10. Найпростіші перетворення графіків функцій

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 10.1. (Усно.) Які перетворення графіка функції $y = x^{2}$ треба виконати, щоб отримати графік функції:
1) $y = x^{2} + 2$ ;
2) $y = x^{2} - 3$ ;
3) $y = (x - 2)^{2}$ ;
4) $y = (x + 1)^{2}$ ;
5) $y = - x^{2}$ ;
6) $y = 2 x^{2}$ ?

Розв’язання:

1) Графік функції $y = f (x) + b$ утворюється в результаті паралельного перенесення графіка функції $y = f (x)$ уздовж осі $O y$ на $b$ одиниць угору при $b > 0$ .
Для отримання графіка $y = x^{2} + 2$ графік функції $y = x^{2}$ переносять паралельно вздовж осі $O y$ на 2 одиниці вгору.

2) Графік функції $y = f (x) - b$ утворюється в результаті паралельного перенесення графіка функції $y = f (x)$ уздовж осі $O y$ на $b$ одиниць униз при $b > 0$ .
Для отримання графіка $y = x^{2} - 3$ графік функції $y = x^{2}$ переносять паралельно вздовж осі $O y$ на 3 одиниці вниз.

3) Графік функції $y = f (x - a)$ утворюється в результаті паралельного перенесення графіка функції $y = f (x)$ уздовж осі $O x$ на $a$ одиниць праворуч при $a > 0$ .
Для отримання графіка $y = (x - 2)^{2}$ графік функції $y = x^{2}$ переносять паралельно вздовж осі $O x$ на 2 одиниці праворуч.

4) Графік функції $y = f (x + a)$ утворюється в результаті паралельного перенесення графіка функції $y = f (x)$ уздовж осі $O x$ на $a$ одиниць ліворуч при $a > 0$ .
Для отримання графіка $y = (x + 1)^{2}$ графік функції $y = x^{2}$ переносять паралельно вздовж осі $O x$ на 1 одиницю ліворуч.

5) Графік функції $y = - f (x)$ утворюється в результаті симетричного відображення графіка функції $y = f (x)$ відносно осі $O x$ .
Для отримання графіка $y = - x^{2}$ графік функції $y = x^{2}$ симетрично відображають відносно осі $O x$ .

6) Графік функції $y = k f (x)$ при $k > 1$ утворюється в результаті розтягнення графіка функції $y = f (x)$ від осі $O x$ у $k$ разів.
Для отримання графіка $y = 2 x^{2}$ графік функції $y = x^{2}$ розтягують від осі $O x$ у 2 рази.

Відповідь:

1) паралельне перенесення графіка функції $y = x^{2}$ уздовж осі $O y$ на 2 одиниці вгору;

2) паралельне перенесення графіка функції $y = x^{2}$ уздовж осі $O y$ на 3 одиниці вниз;

3) паралельне перенесення графіка функції $y = x^{2}$ уздовж осі $O x$ на 2 одиниці праворуч;

4) паралельне перенесення графіка функції $y = x^{2}$ уздовж осі $O x$ на 1 одиницю ліворуч;

5) симетричне відображення відносно осі $O x$ ;

6) розтягнення від осі $O x$ у 2 рази.

№ 10.2. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:
1) $y = - x$ , $y = - x + 3$ та $y = - x - 2$ ;
2) $y = x$ , $y = x - 2$ та $y = x + 3$ .

Розв’язання:

1) Графіком функції $y = - x$ є пряма, що проходить через початок координат:

$x$	$0$	$2$
$y$	$0$	$- 2$

Графік функції $y = - x + 3$ отримаємо паралельним перенесенням графіка функції $y = - x$ уздовж осі $O y$ на 3 одиниці вгору:

$x$	$0$	$3$
$y$	$3$	$0$

Графік функції $y = - x - 2$ отримаємо паралельним перенесенням графіка функції $y = - x$ уздовж осі $O y$ на 2 одиниці вниз:

$x$	$0$	$- 2$
$y$	$- 2$	$0$

Графік до вправи № 10.2 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Графік базової функції $y = x$ складемо за точками:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Графік функції $y = x - 2$ отримаємо паралельним перенесенням графіка функції $y = x$ уздовж осі $O x$ на 2 одиниці вправо:

$x$	$2$	$3$	$6$
$y$	$0$	$1$	$2$

Графік функції $y = x + 3$ отримаємо паралельним перенесенням графіка функції $y = x$ уздовж осі $O x$ на 3 одиниці вліво:

$x$	$- 3$	$- 2$	$1$	$6$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Графік до вправи № 10.2 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 10.3. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:
1) $y = x$ , $y = x + 2$ та $y = x - 3$ ;
2) $y = ∣ x ∣$ , $y = ∣ x - 1∣$ та $y = ∣ x + 3∣$ .

Розв’язання:

1) Графіком функції $y = x$ є пряма, що проходить через початок координат.
Графік функції $y = x + 2$ отримаємо паралельним перенесенням графіка функції $y = x$ уздовж осі $O y$ на 2 одиниці вгору.
Графік функції $y = x - 3$ отримаємо паралельним перенесенням графіка функції $y = x$ уздовж осі $O y$ на 3 одиниці вниз.

Таблиці значень:

Для $y = x$ :

$x$	$0$	$2$
$y$	$0$	$2$

Для $y = x + 2$ :

$x$	$0$	$- 2$
$y$	$2$	$0$

Для $y = x - 3$ :

$x$	$0$	$3$
$y$	$- 3$	$0$

Графік до вправи № 10.3 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Графіком функції $y = ∣ x ∣$ є ламана з вершиною в точці $(0; 0)$ .
Графік функції $y = ∣ x - 1∣$ отримаємо паралельним перенесенням графіка функції $y = ∣ x ∣$ уздовж осі $O x$ на 1 одиницю вправо (вершина в точці $(1; 0)$ ).
Графік функції $y = ∣ x + 3∣$ отримаємо паралельним перенесенням графіка функції $y = ∣ x ∣$ уздовж осі $O x$ на 3 одиниці вліво (вершина в точці $(- 3; 0)$ ).

