Сформулюйте властивості функції .
Квадратична функція () має такі властивості:
1) Область визначення: .
2) Графік: парабола з вершиною у точці , де абсциса вершини обчислюється за формулою , а ордината — .
3) Напрямок гілок параболи:
- якщо , гілки спрямовані вгору;
- якщо , гілки спрямовані вниз.
4) Область значень:
- якщо , то ;
- якщо , то E(y) = (-\infty; y_{\text{в}}\].
5) Нулі функції: значення , які є коренями квадратного рівняння .
6) Проміжки монотонності:
- якщо , функція спадає на проміжку (-\infty; x_{\text{в}}\] і зростає на проміжку ;
- якщо , функція зростає на проміжку (-\infty; x_{\text{в}}\] і спадає на проміжку .
7) Найбільше та найменше значення:
- якщо , функція має найменше значення при (найбільшого значення немає);
- якщо , функція має найбільше значення при (найменшого значення немає).
№ 11.1. (Усно.) Яка з функцій є квадратичною:
За означенням, квадратичною є функція вигляду , де — змінна, — числа, причому .
1) ;
Розв’язання: дане рівняння має вигляд , де , , . Отже, функція є квадратичною.
2) ;
Розв’язання: це лінійна функція (найвищий степінь змінної дорівнює ). Функція не є квадратичною.
3) ;
Розв’язання: має вигляд , де , , . Отже, функція є квадратичною.
4) ;
Розв’язання: змінна знаходиться у знаменнику дробу (це дробово-раціональна функція). Вона не є квадратичною.
5) ;
Розв’язання: найвищий степінь змінної дорівнює (це кубічна функція). Вона не є квадратичною.
6) ?
Розв’язання: має вигляд , де , , . Отже, функція є квадратичною.
Відповідь: квадратичними є функції під номерами 1), 3), 6).
№ 11.2. Випишіть функції, що є квадратичними:
1)
Лінійна функція (степінь змінної дорівнює ). Не є квадратичною.
2)
Квадратична функція вигляду , де , , .
3)
Квадратична функція вигляду , де , , .
4)
Кубічна функція (найвищий степінь ). Не є квадратичною.
5)
Містить змінну у знаменнику. Не є квадратичною.
6)
Квадратична функція вигляду , де , , .
Відповідь: квадратичними є функції 2) ; 3) ; 6) .
№ 11.3. Графіком якої з наведених функцій є парабола? Укажіть напрямок її гілок.
Розв’язання:
Графіком квадратичної функції () є парабола. Якщо , її гілки спрямовані вгору, а якщо — вниз.
1) — функція є оберненою пропорційністю, її графіком є гіпербола;
2) — квадратична функція (), графіком є парабола, гілки якої спрямовані вгору;
3) — лінійна функція, її графіком є пряма;
4) — квадратична функція (), графіком є парабола, гілки якої спрямовані вниз;
5) — квадратична функція (), графіком є парабола, гілки якої спрямовані вгору;
6) — квадратична функція (), графіком є парабола, гілки якої спрямовані вниз.
Відповідь:
2) парабола, гілки спрямовані вгору;
4) парабола, гілки спрямовані вниз;
5) парабола, гілки спрямовані вгору;
6) парабола, гілки спрямовані вниз.
№ 11.4. Чи належить графіку функції точка:
Щоб перевірити, чи належить точка графіку функції, підставимо координату у формулу та порівняємо отримане значення з координатою .
1) ;
Розв’язання:
Підставимо :
Отримали , що відповідає ординаті точки .
Відповідь: точка належить графіку функції.
2) ;
Розв’язання:
Підставимо :
Отримане значення .
Відповідь: точка не належить графіку функції.
3) ;
Розв’язання:
Підставимо :
Отримане значення .
Відповідь: точка не належить графіку функції.
4) ?
Розв’язання:
Підставимо :
Отримали , що відповідає ординаті точки .
Відповідь: точка належить графіку функції.
№ 11.5. Чи належить графіку функції точка:
1) ;
Підставимо значення координат точки у формулу функції:
Відповідь: точка не належить графіку функції.
2) ;
Підставимо значення координат точки у формулу функції:
Відповідь: точка належить графіку функції.
3) ;
Підставимо значення координат точки у формулу функції:
Відповідь: точка належить графіку функції.
4) ?
Підставимо значення координат точки у формулу функції:
Відповідь: точка не належить графіку функції.
№ 11.6. Покажіть схематично, як розташовується в координатній площині графік функції:
1) ;
Розв’язання:
Графіком функції є парабола з вершиною в початку координат .
Оскільки коефіцієнт , гілки параболи спрямовані вгору.
Графік симетричний відносно осі ординат і розташований у I та II координатних чвертях. Порівняно з графіком функції , даний графік розтягнутий уздовж осі (звужений до осі ) у разів.
2) .
Розв’язання:
Графіком функції є парабола з вершиною в початку координат .
Оскільки коефіцієнт , гілки параболи спрямовані вниз.
Графік симетричний відносно осі ординат і розташований у III та IV координатних чвертях. Порівняно з графіком функції , даний графік розтягнутий уздовж осі (звужений до осі ) у разів.
№ 11.7. Покажіть схематично, як розташовується в координатній площині графік функції:
1) ;
Графіком функції є парабола з вершиною в початку координат .
Оскільки коефіцієнт , гілки параболи напрямлені вниз.
Графік розташований у III та IV координатних чвертях (проходить через початок координат) симетрично відносно осі ординат .
2) .
Графіком функції є парабола з вершиною в початку координат .
Оскільки коефіцієнт , гілки параболи напрямлені вгору.
Графік розташований у I та II координатних чвертях (проходить через початок координат) симетрично відносно осі ординат .
№ 11.8. Дано функцію .
Розв’язання:
1) Обчислимо значення функції для кожного зазначеного значення :
;
;
;
;
;
.
Заповнена таблиця:
2) Позначимо точки , , , , , , , , , , на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією. Отримаємо параболу з вершиною в точці та вітками, напрямленими вгору.
3) Знайдемо за графіком значення функції:
;
;
.
4) Знайдемо за графіком такі значення , що:
-
якщо , то ;
-
якщо , то .
5) Проміжки монотонності функції:
-
функція спадає на проміжку ;
-
функція зростає на проміжку .
Відповідь:
1) таблицю заповнено;
3) , , ;
4) при , при ;
5) спадає на , зростає на .
№ 11.9. Дано функцію .
1) Заповніть у зошиті таблицю:
Обчислимо значення функції для кожного значення :
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
2) Побудуйте графік функції:
Позначимо точки , , , , , , , , на координатній площині та з’єднаємо їх плавною лінією. Отримаємо параболу з вершиною в початку координат та гілками, спрямованими вгору.
3) Знайдіть за графіком , , :
- ;
- ;
- .
4) Знайдіть за графіком такі значення , що , :
- Якщо , то ;
- Якщо , то .
5) Знайдіть проміжок зростання і проміжок спадання функції:
- Функція зростає на проміжку .
- Функція спадає на проміжку .
Відповідь: таблицю заповнено; , , ; при , при ; функція зростає на , спадає на .
№ 11.10. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіка функції із прямою:
1) ;
Розв’язання:
Складемо рівняння для знаходження абсцис точок перетину:
Оскільки , координати точок перетину дорівнюють та .
Відповідь: та .
2) ;
Розв’язання:
Складемо рівняння для знаходження абсцис точок перетину:
Квадрат дійсного числа не може бути від’ємним (), тому рівняння не має дійсних коренів. Отже, графік функції та пряма не перетинаються.
Відповідь: точок перетину немає.
3) ;
Розв’язання:
Складемо рівняння для знаходження абсцис точок перетину:
\begin{array}{l} x = 0 \\ x + 2 = 0 \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} x_1 = 0 \\ x_2 = -2 \end{array} \right.$$ Знайдемо відповідні значення ординат: - якщо $x_1 = 0$, то $y_1 = 4 \cdot 0 = 0$; - якщо $x_2 = -2$, то $y_2 = 4 \cdot (-2) = -8$. **Відповідь:** $(0; 0)$ та $(-2; -8)$. 4) $y = -6x$. **Розв'язання:** Складемо рівняння для знаходження абсцис точок перетину: $$-2x^2 = -6x$$ $$2x^2 - 6x = 0$$ $$2x(x - 3) = 0$$ $$\left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x - 3 = 0 \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} x_1 = 0 \\ x_2 = 3 \end{array} \right.$$ Знайдемо відповідні значення ординат: - якщо $x_1 = 0$, то $y_1 = -6 \cdot 0 = 0$; - якщо $x_2 = 3$, то $y_2 = -6 \cdot 3 = -18$. **Відповідь:** $(0; 0)$ та $(3; -18)$. **№ 11.11. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіка функції $y = 5x^2$ із прямою:** 1) $y = 20$; **Розв'язання:** Складемо рівняння для знаходження абсцис точок перетину: $$5x^2 = 20$$ $$x^2 = 4$$ $$x_1 = -2, \quad x_2 = 2$$ Оскільки $y = 20$, координати точок перетину дорівнюють $(-2; 20)$ та $(2; 20)$. **Відповідь:** $(-2; 20)$ та $(2; 20)$. 2) $y = -5$; **Розв'язання:** Складемо рівняння для знаходження абсцис точок перетину: $$5x^2 = -5$$ $$x^2 = -1$$ Рівняння не має розв'язків у множині дійсних чисел, оскільки $x^2 \ge 0$. **Відповідь:** точок перетину немає. 3) $y = 10x$; **Розв'язання:** Складемо рівняння для знаходження абсцис точок перетину: $$5x^2 = 10x$$ $$5x^2 - 10x = 0$$ $$5x(x - 2) = 0$$
\left[
\begin{array}{l}
x = 0 \
x - 2 = 0
\end{array}
\right.
