12. Квадратна нерівність

12.1. (Усно.) Які з нерівностей є квадратними:

1) $2 x + 3 > 0$ ;
Нерівність містить змінну $x$ у першому степені, тобто є лінійною. Не є квадратною.

2) $3 x^{2} - 7 x - 5 \geq 0$ ;
Нерівність має вигляд $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , де $a = 3 \neq = 0$ , $b = - 7$ , $c = - 5$ . Є квадратною.

3) $\frac{1}{x ^{2} - 5 x} < 0$ ;
Нерівність містить змінну у знаменнику, тобто є дробово-раціональною. Не є квадратною.

4) $9 x^{2} - 3 x^{3} \leq 0$ ;
Нерівність містить доданок із $x^{3}$ , тобто є нерівністю третього степеня. Не є квадратною.

5) $x^{2} + 7 x < 0$ ;
Нерівність має вигляд $a x^{2} + b x + c < 0$ , де $a = 1 \neq = 0$ , $b = 7$ , $c = 0$ . Є квадратною.

6) $x^{2} + 9 \geq 0$ ?
Нерівність має вигляд $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , де $a = 1 \neq = 0$ , $b = 0$ , $c = 9$ . Є квадратною.

Відповідь: квадратними є нерівності під номерами 2), 5), 6).
№ 12.2. Які із чисел $- 3$ ; $0$ ; $2$ є розв’язками квадратної нерівності:

1) $x^{2} - x > 0$ ;

Розв’язання:

Перевіримо кожне із чисел, підставивши його у нерівність:

Для $x = - 3$ : $(- 3)^{2} - (- 3) = 9 + 3 = 12 > 0$ — правильна нерівність. Число $- 3$ є розв’язком.
Для $x = 0$ : $0^{2} - 0 = 0 > 0$ — неправильна нерівність. Число $0$ не є розв’язком.
Для $x = 2$ : $2^{2} - 2 = 4 - 2 = 2 > 0$ — правильна нерівність. Число $2$ є розв’язком.

Відповідь: $- 3$ ; $2$ .

2) $x^{2} - x + 2 > 0$ ;

Розв’язання:

Перевіримо кожне із чисел, підставивши його у нерівність:

Для $x = - 3$ : $(- 3)^{2} - (- 3) + 2 = 9 + 3 + 2 = 14 > 0$ — правильна нерівність. Число $- 3$ є розв’язком.
Для $x = 0$ : $0^{2} - 0 + 2 = 2 > 0$ — правильна нерівність. Число $0$ є розв’язком.
Для $x = 2$ : $2^{2} - 2 + 2 = 4 > 0$ — правильна нерівність. Число $2$ є розв’язком.

Відповідь: $- 3$ ; $0$ ; $2$ .

3) $4 x^{2} + 3 x - 1 < 0$ ;

Розв’язання:

Перевіримо кожне із чисел, підставивши його у нерівність:

Для $x = - 3$ : $4 \cdot (- 3)^{2} + 3 \cdot (- 3) - 1 = 4 \cdot 9 - 9 - 1 = 36 - 10 = 26 < 0$ — неправильна нерівність. Число $- 3$ не є розв’язком.
Для $x = 0$ : $4 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 - 1 = - 1 < 0$ — правильна нерівність. Число $0$ є розв’язком.
Для $x = 2$ : $4 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 = 4 \cdot 4 + 6 - 1 = 16 + 5 = 21 < 0$ — неправильна нерівність. Число $2$ не є розв’язком.

Відповідь: $0$ .

№ 12.3. Які із чисел $- 2$ ; $0$ ; $1$ є розв’язками квадратної нерівності:

1) $x^{2} + x > 0$ ;

Розв’язання:

Перевіримо кожне із чисел, підставивши його у нерівність:

Для $x = - 2$ : $(- 2)^{2} + (- 2) = 4 - 2 = 2 > 0$ — правильна нерівність. Число $- 2$ є розв’язком;
Для $x = 0$ : $0^{2} + 0 = 0 > 0$ — неправильна нерівність. Число $0$ не є розв’язком;
Для $x = 1$ : $1^{2} + 1 = 2 > 0$ — правильна нерівність. Число $1$ є розв’язком.

Відповідь: $- 2$ ; $1$ .

2) $x^{2} + 6 x + 8 < 0$ ;

Розв’язання:

Перевіримо кожне із чисел, підставивши його у нерівність:

Для $x = - 2$ : $(- 2)^{2} + 6 \cdot (- 2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0 < 0$ — неправильна нерівність. Число $- 2$ не є розв’язком;
Для $x = 0$ : $0^{2} + 6 \cdot 0 + 8 = 8 < 0$ — неправильна нерівність. Число $0$ не є розв’язком;
Для $x = 1$ : $1^{2} + 6 \cdot 1 + 8 = 15 < 0$ — неправильна нерівність. Число $1$ не є розв’язком.

Відповідь: жодне з чисел не є розв’язком.

3) $3 x^{2} - x + 2 > 0$ ;

Розв’язання:

Перевіримо кожне із чисел, підставивши його у нерівність:

Для $x = - 2$ : $3 \cdot (- 2)^{2} - (- 2) + 2 = 3 \cdot 4 + 2 + 2 = 12 + 4 = 16 > 0$ — правильна нерівність. Число $- 2$ є розв’язком;
Для $x = 0$ : $3 \cdot 0^{2} - 0 + 2 = 2 > 0$ — правильна нерівність. Число $0$ є розв’язком;
Для $x = 1$ : $3 \cdot 1^{2} - 1 + 2 = 3 - 1 + 2 = 4 > 0$ — правильна нерівність. Число $1$ є розв’язком.

Відповідь: $- 2$ ; $0$ ; $1$ .

№ 12.4. На малюнку 12.9 схематично зображено графік функції $y = 2 x^{2} + 3 x - 5$ . Використовуючи графік, запишіть розв’язки нерівності:

1) $2 x^{2} + 3 x - 5 > 0$ ;

За графіком на малюнку 12.9 парабола $y = 2 x^{2} + 3 x - 5$ розміщена вище осі абсцис при $x < - 2, 5$ та при $x > 1$ .

Відповідь: $(- \infty; - 2, 5) \cup (1; + \infty)$ .

2) $2 x^{2} + 3 x - 5 \geq 0$ ;

Нерівність нестрога, тому нулі функції $x = - 2, 5$ та $x = 1$ включаються до розв’язку.

Відповідь: $(- \infty; - 2, 5] \cup [1; + \infty)$ .

3) $2 x^{2} + 3 x - 5 < 0$ ;

За графіком парабола розміщена нижче осі абсцис на проміжку між нулями функції.

Відповідь: $(- 2, 5; 1)$ .

4) $2 x^{2} + 3 x - 5 \leq 0$ ;

Нерівність нестрога, тому точки $x = - 2, 5$ та $x = 1$ включаються до розв’язку.

Відповідь: $[- 2, 5; 1]$ .

№ 12.5. На малюнку 12.10 схематично зображено графік функції $y = - x^{2} + 2 x$ . Використовуючи графік, запишіть розв’язки нерівності:

1) $- x^{2} + 2 x < 0$ ;

Розв’язання:
За графіком на малюнку 12.10 парабола $y = - x^{2} + 2 x$ розміщена нижче осі абсцис при $x < 0$ та при $x > 2$ .

Відповідь: $(- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .

2) $- x^{2} + 2 x \leq 0$ ;

Розв’язання:
Нерівність нестрога, тому точки $x = 0$ та $x = 2$ включаються до розв’язку.

Відповідь: $(- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ .

3) $- x^{2} + 2 x > 0$ ;

Розв’язання:
За графіком парабола розміщена вище осі абсцис на проміжку між нулями функції $x = 0$ та $x = 2$ .

Відповідь: $(0; 2)$ .

4) $- x^{2} + 2 x \geq 0$ ;

Розв’язання:
Нерівність нестрога, тому нулі функції $x = 0$ та $x = 2$ включаються до розв’язку.

Відповідь: $[0; 2]$ .

№ 12.6. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} - 3 x \geq 0$ ;

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} - 3 x$ :
$x^{2} - 3 x = 0 ⟺ x (x - 3) = 0 ⟺ x_{1} = 0, x_{2} = 3$

Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору (оскільки коефіцієнт $a = 1 > 0$ ).

Оскільки знак нерівності нестрогий ( $\geq$ ), нулі функції $x = 0$ та $x = 3$ є зафарбованими точками.

Функція $y = x^{2} - 3 x \geq 0$ на проміжках $(- \infty; 0]$ та $[3; + \infty)$ .

Відповідь: $(- \infty; 0] \cup [3; + \infty)$ .

2) $x^{2} + 5 x < 0$ ;

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} + 5 x$ :
$x^{2} + 5 x = 0 ⟺ x (x + 5) = 0 ⟺ x_{1} = - 5, x_{2} = 0$

Графіком функції є парабола з гілками, напрямленими вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Знак нерівності строгий ( $<$ ), тому точки $x = - 5$ та $x = 0$ є виколотими.

Парабола лежить нижче осі абсцис між своїми нулями, тобто при $x \in (- 5; 0)$ .

Відповідь: $(- 5; 0)$ .

3) $- x^{2} + 8 x \leq 0$ ;

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = - x^{2} + 8 x$ :
$- x^{2} + 8 x = 0 ⟺ - x (x - 8) = 0 ⟺ x_{1} = 0, x_{2} = 8$

Графіком є парабола, гілки якої напрямлені вниз (оскільки коефіцієнт $a = - 1 < 0$ ).

Оскільки знак нерівності нестрогий ( $\leq$ ), точки $x = 0$ та $x = 8$ є зафарбованими.

Парабола лежить на осі $x$ або нижче від неї при $x \leq 0$ та $x \geq 8$ .

Відповідь: $(- \infty; 0] \cup [8; + \infty)$ .

4) $- x^{2} - 7 x > 0$ ;

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = - x^{2} - 7 x$ :
$- x^{2} - 7 x = 0 ⟺ - x (x + 7) = 0 ⟺ x_{1} = - 7, x_{2} = 0$

Графіком є парабола з гілками, напрямленими вниз ( $a = - 1 < 0$ ).

Знак нерівності строгий ( $>$ ), тому точки $x = - 7$ та $x = 0$ є виколотими.

Парабола лежить вище осі абсцис між нулями функції, тобто при $x \in (- 7; 0)$ .

Відповідь: $(- 7; 0)$ .
№ 12.7. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} - 6 x < 0;$

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} - 6 x$ :

x^{2} - 6 x = 0 ⟺ x (x - 6) = 0 ⟺ x_{1} = 0, x_{2} = 6

Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції від’ємні ( $< 0$ ) на проміжку між її нулями.

Відповідь: $(0; 6)$ .

2) $x^{2} + 2 x \geq 0;$

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} + 2 x$ :

x^{2} + 2 x = 0 ⟺ x (x + 2) = 0 ⟺ x_{1} = - 2, x_{2} = 0

Графіком функції є парабола з гілками, напрямленими вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції невід’ємні ( $\geq 0$ ) поза проміжком між нулями, включаючи самі нулі.

Відповідь: $(- \infty; - 2] \cup [0; + \infty)$ .

3) $- x^{2} + 7 x > 0;$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

x^{2} - 7 x < 0

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} - 7 x$ :

x^{2} - 7 x = 0 ⟺ x (x - 7) = 0 ⟺ x_{1} = 0, x_{2} = 7

Гілки параболи $y = x^{2} - 7 x$ напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції від’ємні при $x \in (0; 7)$ .

Відповідь: $(0; 7)$ .

4) $- x^{2} - x \leq 0;$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

x^{2} + x \geq 0

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} + x$ :

x^{2} + x = 0 ⟺ x (x + 1) = 0 ⟺ x_{1} = - 1, x_{2} = 0

Гілки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції невід’ємні при $x \in (- \infty; - 1] \cup [0; + \infty)$ .

Відповідь: $(- \infty; - 1] \cup [0; + \infty)$ .

№ 12.8. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} - 16 \leq 0;$

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} - 16$ :

$x^{2} - 16 = 0 ⟺ (x - 4) (x + 4) = 0 ⟺ x_{1} = - 4, x_{2} = 4$

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції недодатні ( $\leq 0$ ) на проміжку між нулями, включаючи кінці проміжку.

Відповідь: $[- 4; 4]$ .

2) $x^{2} - 4 > 0;$

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} - 4$ :

$x^{2} - 4 = 0 ⟺ (x - 2) (x + 2) = 0 ⟺ x_{1} = - 2, x_{2} = 2$

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції додатні ( $> 0$ ) поза проміжком між нулями.

Відповідь: $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .

3) $- x^{2} + 1 \geq 0;$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x^{2} - 1 \leq 0$

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} - 1$ :

$x^{2} - 1 = 0 ⟺ (x - 1) (x + 1) = 0 ⟺ x_{1} = - 1, x_{2} = 1$

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції недодатні на проміжку $[- 1; 1]$ .

