10. Найпростіші перетворення графіків функцій

10.1. (Усно.) Які перетворення графіка функції $y = x^{2}$ треба виконати, щоб отримати графік функції:

1) $y = x^{2} + 2$ ;

Розв’язання:
Щоб отримати графік функції $y = x^{2} + 2$ , потрібно графік функції $y = x^{2}$ перенести вздовж осі $y$ на $2$ одиниці вгору.

Відповідь: перенесення вздовж осі $y$ на $2$ одиниці вгору.

2) $y = x^{2} - 3$ ;

Розв’язання:
Щоб отримати графік функції $y = x^{2} - 3$ , потрібно графік функції $y = x^{2}$ перенести вздовж осі $y$ на $3$ одиниці вниз.

Відповідь: перенесення вздовж осі $y$ на $3$ одиниці вниз.

3) $y = (x - 2)^{2}$ ;

Розв’язання:
Щоб отримати графік функції $y = (x - 2)^{2}$ , потрібно графік функції $y = x^{2}$ перенести вздовж осі $x$ на $2$ одиниці вправо.

Відповідь: перенесення вздовж осі $x$ на $2$ одиниці вправо.

4) $y = (x + 1)^{2}$ ;

Розв’язання:
Щоб отримати графік функції $y = (x + 1)^{2}$ , потрібно графік функції $y = x^{2}$ перенести вздовж осі $x$ на $1$ одиницю вліво.

Відповідь: перенесення вздовж осі $x$ на $1$ одиницю вліво.

5) $y = - x^{2}$ ;

Розв’язання:
Щоб отримати графік функції $y = - x^{2}$ , потрібно графік функції $y = x^{2}$ симетрично відобразити відносно осі $x$ .

Відповідь: симетричне відображення відносно осі $x$ .

6) $y = 2 x^{2}$ ?

Розв’язання:
Щоб отримати графік функції $y = 2 x^{2}$ , потрібно графік функції $y = x^{2}$ розтягнути від осі $x$ у $2$ рази вздовж осі $y$ .

Відповідь: розтягнення від осі $x$ у $2$ рази вздовж осі $y$ .

10.2. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:

1) $y = - x$ , $y = - x + 3$ та $y = - x - 2$ ;

Розв’язання:

Для побудови графіків лінійних функцій $y = - x$ , $y = - x + 3$ та $y = - x - 2$ складемо таблиці значень:

Для $y = - x$ :

$x$	$- 2$	$0$	$2$
$y$	$2$	$0$	$- 2$

Для $y = - x + 3$ (отримуємо паралельним перенесенням графіка функції $y = - x$ на $3$ одиниці вгору вздовж осі $y$ ):

$x$	$- 2$	$0$	$2$
$y$	$5$	$3$	$1$

Для $y = - x - 2$ (отримуємо паралельним перенесенням графіка функції $y = - x$ на $2$ одиниці вниз вздовж осі $y$ ):

$x$	$- 2$	$0$	$2$
$y$	$0$	$- 2$	$- 4$

Побудова: наносимо відповідні точки на координатну площину та проводимо через них прямі. Прямі $y = - x + 3$ та $y = - x - 2$ паралельні прямій $y = - x$ .

Відповідь: графіки побудовано (три паралельні прямі).

2) $y = x$ , $y = x - 2$ та $y = x + 3$ .

Розв’язання:

Складемо таблиці значень для базової функції та її перетворень:

Для $y = x$ (область визначення: $x \geq 0$ ):

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Для $y = x - 2$ (область визначення: $x \geq 2$ , отримуємо паралельним перенесенням графіка функції $y = x$ на $2$ одиниці вправо вздовж осі $x$ ):

$x$	$2$	$3$	$6$	$11$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Для $y = x + 3$ (область визначення: $x \geq - 3$ , отримуємо паралельним перенесенням графіка функції $y = x$ на $3$ одиниці вліво вздовж осі $x$ ):

$x$	$- 3$	$- 2$	$1$	$6$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Побудова: позначаємо відповідні точки на координатній площині та з’єднуємо їх плавними лініями.

Відповідь: графіки побудовано.

10.3. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:

1) $y = x$ , $y = x + 2$ та $y = x - 3$ ;

Розв’язання:

Складемо таблиці значень для лінійних функцій:

Для $y = x$ :

$x$	$- 2$	$0$	$2$
$y$	$- 2$	$0$	$2$

Для $y = x + 2$ (зсув графіка функції $y = x$ на $2$ одиниці вгору вздовж осі $y$ ):

$x$	$- 2$	$0$	$2$
$y$	$0$	$2$	$4$

Для $y = x - 3$ (зсув графіка функції $y = x$ на $3$ одиниці вниз вздовж осі $y$ ):

$x$	$- 2$	$0$	$3$
$y$	$- 5$	$- 3$	$0$

Побудова: позначити знайдені точки на координатній площині та провести через них три паралельні прямі.

Відповідь: графіки побудовано (три паралельні прямі).

2) $y = ∣ x ∣$ , $y = ∣ x - 1∣$ та $y = ∣ x + 3∣$ .

Розв’язання:

Складемо таблиці значень для кожної функції:

Для $y = ∣ x ∣$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Для $y = ∣ x - 1∣$ (перенесення графіка функції $y = ∣ x ∣$ на $1$ одиницю вправо вздовж осі $x$ ):

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Для $y = ∣ x + 3∣$ (перенесення графіка функції $y = ∣ x ∣$ на $3$ одиниці вліво вздовж осі $x$ ):

$x$	$- 6$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Побудова: побудувати графіки у формі куточків із вершинами в точках $(0; 0)$ , $(1; 0)$ та $(- 3; 0)$ відповідно.

Відповідь: графіки побудовано.

10.4. На малюнку 10.11 зображено графік функції $y = x^{3}$ . Перенесіть його в зошит і в тій самій системі координат побудуйте олівцями різного кольору графіки функцій:

1) $y = x^{3} + 1$ ;

2) $y = x^{3} - 2$ ;

3) $y = (x - 3)^{3}$ ;

4) $y = (x + 2)^{3}$ .

Розв’язання:

Для базової кубічної параболи $y = x^{3}$ маємо такі опорні точки:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = x^{3}$	$- 8$	$- 1$	$0$	$1$	$8$

Опис геометричних перетворень та таблиці точок для кожної функції:

1) $y = x^{3} + 1$ : графік отримують паралельним перенесенням кубічної параболи $y = x^{3}$ вздовж осі $y$ на $1$ одиницю вгору.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 7$	$0$	$1$	$2$	$9$

2) $y = x^{3} - 2$ : графік отримують паралельним перенесенням кубічної параболи $y = x^{3}$ вздовж осі $y$ на $2$ одиниці вниз.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 10$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$6$

3) $y = (x - 3)^{3}$ : графік отримують паралельним перенесенням кубічної параболи $y = x^{3}$ вздовж осі $x$ на $3$ одиниці вправо.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$- 8$	$- 1$	$0$	$1$	$8$

4) $y = (x + 2)^{3}$ : графік отримують паралельним перенесенням кубічної параболи $y = x^{3}$ вздовж осі $x$ на $2$ одиниці вліво.