\implies
\left[
\begin{array}{l}
x_1 = 0 \
x_2 = 2
\end{array}
\right.
\left[
\begin{array}{l}
x = 0 \
x + 1 = 0
\end{array}
\right.
\implies
\left[
\begin{array}{l}
x_1 = 0 \
x_2 = -1
\end{array}
\right.
\begin{cases}
x_1 + x_2 = 7 \
x_1 \cdot x_2 = 10
\end{cases}
\implies x_1 = 2, \quad x_2 = 5
D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25
x_1 = \dfrac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 - 5}{4} = -1
x_2 = \dfrac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 + 5}{4} = 1{,}5
Точки перетину: $(-1; 0)$ та $(1{,}5; 0)$. **Відповідь:** з віссю $Oy$: $(0; -3)$; з віссю $Ox$: $(-1; 0)$ та $(1{,}5; 0)$. 3) $y = -x^2 + 8x + 9$; **Розв'язання:** - З віссю ординат ($Oy$): покладаємо $x = 0$, тоді $y = -0^2 + 8 \cdot 0 + 9 = 9$. Точка перетину: $(0; 9)$. - З віссю абсцис ($Ox$): покладаємо $y = 0$, тоді $-x^2 + 8x + 9 = 0 \iff x^2 - 8x - 9 = 0$. За теоремою Вієта:\begin{cases}
x_1 + x_2 = 8 \
x_1 \cdot x_2 = -9
\end{cases}
\implies x_1 = -1, \quad x_2 = 9
D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49
x_1 = \dfrac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \dfrac{-5 - 7}{6} = -2
x_2 = \dfrac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \dfrac{-5 + 7}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}
Точки перетину: $(-2; 0)$ та $\left(\dfrac{1}{3}; 0\right)$. **Відповідь:** з віссю $Oy$: $(0; 2)$; з віссю $Ox$: $(-2; 0)$ та $\left(\dfrac{1}{3}; 0\right)$. **№ 11.15. Не виконуючи побудови, знайдіть точки перетину графіка квадратичної функції з осями координат:** 1) $y = x^2 + 4x - 5$ **Розв'язання:** Знайдемо точку перетину з віссю ординат ($Oy$), підставивши $x = 0$: $$y = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$$ Отже, графік перетинає вісь ординат у точці $(0; -5)$. Знайдемо точки перетину з віссю абсцис ($Ox$), підставивши $y = 0$: $$x^2 + 4x - 5 = 0$$ Обчислимо дискримінант квадратного рівняння: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x_1 = \dfrac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 + 6}{2} = 1$$ $$x_2 = \dfrac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 - 6}{2} = -5$$ Отже, графік перетинає вісь абсцис у точках $(1; 0)$ та $(-5; 0)$. **Відповідь:** з віссю $Oy$: $(0; -5)$; з віссю $Ox$: $(1; 0)$ та $(-5; 0)$. 2) $y = -5x^2 - 6x - 1$ **Розв'язання:** Знайдемо точку перетину з віссю ординат ($Oy$), підставивши $x = 0$: $$y = -5 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 - 1 = -1$$ Отже, графік перетинає вісь ординат у точці $(0; -1)$. Знайдемо точки перетину з віссю абсцис ($Ox$), підставивши $y = 0$: $$-5x^2 - 6x - 1 = 0 \implies 5x^2 + 6x + 1 = 0$$ Обчислимо дискримінант квадратного рівняння: $$D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$$ $$x_1 = \dfrac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \dfrac{-6 + 4}{10} = -\dfrac{2}{10} = -0{,}2$$ $$x_2 = \dfrac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \dfrac{-6 - 4}{10} = -\dfrac{10}{10} = -1$$ Отже, графік перетинає вісь абсцис у точках $(-0{,}2; 0)$ та $(-1; 0)$. **Відповідь:** з віссю $Oy$: $(0; -1)$; з віссю $Ox$: $(-0{,}2; 0)$ та $(-1; 0)$. **№ 11.16.** Побудуйте графік функції: 1) $y = x^2 - 2x$ **Розв'язання:** Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору, оскільки $a = 1 > 0$. а) Обчислимо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$ $$y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$$ Вершина параболи розташована в точці $(1; -1)$. б) Складемо таблицю значень функції: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | в) Позначимо точки $(-1; 3)$, $(0; 0)$, $(1; -1)$, $(2; 0)$, $(3; 3)$ на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією. **Відповідь:** парабола з вершиною в точці $(1; -1)$, гілки напрямлені вгору. 2) $y = -x^2 + 6x$ **Розв'язання:** Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вниз, оскільки $a = -1 < 0$. а) Обчислимо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$$ $$y_0 = -(3)^2 + 6 \cdot 3 = -9 + 18 = 9$$ Вершина параболи розташована в точці $(3; 9)$. б) Складемо таблицю значень функції: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $5$ | $8$ | $9$ | $8$ | $5$ | $0$ | в) Позначимо точки $(0; 0)$, $(1; 5)$, $(2; 8)$, $(3; 9)$, $(4; 8)$, $(5; 5)$, $(6; 0)$ на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією. **Відповідь:** парабола з вершиною в точці $(3; 9)$, гілки напрямлені вниз. 3) $y = x^2 + 4x + 5$ **Розв'язання:** Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору, оскільки $a = 1 > 0$. а) Обчислимо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot 1} = -2$$ $$y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$$ Вершина параболи розташована в точці $(-2; 1)$. б) Складемо таблицю значень функції: | $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $5$ | $2$ | $1$ | $2$ | $5$ | в) Позначимо точки $(-4; 5)$, $(-3; 2)$, $(-2; 1)$, $(-1; 2)$, $(0; 5)$ на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією. **Відповідь:** парабола з вершиною в точці $(-2; 1)$, гілки напрямлені вгору. 4) $y = -x^2 + 2x + 3$ **Розв'язання:** Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вниз, оскільки $a = -1 < 0$. а) Обчислимо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$$ $$y_0 = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$$ Вершина параболи розташована в точці $(1; 4)$. б) Складемо таблицю значень функції: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $0$ | в) Позначимо точки $(-1; 0)$, $(0; 3)$, $(1; 4)$, $(2; 3)$, $(3; 0)$ на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією. **Відповідь:** парабола з вершиною в точці $(1; 4)$, гілки напрямлені вниз. **№ 11.17. Побудуйте графік функції:** 1) $y = x^2 + 4x$ **Розв'язання:** Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вгору, оскільки $a = 1 > 0$. 1) Обчислимо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot 1} = -2$$ $$y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4$$ Вершина параболи розташована в точці $(-2; -4)$. 2) Складемо таблицю значень функції: | $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | 3) Позначимо точки $(-4; 0)$, $(-3; -3)$, $(-2; -4)$, $(-1; -3)$, $(0; 0)$ на координатній площині та з'єднаємо їх плавною лінією. **Відповідь:** парабола з вершиною в точці $(-2; -4)$, гілки спрямовані вгору. 2) $y = -x^2 + 2x$ **Розв'язання:** Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вниз, оскільки $a = -1 < 0$. 1) Обчислимо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$$ $$y_0 = -(1)^2 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1$$ Вершина параболи розташована в точці $(1; 1)$. 2) Складемо таблицю значень функції: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $-3$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-3$ | 3) Нанесемо точки $(-1; -3)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 0)$, $(3; -3)$ на координатну площину та сполучимо їх плавною лінією. **Відповідь:** парабола з вершиною в точці $(1; 1)$, гілки спрямовані вниз. 3) $y = x^2 + 2x + 3$ **Розв'язання:** Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вгору, оскільки $a = 1 > 0$. 1) Обчислимо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1$$ $$y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$$ Вершина параболи розташована в точці $(-1; 2)$. 2) Складемо таблицю значень функції: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $6$ | $3$ | $2$ | $3$ | $6$ | 3) Нанесемо точки $(-3; 6)$, $(-2; 3)$, $(-1; 2)$, $(0; 3)$, $(1; 6)$ на координатну площину та з'єднаємо їх плавною лінією. **Відповідь:** парабола з вершиною в точці $(-1; 2)$, гілки спрямовані вгору. 4) $y = -x^2 + 4x - 3$ **Розв'язання:** Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вниз, оскільки $a = -1 < 0$. 