Завдання № 3 «Перевірте себе» в тестовій формі

ЗАВДАННЯ № 3 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 № 8 № 9 № 10 № 11 № 12 № 13 № 14 № 15

1. При яких значеннях $x$ виконується нерівність $x^{2} > 4$ ?
А) $x > 2$ ;
Б) $x > 2$ або $x > - 2$ ;
В) $x < - 2$ або $x > 2$ ;
Г) $- 2 < x < 2$ .

Перенесемо число $4$ в ліву частину:
$x^{2} - 4 > 0$
$(x - 2) (x + 2) > 0$

Нулі функції: $x = - 2$ та $x = 2$ .
Оскільки вітки відповідної параболи напрямлені вгору, значення виразу строго більші за нуль зовні проміжку між нулями:
$x < - 2$ або $x > 2$ .

Відповідь: В.

2. Скільки цілих розв’язків має нерівність $3 x^{2} + 5 x - 8 < 0$ ?
А) 3;
Б) 4;
В) 5;
Г) 6.

Знайдемо корені квадратного тричлена $3 x^{2} + 5 x - 8 = 0$ :
$D = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8) = 25 + 96 = 121 = 1 1^{2}$
$x_{1} = \frac{- 5 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{- 16}{6} = - \frac{8}{3} = - 2 \frac{2}{3}$
$x_{2} = \frac{- 5 + 11}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $a = 3 > 0$ ), розв’язком нерівності зі знаком « $<$ » є числовий інтервал між коренями:
$x \in (- 2 \frac{2}{3}; 1)$

Випишемо всі цілі числа з цього проміжку:
$- 2, - 1, 0$ .

Усього маємо $3$ цілих розв’язки.

Відповідь: А.

3. Яка з даних нерівностей виконується при всіх дійсних значеннях змінної?
А) $x^{2} - 14 x + 49 > 0$ ;
Б) $- 3 x^{2} + x + 2 \leq 0$ ;
В) $x^{2} - 3 x + 4 > 0$ ;
Г) $- x^{2} + 7 x - 10 < 0$ .

Розглянемо квадратний тричлен $x^{2} - 3 x + 4$ у варіанті В:
Коефіцієнт $a = 1 > 0$ , тому вітки параболи напрямлені вгору.
Обчислимо дискримінант:
$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = - 7 < 0$ .

Оскільки $a > 0$ і $D < 0$ , графік функції повністю розташований вище осі абсцис, тобто вираз набуває лише додатних значень при будь-яких дійсних значеннях $x$ .

(У варіанті А нерівність не виконується при $x = 7$ , оскільки $(7 - 7)^{2} = 0 ≯ 0$ ).

Відповідь: В.

4. Яка область визначення функції $f (x) = \frac{5}{8 x - 4 x ^{2}}$ ?
А) $(- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ ;
Б) $(- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ ;
В) $[0; 2]$ ;
Г) $(0; 2)$ .

Підкореневий вираз у знаменнику дробу має бути строго додатним:
$8 x - 4 x^{2} > 0$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 4$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:
$x^{2} - 2 x < 0$
$x (x - 2) < 0$

Нулі виразу: $x = 0$ та $x = 2$ .
Оскільки вітки параболи напрямлені вгору, нерівність зі знаком « $<$ » виконується всередині між нулями:
$x \in (0; 2)$ .

Відповідь: Г.

5. Укажіть нерівність, яка не має розв’язків.
А) $x^{2} - 6 x + 10 < 0$ ;
Б) $- 5 x^{2} + 3 x + 2 > 0$ ;
В) $- 3 x^{2} + 8 x + 3 < 0$ ;
Г) $- x^{2} - 10 x > 0$ .

Розглянемо нерівність $x^{2} - 6 x + 10 < 0$ у варіанті А:
Коефіцієнт $a = 1 > 0$ (вітки параболи напрямлені вгору).
Знайдемо дискримінант:
$D = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = - 4 < 0$ .

Оскільки $a > 0$ і $D < 0$ , тричлен $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ для всіх дійсних значень $x$ . Отже, він ніколи не набуває від’ємних значень, і нерівність не має розв’язків.

