1. Числові нерівності. Доведення нерівностей

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

1.1. Порівняйте числа:

1) $0, 8 > 0, 7$ (оскільки різниця $0, 8 - 0, 7 = 0, 1 > 0$ );

2) $- 1, 2 > - 1, 25$ (оскільки різниця $- 1, 2 - (- 1, 25) = 0, 05 > 0$ );

3) $1 \frac{2}{3} = 1 \frac{2}{3}$ (оскільки різниця дорівнює $0$ );

4) $- \frac{4}{7} < - \frac{3}{7}$ (оскільки $- \frac{4}{7} - (- \frac{3}{7}) = - \frac{1}{7} < 0$ );

5) $π > 3$ (оскільки $π \approx 3, 14 \dots$ );

6) $- 2, 31 < 0$ (будь-яке від’ємне число менше за нуль).

1.2. Порівняйте числа:

1) $1, 8 < 1, 9$ (оскільки $1, 8 - 1, 9 = - 0, 1 < 0$ );

2) $- 1, 3 < - 1, 27$ (оскільки $- 1, 3 - (- 1, 27) = - 0, 03 < 0$ );

3) $\frac{4}{5} < 2 \frac{4}{5}$ (будь-яке число, менше одиниці, менше за число, більше двох);

4) $- \frac{5}{8} > - \frac{7}{8}$ (оскільки $- \frac{5}{8} - (- \frac{7}{8}) = \frac{2}{8} > 0$ );

5) $4 > π$ (оскільки $4 > 3, 14 \dots$ );

6) $0 > - 3, 71$ (нуль завжди більший за будь-яке від’ємне число).

1.3. (Усно.) Які із числових нерівностей правильні: 1) $2, 7 > - 3, 1$ ; 2) $0, 5 < - 3, 17$ ; 3) $7, 8 > 7, 08$ ; 4) $4, 1 < 4 \frac{1}{10}$ ; 5) $- 7, 1 > - 7, 19$ ; 6) $5, 05 < 5, 5$ ?

Розв’язання:

Правильними є нерівності 1), 3), 5), 6):

1) $2, 7 > - 3, 1$ (будь-яке додатне число більше за будь-яке від’ємне);

3) $7, 8 > 7, 08$ (оскільки $7, 80 > 7, 08$ );

5) $- 7, 1 > - 7, 19$ (оскільки $- 7, 10$ розташоване на координатній прямій праворуч від $- 7, 19$ );

6) $5, 05 < 5, 5$ (оскільки $5, 05 < 5, 50$ ).

Відповідь: 1), 3), 5), 6).

1.4. Порівняйте числа $a$ і $b$ , якщо:
1) $a - b = 5$ ;
2) $a - b = 0$ ;
3) $a - b = - 7$ .

Розв’язання:

Для порівняння чисел використовується означення: якщо різниця $a - b$ додатна, то $a > b$ ; якщо від’ємна, то $a < b$ ; якщо дорівнює нулю, то $a = b$ .

1) Оскільки $a - b = 5$ і $5 > 0$ , то $a > b$ ;

2) Оскільки $a - b = 0$ , то $a = b$ ;

3) Оскільки $a - b = - 7$ і $- 7 < 0$ , то $a < b$ .

Відповідь:

1) $a > b$ ;

2) $a = b$ ;

3) $a < b$ .

1.5. Порівняйте числа $m$ і $n$ , якщо різниця $m - n$ дорівнює: 1) $- 18$ ; 2) $1, 7$ ; 3) $0$ .

Розв’язання:

1) Оскільки $m - n = - 18 < 0$ , то $m < n$ .

2) Оскільки $m - n = 1, 7 > 0$ , то $m > n$ .

3) Оскільки $m - n = 0$ , то $m = n$ .

Відповідь:

1) $m < n$ ;

2) $m > n$ ;

3) $m = n$ .

1.6. Яке із чисел $x$ чи $y$ менше, якщо:
1) $x + 4 = y$ ;
2) $y - 2 = x$ ;
3) $y + 2 = x$ ;
4) $x - 3 = y$ ?

Розв’язання:

1) З рівності $x + 4 = y$ випливає, що $y - x = 4$ . Оскільки різниця додатна ( $y - x > 0$ ), то $y > x$ , отже, меншим є число $x$ .

2) З рівності $y - 2 = x$ випливає, що $y - x = 2$ . Оскільки різниця додатна ( $y - x > 0$ ), то $y > x$ , отже, меншим є число $x$ .

3) З рівності $y + 2 = x$ випливає, що $x - y = 2$ . Оскільки різниця додатна ( $x - y > 0$ ), то $x > y$ , отже, меншим є число $y$ .

4) З рівності $x - 3 = y$ випливає, що $x - y = 3$ . Оскільки різниця додатна ( $x - y > 0$ ), то $x > y$ , отже, меншим є число $y$ .

Відповідь:

1) $x$ ;

2) $x$ ;

3) $y$ ;

4) $y$ .

1.7. Яке із чисел $a$ чи $b$ більше, якщо:

1) $a - 7 = b$ ;

2) $a + 3 = b$ ;

3) $b + 2 = a$ ;

4) $b - 5 = a$ ?

Розв’язання:

1) З рівності $a - 7 = b$ випливає, що $a - b = 7$ . Оскільки різниця додатна, то $a > b$ , отже, більшим є число $a$ .

2) З рівності $a + 3 = b$ випливає, що $b - a = 3$ . Оскільки різниця додатна, то $b > a$ , отже, більшим є число $b$ .

3) З рівності $b + 2 = a$ випливає, що $a - b = 2$ . Оскільки різниця додатна, то $a > b$ , отже, більшим є число $a$ .

4) З рівності $b - 5 = a$ випливає, що $b - a = 5$ . Оскільки різниця додатна, то $b > a$ , отже, більшим є число $b$ .

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

1.8. Позначте на координатній прямій точки, що відповідають числам $m$ , $n$ і $p$ , якщо $m < n$ та $p > n$ .

Розв’язання:

Оскільки за умовою $m < n$ та $p > n$ (тобто $n < p$ ), то маємо подвійну нерівність $m < n < p$ .

Отже, на координатній прямій точки розташовуватимуться у порядку зростання зліва направо: спочатку точка $m$ , потім точка $n$ , і найправіше — точка $p$ .

1.9.

1) Запишіть у порядку зростання числа: $\frac{4}{5}$ (Й); $- \frac{3}{7}$ (О); $\frac{3}{8}$ (Н); $0$ (О); $- 0, 1$ (Р); $- 1, 2$ (В); $0, 7$ (И).

