(x + 1)^{2} > 0$ виконується при всіх значеннях $x$ , крім $x = - 1$ .
$x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$

Графік до вправи № 12.32 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь: 1) $[- \frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$ ; 2) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .

№ 12.33. Знайдіть область визначення функції:
1) $y = - x^{2} + 2 x + 3 + \frac{1}{x - 2}$ ;
2) $y = \frac{x ^{2} + x - 2}{x - 2}$ .

Розв’язання:

1) Область визначення функції задається системою:

{- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0 x - 2 \neq = 0

Розв’яжемо першу нерівність:
$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$
$x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$
$x^{2} - 2 x - 3 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$
$x_{2} = 3$
$x \in [- 1; 3]$

З другої умови маємо:
$x \neq = 2$

Знайдемо переріз отриманих проміжків:
$x \in [- 1; 2) \cup (2; 3]$

Графік до вправи № 12.33 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Область визначення функції задається системою:

{x^{2} + x - 2 \geq 0 x - 2 \neq = 0

Розв’яжемо першу нерівність:
$x^{2} + x - 2 \geq 0$
$x^{2} + x - 2 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 2$
$x_{2} = 1$
$x \in (- \infty; - 2] \cup [1; + \infty)$

З другої умови маємо:
$x \neq = 2$

Знайдемо переріз отриманих проміжків:
$x \in (- \infty; - 2] \cup [1; 2) \cup (2; + \infty)$

Графік до вправи № 12.33 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь: 1) $[- 1; 2) \cup (2; 3]$ ; 2) $(- \infty; - 2] \cup [1; 2) \cup (2; + \infty)$ .

№ 12.34. Мотоциклістка, що рухається по мосту зі швидкістю $v_{0} = 54 км / год$ , виїжджає з нього і одразу після виїзду починає розганятися зі сталим прискоренням $a = 8 км / год^{2}$ . Відстань від мотоциклістки до міста, що вимірюється в кілометрах, визначається формулою $S = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$ . Оператор мобільного зв’язку гарантує стабільний зв’язок на відстані не далі, ніж $28 км$ від міста. Протягом якого часу мотоциклістка матиме стабільний мобільний зв’язок (відповідь дайте у хвилинах)?

Розв’язання:

За умовою стабільний зв’язок гарантується за умови $S \leq 28 км$ , де $t \geq 0$ .

Складемо нерівність:
$54 t + \frac{8 t ^{2}}{2} \leq 28$
$4 t^{2} + 54 t \leq 28$
$4 t^{2} + 54 t - 28 \leq 0$

Поділимо обидві частини нерівності на 2:
$2 t^{2} + 27 t - 14 \leq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $2 t^{2} + 27 t - 14 = 0$ :
$D = 2 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 14) = 729 + 112 = 841 = 2 9^{2}$

$t_{1} = \frac{- 27 - 29}{2 \cdot 2} = \frac{- 56}{4} = - 14$
$t_{2} = \frac{- 27 + 29}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0, 5$

Розв’язком квадратної нерівності $2 t^{2} + 27 t - 14 \leq 0$ є:
$t \in [- 14; 0, 5]$

Оскільки час не може бути від’ємним ( $t \geq 0$ ):
$t \in [0; 0, 5] (год)$

Переведемо час у хвилини:
$0, 5 год = 0, 5 \cdot 60 хв = 30 хв$

Відповідь: $30 хв .$

№ 12.35. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) ${x^{2} + 7 x - 8 < 0 x > 0$

2) ${2 x^{2} + 5 x - 3 \geq 0 2 x - 6 > 0$

Розв’язання:

1) ${x^{2} + 7 x - 8 < 0 x > 0$

Розв’яжемо першу нерівність системи:
$x^{2} + 7 x - 8 < 0$

Знайдемо нулі функції $y = x^{2} + 7 x - 8$ :
$x^{2} + 7 x - 8 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 8$ , $x_{2} = 1$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.35 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Розв’язком першої нерівності є:
$x \in (- 8; 1)$

Розв’язком другої нерівності є:
$x > 0$
$x \in (0; + \infty)$

Знайдемо перетин розв’язків обох нерівностей на числовій прямій:

Графік до вправи № 12.35 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- 8; 1) \cap (0; + \infty)$
$x \in (0; 1)$

2) ${2 x^{2} + 5 x - 3 \geq 0 2 x - 6 > 0$

Розв’яжемо першу нерівність системи:
$2 x^{2} + 5 x - 3 \geq 0$

Знайдемо нулі функції $y = 2 x^{2} + 5 x - 3$ :
$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$
$D = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25 + 24 = 49$
$x_{1} = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_{2} = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{- 12}{4} = - 3$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.35 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