Відповідь: А.

ЗАВДАННЯ № 3 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

6. Пари чисел $(x_{1}; y_{1})$ і $(x_{2}; y_{2})$ є розв’язками системи рівнянь ${y - x = 2, x y - y = 10.$ Чому дорівнює значення виразу $x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}$ ?
А) 23;
Б) 7;
В) 35;
Г) -26.

Виразимо $y$ з першого рівняння системи:
$y = x + 2$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$x (x + 2) - (x + 2) = 10$
$x^{2} + 2 x - x - 2 - 10 = 0$
$x^{2} + x - 12 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 3$
$x_{2} = - 4$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 3 + 2 = 5$
$y_{2} = - 4 + 2 = - 2$

Обчислимо значення виразу $x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}$ :
$x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} = 3 \cdot 5 + (- 4) \cdot (- 2) = 15 + 8 = 23$

Відповідь: А.

7. Які фігури є графіками рівнянь системи ${x^{2} + y^{2} = 5, x y = - 3 ?$
А) Пряма та парабола;
Б) коло та парабола;
В) коло та гіпербола;
Г) парабола та гіпербола.

Рівняння $x^{2} + y^{2} = 5$ є рівнянням кола з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = 5$ .
Рівняння $x y = - 3$ записується у вигляді $y = - \frac{3}{x}$ , що є рівнянням гіперболи.

Відповідь: В.

8. Скільки розв’язків має система рівнянь ${x^{2} - y = 4, x + y = 1 ?$
А) Жодного розв’язку;
Б) один розв’язок;
В) два розв’язки;
Г) чотири розв’язки.

Виразимо $y$ з другого рівняння:
$y = 1 - x$

Підставимо у перше рівняння:
$x^{2} - (1 - x) = 4$
$x^{2} - 1 + x - 4 = 0$
$x^{2} + x - 5 = 0$

Знайдемо дискримінант утвореного квадратного рівняння:
$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 1 + 20 = 21$

Оскільки $D > 0$ , рівняння має два різні дійсні корені. Кожному значенню $x$ відповідає єдине значення $y$ , отже, система має два розв’язки.

Відповідь: В.

9. Якого найбільшого значення набуває вираз $x + y$ , якщо пара чисел $(x; y)$ є розв’язком системи рівнянь ${x - y = 5, x^{2} + 2 x y - y^{2} = - 7 ?$
А) 1;
Б) 6;
В) 0;
Г) -5.

Виразимо $x$ з першого рівняння:
$x = y + 5$

Підставимо в друге рівняння:
$(y + 5)^{2} + 2 (y + 5) y - y^{2} = - 7$
$y^{2} + 10 y + 25 + 2 y^{2} + 10 y - y^{2} = - 7$
$2 y^{2} + 20 y + 32 = 0$

Поділимо обидві частини на $2$ :
$y^{2} + 10 y + 16 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = - 2$
$y_{2} = - 8$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
$x_{1} = - 2 + 5 = 3$
$x_{2} = - 8 + 5 = - 3$

Розв’язками системи є пари чисел $(3; - 2)$ та $(- 3; - 8)$ .
Обчислимо суму $x + y$ для кожної пари:

1) $3 + (- 2) = 1$

2) $- 3 + (- 8) = - 11$

Найбільше значення дорівнює $1$ .

Відповідь: А.

10. Пари чисел $(x_{1}; y_{1})$ і $(x_{2}; y_{2})$ є розв’язками системи рівнянь ${2 x - x y = 5, y + x y = 6.$ Знайдіть значення виразу $∣ x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2} ∣$ .
А) 1;
Б) 11;
В) 70;
Г) 10.