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$- 8$	$- 1$	$0$	$1$	$8$

Відповідь: описи перетворень та таблиці значень наведено; графіки будуються відповідними паралельними перенесеннями кубічної параболи $y = x^{3}$ .

10.5. На малюнку 10.11 зображено графік функції $y = x^{3}$ . Перенесіть його в зошит і в тій самій системі координат побудуйте олівцями різного кольору графіки функцій:

1) $y = x^{3} + 3$ ;

2) $y = x^{3} - 1$ ;

3) $y = (x - 2)^{3}$ ;

4) $y = (x + 1)^{3}$ .

Розв’язання:

Опис геометричних перетворень та таблиці значень для побудови графіків функцій:

1) $y = x^{3} + 3$ : графік отримують паралельним перенесенням кубічної параболи $y = x^{3}$ вздовж осі $O y$ на $3$ одиниці вгору.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 5$	$2$	$3$	$4$	$11$

2) $y = x^{3} - 1$ : графік отримують паралельним перенесенням кубічної параболи $y = x^{3}$ вздовж осі $O y$ на $1$ одиницю вниз.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 9$	$- 2$	$- 1$	$0$	$7$

3) $y = (x - 2)^{3}$ : графік отримують паралельним перенесенням кубічної параболи $y = x^{3}$ вздовж осі $O x$ на $2$ одиниці вправо.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$- 8$	$- 1$	$0$	$1$	$8$

4) $y = (x + 1)^{3}$ : графік отримують паралельним перенесенням кубічної параболи $y = x^{3}$ вздовж осі $O x$ на $1$ одиницю вліво.

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$- 8$	$- 1$	$0$	$1$	$8$

Відповідь: описи перетворень та таблиці значень наведено; графіки будуються відповідними паралельними перенесеннями графіка функції $y = x^{3}$ .
№ 10.6. (Усно.) Який із графіків на малюнку 10.12 відповідає функції:

1) $y = x - 4$ ;

Розв’язання:
Графік функції $y = x - 4$ отримують шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = x$ вздовж осі $y$ на $4$ одиниці вниз. Початкова точка графіка розташована в точці $(0; - 4)$ . Цьому опису відповідає графік IV.

Відповідь: графік IV.

2) $y = x + 2$ ;

Розв’язання:
Графік функції $y = x + 2$ отримують шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = x$ вздовж осі $x$ на $2$ одиниці вліво. Початкова точка графіка розташована в точці $(- 2; 0)$ . Цьому опису відповідає графік I.

Відповідь: графік I.

3) $y = x - 4$ ;

Розв’язання:
Графік функції $y = x - 4$ отримують шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = x$ вздовж осі $x$ на $4$ одиниці вправо. Початкова точка графіка розташована в точці $(4; 0)$ . Цьому опису відповідає графік III.

Відповідь: графік III.

4) $y = x + 2$ ?

Розв’язання:
Графік функції $y = x + 2$ отримують шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = x$ вздовж осі $y$ на $2$ одиниці вгору. Початкова точка графіка розташована в точці $(0; 2)$ . Цьому опису відповідає графік II.

Відповідь: графік II.

№ 10.7. Побудуйте графік функції:

1) $y = (x - 1)^{2} + 3$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення функції: $D (y) = R$ .

2) Графік функції є параболою, вершина якої знаходиться в точці $(1; 3)$ , а вітки напрямлені вгору. Його можна отримати перенесенням параболи $y = x^{2}$ на $1$ одиницю вправо вздовж осі $x$ та на $3$ одиниці вгору вздовж осі $y$ .

3) Складемо таблицю значень для побудови:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$7$	$4$	$3$	$4$	$7$

4) Позначимо знайдені точки на координатній площині та з’єднаємо їх плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано (вершина в точці $(1; 3)$ ).

2) $y = 4 - x^{2}$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення функції: $D (y) = R$ .

2) Графік функції можна отримати з параболи $y = x^{2}$ шляхом симетричного відображення відносно осі $x$ (отримаємо $y = - x^{2}$ ) та наступного перенесення на $4$ одиниці вгору вздовж осі $y$ . Вершина параболи знаходиться в точці $(0; 4)$ , вітки напрямлені вниз.

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$- 5$

4) Позначимо точки на координатній площині та з’єднаємо їх плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано (вершина в точці $(0; 4)$ ).

3) $y = (x + 2)^{2} - 5$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення функції: $D (y) = R$ .

2) Графік функції отримують перенесенням параболи $y = x^{2}$ на $2$ одиниці вліво вздовж осі $x$ та на $5$ одиниць вниз вздовж осі $y$ . Вершина параболи знаходиться в точці $(- 2; - 5)$ , вітки напрямлені вгору.

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$- 1$	$- 4$	$- 5$	$- 4$	$- 1$

4) Позначимо точки на координатній площині та з’єднаємо їх плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано (вершина в точці $(- 2; - 5)$ ).

4) $y = (x + 3)^{2} + 1$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення функції: $D (y) = R$ .

2) Графік функції отримують перенесенням параболи $y = x^{2}$ на $3$ одиниці вліво вздовж осі $x$ та на $1$ одиницю вгору вздовж осі $y$ . Вершина параболи знаходиться в точці $(- 3; 1)$ , вітки напрямлені вгору.

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$
$y$	$5$	$2$	$1$	$2$	$5$

4) Позначимо точки на координатній площині та з’єднаємо їх плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано (вершина в точці $(- 3; 1)$ ).

5) $y = - 3 + (x - 2)^{2}$ ;

Розв’язання:

1) Запишемо функцію у зручному вигляді: $y = (x - 2)^{2} - 3$ .

2) Область визначення функції: $D (y) = R$ .

3) Графік функції отримують перенесенням параболи $y = x^{2}$ на $2$ одиниці вправо вздовж осі $x$ та на $3$ одиниці вниз вздовж осі $y$ . Вершина параболи знаходиться в точці $(2; - 3)$ , вітки напрямлені вгору.

4) Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$	$1$

5) Позначимо точки на координатній площині та з’єднаємо їх плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано (вершина в точці $(2; - 3)$ ).

6) $y = - x^{2} - 1$ .

Розв’язання:

1) Область визначення функції: $D (y) = R$ .

2) Графік функції отримують симетричним відображенням параболи $y = x^{2}$ відносно осі $x$ (отримаємо $y = - x^{2}$ ) та подальшим перенесенням на $1$ одиницю вниз вздовж осі $y$ . Вершина параболи знаходиться в точці $(0; - 1)$ , вітки напрямлені вниз.