Розв’язком першої нерівності є:
$x \in (- \infty; - 3] \cup [\frac{1}{2}; + \infty)$

Розв’яжемо другу нерівність системи:
$2 x - 6 > 0$
$2 x > 6$
$x > 3$
$x \in (3; + \infty)$

Знайдемо перетин розв’язків обох нерівностей на числовій прямій:

Графік до вправи № 12.35 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$x \in ((- \infty; - 3] \cup [\frac{1}{2}; + \infty)) \cap (3; + \infty)$
$x \in (3; + \infty)$

Відповідь: 1) $(0; 1)$ ; 2) $(3; + \infty)$ .

№ 12.36. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) ${2 x^{2} + 5 x - 18 \geq 0 x < 0$

2) ${x^{2} - 10 x - 24 < 0 2 x - 16 \geq 0$

Розв’язання:

1) ${2 x^{2} + 5 x - 18 \geq 0 x < 0$

Розв’яжемо першу нерівність системи:
$2 x^{2} + 5 x - 18 \geq 0$
$2 x^{2} + 5 x - 18 = 0$
$D = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18) = 25 + 144 = 169$
$x_{1} = \frac{- 5 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{- 18}{4} = - 4, 5$
$x_{2} = \frac{- 5 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ):

Графік до вправи № 12.36 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 4, 5] \cup [2; + \infty)$

Знайдемо перетин розв’язків нерівностей системи:
${x \in (- \infty; - 4, 5] \cup [2; + \infty) x < 0$

Графік до вправи № 12.36 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 4, 5]$

2) ${x^{2} - 10 x - 24 < 0 2 x - 16 \geq 0$

Розв’яжемо першу нерівність системи:
$x^{2} - 10 x - 24 < 0$
$x^{2} - 10 x - 24 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 12$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ):

Графік до вправи № 12.36 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

$x \in (- 2; 12)$

Розв’яжемо другу нерівність системи:
$2 x - 16 \geq 0$
$2 x \geq 16$
$x \geq 8$

Знайдемо перетин розв’язків нерівностей системи:
${x \in (- 2; 12) x \geq 8$

Графік до вправи № 12.36 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$x \in [8; 12)$

Відповідь: 1) $(- \infty; - 4, 5]$ ; 2) $[8; 12)$ .

№ 12.37. Знайдіть усі цілі розв’язки системи нерівностей:

1) ${x^{2} - 6 x + 8 > 0 0 \leq x < 7$

2) ${x^{2} + 2 x - 3 \geq 0 x^{2} + x - 6 \leq 0$

Розв’язання:

1) ${x^{2} - 6 x + 8 > 0 0 \leq x < 7$

Розв’яжемо першу нерівність:
$x^{2} - 6 x + 8 > 0$
$x^{2} - 6 x + 8 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = 2$ , $x_{2} = 4$
Вітки параболи напрямлені вгору.
$x \in (- \infty; 2) \cup (4; + \infty)$

Графік до вправи № 12.37 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Друга нерівність:
$0 \leq x < 7$ , тобто $x \in [0; 7)$

Знайдемо перетин отриманих проміжків:
$x \in [0; 2) \cup (4; 7)$

Графік до вправи № 12.37 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Цілі розв’язки системи: 0, 1, 5, 6.

2) ${x^{2} + 2 x - 3 \geq 0 x^{2} + x - 6 \leq 0$

Розв’яжемо першу нерівність:
$x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$
$x^{2} + 2 x - 3 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 1$
Вітки параболи напрямлені вгору.
$x \in (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$

Графік до вправи № 12.37 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

Розв’яжемо другу нерівність:
$x^{2} + x - 6 \leq 0$
$x^{2} + x - 6 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 2$
Вітки параболи напрямлені вгору.
$x \in [- 3; 2]$

Графік до вправи № 12.37 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

Знайдемо перетин отриманих проміжків:
$((- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)) \cap [- 3; 2] = {- 3} \cup [1; 2]$

Графік до вправи № 12.37 (рис. 5) - Алгебра 9 клас

Цілі розв’язки системи: -3, 1, 2.

Відповідь: 1) 0; 1; 5; 6; 2) -3; 1; 2.