Таблиці значень:

Для $y = ∣ x ∣$ :

$x$	$- 2$	$0$	$2$
$y$	$2$	$0$	$2$

Для $y = ∣ x - 1∣$ :

$x$	$- 1$	$1$	$3$
$y$	$2$	$0$	$2$

Для $y = ∣ x + 3∣$ :

$x$	$- 5$	$- 3$	$- 1$
$y$	$2$	$0$	$2$

Графік до вправи № 10.3 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 10.4. На малюнку 10.11 зображено графік функції $y = x^{3}$ . Перенесіть його в зошит і в тій самій системі координат побудуйте олівцями різного кольору графіки функцій:
1) $y = x^{3} + 1$ ;
2) $y = x^{3} - 2$ ;
3) $y = (x - 3)^{3}$ ;
4) $y = (x + 2)^{3}$ .

Розв’язання:

Опорні точки базового графіка кубічної параболи $y = x^{3}$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 8$	$- 1$	$0$	$1$	$8$

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій для пунктів 1) та 2):

1) Графік функції $y = x^{3} + 1$ отримуємо за допомогою паралельного перенесення графіка $y = x^{3}$ уздовж осі $O y$ на $1$ одиницю вгору:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 7$	$0$	$1$	$2$	$9$

2) Графік функції $y = x^{3} - 2$ отримуємо за допомогою паралельного перенесення графіка $y = x^{3}$ уздовж осі $O y$ на $2$ одиниці вниз:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 10$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$6$

Графік до вправи № 10.4 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Побудуємо в окремій системі координат графіки функцій для пунктів 3) та 4):

3) Графік функції $y = (x - 3)^{3}$ отримуємо за допомогою паралельного перенесення графіка $y = x^{3}$ уздовж осі $O x$ на $3$ одиниці праворуч:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$- 8$	$- 1$	$0$	$1$	$8$

4) Графік функції $y = (x + 2)^{3}$ отримуємо за допомогою паралельного перенесення графіка $y = x^{3}$ уздовж осі $O x$ на $2$ одиниці ліворуч:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$- 8$	$- 1$	$0$	$1$	$8$

Графік до вправи № 10.4 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 10.5. На малюнку 10.11 зображено графік функції $y = x^{3}$ . Перенесіть його в зошит і в тій самій системі координат побудуйте олівцями різного кольору графіки функцій:
1) $y = x^{3} + 3$ ;
2) $y = x^{3} - 1$ ;
3) $y = (x - 2)^{3}$ ;
4) $y = (x + 1)^{3}$ .

Розв’язання:

Базова функція $y = x^{3}$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 8$	$- 1$	$0$	$1$	$8$

1) Графік функції $y = x^{3} + 3$ отримуємо паралельним перенесенням графіка функції $y = x^{3}$ на 3 одиниці вгору вздовж осі $O y$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 5$	$2$	$3$	$4$	$11$

2) Графік функції $y = x^{3} - 1$ отримуємо паралельним перенесенням графіка функції $y = x^{3}$ на 1 одиницю вниз вздовж осі $O y$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 9$	$- 2$	$- 1$	$0$	$7$

Графік до вправи № 10.5 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

3) Графік функції $y = (x - 2)^{3}$ отримуємо паралельним перенесенням графіка функції $y = x^{3}$ на 2 одиниці праворуч вздовж осі $O x$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$- 8$	$- 1$	$0$	$1$	$8$

4) Графік функції $y = (x + 1)^{3}$ отримуємо паралельним перенесенням графіка функції $y = x^{3}$ на 1 одиницю ліворуч вздовж осі $O x$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$- 8$	$- 1$	$0$	$1$	$8$

Графік до вправи № 10.5 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 10.6. Який із графіків на малюнку 10.12 відповідає функції:
1) $y = x - 4$ ;
2) $y = x + 2$ ;
3) $y = x - 4$ ;
4) $y = x + 2$ ?

Розв’язання:

Графік до вправи № 10.6 - Алгебра 9 клас

1) Графік функції $y = x - 4$ одержують перенесенням графіка $y = x$ уздовж осі $O x$ на 4 одиниці праворуч. Початок графіка в точці $(4; 0)$ . Це графік III.

2) Графік функції $y = x + 2$ одержують перенесенням графіка $y = x$ уздовж осі $O x$ на 2 одиниці ліворуч. Початок графіка в точці $(- 2; 0)$ . Це графік II.

3) Графік функції $y = x - 4$ одержують перенесенням графіка $y = x$ уздовж осі $O y$ на 4 одиниці вниз. Початок графіка в точці $(0; - 4)$ . Це графік IV.

4) Графік функції $y = x + 2$ одержують перенесенням графіка $y = x$ уздовж осі $O y$ на 2 одиниці вгору. Початок графіка в точці $(0; 2)$ . Це графік I.

Відповідь: 1) III; 2) II; 3) IV; 4) I.

№ 10.7. Побудуйте графік функції:

1) $y = (x - 1)^{2} + 3$ ;
2) $y = 4 - x^{2}$ ;
3) $y = (x + 2)^{2} - 5$ ;
4) $y = (x + 3)^{2} + 1$ ;
5) $y = - 3 + (x - 2)^{2}$ ;
6) $y = - x^{2} - 1$ .
За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови.

