9. Побудова графіка функції y = ax²

Назад до змісту

1. Яка фігура є графіком функції $y = a x^{2}$ , де $a \neq = 0$ ?

Графіком цієї функції є парабола.

2. Яка точка є вершиною параболи $y = a x^{2}$ ?

Вершиною є точка $(0; 0)$ — початок координат.

3. Як напрямлені вітки параболи $y = a x^{2}$ при $a > 0$ ? при $a < 0$ ?

При $a > 0$ вітки напрямлені вгору, а при $a < 0$ — вниз.

4. Яка область визначення функції $y = a x^{2}$ , де $a \neq = 0$ ?

Областю визначення є множина всіх дійсних чисел: $(- \infty; + \infty)$ .

5. Яка область значень функції $y = a x^{2}$ при $a > 0$ ? при $a < 0$ ?

При $a > 0$ область значень становить $[0; + \infty)$ , а при $a < 0$ — $(- \infty; 0]$ .

6. На якому проміжку зростає, а на якому проміжку спадає функція $y = a x^{2}$ при $a > 0$ ? при $a < 0$ ?

При $a > 0$ функція спадає на проміжку $(- \infty; 0]$ і зростає на проміжку $[0; + \infty)$ .
При $a < 0$ функція зростає на проміжку $(- \infty; 0]$ і спадає на проміжку $[0; + \infty)$ .

ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 9.1 № 9.2 № 9.3 № 9.4 № 9.5 № 9.6 № 9.7 № 9.8 № 9.9 № 9.10 № 9.11 № 9.12 № 9.13 № 9.14 № 9.15 № 9.16 № 9.17 № 9.18

9.1. Чи належить графіку функції $y = - 25 x^{2}$ точка: 1) $A (2; - 100)$ ; 2) $B (- 2; 100)$ ; 3) $C (- \frac{1}{5}; - 1)$ ; 4) $D (- 1; 25)$ ?

1) Підставимо координати точки $A (2; - 100)$ у формулу функції:
$y = - 25 \cdot 2^{2}$
$y = - 25 \cdot 4 = - 100$
$- 100 = - 100$ — рівність правильна, точка $A$ належить графіку.

2) Підставимо координати точки $B (- 2; 100)$ :
$y = - 25 \cdot (- 2)^{2}$
$y = - 25 \cdot 4 = - 100$
$- 100 \neq = 100$ — рівність неправильна, точка $B$ не належить графіку.

3) Підставимо координати точки $C (- \frac{1}{5}; - 1)$ :
$y = - 25 \cdot (- \frac{1}{5})^{2}$
$y = - 25 \cdot \frac{1}{25} = - 1$
$- 1 = - 1$ — рівність правильна, точка $C$ належить графіку.

4) Підставимо координати точки $D (- 1; 25)$ :
$y = - 25 \cdot (- 1)^{2}$
$y = - 25 \cdot 1 = - 25$
$- 25 \neq = 25$ — рівність неправильна, точка $D$ не належить графіку.

Відповідь: 1) належить; 2) не належить; 3) належить; 4) не належить.

9.2. Чи належить графіку функції $y = \frac{1}{8} x^{2}$ точка: 1) $A (8; 4)$ ; 2) $B (- 1; - \frac{1}{8})$ ; 3) $C (- 4; - 1)$ ?

1) Підставимо координати точки $A (8; 4)$ у формулу функції:
$y = \frac{1}{8} \cdot 8^{2}$
$y = \frac{1}{8} \cdot 64 = 8$
$8 \neq = 4$ — рівність неправильна, точка $A$ не належить графіку.

2) Підставимо координати точки $B (- 1; - \frac{1}{8})$ :
$y = \frac{1}{8} \cdot (- 1)^{2}$
$y = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$
$\frac{1}{8} \neq = - \frac{1}{8}$ — рівність неправильна, точка $B$ не належить графіку.

3) Підставимо координати точки $C (- 4; - 1)$ :
$y = \frac{1}{8} \cdot (- 4)^{2}$
$y = \frac{1}{8} \cdot 16 = 2$
$2 \neq = - 1$ — рівність неправильна, точка $C$ не належить графіку.

Відповідь: 1) не належить; 2) не належить; 3) не належить.

9.3. У яких координатних чвертях знаходиться графік функції $y = a x^{2}$ при $a > 0$ ? при $a < 0$ ?

При $a > 0$ графік знаходиться в I та II координатних чвертях (і проходить через початок координат).
При $a < 0$ графік знаходиться в III та IV координатних чвертях (і проходить через початок координат).