№ 12.38. Знайдіть усі цілі розв’язки системи нерівностей:

1) ${x^{2} - 4 x + 3 \geq 0 - 1 < x < 6$

2) ${2 x^{2} + 7 x - 9 \geq 0 x^{2} - 9 \leq 0$

Розв’язання:

1) ${x^{2} - 4 x + 3 \geq 0 - 1 < x < 6$

Розв’яжемо першу нерівність системи:
$x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена:
$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 1$ , $x_{2} = 3$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.38 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; 1] \cup [3; + \infty)$

Розв’яжемо систему нерівностей, знайшовши перетин розв’язків першої нерівності та проміжку $(- 1; 6)$ :

Графік до вправи № 12.38 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- 1; 1] \cup [3; 6)$

Знайдемо всі цілі числа, що належать цьому об’єднанню проміжків:
0; 1; 3; 4; 5.

2) ${2 x^{2} + 7 x - 9 \geq 0 x^{2} - 9 \leq 0$

Розв’яжемо першу нерівність системи:
$2 x^{2} + 7 x - 9 \geq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена:
$2 x^{2} + 7 x - 9 = 0$
$D = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9) = 49 + 72 = 121$
$x_{1} = \frac{- 7 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$x_{2} = \frac{- 7 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{- 18}{4} = - 4, 5$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).

Графік до вправи № 12.38 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 4, 5] \cup [1; + \infty)$

Розв’яжемо другу нерівність системи:
$x^{2} - 9 \leq 0$
$(x - 3) (x + 3) \leq 0$

Знайдемо нулі функції:
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 3$

Графік до вправи № 12.38 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$x \in [- 3; 3]$

Знайдемо спільний розв’язок системи нерівностей:

Графік до вправи № 12.38 (рис. 5) - Алгебра 9 клас

$x \in [1; 3]$

Знайдемо всі цілі числа, що належать отриманому проміжку:
1; 2; 3.

Відповідь: 1) 0; 1; 3; 4; 5; 2) 1; 2; 3.

№ 12.39. Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{x ^{2} - 8 x + 15}{( x - 4 ) ^{2}} \leq 0$

2) $\frac{x ^{2} + x - 2}{∣ x - 2∣} > 0$

Розв’язання:

1) $\frac{x ^{2} - 8 x + 15}{( x - 4 ) ^{2}} \leq 0$

Оскільки $(x - 4)^{2} > 0$ при всіх $x \neq = 4$ , дана нерівність рівносильна системі:

{x^{2} - 8 x + 15 \leq 0 x - 4 \neq = 0

Знайдемо корені квадратного тричлена:
$x^{2} - 8 x + 15 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = 3$ , $x_{2} = 5$

Графік до вправи № 12.39 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Розв’язком квадратної нерівності $x^{2} - 8 x + 15 \leq 0$ є проміжок:
$x \in [3; 5]$

Враховуючи умову $x \neq = 4$ , виключаємо точку $4$ :

Графік до вправи № 12.39 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in [3; 4) \cup (4; 5]$

2) $\frac{x ^{2} + x - 2}{∣ x - 2∣} > 0$

Оскільки $∣ x - 2∣ > 0$ при всіх $x \neq = 2$ , дана нерівність рівносильна системі:

{x^{2} + x - 2 > 0 x - 2 \neq = 0

Знайдемо корені квадратного тричлена:
$x^{2} + x - 2 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 1$

Графік до вправи № 12.39 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

Розв’язком квадратної нерівності $x^{2} + x - 2 > 0$ є:
$x \in (- \infty; - 2) \cup (1; + \infty)$

Враховуючи умову $x \neq = 2$ , виключаємо точку $2$ :

Графік до вправи № 12.39 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 2) \cup (1; 2) \cup (2; + \infty)$

Відповідь: 1) $x \in [3; 4) \cup (4; 5]$ ; 2) $x \in (- \infty; - 2) \cup (1; 2) \cup (2; + \infty)$ .

№ 12.40. Знайдіть область допустимих значень змінної у виразі:

$x^{2} - 9 + \frac{1}{4 + 3 x - x ^{2}}$

Розв’язання:

Область допустимих значень (ОДЗ) виразу визначається системою нерівностей:

{x^{2} - 9 \geq 0 4 + 3 x - x^{2} > 0

1) Розв’яжемо першу нерівність системи:
$x^{2} - 9 \geq 0$
Знайдемо нулі функції $y = x^{2} - 9$ :
$x^{2} - 9 = 0$
$(x - 3) (x + 3) = 0$
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 3$
Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору.