1) Обчислимо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$$ $$y_0 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$$ Вершина параболи розташована в точці $(2; 1)$. 2) Складемо таблицю значень функції: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $-3$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-3$ | 3) Нанесемо точки $(0; -3)$, $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(3; 0)$, $(4; -3)$ на координатну площину та з'єднаємо їх плавною лінією. **Відповідь:** парабола з вершиною в точці $(2; 1)$, гілки спрямовані вниз. **№ 11.18. Побудуйте графік функції $f(x) = x^2 + 2x - 3$. За графіком знайдіть:** **Розв'язання:** Графіком функції $f(x) = x^2 + 2x - 3$ є парабола, гілки якої напрямлені вгору ($a = 1 > 0$). Знайдемо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1$$ $$y_0 = f(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$ Вершина параболи розташована в точці $(-1; -4)$. Складемо таблицю значень функції для побудови графіка: | $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | Позначимо точки на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією. Надамо відповіді на запитання на основі побудованого графіка: 1) Знайдемо значення $f(1)$, $f(-2{,}5)$, $f(1{,}5)$: - $f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 0$; - $f(-2{,}5) = (-2{,}5)^2 + 2 \cdot (-2{,}5) - 3 = 6{,}25 - 5 - 3 = -1{,}75$; - $f(1{,}5) = 1{,}5^2 + 2 \cdot 1{,}5 - 3 = 2{,}25 + 3 - 3 = 2{,}25$. **Відповідь:** $f(1) = 0$; $f(-2{,}5) = -1{,}75$; $f(1{,}5) = 2{,}25$. 2) Знайдемо значення $x$, за яких $f(x) = 5$, $f(x) = -4$, $f(x) = -2$: - Якщо $f(x) = 5$, то $x = -4$ або $x = 2$; - Якщо $f(x) = -4$, то $x = -1$; - Якщо $f(x) = -2$, то: $$x^2 + 2x - 3 = -2 \implies x^2 + 2x - 1 = 0 \implies x = -1 \pm \sqrt{2}$$ **Відповідь:** при $f(x) = 5 \implies x = -4$ або $x = 2$; при $f(x) = -4 \implies x = -1$; при $f(x) = -2 \implies x = -1 - \sqrt{2}$ або $x = -1 + \sqrt{2}$. 3) Знайдемо нулі функції ($f(x) = 0$): Графік перетинає вісь $Ox$ у точках $x = -3$ та $x = 1$. **Відповідь:** $x = -3$ та $x = 1$. 4) Знайдемо розв'язки нерівностей $f(x) \ge 0$ та $f(x) < 0$: - $f(x) \ge 0$ при тих значеннях $x$, коли графік лежить на осі $Ox$ або вище за неї: $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$; - $f(x) < 0$ при тих значеннях $x$, коли графік лежить нижче від осі $Ox$: $x \in (-3; 1)$. **Відповідь:** $f(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-3; 1)$. 5) Знайдемо найбільше та найменше значення функції: - Найменшого значення функція набуває у вершині параболи: $y_{\min} = -4$ при $x = -1$; - Оскільки гілки параболи напрямлені вгору, найбільшого значення функція не має. **Відповідь:** $y_{\min} = -4$; найбільшого значення не існує. 6) Знайдемо область значень функції: Оскільки найменше значення дорівнює $-4$, то область значень функції $E(f) = [-4; +\infty)$. **Відповідь:** $E(f) = [-4; +\infty)$. 7) Укажемо проміжки зростання та спадання функції: - Функція спадає на проміжку $(-\infty; -1]$; - Функція зростає на проміжку $[-1; +\infty)$. **Відповідь:** спадає на $(-\infty; -1]$, зростає на $[-1; +\infty)$. **№ 11.19. Побудуйте графік функції $g(x) = -x^2 + 6x - 5$. За графіком знайдіть:** **Розв'язання:** Графіком функції $g(x) = -x^2 + 6x - 5$ є парабола, гілки якої напрямлені вниз ($a = -1 < 0$). Знайдемо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$$ $$y_0 = g(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$ Вершина параболи розташована в точці $(3; 4)$. Складемо таблицю значень для побудови графіка: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-5$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $0$ | $-5$ | Позначимо точки на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією. Дамо відповіді на запитання завдання за графіком: 1) Обчислимо значення $g(1)$, $g(2{,}5)$, $g(4{,}5)$: - $g(1) = -(1)^2 + 6 \cdot 1 - 5 = 0$; - $g(2{,}5) = -(2{,}5)^2 + 6 \cdot 2{,}5 - 5 = -6{,}25 + 15 - 5 = 3{,}75$; - $g(4{,}5) = -(4{,}5)^2 + 6 \cdot 4{,}5 - 5 = -20{,}25 + 27 - 5 = 1{,}75$. **Відповідь:** $g(1) = 0$; $g(2{,}5) = 3{,}75$; $g(4{,}5) = 1{,}75$. 2) Знайдемо значення $x$, за яких $g(x) = 4$, $g(x) = -5$, $g(x) = 2$: - Якщо $g(x) = 4$, ордината дорівнює значенню у вершині параболи, тому $x = 3$; - Якщо $g(x) = -5$, за таблицею та графіком маємо $x = 0$ або $x = 6$; - Якщо $g(x) = 2$, то $-x^2 + 6x - 5 = 2 \implies x^2 - 6x + 7 = 0 \implies x = 3 \pm \sqrt{2}$. **Відповідь:** при $g(x) = 4 \implies x = 3$; при $g(x) = -5 \implies x = 0$ або $x = 6$; при $g(x) = 2 \implies x = 3 - \sqrt{2}$ або $x = 3 + \sqrt{2}$. 3) Знайдемо нулі функції ($g(x) = 0$): Графік перетинає вісь $Ox$ у точках $x = 1$ та $x = 5$. **Відповідь:** $x = 1$ та $x = 5$. 4) Знайдемо розв'язки нерівностей $g(x) > 0$ та $g(x) \le 0$: - $g(x) > 0$ при тих значеннях $x$, коли графік розташований суворо вище осі $Ox$: $x \in (1; 5)$; - $g(x) \le 0$ при тих значеннях $x$, коли графік розташований на осі $Ox$ або нижче неї: $x \in (-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$. **Відповідь:** $g(x) > 0$ при $x \in (1; 5)$; $g(x) \le 0$ при $x \in (-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$. 5) Знайдемо найбільше та найменше значення функції: - Оскільки гілки параболи напрямлені вниз, функція досягає найбільшого значення у вершині: $y_{\text{max}} = 4$ при $x = 3$; - Найменшого значення функція не має. **Відповідь:** $y_{\text{max}} = 4$; найменшого значення не існує. 6) Знайдемо область значень функції: Оскільки найбільше значення дорівнює $4$, область значень $E(g) = (-\infty; 4]$. **Відповідь:** $E(g) = (-\infty; 4]$. 7) Укажемо проміжки зростання та спадання функції: - Функція зростає на проміжку $(-\infty; 3]$; - Функція спадає на проміжку $[3; +\infty)$. **Відповідь:** зростає на $(-\infty; 3]$, спадає на $[3; +\infty)$. **№ 11.20. Графіком квадратичної функції є парабола з вершиною в початку координат, яка проходить через точку $A\left(-2; \dfrac{1}{3}\right)$. Задайте цю функцію формулою.** **Розв'язання:** Оскільки вершина параболи розміщена в початку координат $(0; 0)$, квадратична функція має вигляд $y = ax^2$. Підставимо координати точки $A\left(-2; \dfrac{1}{3}\right)$, де $x = -2$, $y = \dfrac{1}{3}$, у формулу функції:\dfrac{1}{3} = a \cdot (-2)^2
\dfrac{1}{3} = 4a
a = \dfrac{1}{3} : 4 = \dfrac{1}{12}
Отже, шукана квадратична функція задається формулою $y = \dfrac{1}{12}x^2$. **Відповідь:** $y = \dfrac{1}{12}x^2$. **№ 11.21. Побудуйте графік квадратичної функції та за графіком знайдіть область значень функції, нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції:** 1) $y = -4x^2 + 8x$; **Розв'язання:** 1) Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вниз (оскільки $a = -4 < 0$). 2) Знайдемо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{8}{2 \cdot (-4)} = 1$$ $$y_0 = -4 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 = 4$$ Вершина параболи — точка $(1; 4)$. 3) Складемо таблицю значень для побудови графіка: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ (вершина) | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-12$ | $0$ | $4$ | $0$ | $-12$ | 4) Побудова: нанесемо вершину $(1; 4)$ та точки $(-1; -12)$, $(0; 0)$, $(2; 0)$, $(3; -12)$ на координатну площину й з'єднаємо їх плавною лінією. 5) Властивості функції за графіком: - Область значень: $E(y) = (-\infty; 4]$; - Нулі функції: $x = 0$ та $x = 2$; - Проміжки знакосталості: $y > 0$ при $x \in (0; 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$; - Функція зростає на проміжку $(-\infty; 1]$, спадає на проміжку $[1; +\infty)$. 2) $y = 2x^2 - 8x + 6$; **Розв'язання:** 1) Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору (оскільки $a = 2 > 0$). 