9.4. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину параболи $y = 3 x^{2}$ і прямої: 1) $y = 300$ ; 2) $y = 42 x$ ; 3) $y = - 150 x$ ; 4) $y = 6 - 3 x$ .

1) Прирівняємо праві частини рівнянь:
$3 x^{2} = 300$
$x^{2} = 100$
$x_{1} = 10$ , $x_{2} = - 10$
Оскільки $y = 300$ , маємо дві точки перетину: $(10; 300)$ та $(- 10; 300)$ .

2) Прирівняємо праві частини рівнянь:
$3 x^{2} = 42 x$
$3 x^{2} - 42 x = 0$
$3 x (x - 14) = 0$
$x_{1} = 0$ або $x_{2} = 14$
Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x = 0$ , то $y = 42 \cdot 0 = 0$ ;
якщо $x = 14$ , то $y = 42 \cdot 14 = 588$ .
Отримуємо точки перетину: $(0; 0)$ та $(14; 588)$ .

3) Прирівняємо праві частини рівнянь:
$3 x^{2} = - 150 x$
$3 x^{2} + 150 x = 0$
$3 x (x + 50) = 0$
$x_{1} = 0$ або $x_{2} = - 50$
Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x = 0$ , то $y = - 150 \cdot 0 = 0$ ;
якщо $x = - 50$ , то $y = - 150 \cdot (- 50) = 7500$ .
Отримуємо точки перетину: $(0; 0)$ та $(- 50; 7500)$ .

4) Прирівняємо праві частини рівнянь:
$3 x^{2} = 6 - 3 x$
$3 x^{2} + 3 x - 6 = 0$
Поділимо обидві частини на $3$ :
$x^{2} + x - 2 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = 1$
$x_{2} = - 2$
Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x = 1$ , то $y = 6 - 3 \cdot 1 = 3$ ;
якщо $x = - 2$ , то $y = 6 - 3 \cdot (- 2) = 6 + 6 = 12$ .
Отримуємо точки перетину: $(1; 3)$ та $(- 2; 12)$ .

Відповідь: 1) $(10; 300)$ , $(- 10; 300)$ ; 2) $(0; 0)$ , $(14; 588)$ ; 3) $(0; 0)$ , $(- 50; 7500)$ ; 4) $(1; 3)$ , $(- 2; 12)$ .

9.5.° Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій:

1) $y = \frac{1}{3} x^{2}$ і $y = 3$

Прирівняємо праві частини формул:

$\frac{1}{3} x^{2} = 3$

Помножимо обидві частини на $3$ :

$x^{2} = 9$

$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 3$

Оскільки $y = 3$ , отримуємо координати двох точок перетину: $(- 3; 3)$ та $(3; 3)$ .

Відповідь: $(- 3; 3)$ , $(3; 3)$ .

2) $y = \frac{1}{2} x^{2}$ і $y = x + 4$

Прирівняємо праві частини формул:

$\frac{1}{2} x^{2} = x + 4$

Помножимо обидві частини на $2$ :

$x^{2} = 2 x + 8$

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 2$
$x_{2} = 4$

Обчислимо відповідні ординати за формулою прямої $y = x + 4$ :
Якщо $x = - 2$ , то:
$y = - 2 + 4 = 2$

Якщо $x = 4$ , то:
$y = 4 + 4 = 8$

Отримуємо координати двох точок перетину: $(- 2; 2)$ та $(4; 8)$ .

Відповідь: $(- 2; 2)$ , $(4; 8)$ .

9.6.° При яких значеннях $a$ точка $A (a; 16)$ належить графіку функції $y = 4 x^{2}$ ?

Підставимо координати точки $A$ ( $x = a$ , $y = 16$ ) у формулу функції:

$16 = 4 a^{2}$

$a^{2} = \frac{16}{4}$

$a^{2} = 4$

$a_{1} = - 2$
$a_{2} = 2$

Відповідь: $a_{1} = - 2$ , $a_{2} = 2$ .

9.7.° При яких значеннях $b$ точка $B (- 2; b)$ належить графіку функції $y = - 0, 2 x^{2}$ ?

Підставимо координати точки $B$ ( $x = - 2$ , $y = b$ ) у формулу функції:

$b = - 0, 2 \cdot (- 2)^{2}$

$b = - 0, 2 \cdot 4$

$b = - 0, 8$

Відповідь: $b = - 0, 8$ .