Відповідь: $[- 1; 1]$ .

4) $25 - x^{2} < 0;$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x^{2} - 25 > 0$

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} - 25$ :

$x^{2} - 25 = 0 ⟺ (x - 5) (x + 5) = 0 ⟺ x_{1} = - 5, x_{2} = 5$

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції додатні поза проміжком між нулями.

Відповідь: $(- \infty; - 5) \cup (5; + \infty)$ .

№ 12.9. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} - 36 > 0;$

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} - 36$ :

$x^{2} - 36 = 0 ⟺ (x - 6) (x + 6) = 0 ⟺ x_{1} = - 6, x_{2} = 6$

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції додатні поза проміжком $[- 6; 6]$ .

Відповідь: $(- \infty; - 6) \cup (6; + \infty)$ .

2) $x^{2} - 100 \leq 0;$

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} - 100$ :

$x^{2} - 100 = 0 ⟺ (x - 10) (x + 10) = 0 ⟺ x_{1} = - 10, x_{2} = 10$

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції недодатні на проміжку між її нулями.

Відповідь: $[- 10; 10]$ .

3) $- x^{2} + 64 < 0;$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x^{2} - 64 > 0$

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} - 64$ :

$x^{2} - 64 = 0 ⟺ (x - 8) (x + 8) = 0 ⟺ x_{1} = - 8, x_{2} = 8$

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції додатні поза проміжком $[- 8; 8]$ .

Відповідь: $(- \infty; - 8) \cup (8; + \infty)$ .

4) $9 - x^{2} \geq 0;$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x^{2} - 9 \leq 0$

Знайдемо нулі квадратичної функції $y = x^{2} - 9$ :

$x^{2} - 9 = 0 ⟺ (x - 3) (x + 3) = 0 ⟺ x_{1} = - 3, x_{2} = 3$

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції недодатні на проміжку $[- 3; 3]$ .

Відповідь: $[- 3; 3]$ .

№ 12.10. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $x^{2} - 3 x - 40 \geq 0$ ;

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 3 x - 40 = 0$ :

$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40) = 9 + 160 = 169 = 1 3^{2}$

$x_{1} = \frac{3 - 13}{2 \cdot 1} = - 5, x_{2} = \frac{3 + 13}{2 \cdot 1} = 8$

Гілки параболи $y = x^{2} - 3 x - 40$ напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення тричлена невід’ємні ( $\geq 0$ ) поза проміжком $(- 5; 8)$ , включаючи його межі.

Відповідь: $(- \infty; - 5] \cup [8; + \infty)$ .

2) $x^{2} - 8 x + 15 < 0$ ;

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ :

За теоремою Вієта:

${x_{1} + x_{2} = 8 x_{1} \cdot x_{2} = 15 ⟹ x_{1} = 3, x_{2} = 5$

Гілки параболи $y = x^{2} - 8 x + 15$ напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення тричлена від’ємні ( $< 0$ ) на проміжку між його коренями.

Відповідь: $(3; 5)$ .

3) $- x^{2} + 6 x + 7 \leq 0$ ;

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x^{2} - 6 x - 7 \geq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ :

За теоремою Вієта:

${x_{1} + x_{2} = 6 x_{1} \cdot x_{2} = - 7 ⟹ x_{1} = - 1, x_{2} = 7$

Гілки параболи $y = x^{2} - 6 x - 7$ напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення тричлена невід’ємні поза проміжком $(- 1; 7)$ , включаючи корені.

Відповідь: $(- \infty; - 1] \cup [7; + \infty)$ .

4) $- x^{2} - 5 x - 4 > 0$ ;

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x^{2} + 5 x + 4 < 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} + 5 x + 4 = 0$ :

За теоремою Вієта:

${x_{1} + x_{2} = - 5 x_{1} \cdot x_{2} = 4 ⟹ x_{1} = - 4, x_{2} = - 1$

Гілки параболи $y = x^{2} + 5 x + 4$ напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення тричлена від’ємні на проміжку між його коренями.

Відповідь: $(- 4; - 1)$ .

№ 12.11. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $x^{2} - 7 x + 12 \leq 0;$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ :

За теоремою Вієта:

{x_{1} + x_{2} = 7 x_{1} \cdot x_{2} = 12 ⟹ x_{1} = 3, x_{2} = 4

Гілки параболи $y = x^{2} - 7 x + 12$ спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення тричлена недодатні ( $\leq 0$ ) на проміжку між коренями, включаючи корені.

Відповідь: $[3; 4]$ .

2) $x^{2} - 2 x - 24 > 0;$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 2 x - 24 = 0$ :

За теоремою Вієта:

{x_{1} + x_{2} = 2 x_{1} \cdot x_{2} = - 24 ⟹ x_{1} = - 4, x_{2} = 6

Гілки параболи $y = x^{2} - 2 x - 24$ спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення тричлена додатні ( $> 0$ ) поза проміжком між його коренями.

Відповідь: $(- \infty; - 4) \cup (6; + \infty)$ .

3) $- x^{2} - x + 6 \geq 0;$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

x^{2} + x - 6 \leq 0

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} + x - 6 = 0$ :

За теоремою Вієта:

{x_{1} + x_{2} = - 1 x_{1} \cdot x_{2} = - 6 ⟹ x_{1} = - 3, x_{2} = 2

Гілки параболи $y = x^{2} + x - 6$ спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення тричлена недодатні на проміжку $[- 3; 2]$ .

Відповідь: $[- 3; 2]$ .

4) $- x^{2} + 3 x + 10 < 0;$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

x^{2} - 3 x - 10 > 0

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ :

За теоремою Вієта:

{x_{1} + x_{2} = 3 x_{1} \cdot x_{2} = - 10 ⟹ x_{1} = - 2, x_{2} = 5

Гілки параболи $y = x^{2} - 3 x - 10$ спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення тричлена додатні поза проміжком $[- 2; 5]$ .

Відповідь: $(- \infty; - 2) \cup (5; + \infty)$ .
12.12. Знайдіть, за яких значень $x$ квадратний тричлен:

1) $x^{2} - 5 x - 6$ набуває додатних значень;

Розв’язання:

Знайдемо значення $x$ , при яких $x^{2} - 5 x - 6 > 0$ .

Знайдемо нулі квадратного тричлена, розв’язавши рівняння:

x^{2} - 5 x - 6 = 0

За теоремою Вієта:

{x_{1} + x_{2} = 5 x_{1} \cdot x_{2} = - 6 ⟹ [x_{1} = - 1 x_{2} = 6

Графіком квадратичної функції $y = x^{2} - 5 x - 6$ є парабола, гілки якої спрямовані вгору (оскільки $a = 1 > 0$ ).

Парабола перетинає вісь $x$ у точках $x = - 1$ та $x = 6$ .

Функція набуває додатних значень ( $y > 0$ ) поза інтервалом між її коренями, тобто при $x \in (- \infty; - 1) \cup (6; + \infty)$ .

Відповідь: $x \in (- \infty; - 1) \cup (6; + \infty)$ .

2) $x^{2} + x - 12$ набуває від’ємних значень.

Розв’язання:

Знайдемо значення $x$ , при яких $x^{2} + x - 12 < 0$ .

Знайдемо нулі квадратного тричлена, розв’язавши рівняння:

x^{2} + x - 12 = 0

За теоремою Вієта:

{x_{1} + x_{2} = - 1 x_{1} \cdot x_{2} = - 12 ⟹ [x_{1} = - 4 x_{2} = 3

Графіком квадратичної функції $y = x^{2} + x - 12$ є парабола, гілки якої спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Парабола лежить нижче осі $x$ ( $y < 0$ ) між своїми нулями, тобто на інтервалі $(- 4; 3)$ .

Відповідь: $x \in (- 4; 3)$ .

12.13. Знайдіть, за яких значень $x$ квадратний тричлен:

1) $x^{2} - x - 2$ набуває від’ємних значень;

Розв’язання:

Знайдемо значення $x$ , при яких $x^{2} - x - 2 < 0$ .

Знайдемо нулі квадратного тричлена, розв’язавши рівняння:

x^{2} - x - 2 = 0

За теоремою Вієта:

{x_{1} + x_{2} = 1 x_{1} \cdot x_{2} = - 2 ⟹ [x_{1} = - 1 x_{2} = 2

Гілки параболи $y = x^{2} - x - 2$ напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Тричлен набуває від’ємних значень між коренями, тобто при $x \in (- 1; 2)$ .

Відповідь: $x \in (- 1; 2)$ .

2) $x^{2} + 2 x - 8$ набуває додатних значень.

Розв’язання:

Знайдемо значення $x$ , при яких $x^{2} + 2 x - 8 > 0$ .

Знайдемо нулі квадратного тричлена, розв’язавши рівняння:

x^{2} + 2 x - 8 = 0

За теоремою Вієта:

{x_{1} + x_{2} = - 2 x_{1} \cdot x_{2} = - 8 ⟹ [x_{1} = - 4 x_{2} = 2

Гілки параболи $y = x^{2} + 2 x - 8$ напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Тричлен набуває додатних значень поза інтервалом між коренями, тобто при $x \in (- \infty; - 4) \cup (2; + \infty)$ .

Відповідь: $x \in (- \infty; - 4) \cup (2; + \infty)$ .

12.14. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} < 4$ ;

Розв’язання:

Перенесемо $4$ у ліву частину:

$x^{2} - 4 < 0$

Розкладемо за формулою різниці квадратів:

$(x - 2) (x + 2) < 0$

Нулями функції $y = x^{2} - 4$ є точки $x_{1} = - 2$ та $x_{2} = 2$ .

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Отже, розв’язком є інтервал $(- 2; 2)$ .

Відповідь: $x \in (- 2; 2)$ .

2) $x^{2} \geq 100$ ;

Розв’язання:

Перенесемо $100$ у ліву частину:

$x^{2} - 100 \geq 0$

$(x - 10) (x + 10) \geq 0$

Нулями функції є $x_{1} = - 10$ та $x_{2} = 10$ .

Гілки параболи спрямовані вгору. Знаки більше або дорівнює нулю виконуються поза проміжком між коренями, включаючи самі корені:

$x \in (- \infty; - 10] \cup [10; + \infty)$

Відповідь: $x \in (- \infty; - 10] \cup [10; + \infty)$ .

3) $x^{2} \leq 7 x$ ;

Розв’язання:

Перенесемо $7 x$ у ліву частину:

$x^{2} - 7 x \leq 0$

Винесемо спільний множник $x$ за дужки:

$x (x - 7) \leq 0$

Нулями функції $y = x^{2} - 7 x$ є $x_{1} = 0$ та $x_{2} = 7$ .

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Вираз не перевищує $0$ на відрізку між нулями:

$x \in [0; 7]$

Відповідь: $x \in [0; 7]$ .

4) $- x^{2} > - 3 x$ .

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x^{2} < 3 x$

$x^{2} - 3 x < 0$

$x (x - 3) < 0$

Нулями функції $y = x^{2} - 3 x$ є $x_{1} = 0$ та $x_{2} = 3$ .

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Вираз строго менший за нуль на інтервалі між коренями:

$x \in (0; 3)$

Відповідь: $x \in (0; 3)$ .

12.15. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} > 9$ ;

Розв’язання:

$x^{2} - 9 > 0$

$(x - 3) (x + 3) > 0$

Нулі функції: $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 3$ .
Гілки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Вираз більший за $0$ поза проміжком між коренями:

$x \in (- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$

Відповідь: $x \in (- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$ .

2) $x^{2} \leq 1$ ;

Розв’язання:

$x^{2} - 1 \leq 0$

$(x - 1) (x + 1) \leq 0$

Нулі функції: $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 1$ .
Гілки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Вираз менший або дорівнює $0$ на відрізку між коренями:

$x \in [- 1; 1]$

Відповідь: $x \in [- 1; 1]$ .

3) $x^{2} \geq 4 x$ ;

Розв’язання:

$x^{2} - 4 x \geq 0$

$x (x - 4) \geq 0$

Нулі функції: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4$ .
Гілки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Нерівність виконується поза проміжком між коренями (включаючи нулі):

$x \in (- \infty; 0] \cup [4; + \infty)$

Відповідь: $x \in (- \infty; 0] \cup [4; + \infty)$ .

4) $- x^{2} < - 5 x$ .

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x^{2} > 5 x$

$x^{2} - 5 x > 0$

$x (x - 5) > 0$

Нулі функції: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 5$ .
Гілки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Вираз більший за $0$ поза інтервалом між коренями:

$x \in (- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$

Відповідь: $x \in (- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$ .

12.16. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} + 2 x - 7 > 0$ ;

Розв’язання:

Знайдемо нулі квадратного тричлена $x^{2} + 2 x - 7 = 0$ .

