8. Властивості функції

1. Яке значення аргументу називають нулем функції?

Це значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю.

2. Поясніть, що називають проміжком знакосталості функції.

Це проміжок, на якому функція набуває значень однакового знака — тобто тільки додатних або тільки від’ємних.

3. Яку функцію називають зростаючою на деякому проміжку?

Функцію називають зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше значення функції (якщо $x_{2} > x_{1}$ , то $f (x_{2}) > f (x_{1})$ ).

4. Яку функцію називають спадною на деякому проміжку?

Функцію називають спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції (якщо $x_{2} > x_{1}$ , то $f (x_{2}) < f (x_{1})$ ).

5. Яку функцію називають зростаючою?

Функцію називають зростаючою, якщо вона зростає на всій своїй області визначення.

6. Яку функцію називають спадною?

Функцію називають спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції (тобто для будь-яких $x_{1}$ і $x_{2}$ із цього проміжку таких, що $x_{2} > x_{1}$ , виконується нерівність $f (x_{2}) < f (x_{1})$ ). Якщо функція спадає на всій своїй області визначення, то її називають спадною.

ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

8.1.° Розгляньте рисунок 8.4 і вкажіть, у якому випадку зображено графік функції, яка: 1) не має нулів; 2) має один нуль; 3) має два нулі; 4) є зростаючою; 5) є спадною.

1) Не має нулів: рис. в (графік зовсім не перетинає вісь $O x$ ).

2) Має один нуль: рис. а (графік перетинає вісь $O x$ в одній точці).

3) Має два нулі: рис. б (графік перетинає вісь $O x$ у двох точках).

4) Є зростаючою: рис. а (при збільшенні значень $x$ графік іде вгору на всій області визначення).

5) Є спадною: рис. в (при збільшенні значень $x$ графік іде вниз на всій області визначення).

8.2.° На рисунку 8.5 зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на множині дійсних чисел. Користуючись графіком, знайдіть: 1) нулі функції; 2) при яких значеннях аргументу значення функції є додатними; 3) проміжки зростання та проміжки спадання функції.

1) Нулі функції:
$x = - 3$ , $x = - 1$ , $x = 2$ , $x = 4, 5$ .

2) Значення аргументу, при яких значення функції є додатними ( $y > 0$ ):
$x \in (- \infty; - 3) \cup (- 1; 1, 5) \cup (4, 5; + \infty)$ .

3) Проміжки зростання та проміжки спадання функції:
Функція зростає на проміжках $[- 2; 1]$ і $[- 1; + \infty)$ .
Функція спадає на проміжках $(- \infty; - 2]$ і $[1; 3, 5]$ .

8.3.° На рисунку 8.6 зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на множині дійсних чисел. Користуючись графіком, знайдіть: 1) нулі функції; 2) при яких значеннях аргументу значення функції є від’ємними; 3) проміжки зростання та проміжки спадання функції.

1) Нулі функції:
$x = 0$ , $x = 2$ .

2) Значення аргументу, при яких значення функції є від’ємними ( $y < 0$ ):
$x \in (- \infty; 0) \cup (0; 2)$ .

3) Проміжки зростання та проміжки спадання функції:
Функція зростає на проміжках $(- \infty; 0]$ і $[1; + \infty)$ .
Функція спадає на проміжку $[0; 1]$ .

8.4.° На рисунку 8.7 зображено графік функції, визначеної на проміжку $[- 1; 4]$ . Користуючись графіком, знайдіть: 1) нулі функції; 2) при яких значеннях $x$ значення функції є від’ємними; 3) проміжки зростання та проміжки спадання функції.

1) Нулі функції:
$x = - 1$ , $x = 2$ .

2) Значення $x$ , при яких значення функції є від’ємними ( $y < 0$ ):
$x \in (- 1; 2)$ .

3) Проміжки зростання та проміжки спадання функції:
Функція зростає на проміжку $[1; 3]$ .
Функція спадає на проміжках $[- 1; 1]$ і $[3; 4]$ .

8.5.° На рисунку 8.8 зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на множині дійсних чисел. Які з даних тверджень є правильними: 1) функція спадає на проміжку $(- \infty; - 9]$ ; 2) $f (x) < 0$ при $- 5 \leq x \leq 1$ ; 3) функція зростає на проміжку $[- 2; + \infty)$ ; 4) $f (x) = 0$ при $x = - 5$ і при $x = 1$ ; 5) функція на області визначення набуває найменшого значення при $x = - 2$ ?