2) Прочитайте прізвище видатного українського математика, професора Варшавського університету.

3) Дізнайтеся з інтернету про його здобутки.

Розв’язання:

1) Для порівняння переведемо звичайні дроби у десяткові:
$\frac{4}{5} = 0, 8$ ; $- \frac{3}{7} \approx - 0, 43$ ; $\frac{3}{8} = 0, 375$ .

Запишемо числа у порядку зростання:
$- 1, 2$ (В); $- \frac{3}{7}$ (О); $- 0, 1$ (Р); $0$ (О); $\frac{3}{8}$ (Н); $0, 7$ (И); $\frac{4}{5}$ (Й).

2) Прізвище математика — ВОРОНИЙ.

3) Георгій Феодосійович Вороний — видатний український математик, який зробив фундаментальний внесок у теорію чисел та математичний аналіз. Найбільш відомим його здобутком є введення поняття «діаграми Вороного», які сьогодні широко застосовуються в комп’ютерній графіці, фізиці, астрономії та штучному інтелекті.

Відповідь:

1) $- 1, 2$ ; $- \frac{3}{7}$ ; $- 0, 1$ ; $0$ ; $\frac{3}{8}$ ; $0, 7$ ; $\frac{4}{5}$ ;

2) Вороний.

1.10.

1) Запишіть у порядку спадання числа: $- 1, 2$ (Р); $\frac{3}{4}$ (І); $0$ (О); $- 0, 99$ (У); $0, 8$ (Б); $- 0, 6$ (К); $0, 51$ (Л).

2) Прочитайте прізвище української художниці, творами якої захоплювався Пабло Пікассо.

3) Дізнайтеся з інтернету про її творчий доробок та назву відомої картини на ілюстрації. Поміркуйте, який момент важких часів для України відобразила мисткиня на полотні та дізнайтеся про долю цієї картини.

Розв’язання:

1) Перетворимо звичайний дріб у десятковий: $\frac{3}{4} = 0, 75$ .

Запишемо числа у порядку спадання:
$0, 8 (Б); \frac{3}{4} (І); 0, 51 (Л); 0 (О); - 0, 6 (К); - 0, 99 (У); - 1, 2 (Р) .$

2) Прізвище художниці — БІЛОКУР.

3) Катерина Білокур — майстриня народного декоративного живопису, представниця «наївного мистецтва». На ілюстрації зображена картина «Цар-колос». Мисткиня створила її у післявоєнний період (1949 рік), коли Україна переживала наслідки голоду та важкої праці на землі; колосся на полотні символізує велич життя та незламність народу, попри трагедії. Доля картини трагічна: у 1954 році вона була викрадена або втрачена після міжнародної виставки в Парижі, і її місцеперебування досі невідоме.

1.11. Укажіть серед даних нерівностей ті, що є правильними за будь-якого значення $x$ :

1) $x^{2} > 0$ ;

2) $x^{2} \geq 0$ ;

3) $x + 1 > 0$ ;

4) $x^{2} + 1 > 0$ ;

5) $(x - 3)^{2} \geq 0$ ;

6) $(x + 4)^{2} > 0$ ;

7) $x > - x$ ;

8) $- x \leq x$ .

Розв’язання:

1) $x^{2} > 0$ — нерівність хибна при $x = 0$ , оскільки $0^{2} = 0 ≯ 0$ ;

2) $x^{2} \geq 0$ — нерівність правильна за будь-якого значення $x$ , оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним;

3) $x + 1 > 0$ — нерівність хибна, наприклад, при $x = - 1$ (отримуємо $0 > 0$ ) або при $x < - 1$ ;

4) $x^{2} + 1 > 0$ — нерівність правильна за будь-якого значення $x$ , оскільки $x^{2} \geq 0$ , звідки $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ ;

5) $(x - 3)^{2} \geq 0$ — нерівність правильна за будь-якого значення $x$ , оскільки квадрат будь-якого виразу є невід’ємним;

6) $(x + 4)^{2} > 0$ — нерівність хибна при $x = - 4$ , оскільки $(- 4 + 4)^{2} = 0^{2} = 0 ≯ 0$ ;

7) $x > - x$ ( $2 x > 0 ⟹ x > 0$ ) — нерівність хибна при будь-якому $x \leq 0$ (наприклад, при $x = - 1$ : $- 1 > 1$ — хибно);

8) $- x \leq x$ ( $2 x \geq 0 ⟹ x \geq 0$ ) — нерівність хибна при будь-якому $x < 0$ (наприклад, при $x = - 1$ : $1 \leq - 1$ — хибно).

Відповідь: 2), 4), 5).

1.12. Доведіть нерівність: 1) $3 m + 5 > 3 (m - 1)$ ; 2) $p (p - 2) < p^{2} - 2 p + 7$ ; 3) $(a + 1) (a - 1) < a^{2}$ ; 4) $x (x + 2) > 2 x - 1$ .

Розв’язання:

Для доведення нерівностей використаємо метод знаходження різниці між лівою та правою частинами.

1) $3 m + 5 > 3 (m - 1)$

Розглянемо різницю:
$(3 m + 5) - 3 (m - 1) = 3 m + 5 - 3 m + 3 = 8$

Оскільки $8 > 0$ , то нерівність доведено.

2) $p (p - 2) < p^{2} - 2 p + 7$

Розглянемо різницю:
$p (p - 2) - (p^{2} - 2 p + 7) = p^{2} - 2 p - p^{2} + 2 p - 7 = - 7$

Оскільки $- 7 < 0$ , то нерівність доведено.

3) $(a + 1) (a - 1) < a^{2}$

Розглянемо різницю:
$(a + 1) (a - 1) - a^{2} = a^{2} - 1 - a^{2} = - 1$

Оскільки $- 1 < 0$ , то нерівність доведено.

4) $x (x + 2) > 2 x - 1$

Розглянемо різницю:
$x (x + 2) - (2 x - 1) = x^{2} + 2 x - 2 x + 1 = x^{2} + 1$

Будь-яке число у квадраті невід’ємне ( $x^{2} \geq 0$ ), тому $x^{2} + 1 \geq 1$ .

Оскільки $x^{2} + 1 > 0$ для будь-якого $x$ , то нерівність доведено.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

1.13. Доведіть нерівність:

1) $2 a - 3 < 2 (a - 1)$ ;

2) $c (c + 2) > c^{2} + 2 c - 3$ ;

3) $(x + 2) (x - 2) + 5 > x^{2}$ ;

4) $3 m - 2 < m (m + 3)$ .