Обчислимо дискримінант:
$D = b^{2} - 4 a c = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7) = 4 + 28 = 32 > 0$

Знайдемо корені:
$x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} = \frac{- 2 \pm 32}{2 \cdot 1} = \frac{- 2 \pm 4 2}{2} = - 1 \pm 22$

Отже, $x_{1} = - 1 - 22$ та $x_{2} = - 1 + 22$ .

Графіком функції $y = x^{2} + 2 x - 7$ є парабола, гілки якої спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Функція набуває додатних значень поза проміжком між її нулями:
$x \in (- \infty; - 1 - 22) \cup (- 1 + 22; + \infty)$

Відповідь: $x \in (- \infty; - 1 - 22) \cup (- 1 + 22; + \infty)$ .

2) $x^{2} - x - 3 \leq 0$ .

Розв’язання:

Знайдемо нулі квадратного тричлена $x^{2} - x - 3 = 0$ .

Обчислимо дискримінант:
$D = b^{2} - 4 a c = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 1 + 12 = 13 > 0$

Знайдемо корені:
$x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} = \frac{1 \pm 13}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 13}{2}$

Отже, $x_{1} = \frac{1 - 13}{2}$ та $x_{2} = \frac{1 + 13}{2}$ .

Графіком функції $y = x^{2} - x - 3$ є парабола, гілки якої спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Нерівність $y \leq 0$ виконується на відрізку між її нулями (включаючи ці точки):
$x \in [\frac{1 - 13}{2}; \frac{1 + 13}{2}]$

Відповідь: $x \in [\frac{1 - 13}{2}; \frac{1 + 13}{2}]$ .
№ 12.17. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} - 4 x - 3 < 0$ ;

Розв’язання:

Розглянемо квадратичну функцію $y = x^{2} - 4 x - 3$ .

Гілки параболи спрямовані вгору, оскільки $a = 1 > 0$ .

Знайдемо нулі функції, розв’язавши квадратне рівняння $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ :

$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16 + 12 = 28$

$x_{1, 2} = \frac{4 \pm 28}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2 7}{2} = 2 \pm 7$

Нулі функції: $x_{1} = 2 - 7$ , $x_{2} = 2 + 7$ .

Оскільки $a > 0$ , то значення функції від’ємні ( $y < 0$ ) на інтервалі між її коренями.

Отже, розв’язком нерівності $x^{2} - 4 x - 3 < 0$ є проміжок $(2 - 7; 2 + 7)$ .

Відповідь: $(2 - 7; 2 + 7)$ .

2) $x^{2} + x - 5 \geq 0$ .

Розв’язання:

Розглянемо квадратичну функцію $y = x^{2} + x - 5$ .

Гілки параболи спрямовані вгору, оскільки $a = 1 > 0$ .

Знайдемо нулі функції, розв’язавши квадратне рівняння $x^{2} + x - 5 = 0$ :

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 1 + 20 = 21$

$x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 21}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 \pm 21}{2}$

Нулі функції: $x_{1} = \frac{- 1 - 21}{2}$ , $x_{2} = \frac{- 1 + 21}{2}$ .

Оскільки $a > 0$ , нерівність $y \geq 0$ виконується поза проміжком між коренями, включаючи самі корені.

Отже, $x \in (- \infty; \frac{- 1 - 21}{2}] \cup [\frac{- 1 + 21}{2}; + \infty)$ .

Відповідь: $(- \infty; \frac{- 1 - 21}{2}] \cup [\frac{- 1 + 21}{2}; + \infty)$ .

№ 12.18. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = x^{2} + 2 x - 3$ ;

Розв’язання:

Вираз під знаком квадратного кореня має бути невід’ємним, тому область визначення функції задається нерівністю:

$x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$

Розглянемо відповідне квадратне рівняння $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ .

За теоремою Вієта коренями є $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 1$ .

Гілки параболи $y = x^{2} + 2 x - 3$ спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Нерівність $x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$ виконується при $x \in (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$ .

Відповідь: $D (y) = (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$ .

2) $y = \frac{1}{12 - x - x ^{2}}$ .

Розв’язання:

Вираз під знаком квадратного кореня в знаменнику має бути строго додатним, тому область визначення функції задається нерівністю:

$12 - x - x^{2} > 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x^{2} + x - 12 < 0$

Розв’яжемо квадратне рівняння $x^{2} + x - 12 = 0$ .

За теоремою Вієта коренями є $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 3$ .

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ), тому вираз $x^{2} + x - 12$ набуває від’ємних значень на інтервалі $(- 4; 3)$ .

Відповідь: $D (y) = (- 4; 3)$ .

№ 12.19. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = 3 - x^{2} + 2 x$ ;

Розв’язання:

Область визначення задається нерівністю:
$3 - x^{2} + 2 x \geq 0$

Запишемо у стандартному вигляді та помножимо на $- 1$ :
$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0 ⟺ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ :

За теоремою Вієта: $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 3$ .

Оскільки гілки параболи $y = x^{2} - 2 x - 3$ спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ), нерівність $x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$ виконується на відрізку $[- 1; 3]$ .

Відповідь: $D (y) = [- 1; 3]$ .

2) $y = \frac{1}{x ^{2} + 4 x - 5}$ .

Розв’язання:

Область визначення задається нерівністю:
$x^{2} + 4 x - 5 > 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ :

За теоремою Вієта: $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 1$ .

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ), тому вираз додатний поза інтервалом між коренями: $x \in (- \infty; - 5) \cup (1; + \infty)$ .

Відповідь: $D (y) = (- \infty; - 5) \cup (1; + \infty)$ .

№ 12.20. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $x^{2} + 10 x + 25 \geq 0$ ;

Розв’язання:

Подамо ліву частину у вигляді квадрата двочлена:

$(x + 5)^{2} \geq 0$

Квадрат будь-якого дійсного числа завжди є невід’ємним, тому нерівність виконується для будь-якого $x \in (- \infty; + \infty)$ .

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

2) $25 - 20 x + 4 x^{2} < 0$ ;

Розв’язання:

Запишемо ліву частину у вигляді квадрата двочлена:

$(2 x - 5)^{2} < 0$

Квадрат дійсного числа не може бути від’ємним, тому нерівність не має розв’язків.

Відповідь: $\emptyset$ .

3) $9 x^{2} - 6 x + 1 > 0$ ;

Розв’язання:

Подамо ліву частину у вигляді квадрата двочлена:

$(3 x - 1)^{2} > 0$

Квадрат числа додатний для всіх дійсних чисел, крім випадку, коли вираз під квадратом дорівнює нулю:

$3 x - 1 = 0 ⟺ x = \frac{1}{3}$

Отже, $x \in (- \infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; + \infty)$ .

Відповідь: $(- \infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; + \infty)$ .

4) $x^{2} - 8 x + 16 \leq 0$ ;

Розв’язання:

Запишемо ліву частину у вигляді квадрата двочлена:

$(x - 4)^{2} \leq 0$

Оскільки $(x - 4)^{2} \geq 0$ для всіх дійсних чисел, то нерівність може виконуватися лише тоді, коли $(x - 4)^{2} = 0$ , звідки $x = 4$ .

Відповідь: $4$ .

5) $- x^{2} - 2 x - 1 < 0$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності:

$x^{2} + 2 x + 1 > 0$

$(x + 1)^{2} > 0$

Нерівність $(x + 1)^{2} > 0$ виконується для всіх $x$ , крім $x + 1 = 0$ , тобто $x = - 1$ .

Отже, $x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .

Відповідь: $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .

6) $10 x - x^{2} - 25 \geq 0$ ;

Розв’язання:

Перегрупуємо доданки та помножимо нерівність на $- 1$ :

$- (x^{2} - 10 x + 25) \geq 0$

$x^{2} - 10 x + 25 \leq 0$

$(x - 5)^{2} \leq 0$

Оскільки $(x - 5)^{2} \geq 0$ , нерівність виконується лише за умови $(x - 5)^{2} = 0$ , звідки $x = 5$ .

Відповідь: $5$ .

7) $- 25 x^{2} + 30 x - 9 \leq 0$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ :

$25 x^{2} - 30 x + 9 \geq 0$

$(5 x - 3)^{2} \geq 0$

Квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, тому нерівність справджується для всіх $x \in (- \infty; + \infty)$ .

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

8) $- 49 x^{2} - 70 x - 25 > 0$ .

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ :

$49 x^{2} + 70 x + 25 < 0$

$(7 x + 5)^{2} < 0$

Оскільки квадрат дійсного числа не може бути від’ємним, нерівність не має розв’язків.

Відповідь: $\emptyset$ .

№ 12.21. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $x^{2} + 8 x + 16 < 0$ ;

Розв’язання:

Запишемо ліву частину як квадрат двочлена:
$(x + 4)^{2} < 0$

Квадрат дійсного числа не може бути від’ємним, тому розв’язків немає.

Відповідь: $\emptyset$ .

2) $25 x^{2} - 10 x + 1 \geq 0$ ;

Розв’язання:

Запишемо ліву частину як квадрат двочлена:
$(5 x - 1)^{2} \geq 0$

Квадрат числа завжди невід’ємний для будь-якого $x \in R$ .

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

3) $9 - 6 x + x^{2} \leq 0$ ;

Розв’язання:

Подамо у вигляді квадрата двочлена:
$(x - 3)^{2} \leq 0$

Оскільки $(x - 3)^{2} \geq 0$ завжди, нерівність виконується тільки при $(x - 3)^{2} = 0$ , звідси $x = 3$ .

Відповідь: $3$ .

4) $100 x^{2} - 120 x + 36 > 0$ ;

Розв’язання:

Розділимо обидві частини на $4$ :
$25 x^{2} - 30 x + 9 > 0 ⟺ (5 x - 3)^{2} > 0$

Квадрат виразу додатний при всіх значеннях $x$ , крім кореня $5 x - 3 = 0 ⟺ x = \frac{3}{5} = 0, 6$ .

Отже, $x \in (- \infty; 0, 6) \cup (0, 6; + \infty)$ .

Відповідь: $(- \infty; 0, 6) \cup (0, 6; + \infty)$ .

5) $2 x - x^{2} - 1 \geq 0$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ :
$x^{2} - 2 x + 1 \leq 0 ⟺ (x - 1)^{2} \leq 0$

Нерівність справджується лише за умови $(x - 1)^{2} = 0 ⟺ x = 1$ .

Відповідь: $1$ .

6) $- 64 x^{2} - 112 x - 49 \leq 0$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ :
$64 x^{2} + 112 x + 49 \geq 0 ⟺ (8 x + 7)^{2} \geq 0$

Квадрат виразу невід’ємний при будь-якому дійсному $x$ .

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

7) $- 36 x^{2} + 60 x - 25 > 0$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ :
$36 x^{2} - 60 x + 25 < 0 ⟺ (6 x - 5)^{2} < 0$

Квадрат дійсного числа не може бути від’ємним, тому нерівність розв’язків не має.

Відповідь: $\emptyset$ .

8) $- x^{2} + 16 x - 64 < 0$ .

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ :
$x^{2} - 16 x + 64 > 0 ⟺ (x - 8)^{2} > 0$

Вираз додатний для всіх дійсних $x$ , крім $x = 8$ .

Отже, $x \in (- \infty; 8) \cup (8; + \infty)$ .

Відповідь: $(- \infty; 8) \cup (8; + \infty)$ .
№ 12.22. Знайдіть усі цілі розв’язки нерівності:

1) $2 x^{2} - 5 x + 2 < 0$ ;

Розв’язання:

1) Знайдемо корені квадратного тричлена $2 x^{2} - 5 x + 2$ :

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^{2}$

$x_{1} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0, 5$

$x_{2} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

2) Графіком функції $y = 2 x^{2} - 5 x + 2$ є парабола, гілки якої напрямлені вгору (оскільки $a = 2 > 0$ ). Оскільки знак нерівності строгий ( $<$ ), корені позначаються виколотими точками.

3) Функція набуває від’ємних значень на проміжку $x \in (0, 5; 2)$ .

4) Знайдемо цілі числа, які належать проміжку $(0, 5; 2)$ : це число $1$ .

Відповідь: $1$ .

2) $9 x - 2 x^{2} - 4 \geq 0$ .

Розв’язання:

1) Перепишемо нерівність у стандартному вигляді:

$- 2 x^{2} + 9 x - 4 \geq 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$2 x^{2} - 9 x + 4 \leq 0$

2) Знайдемо корені квадратного тричлена $2 x^{2} - 9 x + 4$ :

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

$D = (- 9)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^{2}$

$x_{1} = \frac{9 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0, 5$

$x_{2} = \frac{9 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

3) Гілки параболи $y = 2 x^{2} - 9 x + 4$ напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ). Знак нерівності нестрогий ( $\leq$ ), тому нулі функції є зафарбованими точками.

Розв’язком нерівності є проміжок $x \in [0, 5; 4]$ .

4) Знайдемо цілі числа, що належать проміжку $[0, 5; 4]$ : $1; 2; 3; 4$ .