Графік до вправи № 12.40 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)$

2) Розв’яжемо другу нерівність системи:
$4 + 3 x - x^{2} > 0$
$- x^{2} + 3 x + 4 > 0$
$x^{2} - 3 x - 4 < 0$
Знайдемо нулі функції $y = x^{2} - 3 x - 4$ :
$x^{2} - 3 x - 4 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 4$
Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору.

Графік до вправи № 12.40 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- 1; 4)$

Знайдемо перетин розв’язків обох нерівностей системи:

$((- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)) \cap (- 1; 4) = [3; 4)$

Відповідь: $[3; 4)$ .

№ 12.41. Знайдіть область визначення функції:

$y = \frac{1}{x ^{2} - 16} + 8 x - x^{2} - 15$

Розв’язання:

Область визначення функції задається системою нерівностей:

{x^{2} - 16 > 0 8 x - x^{2} - 15 \geq 0

1) $x^{2} - 16 > 0$
Знайдемо нулі функції $y = x^{2} - 16$ :
$x^2 - 16

Графік до вправи № 12.41 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Графік до вправи № 12.41 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 12.42. За яких значень $a$ не має коренів рівняння:
1) $x^{2} - (a - 2) x + 4 = 0$
2) $(a + 1) x^{2} + 5 a x + 3 a = 0$

Розв’язання:

1) $x^{2} - (a - 2) x + 4 = 0$
Рівняння є квадратним, оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 \neq = 0$ .
Квадратне рівняння не має коренів тоді й тільки тоді, коли його дискримінант від’ємний ( $D < 0$ ).

Знайдемо дискримінант:
$D = (- (a - 2))^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4$
$D = a^{2} - 4 a + 4 - 16$
$D = a^{2} - 4 a - 12$

Розв’яжемо нерівність:
$a^{2} - 4 a - 12 < 0$

Знайдемо нулі квадратичної функції $f (a) = a^{2} - 4 a - 12$ :
$a^{2} - 4 a - 12 = 0$
За теоремою Вієта:
$a_{1} = 6$ , $a_{2} = - 2$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $1 > 0$ ).
Нерівність $a^{2} - 4 a - 12 < 0$ виконується на проміжку між коренями:
$a \in (- 2; 6)$ , тобто $- 2 < a < 6$ .

Графік до вправи № 12.42 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $(a + 1) x^{2} + 5 a x + 3 a = 0$
Розглянемо два випадки:

1) Якщо $a + 1 = 0$ , тобто $a = - 1$ :
$0 \cdot x^{2} + 5 \cdot (- 1) x + 3 \cdot (- 1) = 0$
$- 5 x - 3 = 0$
$- 5 x = 3$
$x = - \frac{3}{5}$
Рівняння має один корінь, отже, значення $a = - 1$ умову не задовольняє.

2) Якщо $a + 1 \neq = 0$ , тобто $a \neq = - 1$ , дане рівняння є квадратним.
Воно не має коренів, якщо $D < 0$ :
$D = (5 a)^{2} - 4 (a + 1) \cdot 3 a$
$D = 25 a^{2} - 12 a (a + 1)$
$D = 25 a^{2} - 12 a^{2} - 12 a$
$D = 13 a^{2} - 12 a$

Розв’яжемо нерівність:
$13 a^{2} - 12 a < 0$
$a (13 a - 12) < 0$

Знайдемо корені рівняння $13 a^{2} - 12 a = 0$ :
$a (13 a - 12) = 0$
$a_{1} = 0$ , $a_{2} = \frac{12}{13}$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $13 > 0$ ).
Нерівність $13 a^{2} - 12 a < 0$ виконується при:
$a \in (0; \frac{12}{13})$ , тобто $0 < a < \frac{12}{13}$ .

Значення $a = - 1$ не належить отриманому проміжку.

Графік до вправи № 12.42 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь: 1) $- 2 < a < 6$ ; 2) $0 < a < \frac{12}{13}$ .

№ 12.43. За яких значень $a$ рівняння має два різних корені:
1) $x^{2} - a x + (2 a - 3) = 0$ ;
2) $a x^{2} + (3 a - 2) x + a = 0$ .

Розв’язання:

1) $x^{2} - a x + (2 a - 3) = 0$
Оскільки старший коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 \neq = 0$ , дане рівняння є квадратним.
Квадратне рівняння має два різних корені тоді й тільки тоді, коли його дискримінант строго більший за нуль ( $D > 0$ ).