2) Знайдемо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \cdot 2} = 2$$ $$y_0 = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$$ Вершина параболи — точка $(2; -2)$. 3) Складемо таблицю значень для побудови графіка: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ (вершина) | $3$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $6$ | $0$ | $-2$ | $0$ | $6$ | 4) Побудова: нанесемо вершину $(2; -2)$ та точки $(0; 6)$, $(1; 0)$, $(3; 0)$, $(4; 6)$ на координатну площину й з'єднаємо їх плавною лінією. 5) Властивості функції за графіком: - Область значень: $E(y) = [-2; +\infty)$; - Нулі функції: $x = 1$ та $x = 3$; - Проміжки знакосталості: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1; 3)$; - Функція спадає на проміжку $(-\infty; 2]$, зростає на проміжку $[2; +\infty)$. 3) $y = (x - 1)(x - 5)$; **Розв'язання:** 1) Перетворимо формулу функції: $y = x^2 - 6x + 5$. Графіком є парабола, гілки якої напрямлені вгору (оскільки $a = 1 > 0$). 2) Знайдемо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2 \cdot 1} = 3$$ $$y_0 = (3 - 1)(3 - 5) = 2 \cdot (-2) = -4$$ Вершина параболи — точка $(3; -4)$. 3) Складемо таблицю значень для побудови графіка: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ (вершина) | $4$ | $5$ | $6$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | 4) Побудова: нанесемо вершину $(3; -4)$ та точки $(0; 5)$, $(1; 0)$, $(2; -3)$, $(4; -3)$, $(5; 0)$, $(6; 5)$ на координатну площину й з'єднаємо їх плавною лінією. 5) Властивості функції за графіком: - Область значень: $E(y) = [-4; +\infty)$; - Нулі функції: $x = 1$ та $x = 5$; - Проміжки знакосталості: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1; 5)$; - Функція спадає на проміжку $(-\infty; 3]$, зростає на проміжку $[3; +\infty)$. 4) $y = 2(x + 1)(x - 3)$. **Розв'язання:** 1) Перетворимо формулу функції: $y = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6$. Графіком є парабола, гілки якої напрямлені вгору (оскільки $a = 2 > 0$). 2) Знайдемо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2 \cdot 2} = 1$$ $$y_0 = 2 \cdot (1 + 1)(1 - 3) = 2 \cdot 2 \cdot (-2) = -8$$ Вершина параболи — точка $(1; -8)$. 3) Складемо таблицю значень для побудови графіка: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ (вершина) | $2$ | $3$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $6$ | $0$ | $-6$ | $-8$ | $-6$ | $0$ | $6$ | 4) Побудова: нанесемо вершину $(1; -8)$ та точки $(-2; 6)$, $(-1; 0)$, $(0; -6)$, $(2; -6)$, $(3; 0)$, $(4; 6)$ на координатну площину й з'єднаємо їх плавною лінією. 5) Властивості функції за графіком: - Область значень: $E(y) = [-8; +\infty)$; - Нулі функції: $x = -1$ та $x = 3$; - Проміжки знакосталості: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-1; 3)$; - Функція спадає на проміжку $(-\infty; 1]$, зростає на проміжку $[1; +\infty)$. **Відповідь:** графіки побудовано, властивості описано. **№ 11.22. Побудуйте графік квадратичної функції та за графіком знайдіть область значень функції, нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції:** 1) $y = 2x^2 - 6x$; **Розв'язання:** 1) Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору (оскільки $a = 2 > 0$). 2) Знайдемо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2 \cdot 2} = 1{,}5$$ $$y_0 = 2 \cdot (1{,}5)^2 - 6 \cdot 1{,}5 = 4{,}5 - 9 = -4{,}5$$ Вершина параболи — точка $(1{,}5; -4{,}5)$. 3) Складемо таблицю значень для побудови графіка: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $1{,}5$ (вершина) | $2$ | $3$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $8$ | $0$ | $-4$ | $-4{,}5$ | $-4$ | $0$ | $8$ | 4) Побудова: позначимо точки на координатній площині й з'єднаємо їх плавною лінією. 5) Властивості функції за графіком: - Область значень: $E(y) = [-4{,}5; +\infty)$; - Нулі функції: $x = 0$ та $x = 3$; - Проміжки знакосталості: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0; 3)$; - Функція спадає на проміжку $(-\infty; 1{,}5]$, зростає на проміжку $[1{,}5; +\infty)$. 2) $y = -3x^2 + 12x - 9$. **Розв'язання:** 1) Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вниз (оскільки $a = -3 < 0$). 2) Знайдемо координати вершини параболи $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{12}{2 \cdot (-3)} = 2$$ $$y_0 = -3 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - 9 = -12 + 24 - 9 = 3$$ Вершина параболи — точка $(2; 3)$. 3) Складемо таблицю значень для побудови графіка: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ (вершина) | $3$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-9$ | $0$ | $3$ | $0$ | $-9$ | 4) Побудова: позначимо вершину $(2; 3)$ та точки $(0; -9)$, $(1; 0)$, $(3; 0)$, $(4; -9)$ на координатній площині й з'єднаємо їх плавною лінією. 5) Властивості функції за графіком: - Область значень: $E(y) = (-\infty; 3]$; - Нулі функції: $x = 1$ та $x = 3$; - Проміжки знакосталості: $y > 0$ при $x \in (1; 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$; - Функція зростає на проміжку $(-\infty; 2]$, спадає на проміжку $[2; +\infty)$. **Відповідь:** графіки побудовано, властивості описано. **№ 11.23. Графік функції $y = ax^2 + 2x + 3$ проходить через точку $B(1; -5)$. Знайдіть коефіцієнт $a$.** **Розв'язання:** Оскільки графік функції проходить через точку $B(1; -5)$, підставимо її координати $x = 1$ та $y = -5$ у формулу функції:-5 = a \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + 3
-5 = a + 2 + 3
-5 = a + 5
a = -5 - 5
a = -10
**Відповідь:** $a = -10$. **№ 11.24. Графік функції $y = 2x^2 + bx + 5$ проходить через точку $A(1; 9)$. Знайдіть коефіцієнт $b$.** **Розв'язання:** Оскільки графік функції проходить через точку $A(1; 9)$, підставимо її координати $x = 1$ та $y = 9$ у формулу функції: $$9 = 2 \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 5$$ $$9 = 2 + b + 5$$ $$9 = b + 7$$ $$b = 9 - 7$$ $$b = 2$$ **Відповідь:** $b = 2$. **№ 11.25. За яких значень $b$ віссю симетрії параболи $y = x^2 + bx + c$ є пряма: 1) $x = -1$; 2) $x = 5$? Чи впливає на відповідь значення коефіцієнта $c$?** **Розв'язання:** Віссю симетрії параболи $y = ax^2 + bx + c$ є вертикальна пряма $x = x_{\text{в}}$, де $x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}$ — абсциса вершини параболи. У заданій функції старший коефіцієнт $a = 1$. Звідси абсциса вершини: $$x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2 \cdot 1} = -\dfrac{b}{2}$$ 1) Якщо віссю симетрії є пряма $x = -1$, маємо: $$-\dfrac{b}{2} = -1$$ $$b = 2$$ 2) Якщо віссю симетрії є пряма $x = 5$, маємо: $$-\dfrac{b}{2} = 5$$ $$b = -10$$ Коефіцієнт $c$ визначає положення параболи відносно осі ординат (зсув по вертикалі), але не впливає на абсцису вершини $x_{\text{в}}$. Отже, значення коефіцієнта $c$ на відповідь не впливає. **Відповідь:** 1) $b = 2$; 2) $b = -10$; значення коефіцієнта $c$ на відповідь не впливає. **№ 11.26. За якого значення $a$ віссю симетрії параболи $y = ax^2 - 6x + 7$ є пряма $x = -1$?** **Розв'язання:** Віссю симетрії параболи $y = ax^2 + bx + c$ є пряма $x = x_{\text{в}}$, де $x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}$. Для функції $y = ax^2 - 6x + 7$ коефіцієнти дорівнюють $b = -6$, $c = 7$, $a \ne 0$. Абсциса вершини: $$x_{\text{в}} = -\dfrac{-6}{2a} = \dfrac{6}{2a} = \dfrac{3}{a}$$ За умовою, віссю симетрії є пряма $x = -1$, отже, $x_{\text{в}} = -1$: $$\dfrac{3}{a} = -1$$ $$a = -3$$ **Відповідь:** $a = -3$. **№ 11.27.