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$(2 x - x y) + (y + x y) = 5 + 6$
$2 x + y = 11$
$y = 11 - 2 x$

Підставимо вираз для $y$ у перше рівняння:
$2 x - x (11 - 2 x) = 5$
$2 x - 11 x + 2 x^{2} - 5 = 0$
$2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$

Знайдемо корені квадратного рівняння:
$D = (- 9)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 81 + 40 = 121 = 1 1^{2}$
$x_{1} = \frac{9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$
$x_{2} = \frac{9 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{- 2}{4} = - 0, 5$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 11 - 2 \cdot 5 = 1$
$y_{2} = 11 - 2 \cdot (- 0, 5) = 11 + 1 = 12$

Знайдемо добутки $x_{1} y_{1}$ та $x_{2} y_{2}$ :
$x_{1} y_{1} = 5 \cdot 1 = 5$
$x_{2} y_{2} = - 0, 5 \cdot 12 = - 6$

Обчислимо значення виразу $∣ x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2} ∣$ :
$∣5 - (- 6) ∣ = ∣5 + 6∣ = ∣11∣ = 11$

Відповідь: Б.

ЗАВДАННЯ № 3 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

11. Периметр прямокутника дорівнює 34 см, а його діагональ — 13 см. Нехай сторони прямокутника дорівнюють $x$ см і $y$ см. Яка з наведених систем рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові?
А) ${x + y = 34 x^{2} + y^{2} = 13$
Б) ${2 (x + y) = 34 x^{2} + y^{2} = 13$
В) ${x + y = 34 x^{2} + y^{2} = 169$
Г) ${2 (x + y) = 34 x^{2} + y^{2} = 169$

Периметр прямокутника зі сторонами $x$ та $y$ дорівнює $2 (x + y) = 34$ .
За теоремою Піфагора квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів сторін: $x^{2} + y^{2} = 1 3^{2}$ , тобто $x^{2} + y^{2} = 169$ .
Складаємо систему рівнянь:
${2 (x + y) = 34 x^{2} + y^{2} = 169$

Відповідь: Г.

12. Відстань між двома містами, яка дорівнює 120 км, легковий автомобіль проїжджає на 30 хв швидше, ніж вантажівка. Відомо, що за 2 год вантажівка проїжджає на 40 км більше, ніж легковий автомобіль за 1 год. Нехай швидкість вантажівки дорівнює $x$ км/год, а легкового автомобіля — $y$ км/год. Яка з наведених систем рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові?
А) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{120}{x} - \frac{120}{y} = 30 2 x - y = 40$
Б) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{120}{y} - \frac{120}{x} = 30 2 x - y = 40$
В) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{120}{x} - \frac{120}{y} = \frac{1}{2} 2 x - y = 40$
Г) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{120}{y} - \frac{120}{x} = \frac{1}{2} 2 x - y = 40$

Час руху вантажівки становить $\frac{120}{x} год$ , а легкового автомобіля — $\frac{120}{y} год$ .
Легковий автомобіль витрачає на $30 хв = \frac{1}{2} год$ менше часу, отже:
$\frac{120}{x} - \frac{120}{y} = \frac{1}{2}$

За $2 год$ вантажівка долає $2 x км$ , а легковий автомобіль за $1 год$ — $y км$ , що на $40 км$ менше:
$2 x - y = 40$

Отримуємо систему:
$⎩ ⎨ ⎧ \frac{120}{x} - \frac{120}{y} = \frac{1}{2} 2 x - y = 40$

Відповідь: В.

13. При яких значеннях $b$ рівняння $3 x^{2} - b x + 3 = 0$ не має коренів?
А) $- 6 < b < 6$ ;
Б) $b < 6$ ;
В) $b > 6$ ;
Г) $b < - 6$ або $b > 6$ .

Квадратне рівняння не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний ( $D < 0$ ):
$D = (- b)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = b^{2} - 36$
$b^{2} - 36 < 0$
$(b - 6) (b + 6) < 0$
$- 6 < b < 6$

Відповідь: А.

14. При якому значенні $a$ система рівнянь ${x^{2} + y^{2} = 25 x - y = a$ має єдиний розв’язок?
А) $a = 5$ ;
Б) $a = 52$ ;
В) $a = - 5$ або $a = 5$ ;
Г) $a = - 52$ або $a = 52$ .