Розв’язання:

1) Для доведення розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:
$(2 a - 3) - 2 (a - 1) = 2 a - 3 - 2 a + 2 = - 1$ .
Оскільки різниця $- 1 < 0$ , то нерівність $2 a - 3 < 2 (a - 1)$ є правильною для будь-якого значення $a$ .

2) Розглянемо різницю частин нерівності:
$c (c + 2) - (c^{2} + 2 c - 3) = c^{2} + 2 c - c^{2} - 2 c + 3 = 3$ .
Оскільки різниця $3 > 0$ , то нерівність $c (c + 2) > c^{2} + 2 c - 3$ є правильною для будь-якого значення $c$ .

3) Розглянемо різницю лівої та правої частин:
$((x + 2) (x - 2) + 5) - x^{2} = x^{2} - 4 + 5 - x^{2} = 1$ .
Оскільки різниця $1 > 0$ , то нерівність $(x + 2) (x - 2) + 5 > x^{2}$ є правильною для будь-якого значення $x$ .

4) Розглянемо різницю лівої та правої частин:
$(3 m - 2) - m (m + 3) = 3 m - 2 - m^{2} - 3 m = - m^{2} - 2 = - (m^{2} + 2)$ .
Для будь-якого значення $m$ вираз $m^{2} \geq 0$ , тоді $m^{2} + 2 \geq 2$ , а отже, $- (m^{2} + 2) \leq - 2$ .
Оскільки різниця завжди від’ємна ( $- (m^{2} + 2) < 0$ ), то нерівність $3 m - 2 < m (m + 3)$ є правильною для будь-якого значення $m$ .

1.14. Доведіть нерівність:

1) $x^{2} + y^{2} \geq - 2 x y$ ;

2) $p (p - 6) \geq - 9$ ;

3) $a (a + b) \geq ab$ ;

4) $m^{2} + 5 m + 4 \geq m$ .

Доведення:

1) Розглянемо різницю лівої і правої частин:
$x^{2} + y^{2} - (- 2 x y) = x^{2} + y^{2} + 2 x y = (x + y)^{2}$
Оскільки $(x + y)^{2} \geq 0$ при будь-яких значеннях $x$ та $y$ , то нерівність $x^{2} + y^{2} \geq - 2 x y$ доведено.

2) Розглянемо різницю лівої і правої частин:
$p (p - 6) - (- 9) = p^{2} - 6 p + 9 = (p - 3)^{2}$
Оскільки $(p - 3)^{2} \geq 0$ при будь-якому значенні $p$ , то нерівність $p (p - 6) \geq - 9$ доведено.

3) Розглянемо різницю лівої і правої частин:
$a (a + b) - ab = a^{2} + ab - ab = a^{2}$
Оскільки $a^{2} \geq 0$ при будь-якому значенні $a$ , то нерівність $a (a + b) \geq ab$ доведено.

4) Розглянемо різницю лівої і правої частин:
$m^{2} + 5 m + 4 - m = m^{2} + 4 m + 4 = (m + 2)^{2}$
Оскільки $(m + 2)^{2} \geq 0$ при будь-якому значенні $m$ , то нерівність $m^{2} + 5 m + 4 \geq m$ доведено.

1.15. Доведіть нерівність:

1) $m^{2} + n^{2} \geq 2 mn$ ;

2) $t (t + 2) \geq - 1$ ;

3) $c (c - d) \geq - c d$ ;

4) $p^{2} - 11 p + 36 \geq p$ .

Розв’язання:

1) Різниця частин: $m^{2} + n^{2} - 2 mn = (m - n)^{2}$ . Оскільки $(m - n)^{2} \geq 0$ , то $m^{2} + n^{2} \geq 2 mn$ .

2) Різниця частин: $t (t + 2) - (- 1) = t^{2} + 2 t + 1 = (t + 1)^{2}$ . Оскільки $(t + 1)^{2} \geq 0$ , то $t (t + 2) \geq - 1$ .

3) Різниця частин: $c (c - d) - (- c d) = c^{2} - c d + c d = c^{2}$ . Оскільки $c^{2} \geq 0$ , то $c (c - d) \geq - c d$ .

4) Різниця частин: $p^{2} - 11 p + 36 - p = p^{2} - 12 p + 36 = (p - 6)^{2}$ . Оскільки $(p - 6)^{2} \geq 0$ , то $p^{2} - 11 p + 36 \geq p$ .

1.16. Порівняйте числа:

1) $5 - 2$ і $\frac{1}{5 + 2}$ ;

2) $7 + 3$ і $\frac{1}{7 - 3}$ .

Розв’язання:

1) Помножимо чисельник і знаменник дробу $\frac{1}{5 + 2}$ на спряжений вираз $(5 - 2)$ :

$\frac{1 \cdot ( 5 - 2 )}{( 5 + 2 ) ( 5 - 2 )} = \frac{5 - 2}{( 5 ) ^{2} - 2 ^{2}} = \frac{5 - 2}{5 - 4} = 5 - 2$

Отже, $5 - 2 = \frac{1}{5 + 2}$ .

2) Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу $\frac{1}{7 - 3}$ :

$\frac{1 \cdot ( 7 + 3 )}{( 7 - 3 ) ( 7 + 3 )} = \frac{7 + 3}{( 7 ) ^{2} - ( 3 ) ^{2}} = \frac{7 + 3}{7 - 3} = \frac{7 + 3}{4}$

Оскільки $7 + 3 > 0$ , то $7 + 3 > \frac{7 + 3}{4}$ , отже:

$7 + 3 > \frac{1}{7 - 3}$

Відповідь:

1) $5 - 2 = \frac{1}{5 + 2}$ ;

2) $7 + 3 > \frac{1}{7 - 3}$ .

1.17. Порівняйте числа:

1) $3 - 1$ і $\frac{1}{3 + 1}$ ;

2) $4 + 15$ і $\frac{1}{4 - 15}$ .

Розв’язання:

1) Перетворимо другий вираз:

$\frac{1}{3 + 1} = \frac{3 - 1}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{3 - 1}{3 - 1} = \frac{3 - 1}{2}$

Оскільки вираз $3 - 1$ є додатним числом ( $3 \approx 1, 73 > 1$ ), то він більший за свою половину:

$3 - 1 > \frac{3 - 1}{2}$

Отже, $3 - 1 > \frac{1}{3 + 1}$ .

2) Перетворимо другий вираз:

$\frac{1}{4 - 15} = \frac{4 + 15}{( 4 - 15 ) ( 4 + 15 )} = \frac{4 + 15}{16 - 15} = 4 + 15$

Отже, $4 + 15 = \frac{1}{4 - 15}$ .

