11. Функція y = ax^2 + bx + c, a ≠ 0, її графік і властивості

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 11.1. Яка з функцій є квадратичною:
1) $y = - 2 x^{2}$ ;
2) $y = - 2 x + 5$ ;
3) $y = 5 x^{2} - 3 x$ ;
4) $y = \frac{1}{3 x ^{2} - 2 x + 5}$ ;
5) $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5$ ;
6) $y = 2 x^{2} + 3 x - 9$ ?

Розв’язання:

Функцію вигляду $y = a x^{2} + b x + c$ , де $x$ — незалежна змінна, $a, b, c$ — числа, причому $a \neq = 0$ , називають квадратичною.

1) $y = - 2 x^{2}$ — квадратична функція ( $a = - 2 \neq = 0$ , $b = 0$ , $c = 0$ ).

2) $y = - 2 x + 5$ — лінійна функція, не є квадратичною.

3) $y = 5 x^{2} - 3 x$ — квадратична функція ( $a = 5 \neq = 0$ , $b = - 3$ , $c = 0$ ).

4) $y = \frac{1}{3 x ^{2} - 2 x + 5}$ — дробово-раціональна функція, не є квадратичною.

5) $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5$ — функція містить член зі степенем $x^{3}$ , не є квадратичною.

6) $y = 2 x^{2} + 3 x - 9$ — квадратична функція ( $a = 2 \neq = 0$ , $b = 3$ , $c = - 9$ ).

Відповідь: квадратичними є функції 1), 3), 6).

№ 11.2. Випишіть функції, що є квадратичними:
1) $y = 4 x - 7$
2) $y = 4 x^{2} - 7 x + 5$
3) $y = 3 x^{2}$
4) $y = 2 x^{3} - 3 x + 5$
5) $y = \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{7}$
6) $y = 9 x^{2} - 7$

Розв’язання:
Квадратичною є функція вигляду $y = a x^{2} + b x + c$ , де $a \neq = 0$ .

1) $y = 4 x - 7$ — лінійна функція, не є квадратичною.

2) $y = 4 x^{2} - 7 x + 5$ — квадратична ( $a = 4$ , $b = - 7$ , $c = 5$ ).

3) $y = 3 x^{2}$ — квадратична ( $a = 3$ , $b = 0$ , $c = 0$ ).

4) $y = 2 x^{3} - 3 x + 5$ — степінь многочлена дорівнює 3, не є квадратичною.

5) $y = \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{7}$ — змінна міститься в знаменнику, не є квадратичною.

6) $y = 9 x^{2} - 7$ — квадратична ( $a = 9$ , $b = 0$ , $c = - 7$ ).

Відповідь: 2); 3); 6).

№ 11.3. Графіком якої з наведених функцій є парабола? Укажіть напрямок її гілок:

1) $y = \frac{6}{x}$ ;

2) $y = 6 x^{2} - 7$ ;

3) $y = 6 x - 7$ ;

4) $y = - 6 x^{2} + 5 x + 5$ ;

5) $y = 0, 01 x^{2}$ ;

6) $y = - 0, 2 x^{2} - 5 x$ .

Розв’язання:

Графіком квадратичної функції $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ ) є парабола. Якщо $a > 0$ , вітки напрямлені вгору; якщо $a < 0$ , вітки напрямлені вниз.

1) $y = \frac{6}{x}$ — функція оберненої пропорційності, графіком є гіпербола.

2) $y = 6 x^{2} - 7$ — квадратична функція, графіком є парабола.
$a = 6 > 0$ , вітки напрямлені вгору.

3) $y = 6 x - 7$ — лінійна функція, графіком є пряма.

4) $y = - 6 x^{2} + 5 x + 5$ — квадратична функція, графіком є парабола.
$a = - 6 < 0$ , вітки напрямлені вниз.

5) $y = 0, 01 x^{2}$ — квадратична функція, графіком є парабола.
$a = 0, 01 > 0$ , вітки напрямлені вгору.

6) $y = - 0, 2 x^{2} - 5 x$ — квадратична функція, графіком є парабола.
$a = - 0, 2 < 0$ , вітки напрямлені вниз.

Відповідь: парабола є графіком функцій 2) вітки напрямлені вгору; 4) вітки напрямлені вниз; 5) вітки напрямлені вгору; 6) вітки напрямлені вниз.

№ 11.4. Чи належить графіку функції $y = x^{2} - 3 x$ точка:
1) $A (0; 0)$ ;
2) $B (1; 2)$ ;
3) $C (2; - 3)$ ;
4) $D (- 1; 4)$ ?

Розв’язання:

1) Для точки $A (0; 0)$ :
$y (0) = 0^{2} - 3 \cdot 0 = 0$
$0 = 0$
Точка $A (0; 0)$ належить графіку функції.

2) Для точки $B (1; 2)$ :
$y (1) = 1^{2} - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = - 2$
$- 2 \neq = 2$
Точка $B (1; 2)$ не належить графіку функції.

3) Для точки $C (2; - 3)$ :
$y (2) = 2^{2} - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = - 2$
$- 2 \neq = - 3$
Точка $C (2; - 3)$ не належить графіку функції.

4) Для точки $D (- 1; 4)$ :
$y (- 1) = (- 1)^{2} - 3 \cdot (- 1) = 1 + 3 = 4$
$4 = 4$
Точка $D (- 1; 4)$ належить графіку функції.

Відповідь: 1) так; 2) ні; 3) ні; 4) так.

№ 11.5. Чи належить графіку функції $y = x^{2} + x$ точка:
1) $A (0; 1)$ ;
2) $B (2; 6)$ ;
3) $C (1; 2)$ ;
4) $D (- 1; 1)$ ?

Розв’язання:

1) Для точки $A (0; 1)$ :
$x = 0$
$y = 0^{2} + 0 = 0$
$0 \neq = 1$
Точка $A (0; 1)$ не належить графіку функції.

2) Для точки $B (2; 6)$ :
$x = 2$
$y = 2^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$
$6 = 6$
Точка $B (2; 6)$ належить графіку функції.

3) Для точки $C (1; 2)$ :
$x = 1$
$y = 1^{2} + 1 = 1 + 1 = 2$
$2 = 2$
Точка $C (1; 2)$ належить графіку функції.

4) Для точки $D (- 1; 1)$ :
$x = - 1$
$y = (- 1)^{2} + (- 1) = 1 - 1 = 0$
$0 \neq = 1$
Точка $D (- 1; 1)$ не належить графіку функції.

Відповідь: 1) не належить; 2) належить; 3) належить; 4) не належить.

№ 11.6. Покажіть схематично, як розташовується в координатній площині графік функції:
1) $y = 10 x^{2}$ ;
2) $y = - 15 x^{2}$ .

Розв’язання:

1) $y = 10 x^{2}$
Графіком функції є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ .
Оскільки коефіцієнт $a = 10 > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору.
Графік симетричний відносно осі $O y$ та розташований у I і II координатних чвертях.

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$10$	$0$	$10$

Графік до вправи № 11.6 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = - 15 x^{2}$
Графіком функції є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ .
Оскільки коефіцієнт $a = - 15 < 0$ , вітки параболи напрямлені вниз.
Графік симетричний відносно осі $O y$ та розташований у III і IV координатних чвертях.

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$- 15$	$0$	$- 15$

Графік до вправи № 11.6 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 11.7. Покажіть схематично, як розташовується в координатній площині графік функції:

1) $y = - 7 x^{2}$ ;

2) $y = 5 x^{2}$ .

Розв’язання:

1) Графіком функції $y = - 7 x^{2}$ є парабола з вершиною в початку координат $(0; 0)$ .
Оскільки $a = - 7 < 0$ , вітки параболи напрямлені вниз (графік розташований у III та IV координатних чвертях).

$x$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$- 7$	$0$	$- 7$

Графік до вправи № 11.7 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Графіком функції $y = 5 x^{2}$ є парабола з вершиною в початку координат $(0; 0)$ .
Оскільки $a = 5 > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору (графік розташований у I та II координатних чвертях).

$x$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$5$	$0$	$5$

Графік до вправи № 11.7 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 11.8. Дано функцію $f (x) = \frac{1}{5} x^{2}$ .
1) Заповніть у зошиті таблицю (за потреби використовуйте табличний процесор (наприклад, Excel, Google Sheets)):

$x$	$0$	$\pm 1$	$\pm 2$	$\pm 3$	$\pm 4$	$\pm 5$
$f (x)$

2) побудуйте графік функції;
3) знайдіть за графіком $f (- 1, 5)$ , $f (2, 5)$ , $f (4, 5)$ ;
4) знайдіть за графіком такі значення $x$ , що $f (x) = 1$ , $f (x) = 3, 5$ ;
5) знайдіть проміжок зростання і проміжок спадання функції.

Розв’язання:

1) Обчислимо значення функції для заданих значень аргументу:
$f (0) = \frac{1}{5} \cdot 0^{2} = 0$
$f (\pm 1) = \frac{1}{5} \cdot (\pm 1)^{2} = \frac{1}{5} = 0, 2$
$f (\pm 2) = \frac{1}{5} \cdot (\pm 2)^{2} = \frac{4}{5} = 0, 8$
$f (\pm 3) = \frac{1}{5} \cdot (\pm 3)^{2} = \frac{9}{5} = 1, 8$
$f (\pm 4) = \frac{1}{5} \cdot (\pm 4)^{2} = \frac{16}{5} = 3, 2$
$f (\pm 5) = \frac{1}{5} \cdot (\pm 5)^{2} = \frac{25}{5} = 5$

Заповнена таблиця:

$x$	$0$	$\pm 1$	$\pm 2$	$\pm 3$	$\pm 4$	$\pm 5$
$f (x)$	$0$	$0, 2$	$0, 8$	$1, 8$	$3, 2$	$5$

2) Графіком функції $f (x) = \frac{1}{5} x^{2}$ є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ , вітки якої напрямлені вгору.

Графік до вправи № 11.8 - Алгебра 9 клас

3) Знайдемо значення функції за графіком (з перевіркою за формулою):
$f (- 1, 5) = \frac{1}{5} \cdot (- 1, 5)^{2} = \frac{2 , 25}{5} = 0, 45 \approx 0, 5$
$f (2, 5) = \frac{1}{5} \cdot 2, 5^{2} = \frac{6 , 25}{5} = 1, 25 \approx 1, 3$
$f (4, 5) = \frac{1}{5} \cdot 4, 5^{2} = \frac{20 , 25}{5} = 4, 05 \approx 4, 1$

4) Знайдемо за графіком значення аргументу $x$ , при яких:
$f (x) = 1$ :
$\frac{1}{5} x^{2} = 1$
$x^{2} = 5$
$x \approx \pm 2, 2$

$f (x) = 3, 5$ :
$\frac{1}{5} x^{2} = 3, 5$
$x^{2} = 17, 5$
$x \approx \pm 4, 2$

5) Оскільки вітки параболи напрямлені вгору, а вершина міститься в точці $(0; 0)$ :
функція спадає на проміжку $(- \infty; 0]$ ;
функція зростає на проміжку $[0; + \infty)$ .