Відповідь: $1; 2; 3; 4$ .

№ 12.23. Знайдіть усі цілі розв’язки нерівності:

1) $2 x^{2} - 7 x + 3 \leq 0$ ;

Розв’язання:

Знайдемо корені квадратного тричлена $2 x^{2} - 7 x + 3$ :

$2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$

$D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^{2}$

$x_{1} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0, 5$

$x_{2} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

Гілки параболи $y = 2 x^{2} - 7 x + 3$ напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ). Оскільки знак нерівності нестрогий ( $\leq$ ), розв’язком нерівності є проміжок $x \in [0, 5; 3]$ .

Цілі числа, що належать проміжку $[0, 5; 3]$ : $1; 2; 3$ .

Відповідь: $1; 2; 3$ .

2) $4 - 11 x - 3 x^{2} > 0$ .

Розв’язання:

Запишемо нерівність у стандартному вигляді та помножимо на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$- 3 x^{2} - 11 x + 4 > 0 \cdot (- 1)$

$3 x^{2} + 11 x - 4 < 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $3 x^{2} + 11 x - 4$ :

$3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$

$D = 1 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4) = 121 + 48 = 169 = 1 3^{2}$

$x_{1} = \frac{- 11 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{- 24}{6} = - 4$

$x_{2} = \frac{- 11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Гілки параболи $y = 3 x^{2} + 11 x - 4$ напрямлені вгору ( $a = 3 > 0$ ). Знак нерівності строгий ( $<$ ), тому розв’язком є відкритий проміжок $x \in (- 4; \frac{1}{3})$ .

Цілі числа, що належать проміжку $(- 4; \frac{1}{3})$ : $- 3; - 2; - 1; 0$ .

Відповідь: $- 3; - 2; - 1; 0$ .

№ 12.24. Національний університет «Острозька академія» – один з найдавніших навчальних закладів Європи і перший створений в Україні – заснований у 1576 р. Від самого початку свого існування академія була надзвичайно прогресивною. Знайдіть суму всіх цілих розв’язків нерівності $19 x + 51 - 10 x^{2} \geq 0$ , відтак дізнаєтеся, скільки іноземних мов вивчали перші студенти цієї академії.

Розв’язання:

1) Перепишемо нерівність у стандартному вигляді:

$- 10 x^{2} + 19 x + 51 \geq 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності:

$10 x^{2} - 19 x - 51 \leq 0$

2) Знайдемо корені квадратного тричлена $10 x^{2} - 19 x - 51$ :

$10 x^{2} - 19 x - 51 = 0$

$D = (- 19)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 51) = 361 + 2040 = 2401 = 4 9^{2}$

$x_{1} = \frac{19 - 49}{2 \cdot 10} = \frac{- 30}{20} = - 1, 5$

$x_{2} = \frac{19 + 49}{2 \cdot 10} = \frac{68}{20} = 3, 4$

3) Гілки параболи $y = 10 x^{2} - 19 x - 51$ напрямлені вгору ( $a = 10 > 0$ ). Множиною розв’язків нерівності є числовий відрізок:

$x \in [- 1, 5; 3, 4]$

4) Визначимо цілі числа з цього проміжку:

$- 1, 0, 1, 2, 3$

5) Обчислимо суму цілих розв’язків:

$S = (- 1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 5$

Отже, перші студенти Острозької академії вивчали 5 іноземних мов.

Відповідь: сума цілих розв’язків дорівнює $5$ ( $5$ мов).

№ 12.25. 2025 року в Канаді відбулися «Ігри нескорених» (Invictus Games), у яких брали участь спортсмени / спортсменки з України. Розв’яжіть нерівність $49 x - 5 x^{2} - 72 \geq 0$ . Добуток найменшого і найбільшого натуральних розв’язків нерівності підкажуть вам, скільки медалей спортсмени / спортсменки України здобули в зимових видах цих змагань.

Розв’язання:

1) Перепишемо нерівність у стандартному вигляді:
$- 5 x^{2} + 49 x - 72 \geq 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$5 x^{2} - 49 x + 72 \leq 0$

2) Знайдемо корені квадратного тричлена $5 x^{2} - 49 x + 72$ :
$5 x^{2} - 49 x + 72 = 0$

$D = (- 49)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 72 = 2401 - 1440 = 961 = 3 1^{2}$

$x_{1} = \frac{49 - 31}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = 1, 8$

$x_{2} = \frac{49 + 31}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8$

3) Оскільки вітки відповідної параболи напрямлені вгору ( $a = 5 > 0$ ), розв’язком нерівності є числовий проміжок:
$x \in [1, 8; 8]$

4) Натуральними розв’язками нерівності є числа:
$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$

5) Найменший натуральний розв’язок: $x_{min} = 2$ , найбільший натуральний розв’язок: $x_{max} = 8$ .

6) Обчислимо їхній добуток:
$2 \cdot 8 = 16$

Отже, українські спортсмени та спортсменки здобули $16$ медалей.

Відповідь: розв’язок нерівності: $x \in [1, 8; 8]$ ; добуток найменшого і найбільшого натуральних розв’язків дорівнює $16$ ( $16$ медалей).

№ 12.26. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} + x + 7 \geq 0$ ;

Розв’язання:

Знайдемо дискримінант квадратного тричлена $x^{2} + x + 7$ :

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = - 27 < 0$

Оскільки дискримінант від’ємний ( $D < 0$ ) і старший коефіцієнт додатний ( $a = 1 > 0$ ), парабола $y = x^{2} + x + 7$ лежить повністю вище осі $x$ і не перетинає її. Це означає, що вираз $x^{2} + x + 7 > 0$ при будь-якому значенні $x$ .

Отже, нерівність $x^{2} + x + 7 \geq 0$ виконується для всіх дійсних чисел.

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ (або $x \in R$ ).

2) $x^{2} - 2 x + 5 < 0$ ;

Розв’язання:

Знайдемо дискримінант квадратного тричлена $x^{2} - 2 x + 5$ :

$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16 < 0$

Оскільки $D < 0$ і $a = 1 > 0$ , парабола розміщена повністю вище осі $x$ , тобто $x^{2} - 2 x + 5 > 0$ для всіх $x \in R$ .

Отже, нерівність $x^{2} - 2 x + 5 < 0$ не має розв’язків.

Відповідь: розв’язків немає (або $\emptyset$ ).

3) $- x^{2} - 2 x - 9 \leq 0$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x^{2} + 2 x + 9 \geq 0$

Знайдемо дискримінант квадратного тричлена $x^{2} + 2 x + 9$ :

$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = - 32 < 0$

Оскільки $D < 0$ та $a = 1 > 0$ , нерівність $x^{2} + 2 x + 9 > 0$ виконується для всіх $x \in R$ .

Отже, початкова нерівність $- x^{2} - 2 x - 9 \leq 0$ виконується при будь-якому дійсному значенні $x$ .

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ (або $x \in R$ ).

4) $- 3 x^{2} + 4 x - 5 > 0$ .

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$3 x^{2} - 4 x + 5 < 0$

Знайдемо дискримінант квадратного тричлена $3 x^{2} - 4 x + 5$ :

$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = - 44 < 0$

Оскільки $D < 0$ і $a = 3 > 0$ , значення виразу $3 x^{2} - 4 x + 5 > 0$ для всіх дійсних $x$ .

Тому нерівність $3 x^{2} - 4 x + 5 < 0$ не має розв’язків.

Відповідь: розв’язків немає (або $\emptyset$ ).

№ 12.27. Розв’яжіть нерівність:

1) $6 x^{2} + x + 1 > 0$

Розв’язання:

Розглянемо квадратичну функцію $y = 6 x^{2} + x + 1$ .

Знайдемо дискримінант відповідного квадратного тричлена:

D = b^{2} - 4 a c = 1^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 1 - 24 = - 23 < 0

Оскільки $D < 0$ , квадратне рівняння $6 x^{2} + x + 1 = 0$ не має дійсних коренів (функція не має нулів).

Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $a = 6 > 0$ , тому гілки параболи напрямлені вгору, і весь графік розташований вище осі абсцис.

Отже, при всіх дійсних значеннях $x$ значення тричлена $6 x^{2} + x + 1$ є додатними.

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

2) $x^{2} - 3 x + 7 \leq 0$

Розв’язання:

Розглянемо квадратичну функцію $y = x^{2} - 3 x + 7$ .

Знайдемо дискримінант квадратного тричлена:

D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = - 19 < 0

Оскільки $D < 0$ , квадратне рівняння $x^{2} - 3 x + 7 = 0$ не має коренів.

Оскільки $a = 1 > 0$ , гілки параболи напрямлені вгору, і парабола розміщена повністю вище осі $x$ . Тобто вираз $x^{2} - 3 x + 7 > 0$ для всіх $x \in (- \infty; + \infty)$ .

Отже, нерівність $x^{2} - 3 x + 7 \leq 0$ не має розв’язків.

Відповідь: $\emptyset$ (розв’язків немає).

3) $- x^{2} + 4 x - 9 < 0$

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

x^{2} - 4 x + 9 > 0

Знайдемо дискримінант квадратного тричлена $x^{2} - 4 x + 9$ :

D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = - 20 < 0

Оскільки $D < 0$ і старший коефіцієнт $a = 1 > 0$ , то вираз $x^{2} - 4 x + 9 > 0$ є додатним при будь-якому $x$ .

Отже, початкова нерівність $- x^{2} + 4 x - 9 < 0$ виконується для всіх дійсних чисел.

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

4) $- x^{2} - 2 x - 5 \geq 0$

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

x^{2} + 2 x + 5 \leq 0

Обчислимо дискримінант квадратного тричлена $x^{2} + 2 x + 5$ :

D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16 < 0

Оскільки $D < 0$ і старший коефіцієнт $a = 1 > 0$ , то значення тричлена $x^{2} + 2 x + 5 > 0$ при всіх дійсних $x$ .

Тому нерівність $x^{2} + 2 x + 5 \leq 0$ не має розв’язків.

Відповідь: $\emptyset$ (розв’язків немає).

№ 12.28. Доведіть, що за будь-якого значення $x$ справджується нерівність:

1) $3 x^{2} - x + 1 > 0$

Доведення:

Розглянемо квадратний тричлен $f (x) = 3 x^{2} - x + 1$ .

Знайдемо його дискримінант:

$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = - 11 < 0$

Оскільки дискримінант $D < 0$ , тричлен не має дійсних коренів.

Старший коефіцієнт $a = 3 > 0$ , тому вітки параболи $y = 3 x^{2} - x + 1$ напрямлені вгору, а весь графік розташований вище від осі абсцис.

Це означає, що $3 x^{2} - x + 1 > 0$ для будь-якого $x \in R$ , що й треба було довести.

2) $6 x < x^{2} + 10$

Доведення:

Перенесемо доданок $6 x$ у праву частину нерівності:

$0 < x^{2} - 6 x + 10 \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 10 > 0$

Виділимо повний квадрат у лівій частині отриманої нерівності:

$x^{2} - 6 x + 10 = (x^{2} - 6 x + 9) + 1 = (x - 3)^{2} + 1$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, тобто $(x - 3)^{2} \geq 0$ для всіх $x$ , то:

$(x - 3)^{2} + 1 \geq 0 + 1 = 1 > 0$

Отже, вираз $(x - 3)^{2} + 1 > 0$ при будь-якому значенні $x$ , звідси $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ , а отже, $6 x < x^{2} + 10$ , що й треба було довести.

№ 12.29. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

1) $4 x^{2} + 11 x - 20 < 0$

Розглянемо відповідне квадратне рівняння $4 x^{2} + 11 x - 20 = 0$ .

Знайдемо його дискримінант:
$D = 1 1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 20) = 121 + 320 = 441 = 2 1^{2}$

Обчислимо корені рівняння:
$x_{1} = \frac{- 11 - 21}{2 \cdot 4} = \frac{- 32}{8} = - 4$

$x_{2} = \frac{- 11 + 21}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = 1, 25$

Гілки параболи $y = 4 x^{2} + 11 x - 20$ спрямовані вгору ( $a = 4 > 0$ ).

Тому розв’язком нерівності $4 x^{2} + 11 x - 20 < 0$ є інтервал між коренями:
$x \in (- 4; 1, 25)$

Цілими розв’язками з цього проміжку є числа: $- 3, - 2, - 1, 0, 1$ .

Найменшим цілим розв’язком є число $- 3$ .

Відповідь: $- 3$ .

2) $- 3 x^{2} + 11 x + 34 \geq 0$

Помножимо нерівність на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$3 x^{2} - 11 x - 34 \leq 0$

Знайдемо корені квадратного рівняння $3 x^{2} - 11 x - 34 = 0$ :
$D = (- 11)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 34) = 121 + 408 = 529 = 2 3^{2}$

$x_{1} = \frac{11 - 23}{2 \cdot 3} = \frac{- 12}{6} = - 2$

$x_{2} = \frac{11 + 23}{2 \cdot 3} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3} = 5 \frac{2}{3}$

Оскільки старший коефіцієнт $a = 3 > 0$ , то розв’язком нерівності $3 x^{2} - 11 x - 34 \leq 0$ є відрізок:
$x \in [- 2; 5 \frac{2}{3}]$

Цілими розв’язками на цьому проміжку є числа: $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ .

Найменшим цілим розв’язком є число $- 2$ .

Відповідь: $- 2$ .

№ 12.30. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

1) $- 3 x^{2} - 11 x + 14 \geq 0$

Розв’язання:

Помножимо нерівність на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$3 x^{2} + 11 x - 14 \leq 0$

Знайдемо корені рівняння $3 x^{2} + 11 x - 14 = 0$ :
$D = 1 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 14) = 121 + 168 = 289 = 1 7^{2}$
$x_{1} = \frac{- 11 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{- 28}{6} = - \frac{14}{3} = - 4 \frac{2}{3}$
$x_{2} = \frac{- 11 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Розв’язком нерівності є відрізок:
$x \in [- 4 \frac{2}{3}; 1]$

Цілі розв’язки: $- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1$ .
Найбільшим цілим розв’язком є число $1$ .

Відповідь: $1$ .

2) $12 x^{2} + 16 x - 3 < 0$

Розв’язання:

Знайдемо корені квадратного рівняння $12 x^{2} + 16 x - 3 = 0$ :
$D = 1 6^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 3) = 256 + 144 = 400 = 2 0^{2}$
$x_{1} = \frac{- 16 - 20}{2 \cdot 12} = \frac{- 36}{24} = - 1, 5$
$x_{2} = \frac{- 16 + 20}{2 \cdot 12} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$

Оскільки старший коефіцієнт $a = 12 > 0$ , то розв’язком нерівності є інтервал:
$x \in (- 1, 5; \frac{1}{6})$

Цілі розв’язки на цьому інтервалі: $- 1, 0$ .
Найбільшим цілим розв’язком є число $0$ .

Відповідь: $0$ .

№ 12.31. Розв’яжіть нерівність:

1) $2 x^{2} - 3 x \leq 2 (x - 1)$

Розкриємо дужки у правій частині:
$2 x^{2} - 3 x \leq 2 x - 2$

Перенесемо всі доданки в ліву частину та зведемо подібні:
$2 x^{2} - 3 x - 2 x + 2 \leq 0$
$2 x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $2 x^{2} - 5 x + 2$ :
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^{2}$
$x_{1} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0, 5$
$x_{2} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Оскільки $a = 2 > 0$ , нерівності відповідає відрізок між коренями:
$x \in [0, 5; 2]$

Відповідь: $[0, 5; 2]$ .

2) $4 x (x + 2) > 5$

Розкриємо дужки:
$4 x^{2} + 8 x > 5$
$4 x^{2} + 8 x - 5 > 0$

Знайдемо корені рівняння $4 x^{2} + 8 x - 5 = 0$ :
$D = 8^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 5) = 64 + 80 = 144 = 1 2^{2}$
$x_{1} = \frac{- 8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{- 20}{8} = - 2, 5$
$x_{2} = \frac{- 8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0, 5$

Оскільки знак нерівності $>$ , розв’язком є об’єднання інтервалів зовні коренів:
$x \in (- \infty; - 2, 5) \cup (0, 5; + \infty)$

Відповідь: $(- \infty; - 2, 5) \cup (0, 5; + \infty)$ .

3) $x (x - 8) > (2 x - 1)^{2}$

Розкриємо дужки в обох частинах нерівності:
$x^{2} - 8 x > 4 x^{2} - 4 x + 1$

Перенесемо всі доданки в ліву частину:
$x^{2} - 8 x - 4 x^{2} + 4 x - 1 > 0$
$- 3 x^{2} - 4 x - 1 > 0$

Помножимо на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:
$3 x^{2} + 4 x + 1 < 0$

Знайдемо корені рівняння $3 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ :
$D = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 = 2^{2}$
$x_{1} = \frac{- 4 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{- 6}{6} = - 1$
$x_{2} = \frac{- 4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}$

Оскільки $a = 3 > 0$ і знак нерівності $<$ , розв’язком є інтервал між коренями:
$x \in (- 1; - \frac{1}{3})$

Відповідь: $(- 1; - \frac{1}{3})$ .

4) $3 x (x - 2) + 1 > (x - 1)^{2}$

Розкриємо дужки:
$3 x^{2} - 6 x + 1 > x^{2} - 2 x + 1$

Перенесемо всі доданки в ліву частину та зведемо подібні:
$3 x^{2} - x^{2} - 6 x + 2 x + 1 - 1 > 0$
$2 x^{2} - 4 x > 0$

Розкладемо ліву частину на множники:
$2 x (x - 2) > 0$

Нулями функції є числа $x_{1} = 0$ та $x_{2} = 2$ .

Оскільки $a = 2 > 0$ і знак нерівності $>$ , розв’язком є об’єднання інтервалів зовні нулів:
$x \in (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$

Відповідь: $(- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .
№ 12.32. Розв’яжіть нерівність:

1) $4 x (x - 1) \leq 3$ ;

2) $(x + 2)^{2} < 2 x (x + 3) + 5$ .

Розв’язання:

1) $4 x (x - 1) \leq 3$

Розкриємо дужки у лівій частині нерівності:

4 x^{2} - 4 x \leq 3

Перенесемо число $3$ в ліву частину зі зміною знака:

4 x^{2} - 4 x - 3 \leq 0

Знайдемо корені квадратного тричлена $4 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ :

D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3) = 16 + 48 = 64 = 8^{2}

x_{1} = \frac{4 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{- 4}{8} = - 0, 5

x_{2} = \frac{4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = 1, 5

Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $a = 4 > 0$ , гілки відповідної параболи напрямлені вгору. Значення квадратного тричлена є недодатними ( $\leq 0$ ) на відрізку між його коренями, включаючи самі корені.

Отже, $x \in [- 0, 5; 1, 5]$ .

2) $(x + 2)^{2} < 2 x (x + 3) + 5$

Застосуємо формулу квадрата суми у лівій частині та розкриємо дужки у правій частині:

x^{2} + 4 x + 4 < 2 x^{2} + 6 x + 5

Перенесемо всі доданки в ліву частину нерівності та зведемо подібні:

x^{2} + 4 x + 4 - 2 x^{2} - 6 x - 5 < 0

- x^{2} - 2 x - 1 < 0

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

x^{2} + 2 x + 1 > 0

Згорнемо ліву частину за формулою квадрата суми:

(x + 1)^{2} > 0

Квадрат будь-якого дійсного виразу завжди невід’ємний, тобто $(x + 1)^{2} \geq 0$ для будь-якого $x \in R$ . Оскільки нерівність є строгою ( $> 0$ ), вона справджується для всіх значень $x$ , крім того, при якому вираз дорівнює нулю:

x + 1 = 0 ⟹ x = - 1

Отже, розв’язком є всі дійсні числа, крім $x = - 1$ , тобто $x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $[- 0, 5; 1, 5]$ ;

2) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .

№ 12.33. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = - x^{2} + 2 x + 3 + \frac{1}{x - 2}$ ;

Розв’язання:

Область визначення цієї функції визначається двома умовами:

1) Вираз під знаком арифметичного квадратного кореня має бути невід’ємним: $- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$ .

2) Знаменник дробу не може дорівнювати нулю: $x - 2 \neq = 0$ .

Складемо та розв’яжемо систему:

{- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0 x - 2 \neq = 0

Розв’яжемо першу нерівність $- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$ . Помножимо її на $- 1$ :

x^{2} - 2 x - 3 \leq 0

Знайдемо нулі квадратного тричлена $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

За теоремою Вієта:

{x_{1} + x_{2} = 2 x_{1} \cdot x_{2} = - 3 ⟹ x_{1} = - 1, x_{2} = 3

Оскільки $a = 1 > 0$ , гілки параболи напрямлені вгору, тому розв’язком нерівності $x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$ є відрізок $[- 1; 3]$ .

З другої умови маємо: $x \neq = 2$ .

Знайдемо переріз отриманих умов, вилучивши точку $x = 2$ з відрізка $[- 1; 3]$ :

x \in [- 1; 2) \cup (2; 3]

2) $y = \frac{x ^{2} + x - 2}{x - 2}$ .

Розв’язання:

Область визначення функції складається з двох умов:

1) Підкореневий вираз має бути невід’ємним: $x^{2} + x - 2 \geq 0$ .

2) Знаменник дробу має бути відмінним від нуля: $x - 2 \neq = 0$ .

Запишемо систему нерівностей та умов:

{x^{2} + x - 2 \geq 0 x - 2 \neq = 0

Розв’яжемо першу нерівність $x^{2} + x - 2 \geq 0$ . Знайдемо корені рівняння $x^{2} + x - 2 = 0$ .

За теоремою Вієта:

{x_{1} + x_{2} = - 1 x_{1} \cdot x_{2} = - 2 ⟹ x_{1} = - 2, x_{2} = 1

Оскільки $a = 1 > 0$ , гілки параболи напрямлені вгору, тому квадратний тричлен набуває невід’ємних значень поза проміжком між коренями:

x \in (- \infty; - 2] \cup [1; + \infty)

З другої умови маємо: $x \neq = 2$ .

Вилучимо точку $x = 2$ з отриманої множини:

x \in (- \infty; - 2] \cup [1; 2) \cup (2; + \infty)

Відповідь:

1) $[- 1; 2) \cup (2; 3]$ ;

2) $(- \infty; - 2] \cup [1; 2) \cup (2; + \infty)$ .

№ 12.34. Мотоциклістка, що рухається по мосту зі швидкістю $v_{0} = 54 км / год$ , виїжджає з нього і одразу після виїзду починає розганятися зі сталим прискоренням $a = 8 км / год^{2}$ . Відстань від мотоциклістки до міста, що вимірюється в кілометрах, визначається формулою $S = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$ . Оператор мобільного зв’язку гарантує стабільний зв’язок на відстані не далі, ніж $28 км$ від міста. Протягом якого часу мотоциклістка матиме стабільний мобільний зв’язок (відповідь дайте у хвилинах)?

Розв’язання:

1) Підставимо дані значення $v_{0} = 54 км / год$ та $a = 8 км / год^{2}$ у формулу відстані:

$S (t) = 54 t + \frac{8 t ^{2}}{2} = 4 t^{2} + 54 t$

2) За умовою, стабільний зв’язок гарантується, коли відстань $S \leq 28 км$ . Складемо нерівність для часу $t \geq 0$ :

$4 t^{2} + 54 t \leq 28$

$4 t^{2} + 54 t - 28 \leq 0$

3) Поділимо обидві частини нерівності на $2$ :

$2 t^{2} + 27 t - 14 \leq 0$

4) Знайдемо корені квадратного рівняння $2 t^{2} + 27 t - 14 = 0$ :

$D = 2 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 14) = 729 + 112 = 841 = 2 9^{2}$

$t_{1} = \frac{- 27 - 29}{2 \cdot 2} = \frac{- 56}{4} = - 14$

$t_{2} = \frac{- 27 + 29}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0, 5 (год)$

Оскільки коефіцієнт при $t^{2}$ додатний ( $2 > 0$ ), розв’язком нерівності є проміжок $t \in [- 14; 0, 5]$ .

Враховуючи фізичний зміст часу ( $t \geq 0$ ), мотоциклістка матиме стабільний зв’язок від $t = 0$ до $t = 0, 5 год$ .

5) Переведемо час у хвилини:

$t = 0, 5 год = 0, 5 \cdot 60 хв = 30 хв$

Відповідь: $30 хв$ .

№ 12.35. Розв’яжіть систему нерівностей:

{x^{2} + 7 x - 8 < 0 x > 0

Розв’язання:

Розв’яжемо першу нерівність $x^{2} + 7 x - 8 < 0$ .

Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 7 x - 8 = 0$ за теоремою Вієта:

{x_{1} + x_{2} = - 7 x_{1} \cdot x_{2} = - 8 ⟹ x_{1} = - 8, x_{2} = 1

Гілки параболи спрямовані вгору ( $a = 1 > 0$ ), тому розв’язком нерівності $x^{2} + 7 x - 8 < 0$ є інтервал між коренями:

x \in (- 8; 1)

Друга нерівність системи задає проміжок:

x \in (0; + \infty)

Знайдемо переріз цих двох проміжків:

(- 8; 1) \cap (0; + \infty) = (0; 1)

{2 x^{2} + 5 x - 3 \geq 0 2 x - 6 > 0

Розв’язання:

Розв’яжемо першу нерівність $2 x^{2} + 5 x - 3 \geq 0$ .