Відповідь:

1) $3 - 1 > \frac{1}{3 + 1}$ ;

2) $4 + 15 = \frac{1}{4 - 15}$ .

1.18. Доведіть нерівність:

1) $a^{2} + 10 a + 26 > 0$

Доведення:

Розглянемо ліву частину нерівності та виділимо повний квадрат двочлена:
$a^{2} + 10 a + 26 = a^{2} + 10 a + 25 + 1 = (a + 5)^{2} + 1$

Оскільки $(a + 5)^{2} \geq 0$ для будь-якого значення $a$ , то $(a + 5)^{2} + 1 \geq 1 > 0$ .
Отже, $a^{2} + 10 a + 26 > 0$ для будь-якого значення $a$ . Нерівність доведено.

2) $8 a < a^{2} + 20$

Доведення:

Розглянемо різницю правої та лівої частин нерівності:
$(a^{2} + 20) - 8 a = a^{2} - 8 a + 20 = a^{2} - 8 a + 16 + 4 = (a - 4)^{2} + 4$

Оскільки $(a - 4)^{2} \geq 0$ для будь-якого значення $a$ , то $(a - 4)^{2} + 4 \geq 4 > 0$ .
Оскільки різниця правої та лівої частин є додатною, то нерівність $8 a < a^{2} + 20$ є правильною для будь-якого значення $a$ . Нерівність доведено.

1.19. Доведіть нерівність:

1) $b^{2} - 4 b + 7 > 0$

Виділимо повний квадрат у лівій частині:
$b^{2} - 4 b + 7 = b^{2} - 4 b + 4 + 3 = (b - 2)^{2} + 3$

Оскільки $(b - 2)^{2} \geq 0$ , то $(b - 2)^{2} + 3 \geq 3 > 0$ . Нерівність доведено.

2) $- 2 b < b^{2} + 2$

Складемо різницю правої та лівої частин:
$(b^{2} + 2) - (- 2 b) = b^{2} + 2 b + 2 = b^{2} + 2 b + 1 + 1 = (b + 1)^{2} + 1$

Оскільки $(b + 1)^{2} \geq 0$ , то значення виразу $(b + 1)^{2} + 1 \geq 1 > 0$ , тобто різниця є додатною. Отже, $- 2 b < b^{2} + 2$ . Нерівність доведено.

1.20. Нехай $x$ — довільне число. Порівняйте з нулем значення виразу:

1) $x^{2} + 5$

Оскільки $x^{2} \geq 0$ для будь-якого $x$ , то $x^{2} + 5 \geq 5 > 0$ . Отже, $x^{2} + 5 > 0$ .

2) $- (x - 1)^{2} - 3$

Оскільки $(x - 1)^{2} \geq 0$ , тоді $- (x - 1)^{2} \leq 0$ , звідки $- (x - 1)^{2} - 3 \leq - 3 < 0$ . Отже, $- (x - 1)^{2} - 3 < 0$ .

3) $(x - 7)^{2}$

Квадрат будь-якого числа є невід’ємним, тому $(x - 7)^{2} \geq 0$ .

4) $- (x + 9)^{2}$

Оскільки $(x + 9)^{2} \geq 0$ , то протилежний вираз є недодатним, тобто $- (x + 9)^{2} \leq 0$ .

5) $9 + (x - 1)^{2}$

Оскільки $(x - 1)^{2} \geq 0$ , то сума додатного числа $9$ та невід’ємного виразу є додатною: $9 + (x - 1)^{2} \geq 9 > 0$ , отже, $9 + (x - 1)^{2} > 0$ .

6) $(x - 1)^{2} + (x - 2)^{2}$

Сума двох квадратів є невід’ємною. Оскільки ці квадрати не можуть одночасно дорівнювати нулю (перший перетворюється на нуль при $x = 1$ , а другий — при $x = 2$ ), то їхня сума завжди строго більша за нуль: $(x - 1)^{2} + (x - 2)^{2} > 0$ .

1.21. Доведіть, що:

1) $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3 \geq 0$ , якщо $x \geq 3$ ;

Розкладемо ліву частину на множники методом групування:
$x^{2} (x - 3) + 1 \cdot (x - 3) = (x - 3) (x^{2} + 1)$

За умовою $x \geq 3$ , тому перший множник $x - 3 \geq 0$ . Другий множник $x^{2} + 1$ завжди додатний ( $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ ). Добуток невід’ємного та додатного чисел є невід’ємним, тобто $(x - 3) (x^{2} + 1) \geq 0$ . Нерівність доведено.

2) $\frac{a}{a + 3} > \frac{a - 1}{a + 2}$ , якщо $a$ — додатне число.

Розглянемо різницю лівої та правої частин:
$\frac{a}{a + 3} - \frac{a - 1}{a + 2} = \frac{a ( a + 2 ) - ( a - 1 ) ( a + 3 )}{( a + 3 ) ( a + 2 )} = \frac{a ^{2} + 2 a - ( a ^{2} + 2 a - 3 )}{( a + 3 ) ( a + 2 )} = \frac{3}{( a + 3 ) ( a + 2 )}$

Оскільки $a > 0$ , то множники у знаменнику $a + 3 > 0$ та $a + 2 > 0$ є додатними. Чисельник дорівнює $3 > 0$ . Отже, весь дріб $\frac{3}{( a + 3 ) ( a + 2 )} > 0$ .

Оскільки різниця лівої та правої частин є додатною, то $\frac{a}{a + 3} > \frac{a - 1}{a + 2}$ . Нерівність доведено.

1.22. Доведіть, що:

1) $m^{3} + m^{2} + 5 m + 5 \geq 0$ , якщо $m \geq - 1$ ;

Доведення:

Розкладемо вираз на множники:
$m^{2} (m + 1) + 5 (m + 1) = (m + 1) (m^{2} + 5)$

Якщо $m \geq - 1$ , то $m + 1 \geq 0$ . Оскільки $m^{2} \geq 0$ для будь-якого $m$ , то множник $m^{2} + 5 > 0$ . Добуток невід’ємного числа і додатного числа є невід’ємним, тобто $(m + 1) (m^{2} + 5) \geq 0$ . Нерівність доведено.

2) $\frac{p}{p + 7} < \frac{p + 1}{p + 8}$ , якщо $p$ — додатне число.