Знайдемо дискримінант:
$D = (- a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 a - 3)$
$D = a^{2} - 8 a + 12$

Розв’яжемо нерівність:
$a^{2} - 8 a + 12 > 0$

Знайдемо нулі функції $f (a) = a^{2} - 8 a + 12$ :
$a^{2} - 8 a + 12 = 0$
За теоремою Вієта:
$a_{1} = 2$ , $a_{2} = 6$

Вітки параболи напрямлені вгору. Значення виразу додатні поза проміжком між коренями:

Графік до вправи № 12.43 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$a \in (- \infty; 2) \cup (6; + \infty)$

2) $a x^{2} + (3 a - 2) x + a = 0$
Рівняння має два різних корені тоді й тільки тоді, коли воно є квадратним ( $a \neq = 0$ ) і його дискримінант строго додатний ( $D > 0$ ).
Якщо $a = 0$ , то рівняння набуває вигляду $- 2 x = 0$ , тобто $x = 0$ — має єдиний корінь (є лінійним).

Складемо систему умов:

{a \neq = 0 D > 0

Обчислимо дискримінант:
$D = (3 a - 2)^{2} - 4 \cdot a \cdot a$
$D = 9 a^{2} - 12 a + 4 - 4 a^{2}$
$D = 5 a^{2} - 12 a + 4$

Розв’яжемо нерівність:
$5 a^{2} - 12 a + 4 > 0$

Знайдемо нулі функції $g (a) = 5 a^{2} - 12 a + 4$ :
$5 a^{2} - 12 a + 4 = 0$
$D_{1} = (- 12)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 4$
$D_{1} = 144 - 80$
$D_{1} = 64$
$a_{1} = \frac{12 + 64}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 8}{10} = 2$
$a_{2} = \frac{12 - 64}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Графік до вправи № 12.43 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Нерівність $D > 0$ виконується при:
$a \in (- \infty; \frac{2}{5}) \cup (2; + \infty)$

Врахуємо умову $a \neq = 0$ :

Графік до вправи № 12.43 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

⎩ ⎨ ⎧ a \in (- \infty; \frac{2}{5}) \cup (2; + \infty) a \neq = 0

$a \in (- \infty; 0) \cup (0; \frac{2}{5}) \cup (2; + \infty)$

Відповідь: 1) $a \in (- \infty; 2) \cup (6; + \infty)$ ; 2) $a \in (- \infty; 0) \cup (0; \frac{2}{5}) \cup (2; + \infty)$ .

№ 12.44. За яких значень $a$ рівняння:
1) $x^{2} - (a + 1) x + 9 = 0$ не має коренів;
2) $a x^{2} + (2 a - 1) x + a = 0$ має два різних корені?

Розв’язання:

1) $x^{2} - (a + 1) x + 9 = 0$

Квадратне рівняння не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний ( $D < 0$ ):
$D = (- (a + 1))^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9$
$D = a^{2} + 2 a + 1 - 36$
$D = a^{2} + 2 a - 35$

Розв’яжемо нерівність $a^{2} + 2 a - 35 < 0$ .
Знайдемо корені квадратного тричлена:
$a^{2} + 2 a - 35 = 0$

За теоремою Вієта:
$a_{1} = - 7$ , $a_{2} = 5$

Оскільки коефіцієнт при $a^{2}$ додатний ( $1 > 0$ ), вітки параболи напрямлені вгору.
Нерівність $a^{2} + 2 a - 35 < 0$ виконується для $a \in (- 7; 5)$ .

Графік до вправи № 12.44 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $a x^{2} + (2 a - 1) x + a = 0$

Рівняння є квадратним і має два різних корені, якщо перший коефіцієнт не дорівнює нулю ( $a \neq = 0$ ) та дискримінант додатний ( $D > 0$ ):
$D = (2 a - 1)^{2} - 4 \cdot a \cdot a$
$D = 4 a^{2} - 4 a + 1 - 4 a^{2}$
$D = - 4 a + 1$

Складемо систему умов:

{a \neq = 0 - 4 a + 1 > 0

Розв’яжемо нерівність системи:
$- 4 a > - 1$
$a < \frac{1}{4}$

Враховуючи умову $a \neq = 0$ , маємо:
$a \in (- \infty; 0) \cup (0; \frac{1}{4})$

Графік до вправи № 12.44 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь: 1) $a \in (- 7; 5)$ ; 2) $a \in (- \infty; 0) \cup (0; \frac{1}{4})$ .

№ 12.45. За яких значень $m$ розв’язком нерівності є будь-яке число:
1) $x^{2} - (m + 2) x + (8 m + 1) > 0$ ;
2) $m x^{2} - 4 x + m + 3 < 0$ ?