Розв’язання:

1) Графік функції $y = (x - 1)^{2} + 3$ отримуємо паралельним перенесенням параболи $y = x^{2}$ на 1 одиницю вправо вздовж осі $O x$ та на 3 одиниці вгору вздовж осі $O y$ . Вершина параболи — точка $(1; 3)$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$7$	$4$	$3$	$4$	$7$

Графік до вправи № 10.7 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Графік функції $y = 4 - x^{2} = - x^{2} + 4$ отримуємо симетричним відображенням графіка функції $y = x^{2}$ відносно осі $O x$ (отримуємо $y = - x^{2}$ ) та наступним паралельним перенесенням на 4 одиниці вгору вздовж осі $O y$ . Вершина параболи — точка $(0; 4)$ , вітки напрямлені вниз.

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$

Графік до вправи № 10.7 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) Графік функції $y = (x + 2)^{2} - 5$ отримуємо паралельним перенесенням параболи $y = x^{2}$ на 2 одиниці вліво вздовж осі $O x$ та на 5 одиниць униз вздовж осі $O y$ . Вершина параболи — точка $(- 2; - 5)$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$- 1$	$- 4$	$- 5$	$- 4$	$- 1$

Графік до вправи № 10.7 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) Графік функції $y = (x + 3)^{2} + 1$ отримуємо паралельним перенесенням параболи $y = x^{2}$ на 3 одиниці вліво вздовж осі $O x$ та на 1 одиницю вгору вздовж осі $O y$ . Вершина параболи — точка $(- 3; 1)$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$
$y$	$5$	$2$	$1$	$2$	$5$

Графік до вправи № 10.7 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

5) $y = - 3 + (x - 2)^{2} = (x - 2)^{2} - 3$ .
Графік функції отримуємо паралельним перенесенням параболи $y = x^{2}$ на 2 одиниці вправо вздовж осі $O x$ та на 3 одиниці униз вздовж осі $O y$ . Вершина параболи — точка $(2; - 3)$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$	$1$

Графік до вправи № 10.7 (рис. 5) - Алгебра 9 клас

6) Графік функції $y = - x^{2} - 1$ отримуємо симетричним відображенням графіка функції $y = x^{2}$ відносно осі $O x$ (отримуємо $y = - x^{2}$ ) та наступним паралельним перенесенням на 1 одиницю униз вздовж осі $O y$ . Вершина параболи — точка $(0; - 1)$ , вітки напрямлені вниз.

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 5$	$- 2$	$- 1$	$- 2$	$- 5$

Графік до вправи № 10.7 (рис. 6) - Алгебра 9 клас

№ 10.8. Побудуйте графік функції:
1) $y = x - 2 + 1$ ;
2) $y = 2 - x$ ;
3) $y = - 2 + x + 1$ ;
4) $y = x + 4 + 2$ ;
5) $y = x - 1 - 3$ ;
6) $y = - x - 1$ .

Розв’язання:

1) $y = x - 2 + 1$

Графік функції $y = x - 2 + 1$ отримуємо шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = x$ на $2$ одиниці праворуч уздовж осі $O x$ і на $1$ одиницю вгору уздовж осі $O y$ .

Область визначення: $x - 2 \geq 0$ , тобто $x \geq 2$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$2$	$3$	$6$	$11$
$y$	$1$	$2$	$3$	$4$

Графік до вправи № 10.8 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = 2 - x = - x + 2$

Графік функції $y = - x + 2$ отримуємо симетричним відображенням графіка функції $y = x$ відносно осі $O x$ (отримуємо $y = - x$ ) та паралельним перенесенням на $2$ одиниці вгору уздовж осі $O y$ .

Область визначення: $x \geq 0$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$2$	$1$	$0$	$- 1$

Графік до вправи № 10.8 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $y = - 2 + x + 1 = x + 1 - 2$

Графік функції $y = x + 1 - 2$ отримуємо шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = x$ на $1$ одиницю ліворуч уздовж осі $O x$ і на $2$ одиниці вниз уздовж осі $O y$ .

Область визначення: $x + 1 \geq 0$ , тобто $x \geq - 1$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 1$	$0$	$3$	$8$
$y$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$

Графік до вправи № 10.8 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $y = x + 4 + 2$

Графік функції $y = x + 4 + 2$ отримуємо шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = x$ на $4$ одиниці ліворуч уздовж осі $O x$ і на $2$ одиниці вгору уздовж осі $O y$ .

Область визначення: $x + 4 \geq 0$ , тобто $x \geq - 4$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$
$y$	$2$	$3$	$4$	$5$

Графік до вправи № 10.8 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

5) $y = x - 1 - 3$

Графік функції $y = x - 1 - 3$ отримуємо шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = x$ на $1$ одиницю праворуч уздовж осі $O x$ і на $3$ одиниці вниз уздовж осі $O y$ .

Область визначення: $x - 1 \geq 0$ , тобто $x \geq 1$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$1$	$2$	$5$	$10$
$y$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$

Графік до вправи № 10.8 (рис. 5) - Алгебра 9 клас

6) $y = - x - 1$

Графік функції $y = - x - 1$ отримуємо симетричним відображенням графіка функції $y = x$ відносно осі $O x$ (отримуємо $y = - x$ ) та паралельним перенесенням на $1$ одиницю вниз уздовж осі $O y$ .

Область визначення: $x \geq 0$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 4$

Графік до вправи № 10.8 (рис. 6) - Алгебра 9 клас

№ 10.9. Побудуйте графік функції:

1) $y = 3∣ x ∣$ ;

2) $y = - 4∣ x ∣$ ;

3) $y = \frac{1}{3} ∣ x ∣$ ;

4) $y = - 0, 5∣ x ∣$ .