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 5$	$- 2$	$- 1$	$- 2$	$- 5$

4) Позначимо точки на координатній площині та з’єднаємо їх плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано (вершина в точці $(0; - 1)$ ).

№ 10.8. Побудуйте графік функції:

1) $y = x - 2 + 1$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення: $x - 2 \geq 0 ⟹ x \geq 2$ , тобто $D (y) = [2; + \infty)$ .

2) Графік можна отримати перенесенням графіка функції $y = x$ на $2$ одиниці вправо вздовж осі $x$ та на $1$ одиницю вгору вздовж осі $y$ . Початкова точка — $(2; 1)$ .

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$2$	$3$	$6$	$11$
$y$	$1$	$2$	$3$	$4$

4) Нанесемо точки на координатну площину та з’єднаємо їх плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано.

2) $y = 2 - x$ ;

Розв’язання:

1) Запишемо у вигляді: $y = - x + 2$ . Область визначення: $D (y) = [0; + \infty)$ .

2) Графік можна отримати із графіка функції $y = x$ симетричним відображенням відносно осі $x$ ( $y = - x$ ) та перенесенням на $2$ одиниці вгору вздовж осі $y$ . Початкова точка — $(0; 2)$ .

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$2$	$1$	$0$	$- 1$

4) Нанесемо точки на координатну площину та з’єднаємо їх плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано.

3) $y = - 2 + x + 1$ ;

Розв’язання:

1) Запишемо у вигляді: $y = x + 1 - 2$ . Область визначення: $x + 1 \geq 0 ⟹ D (y) = [- 1; + \infty)$ .

2) Графік можна отримати перенесенням графіка функції $y = x$ на $1$ одиницю вліво вздовж осі $x$ та на $2$ одиниці вниз вздовж осі $y$ . Початкова точка — $(- 1; - 2)$ .

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 1$	$0$	$3$	$8$
$y$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$

4) Нанесемо точки на координатну площину та з’єднаємо їх плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано.

4) $y = x + 4 + 2$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення: $x + 4 \geq 0 ⟹ D (y) = [- 4; + \infty)$ .

2) Графік можна отримати перенесенням графіка функції $y = x$ на $4$ одиниці вліво вздовж осі $x$ та на $2$ одиниці вгору вздовж осі $y$ . Початкова точка — $(- 4; 2)$ .

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$
$y$	$2$	$3$	$4$	$5$

4) Нанесемо точки на координатну площину та з’єднаємо їх плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано.

5) $y = x - 1 - 3$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення: $x - 1 \geq 0 ⟹ D (y) = [1; + \infty)$ .

2) Графік можна отримати перенесенням графіка функції $y = x$ на $1$ одиницю вправо вздовж осі $x$ та на $3$ одиниці вниз вздовж осі $y$ . Початкова точка — $(1; - 3)$ .

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$1$	$2$	$5$	$10$
$y$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$

4) Нанесемо точки на координатну площину та з’єднаємо їх плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано.

6) $y = - x - 1$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення: $D (y) = [0; + \infty)$ .

2) Графік можна отримати із графіка функції $y = x$ симетричним відображенням відносно осі $x$ та перенесенням на $1$ одиницю вниз вздовж осі $y$ . Початкова точка — $(0; - 1)$ .

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 4$

4) Нанесемо точки на координатну площину та з’єднаємо їх плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано.

№ 10.9. Побудуйте графік функції:

1) $y = 3∣ x ∣$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення: $D (y) = R$ .

2) Графік функції отримують розтягом графіка $y = ∣ x ∣$ від осі $x$ у $3$ рази вздовж осі $y$ . Кут «куточка» в точці $(0; 0)$ стає вужчим.

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$6$	$3$	$0$	$3$	$6$

4) Нанесемо точки та з’єднаємо їх двома променями, що виходять з початку координат.

Відповідь: графік побудовано.

2) $y = - 4∣ x ∣$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення: $D (y) = R$ .

2) Графік функції отримують розтягом графіка $y = ∣ x ∣$ від осі $x$ у $4$ рази та симетричним відображенням відносно осі $x$ . Графік спрямований вершиною вгору в точці $(0; 0)$ .

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 8$	$- 4$	$0$	$- 4$	$- 8$

4) Нанесемо точки та з’єднаємо їх двома променями.

Відповідь: графік побудовано.

3) $y = \frac{1}{3} ∣ x ∣$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення: $D (y) = R$ .

2) Графік функції отримують стиском графіка $y = ∣ x ∣$ до осі $x$ у $3$ рази (вздовж осі $y$ ). Вершина розташована в точці $(0; 0)$ .

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 6$	$- 3$	$0$	$3$	$6$
$y$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

4) Нанесемо точки та з’єднаємо їх двома променями.

Відповідь: графік побудовано.

4) $y = - 0, 5∣ x ∣$ .

Розв’язання:

1) Область визначення: $D (y) = R$ .

2) Графік функції отримують стиском графіка $y = ∣ x ∣$ до осі $x$ у $2$ рази та симетричним відображенням відносно осі $x$ .

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$
$y$	$- 2$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 2$

4) Нанесемо точки та з’єднаємо їх двома променями.

Відповідь: графік побудовано.

№ 10.10. Побудуйте графік функції:

1) $y = 3 x^{2}$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення: $D (y) = R$ .

2) Графіком є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ та вітками, спрямованими вгору, яку отримано розтягом параболи $y = x^{2}$ у $3$ рази від осі $x$ .

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$12$	$3$	$0$	$3$	$12$

4) Позначимо точки на координатній площині та з’єднаємо плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано.

2) $y = - 2 x^{2}$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення: $D (y) = R$ .

2) Графіком є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ та вітками, спрямованими вниз, яку отримано розтягом параболи $y = x^{2}$ у $2$ рази від осі $x$ та симетричним відображенням відносно осі $x$ .

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 8$	$- 2$	$0$	$- 2$	$- 8$

4) Позначимо точки на координатній площині та з’єднаємо плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано.

3) $y = 0, 25 x^{2}$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення: $D (y) = R$ .

2) Оскільки $0, 25 = \frac{1}{4}$ , графіком є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ та вітками вгору, яку отримано стиском параболи $y = x^{2}$ до осі $x$ у $4$ рази.

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

4) Позначимо точки на координатній площині та з’єднаємо плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано.

4) $y = - \frac{1}{3} x^{2}$ .

Розв’язання:

1) Область визначення: $D (y) = R$ .

2) Графіком є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ та вітками вниз, яку отримано стиском параболи $y = x^{2}$ до осі $x$ у $3$ рази та симетричним відображенням відносно осі $x$ .

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 3$	$- \frac{4}{3}$	$- \frac{1}{3}$	$0$	$- \frac{1}{3}$	$- \frac{4}{3}$	$- 3$

4) Позначимо точки на координатній площині та з’єднаємо плавною лінією.