№ 11.9. Дано функцію $g (x) = \frac{1}{4} x^{2}$ .

1) Заповніть у зошиті таблицю (за потреби використовуйте табличний процесор (наприклад, Excel, Google Sheets)):

2) Побудуйте графік функції;
3) Знайдіть за графіком $g (- 2, 5)$ , $g (1, 5)$ , $g (3, 5)$ ;
4) Знайдіть за графіком такі значення $x$ , що $g (x) = 1$ , $g (x) = 2, 5$ ;
5) Знайдіть проміжок зростання і проміжок спадання функції.

Розв’язання:

1) Обчислимо значення функції $g (x) = \frac{1}{4} x^{2}$ для заданих значень аргументу:

$g (0) = \frac{1}{4} \cdot 0^{2} = 0$
$g (\pm 1) = \frac{1}{4} \cdot (\pm 1)^{2} = \frac{1}{4} = 0, 25$
$g (\pm 2) = \frac{1}{4} \cdot (\pm 2)^{2} = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$
$g (\pm 3) = \frac{1}{4} \cdot (\pm 3)^{2} = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4} = 2, 25$
$g (\pm 4) = \frac{1}{4} \cdot (\pm 4)^{2} = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$

Заповнена таблиця:

$x$	$0$	$\pm 1$	$\pm 2$	$\pm 3$	$\pm 4$
$g (x)$	$0$	$0, 25$	$1$	$2, 25$	$4$

2) Побудуємо параболу за знайденими точками: $(0; 0)$ , $(\pm 1; 0, 25)$ , $(\pm 2; 1)$ , $(\pm 3; 2, 25)$ , $(\pm 4; 4)$ .

Графік до вправи № 11.9 - Алгебра 9 клас

3) За графіком функції знаходимо наближені значення:
$g (- 2, 5) \approx 1, 6$
$g (1, 5) \approx 0, 6$
$g (3, 5) \approx 3, 1$

4) Знайдемо за графіком значення $x$ , при яких:
$g (x) = 1$ при $x = - 2$ та $x = 2$ ( $x = \pm 2$ )
$g (x) = 2, 5$ при $x \approx - 3, 2$ та $x \approx 3, 2$ ( $x \approx \pm 3, 2$ )

5) Функція є спадною на проміжку $(- \infty; 0]$ і зростаючою на проміжку $[0; + \infty)$ .

№ 11.10. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіка функції $y = - 2 x^{2}$ із прямою:
1) $y = - 8$ ;
2) $y = 10$ ;
3) $y = 4 x$ ;
4) $y = - 6 x$ .

Розв’язання:

1) Складемо рівняння для знаходження абсцис точок перетину:
$- 2 x^{2} = - 8$
$x^{2} = 4$
$x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 2$

Якщо $x = - 2$ , то $y = - 8$ .
Якщо $x = 2$ , то $y = - 8$ .
Точки перетину: $(- 2; - 8)$ та $(2; - 8)$ .

2) Складемо рівняння:
$- 2 x^{2} = 10$
$x^{2} = - 5$
Квадрат дійсного числа не може бути від’ємним, тому рівняння не має розв’язків.
Графіки не перетинаються (точок перетину немає).

3) Складемо рівняння:
$- 2 x^{2} = 4 x$
$- 2 x^{2} - 4 x = 0$
$- 2 x (x + 2) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 2$

Якщо $x = 0$ , то $y = 4 \cdot 0 = 0$ .
Якщо $x = - 2$ , то $y = 4 \cdot (- 2) = - 8$ .
Точки перетину: $(0; 0)$ та $(- 2; - 8)$ .

4) Складемо рівняння:
$- 2 x^{2} = - 6 x$
$- 2 x^{2} + 6 x = 0$
$- 2 x (x - 3) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$

Якщо $x = 0$ , то $y = - 6 \cdot 0 = 0$ .
Якщо $x = 3$ , то $y = - 6 \cdot 3 = - 18$ .
Точки перетину: $(0; 0)$ та $(3; - 18)$ .

Відповідь: 1) $(- 2; - 8)$ , $(2; - 8)$ ; 2) точок перетину немає; 3) $(0; 0)$ , $(- 2; - 8)$ ; 4) $(0; 0)$ , $(3; - 18)$ .

№ 11.11. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіка функції $y = 5 x^{2}$ із прямою:
1) $y = 20$ ;
2) $y = - 5$ ;
3) $y = 10 x$ ;
4) $y = - 5 x$ .

Розв’язання:

1) Складемо рівняння:
$5 x^{2} = 20$
$x^{2} = 4$
$x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$

Якщо $x = 2$ , то $y = 20$ .
Якщо $x = - 2$ , то $y = 20$ .
Точки перетину: $(2; 20)$ і $(- 2; 20)$ .

2) Складемо рівняння:
$5 x^{2} = - 5$
$x^{2} = - 1$
Оскільки квадрат дійсного числа не може бути від’ємним, рівняння не має розв’язків.
Точок перетину немає.

3) Складемо рівняння:
$5 x^{2} = 10 x$
$5 x^{2} - 10 x = 0$
$5 x (x - 2) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$

Якщо $x = 0$ , то $y = 10 \cdot 0 = 0$ .
Якщо $x = 2$ , то $y = 10 \cdot 2 = 20$ .
Точки перетину: $(0; 0)$ і $(2; 20)$ .

4) Складемо рівняння:
$5 x^{2} = - 5 x$
$5 x^{2} + 5 x = 0$
$5 x (x + 1) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 1$

Якщо $x = 0$ , то $y = - 5 \cdot 0 = 0$ .
Якщо $x = - 1$ , то $y = - 5 \cdot (- 1) = 5$ .
Точки перетину: $(0; 0)$ і $(- 1; 5)$ .

Відповідь: 1) $(2; 20)$ , $(- 2; 20)$ ; 2) точок перетину немає; 3) $(0; 0)$ , $(2; 20)$ ; 4) $(0; 0)$ , $(- 1; 5)$ .

№ 11.12. Визначте напрямок гілок, знайдіть координати вершини та побудуйте схематично графік квадратичної функції:
1) $y = x^{2} - 8 x + 7$ ;
2) $y = - x^{2} + 2 x - 3$ ;
3) $y = 0, 2 x^{2} - 0, 4 x + 2$ ;
4) $y = - 2 x^{2} + 6 x - 3$ .

Розв’язання:

1) $y = x^{2} - 8 x + 7$

Оскільки $a = 1 > 0$ , гілки параболи напрямлені вгору.

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{в}; y_{в})$ :
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 8}{2 \cdot 1} = 4$
$y_{в} = 4^{2} - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = - 9$
Вершина параболи — точка $(4; - 9)$ .

Знайдемо нулі функції ( $y = 0$ ):
$x^{2} - 8 x + 7 = 0$
За теоремою Вієта: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 7$ .
Точки перетину з віссю $O x$ : $(1; 0)$ та $(7; 0)$ .
Точка перетину з віссю $O y$ ( $x = 0$ ): $(0; 7)$ .

Таблиця значень:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$y$	$0$	$- 5$	$- 8$	$- 9$	$- 8$	$- 5$	$0$

Графік до вправи № 11.12 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = - x^{2} + 2 x - 3$

Оскільки $a = - 1 < 0$ , гілки параболи напрямлені вниз.

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{в}; y_{в})$ :
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = 1$
$y_{в} = - 1^{2} + 2 \cdot 1 - 3 = - 1 + 2 - 3 = - 2$
Вершина параболи — точка $(1; - 2)$ .

Знайдемо точки перетину з віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$- x^{2} + 2 x - 3 = 0$
$x^{2} - 2 x + 3 = 0$
$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = - 8 < 0$
Рівняння не має коренів, графік не перетинає вісь $O x$ .
Точка перетину з віссю $O y$ ( $x = 0$ ): $(0; - 3)$ .

Таблиця значень:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 3$	$- 6$

Графік до вправи № 11.12 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $y = 0, 2 x^{2} - 0, 4 x + 2$

Оскільки $a = 0, 2 > 0$ , гілки параболи напрямлені вгору.

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{в}; y_{в})$ :
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 0 , 4}{2 \cdot 0 , 2} = 1$
$y_{в} = 0, 2 \cdot 1^{2} - 0, 4 \cdot 1 + 2 = 1, 8$
Вершина параболи — точка $(1; 1, 8)$ .

Знайдемо точки перетину з віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$0, 2 x^{2} - 0, 4 x + 2 = 0$
$x^{2} - 2 x + 10 = 0$
$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = - 36 < 0$
Рівняння не має коренів, графік не перетинає вісь $O x$ .
Точка перетину з віссю $O y$ ( $x = 0$ ): $(0; 2)$ .

Таблиця значень:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$3, 6$	$2, 6$	$2$	$1, 8$	$2$	$2, 6$	$3, 6$

Графік до вправи № 11.12 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $y = - 2 x^{2} + 6 x - 3$

Оскільки $a = - 2 < 0$ , гілки параболи напрямлені вниз.

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{в}; y_{в})$ :
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 2 )} = 1, 5$
$y_{в} = - 2 \cdot (1, 5)^{2} + 6 \cdot 1, 5 - 3 = - 4, 5 + 9 - 3 = 1, 5$
Вершина параболи — точка $(1, 5; 1, 5)$ .

Точка перетину з віссю $O y$ ( $x = 0$ ): $(0; - 3)$ .

Таблиця значень:

$x$	$- 0, 5$	$0$	$1$	$1, 5$	$2$	$3$	$3, 5$
$y$	$- 6, 5$	$- 3$	$1$	$1, 5$	$1$	$- 3$	$- 6, 5$

Графік до вправи № 11.12 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

Відповідь:

1) гілки вгору, вершина $(4; - 9)$ ;

2) гілки вниз, вершина $(1; - 2)$ ;

3) гілки вгору, вершина $(1; 1, 8)$ ;

4) гілки вниз, вершина $(1, 5; 1, 5)$ .

№ 11.13. Визначте напрямок гілок, знайдіть координати вершини та побудуйте схематично графік квадратичної функції:
1) $y = 3 x^{2} - 12 x + 7$ ;
2) $y = - 2 x^{2} + 8 x - 3$ .

Розв’язання:

1) $y = 3 x^{2} - 12 x + 7$

$a = 3$ , $b = - 12$ , $c = 7$ .

Оскільки $a = 3 > 0$ , гілки параболи напрямлені вгору.