** Знайдіть такі точки параболи: 1) $y = x^2 - 6x + 10$, у яких абсциса дорівнює ординаті; 2) $y = x^2 - 7x + 8$, у яких абсциса й ордината — протилежні числа. **Розв'язання:** 1) Якщо абсциса $x$ дорівнює ординаті $y$, то $y = x$. Підставимо $y = x$ у рівняння параболи: $$x = x^2 - 6x + 10$$ $$x^2 - 6x - x + 10 = 0$$ $$x^2 - 7x + 10 = 0$$ Знайдемо корені рівняння за допомогою дискримінанта: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 = 3^2$$ $$x_1 = \dfrac{7 - 3}{2} = 2, \quad x_2 = \dfrac{7 + 3}{2} = 5$$ Оскільки $y = x$, отримаємо відповідні ординати: - Якщо $x_1 = 2$, то $y_1 = 2$, одержуємо точку $(2; 2)$; - Якщо $x_2 = 5$, то $y_2 = 5$, одержуємо точку $(5; 5)$. 2) Якщо абсциса $x$ й ордината $y$ є протилежними числами, то $y = -x$. Підставимо $y = -x$ у рівняння параболи: $$-x = x^2 - 7x + 8$$ $$x^2 - 7x + x + 8 = 0$$ $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ Знайдемо корені рівняння за допомогою дискримінанта: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 = 2^2$$ $$x_1 = \dfrac{6 - 2}{2} = 2, \quad x_2 = \dfrac{6 + 2}{2} = 4$$ Обчислимо ординати за формулою $y = -x$: - Якщо $x_1 = 2$, то $y_1 = -2$, одержуємо точку $(2; -2)$; - Якщо $x_2 = 4$, то $y_2 = -4$, одержуємо точку $(4; -4)$. **Відповідь:** 1) $(2; 2)$, $(5; 5)$; 2) $(2; -2)$, $(4; -4)$. **№ 11.28.** Знайдіть такі точки параболи: 1) $y = x^2 - 5x$, у яких абсциса дорівнює ординаті; 2) $y = x^2 + 2x - 10$, у яких абсциса й ордината — протилежні числа. **Розв'язання:** 1) Умову «абсциса дорівнює ординаті» задано рівністю $y = x$. Підставимо $y = x$ у рівняння параболи $y = x^2 - 5x$: $$x = x^2 - 5x$$ $$x^2 - 6x = 0$$ $$x(x - 6) = 0$$ $$\left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 6 \end{array}\right.$$ Знайдемо відповідні значення ординати ($y = x$): Якщо $x_1 = 0$, то $y_1 = 0$, маємо точку $(0; 0)$. Якщо $x_2 = 6$, то $y_2 = 6$, маємо точку $(6; 6)$. 2) Умову «абсциса й ордината — протилежні числа» задано рівністю $y = -x$. Підставимо $y = -x$ у рівняння параболи $y = x^2 + 2x - 10$: $$-x = x^2 + 2x - 10$$ $$x^2 + 3x - 10 = 0$$ Обчислимо дискримінант та корені квадратного рівняння: $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$ $$x_1 = \dfrac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \dfrac{-10}{2} = -5$$ $$x_2 = \dfrac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \dfrac{4}{2} = 2$$ Знайдемо відповідні значення ординати ($y = -x$): Якщо $x_1 = -5$, то $y_1 = -(-5) = 5$, маємо точку $(-5; 5)$. Якщо $x_2 = 2$, то $y_2 = -2$, маємо точку $(2; -2)$. **Відповідь:** 1) $(0; 0)$ та $(6; 6)$; 2) $(-5; 5)$ та $(2; -2)$. **№ 11.29.** Доведіть, що всі точки параболи: 1) $y = x^2 - 2x + 3$ лежать вище від осі $x$; 2) $y = -x^2 - 4x - 5$ лежать нижче від осі $x$. **Розв'язання:** Точка лежить вище від осі абсцис, якщо її ордината є додатною ($y > 0$) для всіх $x \in \mathbb{R}$. Точка лежить нижче від осі абсцис, якщо її ордината є від'ємною ($y < 0$) для всіх $x \in \mathbb{R}$. 1) Для функціональної залежності $y = x^2 - 2x + 3$ виділимо квадрат двочлена: $$y = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2$$ Оскільки $(x - 1)^2 \ge 0$ для будь-якого $x \in \mathbb{R}$, додавши число $2$, одержимо: $$y = (x - 1)^2 + 2 \ge 0 + 2 = 2 > 0$$ Оскільки значення $y > 0$ при всіх дійсних значеннях $x$, усі точки параболи розташовані вище від осі $x$. Доведено. 2) Для функціональної залежності $y = -x^2 - 4x - 5$ винесемо знак мінус за дужки та виділимо квадрат двочлена: $$y = -(x^2 + 4x + 5) = -(x^2 + 4x + 4 + 1) = -((x + 2)^2 + 1) = -(x + 2)^2 - 1$$ Оскільки $(x + 2)^2 \ge 0$ для будь-якого $x \in \mathbb{R}$, то $-(x + 2)^2 \le 0$. Віднімаючи число $1$, маємо: $$y = -(x + 2)^2 - 1 \le 0 - 1 = -1 < 0$$ Оскільки значення $y < 0$ при всіх дійсних значеннях $x$, усі точки параболи розташовані нижче від осі $x$. Доведено. **Відповідь:** доведено. **№ 11.30. Знайдіть точки перетину параболи $y = 2x^2 - 7x + 13$ з прямою $y = 2x + 3$.** **Розв'язання:** Щоб знайти точки перетину параболи та прямої, прирівняємо відповідні вирази для $y$: $$2x^2 - 7x + 13 = 2x + 3$$ Перенесемо всі доданки в ліву частину рівняння та зведемо подібні члени: $$2x^2 - 7x - 2x + 13 - 3 = 0$$ $$2x^2 - 9x + 10 = 0$$ Знайдемо корені квадратного рівняння за допомогою дискримінанта ($D = b^2 - 4ac$): $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$$ $$x_1 = \dfrac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \dfrac{9 + 1}{4} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$$ $$x_2 = \dfrac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \dfrac{9 - 1}{4} = \dfrac{8}{4} = 2$$ Знайдемо відповідні ординати $y$, підставивши $x_1$ та $x_2$ у рівняння прямої $y = 2x + 3$: 1) Для $x_1 = 2{,}5$: $$y_1 = 2 \cdot 2{,}5 + 3 = 5 + 3 = 8$$ 2) Для $x_2 = 2$: $$y_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$$ Отже, точками перетину є $(2{,}5; 8)$ та $(2; 7)$. **Відповідь:** $(2{,}5; 8)$, $(2; 7)$. **№ 11.31. Знайдіть точки перетину параболи $y = 5x^2 - 7x - 3$ з прямою $y = -x - 4$.** **Розв'язання:** Прирівняємо вирази для $y$: $$5x^2 - 7x - 3 = -x - 4$$ Перенесемо всі доданки у ліву частину та зведемо подібні члени: $$5x^2 - 7x + x - 3 + 4 = 0$$ $$5x^2 - 6x + 1 = 0$$ Обчислимо дискримінант квадратного рівняння: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$$ $$\sqrt{D} = 4$$ Знайдемо корені рівняння: $$x_1 = \dfrac{-(-6) + 4}{2 \cdot 5} = \dfrac{6 + 4}{10} = \dfrac{10}{10} = 1$$ $$x_2 = \dfrac{-(-6) - 4}{2 \cdot 5} = \dfrac{6 - 4}{10} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$$ Обчислимо відповідні ординати $y$, підставивши $x_1$ та $x_2$ у рівняння прямої $y = -x - 4$: 1) Для $x_1 = 1$: $$y_1 = -1 - 4 = -5$$ 2) Для $x_2 = 0{,}2$: $$y_2 = -0{,}2 - 4 = -4{,}2$$ Отже, точками перетину є $(1; -5)$ та $(0{,}2; -4{,}2)$. **Відповідь:** $(1; -5)$, $(0{,}2; -4{,}2)$. **№ 11.32. Тіло, що падає на землю, за $t\text{ с}$ долає відстань $s\text{ м}$, де $s = \dfrac{gt^2}{2}$, $g \approx 10\text{ м/с}^2$. Через який час тіло досягне поверхні землі, якщо в початковий момент воно перебуває на висоті $560\text{ м}$?** **Розв'язання:** 1) За умовою відстань $s = 560\text{ м}$, а прискорення вільного падіння $g \approx 10\text{ м/с}^2$. 2) Складемо та розв'яжемо рівняння: $$560 = \dfrac{10 \cdot t^2}{2}$$ $$560 = 5 \cdot t^2$$ $$t^2 = \dfrac{560}{5}$$ $$t^2 = 112$$ $$t = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$$ Оскільки час $t > 0$, від'ємне значення $t = -4\sqrt{7}$ не задовольняє умову задачі. Наближене значення: $t = 4\sqrt{7} \approx 4 \cdot 2{,}6458 \approx 10{,}58\text{ с}$. **Відповідь:** $4\sqrt{7}\text{ с}$ (приблизно $10{,}58\text{ с}$). **№ 11.33. З лука випущено стрілу вертикально вгору з початковою швидкістю $50\text{ м/с}$. Залежність відстані $s$ (у метрах) від стріли до землі від часу польоту $t$ (у секундах) задається формулою $s = 50t - 5t^2$. Побудуйте схематично графік цієї залежності та за ним знайдіть:** 1) якої найбільшої висоти сягне стріла; 2) проміжок часу, протягом якого вона летіла вгору, та проміжок часу, протягом якого вона падала вниз; 3) через скільки секунд після пуску стріла впала на землю. **Розв'язання:** Залежність відстані від часу описується квадратичною функцією $s(t) = -5t^2 + 50t$ для $t \ge 0$. Графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вниз ($a = -5 < 0$). 1) Знайдемо координати вершини параболи $(t_0; s_0)$: $$t_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{50}{2 \cdot (-5)} = 5\text{ (с)}$$ $$s_0 = s(5) = 50 \cdot 5 - 5 \cdot 5^2 = 250 - 125 = 125\text{ (м)}$$ 2) Знайдемо моменти часу, коли стріла перебуває на землі ($s(t) = 0$): $$-5t^2 + 50t = 0$$ $$-5t(t - 10) = 0 \implies t_1 = 0\text{ с (момент пуску)}, \quad t_2 = 10\text{ с (момент падіння)}$$ 3) Складемо таблицю значень для побудови схематичного графіка: | $t\text{, с}$ | $0$ | $2$ | $5\text{ (вершина)}$ | $8$ | $10$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $s\text{, м}$ | $0$ | $80$ | $125$ | $80$ | $0$ | Схематично графіком є частина параболи, що лежить у I координатній чверті з вершиною у точці $(5; 125)$ та нулями $t = 0$ і $t = 10$. За графіком та обчисленнями визначаємо: 1) Найбільша висота сягається у вершині параболи: $s_{\max} = 125\text{ м}$. 