9.8.° Відомо, що точка $M (3; - 6)$ належить графіку функції $y = a x^{2}$ . Знайдіть значення $a$ .

Підставимо координати точки $M$ ( $x = 3$ , $y = - 6$ ) у формулу функції:

$- 6 = a \cdot 3^{2}$

$9 a = - 6$

$a = - \frac{6}{9}$

$a = - \frac{2}{3}$

Відповідь: $a = - \frac{2}{3}$ .

9.9.° Відомо, що точка $K (- 5; 10)$ належить графіку функції $y = a x^{2}$ . Знайдіть значення $a$ .

Підставимо координати точки $K$ ( $x = - 5$ , $y = 10$ ) у формулу функції:

$10 = a \cdot (- 5)^{2}$

$25 a = 10$

$a = \frac{10}{25}$

$a = 0, 4$

Відповідь: $a = 0, 4$ .

9.10.

а) Графік функції $y = a x^{2}$ проходить через точку $(2; 2)$ .
Підставимо координати точки у формулу:

$2 = a \cdot 2^{2}$

$4 a = 2$

$a = \frac{2}{4} = 0, 5$

б) Графік функції $y = a x^{2}$ проходить через точку $(4; - 4)$ .
Підставимо координати точки у формулу:

$- 4 = a \cdot 4^{2}$

$16 a = - 4$

$a = - \frac{4}{16} = - 0, 25$

Відповідь: а) $a = 0, 5$ ; б) $a = - 0, 25$ .

9.11.

а) Графік функції $y = a x^{2}$ проходить через точку $(1; 1, 5)$ .
Підставимо координати точки у формулу:

$1, 5 = a \cdot 1^{2}$

$a = 1, 5$

б) Графік функції $y = a x^{2}$ проходить через точку $(3; - 3)$ .
Підставимо координати точки у формулу:

$- 3 = a \cdot 3^{2}$

$9 a = - 3$

$a = - \frac{3}{9} = - \frac{1}{3}$

Відповідь: а) $a = 1, 5$ ; б) $a = - \frac{1}{3}$ .

9.12.

Складемо таблиці значень для функцій $y = x^{2}$ та $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ :

Таблиця для $y = x^{2}$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Таблиця для $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ :

$x$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$
$y$	$- 4$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 4$

Графік функції $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ отримуємо з графіка $y = x^{2}$ шляхом його стискання до осі абсцис у $4$ рази та симетричного відображення відносно осі $O x$ .

9.13.

Складемо таблиці значень для функцій $y = x^{2}$ та $y = 3 x^{2}$ :

Таблиця для $y = x^{2}$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Таблиця для $y = 3 x^{2}$ :

$x$	$- 1, 5$	$- 1$	$0$	$1$	$1, 5$
$y$	$6, 75$	$3$	$0$	$3$	$6, 75$

Графік функції $y = 3 x^{2}$ отримуємо з графіка $y = x^{2}$ шляхом його розтягування від осі абсцис у $3$ рази вздовж осі ординат.

9.14.

Побудуємо графік кусково-заданої функції за частинами:

1) При $x \leq - 2$ : частина параболи $y = x^{2}$ .
Точки: $(- 3; 9)$ , $(- 2; 4)$ .

2) При $- 2 < x < 2$ : відрізок прямої $y = - 2 x$ .
Точки: $(- 2; 4)$ — виколота точка прямої збігається з точкою параболи; $(0; 0)$ ; $(2; - 4)$ — виколота точка.

3) При $x \geq 2$ : частина параболи $y = - x^{2}$ .
Точки: $(2; - 4)$ — заповнює точку прямої; $(3; - 9)$ .

За побудованим графіком:

Проміжки спадання: $(- \infty; + \infty)$ (функція спадає на всій області визначення).
Проміжки зростання: немає.

Відповідь: функція спадає на $(- \infty; + \infty)$ , проміжків зростання немає.

9.15.•• Побудуйте графік функції:
$y = ⎩ ⎨ ⎧ - 2, якщо x < - 1, - 2 x^{2}, якщо - 1 \leq x \leq 0, 2 x^{2}, якщо x > 0.$
Користуючись побудованим графіком, знайдіть проміжки зростання та проміжки спадання функції.

Для побудови графіка складемо таблиці опорних точок для кожної частини функції:

1) При $x < - 1$ графіком є горизонтальний промінь прямої $y = - 2$ , що йде ліворуч від точки $(- 1; - 2)$ .