Розв’язання:

1) Квадратна нерівність $x^{2} - (m + 2) x + (8 m + 1) > 0$ зі старшим коефіцієнтом $a = 1 > 0$ має розв’язком будь-яке число тоді й тільки тоді, коли дискримінант квадратного тричлена від’ємний ( $D < 0$ ).

Знайдемо дискримінант:
$D = (- (m + 2))^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8 m + 1)$
$D = m^{2} + 4 m + 4 - 32 m - 4$
$D = m^{2} - 28 m$

Розв’яжемо нерівність $D < 0$ :
$m^{2} - 28 m < 0$
$m (m - 28) < 0$
$0 < m < 28$

Отже, $m \in (0; 28)$ .

2) Розглянемо два випадки для нерівності $m x^{2} - 4 x + m + 3 < 0$ :

1) Якщо $m = 0$ , то нерівність стає лінійною:
$- 4 x + 3 < 0$
$- 4 x < - 3$
$x > \frac{3}{4}$
Розв’язком є не будь-яке число, отже, значення $m = 0$ умову задачі не задовольняє.

2) Якщо $m \neq = 0$ , то нерівність є квадратною. Вона виконується для будь-якого дійсного числа $x$ , якщо вітки параболи напрямлені вниз ( $a < 0$ ) та дискримінант менший від нуля ( $D < 0$ ):
${m < 0 D < 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot m \cdot (m + 3)$
$D = 16 - 4 m^{2} - 12 m$
$D = - 4 (m^{2} + 3 m - 4)$

Розв’яжемо нерівність $D < 0$ :
$- 4 (m^{2} + 3 m - 4) < 0$
$m^{2} + 3 m - 4 > 0$
$(m + 4) (m - 1) > 0$
$m < - 4$ або $m > 1$

Враховуючи умову $m < 0$ , маємо:
$m < - 4$

Отже, $m \in (- \infty; - 4)$ .

Відповідь: 1) $0 < m < 28$ ; 2) $m < - 4$ .

№ 12.46. Побудуйте графік функції $y = - x^{2} + 2 x + 8$ . За графіком знайдіть:
1) область значень функції;
2) проміжок зростання функції.

Розв’язання:

Графіком функції $y = - x^{2} + 2 x + 8$ є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).

Координати вершини параболи $(x_{в}; y_{в})$ :
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = 1$
$y_{в} = - (1)^{2} + 2 \cdot 1 + 8 = - 1 + 2 + 8 = 9$
Вершина параболи — точка $(1; 9)$ .

Нулі функції ( $y = 0$ ):
$- x^{2} + 2 x + 8 = 0$
$x^{2} - 2 x - 8 = 0$
$x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 4$
Точки перетину з віссю $O x$ : $(- 2; 0)$ та $(4; 0)$ .

Точка перетину з віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = - (0)^{2} + 2 \cdot 0 + 8 = 8$ , тобто точка $(0; 8)$ .

Складемо таблицю значень функції:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$0$	$5$	$8$	$9$	$8$	$5$	$0$

Графік до вправи № 12.46 - Алгебра 9 клас

За побудованим графіком:

1) Область значень функції:
$E (y) = (- \infty; 9]$

2) Проміжок зростання функції:
Функція зростає на проміжку $(- \infty; 1]$ .

Відповідь: 1) $(- \infty; 9]$ ; 2) $(- \infty; 1]$ .

№ 12.47. Доведіть, що $26 x^{2} - 10 x + 2 x y + y^{2} + 2 > 0$ за будь-яких значень $x$ та $y$ .

Розв’язання:

Перетворимо вираз у лівій частині нерівності, виділивши повні квадрати:

$26 x^{2} - 10 x + 2 x y + y^{2} + 2$
$= (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + (25 x^{2} - 10 x + 1) + 1$
$= (x + y)^{2} + (5 x - 1)^{2} + 1$

Оскільки $(x + y)^{2} \geq 0$ та $(5 x - 1)^{2} \geq 0$ для будь-яких значень $x$ та $y$ , то:

$(x + y)^{2} + (5 x - 1)^{2} + 1 \geq 1 > 0$

Отже, $26 x^{2} - 10 x + 2 x y + y^{2} + 2 > 0$ при будь-яких значеннях $x$ та $y$ .

№ 12.48. Одним з коренів рівняння $x^{3} - 2 x^{2} - x + a = 0$ є число $- 1$ . Знайдіть решту коренів цього рівняння.