Виразимо $y$ через $x$ із другого рівняння:
$y = x - a$

Підставимо у перше рівняння:
$x^{2} + (x - a)^{2} = 25$
$x^{2} + x^{2} - 2 a x + a^{2} - 25 = 0$
$2 x^{2} - 2 a x + (a^{2} - 25) = 0$

Система має єдиний розв’язок, коли отримане квадратне рівняння має один корінь, тобто його дискримінант дорівнює нулю:
$D = (- 2 a)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} - 25) = 0$
$4 a^{2} - 8 a^{2} + 200 = 0$
$- 4 a^{2} = - 200$
$a^{2} = 50$
$a = - 50 = - 52$ або $a = 50 = 52$

Відповідь: Г.

15. У завданні 15 до кожного з трьох рядків інформації, позначених цифрами, доберіть один правильний, на вашу думку, варіант, позначений буквою. Установіть відповідність між нерівністю (1–3) та множиною її розв’язків (А–Д).
Нерівність:
1) $x^{2} + 8 x - 9 \geq 0$
2) $x^{2} - 10 x + 9 \leq 0$
3) $x^{2} - 9 x \geq 0$
Множина розв’язків:
А) $(- \infty; 0] \cup [9; + \infty)$
Б) $[9; + \infty)$
В) $[1; 9]$
Г) $(- \infty; - 9] \cup [1; + \infty)$
Д) $[- 9; 1]$

1) Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ :
$x_{1} = - 9$
$x_{2} = 1$
Гілки параболи напрямлені вгору, нерівність зі знаком $\geq$ , тому розв’язком є об’єднання зовнішніх проміжків:
$x \in (- \infty; - 9] \cup [1; + \infty)$ — відповідає варіанту Г.

2) Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 10 x + 9 = 0$ :
$x_{1} = 1$
$x_{2} = 9$
Гілки параболи напрямлені вгору, нерівність зі знаком $\leq$ , тому розв’язком є відрізок між коренями:
$x \in [1; 9]$ — відповідає варіанту В.

3) Розкладемо на множники ліву частину:
$x (x - 9) \geq 0$
Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 9$ .
Гілки параболи напрямлені вгору, знак $\geq$ , тому розв’язком є:
$x \in (- \infty; 0] \cup [9; + \infty)$ — відповідає варіанту А.

Відповідь: 1 — Г, 2 — В, 3 — А.

ГОТУЄМОСЯ ДО ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ

1. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} - 6 x - 40 > 0$

Розглянемо квадратне рівняння $x^{2} - 6 x - 40 = 0$ :
$D = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40) = 36 + 160 = 196 = 1 4^{2}$
$x_{1} = \frac{6 - 14}{2} = - 4$
$x_{2} = \frac{6 + 14}{2} = 10$

Вітки параболи напрямлені вгору. Значення виразу строго більші за нуль зовні коренів:
$x \in (- \infty; - 4) \cup (10; + \infty)$

2) $x^{2} - 2 x + 4 < 0$

Розглянемо рівняння $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ :
$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = - 12 < 0$

Оскільки $a = 1 > 0$ і $D < 0$ , графік параболи повністю лежить вище осі абсцис, тобто $x^{2} - 2 x + 4 > 0$ для всіх дійсних значень $x$ .
Отже, нерівність розв’язків не має.

3) $x^{2} > 100$

Перенесемо число у ліву частину:
$x^{2} - 100 > 0$
$(x - 10) (x + 10) > 0$

Нулі функції: $x = - 10$ , $x = 10$ .
Вітки параболи напрямлені вгору. Функція набуває додатних значень при:
$x \in (- \infty; - 10) \cup (10; + \infty)$

4) $x^{2} + 10 x + 25 \leq 0$

Застосуємо формулу квадрата суми:
$(x + 5)^{2} \leq 0$

Оскільки квадрат будь-якого виразу невід’ємний ( $(x + 5)^{2} \geq 0$ ), нерівність може виконуватися лише у випадку рівності нулю:
$x + 5 = 0$
$x = - 5$

Відповідь:

1) $x \in (- \infty; - 4) \cup (10; + \infty)$ ;

2) розв’язків немає;

3) $x \in (- \infty; - 10) \cup (10; + \infty)$ ;

4) $- 5$ .