Доведення:

Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:
$\frac{p}{p + 7} - \frac{p + 1}{p + 8} = \frac{p ( p + 8 ) - ( p + 1 ) ( p + 7 )}{( p + 7 ) ( p + 8 )} = \frac{p ^{2} + 8 p - ( p ^{2} + 8 p + 7 )}{( p + 7 ) ( p + 8 )} = \frac{p ^{2} + 8 p - p ^{2} - 8 p - 7}{( p + 7 ) ( p + 8 )} = - \frac{7}{( p + 7 ) ( p + 8 )}$

Оскільки $p > 0$ , то $p + 7 > 0$ і $p + 8 > 0$ , отже, знаменник $(p + 7) (p + 8) > 0$ . Чисельник дорівнює $- 7 < 0$ , тому дріб $- \frac{7}{( p + 7 ) ( p + 8 )} < 0$ .

Оскільки різниця лівої та правої частин менша від нуля, то $\frac{p}{p + 7} < \frac{p + 1}{p + 8}$ . Нерівність доведено.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

1.23. Доведіть нерівність:
1) $m^{2} + 4 m + p^{2} + 2 p + 5 \geq 0$ ;
2) $a^{2} + b^{2} \geq 4 (a + b) - 8$ ;
3) $m^{2} + n^{2} + 1 \geq m + n + mn$ ;
4) $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 2 (a + b + c) - 4$ .

Доведення:

1) Розглянемо ліву частину нерівності та виділимо повні квадрати двочленів:

$m^{2} + 4 m + 4 + p^{2} + 2 p + 1 \geq 0$

$(m + 2)^{2} + (p + 1)^{2} \geq 0$

Оскільки квадрат будь-якого числа є невід’ємним, тобто $(m + 2)^{2} \geq 0$ та $(p + 1)^{2} \geq 0$ , то їхня сума також є невід’ємною для будь-яких дійсних значень $m$ та $p$ . Нерівність доведено.

2) Перенесемо всі доданки в ліву частину та виділимо повні квадрати:

$a^{2} + b^{2} - 4 a - 4 b + 8 \geq 0$

$(a^{2} - 4 a + 4) + (b^{2} - 4 b + 4) \geq 0$

$(a - 2)^{2} + (b - 2)^{2} \geq 0$

Сума квадратів $(a - 2)^{2}$ та $(b - 2)^{2}$ завжди більша або дорівнює нулю, тому нерівність виконується для будь-яких дійсних значень $a$ та $b$ . Нерівність доведено.

3) Помножимо обидві частини нерівності на $2$ і розглянемо різницю лівої та правої частин:

$2 m^{2} + 2 n^{2} + 2 - 2 m - 2 n - 2 mn \geq 0$

$(m^{2} - 2 mn + n^{2}) + (m^{2} - 2 m + 1) + (n^{2} - 2 n + 1) \geq 0$

$(m - n)^{2} + (m - 1)^{2} + (n - 1)^{2} \geq 0$

Отримана сума трьох квадратів завжди невід’ємна для будь-яких дійсних значень $m$ та $n$ , що доводить вихідну нерівність.

4) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a - 2 b - 2 c + 4 = (a^{2} - 2 a + 1) + (b^{2} - 2 b + 1) + (c^{2} - 2 c + 1) + 1 =$

$= (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + (c - 1)^{2} + 1$

Оскільки $(a - 1)^{2} \geq 0$ , $(b - 1)^{2} \geq 0$ та $(c - 1)^{2} \geq 0$ , то їхня сума з додатним числом $1$ завжди буде строго більшою за $0$ .

Отже, $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 2 (a + b + c) - 4$ . Нерівність доведено.

1.24. Для кожного додатного значення $a$ доведіть, що:

1) $a^{3} + 2 a^{2} + a > 0$ ;

2) $a^{3} + 1 \geq a^{2} + a$ ;

3) $(a + 1)^{3} \leq 4 (a^{3} + 1)$ ;

4) $a^{6} - a^{5} + a^{4} > 0$ .

Розв’язання:

1) Винесемо спільний множник за дужки:
$a^{3} + 2 a^{2} + a = a (a^{2} + 2 a + 1) = a (a + 1)^{2}$ .

За умовою $a > 0$ , тоді $a + 1 > 1$ , отже, $(a + 1)^{2} > 0$ . Добуток двох додатних чисел $a$ та $(a + 1)^{2}$ завжди більший за нуль:
$a (a + 1)^{2} > 0$ .

Нерівність доведено.

2) Розглянемо різницю частин нерівності та розкладемо її на множники:
$(a^{3} + 1) - (a^{2} + a) = a^{3} - a^{2} - a + 1 = a^{2} (a - 1) - (a - 1) = (a - 1) (a^{2} - 1) = (a - 1) (a - 1) (a + 1) = (a - 1)^{2} (a + 1)$ .

Оскільки $a > 0$ , то $a + 1 > 0$ . Квадрат $(a - 1)^{2} \geq 0$ для будь-якого $a$ . Добуток невід’ємного та додатного чисел є невід’ємним:
$(a - 1)^{2} (a + 1) \geq 0$ , звідки $a^{3} + 1 \geq a^{2} + a$ .

Нерівність доведено.

3) Розглянемо різницю правої та лівої частин:
$4 (a^{3} + 1) - (a + 1)^{3} = 4 (a + 1) (a^{2} - a + 1) - (a + 1)^{3} =$
$= (a + 1) (4 a^{2} - 4 a + 4 - (a + 1)^{2}) =$
$= (a + 1) (4 a^{2} - 4 a + 4 - a^{2} - 2 a - 1) =$
$= (a + 1) (3 a^{2} - 6 a + 3) = 3 (a + 1) (a^{2} - 2 a + 1) = 3 (a + 1) (a - 1)^{2}$ .

Оскільки за умовою $a > 0$ , то $a + 1 > 0$ . Також $3 > 0$ та $(a - 1)^{2} \geq 0$ . Добуток є невід’ємним:
$3 (a + 1) (a - 1)^{2} \geq 0$ , тому $(a + 1)^{3} \leq 4 (a^{3} + 1)$ .

Нерівність доведено.

4) Винесемо спільний множник за дужки:
$a^{6} - a^{5} + a^{4} = a^{4} (a^{2} - a + 1)$ .

Оскільки $a > 0$ , то $a^{4} > 0$ . Для виразу $a^{2} - a + 1$ виділимо повний квадрат:
$a^{2} - a + 1 = (a - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ (або дискримінант $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = - 3 < 0$ , тому вираз завжди набуває додатних значень).

Добуток двох додатних чисел є додатним:
$a^{4} (a^{2} - a + 1) > 0$ .

Нерівність доведено.

1.25. Для кожного від’ємного значення $p$ доведіть, що:
1) $p^{3} + 10 p^{2} + 25 p \leq 0$ ;
2) $1 - p^{3} > p - p^{2}$ .