Відповідь: графік побудовано.
№ 10.11. (Усно.) Який із графіків на малюнку 10.13 відповідає функції:
1) $y = - 2 x^{2}$ ;
2) $y = \frac{1}{2} x^{2}$ ;
3) $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ ;
4) $y = 2 x^{2}$ ?

Розв’язання:

Проаналізуємо розташування парабол на малюнку 10.13:

Для графіків I та II вітки спрямовані вгору, отже, коефіцієнт $a > 0$ . Графік I є більш вузьким та проходить через точку $(1; 2)$ , тому він відповідає функції $y = 2 x^{2}$ . Графік II є більш широким та проходить через точку $(2; 2)$ , тому він відповідає функції $y = \frac{1}{2} x^{2}$ .
Для графіків III та IV вітки спрямовані вниз, отже, коефіцієнт $a < 0$ . Графік III є більш широким та проходить через точку $(2; - 2)$ , тому він відповідає функції $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ . Графік IV є більш вузьким та проходить через точку $(1; - 2)$ , тому він відповідає функції $y = - 2 x^{2}$ .

Таким чином:

1) $y = - 2 x^{2}$ відповідає графік IV;

2) $y = \frac{1}{2} x^{2}$ відповідає графік II;

3) $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ відповідає графік III;

4) $y = 2 x^{2}$ відповідає графік I.

Відповідь: 1) IV; 2) II; 3) III; 4) I.

№ 10.12. Побудуйте графік функції:
1) $y = \frac{6}{x} - 1$ ;
2) $y = \frac{6}{x - 1}$ .
За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови.

Розв’язання:

1) Графік функції $y = \frac{6}{x} - 1$ утворюється шляхом паралельного перенесення гіперболи $y = \frac{6}{x}$ на $1$ одиницю вниз уздовж осі $O y$ .

Область визначення функції: $D (y) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ .
Вертикальна асимптота: $x = 0$ (вісь $O y$ ), горизонтальна асимптота: $y = - 1$ .

Складемо таблицю значень аргументу $x$ та функції $y$ :

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$- 2$	$- 3$	$- 4$	$- 7$	$5$	$2$	$1$	$0$

Побудова: нанесемо на координатну площину знайдені точки та сполучимо їх плавною лінією у вигляді двох гілок гіперболи.

2) Графік функції $y = \frac{6}{x - 1}$ утворюється шляхом паралельного перенесення гіперболи $y = \frac{6}{x}$ на $1$ одиницю вправо уздовж осі $O x$ .

Область визначення функції: $D (y) = (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$ .
Вертикальна асимптота: $x = 1$ , горизонтальна асимптота: $y = 0$ (вісь $O x$ ).

Складемо таблицю значень аргументу $x$ та функції $y$ :

$x$	$- 5$	$- 2$	$- 1$	$0$	$2$	$3$	$4$	$7$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 6$	$6$	$3$	$2$	$1$

Побудова: позначимо відповідні точки на координатній площині та плавно сполучимо їх двома гілками гіперболи.

Відповідь: графіки побудовано за наведеними таблицями точок.

№ 10.13. Побудуйте графік функції:
1) $y = 1 + \frac{8}{x}$ ;
2) $y = \frac{8}{x + 1}$ .
За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови.

Розв’язання:

1) Графік функції $y = 1 + \frac{8}{x}$ (або $y = \frac{8}{x} + 1$ ) можна отримати з графіка функції $y = \frac{8}{x}$ шляхом його паралельного перенесення вздовж осі $O y$ на $1$ одиницю вгору.
Область визначення: $D (y) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ .
Горизонтальна асимптота: $y = 1$ , вертикальна асимптота: $x = 0$ .

Складемо таблицю значень для побудови точок:

$x$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y$	$0$	$- 1$	$- 3$	$- 7$	$9$	$5$	$3$	$2$

Побудова: наносимо точки на координатну площину і з’єднуємо їх плавною лінією (вітки гіперболи).

2) Графік функції $y = \frac{8}{x + 1}$ можна отримати з графіка функції $y = \frac{8}{x}$ за допомогою паралельного перенесення вздовж осі $O x$ на $1$ одиницю вліво.
Область визначення: $D (y) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .
Горизонтальна асимптота: $y = 0$ , вертикальна асимптота: $x = - 1$ .

Складемо таблицю значень для побудови точок:

$x$	$- 9$	$- 5$	$- 3$	$- 2$	$0$	$1$	$3$	$7$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 4$	$- 8$	$8$	$4$	$2$	$1$

Побудова: позначаємо точки на координатній площині та плавно сполучаємо їх (вітки гіперболи).

Відповідь: графіки побудовано за наведеними таблицями точок.

№ 10.14. Дано параболу $y = x^{2}$ . Напишіть рівняння параболи, яку можна отримати з даної перенесенням:
1) на 3 одиниці вгору;
2) на 4 одиниці вниз;
3) на 2 одиниці вліво;
4) на 5 одиниць управо;
5) на 2 одиниці вправо і на 3 одиниці вгору;
6) на 1 одиницю вліво і на 4 одиниці вгору;
7) на 3 одиниці вправо і на 1 одиницю вниз;
8) на 5 одиниць уліво і на 5 одиниць униз.

Розв’язання:

Використовуємо правила геометричних перетворень графіка функції $y = f (x)$ :

Перенесення вздовж осі $O y$ на $n$ одиниць вгору/вниз дає $y = f (x) \pm n$ .
Перенесення вздовж осі $O x$ на $m$ одиниць вправо/вліво дає $y = f (x \mp m)$ .

1) Перенесення на $3$ одиниці вгору:
$y = x^{2} + 3$ .

2) Перенесення на $4$ одиниці вниз:
$y = x^{2} - 4$ .

3) Перенесення на $2$ одиниці вліво:
$y = (x + 2)^{2}$ .

4) Перенесення на $5$ одиниць управо:
$y = (x - 5)^{2}$ .

5) Перенесення на $2$ одиниці вправо і на $3$ одиниці вгору:
$y = (x - 2)^{2} + 3$ .

6) Перенесення на $1$ одиницю вліво і на $4$ одиниці вгору:
$y = (x + 1)^{2} + 4$ .

7) Перенесення на $3$ одиниці вправо і на $1$ одиницю вниз:
$y = (x - 3)^{2} - 1$ .

8) Перенесення на $5$ одиниць уліво і на $5$ одиниць униз:
$y = (x + 5)^{2} - 5$ .

Відповідь:

1) $y = x^{2} + 3$ ;

2) $y = x^{2} - 4$ ;

3) $y = (x + 2)^{2}$ ;

4) $y = (x - 5)^{2}$ ;

5) $y = (x - 2)^{2} + 3$ ;

6) $y = (x + 1)^{2} + 4$ ;

7) $y = (x - 3)^{2} - 1$ ;

8) $y = (x + 5)^{2} - 5$ .