Проаналізуємо кожне твердження за графіком:

1) Неправильне, оскільки проміжком спадання функції є $(- \infty; - 2]$ (число $- 9$ є значенням функції у вершині, а не аргументом $x$ ).

2) Неправильне, оскільки при $x = - 5$ та $x = 1$ значення функції дорівнює нулю ( $f (x) = 0$ ), отже, $f (x) < 0$ строго при $- 5 < x < 1$ .

3) Правильне, від вершини $x = - 2$ зі збільшенням $x$ графік іде вгору.

4) Правильне, точки перетину з віссю абсцис мають координати $(- 5; 0)$ та $(1; 0)$ .

5) Правильне, найнижча точка графіка має координати $(- 2; - 9)$ , тому найменше значення досягається при $x = - 2$ .

Відповідь: 3), 4), 5).

8.6.° На рисунку 8.9 зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на множині дійсних чисел. Користуючись графіком, знайдіть: 1) нулі функції; 2) значення $x$ , при яких $y < 0$ ; 3) проміжок спадання функції; 4) область значень функції.

1) Нулі функції (точки перетину з віссю $O x$ ):
$x = - 1$ та $x = 3$ .

2) Значення $x$ , при яких $y < 0$ (частина графіка розташована під віссю $O x$ ):
$x < - 1$ або $x > 3$ , тобто $x \in (- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$ .

3) Проміжок спадання функції (графік іде вниз від вершини праворуч):
$[1; + \infty)$ .

4) Область значень функції (найбільше значення $y = 4$ у вершині, вітки спрямовані вниз):
$E (f) = (- \infty; 4]$ .

8.7.° Зростаючою чи спадною є функція: 1) $y = 9 x - 4$ ; 2) $y = - 4 x + 10$ ; 3) $y = 12 - 3 x$ ; 4) $y = - x$ ; 5) $y = \frac{1}{6} x$ ; 6) $y = 1 - 0, 3 x$ ?

Лінійна функція $y = k x + b$ є зростаючою, якщо $k > 0$ , і спадною, якщо $k < 0$ :

1) $y = 9 x - 4$ — зростаюча, оскільки $k = 9 > 0$ .

2) $y = - 4 x + 10$ — спадна, оскільки $k = - 4 < 0$ .

3) $y = 12 - 3 x$ — спадна, оскільки $k = - 3 < 0$ .

4) $y = - x$ — спадна, оскільки $k = - 1 < 0$ .

5) $y = \frac{1}{6} x$ — зростаюча, оскільки $k = \frac{1}{6} > 0$ .

6) $y = 1 - 0, 3 x$ — спадна, оскільки $k = - 0, 3 < 0$ .

8.8.° Знайдіть нулі функції: 1) $f (x) = 0, 2 x + 3$ ; 2) $g (x) = 35 - 2 x - x^{2}$ ; 3) $φ (x) = x + 3$ ; 4) $h (x) = \frac{x ^{2} - x - 6}{x + 3}$ ; 5) $f (x) = x^{3} - 4 x$ ; 6) $f (x) = x^{2} + 1$ .

1) $0, 2 x + 3 = 0$
$0, 2 x = - 3$
$x = - 15$

2) $35 - 2 x - x^{2} = 0$
$x^{2} + 2 x - 35 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 7$
$x_{2} = 5$

3) $x + 3 = 0$
$x + 3 = 0$
$x = - 3$

4) $\frac{x ^{2} - x - 6}{x + 3} = 0$
Область визначення: $x + 3 \neq = 0$ , тобто $x \neq = - 3$ .
$x^{2} - x - 6 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 2$
$x_{2} = 3$
Обидва корені задовольняють умову $x \neq = - 3$ .

5) $x^{3} - 4 x = 0$
$x (x^{2} - 4) = 0$
$x (x - 2) (x + 2) = 0$
$x_{1} = 0$
$x_{2} = 2$
$x_{3} = - 2$

6) $x^{2} + 1 = 0$
$x^{2} = - 1$
Оскільки квадрат дійсного числа не може бути від’ємним ( $x^{2} \geq 0$ ), рівняння не має розв’язків. Функція не має нулів.

Відповідь: 1) $- 15$ ; 2) $- 7$ ; $5$ ; 3) $- 3$ ; 4) $- 2$ ; $3$ ; 5) $- 2$ ; $0$ ; $2$ ; 6) немає нулів.