Розв’язання:

1) Графік функції $y = 3∣ x ∣$ отримуємо розтягненням графіка функції $y = ∣ x ∣$ від осі $O x$ у $3$ рази.

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$6$	$3$	$0$	$3$	$6$

Графік до вправи № 10.9 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Графік функції $y = - 4∣ x ∣$ отримуємо симетричним відображенням графіка функції $y = ∣ x ∣$ відносно осі $O x$ та його розтягненням від осі $O x$ у $4$ рази.

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 8$	$- 4$	$0$	$- 4$	$- 8$

Графік до вправи № 10.9 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) Графік функції $y = \frac{1}{3} ∣ x ∣$ отримуємо стисненням графіка функції $y = ∣ x ∣$ до осі $O x$ у $3$ рази.

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 6$	$- 3$	$0$	$3$	$6$
$y$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

Графік до вправи № 10.9 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) Графік функції $y = - 0, 5∣ x ∣$ отримуємо симетричним відображенням графіка функції $y = ∣ x ∣$ відносно осі $O x$ та його стисненням до осі $O x$ у $2$ рази.

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$
$y$	$- 2$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 2$

Графік до вправи № 10.9 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

№ 10.10. Побудуйте графік функції:

1) $y = 3 x^{2}$ ;

2) $y = - 2 x^{2}$ ;

3) $y = 0, 25 x^{2}$ ;

4) $y = - \frac{1}{3} x^{2}$ .

За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови.

Розв’язання:

1) $y = 3 x^{2}$
Графіком є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ , вітки якої напрямлені вгору. Графік одержують розтягненням параболи $y = x^{2}$ від осі $O x$ у 3 рази.

Складемо таблицю значень функції для кількох точок:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$12$	$3$	$0$	$3$	$12$

Графік до вправи № 10.10 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = - 2 x^{2}$
Графіком є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ , вітки якої напрямлені вниз. Графік одержують розтягненням параболи $y = x^{2}$ від осі $O x$ у 2 рази та симетричним відображенням відносно осі $O x$ .

Складемо таблицю значень функції для кількох точок:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 8$	$- 2$	$0$	$- 2$	$- 8$

Графік до вправи № 10.10 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $y = 0, 25 x^{2}$
Графіком є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ , вітки якої напрямлені вгору. Графік одержують стисненням параболи $y = x^{2}$ до осі $O x$ у 4 рази ( $0, 25 = \frac{1}{4}$ ).

Складемо таблицю значень функції для кількох точок:

$x$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Графік до вправи № 10.10 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $y = - \frac{1}{3} x^{2}$
Графіком є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ , вітки якої напрямлені вниз. Графік одержують стисненням параболи $y = x^{2}$ до осі $O x$ у 3 рази та симетричним відображенням відносно осі $O x$ .

Складемо таблицю значень функції для кількох точок:

$x$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$
$y$	$- 3$	$- \frac{1}{3}$	$0$	$- \frac{1}{3}$	$- 3$

Графік до вправи № 10.10 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

№ 10.11. (Усно.) Який із графіків на малюнку 10.13 відповідає функції:
1) $y = - 2 x^{2}$ ;
2) $y = \frac{1}{2} x^{2}$ ;
3) $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ ;
4) $y = 2 x^{2}$ ?

Розв’язання:

Графік до вправи № 10.11 - Алгебра 9 клас

Графіком функції $y = a x^{2}$ є парабола з вершиною в початку координат $(0; 0)$ .
Якщо $a > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору; якщо $a < 0$ — вниз.
Чим більшим є значення $∣ a ∣$ , тим ближче вітки параболи притиснуті до осі $O y$ (парабола є вужчою).

1) $y = - 2 x^{2}$
$a = - 2 < 0$ (вітки напрямлені вниз)
$∣ a ∣ = 2$
Відповідає графіку IV.

2) $y = \frac{1}{2} x^{2}$
$a = \frac{1}{2} > 0$ (вітки напрямлені вгору)
$∣ a ∣ = \frac{1}{2}$
Відповідає графіку II.

3) $y = - \frac{1}{2} x^{2}$
$a = - \frac{1}{2} < 0$ (вітки напрямлені вниз)
$∣ a ∣ = \frac{1}{2}$
Відповідає графіку III.

4) $y = 2 x^{2}$
$a = 2 > 0$ (вітки напрямлені вгору)
$∣ a ∣ = 2$
Відповідає графіку I.

Відповідь: 1) IV; 2) II; 3) III; 4) I.

№ 10.12. Побудуйте графік функції:
1) $y = \frac{6}{x} - 1$ ;
2) $y = \frac{6}{x - 1}$ .
За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови.

Розв’язання:

1) Графік функції $y = \frac{6}{x} - 1$ дістанемо з графіка функції $y = \frac{6}{x}$ за допомогою паралельного перенесення вздовж осі $O y$ на $1$ одиницю вниз. Горизонтальною асимптотою є пряма $y = - 1$ , вертикальною — вісь $O y$ ( $x = 0$ ).

Складемо таблицю значень для функції $y = \frac{6}{x} - 1$ :

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$- 2$	$- 3$	$- 4$	$- 7$	$5$	$2$	$1$	$0$

Графік до вправи № 10.12 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Графік функції $y = \frac{6}{x - 1}$ дістанемо з графіка функції $y = \frac{6}{x}$ за допомогою паралельного перенесення вздовж осі $O x$ на $1$ одиницю вправо. Вертикальною асимптотою є пряма $x = 1$ , горизонтальною — вісь $O x$ ( $y = 0$ ).