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{в}; y_{в})$ :
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 12}{2 \cdot 3} = 2$
$y_{в} = 3 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 7 = 12 - 24 + 7 = - 5$
Вершина параболи: $(2; - 5)$ .

Таблиця опорних точок для побудови графіка:

$x$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 2$	$- 5$	$- 2$

Графік до вправи № 11.13 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = - 2 x^{2} + 8 x - 3$

$a = - 2$ , $b = 8$ , $c = - 3$ .

Оскільки $a = - 2 < 0$ , гілки параболи напрямлені вниз.

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{в}; y_{в})$ :
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{8}{2 \cdot ( - 2 )} = 2$
$y_{в} = - 2 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 3 = - 8 + 16 - 3 = 5$
Вершина параболи: $(2; 5)$ .

Таблиця опорних точок для побудови графіка:

$x$	$1$	$2$	$3$
$y$	$3$	$5$	$3$

Графік до вправи № 11.13 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь: 1) вітки вгору, вершина $(2; - 5)$ ; 2) вітки вниз, вершина $(2; 5)$ .

№ 11.14. Не виконуючи побудови, знайдіть точки перетину графіка квадратичної функції з осями координат:

1) $y = x^{2} - 7 x + 10$
2) $y = 2 x^{2} - x - 3$
3) $y = - x^{2} + 8 x + 9$
4) $y = - 3 x^{2} - 5 x + 2$

Розв’язання:

1) $y = x^{2} - 7 x + 10$
З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = 0^{2} - 7 \cdot 0 + 10 = 10$
Точка перетину: $(0; 10)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$x^{2} - 7 x + 10 = 0$
За теоремою Вієта: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 5$ .
Точки перетину: $(2; 0)$ та $(5; 0)$ .

2) $y = 2 x^{2} - x - 3$
З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = 2 \cdot 0^{2} - 0 - 3 = - 3$
Точка перетину: $(0; - 3)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$2 x^{2} - x - 3 = 0$
$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 1 + 24 = 25$
$x_{1} = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1, 5$
$x_{2} = \frac{1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{- 4}{4} = - 1$
Точки перетину: $(1, 5; 0)$ та $(- 1; 0)$ .

3) $y = - x^{2} + 8 x + 9$
З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = - 0^{2} + 8 \cdot 0 + 9 = 9$
Точка перетину: $(0; 9)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$- x^{2} + 8 x + 9 = 0$
$x^{2} - 8 x - 9 = 0$
За теоремою Вієта: $x_{1} = 9$ , $x_{2} = - 1$ .
Точки перетину: $(9; 0)$ та $(- 1; 0)$ .

4) $y = - 3 x^{2} - 5 x + 2$
З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = - 3 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0 + 2 = 2$
Точка перетину: $(0; 2)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$- 3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$
$3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$
$D = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 25 + 24 = 49$
$x_{1} = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_{2} = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{- 12}{6} = - 2$
Точки перетину: $(\frac{1}{3}; 0)$ та $(- 2; 0)$ .

Відповідь:

1) з віссю $O y$ : $(0; 10)$ ; з віссю $O x$ : $(2; 0)$ , $(5; 0)$ ;

2) з віссю $O y$ : $(0; - 3)$ ; з віссю $O x$ : $(- 1; 0)$ , $(1, 5; 0)$ ;

3) з віссю $O y$ : $(0; 9)$ ; з віссю $O x$ : $(- 1; 0)$ , $(9; 0)$ ;

4) з віссю $O y$ : $(0; 2)$ ; з віссю $O x$ : $(- 2; 0)$ , $(\frac{1}{3}; 0)$ .

№ 11.15. Не виконуючи побудови, знайдіть точки перетину графіка квадратичної функції з осями координат:
1) $y = x^{2} + 4 x - 5$ ;
2) $y = - 5 x^{2} - 6 x - 1$ .

Розв’язання:

1) $y = x^{2} + 4 x - 5$

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = 0^{2} + 4 \cdot 0 - 5 = - 5$
Точка перетину: $(0; - 5)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$x^{2} + 4 x - 5 = 0$
За теоремою Вієта: $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 1$ .
Точки перетину: $(- 5; 0)$ та $(1; 0)$ .

2) $y = - 5 x^{2} - 6 x - 1$

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = - 5 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 - 1 = - 1$
Точка перетину: $(0; - 1)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$- 5 x^{2} - 6 x - 1 = 0$
$5 x^{2} + 6 x + 1 = 0$
$D = 6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$
$x_{1} = \frac{- 6 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{- 6 - 4}{10} = - 1$
$x_{2} = \frac{- 6 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{- 6 + 4}{10} = - \frac{2}{10} = - 0, 2$

Точки перетину: $(- 1; 0)$ та $(- 0, 2; 0)$ .

Відповідь:
1) з віссю $O y$ : $(0; - 5)$ ; з віссю $O x$ : $(- 5; 0)$ , $(1; 0)$ ;
2) з віссю $O y$ : $(0; - 1)$ ; з віссю $O x$ : $(- 1; 0)$ , $(- 0, 2; 0)$ .

№ 11.16. Побудуйте графік функції:
1) $y = x^{2} - 2 x$ ;
2) $y = - x^{2} + 6 x$ ;
3) $y = x^{2} + 4 x + 5$ ;
4) $y = - x^{2} + 2 x + 3$ .
За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови.

Розв’язання:

1) $y = x^{2} - 2 x$
Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Координати вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$
$y_{в} = 1^{2} - 2 \cdot 1 = - 1$
Вершина параболи: $(1; - 1)$ .

Точки перетину з віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$x^{2} - 2 x = 0$
$x (x - 2) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$

Точка перетину з віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = 0^{2} - 2 \cdot 0 = 0$

Таблиця значень функції:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$

Графік до вправи № 11.16 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = - x^{2} + 6 x$
Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Координати вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 1 )} = 3$
$y_{в} = - 3^{2} + 6 \cdot 3 = - 9 + 18 = 9$
Вершина параболи: $(3; 9)$ .

Точки перетину з віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$- x^{2} + 6 x = 0$
$- x (x - 6) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 6$

Точка перетину з віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = - 0^{2} + 6 \cdot 0 = 0$

Таблиця значень функції:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$0$	$5$	$8$	$9$	$8$	$5$	$0$

Графік до вправи № 11.16 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $y = x^{2} + 4 x + 5$
Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Координати вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = - 2$
$y_{в} = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$
Вершина параболи: $(- 2; 1)$ .

Точки перетину з віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$x^{2} + 4 x + 5 = 0$
$D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = - 4 < 0$
Рівняння коренів не має, отже, графік не перетинає вісь $O x$ .

Точка перетину з віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = 0^{2} + 4 \cdot 0 + 5 = 5$

Таблиця значень функції:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$5$	$2$	$1$	$2$	$5$

Графік до вправи № 11.16 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $y = - x^{2} + 2 x + 3$
Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Координати вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = 1$
$y_{в} = - 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = - 1 + 2 + 3 = 4$
Вершина параболи: $(1; 4)$ .

Точки перетину з віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$
$x^{2} - 2 x - 3 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 3$

Точка перетину з віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = - 0^{2} + 2 \cdot 0 + 3 = 3$

Таблиця значень функції:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$

Графік до вправи № 11.16 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

№ 11.17. Побудуйте графік функції:
1) $y = x^{2} + 4 x$ ;
2) $y = - x^{2} + 2 x$ ;
3) $y = x^{2} + 2 x + 3$ ;
4) $y = - x^{2} + 4 x - 3$ .

Розв’язання:

1) $y = x^{2} + 4 x$

Графіком є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = - 2$
$y_{0} = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) = 4 - 8 = - 4$
Вершина: $(- 2; - 4)$ .

Точки перетину з віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$x^{2} + 4 x = 0$
$x (x + 4) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 4$
Точки: $(0; 0)$ та $(- 4; 0)$ .

Точка перетину з віссю $O y$ : $(0; 0)$ .

Таблиця значень:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$

Графік до вправи № 11.17 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = - x^{2} + 2 x$

Графіком є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).

Координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = 1$
$y_{0} = - (1)^{2} + 2 \cdot 1 = - 1 + 2 = 1$
Вершина: $(1; 1)$ .

Точки перетину з віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$- x^{2} + 2 x = 0$
$- x (x - 2) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$
Точки: $(0; 0)$ та $(2; 0)$ .

Точка перетину з віссю $O y$ : $(0; 0)$ .

Таблиця значень:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 3$	$0$	$1$	$0$	$- 3$

Графік до вправи № 11.17 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $y = x^{2} + 2 x + 3$

Графіком є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot 1} = - 1$
$y_{0} = (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
Вершина: $(- 1; 2)$ .

Точки перетину з віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$x^{2} + 2 x + 3 = 0$
$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = - 8 < 0$
Коренів немає, графік не перетинає вісь $O x$ .

Точка перетину з віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 3 = 3$
Точка: $(0; 3)$ .

Таблиця значень:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$

Графік до вправи № 11.17 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $y = - x^{2} + 4 x - 3$

Графіком є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).

Координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = 2$
$y_{0} = - (2)^{2} + 4 \cdot 2 - 3 = - 4 + 8 - 3 = 1$
Вершина: $(2; 1)$ .

Точки перетину з віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$- x^{2} + 4 x - 3 = 0$
$x^{2} - 4 x + 3 = 0$
$x_{1} = 1$ , $x_{2} = 3$
Точки: $(1; 0)$ та $(3; 0)$ .

Точка перетину з віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = - 0^{2} + 4 \cdot 0 - 3 = - 3$
Точка: $(0; - 3)$ .

Таблиця значень:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$- 3$	$0$	$1$	$0$	$- 3$

Графік до вправи № 11.17 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

№ 11.18. Побудуйте графік функції $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ . За графіком знайдіть:
1) $f (1)$ , $f (- 2, 5)$ , $f (1, 5)$ ;
2) значення $x$ , за яких $f (x) = 5$ , $f (x) = - 4$ , $f (x) = - 2$ ;
3) нулі функції;
4) розв’язки нерівностей: $f (x) \geq 0$ , $f (x) < 0$ ;
5) найбільше та найменше значення функції;
6) область значень функції;
7) проміжки зростання і проміжки спадання функції.

Розв’язання:

Побудуємо графік функції $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ .
Графіком є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Знайдемо координати вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot 1} = - 1$
$y_{в} = f (- 1) = (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) - 3 = 1 - 2 - 3 = - 4$
Вершина параболи — точка $(- 1; - 4)$ .

Вісь симетрії параболи — пряма $x = - 1$ .

Нулі функції (перетин з віссю $O x$ ):
$x^{2} + 2 x - 3 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 1$
Точки перетину з віссю $O x$ : $(- 3; 0)$ та $(1; 0)$ .