Розв’язання:

1) Розкладемо вираз на множники:
$p^{3} + 10 p^{2} + 25 p = p (p^{2} + 10 p + 25) = p (p + 5)^{2}$

За умовою $p < 0$ . Квадрат двочлена $(p + 5)^{2} \geq 0$ для будь-якого $p$ . Добуток від’ємного числа на невід’ємне є числом недодатним (меншим або рівним нулю), тобто $p (p + 5)^{2} \leq 0$ .

Нерівність доведено.

2) Розглянемо різницю лівої та правої частин:
$1 - p^{3} - (p - p^{2}) = (1 - p) (1 + p + p^{2}) - p (1 - p) = (1 - p) (1 + p + p^{2} - p) = (1 - p) (1 + p^{2})$

Оскільки за умовою $p < 0$ , то $- p > 0$ , відповідно $1 - p > 0$ . Вираз $1 + p^{2} > 0$ для будь-якого $p$ . Добуток двох додатних чисел є додатним, отже, $(1 - p) (1 + p^{2}) > 0$ , звідки $1 - p^{3} > p - p^{2}$ .

Нерівність доведено.

1.26. Доведіть, що:

1) $\frac{7 a}{2 b} + \frac{8 b}{7 a} \geq 4$ , якщо $a$ і $b$ — числа одного знака;

2) $\frac{3 m}{5 n} + \frac{5 n}{12 m} \leq - 1$ , якщо $m$ і $n$ — числа різних знаків.

Розв’язання:

1) Оскільки $a$ і $b$ одного знака, то їхній добуток $ab > 0$ , а отже і дріб $\frac{a}{b} > 0$ . Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

\frac{7 a}{2 b} + \frac{8 b}{7 a} - 4 = \frac{49 a ^{2} + 16 b ^{2} - 56 ab}{14 ab} = \frac{( 7 a - 4 b ) ^{2}}{14 ab}

Чисельник $(7 a - 4 b)^{2} \geq 0$ як квадрат виразу. Знаменник $14 ab > 0$ , оскільки $a$ і $b$ одного знака.

Дріб є невід’ємним, отже, $\frac{7 a}{2 b} + \frac{8 b}{7 a} \geq 4$ . Нерівність доведено.

2) Оскільки $m$ і $n$ різних знаків, то їхній добуток $mn < 0$ . Розглянемо різницю лівої та правої частин:

\frac{3 m}{5 n} + \frac{5 n}{12 m} - (- 1) = \frac{3 m}{5 n} + \frac{5 n}{12 m} + 1 = \frac{36 m ^{2} + 25 n ^{2} + 60 mn}{60 mn} = \frac{( 6 m + 5 n ) ^{2}}{60 mn}

Чисельник $(6 m + 5 n)^{2} \geq 0$ для будь-яких $m$ та $n$ . Знаменник $60 mn < 0$ , оскільки $m$ і $n$ мають різні знаки.

Відношення невід’ємного числа до від’ємного є числом недодатним ( $\leq 0$ ). Отже, $\frac{3 m}{5 n} + \frac{5 n}{12 m} \leq - 1$ . Нерівність доведено.

1.27. Доведіть, що:

1) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ , якщо $a > 0, b > 0$ ;

2) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \leq - 2$ , якщо $a < 0, b > 0$ .

Доведення:

1) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a ^{2} + b ^{2} - 2 ab}{ab} = \frac{( a - b ) ^{2}}{ab}

За умовою $a > 0$ та $b > 0$ , тому $ab > 0$ .

Оскільки $(a - b)^{2} \geq 0$ , то дріб $\frac{( a - b ) ^{2}}{ab} \geq 0$ .

Отже, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \geq 0$ , звідки $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ . Нерівність доведено.

2) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - (- 2) = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = \frac{a ^{2} + b ^{2} + 2 ab}{ab} = \frac{( a + b ) ^{2}}{ab}

За умовою $a < 0$ та $b > 0$ , тому $ab < 0$ .

Оскільки $(a + b)^{2} \geq 0$ , а $ab < 0$ , то дріб $\frac{( a + b ) ^{2}}{ab} \leq 0$ .

Отже, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 \leq 0$ , звідки $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \leq - 2$ . Нерівність доведено.

1.28. Порівняйте значення виразів $m^{3} + n^{3}$ і $mn (m + n)$ , якщо $m$ і $n$ — додатні числа, $m \neq = n$ .

Розв’язання:

Для порівняння виразів знайдемо їхню різницю:
$(m^{3} + n^{3}) - mn (m + n)$

Розкладемо суму кубів за формулою:
$(m + n) (m^{2} - mn + n^{2}) - mn (m + n)$

Винесемо спільний множник $(m + n)$ за дужки:
$(m + n) (m^{2} - mn + n^{2} - mn) = (m + n) (m^{2} - 2 mn + n^{2})$

Застосуємо формулу квадрата різниці:
$(m + n) (m - n)^{2}$

Оскільки за умовою $m$ і $n$ — додатні числа, то $m + n > 0$ . Оскільки $m \neq = n$ , то $m - n \neq = 0$ , отже, $(m - n)^{2} > 0$ . Добуток двох додатних чисел є додатним, тому $(m + n) (m - n)^{2} > 0$ , тобто різниця виразів більша за нуль.

Відповідь: $m^{3} + n^{3} > mn (m + n)$ .

1.29. До кожного із чисел $2$ , $3$ , $4$ , $5$ додали одне й те саме число $a$ . Порівняйте добуток першого й четвертого виразів, що утворилися, з добутком другого й третього.

Розв’язання:

Після додавання числа $a$ утворилися вирази: $2 + a$ , $3 + a$ , $4 + a$ , $5 + a$ .

Знайдемо добуток першого й четвертого виразів:
$P_{1} = (2 + a) (5 + a) = 10 + 2 a + 5 a + a^{2} = a^{2} + 7 a + 10$ .

Знайдемо добуток другого й третього виразів:
$P_{2} = (3 + a) (4 + a) = 12 + 3 a + 4 a + a^{2} = a^{2} + 7 a + 12$ .

Порівняємо отримані результати, знайшовши їхню різницю:
$P_{1} - P_{2} = (a^{2} + 7 a + 10) - (a^{2} + 7 a + 12) = a^{2} + 7 a + 10 - a^{2} - 7 a - 12 = - 2$ .

Оскільки різниця від’ємна ( $- 2 < 0$ ), то $P_{1} < P_{2}$ , тобто перший добуток менший за другий.

Відповідь: добуток першого й четвертого виразів менший за добуток другого й третього.