№ 10.15. Побудуйте графік функції $y = (x + 1)^{2} - 4$ . За графіком знайдіть:
1) нулі функції;
2) область значень функції;
3) значення $x$ , за яких функція набуває від’ємних значень;
4) проміжок зростання функції.

Розв’язання:

Графік функції $y = (x + 1)^{2} - 4$ можна отримати з параболи $y = x^{2}$ шляхом її паралельного перенесення на $1$ одиницю вліво вздовж осі $O x$ та на $4$ одиниці вниз вздовж осі $O y$ .
Вершина параболи знаходиться в точці $(- 1; - 4)$ , а вітки напрямлені вгору.

Складемо таблицю значень для побудови графіка:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$ (вершина)	$0$	$1$	$2$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Побудуємо параболу за знайденими точками.

За побудованим графіком дослідимо властивості функції:

1) Нулі функції — це значення аргументу $x$ , при яких $y = 0$ (точки перетину графіка з віссю $O x$ ):
$(x + 1)^{2} - 4 = 0 ⟹ (x + 1)^{2} = 4 ⟹ x + 1 = 2$ або $x + 1 = - 2 ⟹ x = 1$ або $x = - 3$ .
Отже, нулі функції: $x = - 3$ та $x = 1$ .

2) Область значень функції $E (y)$ — це множина всіх значень, яких набуває залежна змінна $y$ . Оскільки ордината вершини параболи дорівнює $- 4$ , а вітки напрямлені вгору:
$E (y) = [- 4; + \infty)$ .

3) Значення $x$ , за яких функція набуває від’ємних значень ( $y < 0$ ):
Графік лежить нижче осі $O x$ між нулями функції, тобто при $x \in (- 3; 1)$ .

4) Проміжок зростання функції:
Оскільки вершина має абсцису $x_{0} = - 1$ і вітки напрямлені вгору, функція зростає при $x \geq - 1$ , тобто на проміжку $[- 1; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $x = - 3$ , $x = 1$ ;

2) $E (y) = [- 4; + \infty)$ ;

3) $x \in (- 3; 1)$ ;

4) $[- 1; + \infty)$ .
№ 10.16. Побудуйте графік функції $y = (x - 2)^{2} - 1$ . За графіком знайдіть:

1) нулі функції;

2) область значень функції;

3) значення $x$ , за яких функція набуває додатних значень;

4) проміжок спадання функції.

Розв’язання:

Графіком функції є парабола $y = (x - 2)^{2} - 1$ , вершина якої знаходиться в точці $(x_{0}; y_{0}) = (2; - 1)$ .
Графік отримано в результаті паралельного перенесення параболи $y = x^{2}$ на $2$ одиниці вправо вздовж осі $O x$ та на $1$ одиницю вниз вздовж осі $O y$ . Гілки параболи напрямлені вгору.

Складемо таблицю значень функції для побудови її графіка:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$8$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$	$8$

Нанесемо точки $(- 1; 8)$ , $(0; 3)$ , $(1; 0)$ , $(2; - 1)$ , $(3; 0)$ , $(4; 3)$ , $(5; 8)$ на координатну площину та сполучимо їх плавною лінією.

Знайдемо властивості функції за графіком:

1) Нулі функції — це значення аргументу $x$ , при яких $y = 0$ :

(x - 2)^{2} - 1 = 0 ⟹ (x - 2)^{2} = 1 ⟹ [x - 2 = 1 x - 2 = - 1 ⟹ [x = 3 x = 1

Відповідь: $x = 1$ ; $x = 3$ .

2) Область значень функції: найменше значення досягається у вершині та дорівнює $y = - 1$ . Оскільки гілки напрямлені вгору, область значень:

E (y) = [- 1; + \infty)

Відповідь: $E (y) = [- 1; + \infty)$ .

3) Значення $x$ , за яких функція набуває додатних значень ( $y > 0$ ): графік розташований вище від осі $O x$ при:

x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)

Відповідь: $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ .

4) Проміжок спадання функції: функція спадає при зміні $x$ від $- \infty$ до $x$ -координати вершини $x = 2$ :

x \in (- \infty; 2]

Відповідь: $(- \infty; 2]$ .

№ 10.17. Розв’яжіть графічно рівняння:

1) $1 + \frac{5}{x} = x - 1$ ;

Розв’язання:

Розглянемо дві функції: $y_{1} = 1 + \frac{5}{x}$ та $y_{2} = x - 1$ .

Область допустимих значень (ОДЗ):

{x \neq = 0 x - 1 \geq 0 ⟹ x \geq 1

Складемо таблицю значень для вітки гіперболи $y_{1} = 1 + \frac{5}{x}$ при $x \geq 1$ :

$x$	$1$	$2$	$2, 5$	$5$
$y_{1}$	$6$	$3, 5$	$3$	$2$

Складемо таблицю значень для функції $y_{2} = x - 1$ :

$x$	$1$	$2$	$5$	$10$
$y_{2}$	$0$	$1$	$2$	$3$

Побудувавши графіки обох функцій в одній системі координат, знаходимо точку їх перетину.

Графіки перетинаються в точці з координатами $(5; 2)$ .

Перевірка: $1 + \frac{5}{5} = 2$ та $5 - 1 = 4 = 2$ .

Отже, абсциса точки перетину $x = 5$ .

Відповідь: $5$ .

2) $∣ x - 1∣ = (x + 1)^{2}$ .

Розв’язання:

Розглянемо дві функції: $y_{1} = ∣ x - 1∣$ та $y_{2} = (x + 1)^{2}$ .

Складемо таблицю значень для функції з модулем $y_{1} = ∣ x - 1∣$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y_{1}$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$

Складемо таблицю значень для параболи $y_{2} = (x + 1)^{2}$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$ (вершина)	$0$	$1$
$y_{2}$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Побудуємо графіки в одній системі координат.

Графіки перетинаються у двох точках:

1) Точка $(- 3; 4)$ : $y_{1} (- 3) = ∣ - 3 - 1∣ = 4$ , $y_{2} (- 3) = (- 3 + 1)^{2} = 4$ .

2) Точка $(0; 1)$ : $y_{1} (0) = ∣0 - 1∣ = 1$ , $y_{2} (0) = (0 + 1)^{2} = 1$ .

Отже, графіки перетинаються у точках із абсцисами $x = - 3$ та $x = 0$ .

Відповідь: $- 3; 0$ .

№ 10.18. Розв’яжіть графічно рівняння:

1) $x + 1 = \frac{9}{x} - 1$ ;

Розв’язання:

Розглянемо дві функції: $y_{1} = x + 1$ та $y_{2} = \frac{9}{x} - 1$ .
$ОДЗ : x \geq - 1, x \neq = 0$ . При $x \in [- 1; 0)$ маємо $x + 1 \geq 0$ , а $\frac{9}{x} - 1 < - 1$ , тому рівняння не має коренів на цьому проміжку. Розглянемо випадок $x > 0$ .