2) Функція зростає на проміжку $t \in [0; 5]$ (стріла летіла вгору протягом $5\text{ с}$) та спадає на проміжку $t \in [5; 10]$ (стріла падала вниз протягом $5\text{ с}$). 3) Стріла впала на землю при $s = 0$, тобто через $10\text{ с}$ після пуску. **Відповідь:** 1) $125\text{ м}$; 2) летіла вгору протягом $5\text{ с}$ (на проміжку $[0; 5]\text{ с}$), падала вниз протягом $5\text{ с}$ (на проміжку $[5; 10]\text{ с}$); 3) через $10\text{ с}$. **№ 11.34. М’яч підкинуто вертикально вгору з початковою швидкістю $15\text{ м/с}$. Залежність відстані $h$ (у метрах) від м’яча до землі від часу польоту $t$ (у секундах) задається формулою $h = 15t - 5t^2$. Побудуйте схематично графік цієї залежності та за ним знайдіть:** **1) якої найбільшої висоти сягне м’яч;** **2) проміжок часу, протягом якого він рухався вгору, та проміжок часу, протягом якого він падав униз;** **3) через скільки секунд після підкидання м’яч упав на землю.** **Розв'язання:** Залежність описується квадратичною функцією $h(t) = -5t^2 + 15t$ при $t \ge 0$. Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вниз ($a = -5 < 0$). 1) Знайдемо координати вершини параболи $(t_0; h_0)$: $$t_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{15}{2 \cdot (-5)} = 1{,}5\text{ (с)}$$ $$h_0 = h(1{,}5) = 15 \cdot 1{,}5 - 5 \cdot (1{,}5)^2 = 22{,}5 - 5 \cdot 2{,}25 = 11{,}25\text{ (м)}$$ 2) Знайдемо моменти перебування м'яча на землі ($h(t) = 0$): $$-5t^2 + 15t = 0$$ $$-5t(t - 3) = 0 \implies t_1 = 0\text{ с (початок)},\ t_2 = 3\text{ с (падіння)}$$ 3) Складемо таблицю значень для побудови схематичного графіка: | $t\text{ (с)}$ | $0$ | $1$ | $1{,}5\text{ (вершина)}$ | $2$ | $3$ | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $h\text{ (м)}$ | $0$ | $10$ | $11{,}25$ | $10$ | $0$ | Схематично графік являє собою дугу параболи на проміжку $t \in [0; 3]$ з вершиною в точці $(1{,}5; 11{,}25)$. За графіком та обчисленнями знаходимо: 1) Найбільша висота сягається у вершині параболи: $h_{\max} = 11{,}25\text{ м}$. 2) М'яч рухався вгору на проміжку зростання функції $t \in [0; 1{,}5]$ (протягом $1{,}5\text{ с}$) та падав униз на проміжку спадання $t \in [1{,}5; 3]$ (протягом $1{,}5\text{ с}$). 3) М'яч упав на землю через $3\text{ с}$ після підкидання. **Відповідь:** **1)** $11{,}25\text{ м}$; **2)** рухався вгору протягом $1{,}5\text{ с}$ ($t \in [0; 1{,}5]$), падав униз протягом $1{,}5\text{ с}$ ($t \in [1{,}5; 3]$); **3)** через $3\text{ с}$. **№ 11.35. За яких значень $b$ і $c$ точка $N(5; 7)$ є вершиною параболи $y = x^2 + bx + c$?** **Розв'язання:** Дано квадратичну функцію $y = x^2 + bx + c$, у якій старший коефіцієнт $a = 1$. Координати вершини параболи $N(x_0; y_0)$: $x_0 = 5$, $y_0 = 7$. 1) Абсциса вершини параболи обчислюється за формулою: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$$ Підставимо $x_0 = 5$ та $a = 1$: $$5 = -\dfrac{b}{2 \cdot 1}$$ $$5 = -\dfrac{b}{2}$$ $$b = -10$$ 2) Оскільки точка $N(5; 7)$ належить параболі, її координати $x = 5$ та $y = 7$ задовольняють рівняння параболи. Підставимо ці значення та знайдене $b = -10$ у формулу функції: $$7 = 5^2 + (-10) \cdot 5 + c$$ $$7 = 25 - 50 + c$$ $$7 = -25 + c$$ $$c = 7 + 25$$ $$c = 32$$ **Відповідь:** $b = -10$, $c = 32$. **№ 11.36. За яких значень $a$ і $c$ точка $M(-3; -13)$ є вершиною параболи $y = ax^2 + 12x + c$?** **Розв'язання:** Дано квадратичну функцію $y = ax^2 + 12x + c$, де коефіцієнт $b = 12$. Вершина параболи $M(x_0; y_0)$ має координати $x_0 = -3$, $y_0 = -13$. 1) Скористаємося формулою абсциси вершини параболи: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$$ Підставимо $x_0 = -3$ та $b = 12$: $$-3 = -\dfrac{12}{2a}$$ $$-3 = -\dfrac{6}{a}$$ $$3a = 6$$ $$a = 2$$ 2) Точка $M(-3; -13)$ належить параболі. Підставимо координати $x = -3$, $y = -13$ та коефіцієнт $a = 2$ у рівняння функції: $$-13 = 2 \cdot (-3)^2 + 12 \cdot (-3) + c$$ $$-13 = 2 \cdot 9 - 36 + c$$ $$-13 = 18 - 36 + c$$ $$-13 = -18 + c$$ $$c = -13 + 18$$ $$c = 5$$ **Відповідь:** $a = 2$, $c = 5$. **№ 11.37. Точка $M(3; -2)$ є вершиною параболи $y = ax^2 + bx + c$, яка перетинає вісь ординат у точці $N(0; 7)$. Знайдіть значення коефіцієнтів $a$, $b$ і $c$.** **Розв'язання:** 1) Оскільки парабола перетинає вісь ординат у точці $N(0; 7)$, підставимо $x = 0$ і $y = 7$ у рівняння $y = ax^2 + bx + c$: $$7 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \implies c = 7$$ 2) Абсциса вершини параболи $M(3; -2)$ дорівнює $x_0 = 3$. Використаємо формулу $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$: $$3 = -\dfrac{b}{2a} \implies b = -6a$$ 3) Вершина $M(3; -2)$ належить параболі. Підставимо координати $x = 3$, $y = -2$, а також $c = 7$ у рівняння функції: $$-2 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + 7$$ $$-2 = 9a + 3b + 7$$ $$9a + 3b = -9$$ Поділимо обидві частини рівняння на $3$: $$3a + b = -3$$ 4) Підставимо $b = -6a$ у добуте рівняння: $$3a + (-6a) = -3$$ $$-3a = -3$$ $$a = 1$$ Тоді $b = -6 \cdot 1 = -6$. **Відповідь:** $a = 1$, $b = -6$, $c = 7$. **№ 11.38.** У боковій стінці високого циліндричного бака біля самого дна закріплено кран. Після його відкриття вода починає витікати з бака, при цьому висота стовпа води в ньому, що виражена в метрах, змінюється за законом $H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}kt + \dfrac{g}{2}k^2 t^2$, де $t$ — час у секундах, що минув з моменту відкриття крана, $H_0 = 5\text{ м}$ — початкова висота стовпа води, $k = \dfrac{1}{50}$ — відношення площ поперечного перерізу крана і бака, $g \approx 10\text{ м/с}^2$ — прискорення вільного падіння. Через скільки секунд після відкриття крана: 1) висота стовпа води в баку буде $1{,}25\text{ м}$; 2) вода з бака повністю витече? **Розв'язання:** Знайдемо числові значення коефіцієнтів у законі руху $H(t)$: - $H_0 = 5$; - $\sqrt{2gH_0}k = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} \cdot \dfrac{1}{50} = \sqrt{100} \cdot \dfrac{1}{50} = 10 \cdot \dfrac{1}{50} = 0{,}2$; - $\dfrac{g}{2}k^2 = \dfrac{10}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{50}\right)^2 = 5 \cdot \dfrac{1}{2500} = \dfrac{1}{500} = 0{,}002$. Рівняння залежності висоти від часу має вигляд:H(t) = 0{,}002t^2 - 0{,}2t + 5
1) Знайдемо час $t$, коли висота стовпа води $H(t) = 1{,}25\text{ м}$:0{,}002t^2 - 0{,}2t + 5 = 1{,}25
0{,}002t^2 - 0{,}2t + 3{,}75 = 0
Помножимо обидві частини рівняння на $1000$:2t^2 - 200t + 3750 = 0
Поділимо на $2$:t^2 - 100t + 1875 = 0
D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1875 = 10000 - 7500 = 2500
\sqrt{D} = 50
t_1 = \dfrac{100 - 50}{2} = 25\text{ (с)}
t_2 = \dfrac{100 + 50}{2} = 75\text{ (с)}
Оскільки процес витікання води припиняється в момент повного спорожнення бака (при $t = 50\text{ с}$), фізичний зміст має найменше значення $t = 25\text{ с}$, коли рівень води вперше знизиться до $1{,}25\text{ м}$. 2) Знайдемо час $t$, коли вода з бака повністю витече, тобто $H(t) = 0\text{ м}$:0{,}002t^2 - 0{,}2t + 5 = 0
Помножимо на $1000$:2t^2 - 200t + 5000 = 0
Поділимо на $2$:t^2 - 100t + 2500 = 0
(t - 50)^2 = 0
t - 50 = 0 \implies t = 50\text{ (с)}