Розв’язання:
Оскільки $x = - 1$ є коренем рівняння, підставимо його замість $x$ :
$(- 1)^{3} - 2 \cdot (- 1)^{2} - (- 1) + a = 0$
$- 1 - 2 + 1 + a = 0$
$- 2 + a = 0$
$a = 2$

Підставимо знайдене значення $a$ в початкове рівняння:
$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = 0$

Розкладемо ліву частину на множники способом групування:
$x^{2} (x - 2) - (x - 2) = 0$
$(x - 2) (x^{2} - 1) = 0$
$(x - 2) (x - 1) (x + 1) = 0$

$x - 2 = 0$ або $x - 1 = 0$ або $x + 1 = 0$

$x_{1} = 2$ , $x_{2} = 1$ , $x_{3} = - 1$

Оскільки корінь $- 1$ відомий за умовою, решта коренів: $1$ та $2$ .

Відповідь: $1; 2$ .

№ 12.49. Бабусі Мар’яні призначено ліки, діючу речовину яких треба вживати по $0, 5 г$ $3$ рази на добу протягом $14$ днів. Одна упаковка ліків містить $10$ пігулок по $0, 25 г$ діючої речовини в кожній пігулці. Якої найменшої кількості упаковок цих ліків вистачить на весь курс лікування?

Розв’язання:

1) Знайдемо загальну масу діючої речовини, необхідну на весь курс лікування:
$0, 5 \cdot 3 \cdot 14 = 21 (г)$

2) Знайдемо масу діючої речовини в одній упаковці:
$10 \cdot 0, 25 = 2, 5 (г)$

3) Знайдемо необхідну кількість упаковок ліків:
$\frac{21}{2 , 5} = 8, 4 (уп .)$

Оскільки кількість упаковок є натуральним числом, округлюємо результат у більшу сторону:
$8, 4 \approx 9 (упаковок)$

Відповідь: 9 упаковок.

№ 12.50. Чи є пара чисел $(- 1; 2)$ розв’язком системи рівнянь:

1) ${x + 3 y = 5, 4 x - 5 y = - 14;$

2) ${3 y - x = 7, 4 x + 5 y = 5 ?$

Розв’язання:

1) ${x + 3 y = 5, 4 x - 5 y = - 14$
Підставимо значення $x = - 1$ та $y = 2$ :
$- 1 + 3 \cdot 2 = - 1 + 6 = 5$ — правильна числова рівність
$4 \cdot (- 1) - 5 \cdot 2 = - 4 - 10 = - 14$ — правильна числова рівність
Оскільки обидві рівності є правильними, пара чисел $(- 1; 2)$ є розв’язком системи рівнянь.

2) ${3 y - x = 7, 4 x + 5 y = 5$
Підставимо значення $x = - 1$ та $y = 2$ :
$3 \cdot 2 - (- 1) = 6 + 1 = 7$ — правильна числова рівність
$4 \cdot (- 1) + 5 \cdot 2 = - 4 + 10 = 6 \neq = 5$ — неправильна числова рівність
Оскільки друга рівність є неправильною, пара чисел $(- 1; 2)$ не є розв’язком системи рівнянь.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

№ 12.51. Розв’яжіть систему рівнянь графічно:
1) ${2 x + 7 y = - 3 3 x - y = 7$
2) ${x + 5 y = - 16 3 x - 2 y = 3$

Розв’язання:

1) Виразимо $y$ через $x$ для кожного рівняння системи:
$7 y = - 2 x - 3$
$y = \frac{- 2 x - 3}{7}$

$y = 3 x - 7$

Складемо таблиці значень для побудови прямих:

Для $2 x + 7 y = - 3$ :

$x$	$2$	$- 5$
$y$	$- 1$	$1$

Для $3 x - y = 7$ :

$x$	$2$	$3$
$y$	$- 1$	$2$

Графік до вправи № 12.51 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Прямі перетинаються в точці $(2; - 1)$ .

2) Виразимо $y$ через $x$ для кожного рівняння системи:
$5 y = - x - 16$
$y = \frac{- x - 16}{5}$

$2 y = 3 x - 3$
$y = \frac{3 x - 3}{2}$

Складемо таблиці значень для побудови прямих:

Для $x + 5 y = - 16$ :

$x$	$- 1$	$4$
$y$	$- 3$	$- 4$

Для $3 x - 2 y = 3$ :

$x$	$- 1$	$1$
$y$	$- 3$	$0$

Графік до вправи № 12.51 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Прямі перетинаються в точці $(- 1; - 3)$ .

Відповідь: 1) $(2; - 1)$ ; 2) $(- 1; - 3)$ .