Знайдемо корені рівняння $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ :

D = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25 + 24 = 49 = 7^{2}

x_{1} = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{- 12}{4} = - 3

x_{2} = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0, 5

Оскільки $a = 2 > 0$ , розв’язком нерівності є:

x \in (- \infty; - 3] \cup [0, 5; + \infty)

Розв’яжемо другу нерівність системи:

2 x - 6 > 0 ⟹ 2 x > 6 ⟹ x > 3 ⟹ x \in (3; + \infty)

Знайдемо переріз розв’язків обох нерівностей:

((- \infty; - 3] \cup [0, 5; + \infty)) \cap (3; + \infty) = (3; + \infty)

Відповідь:

1) $(0; 1)$ ;

2) $(3; + \infty)$ .

№ 12.36. Розв’яжіть систему нерівностей:

{2 x^{2} + 5 x - 18 \geq 0 x < 0

Розв’язання:

Розв’яжемо першу нерівність $2 x^{2} + 5 x - 18 \geq 0$ .

Знайдемо корені квадратного рівняння $2 x^{2} + 5 x - 18 = 0$ :

$D = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18) = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$

$x_{1} = \frac{- 5 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{- 18}{4} = - 4, 5$

$x_{2} = \frac{- 5 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Гілки параболи напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ), тому розв’язком нерівності $2 x^{2} + 5 x - 18 \geq 0$ є:

$x \in (- \infty; - 4, 5] \cup [2; + \infty)$

Друга нерівність системи дає:

$x \in (- \infty; 0)$

Знайдемо спільну частину двох проміжків:

$((- \infty; - 4, 5] \cup [2; + \infty)) \cap (- \infty; 0) = (- \infty; - 4, 5]$

{x^{2} - 10 x - 24 < 0 2 x - 16 \geq 0

Розв’язання:

Розв’яжемо першу нерівність $x^{2} - 10 x - 24 < 0$ .

Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 10 x - 24 = 0$ за теоремою Вієта:

${x_{1} + x_{2} = 10 x_{1} \cdot x_{2} = - 24 ⟹ x_{1} = - 2, x_{2} = 12$

Оскільки $a = 1 > 0$ , розв’язком квадратної нерівності є інтервал між коренями:

$x \in (- 2; 12)$

Розв’яжемо другу нерівність:

$2 x - 16 \geq 0 ⟹ 2 x \geq 16 ⟹ x \geq 8 ⟹ x \in [8; + \infty)$

Знайдемо переріз отриманих проміжків:

$(- 2; 12) \cap [8; + \infty) = [8; 12)$

Відповідь:

1) $(- \infty; - 4, 5]$ ;

2) $[8; 12)$ .
№ 12.37. Знайдіть усі цілі розв’язки системи нерівностей:

{x^{2} - 6 x + 8 > 0 0 \leq x < 7

Розв’язання:

Розв’яжемо першу нерівність системи: $x^{2} - 6 x + 8 > 0$ .
Знайдемо нулі квадратичного тричлена $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ .
За теоремою Вієта:
$x_{1} + x_{2} = 6, x_{1} \cdot x_{2} = 8 ⟹ x_{1} = 2, x_{2} = 4$

Графіком функції $y = x^{2} - 6 x + 8$ є парабола, гілки якої напрямлені вгору.
Отже, розв’язком нерівності $x^{2} - 6 x + 8 > 0$ є проміжки:
$x \in (- \infty; 2) \cup (4; + \infty)$

Друга нерівність системи задає проміжок:
$x \in [0; 7)$

Знайдемо переріз отриманих проміжків:
$x \in ((- \infty; 2) \cup (4; + \infty)) \cap [0; 7) = [0; 2) \cup (4; 7)$

Випишемо всі цілі числа, що належать цій множині:

з проміжку $[0; 2)$ цілі числа: $0, 1$ ;
з проміжку $(4; 7)$ цілі числа: $5, 6$ .

Відповідь: $0, 1, 5, 6$ .

{x^{2} + 2 x - 3 \geq 0 x^{2} + x - 6 \leq 0

Розв’язання:

Розв’яжемо першу нерівність системи: $x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$ .
Знайдемо нулі квадратичного тричлена $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ :
$x_{1} + x_{2} = - 2, x_{1} \cdot x_{2} = - 3 ⟹ x_{1} = - 3, x_{2} = 1$

Оскільки гілки параболи напрямлені вгору, розв’язком нерівності є:
$x \in (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$

Розв’яжемо другу нерівність системи: $x^{2} + x - 6 \leq 0$ .
Знайдемо нулі квадратичного тричлена $x^{2} + x - 6 = 0$ :
$x_{1} + x_{2} = - 1, x_{1} \cdot x_{2} = - 6 ⟹ x_{1} = - 3, x_{2} = 2$

Оскільки гілки параболи напрямлені вгору, від’ємні та нульові значення відповідають проміжку між коренями:
$x \in [- 3; 2]$

Знайдемо переріз отриманих множин:
$x \in ((- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)) \cap [- 3; 2] = {- 3} \cup [1; 2]$

Визначимо цілі числа з отриманої множини розв’язків:

окреме число: $- 3$ ;
з проміжку $[1; 2]$ цілі числа: $1, 2$ .

Відповідь: $- 3, 1, 2$ .

№ 12.38. Знайдіть усі цілі розв’язки системи нерівностей:

{x^{2} - 4 x + 3 \geq 0 - 1 < x < 6

Розв’язання:

1) Розв’яжемо першу нерівність системи: $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$ .
Знайдемо нулі квадратичного тричлена $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ :

x_{1} + x_{2} = 4, x_{1} \cdot x_{2} = 3 ⟹ x_{1} = 1, x_{2} = 3

Оскільки парабола спрямована гілками вгору, розв’язком нерівності є:

x \in (- \infty; 1] \cup [3; + \infty)

2) Друга нерівність визначає проміжок:

x \in (- 1; 6)

3) Знайдемо переріз множин:

x \in ((- \infty; 1] \cup [3; + \infty)) \cap (- 1; 6) = (- 1; 1] \cup [3; 6)

4) Випишемо цілі числа, які належать цьому об’єднанню проміжків:

З проміжку $(- 1; 1]$ цілі числа: $0, 1$ .
З проміжку $[3; 6)$ цілі числа: $3, 4, 5$ .

Відповідь: $0, 1, 3, 4, 5$ .

{2 x^{2} + 7 x - 9 \geq 0 x^{2} - 9 \leq 0

Розв’язання:

1) Розв’яжемо першу нерівність системи: $2 x^{2} + 7 x - 9 \geq 0$ .
Знайдемо нулі квадратичного тричлена $2 x^{2} + 7 x - 9 = 0$ :

D = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9) = 49 + 72 = 121

x_{1} = \frac{- 7 - 11}{2 \cdot 2} = - 4, 5, x_{2} = \frac{- 7 + 11}{2 \cdot 2} = 1

Оскільки коефіцієнт $a = 2 > 0$ , гілки параболи спрямовані вгору, тому розв’язком нерівності є:

x \in (- \infty; - 4, 5] \cup [1; + \infty)

2) Розв’яжемо другу нерівність системи: $x^{2} - 9 \leq 0$ .
Розкладемо на множники: $(x - 3) (x + 3) \leq 0$ .
Нулями тричлена є числа $x_{1} = - 3$ та $x_{2} = 3$ .
Розв’язком нерівності є проміжок:

x \in [- 3; 3]

3) Знайдемо переріз двох множин розв’язків:

x \in ((- \infty; - 4, 5] \cup [1; + \infty)) \cap [- 3; 3]

Оскільки проміжок $(- \infty; - 4, 5]$ не має спільних точок із $[- 3; 3]$ , перерізом є:

x \in [1; 3]

4) Визначимо всі цілі числа з проміжку $[1; 3]$ :
Це числа $1, 2, 3$ .

Відповідь: $1, 2, 3$ .

№ 12.39. Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{x ^{2} - 8 x + 15}{( x - 4 ) ^{2}} \leq 0$

Розв’язання:

1) Знайдемо область допустимих значень (ОДЗ) змінної. Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:
$(x - 4)^{2} \neq = 0 ⟹ x - 4 \neq = 0 ⟹ x \neq = 4$

2) Для будь-якого $x \neq = 4$ вираз у знаменнику строго додатний: $(x - 4)^{2} > 0$ .
Отже, дріб буде недодатним ( $\leq 0$ ) тоді й тільки тоді, коли чисельник є недодатним:
$x^{2} - 8 x + 15 \leq 0$

3) Знайдемо нулі чисельника $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ :
$x_{1} + x_{2} = 8, x_{1} \cdot x_{2} = 15 ⟹ x_{1} = 3, x_{2} = 5$

4) Розв’язком нерівності $x^{2} - 8 x + 15 \leq 0$ є проміжок $[3; 5]$ .
Враховуючи обмеження ОДЗ ( $x \neq = 4$ ), виключаємо точку $x = 4$ :
$x \in [3; 4) \cup (4; 5]$

Відповідь: $[3; 4) \cup (4; 5]$ .

2) $\frac{x ^{2} + x - 2}{∣ x - 2∣} > 0$

Розв’язання:

1) Визначимо ОДЗ змінної. Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$∣ x - 2∣ \neq = 0 ⟹ x - 2 \neq = 0 ⟹ x \neq = 2$

2) Для будь-якого $x \neq = 2$ модуль у знаменнику є строго додатним: $∣ x - 2∣ > 0$ .
Тому дріб буде додатним ( $> 0$ ) тоді й тільки тоді, коли чисельник є додатним:
$x^{2} + x - 2 > 0$

3) Знайдемо нулі чисельника $x^{2} + x - 2 = 0$ :
$x_{1} + x_{2} = - 1, x_{1} \cdot x_{2} = - 2 ⟹ x_{1} = - 2, x_{2} = 1$

4) Нерівність $x^{2} + x - 2 > 0$ справджується на проміжках:
$x \in (- \infty; - 2) \cup (1; + \infty)$

5) Ураховуючи ОДЗ ( $x \neq = 2$ ), виключаємо точку $x = 2$ із проміжку $(1; + \infty)$ :
$x \in (- \infty; - 2) \cup (1; 2) \cup (2; + \infty)$

Відповідь: $(- \infty; - 2) \cup (1; 2) \cup (2; + \infty)$ .

№ 12.40. Знайдіть область допустимих значень змінної у виразі:

$x^{2} - 9 + \frac{1}{4 + 3 x - x ^{2}}$

Розв’язання:

Область допустимих значень (ОДЗ) визначається двома умовами:

1) Вираз під першим квадратним коренем має бути невід’ємним:
$x^{2} - 9 \geq 0$

2) Вираз під другим квадратним коренем у знаменнику дробу має бути строго додатним, оскільки знаменник не дорівнює нулю:
$4 + 3 x - x^{2} > 0$

Складемо та розв’яжемо систему нерівностей:

{x^{2} - 9 \geq 0 4 + 3 x - x^{2} > 0

1) Розв’яжемо першу нерівність $x^{2} - 9 \geq 0$ :

$(x - 3) (x + 3) \geq 0 ⟹ x \in (- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)$

2) Розв’яжемо другу нерівність $4 + 3 x - x^{2} > 0$ .

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ і змінимо знак нерівності на протилежний:

$x^{2} - 3 x - 4 < 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ :

$x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} \cdot x_{2} = - 4 ⟹ x_{1} = - 1, x_{2} = 4$

Отже, розв’язком нерівності є проміжок:

$x \in (- 1; 4)$

3) Знайдемо переріз отриманих множин розв’язків:

$x \in ((- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)) \cap (- 1; 4)$

Проміжок $(- \infty; - 3]$ не перетинається з $(- 1; 4)$ .
Перерізом проміжків $[3; + \infty)$ та $(- 1; 4)$ є проміжок $[3; 4)$ .

Отже, область допустимих значень змінної: $x \in [3; 4)$ .

Відповідь: $[3; 4)$ .

№ 12.41. Знайдіть область визначення функції:

$y = \frac{1}{x ^{2} - 16} + 8 x - x^{2} - 15$

Розв’язання:

Область визначення функції $D (y)$ визначається існуванням обох квадратних коренів:

1) Підкореневий вираз у знаменнику першого доданку має бути строго додатним:
$x^{2} - 16 > 0$

2) Підкореневий вираз у другому доданку має бути невід’ємним:
$8 x - x^{2} - 15 \geq 0$

Складемо та розв’яжемо систему нерівностей:

{x^{2} - 16 > 0 8 x - x^{2} - 15 \geq 0

1) Розв’яжемо першу нерівність $x^{2} - 16 > 0$ :
$(x - 4) (x + 4) > 0 ⟹ x \in (- \infty; - 4) \cup (4; + \infty)$

2) Розв’яжемо другу нерівність $8 x - x^{2} - 15 \geq 0$ .

Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} - 8 x + 15 \leq 0$

Знайдемо нулі рівняння $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ :
$x_{1} + x_{2} = 8, x_{1} \cdot x_{2} = 15 ⟹ x_{1} = 3, x_{2} = 5$

Отже, розв’язком нерівності є проміжок:
$x \in [3; 5]$

3) Знайдемо переріз знайдених множин розв’язків:
$x \in ((- \infty; - 4) \cup (4; + \infty)) \cap [3; 5]$

Проміжок $(- \infty; - 4)$ не має спільних точок із $[3; 5]$ .
Перерізом проміжків $(4; + \infty)$ та $[3; 5]$ є напівінтервал $(4; 5]$ .