1.30. Дві школи закупили бейджики (badge) для перших класів на однакову суму грошей. Перша школа закупила на половину коштів бейджів по 4 грн, а на іншу половину — по 6 грн. Друга школа на всі кошти закупила бейджі по 5 грн. Яка зі шкіл закупила більше бейджів, якщо обидві школи витратили всі кошти?

Відомо:

$S$ — загальна сума коштів кожної школи;
$c_{1} = 4 грн$ — ціна першої частини бейджів для 1-ї школи;
$c_{2} = 6 грн$ — ціна другої частини бейджів для 1-ї школи;
$c_{3} = 5 грн$ — ціна всіх бейджів для 2-ї школи.

Знайти:

Порівняти $N_{1}$ та $N_{2}$ (кількість бейджів).

Розв’язання:

Обчислимо кількість бейджів, яку купила перша школа:

N_{1} = \frac{\frac{S}{2}}{4} + \frac{\frac{S}{2}}{6} = \frac{S}{8} + \frac{S}{12} = \frac{3 S + 2 S}{24} = \frac{5 S}{24}

Обчислимо кількість бейджів, яку купила друга школа:

N_{2} = \frac{S}{5}

Для порівняння $N_{1}$ та $N_{2}$ зведемо дроби до спільного знаменника $120$ :

N_{1} = \frac{5 S}{24} = \frac{25 S}{120}

N_{2} = \frac{S}{5} = \frac{24 S}{120}

Оскільки $\frac{25 S}{120} > \frac{24 S}{120}$ (тобто $N_{1} > N_{2}$ ), перша школа закупила більше бейджів.

Відповідь: перша школа закупила більше бейджів.

1.31. Софія і Поліна купили однакову кількість зошитів. Софія всі зошити купила за ціною 30 грн, а Поліна — третину зошитів за ціною 24 грн, а решту — за ціною 32 грн. Котра з дівчат витратила на покупку менше грошей?

Дано:

$n$ — кількість зошитів у кожної дівчини;
$c_{S} = 30 грн$ — ціна зошита Софії;
$c_{P 1} = 24 грн$ — ціна першої третини зошитів Поліни;
$c_{P 2} = 32 грн$ — ціна решти зошитів Поліни.

Знайти:

порівняти витрати $S_{S}$ та $S_{P}$ .

Розв’язання:

1) Обчислимо витрати Софії:
$S_{S} = 30 \cdot n = 30 n (грн)$ .

2) Обчислимо витрати Поліни:
$S_{P} = \frac{1}{3} n \cdot 24 + \frac{2}{3} n \cdot 32 = 8 n + \frac{64}{3} n = 8 n + 21 \frac{1}{3} n = 29 \frac{1}{3} n (грн)$ .

3) Порівняємо витрати (оскільки $n > 0$ ):
$29 \frac{1}{3} n < 30 n$ , тобто $S_{P} < S_{S}$ .

Отже, витрати Поліни менші за витрати Софії.

Відповідь: Поліна витратила на покупку менше грошей.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1.32. Розв’яжіть рівняння:

1) $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ ;

2) $5 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

Розв’язання:

1) $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = b^{2} - 4 a c = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49$

Обчислимо корені рівняння:
$x_{1} = \frac{- b + D}{2 a} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2, 5$
$x_{2} = \frac{- b - D}{2 a} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{- 4}{4} = - 1$

Відповідь: $- 1$ ; $2, 5$ .

2) $5 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = b^{2} - 4 a c = (- 2)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 3) = 4 + 60 = 64$

Обчислимо корені рівняння:
$x_{1} = \frac{- b + D}{2 a} = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x_{2} = \frac{- b - D}{2 a} = \frac{2 - 8}{10} = \frac{- 6}{10} = - 0, 6$

Відповідь: $- 0, 6$ ; $1$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1.33. Побудуйте графік функції:

1) $y = 3 x - 5$ ;

2) $y = 7$ ;

3) $y = - 0, 2 x$ .

Розв’язання:

Для побудови графіків лінійних функцій складемо таблиці значень для кожної з них:

1) $y = 3 x - 5$

$x$	$0$	$2$
$y$	$- 5$	$1$

2) $y = 7$

Це горизонтальна пряма, що проходить через точку $(0; 7)$ паралельно осі $O x$ .

3) $y = - 0, 2 x$

$x$	$0$	$5$
$y$	$0$	$- 1$

1.34. Трактористи мали зорати поле площею 40 га. Щодня вони орали на 1 га більше, ніж планували, тому закінчили оранку на 2 дні раніше визначеного терміну. За скільки днів трактористи зорали поле?

Дано:

$S = 40 га$
$v_{факт} = v_{план} + 1 га / день$
$t_{факт} = t_{план} - 2 дні$

Знайти:

$t_{факт} - ?$

Розв’язання:

Нехай $x (га / день)$ — планова продуктивність праці трактористів ( $x > 0$ ), тоді $(x + 1) (га / день)$ — їхня фактична продуктивність.

Час, запланований на роботу, становить $\frac{40}{x} днів$ , а фактичний час — $\frac{40}{x + 1} днів$ .

За умовою задачі різниця в часі становить $2 дні$ . Складемо рівняння:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 1} = 2$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$ :

$\frac{20}{x} - \frac{20}{x + 1} = 1$

Помножимо обидві частини на $x (x + 1) \neq = 0$ :

$20 (x + 1) - 20 x = x (x + 1)$

$20 x + 20 - 20 x = x^{2} + x$

$x^{2} + x - 20 = 0$

За теоремою Вієта:

[x_{1} = - 5 (не задовольняє умову, оскільки x > 0) x_{2} = 4

Отже, планова продуктивність становить $4 га / день$ .

Знайдемо фактичний час роботи:

$t_{факт} = \frac{40}{4 + 1} = \frac{40}{5} = 8 (днів)$

Відповідь: $8 днів .$

1.35. Обчисліть значення суми:
$\frac{1}{5 + 1} + \frac{1}{9 + 5} + \frac{1}{13 + 9} + \dots + \frac{1}{49 + 45}$

Розв’язання:

Позбудемося ірраціональності в знаменнику кожного доданку, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз:

$\frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{( a + b ) ( a - b )} = \frac{a - b}{a - b}$

Для кожного дробу в сумі різниця чисел під коренем $a - b = 4$ .