Складемо таблицю значень для функції $y = \frac{6}{x - 1}$ :

$x$	$- 5$	$- 2$	$- 1$	$0$	$2$	$3$	$4$	$7$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 6$	$6$	$3$	$2$	$1$

Графік до вправи № 10.12 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 10.13. Побудуйте графік функції:
1) $y = 1 + \frac{8}{x}$ ;
2) $y = \frac{8}{x + 1}$ .
За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови.

Розв’язання:

1) Графік функції $y = 1 + \frac{8}{x}$ дістанемо в результаті паралельного перенесення графіка функції $y = \frac{8}{x}$ уздовж осі $O y$ на $1$ одиницю вгору.
Асимптоти графіка: вертикальна пряма $x = 0$ (вісь $O y$ ) та горизонтальна пряма $y = 1$ .

Таблиця опорних точок для функції $y = 1 + \frac{8}{x}$ :

$x$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y$	$0$	$- 1$	$- 3$	$- 7$	$9$	$5$	$3$	$2$

Графік до вправи № 10.13 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Графік функції $y = \frac{8}{x + 1}$ дістанемо в результаті паралельного перенесення графіка функції $y = \frac{8}{x}$ уздовж осі $O x$ на $1$ одиницю ліворуч.
Асимптоти графіка: вертикальна пряма $x = - 1$ та горизонтальна пряма $y = 0$ (вісь $O x$ ).

Таблиця опорних точок для функції $y = \frac{8}{x + 1}$ :

$x$	$- 9$	$- 5$	$- 3$	$- 2$	$0$	$1$	$3$	$7$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 4$	$- 8$	$8$	$4$	$2$	$1$

Графік до вправи № 10.13 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

№ 10.14. Дано параболу $y = x^{2}$ . Напишіть рівняння параболи, яку можна отримати з даної перенесенням:
1) на 3 одиниці вгору;
2) на 4 одиниці вниз;
3) на 2 одиниці вліво;
4) на 5 одиниць управо;
5) на 2 одиниці вправо і на 3 одиниці вгору;
6) на 1 одиницю вліво і на 4 одиниці вгору;
7) на 3 одиниці вправо і на 1 одиницю вниз;
8) на 5 одиниць уліво і на 5 одиниць униз.

Розв’язання:

1) $y = x^{2} + 3$

2) $y = x^{2} - 4$

3) $y = (x + 2)^{2}$

4) $y = (x - 5)^{2}$

5) $y = (x - 2)^{2} + 3$

6) $y = (x + 1)^{2} + 4$

7) $y = (x - 3)^{2} - 1$

8) $y = (x + 5)^{2} - 5$

Відповідь: 1) $y = x^{2} + 3$ ; 2) $y = x^{2} - 4$ ; 3) $y = (x + 2)^{2}$ ; 4) $y = (x - 5)^{2}$ ; 5) $y = (x - 2)^{2} + 3$ ; 6) $y = (x + 1)^{2} + 4$ ; 7) $y = (x - 3)^{2} - 1$ ; 8) $y = (x + 5)^{2} - 5$ .

№ 10.15. Побудуйте графік функції $y = (x + 1)^{2} - 4$ . За графіком знайдіть:
1) нулі функції;
2) область значень функції;
3) значення $x$ , за яких функція набуває від’ємних значень;
4) проміжок зростання функції.

Розв’язання:

Графіком функції $y = (x + 1)^{2} - 4$ є парабола з вершиною в точці $(- 1; - 4)$ , вітки якої напрямлені вгору.

Складемо таблицю значень функції:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Графік до вправи № 10.15 - Алгебра 9 клас

За побудованим графіком знаходимо:

1) Нулі функції (значення $x$ , при яких $y = 0$ , тобто абсциси точок перетину графіка з віссю $O x$ ):
$x = - 3$ та $x = 1$ .

2) Область значень функції (множина всіх значень, яких набуває змінна $y$ ):
$E (y) = [- 4; + \infty)$ .

3) Значення $x$ , за яких функція набуває від’ємних значень ( $y < 0$ , графік розташований нижче осі $O x$ ):
$x \in (- 3; 1)$ .

4) Проміжок зростання функції:
$[- 1; + \infty)$ .

Відповідь: 1) $- 3$ і $1$ ; 2) $[- 4; + \infty)$ ; 3) $(- 3; 1)$ ; 4) $[- 1; + \infty)$ .

№ 10.16. Побудуйте графік функції $y = (x - 2)^{2} - 1$ . За графіком знайдіть:
1) нулі функції;
2) область значень функції;
3) значення $x$ , за яких функція набуває додатних значень;
4) проміжок спадання функції.

Розв’язання:

Графік функції $y = (x - 2)^{2} - 1$ — парабола з вершиною в точці $(2; - 1)$ , отримана паралельним перенесенням параболи $y = x^{2}$ на $2$ одиниці праворуч уздовж осі $O x$ та на $1$ одиницю вниз уздовж осі $O y$ .

Таблиця значень для побудови графіка:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$

Графік до вправи № 10.16 - Алгебра 9 клас

За графіком:

1) Нулі функції (точки перетину з віссю $O x$ , де $y = 0$ ):
$x = 1$ та $x = 3$ .

2) Область значень функції:
$E (y) = [- 1; + \infty)$ .

3) Функція набуває додатних значень ( $y > 0$ ) при:
$x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ .

4) Проміжок спадання функції:
Функція спадає на проміжку $(- \infty; 2]$ .

Відповідь: 1) $1; 3$ ; 2) $[- 1; + \infty)$ ; 3) $(- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ ; 4) $(- \infty; 2]$ .

№ 10.17. Розв’яжіть графічно рівняння:

1) $1 + \frac{5}{x} = x - 1$ ;

2) $∣ x - 1∣ = (x + 1)^{2}$ .

