§9. Степінь із цілим показником

Назад до змісту

9.1. Вкажіть, які з виразів мають додатне значення, а які — від’ємне:

1) $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ (додатне)

2) $4 0^{0} = 1$ (додатне)

3) $(1 9^{- 5})^{- 1} = 1 9^{5}$ (додатне)

4) $- 4 0^{1} = - 40$ (від’ємне)

9.2. Замініть вираз дробом:

1) $4^{- 5} = \frac{1}{4 ^{5}}$

2) $a^{- 1} = \frac{1}{a}$

3) $p^{- 10} = \frac{1}{p ^{10}}$

4) $c^{- 8} = \frac{1}{c ^{8}}$

5) $(2 a)^{- 3} = \frac{1}{( 2 a ) ^{3}} = \frac{1}{8 a ^{3}}$

6) $(ab)^{- 4} = \frac{1}{( ab ) ^{4}}$

9.3. Замініть вираз дробом:

1) $b^{- 3} = \frac{1}{b ^{3}}$

2) $7^{- 1} = \frac{1}{7}$

3) $2^{- 7} = \frac{1}{2 ^{7}} = \frac{1}{128}$

4) $t^{- 6} = \frac{1}{t ^{6}}$

5) $(3 m)^{- 2} = \frac{1}{( 3 m ) ^{2}} = \frac{1}{9 m ^{2}}$

6) $(c + d)^{- 7} = \frac{1}{( c + d ) ^{7}}$

9.4. Подайте дріб у вигляді степеня із цілим від’ємним показником:

1) $\frac{1}{9 ^{4}} = 9^{- 4}$

2) $\frac{1}{p ^{5}} = p^{- 5}$

3) $\frac{1}{1 0 ^{9}} = 1 0^{- 9}$

4) $\frac{1}{m} = m^{- 1}$

5) $\frac{1}{( ab ) ^{4}} = (ab)^{- 4}$

6) $\frac{1}{( m - n ) ^{4}} = (m - n)^{- 4}$

9.5. Подайте дріб у вигляді степеня із цілим від’ємним показником:

1) $\frac{1}{c ^{3}} = c^{- 3}$

2) $\frac{1}{1 9 ^{7}} = 1 9^{- 7}$

3) $\frac{1}{t ^{5}} = t^{- 5}$

4) $\frac{1}{b} = b^{- 1}$

5) $\frac{1}{( c m ) ^{6}} = (c m)^{- 6}$

6) $\frac{1}{( a x ) ^{2}} = (a x)^{- 2}$

9.6. Обчисліть:

1) $7^{- 2} = \frac{1}{7 ^{2}} = \frac{1}{49}$

2) $(- 2)^{- 2} = \frac{1}{( - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{4}$

3) $(- 1)^{- 5} = \frac{1}{( - 1 ) ^{5}} = - 1$

4) $1 2^{- 1} = \frac{1}{12}$

5) $(- 7)^{- 1} = \frac{1}{- 7} = - \frac{1}{7}$

6) $1 0^{- 3} = \frac{1}{1 0 ^{3}} = \frac{1}{1000} = 0.001$

7) $(\frac{1}{3})^{- 2} = 3^{2} = 9$

8) $(- \frac{2}{3})^{- 1} = - \frac{3}{2} = - 1.5$

9) $(- \frac{3}{4})^{- 3} = (- \frac{4}{3})^{3} = - \frac{64}{27} = - 2 \frac{10}{27}$

10) $(1 \frac{1}{2})^{- 5} = (\frac{3}{2})^{- 5} = (\frac{2}{3})^{5} = \frac{32}{243}$

11) $(- 1 \frac{1}{3})^{- 2} = (- \frac{4}{3})^{- 2} = (- \frac{3}{4})^{2} = \frac{9}{16}$