Складемо таблицю значень для $y_{1} = x + 1$ :

$x$	$- 1$	$0$	$3$	$8$
$y_{1}$	$0$	$1$	$2$	$3$

Складемо таблицю значень для $y_{2} = \frac{9}{x} - 1$ ( $x > 0$ ):

$x$	$1$	$3$	$4, 5$	$9$
$y_{2}$	$8$	$2$	$1$	$0$

Побудуємо графіки обох функцій у першій координатній чверті.
Графіки перетинаються в точці $(3; 2)$ .

Перевірка: $3 + 1 = 2$ та $\frac{9}{3} - 1 = 2$ .
Отже, абсциса точки перетину $x = 3$ .

Відповідь: $3$ .

2) $(x - 2)^{2} = ∣ x + 4∣$ .

Розв’язання:

Розглянемо дві функції: $y_{1} = (x - 2)^{2}$ та $y_{2} = ∣ x + 4∣$ .

Складемо таблицю значень для параболи $y_{1} = (x - 2)^{2}$ :

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y_{1}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Складемо таблицю значень для функції з модулем $y_{2} = ∣ x + 4∣$ :

$x$	$- 5$	$- 4$	$- 1$	$0$	$3$	$4$	$5$
$y_{2}$	$1$	$0$	$3$	$4$	$7$	$8$	$9$

Побудуємо графіки функцій в одній системі координат.
Графіки перетинаються у двох точках:

1) При $x = 0$ : $y_{1} (0) = (0 - 2)^{2} = 4$ , $y_{2} (0) = ∣0 + 4∣ = 4$ . Точка $(0; 4)$ .

2) При $x = 5$ : $y_{1} (5) = (5 - 2)^{2} = 9$ , $y_{2} (5) = ∣5 + 4∣ = 9$ . Точка $(5; 9)$ .

Отже, коренями рівняння є абсциси $x = 0$ та $x = 5$ .

Відповідь: $0; 5$ .

№ 10.19. Побудуйте графік функції $y = \frac{x + 4}{x - 2}$ . За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови.

Розв’язання:

Виділимо цілу частину з дробу:

$y = \frac{x + 4}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) + 6}{x - 2} = 1 + \frac{6}{x - 2}$

Графік функції $y = \frac{6}{x - 2} + 1$ можна отримати шляхом паралельного перенесення гіперболи $y = \frac{6}{x}$ на $2$ одиниці вправо вздовж осі $x$ та на $1$ одиницю вгору вздовж осі $y$ .

Асимптоти графіка: прямі $x = 2$ (вертикальна) та $y = 1$ (горизонтальна).

Складемо таблицю значень функції $y = \frac{x + 4}{x - 2}$ :

$x$	$- 4$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$4$	$5$	$8$
$y$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 5$	$7$	$4$	$3$	$2$

Побудова:

1) Провести асимптоти $x = 2$ та $y = 1$ .

2) Нанести обчислені точки на координатну площину та сполучити їх плавною лінією, яка наближається до асимптот.

Відповідь: графік побудовано за таблицею точок та асимптотами $x = 2$ , $y = 1$ .

№ 10.20. Побудуйте графік функції $y = \frac{x + 5}{x + 1}$ . За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови.

Розв’язання:

Виділимо цілу частину з дробу:

$y = \frac{x + 5}{x + 1} = \frac{( x + 1 ) + 4}{x + 1} = 1 + \frac{4}{x + 1}$

Графік функції $y = \frac{4}{x + 1} + 1$ можна отримати шляхом паралельного перенесення гіперболи $y = \frac{4}{x}$ на $1$ одиницю вліво вздовж осі $x$ та на $1$ одиницю вгору вздовж осі $y$ .

Асимптоти графіка: прямі $x = - 1$ (вертикальна) та $y = 1$ (горизонтальна).

Складемо таблицю значень функції:

$x$	$- 5$	$- 3$	$- 2$	$0$	$1$	$3$	$7$
$y$	$0$	$- 1$	$- 3$	$5$	$3$	$2$	$1, 5$

Побудова:

1) Провести асимптоти $x = - 1$ та $y = 1$ .

2) Нанести обчислені точки на координатну площину та сполучити їх плавною лінією, що наближається до асимптот.

Відповідь: графік побудовано за точками та асимптотами $x = - 1$ , $y = 1$ .
№ 10.21.

1) Побудуйте графік функції $y = ∣ x^{2} - 4∣$ .
2) Використовуючи графік, знайдіть усі значення $a$ , за яких рівняння $∣ x^{2} - 4∣ = a$ має рівно три корені.

Розв’язання:

1) Для побудови графіка функції $y = ∣ x^{2} - 4∣$ спочатку побудуємо графік квадратичної функції $f (x) = x^{2} - 4$ .

Область визначення функції: $D (f) = (- \infty; + \infty)$ .
Графіком функції $f (x) = x^{2} - 4$ є парабола, вітки якої спрямовані вгору, а вершина має координати $(0; - 4)$ .
Нулі функції $f (x)$ : $x^{2} - 4 = 0 ⟹ x = - 2$ та $x = 2$ .

Складемо таблицю значень для квадратичної функції $f (x) = x^{2} - 4$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$ (вершина)	$1$	$2$	$3$
$f (x) = x^{2} - 4$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

За правилом побудови графіка функції $y = ∣ f (x) ∣$ :

Частину графіка $y = x^{2} - 4$ , яка розташована на осі $O x$ та вище неї (тобто при $x \leq - 2$ та $x \geq 2$ ), залишаємо без змін.
Частину графіка, яка лежить нижче осі $O x$ (при $- 2 < x < 2$ ), симетрично відображаємо відносно осі $O x$ у верхню півплощину. При цьому вершина $(0; - 4)$ переходить у точку $(0; 4)$ .

Складемо підсумкову таблицю значень для функції $y = ∣ x^{2} - 4∣$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y =	x^2 - 4	$	$5$	$0$	$3$	$4$	$3$

Побудова: позначимо на координатній площині отримані точки та з’єднаємо їх плавною лінією.

2) Кількість коренів рівняння $∣ x^{2} - 4∣ = a$ дорівнює кількості точок перетину графіка функції $y = ∣ x^{2} - 4∣$ із прямою $y = a$ , яка паралельна осі $O x$ (або збігається з нею при $a = 0$ ).

Проаналізуємо кількість точок перетину залежно від значення параметра $a$ :

Якщо $a < 0$ , то пряма $y = a$ розташована нижче осі $O x$ і не має спільних точок із графіком ( $0$ коренів).
Якщо $a = 0$ , то пряма $y = 0$ збігається з віссю $O x$ і перетинає графік у двох точках $(- 2; 0)$ та $(2; 0)$ ( $2$ корені).
Якщо $0 < a < 4$ , то пряма $y = a$ перетинає графік у чотирьох точках ( $4$ корені).
Якщо $a = 4$ , то пряма $y = 4$ проходить через точку $(0; 4)$ та перетинає дві інші вітки графіка в точках $(- 22; 4)$ і $(22; 4)$ , тобто має з графіком рівно три спільні точки ( $3$ корені).
Якщо $a > 4$ , то пряма $y = a$ перетинає графік у двох точках ( $2$ корені).