2. Розв’яжіть систему рівнянь:

${3 x - y = 7, x^{2} + x y = 2$

Виразимо $y$ з першого рівняння:
$y = 3 x - 7$

Підставимо вираз у друге рівняння:
$x^{2} + x (3 x - 7) = 2$
$x^{2} + 3 x^{2} - 7 x - 2 = 0$
$4 x^{2} - 7 x - 2 = 0$

Знайдемо дискримінант і корені:
$D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 2) = 49 + 32 = 81 = 9^{2}$
$x_{1} = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$
$x_{2} = \frac{7 - 9}{2 \cdot 4} = - \frac{2}{8} = - 0, 25$

Обчислимо відповідні значення $y$ :
Якщо $x_{1} = 2$ , то $y_{1} = 3 \cdot 2 - 7 = 6 - 7 = - 1$
Якщо $x_{2} = - 0, 25$ , то $y_{2} = 3 \cdot (- 0, 25) - 7 = - 0, 75 - 7 = - 7, 75$

Відповідь: $(2; - 1)$ , $(- 0, 25; - 7, 75)$ .

3. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = 17 x - x^{2}$

Підкореневий вираз парного степеня має бути невід’ємним:
$17 x - x^{2} \geq 0$
$x^{2} - 17 x \leq 0$
$x (x - 17) \leq 0$

Нулі виразу: $x = 0$ та $x = 17$ .
Вітки параболи напрямлені вгору, нерівність виконується між коренями (включаючи їх):
$x \in [0; 17]$

2) $y = \frac{5}{x ^{2} + 10 x - 11}$

Вираз під квадратним коренем у знаменнику дробу має бути строго додатним:
$x^{2} + 10 x - 11 > 0$

Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 10 x - 11 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_{1} = 1$
$x_{2} = - 11$

Вітки параболи напрямлені вгору, строга нерівність виконується за межами коренів:
$x \in (- \infty; - 11) \cup (1; + \infty)$

Відповідь:

1) $[0; 17]$ ;

2) $(- \infty; - 11) \cup (1; + \infty)$ .

4. Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:

${y = x^{2} + 2 x, 5 x + y = 2$

Виразимо змінну $y$ у кожному рівнянні:

1) $y = x^{2} + 2 x$ — квадратична функція, графіком є парабола з гілками, напрямленими вгору.
Координати вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{2}{2 \cdot 1} = - 1$
$y_{в} = (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) = 1 - 2 = - 1$
Вершина у точці $(- 1; - 1)$ .

Таблиця опорних точок для параболи:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$

2) $5 x + y = 2 ⟹ y = - 5 x + 2$ — лінійна функція, графіком є пряма.

Таблиця точок для прямої:

$x$	$0$	$1$
$y$	$2$	$- 3$

Пряма перетинає праву частину параболи в точці з абсцисою $x \approx 0, 3$ , а також під час підйому вгору перетинає ліву гілку параболи в точці з абсцисою $x \approx - 7, 3$ . Отже, графіки мають 2 спільні точки.

Відповідь: $2$ розв’язки.

5. Дві робітниці, працюючи разом, можуть виконати певне виробниче завдання за 8 год. Якщо перша робітниця виконає 2/3 завдання, а потім друга завершить роботу, то все виробниче завдання буде виконано за 16 год. За який час кожна із робітниць може виконати це завдання самостійно?

Дано:

$t_{спільн} = 8 год$
Обсяг роботи: $A = 1$
Частина роботи першої робітниці: $\frac{2}{3}$
Частина роботи другої робітниці: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Загальний час за чергою: $t = 16 год$

Знайти:

Час першої робітниці $x (год)$
Час другої робітниці $y (год)$

Розв’язання:
Нехай перша робітниця може виконати все завдання самостійно за $x год$ , а друга — за $y год$ ( $x > 0$ , $y > 0$ ).
Тоді продуктивність праці першої становить $\frac{1}{x}$ завдання за годину, а другої — $\frac{1}{y}$ завдання за годину.