Точка перетину з віссю $O y$ :
$f (0) = - 3$ , точка $(0; - 3)$ .

Складемо таблицю значень функції:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Графік до вправи № 11.18 - Алгебра 9 клас

За побудованим графіком визначимо:

1) Значення функції при заданих значеннях аргументу:
$f (1) = 0$
$f (- 2, 5) = - 1, 75$
$f (1, 5) = 2, 25$

2) Значення аргументу $x$ , за яких:
$f (x) = 5$ при $x = - 4$ та $x = 2$
$f (x) = - 4$ при $x = - 1$
$f (x) = - 2$ при $x \approx - 2, 4$ та $x \approx 0, 4$

3) Нулі функції ( $f (x) = 0$ ):
$x = - 3$ та $x = 1$ .

4) Розв’язки нерівностей:
$f (x) \geq 0$ , якщо $x \in (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$
$f (x) < 0$ , якщо $x \in (- 3; 1)$

5) Найбільше та найменше значення функції:
$y_{найм} = - 4$ (при $x = - 1$ )
Найбільшого значення не існує.

6) Область значень функції:
$E (f) = [- 4; + \infty)$

7) Проміжки зростання і спадання:
Функція спадає на проміжку $(- \infty; - 1]$
Функція зростає на проміжку $[- 1; + \infty)$

№ 11.19. Побудуйте графік функції $g (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ . За графіком знайдіть:
1) $g (1)$ , $g (2, 5)$ , $g (4, 5)$ ;
2) значення $x$ , за яких $g (x) = 4$ , $g (x) = - 5$ , $g (x) = 3$ ;
3) нулі функції;
4) розв’язки нерівностей: $g (x) > 0$ , $g (x) \leq 0$ ;
5) найбільше та найменше значення функції;
6) область значень функції;
7) проміжки зростання і проміжки спадання функції.

Розв’язання:

Графіком функції $g (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{в}; y_{в})$ :
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 1 )} = 3$
$y_{в} = g (3) = - (3)^{2} + 6 \cdot 3 - 5 = - 9 + 18 - 5 = 4$
Вершина параболи — точка $(3; 4)$ .

Вісь симетрії параболи — пряма $x = 3$ .

Складемо таблицю значень функції для кількох опорних точок:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$g (x)$	$- 5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$- 5$

Графік до вправи № 11.19 - Алгебра 9 клас

За побудованим графіком знаходимо:

1) Значення функції при заданих значеннях аргументу:
$g (1) = 0$
$g (2, 5) = 3, 75$
$g (4, 5) = 1, 75$

2) Значення $x$ , за яких функція набуває вказаних значень:
$g (x) = 4$ при $x = 3$
$g (x) = - 5$ при $x = 0$ або $x = 6$
$g (x) = 3$ при $x = 2$ або $x = 4$

3) Нулі функції (значення $x$ , за яких $g (x) = 0$ ):
$x = 1$ та $x = 5$

4) Розв’язки нерівностей:
$g (x) > 0$ при $x \in (1; 5)$
$g (x) \leq 0$ при $x \in (- \infty; 1] \cup [5; + \infty)$

5) Найбільше та найменше значення функції:
Найбільше значення: $y_{max} = 4$ (при $x = 3$ )
Найменшого значення функція не має.

6) Область значень функції:
$E (g) = (- \infty; 4]$

7) Проміжки монотонності:
Функція зростає на проміжку $(- \infty; 3]$
Функція спадає на проміжку $[3; + \infty)$

№ 11.20. Графіком квадратичної функції є парабола з вершиною в початку координат, яка проходить через точку $A (- 2; \frac{1}{3})$ . Задайте цю функцію формулою.

Розв’язання:
Оскільки вершина параболи знаходиться в початку координат $(0; 0)$ , квадратична функція має вигляд:
$y = a x^{2}$

Підставимо координати точки $A (- 2; \frac{1}{3})$ у рівняння функції:
$\frac{1}{3} = a \cdot (- 2)^{2}$
$4 a = \frac{1}{3}$
$a = \frac{1}{3} : 4$
$a = \frac{1}{12}$

Отримуємо формулу функції:
$y = \frac{1}{12} x^{2}$

Відповідь: $y = \frac{1}{12} x^{2}$ .

№ 11.21. Побудуйте графік квадратичної функції та за графіком знайдіть область значень функції, нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції:
1) $y = - 4 x^{2} + 8 x$ ;
2) $y = 2 x^{2} - 8 x + 6$ ;
3) $y = (x - 1) (x - 5)$ ;
4) $y = 2 (x + 1) (x - 3)$ .

Розв’язання:

1) $y = - 4 x^{2} + 8 x$

Графік — парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 4 < 0$ ).

Координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{8}{2 \cdot ( - 4 )} = 1$
$y_{0} = - 4 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1 = 4$
Вершина: $(1; 4)$ .

Нулі функції:
$- 4 x^{2} + 8 x = 0$
$- 4 x (x - 2) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$

Перетин з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = 0$ .

Таблиця значень:

$x$	$- 0, 5$	$0$	$1$	$2$	$2, 5$
$y$	$- 5$	$0$	$4$	$0$	$- 5$

Графік до вправи № 11.21 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Властивості функції за графіком:

Область значень: $E (y) = (- \infty; 4]$ ;
Нулі функції: $x = 0$ , $x = 2$ ;
Проміжки знакосталості:
$y > 0$ , якщо $x \in (0; 2)$
$y < 0$ , якщо $x \in (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$
Проміжки зростання і спадання:
функція зростає на $(- \infty; 1]$
функція спадає на $[1; + \infty)$

2) $y = 2 x^{2} - 8 x + 6$

Графік — парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).

Координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 8}{2 \cdot 2} = 2$
$y_{0} = 2 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = - 2$
Вершина: $(2; - 2)$ .

Нулі функції:
$2 x^{2} - 8 x + 6 = 0$
$x^{2} - 4 x + 3 = 0$
$x_{1} = 1$ , $x_{2} = 3$

Перетин з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = 6$ .

Таблиця значень:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$6$	$0$	$- 2$	$0$	$6$

Графік до вправи № 11.21 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Властивості функції за графіком:

Область значень: $E (y) = [- 2; + \infty)$ ;
Нулі функції: $x = 1$ , $x = 3$ ;
Проміжки знакосталості:
$y > 0$ , якщо $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$
$y < 0$ , якщо $x \in (1; 3)$
Проміжки зростання і спадання:
функція зростає на $[2; + \infty)$
функція спадає на $(- \infty; 2]$

3) $y = (x - 1) (x - 5) = x^{2} - 6 x + 5$

Графік — парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$
$y_{0} = (3 - 1) (3 - 5) = 2 \cdot (- 2) = - 4$
Вершина: $(3; - 4)$ .

Нулі функції:
$(x - 1) (x - 5) = 0$
$x_{1} = 1$ , $x_{2} = 5$

Перетин з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = 5$ .

Таблиця значень:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Графік до вправи № 11.21 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

Властивості функції за графіком:

Область значень: $E (y) = [- 4; + \infty)$ ;
Нулі функції: $x = 1$ , $x = 5$ ;
Проміжки знакосталості:
$y > 0$ , якщо $x \in (- \infty; 1) \cup (5; + \infty)$
$y < 0$ , якщо $x \in (1; 5)$
Проміжки зростання і спадання:
функція зростає на $[3; + \infty)$
функція спадає на $(- \infty; 3]$

4) $y = 2 (x + 1) (x - 3) = 2 (x^{2} - 2 x - 3) = 2 x^{2} - 4 x - 6$

Графік — парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).

Координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 4}{2 \cdot 2} = 1$
$y_{0} = 2 (1 + 1) (1 - 3) = 2 \cdot 2 \cdot (- 2) = - 8$
Вершина: $(1; - 8)$ .

Нулі функції:
$2 (x + 1) (x - 3) = 0$
$x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 3$

Перетин з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = - 6$ .

Таблиця значень:

| $x$ | $- 1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $

Графік до вправи № 11.21 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

№ 11.22. Побудуйте графік квадратичної функції та за графіком знайдіть область значень функції, нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції:
1) $y = 2 x^{2} - 6 x$ ;
2) $y = - 3 x^{2} + 12 x - 9$ .

Розв’язання:

1) $y = 2 x^{2} - 6 x$ — квадратична функція, графіком є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{в}; y_{в})$ :
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1, 5$
$y_{в} = 2 \cdot (1, 5)^{2} - 6 \cdot 1, 5 = 2 \cdot 2, 25 - 9 = 4, 5 - 9 = - 4, 5$
Вершина параболи: $(1, 5; - 4, 5)$ .

Вісь симетрії: пряма $x = 1, 5$ .

Складемо таблицю значень функції для кількох точок:

$x$	$- 0, 5$	$0$	$1$	$1, 5$	$2$	$3$	$3, 5$
$y$	$3, 5$	$0$	$- 4$	$- 4, 5$	$- 4$	$0$	$3, 5$

Графік до вправи № 11.22 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

За графіком визначаємо властивості функції:

Область значень: $E (y) = [- 4, 5; + \infty)$ .
Нулі функції: $x = 0$ та $x = 3$ .
Проміжки знакосталості:
$y > 0$ , якщо $x \in (- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$ ;
$y < 0$ , якщо $x \in (0; 3)$ .
Проміжки зростання і спадання:
функція спадає на $(- \infty; 1, 5]$ ;
функція зростає на $[1, 5; + \infty)$ .

2) $y = - 3 x^{2} + 12 x - 9$ — квадратична функція, графіком є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 3 < 0$ ).

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{в}; y_{в})$ :
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{12}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{- 12}{- 6} = 2$
$y_{в} = - 3 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 9 = - 12 + 24 - 9 = 3$
Вершина параболи: $(2; 3)$ .

Вісь симетрії: пряма $x = 2$ .

Складемо таблицю значень функції для кількох точок:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$- 9$	$0$	$3$	$0$	$- 9$

Графік до вправи № 11.22 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

За графіком визначаємо властивості функції:

Область значень: $E (y) = (- \infty; 3]$ .
Нулі функції: $x = 1$ та $x = 3$ .
Проміжки знакосталості:
$y > 0$ , якщо $x \in (1; 3)$ ;
$y < 0$ , якщо $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ .
Проміжки зростання і спадання:
функція зростає на $(- \infty; 2]$ ;
функція спадає на $[2; + \infty)$ .

№ 11.23. Графік функції $y = a x^{2} + 2 x + 3$ проходить через точку $B (1; - 5)$ . Знайдіть коефіцієнт $a$ .

