Використовуючи знайдені значення виразів, розшифруйте прізвище сучасної української математикині, докторки фізико-математичних наук, членкині-кореспондентки Національної академії наук України, лауреатки премії імені Ю. О. Митропольського. Номер завдання відповідає місцю, на якому стоїть буква у слові. 5) ; 6) ; 7) .
Обчислимо значення виразів для позицій 5, 6 та 7:
5)
Відповідно до таблиці, значенню відповідає буква И (5-те місце).
6)
Відповідно до таблиці, значенню відповідає буква Н (6-те місце).
7)
Оскільки , вираз під модулем від’ємний: .
Відповідно до таблиці, значенню відповідає буква А (7-ме місце).
Ураховуючи перші чотири букли слова (1 — Щ, 2 — E, 3 — Р, 4 — Б), розшифроване прізвище: ЩЕРБИНА (Марія Володимирівна Щербина).
Знайдіть в інтернеті інформацію про наукову діяльність цієї математикині та про те, якими ще преміями відзначені її досягнення.
Марія Володимирівна Щербина — провідна українська вчена в галузі математичної фізики, теорії ймовірностей та теорії випадкових матриць, докторка фізико-математичних наук, членкиня-кореспондентка НАН України, працює у Фізико-технічному інституті низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України в Харкові.
Її наукові досягнення відзначені:
- Державною премією України в галузі науки і техніки (2018);
- Премією НАН України імені М. В. Остроградського (2009);
- Премією НАН України імені Ю. О. Митропольського (2022).
ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ
1. Порівняйте числа і , якщо .
Оскільки різниця чисел від’ємна (, бо ), за означенням число менше від числа ().
Відповідь: Б.
2. Відомо, що . Яке з наведених тверджень хибне?
Перевіримо твердження:
А) — істинне (від обох частин відняли число 2);
Б) — істинне (обидві частини помножили на додатне число 2);
В) — істинне (до обох частин додали число 2);
Г) — хибне, оскільки при множенні нерівності на від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний: .
Відповідь: Г.
3. Оцініть периметр рівностороннього трикутника зі стороною , якщо .
Периметр рівностороннього трикутника обчислюється за формулою .
Помножимо всі частини подвійної нерівності на :
Відповідь: Б.
ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ
4. Відомо, що і . Оцініть значення виразу .
А) ;
Б) ;
В) ;
Г) .
Оскільки всі числа в обох нерівностях додатні, перемножимо відповідні частини почленно:
Відповідь: В.
5. Відомо, що . Оцініть значення виразу .
А) ;
Б) ;
В) ;
Г) .
Помножимо всі частини початкової нерівності на :
Додамо до всіх частин число :
Відповідь: Б.
6. Дано: , . Яка з наведених нерівностей може бути правильною?
А) ;
Б) ;
В) ;
Г) .
Перевіримо варіанти:
- Для варіанта А: якщо взяти і , то , а , звідки , тобто нерівність може бути правильною.
- Для варіанта Б: частка чисел з різними знаками завжди від’ємна (), тому вона не може бути більшою за .
- Для варіанта В: оскільки і , різниця , тобто вона не може бути меншою за .
- Для варіанта Г: , а , тому добуток завжди від’ємний і не може бути більшим за .
Відповідь: А.
7. Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є проміжок ?
А) ;
Б) ;
В) ;
Г) .
Строгій нерівності відповідає числовий проміжок .
Відповідь: В.
8. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності .
А) 2;
Б) 3;
В) 4;
Г) визначити неможливо.
Помножимо обидві частини нерівності на спільний знаменник :
Найменшим цілим числом, яке більше за , є .
Відповідь: Б.
ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ
9. Чому дорівнює добуток натуральних чисел, які належать області визначення виразу ?
А) 4;
Б) 10;
В) 18;
Г) 24.
Підкореневий вираз має бути невід’ємним:
Натуральними числами, що задовольняють цю нерівність, є .
Знайдемо їхній добуток:
Відповідь: Г.
10. Яка з наведених систем нерівностей не має розв’язків?
А)
Б)
В)
Г)
Перевіримо кожну систему:
- Для А: спільним є відрізок , розв’язки є.
- Для Б: спільним є проміжок , розв’язки є.
- Для В: обидві нерівності одночасно виконуються лише при , розв’язок є.
- Для Г: не існує чисел, які одночасно більші або рівні за та менші або рівні за , оскільки . Система не має розв’язків.