8.9.° Знайдіть нулі функції: 1) $f (x) = \frac{1}{3} x + 12$ ; 2) $f (x) = 6 x^{2} + 5 x + 1$ ; 3) $f (x) = x^{2} - 4$ ; 4) $f (x) = - 5$ ; 5) $f (x) = \frac{3 - 0 , 2 x}{x + 1}$ ; 6) $f (x) = x^{2} - x$ .

1) $\frac{1}{3} x + 12 = 0$
$\frac{1}{3} x = - 12$
$x = - 36$

2) $6 x^{2} + 5 x + 1 = 0$
$D = 5^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$
$x_{1} = \frac{- 5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{- 4}{12} = - \frac{1}{3}$
$x_{2} = \frac{- 5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{- 6}{12} = - \frac{1}{2} = - 0, 5$

3) $x^{2} - 4 = 0$
$x^{2} - 4 = 0$
$x^{2} = 4$
$x_{1} = - 2$
$x_{2} = 2$

4) $- 5 = 0$ — рівність хибна, тому функція не має нулів.

5) $\frac{3 - 0 , 2 x}{x + 1} = 0$
Область визначення: $x + 1 \neq = 0$ , тобто $x \neq = - 1$ .
$3 - 0, 2 x = 0$
$0, 2 x = 3$
$x = 15$
Корінь задовольняє умову $x \neq = - 1$ .

6) $x^{2} - x = 0$
$x (x - 1) = 0$
$x_{1} = 0$
$x_{2} = 1$

Відповідь: 1) $- 36$ ; 2) $- 0, 5$ ; $- \frac{1}{3}$ ; 3) $- 2$ ; $2$ ; 4) немає нулів; 5) $15$ ; 6) $0$ ; $1$ .

Вправи

8.10.° Знайдіть проміжки знакосталості функції:

1) $y = 5 x - 15$

Знайдемо проміжок, на якому $y > 0$ :
$5 x - 15 > 0$
$5 x > 15$
$x > 3$ , тобто $x \in (3; + \infty)$ .

Знайдемо проміжок, на якому $y < 0$ :
$5 x - 15 < 0$
$5 x < 15$
$x < 3$ , тобто $x \in (- \infty; 3)$ .

2) $y = - 7 x - 28$

Знайдемо проміжок, на якому $y > 0$ :
$- 7 x - 28 > 0$
$- 7 x > 28$
$x < - 4$ , тобто $x \in (- \infty; - 4)$ .

Знайдемо проміжок, на якому $y < 0$ :
$- 7 x - 28 < 0$
$- 7 x < 28$
$x > - 4$ , тобто $x \in (- 4; + \infty)$ .

3) $y = x^{2} - 2 x + 1$

За формулою квадрата двочлена: $y = (x - 1)^{2}$ .

Квадрат будь-якого виразу є невід’ємним: $(x - 1)^{2} \geq 0$ для всіх $x \in R$ , причому $(x - 1)^{2} = 0$ лише при $x = 1$ .
Тому $y > 0$ при всіх $x \neq = 1$ , тобто $x \in (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$ .
Від’ємних значень функція не набуває.

4) $y = \frac{9}{3 - x}$

Оскільки чисельник дробу додатний ( $9 > 0$ ), знак функції залежить лише від знаменника:

$y > 0 ⟺ 3 - x > 0 ⟺ x < 3$ , тобто $x \in (- \infty; 3)$ .
$y < 0 ⟺ 3 - x < 0 ⟺ x > 3$ , тобто $x \in (3; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $y > 0$ при $x \in (3; + \infty)$ ; $y < 0$ при $x \in (- \infty; 3)$ ;

2) $y > 0$ при $x \in (- \infty; - 4)$ ; $y < 0$ при $x \in (- 4; + \infty)$ ;

3) $y > 0$ при $x \in (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$ ; від’ємних значень не набуває;

4) $y > 0$ при $x \in (- \infty; 3)$ ; $y < 0$ при $x \in (3; + \infty)$ .

8.11.° Знайдіть проміжки знакосталості функції:

1) $y = - 4 x + 8$

Знайдемо проміжок, на якому $y > 0$ :
$- 4 x + 8 > 0$
$- 4 x > - 8$
$x < 2$ , тобто $x \in (- \infty; 2)$ .

Знайдемо проміжок, на якому $y < 0$ :
$- 4 x + 8 < 0$
$- 4 x < - 8$
$x > 2$ , тобто $x \in (2; + \infty)$ .