Розв’язання:
Оскільки графік функції проходить через точку $B (1; - 5)$ , підставимо $x = 1$ та $y = - 5$ у формулу функції:
$- 5 = a \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3$
$- 5 = a + 2 + 3$
$- 5 = a + 5$
$a = - 5 - 5$
$a = - 10$

Відповідь: $a = - 10$ .

№ 11.24. Графік функції $y = 2 x^{2} + b x + 5$ проходить через точку $A (1; 9)$ . Знайдіть коефіцієнт $b$ .

Розв’язання:
Підставимо координати точки $A (1; 9)$ у формулу функції:

$9 = 2 \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + 5$
$9 = 2 + b + 5$
$9 = b + 7$
$b = 9 - 7$
$b = 2$

Відповідь: $b = 2$ .

**№ 11.25. За яких значень $b$ віссю симетрії параболи $y = x^{2} + b x + c$ є пряма:

1) $x = - 1$ ;

2) $x = 5$ ?
Чи впливає на відповідь значення коефіцієнта $c$ ?**

Розв’язання:

Віссю симетрії параболи $y = a x^{2} + b x + c$ є вертикальна пряма $x = x_{в}$ , де $x_{в} = - \frac{b}{2 a}$ — абсциса вершини параболи.

Для функції $y = x^{2} + b x + c$ маємо $a = 1$ , тому:
$x = - \frac{b}{2 \cdot 1}$
$x = - \frac{b}{2}$

1) $x = - 1$
$- \frac{b}{2} = - 1$
$b = - 1 \cdot (- 2)$
$b = 2$

2) $x = 5$
$- \frac{b}{2} = 5$
$b = 5 \cdot (- 2)$
$b = - 10$

Значення коефіцієнта $c$ на відповідь не впливає, оскільки рівняння осі симетрії параболи залежить виключно від коефіцієнтів $a$ та $b$ .

Відповідь: 1) $b = 2$ ; 2) $b = - 10$ ; не впливає.

№ 11.26. За якого значення $a$ віссю симетрії параболи $y = a x^{2} - 6 x + 7$ є пряма $x = - 1$ ?

Розв’язання:
Віссю симетрії параболи $y = a x^{2} + b x + c$ є пряма $x = x_{в}$ , де абсциса вершини визначається за формулою:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a}$

За умовою $b = - 6$ , а $x_{в} = - 1$ :
$- 1 = - \frac{- 6}{2 a}$
$- 1 = \frac{6}{2 a}$
$- 1 = \frac{3}{a}$
$- a = 3$
$a = - 3$

Відповідь: $- 3$ .

№ 11.27. Знайдіть такі точки параболи:
1) $y = x^{2} - 6 x + 10$ , у яких абсциса дорівнює ординаті;
2) $y = x^{2} - 7 x + 8$ , у яких абсциса й ордината — протилежні числа.

Розв’язання:

1) Оскільки абсциса дорівнює ординаті, то $y = x$ .
Підставимо $y = x$ у рівняння параболи:
$x = x^{2} - 6 x + 10$
$x^{2} - 7 x + 10 = 0$

За теоремою Вієта: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 5$ .

Якщо $x_{1} = 2$ , то $y_{1} = 2$ .
Якщо $x_{2} = 5$ , то $y_{2} = 5$ .
Отримуємо точки $(2; 2)$ та $(5; 5)$ .

2) Оскільки абсциса й ордината — протилежні числа, то $y = - x$ .
Підставимо $y = - x$ у рівняння параболи:
$- x = x^{2} - 7 x + 8$
$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

За теоремою Вієта: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 4$ .

Якщо $x_{1} = 2$ , то $y_{1} = - 2$ .
Якщо $x_{2} = 4$ , то $y_{2} = - 4$ .
Отримуємо точки $(2; - 2)$ та $(4; - 4)$ .

Відповідь: 1) $(2; 2)$ , $(5; 5)$ ; 2) $(2; - 2)$ , $(4; - 4)$ .

№ 11.28. Знайдіть такі точки параболи:
1) $y = x^{2} - 5 x$ , у яких абсциса дорівнює ординаті;
2) $y = x^{2} + 2 x - 10$ , у яких абсциса й ордината — протилежні числа.

Розв’язання:

1) Оскільки абсциса дорівнює ординаті, маємо $y = x$ :
$x^{2} - 5 x = x$
$x^{2} - 6 x = 0$
$x (x - 6) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 6$

Якщо $x = 0$ , то $y = 0$ .
Якщо $x = 6$ , то $y = 6$ .
Отримуємо точки: $(0; 0)$ та $(6; 6)$ .

2) Оскільки абсциса й ордината є протилежними числами, маємо $y = - x$ :
$x^{2} + 2 x - 10 = - x$
$x^{2} + 3 x - 10 = 0$
За теоремою Вієта: $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 2$ .

Якщо $x = - 5$ , то $y = - (- 5) = 5$ .
Якщо $x = 2$ , то $y = - 2$ .
Отримуємо точки: $(- 5; 5)$ та $(2; - 2)$ .

Відповідь: 1) $(0; 0)$ , $(6; 6)$ ; 2) $(- 5; 5)$ , $(2; - 2)$ .

№ 11.29. Доведіть, що всі точки параболи:
1) $y = x^{2} - 2 x + 3$ лежать вище від осі $x$ ;
2) $y = - x^{2} - 4 x - 5$ лежать нижче від осі $x$ .

Розв’язання:

1) $y = x^{2} - 2 x + 3$
Коефіцієнт $a = 1 > 0$ , отже, вітки параболи напрямлені вгору.

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$
$y_{0} = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 3 = 2$
Вершина параболи — точка $(1; 2)$ .

Знайдемо дискримінант квадратного тричлена:
$D = b^{2} - 4 a c$
$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = - 8 < 0$

Оскільки $a > 0$ і $D < 0$ , парабола не має нулів (не перетинає вісь $x$ ), а її найнижча точка — вершина $(1; 2)$ — має додатну ординату ( $y_{0} = 2 > 0$ ).
Отже, $y > 0$ при всіх дійсних значеннях $x$ , тобто всі точки параболи лежать вище від осі $x$ . Твердження доведено.

2) $y = - x^{2} - 4 x - 5$
Коефіцієнт $a = - 1 < 0$ , отже, вітки параболи напрямлені вниз.

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 4}{2 \cdot ( - 1 )} = - 2$
$y_{0} = - (- 2)^{2} - 4 \cdot (- 2) - 5 = - 4 + 8 - 5 = - 1$
Вершина параболи — точка $(- 2; - 1)$ .

Знайде

№ 11.30. Знайдіть точки перетину параболи $y = 2 x^{2} - 7 x + 13$ з прямою $y = 2 x + 3$ .

Розв’язання:

Для знаходження точок перетину складемо та розв’яжемо рівняння:

$2 x^{2} - 7 x + 13 = 2 x + 3$

$2 x^{2} - 7 x - 2 x + 13 - 3 = 0$

$2 x^{2} - 9 x + 10 = 0$

$D = (- 9)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$
$x_{1} = \frac{9 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2, 5$
$x_{2} = \frac{9 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
Якщо $x = 2, 5$ , то $y = 2 \cdot 2, 5 + 3 = 5 + 3 = 8$ .
Якщо $x = 2$ , то $y = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$ .

Отже, парабола і пряма перетинаються в точках $(2, 5; 8)$ та $(2; 7)$ .

Відповідь: $(2, 5; 8)$ , $(2; 7)$ .

№ 11.31. Знайдіть точки перетину параболи $y = 5 x^{2} - 7 x - 3$ з прямою $y = - x - 4$ .

Розв’язання:
Складемо рівняння для знаходження абсцис точок перетину:
$5 x^{2} - 7 x - 3 = - x - 4$
$5 x^{2} - 7 x + x - 3 + 4 = 0$
$5 x^{2} - 6 x + 1 = 0$
$D = (- 6)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$
$x_{1} = \frac{6 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$x_{2} = \frac{6 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0, 2$

Знайдемо відповідні ординати точок:
якщо $x_{1} = 1$ , то:
$y_{1} = - 1 - 4 = - 5$

якщо $x_{2} = 0, 2$ , то:
$y_{2} = - 0, 2 - 4 = - 4, 2$

Отже, точками перетину є $(1; - 5)$ та $(0, 2; - 4, 2)$ .

Відповідь: $(1; - 5)$ , $(0, 2; - 4, 2)$ (або $(\frac{1}{5}; - 4 \frac{1}{5})$ ).

№ 11.32. Тіло, що падає на землю, за $t с$ долає відстань $s м$ , де $s = \frac{g t ^{2}}{2}$ , $g \approx 10 м / с^{2}$ . Через який час тіло досягне поверхні землі, якщо в початковий момент воно перебуває на висоті $560 м$ ?

Розв’язання:

Підставимо відомі числові значення у формулу відстані ( $t > 0$ ):
$560 = \frac{10 t ^{2}}{2}$
$560 = 5 t^{2}$
$t^{2} = \frac{560}{5}$
$t^{2} = 112$
$t = 112 \approx 10, 6 (с)$

Відповідь: $\approx 10, 6 с .$

№ 11.33. З лука випущено стрілу вертикально вгору з початковою швидкістю $50 м / с$ . Залежність відстані $s$ (у метрах) від стріли до землі від часу польоту $t$ (у секундах) задається формулою $s = 50 t - 5 t^{2}$ . Побудуйте схематично графік цієї залежності та за ним знайдіть:
1) якої найбільшої висоти сягне стріла;
2) проміжок часу, протягом якого вона летіла вгору, та проміжок часу, протягом якого вона падала вниз;
3) через скільки секунд після пуску стріла впала на землю.

Розв’язання:

Функція $s (t) = - 5 t^{2} + 50 t$ є квадратичною, де $a = - 5$ , $b = 50$ , $c = 0$ . Оскільки $a < 0$ , вітки параболи напрямлені вниз.

Знайдемо координати вершини параболи $(t_{0}; s_{0})$ :
$t_{0} = - \frac{b}{2 a}$
$t_{0} = - \frac{50}{2 \cdot ( - 5 )} = 5$
$s_{0} = s (5) = 50 \cdot 5 - 5 \cdot 5^{2} = 250 - 125 = 125$

Вершина параболи має координати $(5; 125)$ .

Знайдемо точки перетину графіка з віссю $t$ ( $s = 0$ ):
$50 t - 5 t^{2} = 0$
$5 t (10 - t) = 0$
$t_{1} = 0$
$t_{2} = 10$

Складемо таблицю значень функції для $t \in [0; 10]$ :

$t$	$0$	$2$	$5$	$8$	$10$
$s$	$0$	$80$	$125$	$80$	$0$

Графік до вправи № 11.33 - Алгебра 9 клас

За графіком залежності знаходимо:

1) Найбільша висота відповідає ординаті вершини параболи:
$s_{max} = 125 м$ .