12) $(- 2 \frac{1}{5})^{- 1} = (- \frac{11}{5})^{- 1} = - \frac{5}{11}$

13) $0. 1^{- 1} = (\frac{1}{10})^{- 1} = 10$

14) $(- 0.2)^{- 2} = (- \frac{1}{5})^{- 2} = (- 5)^{2} = 25$

15) $1. 2^{- 2} = (\frac{6}{5})^{- 2} = (\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{36}$

16) $(- 0.25)^{- 3} = (- \frac{1}{4})^{- 3} = (- 4)^{3} = - 64$

9.7. Обчисліть:

1) $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$

2) $(- 1)^{- 6} = \frac{1}{( - 1 ) ^{6}} = 1$

3) $1 5^{- 1} = \frac{1}{15}$

4) $(- 9)^{- 1} = - \frac{1}{9}$

5) $(\frac{1}{8})^{- 2} = 8^{2} = 64$

6) $(- \frac{2}{3})^{- 3} = (- \frac{3}{2})^{3} = - \frac{27}{8} = - 3 \frac{3}{8}$

7) $(1 \frac{1}{4})^{- 2} = (\frac{5}{4})^{- 2} = (\frac{4}{5})^{2} = \frac{16}{25}$

8) $(- 3 \frac{1}{7})^{- 1} = (- \frac{22}{7})^{- 1} = - \frac{7}{22}$

9) $0. 2^{- 1} = (\frac{1}{5})^{- 1} = 5$

10) $(- 0.1)^{- 2} = (- \frac{1}{10})^{- 2} = (- 10)^{2} = 100$

11) $1. 5^{- 2} = (\frac{3}{2})^{- 2} = (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$

12) $(- 0.5)^{- 4} = (- \frac{1}{2})^{- 4} = (- 2)^{4} = 16$

9.8. Подайте числа у вигляді степеня числа 2:

$16 = 2^{4}$

$8 = 2^{3}$

$4 = 2^{2}$

$2 = 2^{1}$

$1 = 2^{0}$

$\frac{1}{2} = 2^{- 1}$

$\frac{1}{4} = 2^{- 2}$

$\frac{1}{8} = 2^{- 3}$

$\frac{1}{16} = 2^{- 4}$

9.9. Подайте числа у вигляді степеня числа 10:

$100 = 1 0^{2}$

$10 = 1 0^{1}$

$1 = 1 0^{0}$

$0.1 = \frac{1}{10} = 1 0^{- 1}$

$0.01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{1 0 ^{2}} = 1 0^{- 2}$

9.10. Обчисліть:

1) $- 5^{- 2} = - (\frac{1}{5 ^{2}}) = - \frac{1}{25}$

2) $- 0. 8^{- 2} = - (\frac{8}{10})^{- 2} = - (\frac{4}{5})^{- 2} = - (\frac{5}{4})^{2} = - \frac{25}{16} = - 1 \frac{9}{16}$

3) $- (- \frac{1}{2})^{- 3} = - (- 2)^{3} = - (- 8) = 8$

4) $- (- \frac{1}{3})^{- 4} = - (- 3)^{4} = - 81$

9.11. Обчисліть:

1) $- 2^{- 3} = - (\frac{1}{2 ^{3}}) = - \frac{1}{8}$

2) $- 0. 4^{- 2} = - (\frac{4}{10})^{- 2} = - (\frac{2}{5})^{- 2} = - (\frac{5}{2})^{2} = - \frac{25}{4} = - 6 \frac{1}{4}$

3) $- (- \frac{1}{3})^{- 2} = - (- 3)^{2} = - 9$

4) $- (- \frac{2}{3})^{- 3} = - (- \frac{3}{2})^{3} = - (- \frac{27}{8}) = \frac{27}{8} = 3 \frac{3}{8}$

9.12. Подайте вираз у вигляді дробу, що не містить степеня з від’ємним показником:

1) $2 a^{- 3} = \frac{2}{a ^{3}}$

2) $3 m b^{- 1} = \frac{3 m}{b}$

3) $a^{2} b^{- 3} c = \frac{a ^{2} c}{b ^{3}}$

4) $a^{- 3} b^{- 7} = \frac{1}{a ^{3} b ^{7}}$

9.13. Подайте вираз у вигляді дробу, що не містить степеня з від’ємним показником:

1) $4 b^{- 5} = \frac{4}{b ^{5}}$

2) $7 a^{- 1} p = \frac{7 p}{a}$

3) $m n^{- 2} p^{7} = \frac{m p ^{7}}{n ^{2}}$

4) $c^{- 2} b^{- 5} = \frac{1}{c ^{2} b ^{5}}$

9.14. Обчисліть:

1) $81 \cdot 3^{- 5} = 3^{4} \cdot 3^{- 5} = 3^{4 - 5} = 3^{- 1} = \frac{1}{3}$

2) $- 25 \cdot 1 0^{- 2} = - 25 \cdot \frac{1}{1 0 ^{2}} = - 25 \cdot \frac{1}{100} = - \frac{25}{100} = - \frac{1}{4}$

3) $27 \cdot (- 18)^{- 1} = 27 \cdot \frac{1}{- 18} = - \frac{27}{18} = - \frac{3}{2} = - 1, 5$

4) $2 \frac{1}{5} \cdot (- \frac{1}{5})^{- 1} = \frac{11}{5} \cdot (- 5) = - 11$

5) $- 8 \cdot 2^{- 4} + 3^{0} = - 8 \cdot \frac{1}{2 ^{4}} + 1 = - 8 \cdot \frac{1}{16} + 1 = - \frac{8}{16} + 1 = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

6) $8^{- 2} + 6^{- 1} = \frac{1}{8 ^{2}} + \frac{1}{6} = \frac{1}{64} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 32}{192} = \frac{35}{192}$

7) $2, 5^{- 1} + (- 13)^{0} = (\frac{5}{2})^{- 1} + 1 = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5} = 1, 4$

8) $4^{- 3} - (- 4)^{- 2} = \frac{1}{4 ^{3}} - \frac{1}{( - 4 ) ^{2}} = \frac{1}{64} - \frac{1}{16} = \frac{1 - 4}{64} = - \frac{3}{64}$

9) $(- 8)^{- 2} + (0, 4)^{- 1} = \frac{1}{( - 8 ) ^{2}} + (\frac{2}{5})^{- 1} = \frac{1}{64} + \frac{5}{2} = \frac{1 + 160}{64} = \frac{161}{64}$

10) $(\frac{1}{8})^{- 2} \cdot 1 0^{- 3} = 8^{2} \cdot \frac{1}{1 0 ^{3}} = 64 \cdot \frac{1}{1000} = \frac{64}{1000} = 0, 064$

11) $(\frac{2}{7})^{- 3} : (\frac{4}{7})^{- 2} = (\frac{7}{2})^{3} : (\frac{7}{4})^{2} = \frac{7 ^{3}}{2 ^{3}} : \frac{7 ^{2}}{4 ^{2}} = \frac{343}{8} : \frac{49}{16} = \frac{343}{8} \cdot \frac{16}{49} = 7 \cdot 2 = 14$

12) $1, 2 5^{- 2} + 2, 5^{- 3} = (\frac{5}{4})^{- 2} + (\frac{5}{2})^{- 3} = (\frac{4}{5})^{2} + (\frac{2}{5})^{3} = \frac{16}{25} + \frac{8}{125} = \frac{80 + 8}{125} = \frac{88}{125}$

9.15. Обчисліть:

1) $- 64 \cdot 4^{- 4} = - 4^{3} \cdot 4^{- 4} = - 4^{3 - 4} = - 4^{- 1} = - \frac{1}{4}$

2) $36 \cdot (- 27)^{- 1} = 36 \cdot \frac{1}{- 27} = - \frac{36}{27} = - \frac{4}{3}$