2) $y = - x^{2} - 1$

Оскільки $x^{2} \geq 0$ для будь-якого $x \in R$ , то $- x^{2} \leq 0$ , звідки $- x^{2} - 1 \leq - 1 < 0$ .
Отже, функція набуває лише від’ємних значень при всіх дійсних значеннях аргументу: $y < 0$ при $x \in (- \infty; + \infty)$ .
Додатних значень функція не набуває.

3) $y = x + 2$

Область визначення функції: $x + 2 \geq 0$ , тобто $x \geq - 2$ .
За означенням арифметичного квадратного кореня $x + 2 \geq 0$ .
Значення $x + 2 = 0$ досягається при $x = - 2$ .
Отже, $y > 0$ при всіх $x > - 2$ , тобто $x \in (- 2; + \infty)$ .
Від’ємних значень функція не набуває.

Відповідь:

1) $y > 0$ при $x \in (- \infty; 2)$ ; $y < 0$ при $x \in (2; + \infty)$ ;

2) $y < 0$ при $x \in (- \infty; + \infty)$ ; додатних значень не набуває;

3) $y > 0$ при $x \in (- 2; + \infty)$ ; від’ємних значень не набуває.

8.12.• Накресліть графік якої-небудь функції, визначеної на множині дійсних чисел, нулями якої є числа:

1) –2 і 5

Графік перетинає вісь абсцис у точках $(- 2; 0)$ та $(5; 0)$ . Наприклад, графіком може бути парабола, вітки якої спрямовані вниз, із вершиною в точці $(1, 5; 3)$ .

2) –4, –1, 0 і 4

Графік перетинає вісь абсцис у чотирьох точках: $(- 4; 0)$ , $(- 1; 0)$ , $(0; 0)$ та $(4; 0)$ .

8.13.• Накресліть графік якої-небудь функції, визначеної на проміжку [–5; 5], нулями якої є числа –3, 0 і 3.

Область визначення функції обмежена відрізком $[- 5; 5]$ , тому графік починається в точці з абсцисою $x = - 5$ і закінчується в точці з абсцисою $x = 5$ . Графік перетинає вісь $O x$ у точках $(- 3; 0)$ , $(0; 0)$ та $(3; 0)$ .

8.14.• Накресліть графік якої-небудь функції, визначеної на проміжку [–4; 3], такої, що:

1) функція зростає на проміжку [–4; –1] і спадає на проміжку [–1; 3]

Графік визначений від $x = - 4$ до $x = 3$ . Зі збільшенням $x$ від $- 4$ до $- 1$ графік іде вгору до вершини при $x = - 1$ , а від $x = - 1$ до $x = 3$ — спадає вниз.

2) функція спадає на проміжках [–4; –2] і [0; 3] та зростає на проміжку [–2; 0]

Графік визначений на відрізку $[- 4; 3]$ . Він спадає від $x = - 4$ до точки мінімуму при $x = - 2$ , потім піднімається до точки максимуму при $x = 0$ , після чого спадає до правого кінця при $x = 3$ .

8.15.• Накресліть графік якої-небудь функції, визначеної на множині дійсних чисел, яка зростає на проміжках (–∞; 1] і [4; +∞) та спадає на проміжку [1; 4].

Для прикладу візьмемо неперервну криву, яка має локальний максимум у точці $(1; 3)$ та локальний мінімум у точці $(4; - 1)$ . На проміжках $(- \infty; 1]$ та $[4; + \infty)$ графік піднімається вгору (функція зростає), а на проміжку $[1; 4]$ опускається вниз (функція спадає).

8.16.•• Побудуйте графік функції
$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 8, x^{2}, - 2 x + 8, якщо x \leq - 2; якщо - 2 < x < 2; якщо x \geq 2.$

Складемо таблиці значень для кожної частини функції:

1) Промінь $y = 2 x + 8$ при $x \leq - 2$ :

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$
$y$	$0$	$2$	$4$

2) Частина параболи $y = x^{2}$ при $- 2 < x < 2$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

3) Промінь $y = - 2 x + 8$ при $x \geq 2$ :

$x$	$2$	$3$	$4$
$y$	$4$	$2$	$0$

Користуючись побудованим графіком, укажіть нулі даної функції.

Нулі функції: $x = - 4$ , $x = 0$ , $x = 4$ .

Укажіть проміжки знакосталості даної функції.

$f (x) > 0$ при $x \in (- 4; 0) \cup (0; 4)$ ;
$f (x) < 0$ при $x \in (- \infty; - 4) \cup (4; + \infty)$ .