**Відповідь:** 1) через $25\text{ с}$; 2) через $50\text{ с}$. **№ 11.39. У боковій стінці високого циліндричного бака біля самого дна закріплено кран. Після його відкриття вода починає витікати з бака, при цьому висота стовпа води в ньому, що виражена в метрах, змінюється за законом $H(t) = at^2 + bt + H_0$, де $H_0 = 8\text{ м}$ — початковий рівень води, $a = \dfrac{1}{50}\text{ м/хв}^2$, $b = -\dfrac{4}{5}\text{ м/хв}$ — сталі для цього бака. Через скільки секунд після відкриття крана:** **1) висота стовпа води в баку буде $4{,}5\text{ м}$;** **2) вода з бака повністю витече?** **Розв'язання:** Підставимо коефіцієнти у формулу функції $H(t)$, де $t$ вимірюється у хвилинах: $$H(t) = \dfrac{1}{50}t^2 - \dfrac{4}{5}t + 8$$ 1) Знайдемо час $t$ (у хвилинах), коли висота $H(t) = 4{,}5\text{ м}$: $$\dfrac{1}{50}t^2 - \dfrac{4}{5}t + 8 = 4{,}5$$ $$\dfrac{1}{50}t^2 - \dfrac{4}{5}t + 3{,}5 = 0$$ Помножимо обидві частини рівняння на $50$: $$t^2 - 40t + 175 = 0$$ Знайдемо дискримінант: $$D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 175 = 1600 - 700 = 900$$ $$\sqrt{D} = 30$$ Обчислимо корені: $$t_1 = \dfrac{40 - 30}{2} = 5\text{ (хв)}$$ $$t_2 = \dfrac{40 + 30}{2} = 35\text{ (хв)}$$ Оскільки вода витікає, рівень $4{,}5\text{ м}$ досягається через $t = 5\text{ хв}$ (значення $t = 35\text{ хв}$ не має фізичного змісту, оскільки вода з бака повністю витече раніше). Переведемо хвилини у секунди: $$t = 5 \cdot 60\text{ с} = 300\text{ с}$$ 2) Знайдемо час $t$, коли вода з бака повністю витече ($H(t) = 0\text{ м}$): $$\dfrac{1}{50}t^2 - \dfrac{4}{5}t + 8 = 0$$ Помножимо обидві частини рівняння на $50$: $$t^2 - 40t + 400 = 0$$ $$(t - 20)^2 = 0$$ $$t = 20\text{ (хв)}$$ Переведемо хвилини у секунди: $$t = 20 \cdot 60\text{ с} = 1200\text{ с}$$ **Відповідь:** 1) через $300\text{ с}$; 2) через $1200\text{ с}$. **№ 11.40. За якого значення $c$ найбільше значення функції $y = -x^2 + 6x + c$ дорівнює $16$?** **Розв'язання:** Квадратична функція $y = -x^2 + 6x + c$ має старший коефіцієнт $a = -1 < 0$, тому гілки параболи спрямовані вниз. Свого найбільшого значення функція набуває у вершині параболи з абсцисою $x_0$. Знайдемо абсцису вершини $x_0$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$$ Обчислимо ординату вершини $y_0 = y(x_0)$: $$y_0 = -(3)^2 + 6 \cdot 3 + c = -9 + 18 + c = 9 + c$$ За умовою задачі, найбільше значення функції дорівнює $16$, тобто $y_0 = 16$: $$9 + c = 16$$ $$c = 16 - 9$$ $$c = 7$$ **Відповідь:** $c = 7$. **№ 11.41. За якого значення $c$ найменше значення функції $y = x^2 - 4x + c$ дорівнює $4$?** **Розв'язання:** Квадратична функція $y = x^2 - 4x + c$ має старший коефіцієнт $a = 1 > 0$, тому гілки параболи спрямовані вгору. Свого найменшого значення функція набуває у вершині параболи з абсцисою $x_0$. Знайдемо абсцису вершини $x_0$: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$ Обчислимо ординату вершини $y_0 = y(x_0)$: $$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + c = 4 - 8 + c = -4 + c$$ За умовою задачі, найменше значення функції дорівнює $4$, тобто $y_0 = 4$: $$-4 + c = 4$$ $$c = 4 + 4$$ $$c = 8$$ **Відповідь:** $c = 8$. **№ 11.42. За яких значень $c$ функція $y = x^2 + 8x + c$ для всіх значень $x$ набуває лише додатних значень?** **Розв'язання:** Квадратична функція $y = x^2 + 8x + c$ має старший коефіцієнт $a = 1 > 0$, отже, гілки параболи спрямовані вгору. Щоб функція набувала лише додатних значень для всіх $x \in \mathbb{R}$ ($y > 0$), парабола не повинна перетинати вісь $Ox$ і має повністю розміщуватися у верхній півплощині. Це можливо тоді і тільки тоді, коли дискримінант відповідного квадратного тричлена є строго від'ємним ($D < 0$). Знайдемо дискримінант $D$: $$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 64 - 4c$$ Складемо та розв'яжемо нерівність: $$64 - 4c < 0$$ $$-4c < -64$$ Поділимо обидві частини на $-4$, змінивши знак нерівності на протилежний: $$c > 16$$ Отже, $c \in (16; +\infty)$. **Відповідь:** $c > 16$. **№ 11.43.** За яких значень $c$ функція $y = -x^2 + 2x + c$ для всіх значень $x$ набуває лише від’ємних значень? **Розв'язання:** Квадратична функція $y = -x^2 + 2x + c$ має старший коефіцієнт $a = -1 < 0$, отже, вітки параболи напрямлені вниз. Щоб функція набувала лише від'ємних значень для всіх $x$ ($y < 0$), графік функції має повністю лежати нижче від осі абсцис і не перетинати її. Це можливо тоді й тільки тоді, коли дискримінант відповідного квадратного тричлена є строго від'ємним ($D < 0$). Знайдемо дискримінант $D$: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot c = 4 + 4c$$ Складемо та розв'яжемо нерівність: $$4 + 4c < 0$$ $$4c < -4$$ $$c < -1$$ Отже, $c \in (-\infty; -1)$. **Відповідь:** $c < -1$. **№ 11.44. Побудуйте графік функції:** 1) $y = x^2 - 6|x| + 5$; **Розв'язання:** Оскільки $x^2 = |x|^2$, вираз задає функцію виду $y = |x|^2 - 6|x| + 5$, що відповідає перетворенню $f(|x|)$. Графік будується за таким алгоритмом: 1) Побудувати параболу $y = x^2 - 6x + 5$ для $x \ge 0$: - гілки параболи спрямовані вгору ($a = 1 > 0$); - координати вершини: $x_0 = -\dfrac{-6}{2 \cdot 1} = 3$, $y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = -4$; - нулі функції: $x^2 - 6x + 5 = 0 \implies x_1 = 1$, $x_2 = 5$. 2) Для $x < 0$ симетрично відобразити побудовану графічну частину відносно осі ординат $Oy$. Складемо таблицю значень функції $y = x^2 - 6|x| + 5$: | $x$ | $-6$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | Опис побудови: - нанесемо точки $(-6; 5)$, $(-5; 0)$, $(-4; -3)$, $(-3; -4)$, $(-2; -3)$, $(-1; 0)$, $(0; 5)$, $(1; 0)$, $(2; -3)$, $(3; -4)$, $(4; -3)$, $(5; 0)$, $(6; 5)$ на координатну площину; - сполучимо їх плавною лінією. Лінія має дві вершини в точках $(-3; -4)$ та $(3; -4)$, а також кутову точку (злам) на осі ординат у точці $(0; 5)$. **Відповідь:** графік побудовано. 2) $y = |x^2 - 6x + 5|$. **Розв'язання:** Графік функції має вигляд $y = |f(x)|$, де $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Побудова виконується за алгоритмом: 1) Побудувати базову параболу $y = x^2 - 6x + 5$: - гілки спрямовані вгору ($a = 1 > 0$); - вершина параболи: $x_0 = 3$, $y_0 = -4$; - нулі функції: $x = 1$ та $x = 5$. 2) Частину параболи, що розташована на осі $Ox$ або вище неї ($y \ge 0$, при $x \in (-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$), залишити без змін. 3) Частину параболи, що розміщена нижче осі $Ox$ ($y < 0$, при $x \in (1; 5)$), відобразити симетрично відносно осі $Ox$ вгору. Вершина $(3; -4)$ переходить у точку $(3; 4)$. Складемо таблицю значень функції $y = |x^2 - 6x + 5|$: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $12$ | $5$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $0$ | $5$ | $12$ | Опис побудови: - нанесемо точки $(-1; 12)$, $(0; 5)$, $(1; 0)$, $(2; 3)$, $(3; 4)$, $(4; 3)$, $(5; 0)$, $(6; 5)$, $(7; 12)$ на координатну площину; - сполучимо точки плавною лінією. Графік лежить повністю не нижче осі $Ox$, має два злами на осі абсцис у точках $x = 1$ та $x = 5$ і локальну вершину у точці $(3; 4)$. **Відповідь:** графік побудовано. **№ 11.45. Побудуйте графік функції:** 1) $y = x^2 - 4|x| + 3$; **Розв'язання:** Оскільки функція містить модуль аргументу $x$, скористаємося властивістю парності функції: $f(-x) = (-x)^2 - 4|-x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 = f(x)$. Графік такої функції є симетричним відносно осі ординат ($Oy$). Для $x \ge 0$ вираз набуває вигляду $y = x^2 - 4x + 3$. Графіком цієї частини є частина параболи з вітками, спрямованими вгору. Знайдемо координати вершини параболи для $x \ge 0$: $$x_0 = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$ $$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$ Вершина розташована в точці $(2; -1)$. Нулями функції для цієї частини є корені рівняння $x^2 - 4x + 3 = 0$: $x = 1$ та $x = 3$. Складемо таблицю значень функції $y = x^2 - 4|x| + 3$ (відобразивши точки симетрично відносно осі $Oy$): | $x$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $8$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | $8$ | План побудови: 1) Побудуємо параболу $y = x^2 - 4x + 3$ для $x \ge 0$ з вершиною в точці $(2; -1)$ та нулями $x = 1$ і $x = 3$; 2) Симетрично відобразимо побудовану частину відносно осі $Oy$ у ліву півплощину ($x < 0$), отримавши вершину у точці $(-2; -1)$ та нулі $x = -1$ і $x = -3$. **Відповідь:** графік побудовано. 