Працюючи разом за $8 год$ , вони виконують усю роботу:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$

На виконання $\frac{2}{3}$ завдання перша робітниця витрачає $\frac{2}{3} x год$ , а на решту $\frac{1}{3}$ завдання друга витрачає $\frac{1}{3} y год$ .
За умовою, разом це становить $16 год$ :
$\frac{2}{3} x + \frac{1}{3} y = 16$

Помножимо друге рівняння на $3$ :
$2 x + y = 48$
$y = 48 - 2 x$

Підставимо отриманий вираз для $y$ у перше рівняння:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{48 - 2 x} = \frac{1}{8}$

Спростимо другий знаменник: $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 ( 24 - x )} = \frac{1}{8}$ .
Помножимо обидві частини на спільний знаменник $8 x (24 - x) \neq = 0$ :
$8 (24 - x) + 4 x = x (24 - x)$
$192 - 8 x + 4 x = 24 x - x^{2}$
$192 - 4 x = 24 x - x^{2}$
$x^{2} - 28 x + 192 = 0$

Знайдемо корені квадратного рівняння:
$D_{1} = (- 14)^{2} - 1 \cdot 192 = 196 - 192 = 4 = 2^{2}$
$x_{1} = 14 - 2 = 12$
$x_{2} = 14 + 2 = 16$

Обчислимо відповідні значення $y$ :
Якщо $x_{1} = 12$ , то $y_{1} = 48 - 2 \cdot 12 = 48 - 24 = 24$ .
Якщо $x_{2} = 16$ , то $y_{2} = 48 - 2 \cdot 16 = 48 - 32 = 16$ .

Обидва розв’язки задовольняють умову задачі: перша робітниця за $12 год$ , а друга за $24 год$ , або обидві за $16 год$ .

Відповідь: $12 год$ і $24 год$ або $16 год$ і $16 год$ .

6.• При яких значеннях $a$ рівняння $x^{2} + 4 a x + 5 a - 1 = 0$ не має коренів?

Квадратне рівняння не має коренів тоді, коли його дискримінант менший від нуля ( $D < 0$ ).

Визначимо коефіцієнти рівняння:
$A = 1$ , $B = 4 a$ , $C = 5 a - 1$ .

Знайдемо дискримінант:

$D = B^{2} - 4 A C = (4 a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 a - 1) = 16 a^{2} - 20 a + 4$

Складемо нерівність:

$16 a^{2} - 20 a + 4 < 0$

Поділимо обидві частини нерівності на $4$ :

$4 a^{2} - 5 a + 1 < 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $4 a^{2} - 5 a + 1 = 0$ :

$D_{1} = (- 5)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

$a_{1} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0, 25$

$a_{2} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Оскільки коефіцієнт при $a^{2}$ додатний ( $4 > 0$ ), розв’язком нерівності є проміжок між коренями:

$a \in (0, 25; 1)$

Відповідь: $a \in (0, 25; 1)$ .

7.•• Розв’яжіть систему рівнянь
${x^{2} - 8 x y + 16 y^{2} = 16 x + 4 y = 12$

Згорнемо ліву частину першого рівняння за формулою квадрата різниці:

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 y + (4 y)^{2} = 16$

$(x - 4 y)^{2} = 16$

Звідси:
$x - 4 y = 4$ або $x - 4 y = - 4$ .

Розглянемо два випадки:

${x - 4 y = 4 x + 4 y = 12$

Додамо почленно обидва рівняння системи:

$2 x = 16$

$x = 8$

Підставимо $x = 8$ у друге рівняння:

$8 + 4 y = 12$

$4 y = 4$

$y = 1$

Отримуємо перший розв’язок: $(8; 1)$ .

${x - 4 y = - 4 x + 4 y = 12$

Додамо почленно обидва рівняння системи:

$2 x = 8$

$x = 4$

Підставимо $x = 4$ у друге рівняння:

$4 + 4 y = 12$

$4 y = 8$

$y = 2$

Отримуємо другий розв’язок: $(4; 2)$ .

Відповідь: $(8; 1)$ , $(4; 2)$ .

Завдання № 3 «Перевірте себе» в тестовій формі

Теги статті:

До уроку