Отже, областю визначення функції є $x \in (4; 5]$ .

Відповідь: $(4; 5]$ .
№ 12.42. За яких значень $a$ не має коренів рівняння:

1) $x^{2} - (a - 2) x + 4 = 0$ ;

Розв’язання:

Рівняння є квадратним відносно $x$ при будь-яких значеннях $a$ , оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 \neq = 0$ . Квадратне рівняння не має коренів тоді і тільки тоді, коли його дискримінант $D < 0$ .

Обчислимо дискримінант рівняння:

$D = (- (a - 2))^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (a - 2)^{2} - 16 = a^{2} - 4 a + 4 - 16 = a^{2} - 4 a - 12$

Складемо нерівність:

$a^{2} - 4 a - 12 < 0$

Знайдемо нулі квадратного тричлена з рівняння $a^{2} - 4 a - 12 = 0$ :

${a_{1} + a_{2} = 4 a_{1} \cdot a_{2} = - 12 ⟹ a_{1} = - 2, a_{2} = 6$

Гілки параболи $y = a^{2} - 4 a - 12$ напрямлені вгору. Значення тричлена від’ємні ( $< 0$ ) на проміжку між його коренями.

Отже, $a \in (- 2; 6)$ .

Відповідь: $a \in (- 2; 6)$ .

2) $(a + 1) x^{2} + 5 a x + 3 a = 0$ ?

Розв’язання:

Розглянемо два випадки залежно від коефіцієнта при $x^{2}$ :

1) Якщо $a + 1 = 0 ⟹ a = - 1$ :

Підставимо $a = - 1$ у початкове рівняння:

$(- 1 + 1) x^{2} + 5 \cdot (- 1) x + 3 \cdot (- 1) = 0 ⟹ - 5 x - 3 = 0 ⟹ - 5 x = 3 ⟹ x = - 0, 6$

У цьому випадку рівняння є лінійним і має один корінь. Отже, $a = - 1$ не задовольняє умову задачі.

2) Якщо $a + 1 \neq = 0 ⟹ a \neq = - 1$ :

Рівняння є квадратним. Воно не має коренів, якщо дискримінант $D < 0$ .

Обчислимо дискримінант:

$D = (5 a)^{2} - 4 \cdot (a + 1) \cdot 3 a = 25 a^{2} - 12 a (a + 1) = 25 a^{2} - 12 a^{2} - 12 a = 13 a^{2} - 12 a$

Складемо нерівність:

$13 a^{2} - 12 a < 0$

$a (13 a - 12) < 0$

Знайдемо нулі виразу:

$a_{1} = 0, 13 a - 12 = 0 ⟹ a_{2} = \frac{12}{13}$

Оскільки коефіцієнт при $a^{2}$ дорівнює $13 > 0$ , гілки параболи напрямлені вгору, і вираз $a (13 a - 12) < 0$ при $a \in (0; \frac{12}{13})$ .

Зазначимо, що значення $a = - 1$ не належить даному проміжку, тому умова $a \neq = - 1$ виконується.

Відповідь: $a \in (0; \frac{12}{13})$ .

№ 12.43. За яких значень $a$ рівняння має два різних корені:

1) $x^{2} - a x + (2 a - 3) = 0$ ;

Розв’язання:

Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 \neq = 0$ , тому рівняння є квадратним за будь-яких значень $a$ . Квадратне рівняння має два різних корені тоді і тільки тоді, коли його дискримінант $D > 0$ .

Обчислимо дискримінант:

D = (- a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 a - 3) = a^{2} - 8 a + 12

Складемо нерівність:

a^{2} - 8 a + 12 > 0

Знайдемо корені рівняння $a^{2} - 8 a + 12 = 0$ :

{a_{1} + a_{2} = 8 a_{1} \cdot a_{2} = 12 ⟹ a_{1} = 2, a_{2} = 6

Оскільки коефіцієнт при $a^{2}$ дорівнює $1 > 0$ , значення тричлена є додатними поза проміжком між коренями:

a \in (- \infty; 2) \cup (6; + \infty)

Відповідь: $a \in (- \infty; 2) \cup (6; + \infty)$ .

2) $a x^{2} + (3 a - 2) x + a = 0$ ?

Розв’язання:

Рівняння має два різних корені тоді і тільки тоді, коли воно є квадратним ( $a \neq = 0$ ) і його дискримінант $D > 0$ .

1) Умова квадратичності: $a \neq = 0$ .

2) Умова додатності дискримінанта ( $D > 0$ ):

D = (3 a - 2)^{2} - 4 \cdot a \cdot a = (9 a^{2} - 12 a + 4) - 4 a^{2} = 5 a^{2} - 12 a + 4

Складемо нерівність:

5 a^{2} - 12 a + 4 > 0

Знайдемо нулі квадратного тричлена $5 a^{2} - 12 a + 4 = 0$ :

D_{a} = (- 12)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64

a_{1} = \frac{12 - 64}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = 0, 4

a_{2} = \frac{12 + 64}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2

Розв’язком нерівності $5 a^{2} - 12 a + 4 > 0$ є:

a \in (- \infty; 0, 4) \cup (2; + \infty)

Ураховуючи умову $a \neq = 0$ , вилучимо точку $0$ з отриманого проміжку:

a \in (- \infty; 0) \cup (0; 0, 4) \cup (2; + \infty)

Відповідь: $a \in (- \infty; 0) \cup (0; 0, 4) \cup (2; + \infty)$ .

№ 12.44. За яких значень $a$ рівняння:

1) $x^{2} - (a + 1) x + 9 = 0$ не має коренів;

Розв’язання:

Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 \neq = 0$ , тому рівняння завжди є квадратним. Воно не має коренів, якщо дискримінант $D < 0$ .

Обчислимо дискримінант:
$D = (- (a + 1))^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = (a + 1)^{2} - 36$

Складемо нерівність:
$(a + 1)^{2} - 36 < 0$

$(a + 1 - 6) (a + 1 + 6) < 0$

$(a - 5) (a + 7) < 0$

Нулі виразу: $a_{1} = - 7$ , $a_{2} = 5$ .

Нерівність справджується для значень $a$ , що лежать усередині проміжку між коренями:
$a \in (- 7; 5)$

Відповідь: $a \in (- 7; 5)$ .

2) $a x^{2} + (2 a - 1) x + a = 0$ має два різних корені?

Розв’язання:

Рівняння має два різних корені, якщо воно є квадратним ( $a \neq = 0$ ) та його дискримінант $D > 0$ .

1) Умова квадратичності: $a \neq = 0$ .

2) Умова додатності дискримінанта ( $D > 0$ ):
$D = (2 a - 1)^{2} - 4 \cdot a \cdot a = 4 a^{2} - 4 a + 1 - 4 a^{2} = 1 - 4 a$

Складемо нерівність:
$1 - 4 a > 0$

$- 4 a > - 1$

$a < \frac{1}{4}$

Ураховуючи умову $a \neq = 0$ , виключаємо число $0$ з проміжку $(- \infty; \frac{1}{4})$ :
$a \in (- \infty; 0) \cup (0; \frac{1}{4})$

Відповідь: $a \in (- \infty; 0) \cup (0; \frac{1}{4})$ .

№ 12.45. За яких значень $m$ розв’язком нерівності є будь-яке число:

1) $x^{2} - (m + 2) x + (8 m + 1) > 0$ ;

Розв’язання:

Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ , тому графіком відповідної квадратичної функції $y = x^{2} - (m + 2) x + (8 m + 1)$ є парабола з гілками, спрямованими вгору.

Нерівність $y > 0$ виконується для будь-якого дійсного значення $x \in R$ тоді і тільки тоді, коли парабола не перетинає вісь $x$ і не дотикається до неї, тобто дискримінант рівняння $D < 0$ .

Обчислимо дискримінант:

D = (- (m + 2))^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8 m + 1) = m^{2} + 4 m + 4 - 32 m - 4 = m^{2} - 28 m

Складемо нерівність:

m^{2} - 28 m < 0

m (m - 28) < 0

Нулі виразу: $m_{1} = 0$ , $m_{2} = 28$ .

Розв’язком нерівності є проміжок між нулями:

m \in (0; 28)

Відповідь: $m \in (0; 28)$ .

2) $m x^{2} - 4 x + m + 3 < 0$ .

Розв’язання:

Розглянемо випадки залежно від коефіцієнта при $x^{2}$ :

1) Якщо $m = 0$ :

Нерівність набуває вигляду:

0 \cdot x^{2} - 4 x + 0 + 3 < 0 ⟹ - 4 x + 3 < 0 ⟹ - 4 x < - 3 ⟹ x > 0, 75

Розв’язком є проміжок $(0, 75; + \infty)$ , а не множина всіх дійсних чисел $R$ . Отже, $m = 0$ не задовольняє умову.

2) Якщо $m \neq = 0$ :

Розв’язком квадратної нерівності $m x^{2} - 4 x + m + 3 < 0$ є всі дійсні числа ( $x \in R$ ) тоді і тільки тоді, коли виконуються дві умови одночасно:

Гілки параболи спрямовані вниз, тобто $m < 0$ ;
Парабола лежить суворо нижче від осі $x$ (не перетинає її), тобто дискримінант $D < 0$ .

Складемо систему нерівностей:

{m < 0 D < 0

Обчислимо дискримінант $D$ :

D = (- 4)^{2} - 4 \cdot m \cdot (m + 3) = 16 - 4 m^{2} - 12 m = - 4 m^{2} - 12 m + 16

Розв’яжемо нерівність $D < 0$ :

- 4 m^{2} - 12 m + 16 < 0

Поділимо обидві частини нерівності на $- 4$ (при цьому змінюється знак нерівності на протилежний):

m^{2} + 3 m - 4 > 0

Знайдемо корені рівняння $m^{2} + 3 m - 4 = 0$ :

{m_{1} + m_{2} = - 3 m_{1} \cdot m_{2} = - 4 ⟹ m_{1} = - 4, m_{2} = 1

Розв’язок нерівності $m^{2} + 3 m - 4 > 0$ :

m \in (- \infty; - 4) \cup (1; + \infty)

Знайдемо переріз отриманої множини з умовою $m < 0$ :

{m < 0 m \in (- \infty; - 4) \cup (1; + \infty) ⟹ m \in (- \infty; - 4)

Відповідь: $m \in (- \infty; - 4)$ .

№ 12.46. Побудуйте графік функції $y = - x^{2} + 2 x + 8$ . За графіком знайдіть:
1) область значень функції;
2) проміжок зростання функції.

Розв’язання:

Дослідження функції та побудова графіка:

1) Область визначення функції: $D (y) = (- \infty; + \infty)$ .

2) Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вниз, оскільки $a = - 1 < 0$ .

3) Координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = 1$

$y_{0} = y (1) = - (1)^{2} + 2 \cdot 1 + 8 = - 1 + 2 + 8 = 9$

Вершина параболи — точка $(1; 9)$ .

4) Точки перетину з осями координат:

з віссю $O x$ ( $y = 0$ ):

$- x^{2} + 2 x + 8 = 0$

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

За теоремою Вієта: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 4$ .

Отримуємо точки $(- 2; 0)$ та $(4; 0)$ .

з віссю $O y$ ( $x = 0$ ):

$y (0) = 8$

Отримуємо точку $(0; 8)$ .

5) Складемо таблицю значень функції для побудови графіка:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$0$	$5$	$8$	$9$	$8$	$5$	$0$

Позначимо отримані точки на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією.

Властивості функції за графіком:

1) Найбільше значення функції дорівнює $y = 9$ , а вітки параболи напрямлені вниз, тому область значень функції:

$E (y) = (- \infty; 9]$

2) Графік піднімається вгору при зміні $x$ від $- \infty$ до $1$ , отже, функція зростає на проміжку $(- \infty; 1]$ .

Відповідь:

1) $E (y) = (- \infty; 9]$ ;

2) $(- \infty; 1]$ .
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

12.47. Доведіть, що $26 x^{2} - 10 x + 2 x y + y^{2} + 2 > 0$ за будь-яких значень $x$ та $y$ .