2) Функція зростає при $t \in [0; 5]$ і спадає при $t \in [5; 10]$ .
Отже, стріла летіла вгору протягом проміжку часу $[0; 5] с$ , а падала вниз — протягом проміжку часу $[5; 10] с$ .

3) Стріла впала на землю, коли $s = 0$ (при $t > 0$ ):
$t = 10 с$ .

Відповідь:
1) $125 м$ ;
2) летіла вгору: $[0; 5] с$ , падала вниз: $[5; 10] с$ ;
3) через $10 с$ .

№ 11.34. М’яч підкинуто вертикально вгору з початковою швидкістю $15 м / с$ . Залежність відстані $h$ (у метрах) від м’яча до землі від часу польоту $t$ (у секундах) задається формулою $h = 15 t - 5 t^{2}$ . Побудуйте схематично графік цієї залежності та за ним знайдіть:
1) якої найбільшої висоти сягне м’яч;
2) проміжок часу, протягом якого він рухався вгору, та проміжок часу, протягом якого він падав униз;
3) через скільки секунд після підкидання м’яч упав на землю.

Розв’язання:

Функція $h (t) = - 5 t^{2} + 15 t$ є квадратичною, її графіком є парабола з вітками, напрямленими вниз ( $a = - 5 < 0$ ). Оскільки $t \geq 0$ та $h \geq 0$ , розглядаємо частину параболи над віссю абсцис.

Координати вершини параболи:
$t_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{15}{2 \cdot ( - 5 )} = 1, 5$
$h_{в} = 15 \cdot 1, 5 - 5 \cdot (1, 5)^{2} = 22, 5 - 11, 25 = 11, 25$
Вершина параболи — точка $(1, 5; 11, 25)$ .

Точки перетину з віссю $O t$ ( $h = 0$ ):
$- 5 t^{2} + 15 t = 0$
$- 5 t (t - 3) = 0$
$t_{1} = 0$
$t_{2} = 3$

Таблиця значень для побудови графіка:

$t (с)$	$0$	$1$	$1, 5$	$2$	$3$
$h (м)$	$0$	$10$	$11, 25$	$10$	$0$

Графік до вправи № 11.34 - Алгебра 9 клас

За графіком залежності знаходимо:

1) Найбільша висота досягається у вершині параболи:
$h_{max} = 11, 25 м$ при $t = 1, 5 с$ .

2) Графік зростає на проміжку $[0; 1, 5]$ і спадає на проміжку $[1, 5; 3]$ .
Отже, м’яч рухався вгору протягом проміжку часу $[0; 1, 5] с$ , а падав униз протягом $[1, 5; 3] с$ .

3) М’яч упав на землю при $h = 0$ і $t > 0$ , тобто в момент $t = 3 с$ .

Відповідь: 1) $11, 25 м$ ; 2) вгору: $[0; 1, 5] с$ , униз: $[1, 5; 3] с$ ; 3) через $3 с$ .

№ 11.35. За яких значень $b$ і $c$ точка $N (5; 7)$ є вершиною параболи $y = x^{2} + b x + c$ ?

Розв’язання:
Для параболи $y = x^{2} + b x + c$ перший коефіцієнт $a = 1$ .
За умовою координатами вершини є $x_{в} = 5$ , $y_{в} = 7$ .

Знайдемо коефіцієнт $b$ за формулою абсциси вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a}$
$5 = - \frac{b}{2 \cdot 1}$
$5 = - \frac{b}{2}$
$b = - 10$

Оскільки вершина $N (5; 7)$ належить графіку функції, підставимо координати точки $N$ та значення $b = - 10$ у формулу параболи:
$y = x^{2} + b x + c$
$7 = 5^{2} + (- 10) \cdot 5 + c$
$7 = 25 - 50 + c$
$7 = - 25 + c$
$c = 7 + 25$
$c = 32$

Відповідь: $b = - 10$ ; $c = 32$ .

№ 11.36. За яких значень $a$ і $c$ точка $M (- 3; - 13)$ є вершиною параболи $y = a x^{2} + 12 x + c$ ?

Розв’язання:
Абсциса вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a}$

За умовою $b = 12$ , $x_{в} = - 3$ :
$- 3 = - \frac{12}{2 a}$
$- 6 a = - 12$
$a = 2$

Оскільки вершина $M (- 3; - 13)$ належить параболі $y = 2 x^{2} + 12 x + c$ , підставимо її координати в рівняння функції:
$- 13 = 2 \cdot (- 3)^{2} + 12 \cdot (- 3) + c$
$- 13 = 2 \cdot 9 - 36 + c$
$- 13 = 18 - 36 + c$
$- 13 = - 18 + c$
$c = - 13 + 18$
$c = 5$

Відповідь: $a = 2$ , $c = 5$ .

№ 11.37. Точка $M (3; - 2)$ є вершиною параболи $y = a x^{2} + b x + c$ , яка перетинає вісь ординат у точці $N (0; 7)$ . Знайдіть значення коефіцієнтів $a$ , $b$ і $c$ .

Розв’язання:

Оскільки графік функції $y = a x^{2} + b x + c$ перетинає вісь ординат у точці $N (0; 7)$ , підставимо її координати у формулу:
$7 = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c$
$c = 7$

Абсциса вершини параболи дорівнює $3$ :
$x_{в} = - \frac{b}{2 a}$
$- \frac{b}{2 a} = 3$
$b = - 6 a$

Оскільки вершина $M (3; - 2)$ належить параболі, підставимо її координати та знайдене значення $c = 7$ :
$- 2 = a \cdot 3^{2} + b \cdot 3 + 7$
$9 a + 3 b + 7 = - 2$
$9 a + 3 b = - 9$
$3 a + b = - 3$

Підставимо вираз $b = - 6 a$ у рівняння:
$3 a + (- 6 a) = - 3$
$- 3 a = - 3$
$a = 1$

Обчислимо значення коефіцієнта $b$ :
$b = - 6 \cdot 1$
$b = - 6$

Відповідь: $a = 1$ , $b = - 6$ , $c = 7$ .

№ 11.38. У боковій стінці високого циліндричного бака біля самого дна закріплено кран. Після його відкриття вода починає витікати з бака, при цьому висота стовпа води в ньому, що виражена в метрах, змінюється за законом
$H (t) = H_{0} - 2 g H_{0} k t + \frac{g}{2} k^{2} t^{2}$ ,
де $t$ — час у секундах, що минув з моменту відкриття крана, $H_{0} = 5 м$ — початкова висота стовпа води, $k = \frac{1}{50}$ — відношення площ поперечного перерізу крана і бака, $g \approx 10 м / с^{2}$ — прискорення вільного падіння. Через скільки секунд після відкриття крана:
1) висота стовпа води в баку буде $1, 25 м$ ;
2) вода з бака повністю витече?

Розв’язання:

Підставимо значення $H_{0} = 5$ , $k = \frac{1}{50} = 0, 02$ , $g = 10$ у формулу:

$2 g H_{0} k = 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0, 02 = 100 \cdot 0, 02 = 10 \cdot 0, 02 = 0, 2$
$\frac{g}{2} k^{2} = \frac{10}{2} \cdot 0, 0 2^{2} = 5 \cdot 0, 0004 = 0, 002$

Закон зміни висоти стовпа води набуває вигляду:
$H (t) = 0, 002 t^{2} - 0, 2 t + 5$

1) Знайдемо час, коли висота стовпа води $H (t) = 1, 25 м$ :
$0, 002 t^{2} - 0, 2 t + 5 = 1, 25$
$0, 002 t^{2} - 0, 2 t + 3, 75 = 0$

Помножимо обидві частини рівняння на $500$ :
$t^{2} - 100 t + 1875 = 0$

За теоремою Вієта: $t_{1} = 25$ , $t_{2} = 75$ .

Оскільки вода витікає з бака, рівень $1, 25 м$ буде досягнуто раніше, тобто через $25 с$ (після повного спорожнення бака рівень не збільшується).

2) Вода витече з бака повністю, коли висота стовпа води дорівнюватиме нулю, тобто $H (t) = 0 м$ :
$0, 002 t^{2} - 0, 2 t + 5 = 0$

Помножимо обидві частини рівняння на $500$ :
$t^{2} - 100 t + 2500 = 0$
$(t - 50)^{2} = 0$
$t - 50 = 0$
$t = 50$

Отже, вода повністю витече через $50 с$ .

Відповідь: 1) через 25 с; 2) через 50 с.

№ 11.39. У боковій стінці високого циліндричного бака біля самого дна закріплено кран. Після його відкриття вода починає витікати з бака, при цьому висота стовпа води в ньому, що виражена в метрах, змінюється за законом $H (t) = a t^{2} + b t + H_{0}$ , де $H_{0} = 8 м$ — початковий рівень води, $a = \frac{1}{50} м / с^{2}$ , $b = - \frac{4}{5} м / с$ — сталі для цього бака. Через скільки секунд після відкриття крана:
1) висота стовпа води в баку буде $4, 5 м$ ;
2) вода з бака повністю витече?

Розв’язання:

Підставимо значення сталих у формулу закону зміни висоти води:

$H (t) = \frac{1}{50} t^{2} - \frac{4}{5} t + 8$

Спочатку доцільно визначити час, за який вода повністю витече з бака, щоб знати межі зміни часу $t$ .

2) Вода з бака повністю витече, коли висота стовпа води дорівнюватиме $0 м$ , тобто $H (t) = 0$ :

$\frac{1}{50} t^{2} - \frac{4}{5} t + 8 = 0$

Помножимо обидві частини рівняння на $50$ :

$t^{2} - 40 t + 400 = 0$

$(t - 20)^{2} = 0$

$t - 20 = 0$

$t = 20 (с)$

Отже, вода повністю витече за $20 с$ , тобто фізичний процес триває при $t \in [0; 20]$ .

1) Знайдемо час $t$ , коли висота стовпа води в баку буде $4, 5 м$ , тобто $H (t) = 4, 5$ :

$\frac{1}{50} t^{2} - \frac{4}{5} t + 8 = 4, 5$

$\frac{1}{50} t^{2} - \frac{4}{5} t + 3, 5 = 0$

Помножимо обидві частини рівняння на $50$ :

$t^{2} - 40 t + 175 = 0$

За теоремою Вієта:
$t_{1} = 5$
$t_{2} = 35$ (не задовольняє умову, оскільки процес завершується за $20 с$ )

Отже, рівень води $4, 5 м$ буде досягнуто через $5 с$ .

Відповідь: 1) через $5 с$ ; 2) через $20 с$ .

№ 11.40. За якого значення $c$ найбільше значення функції $y = - x^{2} + 6 x + c$ дорівнює 16?