2) При $- 1 \leq x \leq 0$ графіком є частина параболи $y = - 2 x^{2}$ (вітки напрямлені вниз):

$x$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$
$y$	$- 2$	$- 0, 5$	$0$

3) При $x > 0$ графіком є частина параболи $y = 2 x^{2}$ (вітки напрямлені вгору):

$x$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$
$y$	$0, 5$	$2$	$4, 5$	$8$

У точках $x = - 1$ та $x = 0$ частини графіка стикуються, тому лінія є неперервною.

За графіком:

Функція зростає на проміжку $[- 1; + \infty)$ .
Проміжків спадання функція не має (на проміжку $(- \infty; - 1]$ функція є постійною).

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

9.16. Доведіть тотожність:
$(\frac{m - n}{m ^{2} + mn} - \frac{m}{mn + n ^{2}}) : (\frac{n ^{2}}{m ^{3} - m n ^{2}} + \frac{1}{m + n}) = \frac{n - m}{n}$

Виконаємо перетворення лівої частини по діях:

1) Віднімання в перших дужках:

$\frac{m - n}{m ( m + n )} - \frac{m}{n ( m + n )} = \frac{n ( m - n ) - m ^{2}}{mn ( m + n )} = \frac{mn - n ^{2} - m ^{2}}{mn ( m + n )} = - \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{mn ( m + n )}$

2) Додавання в других дужках:

$\frac{n ^{2}}{m ( m - n ) ( m + n )} + \frac{1}{m + n} = \frac{n ^{2} + m ( m - n )}{m ( m - n ) ( m + n )} = \frac{n ^{2} + m ^{2} - mn}{m ( m - n ) ( m + n )} = \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{m ( m - n ) ( m + n )}$

3) Ділення результатів:

$- \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{mn ( m + n )} : \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{m ( m - n ) ( m + n )} = - \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{mn ( m + n )} \cdot \frac{m ( m - n ) ( m + n )}{m ^{2} - mn + n ^{2}} = - \frac{m - n}{n} = \frac{n - m}{n}$

Отримали вираз, що дорівнює правій частині:

$\frac{n - m}{n} = \frac{n - m}{n}$

Тотожність доведено.

9.17. Якого найменшого значення може набути даний вираз і при якому значенні змінної:
1) $(x - 6)^{2} + 3$ ;
2) $(x + 4)^{2} - 5$ ;
3) $x^{2} + 2 x - 6$ ;
4) $x^{2} - 10 x + 18$ ?

1) $(x - 6)^{2} + 3$
Оскільки $(x - 6)^{2} \geq 0$ , то найменше значення виразу дорівнює $3$ при $x = 6$ .

2) $(x + 4)^{2} - 5$
Оскільки $(x + 4)^{2} \geq 0$ , то найменше значення виразу дорівнює $- 5$ при $x = - 4$ .

3) $x^{2} + 2 x - 6$
Виділимо повний квадрат:
$x^{2} + 2 x - 6 = (x^{2} + 2 x + 1) - 7 = (x + 1)^{2} - 7$
Оскільки $(x + 1)^{2} \geq 0$ , то найменше значення виразу дорівнює $- 7$ при $x = - 1$ .

4) $x^{2} - 10 x + 18$
Виділимо повний квадрат:
$x^{2} - 10 x + 18 = (x^{2} - 10 x + 25) - 7 = (x - 5)^{2} - 7$
Оскільки $(x - 5)^{2} \geq 0$ , то найменше значення виразу дорівнює $- 7$ при $x = 5$ .

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

9.18. Щоби пофарбувати одну грань кубика, потрібно 10 с. За який найменший час 6 людей можуть пофарбувати 101 кубик? (Двоє людей не можуть одночасно фарбувати один кубик.)

Кожен кубик має 6 граней, тому на фарбування одного кубика потрібно:
$6 \cdot 10 = 60 (с)$

Загальна кількість граней у 101 кубика:
$101 \cdot 6 = 606 (граней)$

Загальний людино-час для виконання всієї роботи:
$606 \cdot 10 = 6060 (с)$

Оскільки працюють 6 людей, мінімальний теоретичний час становить:
$\frac{6060}{6} = 1010 (с)$

Оскільки кількість кубиків ( $101$ ) значно перевищує кількість людей ( $6$ ), у будь-який момент часу кожен робітник може фарбувати окремий кубик. Тому роботу можна організувати повністю без простоїв.

$1010 с = 16 хв 50 с$

Відповідь: $1010 с$ (або $16 хв 50 с$ ).

9. Побудова графіка функції y = ax²

Теги статті:

До уроку