Відповідь: Г.
11. Знайдіть множину розв’язків системи нерівностей
А) ;
Б) ;
В) ;
Г) .
Розв’яжемо кожну нерівність системи:
1)
2)
Маємо систему:
Проміжки та не перетинаються, тому система не має розв’язків: .
Відповідь: А.
12. Який із зображених числових проміжків відповідає множині розв’язків системи нерівностей
А)
Б)
В)
Г)
Розв’яжемо кожну нерівність системи:
1)
2)
Поділимо обидві частини на зі зміною знака нерівності:
Отримуємо систему:
Спільним розв’язком є напіввідкритий проміжок , де точка зафарбована (входить у розв’язок), а точка — виколота. Цьому відповідає малюнок А.
Відповідь: А.
13. Розв’яжіть нерівність .
А) ;
Б) ;
В) ;
Г) .
Помножимо всі частини подвійної нерівності на :
Віднімемо від усіх частин:
Поділимо всі частини на , змінивши знаки нерівності на протилежні:
Запишемо у звичному порядку:
Відповідь: Б.
ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ
14. При яких значеннях рівняння не має коренів?
А) ;
Б) ;
В) ;
Г) .
Квадратне рівняння не має коренів тоді, коли його дискримінант є від’ємним ():
Відповідь: Б.
15. Установіть відповідність між нерівністю (1–3) та множиною її розв’язків (А–Д).
Нерівність:
1)
2)
3)
Множина розв’язків:
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Розв’яжемо кожну нерівність по черзі:
1)
(відповідає варіанту Б)
2)
Нерівність правильна при будь-якому значенні .
(відповідає варіанту А)
3)
(відповідає варіанту Г)
Відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г.
ГОТУЄМОСЯ ДО ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ
1.° Доведіть нерівність .
Знайдемо різницю між лівою та правою частинами нерівності:
Оскільки різниця лівої та правої частин дорівнює , а , то ліва частина завжди менша від правої при будь-яких значеннях .
Нерівність доведено.
2. Відомо, що , . Оцініть значення виразу: 1)° ; 2)° ; 3)• .
1) Оцінимо значення , помноживши всі частини нерівності на :
Додамо почленно нерівності та :
2) Помножимо почленно подвійні нерівності з додатними членами:
3) Запишемо різницю як суму .
Помножимо всі частини нерівності на , змінивши знаки нерівності на протилежні:
, тобто
Додамо почленно нерівності та :
Відповідь: 1) ; 2) ; 3) .
3.° Розв’яжіть нерівність: 1) ; 2) .
1)
Поділимо обидві частини на (помножимо на ):
2)
Розкриємо дужки:
Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — в праву:
Поділимо обидві частини на , змінивши знак нерівності на протилежний:
Відповідь: 1) (або ); 2) (або ).
4.° Розв’яжіть систему нерівностей:
1)
Розв’яжемо кожну нерівність окремо:
Отримуємо систему:
Перерізом є проміжок .
Відповідь: .
2)
Розв’яжемо кожну нерівність окремо:
Отримуємо систему:
Перерізом є подвійна нерівність .
Відповідь: .
5.• Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1)
Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник :
Відповідь: .
2)
Застосуємо формулу квадрата двочлена та розкриємо дужки:
Нерівність правильна при будь-якому дійсному значенні .
Відповідь: .
6.• Скільки цілих розв’язків має система нерівностей
Розв’яжемо першу нерівність системи, помноживши обидві частини на спільний знаменник :
Розв’яжемо другу нерівність системи:
Складемо отримані розв’язки в систему:
Множиною розв’язків є проміжок .
Цілі числа, що належать цьому проміжку: .
Їхня кількість становить .
Відповідь: .
7.• При яких значеннях змінної має зміст вираз ?
Вираз має зміст, коли підкореневий вираз першого доданка невід’ємний, а підкореневий вираз у знаменнику другого доданка строго додатний:
Розв’яжемо кожну нерівність окремо:
Отримуємо:
Подвійна нерівність: , тобто .
Відповідь: .
8.•• Доведіть нерівність .
Перетворимо ліву частину нерівності, розклавши доданок на суму :
Застосуємо формули скороченого множення (квадрат суми та квадрат різниці):
Оскільки квадрат будь-якого виразу є невід’ємним числом:
Сума двох невід’ємних чисел завжди є невід’ємною:
Отже, нерівність виконується при будь-яких дійсних значеннях змінних та . Нерівність доведено.