2) $y = |x^2 - 4x + 3|$. **Розв'язання:** 1) Побудуємо спочатку графік допоміжної квадратичної функції $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Знайдемо координати її вершини: $$x_0 = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$ $$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1$$ Вершина параболи — точка $(2; -1)$. Нулі функції: $x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x_1 = 1$, $x_2 = 3$. 2) Оскільки $y = |f(x)|$, значення функції не можуть бути від'ємними ($y \ge 0$). Тому частину параболи, яка розташована не нижче від осі $Ox$ ($x \le 1$ та $x \ge 3$), залишаємо без змін, а частину, розташовану нижче від осі $Ox$ ($1 < x < 3$), симетрично відображаємо вгору відносно осі $Ox$ (вершина переходить у точку $(2; 1)$). Складемо таблицю значень функції $y = |x^2 - 4x + 3|$: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $8$ | $3$ | $0$ | $1$ | $0$ | $3$ | $8$ | **Відповідь:** графік побудовано. **№ 11.46. Побудуйте графік функції:** 1) $y = \sqrt{x + 2}$; **Розв'язання:** 1) Область визначення функції: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$, тобто $D(y) = [-2; +\infty)$. 2) Графік функції $y = \sqrt{x + 2}$ отримують із графіка функції $y = \sqrt{x}$ шляхом паралельного перенесення вздовж осі $Ox$ на $2$ одиниці ліворуч. 3) Складемо таблицю значень для побудови графіка: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $2$ | $7$ | $14$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | 4) Нанесемо точки на координатну площину та сполучимо їх плавною лінією, починаючи з точки $(-2; 0)$. **Відповідь:** графік побудовано. 2) $y = \sqrt{x} + 2$. **Розв'язання:** 1) Область визначення функції: $x \ge 0$, тобто $D(y) = [0; +\infty)$. 2) Графік функції $y = \sqrt{x} + 2$ отримують із графіка функції $y = \sqrt{x}$ шляхом паралельного перенесення вздовж осі $Oy$ на $2$ одиниці вгору. 3) Складемо таблицю значень для побудови графіка: | $x$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | 4) Нанесемо точки на координатну площину та сполучимо їх плавною лінією, починаючи з точки $(0; 2)$. **Відповідь:** графік побудовано. **№ 11.47. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій:** 1) $f(x) = 3x^2$ і $g(x) = -6x$; **Розв'язання:** Для знаходження точок перетину графіків функцій прирівняємо їхні вирази: $$3x^2 = -6x$$ $$3x^2 + 6x = 0$$ $$3x(x + 2) = 0$$ Звідси маємо: $$\left[ \begin{array}{l} 3x = 0 \\ x + 2 = 0 \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} x_1 = 0 \\ x_2 = -2 \end{array} \right.$$ Знайдемо відповідні ординати точок перетину: - Якщо $x_1 = 0$, то $y_1 = 3 \cdot 0^2 = 0$; - Якщо $x_2 = -2$, то $y_2 = 3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$. Отже, координати точок перетину: $(0; 0)$ та $(-2; 12)$. **Відповідь:** $(0; 0)$, $(-2; 12)$. 2) $\varphi(x) = x^2 + x$ і $\psi(x) = 2$. **Розв'язання:** Прирівняємо вирази функцій: $$x^2 + x = 2$$ $$x^2 + x - 2 = 0$$ Знайдемо корені квадратного рівняння за допомогою дискримінанта: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ $$x_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1$$ $$x_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 - 3}{2} = -2$$ Оскільки $\psi(x) = 2$, то для обох точок перетину ордината $y = 2$: - Якщо $x_1 = 1$, то $y_1 = 2$; - Якщо $x_2 = -2$, то $y_2 = 2$. Отже, координати точок перетину: $(1; 2)$ та $(-2; 2)$. **Відповідь:** $(1; 2)$, $(-2; 2)$. **№ 11.48. Знайдіть область визначення функції:** 1) $y = \dfrac{3 + x}{3x^2 + 2x - 5}$; **Розв'язання:** Дробово-раціональний вираз має зміст тоді і тільки тоді, коли його знаменник не дорівнює нулю: $$3x^2 + 2x - 5 \ne 0$$ Знайдемо корені рівняння $3x^2 + 2x - 5 = 0$: $$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$$ $$x_1 = \dfrac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \dfrac{-2 + 8}{6} = 1$$ $$x_2 = \dfrac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \dfrac{-2 - 8}{6} = -\dfrac{10}{6} = -1\dfrac{2}{3}$$ Отже, $x \ne 1$ та $x \ne -1\dfrac{2}{3}$. Запишемо область визначення у вигляді об'єднання числових проміжків: $$D(y) = \left(-\infty; -1\dfrac{2}{3}\right) \cup \left(-1\dfrac{2}{3}; 1\right) \cup (1; +\infty)$$ **Відповідь:** $D(y) = \left(-\infty; -1\dfrac{2}{3}\right) \cup \left(-1\dfrac{2}{3}; 1\right) \cup (1; +\infty)$. 2) $y = \sqrt{x - 5}$. **Розв'язання:** Арифметичний квадратний корінь має зміст тільки тоді, коли підкореневий вираз є невід'ємним: $$x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$$ Отже, областю визначення функції є проміжок $[5; +\infty)$. **Відповідь:** $D(y) = [5; +\infty)$. **№ 11.49. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій $y = \dfrac{6}{x}$ та $y = x + 1$. Накресліть графіки цих функцій і позначте на них знайдені точки.** **Розв'язання:** 1) **Аналітичний розрахунок координат точок перетину:** Прирівняємо вирази функцій:\dfrac{6}{x} = x + 1
$\text{ОДЗ: } x \ne 0$. Помножимо обидві частини рівняння на $x$:6 = x(x + 1)
6 = x^2 + x
x^2 + x - 6 = 0
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -1 \
x_1 \cdot x_2 = -6
\end{cases}
\implies
\left[
\begin{array}{l}
x_1 = -3 \
x_2 = 2
\end{array}
\right.
\left[
\begin{array}{l}
x = 0 \
x + 18 = 0
\end{array}
\right.
\iff
\left[
\begin{array}{l}
x = 0 \
x = -18
\end{array}
\right.
\left[
\begin{array}{l}
2x - 3 = 0 \
2x + 3 = 0
\end{array}
\right.
\iff
\left[
\begin{array}{l}
2x = 3 \
2x = -3
\end{array}
\right.
\iff
\left[
\begin{array}{l}
x = 1{,}5 \
x = -1{,}5
\end{array}
\right.
180 = n \cdot q + r, \quad \text{де } 0 \le r < n, \quad q \in \mathbb{N}, \quad r \in \mathbb{N}
За умовою остача $r$ становить $25\,\%$ від частки $q$:r = 0{,}25 \cdot q = \dfrac{1}{4} \cdot q \implies q = 4r
Підставимо вираз $q = 4r$ у формулу ділення з остачею:180 = n \cdot (4r) + r
180 = r \cdot (4n + 1)
Оскільки остача $r \ne 0$ (інакше частка $q = 0$, що неможливо для натурального діленого), числа $r$ та $4n + 1$ є натуральними дільниками числа $180$. Зауважимо, що вираз $(4n + 1)$ при діленні на $4$ дає остачу $1$. Знайдемо всі дільники числа $180$, які мають вигляд $4n + 1$: - Якщо $4n + 1 = 5$, то $n = 1$. Тоді $r = \dfrac{180}{5} = 36$. Проте остача $r$ має бути меншою за дільник $n$ ($36 < 1$ — хибно). - Якщо $4n + 1 = 9$, то $n = 2$. Тоді $r = \dfrac{180}{9} = 20$. Перевірка умови остачі: $20 < 2$ — хибно. - Якщо $4n + 1 = 45$, то $4n = 44 \implies n = 11$. Тоді $r = \dfrac{180}{45} = 4$. Перевірка умови остачі: $4 < 11$ — істинно. Перевіримо отриманий дільник $n = 11$:180 : 11 = 16 \text{ (остача } 4 \text{)}
Частка $q = 16$, остача $r = 4$.25,% \text{ від } 16 = 16 \cdot 0{,}25 = 4
**Відповідь:** число 180 слід поділити на $11$. **ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 2 (§§ 8-11)** **1. Дано $f(x) = x^2 - x$. Знайдіть $f(-1)$.** **Розв'язання:** Підставимо значення аргументу $x = -1$ у формулу функції $f(x) = x^2 - x$:f(-1) = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2
Отже, правильним варіантом відповіді є варіант **В**. **Відповідь:** В. 2. **2. Щоб побудувати графік функції $y = x^2 + 2$, треба графік функції $y = x^2$ перенести на 2 одиниці…** **Розв'язання:** За правилами геометричних перетворень графіків функцій, графік функції $y = f(x) + n$ утворюється шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = f(x)$ уздовж осі ординат ($Oy$) на $n$ одиниць вгору, якщо $n > 0$. Таким чином, для побудови графіка функції $y = x^2 + 2$ необхідно графік функції $y = x^2$ перенести на $2$ одиниці вгору. **Відповідь:** Б. вгору.