№ 12.52. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:
1) ${x + 7 y = - 5 3 x - 4 y = 10$
2) ${3 x + 4 y = - 19 7 x - y = - 3$

Розв’язання:

1) ${x + 7 y = - 5 3 x - 4 y = 10$

Виразимо $x$ з першого рівняння:
$x = - 5 - 7 y$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння системи:
$3 (- 5 - 7 y) - 4 y = 10$
$- 15 - 21 y - 4 y = 10$
$- 25 y = 10 + 15$
$- 25 y = 25$
$y = \frac{25}{- 25}$
$y = - 1$

Знайдемо значення змінної $x$ :
$x = - 5 - 7 \cdot (- 1)$
$x = - 5 + 7$
$x = 2$

Пара чисел $(2; - 1)$ є розв’язком системи рівнянь.

2) ${3 x + 4 y = - 19 7 x - y = - 3$

Виразимо $y$ з другого рівняння:
$y = 7 x + 3$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння системи:
$3 x + 4 (7 x + 3) = - 19$
$3 x + 28 x + 12 = - 19$
$31 x = - 19 - 12$
$31 x = - 31$
$x = \frac{- 31}{31}$
$x = - 1$

Знайдемо значення змінної $y$ :
$y = 7 \cdot (- 1) + 3$
$y = - 7 + 3$
$y = - 4$

Пара чисел $(- 1; - 4)$ є розв’язком системи рівнянь.

Відповідь: 1) $(2; - 1)$ ; 2) $(- 1; - 4)$ .

№ 12.53. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:
1) ${3 x + 2 y = 2 5 x - 2 y = - 18$
2) ${7 x + 5 y = 11 3 x + 5 y = - 1$

Розв’язання:

1) ${3 x + 2 y = 2 5 x - 2 y = - 18$

Додамо почленно рівняння системи:
$(3 x + 5 x) + (2 y - 2 y) = 2 + (- 18)$
$8 x = - 16$
$x = \frac{- 16}{8}$
$x = - 2$

Підставимо $x = - 2$ у перше рівняння:
$3 \cdot (- 2) + 2 y = 2$
$- 6 + 2 y = 2$
$2 y = 2 + 6$
$2 y = 8$
$y = \frac{8}{2}$
$y = 4$

Пара чисел $(- 2; 4)$ є розв’язком системи.

2) ${7 x + 5 y = 11 3 x + 5 y = - 1$

Помножимо обидві частини другого рівняння на $- 1$ :
${7 x + 5 y = 11 - 3 x - 5 y = 1$

Додамо почленно рівняння системи:
$(7 x - 3 x) + (5 y - 5 y) = 11 + 1$
$4 x = 12$
$x = \frac{12}{4}$
$x = 3$

Підставимо $x = 3$ у друге рівняння початкової системи:
$3 \cdot 3 + 5 y = - 1$
$9 + 5 y = - 1$
$5 y = - 1 - 9$
$5 y = - 10$
$y = \frac{- 10}{5}$
$y = - 2$

Пара чисел $(3; - 2)$ є розв’язком системи.

Відповідь: 1) $(- 2; 4)$ ; 2) $(3; - 2)$ .

№ 12.54. Відомо, що числа $a$ , $b$ і $a + b$ є раціональними. Чи можна стверджувати, що числа $a$ і $b$ теж раціональні?

Розв’язання:
Оскільки вирази $a$ та $b$ мають зміст, то $a \geq 0$ і $b \geq 0$ .

Розглянемо два випадки:

1) Якщо $a + b = 0$ :
Оскільки $a \geq 0$ та $b \geq 0$ , рівність можлива лише за умови $a = 0$ та $b = 0$ .
Тоді $a = 0 \in Q$ та $b = 0 \in Q$ .

2) Якщо $a + b \neq = 0$ :
За формулою різниці квадратів:
$(a + b) (a - b) = a - b$
$a - b = \frac{a - b}{a + b}$

Оскільки $a \in Q$ і $b \in Q$ , то їхня різниця $a - b \in Q$ .
Частка двох раціональних чисел $\frac{a - b}{a + b}$ є раціональним числом, отже, число $a - b$ є раціональним.

Знайдемо числа $a$ та $b$ через суму та різницю:
$a = \frac{( a + b ) + ( a - b )}{2}$
$b = \frac{( a + b ) - ( a - b )}{2}$

Сума, різниця та частка від ділення раціональних чисел на раціональне число $2$ є раціональними числами.
Отже, числа $a$ і $b$ є раціональними.

Відповідь: так.

12. Квадратна нерівність

Теги статті:

До уроку