Розв’язання:
Графіком функції $y = - x^{2} + 6 x + c$ є парабола, вітки якої напрямлені вниз, оскільки $a = - 1 < 0$ .
Найбільшого значення функція набуває у вершині параболи:

$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 1 )} = 3$

$y_{в} = y (3) = - 3^{2} + 6 \cdot 3 + c = - 9 + 18 + c = 9 + c$

За умовою задачі найбільше значення дорівнює 16:
$9 + c = 16$
$c = 16 - 9$
$c = 7$

Відповідь: $c = 7$ .

№ 11.41. За якого значення $c$ найменше значення функції $y = x^{2} - 4 x + c$ дорівнює $4$ ?

Розв’язання:
Графіком функції $y = x^{2} - 4 x + c$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Отже, свого найменшого значення функція набуває у вершині параболи.

Знайдемо абсцису вершини:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$

Знайдемо ординату вершини:
$y_{в} = y (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + c = 4 - 8 + c = c - 4$

За умовою найменше значення функції дорівнює $4$ :
$c - 4 = 4$
$c = 8$

Відповідь: $c = 8$ .

№ 11.42. За яких значень $c$ функція $y = x^{2} + 8 x + c$ для всіх значень $x$ набуває лише додатних значень?

Розв’язання:
Квадратична функція $y = x^{2} + 8 x + c$ набуває додатних значень для всіх $x$ , якщо вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ), а квадратний тричлен не має коренів, тобто його дискримінант є від’ємним ( $D < 0$ ):

$D = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c = 64 - 4 c$
$64 - 4 c < 0$
$- 4 c < - 64$
$c > 16$

Відповідь: $c > 16$ .

№ 11.43. За яких значень $c$ функція $y = - x^{2} + 2 x + c$ для всіх значень $x$ набуває лише від’ємних значень?

Розв’язання:
Квадратична функція $y = a x^{2} + b x + c$ , де $a = - 1$ , $b = 2$ , набуває лише від’ємних значень для всіх дійсних значень $x$ , якщо вітки параболи напрямлені вниз ( $a < 0$ ) і графік не перетинає вісь абсцис ( $D < 0$ ):

${a < 0 D < 0$

Оскільки $a = - 1 < 0$ , умова для напрямку віток виконується.

Знайдемо дискримінант квадратного тричлена:
$D = b^{2} - 4 a c$
$D = 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot c$
$D = 4 + 4 c$

Розв’яжемо нерівність $D < 0$ :
$4 + 4 c < 0$
$4 c < - 4$
$c < \frac{- 4}{4}$
$c < - 1$

Відповідь: $c < - 1$ .

№ 11.44. Побудуйте графік функції:
1) $y = x^{2} - 6∣ x ∣ + 5$ ;
2) $y = ∣ x^{2} - 6 x + 5∣$ .

Розв’язання:

1) $y = x^{2} - 6∣ x ∣ + 5$

Оскільки $(- x)^{2} - 6∣ - x ∣ + 5 = x^{2} - 6∣ x ∣ + 5$ , задана функція є парною, тому її графік симетричний відносно осі $O y$ .

Для $x \geq 0$ :
$y = x^{2} - 6 x + 5$

Координати вершини параболи:
$x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$
$y_{0} = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 5 = - 4$

Нулі функції:
$x^{2} - 6 x + 5 = 0$
$x_{1} = 1$ , $x_{2} = 5$

Будуємо частину графіка для $x \geq 0$ та відображаємо її симетрично відносно осі $O y$ для $x < 0$ .

Таблиця значень:

$x$	$- 6$	$- 5$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$5$	$6$
$y$	$5$	$0$	$- 4$	$0$	$5$	$0$	$- 4$	$0$	$5$

Графік до вправи № 11.44 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = ∣ x^{2} - 6 x + 5∣$

Спочатку розглядаємо квадратичну функцію:
$y = x^{2} - 6 x + 5$

Вершина параболи:
$x_{0} = 3$
$y_{0} = - 4$

Нулі функції:
$x_{1} = 1$ , $x_{2} = 5$

Для побудови графіка функції $y = ∣ x^{2} - 6 x + 5∣$ частину параболи, яка розташована нижче осі $O x$ (на проміжку $(1; 5)$ ), відображаємо симетрично відносно осі $O x$ вгору. Вершина $(3; - 4)$ переходить у точку $(3; 4)$ .

Таблиця значень:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$5$

Графік до вправи № 11.44 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 11.45. Побудуйте графік функції:
1) $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ ;
2) $y = ∣ x^{2} - 4 x + 3∣$ .

Розв’язання:

1) Оскільки $x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ , задану функцію можна записати у вигляді $y = ∣ x ∣^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ .
Функція є парною: $f (- x) = f (x)$ , тому її графік симетричний відносно осі ординат.

Для $x \geq 0$ :
$y = x^{2} - 4 x + 3$

Координати вершини параболи:
$x_{0} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_{0} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1$
Вершина: $(2; - 1)$ .

Таблиця значень для $x \geq 0$ та симетричних значень для $x < 0$ :

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$

Графік до вправи № 11.45 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Для побудови графіка функції $y = ∣ x^{2} - 4 x + 3∣$ спочатку будуємо графік квадратичної функції $y = x^{2} - 4 x + 3$ .

Координати вершини параболи:
$x_{0} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_{0} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1$
Вершина: $(2; - 1)$ .

Нулі функції:
$x^{2} - 4 x + 3 = 0$
$x_{1} = 1$ , $x_{2} = 3$

Щоб отримати графік $y = ∣ f (x) ∣$ :

частину графіка, що лежить на осі $O x$ і вище неї ( $x \leq 1$ та $x \geq 3$ ), залишаємо без змін;
частину графіка, що лежить нижче осі $O x$ ( $1 < x < 3$ ), відображаємо симетрично відносно осі абсцис угору (вершина $(2; - 1)$ переходить у точку $(2; 1)$ ).

Таблиця значень функції $y = ∣ x^{2} - 4 x + 3∣$ :

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$8$	$3$	$0$	$1$	$0$	$3$	$8$

Графік до вправи № 11.45 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 11.46. Побудуйте графік функції:

1) $y = x + 2$ ;

2) $y = x + 2$ .

Розв’язання:

1) $y = x + 2$
Область визначення функції:
$x + 2 \geq 0$
$x \geq - 2$
$D (y) = [- 2; + \infty)$

Графік функції $y = x + 2$ отримуємо з графіка функції $y = x$ за допомогою паралельного перенесення вздовж осі $O x$ на $2$ одиниці вліво.

Складемо таблицю значень для побудови точок графіка:

$x$	$- 2$	$- 1$	$2$	$7$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Графік до вправи № 11.46 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = x + 2$
Область визначення функції:
$x \geq 0$
$D (y) = [0; + \infty)$

Графік функції $y = x + 2$ отримуємо з графіка функції $y = x$ за допомогою паралельного перенесення вздовж осі $O y$ на $2$ одиниці вгору.

Складемо таблицю значень для побудови точок графіка:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$2$	$3$	$4$	$5$

Графік до вправи № 11.46 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 11.47. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій:
1) $f (x) = 3 x^{2}$ і $g (x) = - 6 x$ ;
2) $φ (x) = x^{2} + x$ і $ψ (x) = 2$ .

Розв’язання:

1) Для знаходження абсцис точок перетину прирівняємо значення функцій:
$3 x^{2} = - 6 x$
$3 x^{2} + 6 x = 0$
$3 x (x + 2) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 2$

Знайдемо відповідні ординати:
якщо $x_{1} = 0$ , то $y_{1} = 3 \cdot 0^{2} = 0$ ;
якщо $x_{2} = - 2$ , то $y_{2} = 3 \cdot (- 2)^{2} = 12$ .

Точки перетину: $(0; 0)$ та $(- 2; 12)$ .

2) Для знаходження абсцис точок перетину прирівняємо значення функцій:
$x^{2} + x = 2$
$x^{2} + x - 2 = 0$

За теоремою Вієта: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 1$ .

Знайдемо відповідні ординати:
оскільки $ψ (x) = 2$ , то для обох значень $x$ маємо $y = 2$ .

Точки перетину: $(- 2; 2)$ та $(1; 2)$ .

Відповідь: 1) $(0; 0)$ , $(- 2; 12)$ ; 2) $(- 2; 2)$ , $(1; 2)$ .

№ 11.48. Знайдіть область визначення функції:
1) $y = \frac{3 + x}{3 x ^{2} + 2 x - 5}$
2) $y = x - 5$

Розв’язання:

1) Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$3 x^{2} + 2 x - 5 \neq = 0$

Розв’яжемо рівняння:
$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$
$D = 2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5) = 4 + 60 = 64$
$x_{1} = \frac{- 2 + 64}{2 \cdot 3} = \frac{- 2 + 8}{6} = 1$
$x_{2} = \frac{- 2 - 8}{6} = - \frac{10}{6} = - \frac{5}{3} = - 1 \frac{2}{3}$

Звідси:
$x \neq = - 1 \frac{2}{3}$
$x \neq = 1$
$D (y) = (- \infty; - 1 \frac{2}{3}) \cup (- 1 \frac{2}{3}; 1) \cup (1; + \infty)$

2) Підкореневий вираз має бути невід’ємним:
$x - 5 \geq 0$
$x \geq 5$
$D (y) = [5; + \infty)$

Відповідь: 1) $(- \infty; - 1 \frac{2}{3}) \cup (- 1 \frac{2}{3}; 1) \cup (1; + \infty)$ ; 2) $[5; + \infty)$ .

№ 11.49. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій $y = \frac{6}{x}$ та $y = x + 1$ . Накресліть графіки цих функцій і позначте на них знайдені точки.

Розв’язання:

Для знаходження точок перетину складемо рівняння:

$\frac{6}{x} = x + 1$
$x \neq = 0$
$x (x + 1) = 6$
$x^{2} + x - 6 = 0$

За теоремою Вієта: $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 2$ .

Обчислимо відповідні значення $y$ :
якщо $x = - 3$ , то $y = - 3 + 1 = - 2$ ;
якщо $x = 2$ , то $y = 2 + 1 = 3$ .

Отже, точки перетину: $(- 3; - 2)$ та $(2; 3)$ .

Складемо таблиці значень для побудови графіків функцій.

1) $y = \frac{6}{x}$ — гіпербола, вітки розташовані в I та III координатних чвертях:

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 6$	$6$	$3$	$2$	$1$

2) $y = x + 1$ — пряма:

$x$	$0$	$- 1$
$y$	$1$	$0$

Графік до вправи № 11.49 - Алгебра 9 клас

Відповідь: $(- 3; - 2)$ , $(2; 3)$ .

№ 11.50. Розв’яжіть графічно рівняння $x + 3 = \frac{4}{x} - 2$ . За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування.