Розв’язання:

1) Побудуємо в одній системі координат графіки функцій $y = \frac{5}{x} + 1$ та $y = x - 1$ .

Таблиця значень для гіперболи $y = \frac{5}{x} + 1$ при $x > 0$ :

$x$	$1$	$2, 5$	$5$
$y$	$6$	$3$	$2$

Таблиця значень для функції $y = x - 1$ при $x \geq 1$ :

$x$	$1$	$2$	$5$	$10$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Графік до вправи № 10.17 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються в одній точці $(5; 2)$ .
Абсциса точки перетину є коренем рівняння:
$x = 5$

2) Побудуємо в одній системі координат графіки функцій $y = ∣ x - 1∣$ та $y = (x + 1)^{2}$ .

Таблиця значень для функції $y = ∣ x - 1∣$ :

$x$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$2$	$1$	$0$	$1$

Таблиця значень для параболи $y = (x + 1)^{2}$ (вершина в точці $(- 1; 0)$ ):

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Графік до вправи № 10.17 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються у двох точках: $(- 3; 4)$ та $(0; 1)$ .
Абсциси точок перетину є коренями рівняння:
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 0$

Відповідь: 1) $5$ ; 2) $- 3$ ; $0$ .

№ 10.18. Розв’яжіть графічно рівняння:
1) $x + 1 = \frac{9}{x} - 1$ ;
2) $(x - 2)^{2} = ∣ x + 4∣$ .

Розв’язання:

1) Побудуємо в одній системі координат графіки функцій $y = x + 1$ та $y = \frac{9}{x} - 1$ .

Складемо таблицю значень для функції $y = x + 1$ :

$x$	$- 1$	$0$	$3$	$8$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Складемо таблицю значень для функції $y = \frac{9}{x} - 1$ :

$x$	$- 9$	$- 3$	$1$	$3$	$9$
$y$	$- 2$	$- 4$	$8$	$2$	$0$

Графік до вправи № 10.18 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються в одній точці з координатами $(3; 2)$ .
Абсциса точки перетину є коренем рівняння: $x = 3$ .

2) Побудуємо в одній системі координат графіки функцій $y = (x - 2)^{2}$ та $y = ∣ x + 4∣$ .

Графіком функції $y = (x - 2)^{2}$ є парабола з вершиною в точці $(2; 0)$ .
Складемо таблицю значень:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Графіком функції $y = ∣ x + 4∣$ є кутоподібна лінія з вершиною в точці $(- 4; 0)$ .
Складемо таблицю значень:

$x$	$- 6$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$5$
$y$	$2$	$0$	$2$	$4$	$6$	$9$

Графік до вправи № 10.18 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються у двох точках із координатами $(0; 4)$ та $(5; 9)$ .
Абсциси точок перетину є коренями рівняння: $x = 0$ та $x = 5$ .

Відповідь: 1) 3; 2) 0; 5.

№ 10.19. Побудуйте графік функції $y = \frac{x + 4}{x - 2}$ . За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови.

Розв’язання:
Виділимо цілу частину дробу:
$y = \frac{x + 4}{x - 2}$
$y = \frac{x - 2 + 6}{x - 2}$
$y = \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{6}{x - 2}$
$y = \frac{6}{x - 2} + 1$

Графік функції $y = \frac{6}{x - 2} + 1$ отримуємо паралельним перенесенням гіперболи $y = \frac{6}{x}$ на $2$ одиниці вправо вздовж осі $O x$ та на $1$ одиницю вгору вздовж осі $O y$ .

Асимптоти графіка:
$x = 2$ — вертикальна асимптота
$y = 1$ — горизонтальна асимптота

Таблиця значень функції:

$x$	$- 4$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$4$	$5$	$8$
$y$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 5$	$7$	$4$	$3$	$2$

Графік до вправи № 10.19 - Алгебра 9 клас

Відповідь: графік побудовано.

№ 10.20. Побудуйте графік функції $y = \frac{x + 5}{x + 1}$ . За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови.

Розв’язання:

Виділимо цілу частину дробу:
$y = \frac{x + 5}{x + 1} = \frac{( x + 1 ) + 4}{x + 1} = 1 + \frac{4}{x + 1}$

Графік функції $y = \frac{4}{x + 1} + 1$ дістаємо паралельним перенесенням графіка функції $y = \frac{4}{x}$ на $1$ одиницю вліво вздовж осі $O x$ і на $1$ одиницю вгору вздовж осі $O y$ .

Асимптотами графіка є прямі $x = - 1$ та $y = 1$ .

Таблиця опорних точок для функції $y = \frac{x + 5}{x + 1}$ :

$x$	$- 5$	$- 3$	$- 2$	$0$	$1$	$3$
$y$	$0$	$- 1$	$- 3$	$5$	$3$	$2$

Графік до вправи № 10.20 - Алгебра 9 клас

Відповідь: графік побудовано.

№ 10.21.
1) Побудуйте графік функції $y = ∣ x^{2} - 4∣$ .
2) Використовуючи графік, знайдіть усі значення $a$ , за яких рівняння $∣ x^{2} - 4∣ = a$ має рівно три корені.

Розв’язання:

1) Для побудови графіка функції $y = ∣ x^{2} - 4∣$ спочатку будуємо графік параболи $y = x^{2} - 4$ , а потім частину графіка, яка лежить нижче осі $O x$ , симетрично відображаємо відносно цієї осі у верхню півплощину.