3) $- 3 \frac{1}{6} \cdot (- \frac{1}{6})^{- 1} = - \frac{19}{6} \cdot (- 6) = 19$

4) $- 7 \cdot 0. 1^{- 2} + 5^{0} = - 7 \cdot (\frac{1}{10})^{- 2} + 1 = - 7 \cdot 1 0^{2} + 1 = - 7 \cdot 100 + 1 = - 700 + 1 = - 699$

5) $5^{- 2} - 1 0^{- 1} = \frac{1}{5 ^{2}} - \frac{1}{10} = \frac{1}{25} - \frac{1}{10} = \frac{2}{50} - \frac{5}{50} = - \frac{3}{50}$

6) $3. 2^{- 1} + (1 \frac{1}{3})^{- 2} = (\frac{32}{10})^{- 1} + (\frac{4}{3})^{- 2} = (\frac{16}{5})^{- 1} + (\frac{4}{3})^{- 2} = \frac{5}{16} + (\frac{3}{4})^{2} = \frac{5}{16} + \frac{9}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$

7) $(\frac{1}{5})^{- 3} \cdot 2 0^{- 2} = 5^{3} \cdot \frac{1}{2 0 ^{2}} = 125 \cdot \frac{1}{400} = \frac{125}{400} = \frac{5}{16}$

8) $1. 5^{- 2} - 1. 2^{- 3} = (\frac{3}{2})^{- 2} - (\frac{6}{5})^{- 3} = (\frac{2}{3})^{2} - (\frac{5}{6})^{3} = \frac{4}{9} - \frac{125}{216} = \frac{96}{216} - \frac{125}{216} = - \frac{29}{216}$

9.16. Розташуйте в порядку зростання:

Обчисліть значення виразу $100 (3^{- 1} + 9^{- 2} - 5^{2} \cdot 3^{- 4})^{- 1}$ та дізнаєтеся, якою була довжина (у м) прапора України, який розгорнули в Дарницькому районі міста Києва до дня Державного прапора України.

$100 (3^{- 1} + 9^{- 2} - 5^{2} \cdot 3^{- 4})^{- 1} = 100 (\frac{1}{3} + \frac{1}{9 ^{2}} - 25 \cdot \frac{1}{3 ^{4}})^{- 1} = 100 (\frac{1}{3} + \frac{1}{81} - \frac{25}{81})^{- 1}$

$= 100 (\frac{27}{81} + \frac{1}{81} - \frac{25}{81})^{- 1} = 100 (\frac{27 + 1 - 25}{81})^{- 1} = 100 (\frac{3}{81})^{- 1} = 100 (\frac{1}{27})^{- 1}$

$= 100 \cdot 27 = 2700$

Відповідь:

довжина прапора — 2700 м.

9.17. Порівняйте з нулем:

1) $8^{- 13} = \frac{1}{8 ^{13}} > 0$

2) $(- 3.7)^{- 10} = (- 3 \frac{7}{10})^{- 10} = (- \frac{37}{10})^{- 10} = (- \frac{10}{37})^{10} > 0$

3) $(- 2.9)^{- 11} = (- \frac{29}{10})^{- 11} = (- \frac{10}{29})^{11} < 0$

4) $- (- 2.1)^{- 7} = - (- \frac{21}{10})^{- 7} = - (- \frac{10}{21})^{7} = - (- \frac{1 0 ^{7}}{2 1 ^{7}}) = \frac{1 0 ^{7}}{2 1 ^{7}} > 0$

9.18. Порівняйте значення виразу an з нулем, якщо:

1) $a > 0$ , $n$ – будь-яке ціле: $a^{n} > 0$

2) $a < 0$ , $n$ – парне ціле: $a^{n} > 0$

3) $a < 0$ , $n$ – непарне ціле: $a^{n} < 0$

9.19 Порівняйте з нулем значення виразу $b^{m}$ , якщо:

1) $5^{- 13} = \frac{1}{5 ^{13}} > 0$

2) $(- 1)^{- 200} = \frac{1}{( - 1 ) ^{200}} = \frac{1}{1} = 1 > 0$

3) $(- 3)^{- 41} = \frac{1}{( - 3 ) ^{41}} < 0$

9.20. Подайте вираз у вигляді добутку:

1) $(m^{2} n^{2} p^{- 3} c) : (x^{- 3} a^{- 4}) = m^{2} n^{2} p^{- 3} c \cdot x^{3} a^{4} = \frac{m ^{2} n ^{2} c a ^{4} x ^{3}}{p ^{3}}$

2) $(7^{0} a^{- 1} b^{2}) : (5^{- 2} x^{- 3} m^{- 1}) = 1 \cdot a^{- 1} b^{2} \cdot 5^{2} x^{3} m^{1} = \frac{25 b ^{2} x m}{a}$

9.23. Спростіть вираз:

1) $m^{- 3} n^{2} \cdot (p^{- 1})^{- 2} = m^{- 3} n^{2} p^{2} = \frac{n ^{2} p ^{2}}{m ^{3}}$

2) $a b^{- 1} + b a^{- 1} + c^{0} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = \frac{a ^{2} + b ^{2} + ab}{ab}$

3) $(m n^{- 1} + m^{- 1} n) \cdot (m - n)^{- 1} = (\frac{m}{n} + \frac{n}{m}) \cdot \frac{1}{m - n} = \frac{m ^{2} + n ^{2}}{mn} \cdot \frac{1}{m - n} = \frac{m ^{2} + n ^{2}}{mn ( m - n )}$

4) $(a^{- 1} + b^{- 1}) : (a^{- 2} - b^{- 2}) = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) : (\frac{1}{a ^{2}} - \frac{1}{b ^{2}}) = \frac{b + a}{ab} : \frac{b ^{2} - a ^{2}}{a ^{2} b ^{2}} = \frac{a + b}{ab} \cdot \frac{a ^{2} b ^{2}}{( b - a ) ( b + a )} = \frac{ab}{b - a}$

9.24. Спростіть вираз:

1) $(x + y^{- 3}) : (x^{- 1} + y^{2}) = (x + \frac{1}{y ^{3}}) : (\frac{1}{x} + y^{2}) = \frac{x y ^{3} + 1}{y ^{3}} : \frac{1 + x y ^{2}}{x} = \frac{x y ^{3} + 1}{y ^{3}} \cdot \frac{x}{1 + x y ^{2}}$

2) $(x^{- 2} - y^{- 2}) : (x^{- 1} - y^{- 1}) = (\frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{y ^{2}}) : (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{y ^{2} - x ^{2}}{x ^{2} y ^{2}} : \frac{y - x}{x y} = \frac{( y - x ) ( y + x )}{x ^{2} y ^{2}} \cdot \frac{x y}{y - x} = \frac{y + x}{x y}$

9.25. Обчисліть:

1) $(1 - 5^{- 2})^{- 1} + (1 - 5^{- 1})^{- 2} = (1 - \frac{1}{25})^{- 1} + (1 - \frac{1}{5})^{- 2} = (\frac{24}{25})^{- 1} + (\frac{4}{5})^{- 2} = \frac{25}{24} + (\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{24} + \frac{25}{16} = \frac{50 + 75}{48} = \frac{125}{48} = 2 \frac{29}{48}$

2) $(1 + (3^{- 1} - 1)^{- 2})^{- 2} = (1 + (\frac{1}{3} - 1)^{- 2})^{- 2} = (1 + (- \frac{2}{3})^{- 2})^{- 2} = (1 + (- \frac{3}{2})^{2})^{- 2} = (1 + \frac{9}{4})^{- 2} = (\frac{13}{4})^{- 2} = (\frac{4}{13})^{2} = \frac{16}{169}$

До уроку