ГОТУЄМОСЯ ДО ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ
1.° Розв’яжіть нерівність:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
1) Знайдемо корені квадратного тричлена :
За теоремою Вієта:
Оскільки вітки параболи напрямлені вгору () і знак нерівності , обираємо проміжки за межами коренів:
або
2) Знайдемо дискримінант квадратного тричлена :
Оскільки та , графік параболи лежить строго вище осі , тобто вираз набуває лише додатних значень при будь-яких .
Нерівність розв’язків не має: .
3) Перенесемо доданок у ліву частину:
або
4) Згорнемо ліву частину за формулою квадрата двочлена:
Квадрат будь-якого дійсного виразу завжди невід’ємний: .
Нерівність виконується лише за умови рівності нулю:
Відповідь: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
2.° Розв’яжіть систему рівнянь:
Виразимо з першого рівняння:
Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
Знайдемо корені рівняння через дискримінант:
Обчислимо відповідні значення :
Відповідь: , .
3.• Знайдіть область визначення функції:
1) ;
2) .
1) Підкореневий вираз квадратного кореня має бути невід’ємним:
Помножимо обидві частини на :
Нулі функції: та .
Розв’язком нерівності є числовий відрізок між коренями:
2) Підкореневий вираз у знаменнику дробу має бути строго додатним:
Знайдемо корені рівняння :
За теоремою Вієта:
Оскільки вітки параболи напрямлені вгору () і знак , розв’язком є об’єднання проміжків:
або
Відповідь: 1) ; 2) .
4.• Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:
Побудуємо графіки обох рівнянь в одній системі координат.
1) Графіком рівняння є парабола з вітками, напрямленими вгору ().
Координати вершини параболи:
Вершина: .
Таблиця опорних точок для параболи :
2) Перетворимо друге рівняння до лінійної функції:
Графіком є пряма.
Таблиця опорних точок для прямої :
Пряма лінія перетинає вітки параболи у двох точках. Отже, система рівнянь має розв’язки.
Відповідь: 2 розв’язки.
5.• Дві робітниці, працюючи разом, можуть виконати певне виробниче завдання за 8 год. Якщо перша робітниця виконає 2/3 завдання, а потім друга завершить роботу, то все виробниче завдання буде виконано за 16 год. За який час кожна із робітниць може виконати це завдання самостійно?
Дано:
- Спільний час виконання всієї роботи:
- Частина роботи першої робітниці: завдання
- Частина роботи другої робітниці: завдання
- Загальний час при почерговій роботі:
Знайти:
- Час виконання роботи першою та другою робітницями самостійно (, ).
Розв’язання:
Приймемо все виробниче завдання за .
Нехай перша робітниця може виконати це завдання самостійно за , а друга — за (, ).
Тоді за перша виконує частину завдання, а друга — частину завдання.
Працюючи разом за , вони виконують усе завдання:
На виконання завдання перша робітниця витрачає:
На виконання решти завдання друга робітниця витрачає:
За умовою, разом на це пішло :
Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
Виразимо з другого рівняння:
Підставимо у перше рівняння:
Помножимо обидві частини на :
За теоремою Вієта:
Обчислимо відповідні значення :
1) Якщо , то .
2) Якщо , то .
Обидва варіанти задовольняють умову задачі.
Відповідь: і або і .
6.• При яких значеннях рівняння не має коренів?
Квадратне рівняння не має коренів тоді, коли його дискримінант менший від нуля ().
Знайдемо дискримінант рівняння:
Складемо нерівність:
Поділимо обидві частини нерівності на :
Знайдемо нулі квадратного тричлена :
Оскільки вітки параболи напрямлені вгору, розв’язком нерівності є інтервал між коренями:
Відповідь: .
7.•• Розв’яжіть систему рівнянь:
Згорнемо ліву частину першого рівняння за формулою квадрата різниці:
Отримуємо:
або
Розглянемо два випадки:
1)
Додамо почленно обидва рівняння системи:
Підставимо у друге рівняння:
Маємо перший розв’язок: .
2)
Додамо почленно обидва рівняння системи:
Підставимо у друге рівняння:
Маємо другий розв’язок: .
Відповідь: , .