Складемо таблицю значень функції $y = ∣ x^{2} - 4∣$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$5$

Графік до вправи № 10.21 - Алгебра 9 клас

2) Кількість коренів рівняння $∣ x^{2} - 4∣ = a$ дорівнює кількості точок перетину графіка функції $y = ∣ x^{2} - 4∣$ із горизонтальною прямою $y = a$ :

якщо $a < 0$ , пряма не перетинає графік, тому рівняння не має коренів;
якщо $a = 0$ , пряма перетинає графік у двох точках ( $x = - 2$ та $x = 2$ ), тому рівняння має $2$ корені;
якщо $0 < a < 4$ , пряма перетинає графік у чотирьох точках, тому рівняння має $4$ корені;
якщо $a = 4$ , пряма проходить через локальний максимум $(0; 4)$ та перетинає бічні вітки графіка в трьох точках ( $x = - 22$ , $x = 0$ , $x = 22$ ), тому рівняння має $3$ корені;
якщо $a > 4$ , пряма перетинає графік у двох точках, тому рівняння має $2$ корені.

Отже, рівняння має рівно три корені, якщо $a = 4$ .

Відповідь: 1) графік побудовано; 2) $a = 4$ .

№ 10.22. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1) $x^{2} + 3 x - 4$ ;

2) $2 x^{2} - x - 10$ ;

3) $- x^{2} - 2 x + 8$ ;

4) $- 3 x^{2} + x + 2$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо корені квадратного тричлена:
$x^{2} + 3 x - 4 = 0$
За теоремою Вієта: $x_{1} = 1$ ; $x_{2} = - 4$ .
Розкладемо на множники за формулою $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ :
$x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4)$

2) Знайдемо корені квадратного тричлена:
$2 x^{2} - x - 10 = 0$
$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10) = 1 + 80 = 81$
$x_{1} = \frac{1 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2, 5$
$x_{2} = \frac{1 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{- 8}{4} = - 2$
Розкладемо на множники:
$2 x^{2} - x - 10 = 2 (x - 2, 5) (x + 2) = (2 x - 5) (x + 2)$

3) Знайдемо корені квадратного тричлена:
$- x^{2} - 2 x + 8 = 0$
$x^{2} + 2 x - 8 = 0$
За теоремою Вієта: $x_{1} = 2$ ; $x_{2} = - 4$ .
Розкладемо на множники:
$- x^{2} - 2 x + 8 = - (x - 2) (x + 4) = (2 - x) (x + 4)$

4) Знайдемо корені квадратного тричлена:
$- 3 x^{2} + x + 2 = 0$
$3 x^{2} - x - 2 = 0$
$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 1 + 24 = 25$
$x_{1} = \frac{1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_{2} = \frac{1 - 5}{2 \cdot 3} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3}$
Розкладемо на множники:
$- 3 x^{2} + x + 2 = - 3 (x - 1) (x + \frac{2}{3}) = - (x - 1) (3 x + 2) = (1 - x) (3 x + 2)$

Відповідь: 1) $(x - 1) (x + 4)$ ; 2) $(2 x - 5) (x + 2)$ ; 3) $- (x - 2) (x + 4)$ ; 4) $- (x - 1) (3 x + 2)$ .

№ 10.23. Розв’яжіть систему нерівностей:
$⎩ ⎨ ⎧ (x + 4) (x - 4) - (x - 3) (x + 1) < - 3, \frac{2 x - 5}{9} \geq - 1.$

Розв’язання:
Розв’яжемо кожну нерівність системи:

1) $(x + 4) (x - 4) - (x - 3) (x + 1) < - 3$
$x^{2} - 16 - (x^{2} + x - 3 x - 3) < - 3$
$x^{2} - 16 - x^{2} + 2 x + 3 < - 3$
$2 x - 13 < - 3$
$2 x < 10$
$x < 5$

2) $\frac{2 x - 5}{9} \geq - 1$
$2 x - 5 \geq - 9$
$2 x \geq - 9 + 5$
$2 x \geq - 4$
$x \geq - 2$

Маємо систему:
${x < 5, x \geq - 2$

Графік до вправи № 10.23 - Алгебра 9 клас

$x \in [- 2; 5)$

Відповідь: $[- 2; 5)$ .

№ 10.24. $x_{1}$ та $x_{2}$ — корені рівняння $x^{2} - 6 x + 3 = 0$ . Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу $\frac{x _{2}}{x _{1}} + \frac{x _{1}}{x _{2}}$ .

Розв’язання:

За теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння $x^{2} - 6 x + 3 = 0$ :
$x_{1} + x_{2} = 6$
$x_{1} \cdot x_{2} = 3$

Зведемо вираз до спільного знаменника:
$\frac{x _{2}}{x _{1}} + \frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2}}{x _{1} x _{2}}$

Виділимо повний квадрат у чисельнику:
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$

Підставимо значення суми та добутку коренів:
$\frac{( x _{1} + x _{2} ) ^{2} - 2 x _{1} x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{6 ^{2} - 2 \cdot 3}{3} = \frac{36 - 6}{3} = \frac{30}{3} = 10$

Відповідь: 10.

№ 10.25. Автомобіль, рухаючись на момент початку відліку часу зі швидкістю $v_{0} = 28 м / с$ , почав гальмувати зі сталим прискоренням $a = 7 м / с^{2}$ . Через $t$ секунд після початку гальмування він подолав відстань $s = v_{0} t - \frac{a t ^{2}}{2} (м)$ . Визначте час, за який від початку гальмування автомобіль подолав $42 м$ .

Розв’язання:

Підставимо задані значення $v_{0} = 28$ , $a = 7$ , $s = 42$ у формулу відстані:

$42 = 28 t - \frac{7 t ^{2}}{2}$

Помножимо обидві частини рівняння на $2$ :
$84 = 56 t - 7 t^{2}$
$7 t^{2} - 56 t + 84 = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на $7$ :
$t^{2} - 8 t + 12 = 0$

За теоремою Вієта: $t_{1} = 2$ ; $t_{2} = 6$ .