Таким чином, рівняння $∣ x^{2} - 4∣ = a$ має рівно три корені при $a = 4$ .

Відповідь:

1) графік побудовано;

2) $a = 4$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

№ 10.22. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1) $x^{2} + 3 x - 4$ ;

Розв’язання:

Скористаємося формулою розкладання квадратного тричлена на множники: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , де $x_{1}, x_{2}$ — корені відповідного квадратного рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ .

Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ :

$D = b^{2} - 4 a c = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 9 + 16 = 25 > 0$

$x_{1} = \frac{- 3 + 25}{2 \cdot 1} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1$

$x_{2} = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4$

Розкладемо на множники:

$x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x - (- 4)) = (x - 1) (x + 4)$

Відповідь: $(x - 1) (x + 4)$ .

2) $2 x^{2} - x - 10$ ;

Розв’язання:

Знайдемо корені рівняння $2 x^{2} - x - 10 = 0$ :

$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10) = 1 + 80 = 81 > 0$

$x_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 81}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2, 5$

$x_{2} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{- 8}{4} = - 2$

Розкладемо на множники:

$2 x^{2} - x - 10 = 2 (x - 2, 5) (x + 2) = (2 x - 5) (x + 2)$

Відповідь: $(2 x - 5) (x + 2)$ .

3) $- x^{2} - 2 x + 8$ ;

Розв’язання:

Знайдемо корені рівняння $- x^{2} - 2 x + 8 = 0$ , помноживши обидві частини на $- 1$ :
$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

За теоремою Вієта:
${x_{1} + x_{2} = - 2 x_{1} \cdot x_{2} = - 8$

Отримуємо корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 4$ .

Розкладемо на множники:

$- x^{2} - 2 x + 8 = - (x - 2) (x + 4) = (2 - x) (x + 4)$

Відповідь: $- (x - 2) (x + 4)$ або $(2 - x) (x + 4)$ .

4) $- 3 x^{2} + x + 2$ .

Розв’язання:

Знайдемо корені рівняння $- 3 x^{2} + x + 2 = 0$ :

$D = 1^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 2 = 1 + 24 = 25 > 0$

$x_{1} = \frac{- 1 + 25}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{- 1 + 5}{- 6} = \frac{4}{- 6} = - \frac{2}{3}$

$x_{2} = \frac{- 1 - 5}{- 6} = \frac{- 6}{- 6} = 1$

Розкладемо на множники:

$- 3 x^{2} + x + 2 = - 3 (x + \frac{2}{3}) (x - 1) = - (3 x + 2) (x - 1) = (3 x + 2) (1 - x)$

Відповідь: $- (3 x + 2) (x - 1)$ або $(3 x + 2) (1 - x)$ .

№ 10.23. Розв’яжіть систему нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ (x + 4) (x - 4) - (x - 3) (x + 1) < - 3 \frac{2 x - 5}{9} \geq - 1

Розв’язання:

1) Розв’яжемо першу нерівність системи:

(x + 4) (x - 4) - (x - 3) (x + 1) < - 3

Використаємо формулу різниці квадратів $(x + 4) (x - 4) = x^{2} - 16$ та розкриємо дужки в добутку $(x - 3) (x + 1) = x^{2} + x - 3 x - 3 = x^{2} - 2 x - 3$ :

(x^{2} - 16) - (x^{2} - 2 x - 3) < - 3

x^{2} - 16 - x^{2} + 2 x + 3 < - 3

Зведемо подібні доданки:

2 x - 13 < - 3

2 x < - 3 + 13

2 x < 10

Поділимо обидві частини на $2 > 0$ :

x < 5 ⟹ x \in (- \infty; 5)

2) Розв’яжемо другу нерівність системи:

\frac{2 x - 5}{9} \geq - 1

Помножимо обидві частини нерівності на $9 > 0$ :

2 x - 5 \geq - 9

Перенесемо число $- 5$ у праву частину зі зміною знака:

2 x \geq - 9 + 5

2 x \geq - 4

Поділимо обидві частини на $2 > 0$ :

x \geq - 2 ⟹ x \in [- 2; + \infty)

3) Знайдемо переріз розв’язків двох нерівностей:

{x < 5 x \geq - 2 ⟹ x \in [- 2; 5)

Відповідь: $[- 2; 5)$ .

№ 10.24. $x_{1}$ та $x_{2}$ — корені рівняння $x^{2} - 6 x + 3 = 0$ . Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу $\frac{x _{2}}{x _{1}} + \frac{x _{1}}{x _{2}}$ .

Розв’язання:

1) За теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння $x^{2} - 6 x + 3 = 0$ :

{x_{1} + x_{2} = 6 x_{1} \cdot x_{2} = 3

2) Перетворимо шуканий вираз, звівши дроби до спільного знаменника:

$\frac{x _{2}}{x _{1}} + \frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{x _{2}^{2} + x _{1}^{2}}{x _{1} \cdot x _{2}} = \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2}}{x _{1} \cdot x _{2}}$

3) Виразимо суму квадратів $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ через суму та добуток коренів:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 \cdot x_{1} \cdot x_{2}$

4) Підставимо значення:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6^{2} - 2 \cdot 3 = 36 - 6 = 30$

5) Обчислимо значення початкового виразу:

$\frac{x _{2}}{x _{1}} + \frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{30}{3} = 10$

Відповідь: $10$ .

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

№ 10.25. Автомобіль, рухаючись на момент початку відліку часу зі швидкістю $v_{0} = 28 м / с$ , почав гальмувати зі сталим прискоренням $a = 7 м / с^{2}$ . Через $t$ секунд після початку гальмування він подолав відстань $s = v_{0} t - \frac{a t ^{2}}{2} (м)$ . Визначте час, за який від початку гальмування автомобіль подолав $42 м$ .