Розв’язання:

Перетворимо вираз у лівій частині нерівності, виділивши повні квадрати:

1) Розкладемо доданок $26 x^{2}$ як $x^{2} + 25 x^{2}$ , а число $2$ як $1 + 1$ :

$26 x^{2} - 10 x + 2 x y + y^{2} + 2 = (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + (25 x^{2} - 10 x + 1) + 1$

2) Застосуємо формули скороченого множення (квадрат суми та квадрат різниці):

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = (x + y)^{2}$

$25 x^{2} - 10 x + 1 = (5 x - 1)^{2}$

3) Тоді вираз набуває вигляду:

$(x + y)^{2} + (5 x - 1)^{2} + 1$

4) Проаналізуємо отриману суму для будь-яких дійсних значень $x$ та $y$ :

Квадрат будь-якого виразу є невід’ємним: $(x + y)^{2} \geq 0$ та $(5 x - 1)^{2} \geq 0$ ;
Сума двох невід’ємних чисел і додатного числа $1$ завжди є строго більшою за нуль:

$(x + y)^{2} + (5 x - 1)^{2} + 1 \geq 0 + 0 + 1 = 1 > 0$

Отже, $26 x^{2} - 10 x + 2 x y + y^{2} + 2 > 0$ для будь-яких значень $x$ та $y$ , що й треба було довести.

Відповідь: доведено.

12.48. Одним з коренів рівняння $x^{3} - 2 x^{2} - x + a = 0$ є число $- 1$ . Знайдіть решту коренів цього рівняння.

Розв’язання:

1) Знайдемо значення параметра $a$ . Оскільки $x = - 1$ є коренем рівняння, підставимо його у початкове рівняння:

$(- 1)^{3} - 2 \cdot (- 1)^{2} - (- 1) + a = 0$

$- 1 - 2 \cdot 1 + 1 + a = 0$

$- 2 + a = 0 ⟹ a = 2$

2) Підставимо знайдене значення $a = 2$ у рівняння:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = 0$

3) Розкладемо ліву частину рівняння на множники методом групування:

$(x^{3} - 2 x^{2}) - (x - 2) = 0$

$x^{2} (x - 2) - (x - 2) = 0$

$(x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

$(x - 2) (x - 1) (x + 1) = 0$

4) Прирівняємо кожний множник до нуля:

x - 2 = 0 x - 1 = 0 x + 1 = 0 ⟹ x_{2} = 2 x_{3} = 1 x_{1} = - 1 (відомий корінь)

Отже, решта коренів рівняння: $x = 1$ та $x = 2$ .

Відповідь: $1$ ; $2$ .

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

12.49. Бабусі Мар’яні призначено ліки, діючу речовину яких треба вживати по $0, 5 г$ $3$ рази на добу протягом $14$ днів. Одна упаковка ліків містить $10$ пігулок по $0, 25 г$ діючої речовини в кожній пігулці. Якої найменшої кількості упаковок цих ліків вистачить на весь курс лікування?

Розв’язання:

1) Обчислимо добову норму діючої речовини для бабусі Мар’яни:
$0, 5 \cdot 3 = 1, 5 (г)$

2) Знайдемо загальну масу діючої речовини, необхідну на весь курс лікування ( $14$ днів):
$1, 5 \cdot 14 = 21 (г)$

3) Обчислимо масу діючої речовини в одній упаковці ліків:
$10 \cdot 0, 25 = 2, 5 (г)$

4) Визначимо кількість упаковок ліків, необхідних для лікування:
$N = \frac{21}{2 , 5} = 8, 4$

5) Оскільки кількість упаковок має бути цілим числом, то округлюємо результат у більшу сторону, бо $8$ упаковок містять лише $8 \cdot 2, 5 = 20 г$ речовини, чого недостатньо. Отже, найменша кількість упаковок дорівнює $9$ .

Відповідь: $9$ упаковок.

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

12.50. Чи є пара чисел $(- 1; 2)$ розв’язком системи рівнянь:

\begin{cases}
x + 3y = 5 \
4x - 5y = -14;
\end{cases}

2) $$ \begin{cases} 3y - x = 7 \\ 4x + 5y = 5\text{?} \end{cases}

Розв’язання:

Пара чисел $(x; y) = (- 1; 2)$ є розв’язком системи рівнянь, якщо при підстановці $x = - 1$ та $y = 2$ кожне рівняння системи перетворюється на правильну числову рівність.

1) Підставимо $x = - 1$ та $y = 2$ у першу систему:

{- 1 + 3 \cdot 2 = 5 4 \cdot (- 1) - 5 \cdot 2 = - 14 ⟹ {- 1 + 6 = 5 - 4 - 10 = - 14 ⟹ {5 = 5 (істинно) - 14 = - 14 (істинно)

Обидві рівності правильні, тому пара чисел $(- 1; 2)$ є розв’язком системи.

2) Підставимо $x = - 1$ та $y = 2$ у другу систему:

{3 \cdot 2 - (- 1) = 7 4 \cdot (- 1) + 5 \cdot 2 = 5 ⟹ {6 + 1 = 7 - 4 + 10 = 5 ⟹ {7 = 7 (істинно) 6 = 5 (хибно)

Друге рівняння перетворилося на неправильну рівність ( $6 \neq = 5$ ), тому пара чисел $(- 1; 2)$ не є розв’язком системи.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

12.51. Розв’яжіть систему рівнянь графічно:

1) ${2 x + 7 y = - 3 3 x - y = 7$ ;

2) ${x + 5 y = - 16 3 x - 2 y = 3$ .

Розв’язання:

1) Розв’яжемо систему графічно:

{2 x + 7 y = - 3 3 x - y = 7

Виразимо $y$ через $x$ для кожного з рівнянь:

1) $2 x + 7 y = - 3 ⟹ 7 y = - 2 x - 3 ⟹ y = \frac{- 2 x - 3}{7}$ ;

2) $3 x - y = 7 ⟹ y = 3 x - 7$ .

Складемо таблиці значень для побудови прямих:

Для прямої $2 x + 7 y = - 3$ :

$x$	$- 5$	$2$	$9$
$y$	$1$	$- 1$	$- 3$

Для прямої $3 x - y = 7$ :

$x$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 4$	$- 1$	$2$

Побудуємо прямі на координатній площині за знайденими точками. Точка перетину прямих має координати $(2; - 1)$ .

Перевірка:

$2 \cdot 2 + 7 \cdot (- 1) = 4 - 7 = - 3$ ;

$3 \cdot 2 - (- 1) = 6 + 1 = 7$ .

Відповідь: $(2; - 1)$ .

2) Розв’яжемо систему графічно:

{x + 5 y = - 16 3 x - 2 y = 3

Виразимо $y$ через $x$ для кожного з рівнянь:

1) $x + 5 y = - 16 ⟹ 5 y = - x - 16 ⟹ y = \frac{- x - 16}{5}$ ;

2) $3 x - 2 y = 3 ⟹ 2 y = 3 x - 3 ⟹ y = \frac{3 x - 3}{2}$ .

Складемо таблиці значень для побудови прямих:

Для прямої $x + 5 y = - 16$ :

$x$	$- 6$	$- 1$	$4$
$y$	$- 2$	$- 3$	$- 4$

Для прямої $3 x - 2 y = 3$ :

$x$	$- 1$	$1$	$3$
$y$	$- 3$	$0$	$3$

Нанесемо точки на координатну площину та проведемо прямі. Точка перетину прямих має координати $(- 1; - 3)$ .

Перевірка:

$- 1 + 5 \cdot (- 3) = - 1 - 15 = - 16$ ;

$3 \cdot (- 1) - 2 \cdot (- 3) = - 3 + 6 = 3$ .

Відповідь: $(- 1; - 3)$ .
ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

№ 12.52. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

{x + 7 y = - 5 3 x - 4 y = 10

Розв’язання:

З першого рівняння системи виразимо змінну $x$ через $y$ :
$x = - 5 - 7 y$

Підставимо отриманий вираз для $x$ у друге рівняння системи:
$3 (- 5 - 7 y) - 4 y = 10$

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:
$- 15 - 21 y - 4 y = 10$
$- 25 y - 15 = 10$
$- 25 y = 10 + 15$
$- 25 y = 25$
$y = \frac{25}{- 25}$
$y = - 1$

Знайдемо значення змінної $x$ , підставивши $y = - 1$ у вираз $x = - 5 - 7 y$ :
$x = - 5 - 7 \cdot (- 1) = - 5 + 7 = 2$

Отже, розв’язком системи є пара чисел $(2; - 1)$ .

Відповідь: $(2; - 1)$ .

{3 x + 4 y = - 19 7 x - y = - 3

Розв’язання:

З другого рівняння системи виразимо змінну $y$ через $x$ :
$- y = - 3 - 7 x ⟹ y = 7 x + 3$

Підставимо отриманий вираз для $y$ у перше рівняння системи:
$3 x + 4 (7 x + 3) = - 19$

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:
$3 x + 28 x + 12 = - 19$
$31 x + 12 = - 19$
$31 x = - 19 - 12$
$31 x = - 31$
$x = \frac{- 31}{31}$
$x = - 1$

Знайдемо значення змінної $y$ , підставивши $x = - 1$ у вираз $y = 7 x + 3$ :
$y = 7 \cdot (- 1) + 3 = - 7 + 3 = - 4$

Отже, розв’язком системи є пара чисел $(- 1; - 4)$ .

Відповідь: $(- 1; - 4)$ .

№ 12.53. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:

{3 x + 2 y = 2 5 x - 2 y = - 18

Розв’язання:

Коефіцієнти при змінній $y$ у рівняннях системи є протилежними числами ( $2$ та $- 2$ ). Додамо почленно ліві й праві частини двох рівнянь системи:

$(3 x + 2 y) + (5 x - 2 y) = 2 + (- 18)$

$3 x + 5 x + 2 y - 2 y = 2 - 18$

$8 x = - 16$

$x = \frac{- 16}{8}$

$x = - 2$

Підставимо отримане значення $x = - 2$ у перше рівняння системи:

$3 \cdot (- 2) + 2 y = 2$

$- 6 + 2 y = 2$

$2 y = 2 + 6$

$2 y = 8$

$y = \frac{8}{2}$

$y = 4$

Отже, розв’язком системи є пара чисел $(- 2; 4)$ .

Відповідь: $(- 2; 4)$ .

{7 x + 5 y = 11 3 x + 5 y = - 1

Розв’язання:

Помножимо друге рівняння системи на $- 1$ :

{7 x + 5 y = 11 - 3 x - 5 y = 1

Додамо почленно ліві й праві частини двох рівнянь системи:

$(7 x + 5 y) + (- 3 x - 5 y) = 11 + 1$

$7 x - 3 x + 5 y - 5 y = 12$

$4 x = 12$

$x = \frac{12}{4}$

$x = 3$

Підставимо отримане значення $x = 3$ у друге рівняння початкової системи:

$3 \cdot 3 + 5 y = - 1$

$9 + 5 y = - 1$

$5 y = - 1 - 9$

$5 y = - 10$

$y = \frac{- 10}{5}$

$y = - 2$

Отже, розв’язком системи є пара чисел $(3; - 2)$ .

Відповідь: $(3; - 2)$ .

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ — ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

№ 12.54. Відомо, що числа $a$ , $b$ і $a + b$ є раціональними. Чи можна стверджувати, що числа $a$ і $b$ теж раціональні?

Розв’язання:

Розглянемо два можливих випадки значення виразу $a + b$ :

1) Якщо $a + b = 0$ , то оскільки за означенням арифметичного квадратного кореня $a \geq 0$ та $b \geq 0$ , дана сума дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли $a = 0$ і $b = 0$ . Оскільки число $0 \in Q$ , числа $a$ і $b$ є раціональними.

2) Якщо $a + b \neq = 0$ , позначимо $c = a + b$ , де $c \in Q$ і $c \neq = 0$ .

Скористаємося формулою скороченого множення для різниці квадратів:

(a - b) (a + b) = (a)^{2} - (b)^{2} = a - b

Оскільки числа $a$ та $b$ за умовою є раціональними ( $a \in Q$ , $b \in Q$ ), то їхня різниця $a - b$ також є раціональним числом ( $a - b \in Q$ ).

Оскільки $a + b = c \neq = 0$ , виразимо різницю $a - b$ :

a - b = \frac{a - b}{a + b} = \frac{a - b}{c}

Частка двох раціональних чисел $a - b$ та $c$ ( $c \neq = 0$ ) є раціональним числом. Позначимо це число як $d = a - b$ , де $d \in Q$ .

Складемо систему двох лінійних рівнянь відносно $a$ та $b$ :

{a + b = c a - b = d

Додамо почленно рівняння системи:

2 a = c + d ⟹ a = \frac{c + d}{2}

Оскільки $c \in Q$ та $d \in Q$ , то сума $c + d$ та її півсума $\frac{c + d}{2}$ є раціональними числами, отже, $a \in Q$ .

Віднімемо почленно від першого рівняння друге:

2 b = c - d ⟹ b = \frac{c - d}{2}

Оскільки $c \in Q$ та $d \in Q$ , то різниця $c - d$ та її піврізниця $\frac{c - d}{2}$ є раціональними числами, отже, $b \in Q$ .

Таким чином, у всіх випадках числа $a$ і $b$ є раціональними.

Відповідь: так, можна стверджувати, що числа $a$ і $b$ теж раціональні.

12. Квадратна нерівність

Теги статті:

До уроку