$S = \frac{5 - 1}{4} + \frac{9 - 5}{4} + \frac{13 - 9}{4} + \dots + \frac{49 - 45}{4}$

$S = \frac{1}{4} \cdot (5 - 1 + 9 - 5 + 13 - 9 + \dots + 49 - 45)$

Після взаємного знищення протилежних доданків у дужках залишаться лише доданки $- 1$ та $49$ :

$S = \frac{1}{4} \cdot (49 - 1)$

$S = \frac{1}{4} \cdot (7 - 1) = \frac{6}{4} = 1, 5$

Відповідь: $1, 5$ .

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

1.36.

1) Для будівництва гаража можна використати один із двох типів фундаменту: бетонний або з піноблоків. Для фундаменту з піноблоків потрібно 3 кубометри піноблоків та 6 мішків цементу. Для бетонного фундаменту потрібно 3 тонни щебеню і 30 мішків цементу. Кубометр піноблоків коштує 1560 грн, щебінь — 370 грн за тонну, а мішок цементу коштує 130 грн. Скільки коштуватиме матеріал, якщо вибрати найдешевший тип фундаменту?

2) Проєктна діяльність. Ціна цементу збільшилася на $10 %$ . Дослідіть, чи зміниться вибір найдешевшого фундаменту.

Розв’язання:

1) Розрахуємо вартість матеріалів для обох типів фундаменту:

Тип фундаменту	Матеріали та їх кількість	Розрахунок вартості (грн)	Загальна сума (грн)
З піноблоків	$3 м^{3} піноблоків + 6 м . цементу$	$3 \cdot 1560 + 6 \cdot 130 = 4680 + 780$	$5460$
Бетонний	$3 т щебеню + 30 м . цементу$	$3 \cdot 370 + 30 \cdot 130 = 1110 + 3900$	$5010$

Оскільки $5010 < 5460$ , найдешевшим є бетонний фундамент, його вартість становить $5010 грн$ .

2) Дослідимо зміну вибору при збільшенні ціни цементу на $10 %$ :

Нова ціна цементу: $130 \cdot 1, 1 = 143 (грн)$ за мішок.

Тип фундаменту	Новий розрахунок вартості (грн)	Нова сума (грн)
З піноблоків	$3 \cdot 1560 + 6 \cdot 143 = 4680 + 858$	$5538$
Бетонний	$3 \cdot 370 + 30 \cdot 143 = 1110 + 4290$	$5400$

Порівняння результатів показує, що бетонний фундамент ( $5400 < 5538$ ) залишається найдешевшим варіантом. Вибір не зміниться.

Відповідь:

1) $5010 грн$ ;

2) вибір не зміниться.

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

1.37. Прочитайте запис:

1) $a \leq 7$ — число $a$ менше або дорівнює семи;

2) $b > - 8$ — число $b$ більше за мінус вісім;

3) $x < - 2$ — число $x$ менше за мінус два;

4) $m \geq 0$ — число $m$ більше або дорівнює нулю;

5) $- 2 < x \leq 3$ — число $x$ більше за мінус два і менше або дорівнює трьом;

6) $0 < p < 5$ — число $p$ більше за нуль і менше за п’ять;

7) $3 \leq c \leq 5$ — число $c$ більше або дорівнює трьом і менше або дорівнює п’яти;

8) $- 5 \leq y < 7$ — число $y$ більше або дорівнює мінус п’яти і менше за сім.

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

1.38. Чи правильне твердження:

1) якщо $a = b$ , то $b = a$ ;

Твердження є правильним, оскільки рівність має властивість симетричності.

2) якщо $a = b$ , $b = c$ , то $a = c$ ;

Твердження є правильним, оскільки рівність має властивість транзитивності.

3) якщо $a = b$ і $p$ — будь-яке число, то $a + p = b + p$ ;

Твердження є правильним, оскільки додавання до обох частин рівності одного й того самого числа зберігає рівність.

4) якщо $a = b$ і $p$ — будь-яке число, то $a - p = b - p$ ?

Твердження є правильним, оскільки віднімання від обох частин рівності одного й того самого числа зберігає рівність.

Відповідь: 1) так; 2) так; 3) так; 4) так.

1.39. Порівняйте числа x та $y$ , якщо:

1) $x < 0$ , $y > 0$ ;

2) $x \geq 0$ , $y < 0$ ;

3) $x > 0$ , $y \leq 0$ ;

4) $x \leq 0$ , $y > 0$ .

Розв’язання:

1) $x < 0$ (від’ємне), а $y > 0$ (додатне). Будь-яке від’ємне число завжди менше за додатне: $x < y$ .

2) $x \geq 0$ (невід’ємне), а $y < 0$ (від’ємне). Невід’ємне число більше за будь-яке від’ємне: $x > y$ .

3) $x > 0$ (додатне), а $y \leq 0$ (недодатне). Будь-яке додатне число більше за недодатне: $x > y$ .

4) $x \leq 0$ (недодатне), а $y > 0$ (додатне). Недодатне число менше за додатне: $x < y$ .

Відповідь:

1) $x < y$ ;

2) $x > y$ ;

3) $x > y$ ;

4) $x < y$ .

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ – ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

1.40. Водійка планувала їхати з міста A в місто B зі швидкістю 60 км/год, а повертатися назад зі швидкістю 80 км/год. Та, повертаючись назад, проїхала половину шляху із запланованою швидкістю і зупинилася на ночівлю. Яка середня швидкість водійки за описаний проміжок часу?

Розв’язання:

Нехай відстань між містами $A$ і $B$ дорівнює $s км$ .

1) На шлях від $A$ до $B$ витрачено час:
$t_{1} = \frac{s}{60} (год)$

2) На зворотному шляху водійка проїхала половину відстані, тобто $\frac{s}{2} км$ , зі швидкістю $80 км / год$ . Час руху склав:
$t_{2} = \frac{\frac{s}{2}}{80} = \frac{s}{160} (год)$

3) Увесь пройдений водійкою шлях за час руху:
$s_{заг} = s + \frac{s}{2} = \frac{3 s}{2} (км)$

4) Загальний час руху:
$t_{заг} = t_{1} + t_{2} = \frac{s}{60} + \frac{s}{160} = \frac{8 s + 3 s}{480} = \frac{11 s}{480} (год)$

5) Обчислимо середню швидкість водійки за цей час:
$v_{сер} = \frac{s _{заг}}{t _{заг}} = \frac{\frac{3 s}{2}}{\frac{11 s}{480}} = \frac{3 s}{2} \cdot \frac{480}{11 s} = \frac{3 \cdot 240}{11} = \frac{720}{11} = 65 \frac{5}{11} (км / год)$

Відповідь: $65 \frac{5}{11} км / год$ .

1. Числові нерівності. Доведення нерівностей

Теги статті:

До уроку