Знайдемо час повної зупинки автомобіля ( $v = 0$ ):
$v = v_{0} - a t = 0$
$28 - 7 t = 0$
$7 t = 28$
$t = 4 с$

Оскільки автомобіль рухався до повної зупинки лише $4 с$ ( $0 \leq t \leq 4$ ), корінь $t = 6 с$ не задовольняє фізичний зміст задачі.

Отже, автомобіль подолав відстань $42 м$ за $2 с$ .

Відповідь: 2 с.

№ 10.26. Виділіть квадрат двочлена із квадратного тричлена:

1) $x^{2} - 4 x + 3$ ;

2) $x^{2} + 2 x$ ;

3) $- x^{2} - 2 x - 1$ ;

4) $x^{2} + 6 x - 2$ .

Розв’язання:

1) $x^{2} - 4 x + 3 =$
$= (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) - 4 + 3 =$
$= (x - 2)^{2} - 1$

2) $x^{2} + 2 x =$
$= (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) - 1 =$
$= (x + 1)^{2} - 1$

3) $- x^{2} - 2 x - 1 =$
$= - (x^{2} + 2 x + 1) =$
$= - (x + 1)^{2}$

4) $x^{2} + 6 x - 2 =$
$= (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) - 9 - 2 =$
$= (x + 3)^{2} - 11$

Відповідь: 1) $(x - 2)^{2} - 1$ ; 2) $(x + 1)^{2} - 1$ ; 3) $- (x + 1)^{2}$ ; 4) $(x + 3)^{2} - 11$ .

№ 10.27. Розв’яжіть рівняння:
1) $x^{2} - 2 x = 0$ ;
2) $4 x^{2} - 36 = 0$ ;
3) $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ ;
4) $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ .

Розв’язання:

1) $x^{2} - 2 x = 0$
$x (x - 2) = 0$
$x = 0$ або $x - 2 = 0$
$x_{1} = 0$ ; $x_{2} = 2$

2) $4 x^{2} - 36 = 0$
$4 x^{2} = 36$
$x^{2} = \frac{36}{4} = 9$
$x_{1} = - 3$ ; $x_{2} = 3$ ( $x = \pm 3$ )

3) $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$x_{1} = \frac{5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_{2} = \frac{5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0, 5$

4) $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$
$D = 2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5) = 4 + 60 = 64$
$x_{1} = \frac{- 2 + 64}{2 \cdot 3} = \frac{- 2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$x_{2} = \frac{- 2 - 64}{2 \cdot 3} = \frac{- 2 - 8}{6} = - \frac{10}{6} = - \frac{5}{3} = - 1 \frac{2}{3}$

Відповідь: 1) $0$ ; $2$ ; 2) $\pm 3$ ; 3) $0, 5$ ; $2$ ; 4) $- 1 \frac{2}{3}$ ; $1$ .

№ 10.28. Для функції $f (x) = x^{2} + 4 x - 5$ знайдіть:
1) $f (- 2)$ ;
2) $f (- 1)$ ;
3) $f (0)$ ;
4) $f (1)$ .

Розв’язання:

1) $f (- 2) = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) - 5 = 4 - 8 - 5 = - 9$

2) $f (- 1) = (- 1)^{2} + 4 \cdot (- 1) - 5 = 1 - 4 - 5 = - 8$

3) $f (0) = 0^{2} + 4 \cdot 0 - 5 = - 5$

4) $f (1) = 1^{2} + 4 \cdot 1 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$

Відповідь: 1) $- 9$ ; 2) $- 8$ ; 3) $- 5$ ; 4) $0$ .

№ 10.29. Закінчіть речення:
1) «Графіком функції $y = x^{2}$ є …».
2) «Гілки параболи $y = x^{2}$ спрямовані …».
3) «Функція $y = x^{2}$ спадає на проміжку …».
4) «Функція $y = x^{2}$ зростає на проміжку …».

Розв’язання:

1) Графіком функції $y = x^{2}$ є парабола.

2) Гілки параболи $y = x^{2}$ спрямовані вгору.

3) Функція $y = x^{2}$ спадає на проміжку $(- \infty; 0]$ (або $(- \infty; 0)$ ).

4) Функція $y = x^{2}$ зростає на проміжку $[0; + \infty)$ (або $(0; + \infty)$ ).

Відповідь: 1) парабола; 2) вгору; 3) $(- \infty; 0]$ ; 4) $[0; + \infty)$ .

№ 10.30. Відомо, що $x - \frac{1}{x} = 1$ . Знайдіть значення виразу:
1) $x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}$ ;
2) $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$ .

Розв’язання:

1) Піднесемо обидві частини рівності $x - \frac{1}{x} = 1$ до куба:
$(x - \frac{1}{x})^{3} = 1^{3}$
$x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x ^{3}} = 1$
$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x ^{3}} = 1$
$x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} - 3 (x - \frac{1}{x}) = 1$
$x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} - 3 \cdot 1 = 1$
$x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} - 3 = 1$
$x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = 4$

2) Спочатку знайдемо значення виразу $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ , для цього піднесемо обидві частини початкової рівності до квадрата:
$(x - \frac{1}{x})^{2} = 1^{2}$
$x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = 1$
$x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 1$
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 1 + 2$
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 3$

Піднесемо отриману рівність до квадрата:
$(x^{2} + \frac{1}{x ^{2}})^{2} = 3^{2}$
$x^{4} + 2 \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{4}} = 9$
$x^{4} + 2 + \frac{1}{x ^{4}} = 9$
$x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 9 - 2$
$x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 7$

Відповідь: 1) 4; 2) 7.

10. Найпростіші перетворення графіків функцій

Теги статті:

До уроку