Розв’язання:

1) Введення змінних та аналіз умови:
За умовою задачі: $v_{0} = 28 м / с$ , $a = 7 м / с^{2}$ , $s = 42 м$ .
Залежність відстані від часу виражається формулою:
$s = v_{0} t - \frac{a t ^{2}}{2}$

2) Складання математичної моделі:
Підставимо значення відомих величин у формулу:
$42 = 28 t - \frac{7 t ^{2}}{2}$

3) Розв’язання рівняння та дослідження коренів:
Помножимо обидві частини рівняння на $2$ :
$84 = 56 t - 7 t^{2}$

Перенесемо всі доданки у ліву частину рівняння:
$7 t^{2} - 56 t + 84 = 0$

Поділимо обидві частини на $7$ :
$t^{2} - 8 t + 12 = 0$

За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння:

{t_{1} + t_{2} = 8 t_{1} \cdot t_{2} = 12 ⟹ [t_{1} = 2 t_{2} = 6

Аналіз отриманих коренів:
Швидкість автомобіля під час гальмування виражається формулою $v (t) = v_{0} - a t = 28 - 7 t$ .
Час повної зупинки автомобіля відповідає умові $v (t) = 0 ⟹ 28 - 7 t = 0 ⟹ t = 4 с$ .
Отже, процес гальмування тривав $4 с$ , після чого автомобіль зупинився. Корінь $t_{2} = 6 с$ є стороннім для даної фізичної задачі.
Отже, автомобіль подолав відстань $42 м$ через $t = 2 с$ від початку гальмування.

Відповідь: $2 с$ .
ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

№ 10.26. Виділіть квадрат двочлена із квадратного тричлена:

1) $x^{2} - 4 x + 3$ ;

Розв’язання:

Скористаємося формулою квадрата різниці $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ .

Перетворимо даний вираз:

$x^{2} - 4 x + 3 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} - 2^{2} + 3 = (x - 2)^{2} - 4 + 3 = (x - 2)^{2} - 1$

Відповідь: $(x - 2)^{2} - 1$ .

2) $x^{2} + 2 x$ ;

Розв’язання:

Скористаємося формулою квадрата суми $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ .

Доповнимо вираз до повного квадрата:

$x^{2} + 2 x = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} - 1^{2} = (x + 1)^{2} - 1$

Відповідь: $(x + 1)^{2} - 1$ .

3) $- x^{2} - 2 x - 1$ ;

Розв’язання:

Винесемо знак мінус за дужки та застосуємо формулу квадрата суми:

$- x^{2} - 2 x - 1 = - (x^{2} + 2 x + 1) = - (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = - (x + 1)^{2}$

Відповідь: $- (x + 1)^{2}$ .

4) $x^{2} + 6 x - 2$ ;

Розв’язання:

Виділимо квадрат двочлена за допомогою формули квадрата суми:

$x^{2} + 6 x - 2 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} - 3^{2} - 2 = (x + 3)^{2} - 9 - 2 = (x + 3)^{2} - 11$

Відповідь: $(x + 3)^{2} - 11$ .

№ 10.27. Розв’яжіть рівняння:

1) $x^{2} - 2 x = 0$ ;

Розв’язання:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники, винісши спільний множник $x$ за дужки:

x (x - 2) = 0

Прирівняємо кожен множник до нуля:

[x = 0 x - 2 = 0 ⟺ [x = 0 x = 2

Відповідь: $0; 2$ .

2) $4 x^{2} - 36 = 0$ ;

Розв’язання:

Поділимо обидві частини рівняння на $4$ :

x^{2} - 9 = 0

Перенесемо вільний член у праву частину:

x^{2} = 9

Звідси отримуємо два корені:

[x = 3 x = - 3

Відповідь: $- 3; 3$ .

3) $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ ;

Розв’язання:

Обчислимо дискримінант даного квадратного рівняння за формулою $D = b^{2} - 4 a c$ :

D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 > 0

Знайдемо корені рівняння за формулою $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$ :

x_{1} = \frac{5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2

x_{2} = \frac{5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0, 5

Відповідь: $0, 5; 2$ .

4) $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ ;

Розв’язання:

Обчислимо дискримінант $D = b^{2} - 4 a c$ :

D = 2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5) = 4 + 60 = 64 > 0

Знайдемо корені рівняння:

x_{1} = \frac{- 2 + 64}{2 \cdot 3} = \frac{- 2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1

x_{2} = \frac{- 2 - 64}{2 \cdot 3} = \frac{- 2 - 8}{6} = - \frac{10}{6} = - \frac{5}{3} = - 1 \frac{2}{3}

Відповідь: $- 1 \frac{2}{3}; 1$ .

№ 10.28. Для функції $f (x) = x^{2} + 4 x - 5$ знайдіть:

1) $f (- 2)$ ;

Розв’язання:

Підставимо значення аргументу $x = - 2$ у формулу функції:

$f (- 2) = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) - 5 = 4 - 8 - 5 = - 9$

Відповідь: $- 9$ .

2) $f (- 1)$ ;

Розв’язання:

Підставимо значення аргументу $x = - 1$ у формулу функції:

$f (- 1) = (- 1)^{2} + 4 \cdot (- 1) - 5 = 1 - 4 - 5 = - 8$

Відповідь: $- 8$ .

3) $f (0)$ ;

Розв’язання:

Підставимо значення аргументу $x = 0$ у формулу функції:

$f (0) = 0^{2} + 4 \cdot 0 - 5 = 0 + 0 - 5 = - 5$

Відповідь: $- 5$ .

4) $f (1)$ ;

Розв’язання:

Підставимо значення аргументу $x = 1$ у формулу функції:

$f (1) = 1^{2} + 4 \cdot 1 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$

Відповідь: $0$ .

№ 10.29. Закінчіть речення:

1) «Графіком функції $y = x^{2}$ є парабола».

2) «Гілки параболи $y = x^{2}$ спрямовані вгору».

3) «Функція $y = x^{2}$ спадає на проміжку $(- \infty; 0]$ ».

4) «Функція $y = x^{2}$ зростає на проміжку $[0; + \infty)$ ».

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ – ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

№ 10.30. Відомо, що $x - \frac{1}{x} = 1$ . Знайдіть значення виразу:

1) $x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}$ ;

Розв’язання:

Піднесемо обидві частини рівності $x - \frac{1}{x} = 1$ до куба, скориставшись формулою куба різниці $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 ab (a - b)$ :

(x - \frac{1}{x})^{3} = x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot (x - \frac{1}{x})

Підставимо відоме значення $x - \frac{1}{x} = 1$ :

1^{3} = x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} - 3 \cdot 1 \cdot 1

1 = x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} - 3

Виразимо шуканий вираз:

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = 1 + 3 = 4

Відповідь: $4$ .

2) $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$ ;

Розв’язання:

Піднесемо обидві частини рівності $x - \frac{1}{x} = 1$ до квадрата:

(x - \frac{1}{x})^{2} = 1^{2}

x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = 1

x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 1 ⟹ x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 3

Тепер піднесемо обидві частини рівності $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 3$ до квадрата:

(x^{2} + \frac{1}{x ^{2}})^{2} = 3^{2}

(x^{2})^{2} + 2 \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{x ^{2}} + (\frac{1}{x ^{2}})^{2} = 9

x^{4} + 2 + \frac{1}{x ^{4}} = 9

Виразимо шуканий вираз:

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 9 - 2 = 7

Відповідь: $7$ .

10. Найпростіші перетворення графіків функцій

Теги статті:

До уроку