Розв’язання:

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій $y = x + 3$ та $y = \frac{4}{x} - 2$ .

1) Графік функції $y = x + 3$ одержуємо паралельним перенесенням графіка $y = x$ на $3$ одиниці вліво вздовж осі $O x$ .
Область визначення: $x + 3 \geq 0$ , тобто $x \geq - 3$ .

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 3$	$- 2$	$1$	$6$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

2) Графік функції $y = \frac{4}{x} - 2$ — гіпербола, одержана паралельним перенесенням графіка $y = \frac{4}{x}$ на $2$ одиниці вниз уздовж осі $O y$ .
Область визначення: $x \neq = 0$ .

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y$	$- 3$	$- 4$	$- 6$	$2$	$0$	$- 1$

Графік до вправи № 11.50 - Алгебра 9 клас

Графіки функцій перетинаються в точці $(1; 2)$ .
Абсциса цієї точки є коренем рівняння: $x = 1$ .

Перевірка:
$1 + 3 = 4 = 2$
$\frac{4}{1} - 2 = 4 - 2 = 2$
$2 = 2$

Відповідь: $1$ .

№ 11.51. Знайдіть нулі функції:
1) $f (x) = (x - 1) (x + 2) ∣ x ∣ - 3$
2) $g (x) = x (x - 3) ∣ x ∣ - 2$

Розв’язання:

1) Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння:
$(x - 1) (x + 2) ∣ x ∣ - 3 = 0$

Знайдемо область визначення функції:
$∣ x ∣ - 3 \geq 0$
$∣ x ∣ \geq 3$
$x \leq - 3$ або $x \geq 3$
$D (f) = (- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)$

Прирівняємо множники до нуля:

1) $x - 1 = 0 ⟹ x = 1 \in / D (f)$ ;

2) $x + 2 = 0 ⟹ x = - 2 \in / D (f)$ ;

3) $∣ x ∣ - 3 = 0 ⟹ ∣ x ∣ = 3 ⟹ x = \pm 3 \in D (f)$ .

Отже, нулями функції є $x = - 3$ та $x = 3$ .

2) Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння:
$x (x - 3) ∣ x ∣ - 2 = 0$

Знайдемо область визначення функції:
$∣ x ∣ - 2 \geq 0$
$∣ x ∣ \geq 2$
$x \leq - 2$ або $x \geq 2$
$D (g) = (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$

Прирівняємо множники до нуля:

1) $x = 0 \in / D (g)$ ;

2) $x - 3 = 0 ⟹ x = 3 \in D (g)$ ;

3) $∣ x ∣ - 2 = 0 ⟹ ∣ x ∣ = 2 ⟹ x = \pm 2 \in D (g)$ .

Отже, нулями функції є $x = - 2$ , $x = 2$ та $x = 3$ .

Відповідь: 1) $- 3; 3$ ; 2) $- 2; 2; 3$ .

№ 11.52. В одній із секцій національного мультипредметного тесту (НМТ) із математики, який відбувся 2024 року, взяло участь $20206$ осіб. Завдання № 21 правильно розв’язали лише $5, 1 %$ від кількості учасників / учасниць. Скільки учасників / учасниць НМТ правильно розв’язали завдання № 21?

Розв’язання:
Знайдемо $5, 1 %$ від числа $20206$ :

$20206 \cdot 0, 051 = 1030, 506$

Оскільки кількість осіб є цілим числом, округлимо отриманий результат до найближчого цілого:

$1030, 506 \approx 1031$

Відповідь: 1031 учасник / учасниця.

№ 11.53. Які із чисел $- 2; - 1; 0; 1; 2$ є розв’язками нерівності:
1) $x^{2} + 2 x - 3 > 0$
2) $x^{2} + x - 2 \leq 0$
3) $x^{2} + x \geq 0$
4) $x^{2} - 3 x < 0$

Розв’язання:

1) $x^{2} + 2 x - 3 > 0$
Підставимо кожне із запропонованих чисел у ліву частину нерівності:
Якщо $x = - 2$ , то $(- 2)^{2} + 2 \cdot (- 2) - 3 = 4 - 4 - 3 = - 3$ , $- 3 > 0$ — неправильно.
Якщо $x = - 1$ , то $(- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) - 3 = 1 - 2 - 3 = - 4$ , $- 4 > 0$ — неправильно.
Якщо $x = 0$ , то $0^{2} + 2 \cdot 0 - 3 = - 3$ , $- 3 > 0$ — неправильно.
Якщо $x = 1$ , то $1^{2} + 2 \cdot 1 - 3 = 0$ , $0 > 0$ — неправильно.
Якщо $x = 2$ , то $2^{2} + 2 \cdot 2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$ , $5 > 0$ — правильно.
Розв’язком нерівності є число $2$ .

2) $x^{2} + x - 2 \leq 0$
Підставимо числа:
Якщо $x = - 2$ , то $(- 2)^{2} + (- 2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$ , $0 \leq 0$ — правильно.
Якщо $x = - 1$ , то $(- 1)^{2} + (- 1) - 2 = 1 - 1 - 2 = - 2$ , $- 2 \leq 0$ — правильно.
Якщо $x = 0$ , то $0^{2} + 0 - 2 = - 2$ , $- 2 \leq 0$ — правильно.
Якщо $x = 1$ , то $1^{2} + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$ , $0 \leq 0$ — правильно.
Якщо $x = 2$ , то $2^{2} + 2 - 2 = 4$ , $4 \leq 0$ — неправильно.
Розв’язками нерівності є числа $- 2; - 1; 0; 1$ .

3) $x^{2} + x \geq 0$
Підставимо числа:
Якщо $x = - 2$ , то $(- 2)^{2} + (- 2) = 4 - 2 = 2$ , $2 \geq 0$ — правильно.
Якщо $x = - 1$ , то $(- 1)^{2} + (- 1) = 1 - 1 = 0$ , $0 \geq 0$ — правильно.
Якщо $x = 0$ , то $0^{2} + 0 = 0$ , $0 \geq 0$ — правильно.
Якщо $x = 1$ , то $1^{2} + 1 = 2$ , $2 \geq 0$ — правильно.
Якщо $x = 2$ , то $2^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$ , $6 \geq 0$ — правильно.
Розв’язками нерівності є числа $- 2; - 1; 0; 1; 2$ .

4) $x^{2} - 3 x < 0$
Підставимо числа:
Якщо $x = - 2$ , то $(- 2)^{2} - 3 \cdot (- 2) = 4 + 6 = 10$ , $10 < 0$ — неправильно.
Якщо $x = - 1$ , то $(- 1)^{2} - 3 \cdot (- 1) = 1 + 3 = 4$ , $4 < 0$ — неправильно.
Якщо $x = 0$ , то $0^{2} - 3 \cdot 0 = 0$ , $0 < 0$ — неправильно.
Якщо $x = 1$ , то $1^{2} - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = - 2$ , $- 2 < 0$ — правильно.
Якщо $x = 2$ , то $2^{2} - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = - 2$ , $- 2 < 0$ — правильно.
Розв’язками нерівності є числа $1; 2$ .

Відповідь: 1) $2$ ; 2) $- 2; - 1; 0; 1$ ; 3) $- 2; - 1; 0; 1; 2$ ; 4) $1; 2$ .

№ 11.54. Розв’яжіть рівняння:
1) $x^{2} - 3 x - 4 = 0$
2) $- 2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$
3) $x^{2} + 18 x = 0$
4) $4 x^{2} - 9 = 0$

Розв’язання:

1) $x^{2} - 3 x - 4 = 0$
За теоремою Вієта:
${x_{1} + x_{2} = 3 x_{1} \cdot x_{2} = - 4$
$x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 1$

2) $- 2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$
Помножимо обидві частини рівняння на $- 1$ :
$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$
$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49$
$x_{1} = \frac{3 + 49}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2, 5$
$x_{2} = \frac{3 - 49}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{- 4}{4} = - 1$

3) $x^{2} + 18 x = 0$
Розкладемо ліву частину на множники:
$x (x + 18) = 0$
$x = 0$ або $x + 18 = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 18$

4) $4 x^{2} - 9 = 0$
$4 x^{2} = 9$
$x^{2} = \frac{9}{4}$
$x_{1} = 1, 5$ , $x_{2} = - 1, 5$

Відповідь: 1) $- 1; 4$ ; 2) $- 1; 2, 5$ ; 3) $- 18; 0$ ; 4) $- 1, 5; 1, 5$ .

№ 11.55. На яке натуральне число слід поділити число 180, щоб остача від ділення становила 25 % від частки?

Розв’язання:
Нехай $n$ — шуканий дільник ( $n \in N$ ), $q$ — неповна частка ( $q \in N$ ), $r$ — остача від ділення ( $r \in N$ , причому $r < n$ ).

За формулою ділення з остачею:
$180 = n \cdot q + r$

За умовою остача становить $25 %$ від частки:
$r = 0, 25 q = \frac{1}{4} q$

Оскільки $r$ — натуральне число, частка $q$ повинна ділитися на 4 без остачі.
Нехай $q = 4 k$ , де $k \in N$ .
Тоді $r = k$ .

Підставимо вирази для $q$ та $r$ у формулу ділення:
$180 = n \cdot 4 k + k$
$180 = k (4 n + 1)$

Звідси число $(4 n + 1)$ є дільником числа 180.
Оскільки $4 n + 1$ — непарне число, воно є непарним дільником числа 180.
Усі непарні дільники числа 180: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Враховуючи, що $n \in N$ ( $n \geq 1$ ), маємо $4 n + 1 \geq 5$ . Крім того, при діленні на 4 число $(4 n + 1)$ дає остачу 1.
Серед знайдених дільників остачу 1 при діленні на 4 дають числа 5, 9 та 45.

Перевіримо ці значення з урахуванням умови $r < n$ , тобто $k < n$ :

1) Якщо $4 n + 1 = 5$ :
$4 n = 4$
$n = 1$
$k = \frac{180}{5} = 36$
Умова $k < n$ не виконується ( $36 < 1$ — хибно).

2) Якщо $4 n + 1 = 9$ :
$4 n = 8$
$n = 2$
$k = \frac{180}{9} = 20$
Умова $k < n$ не виконується ( $20 < 2$ — хибно).

3) Якщо $4 n + 1 = 45$ :
$4 n = 44$
$n = 11$
$k = \frac{180}{45} = 4$
Умова $k < n$ виконується ( $4 < 11$ — істинно).

Отже, дільник дорівнює 11.
Перевірка: $180 : 11 = 16 (ост . 4)$ , при цьому $25 %$ від 16 дорівнює $16 \cdot 0, 25 = 4$ .

Відповідь: на 11.

11. Функція y = ax^2 + bx + c, a ≠ 0, її графік і властивості

Теги статті:

До уроку