Укажіть проміжки зростання та проміжки спадання даної функції.

Функція зростає на проміжках $(- \infty; - 2]$ і $[0; 2]$ .
Функція спадає на проміжках $[- 2; 0]$ і $[2; + \infty)$ .

8.17.•• Побудуйте графік функції
$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{4}{x}, \frac{x}{4}, \frac{4}{x}, якщо x < - 4; якщо - 4 \leq x \leq 4; якщо x > 4.$

Складемо таблиці значень для кожної частини функції:

1) Вітка гіперболи $y = \frac{4}{x}$ при $x < - 4$ :

$x$	$- 8$	$- 5$	$- 4$
$y$	$- 0, 5$	$- 0, 8$	$- 1$

2) Відрізок прямої $y = \frac{x}{4}$ при $- 4 \leq x \leq 4$ :

$x$	$- 4$	$0$	$4$
$y$	$- 1$	$0$	$1$

3) Вітка гіперболи $y = \frac{4}{x}$ при $x > 4$ :

$x$	$4$	$5$	$8$
$y$	$1$	$0, 8$	$0, 5$

Користуючись побудованим графіком, укажіть нулі даної функції.

Нуль функції: $x = 0$ .

Укажіть проміжки знакосталості даної функції.

$f (x) > 0$ при $x \in (0; + \infty)$ ;
$f (x) < 0$ при $x \in (- \infty; 0)$ .

Укажіть проміжки зростання та проміжки спадання даної функції.

Функція зростає на проміжку $[- 4; 4]$ .
Функція спадає на проміжках $(- \infty; - 4]$ і $[4; + \infty)$ .

8.18.•• При яких значеннях a функція y = x² + (2a – 1) x + a² + a має два нулі?

Функція має два нулі тоді й тільки тоді, коли квадратне рівняння $x^{2} + (2 a - 1) x + a^{2} + a = 0$ має два різні дійсні корені, тобто коли дискримінант $D > 0$ .

Знайдемо дискримінант:

$D = (2 a - 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a^{2} + a)$

$D = 4 a^{2} - 4 a + 1 - 4 a^{2} - 4 a$

$D = 1 - 8 a$

Розв’яжемо нерівність $D > 0$ :

$1 - 8 a > 0$

$- 8 a > - 1$

$a < \frac{1}{8}$

Відповідь: $a < \frac{1}{8}$ .

8.19.•• При яких значеннях a функція y = x² + 6x + a не має нулів?

Функція не має нулів тоді й тільки тоді, коли квадратне рівняння $x^{2} + 6 x + a = 0$ не має дійсних коренів, тобто коли дискримінант $D < 0$ .

Знайдемо дискримінант:

$D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot a$

$D = 36 - 4 a$

Розв’яжемо нерівність $D < 0$ :

$36 - 4 a < 0$

$- 4 a < - 36$

$a > \frac{- 36}{- 4}$

$a > 9$

Відповідь: $a > 9$ .

8.20. При якому найбільшому цілому значенні $n$ функція $y = (8 - 3 n) x - 7$ є зростаючою?

Лінійна функція $y = k x + b$ є зростаючою, якщо її кутовий коефіцієнт $k > 0$ .

У даній функції $k = 8 - 3 n$ . Складемо нерівність:

$8 - 3 n > 0$
$- 3 n > - 8$
$n < \frac{8}{3}$
$n < 2 \frac{2}{3}$

Найбільшим цілим числом серед тих, що менші від $2 \frac{2}{3}$ , є число $2$ .

Відповідь: $2$ .

8.21. При яких значеннях $m$ функція $y = m x - m - 3 + 2 x$ є спадною?

Згрупуємо доданки та зведемо формулу до вигляду лінійної функції $y = k x + b$ :

$y = m x + 2 x - (m + 3)$
$y = (m + 2) x - (m + 3)$

Лінійна функція є спадною, якщо її кутовий коефіцієнт від’ємний ( $k < 0$ ). Складемо нерівність:

$m + 2 < 0$
$m < - 2$

Відповідь: $m < - 2$ (або $m \in (- \infty; - 2)$ ).

8.22. Функція $y = f (x)$ є спадною. Як ви думаєте зростаючою чи спадною є функція (відповідь обґрунтуйте): 1) $y = 3 f (x)$ ; 2) $y = \frac{1}{3} f (x)$ ; 3) $y = - f (x)$ ? Обговоріть це питання у класі.

Оскільки функція $y = f (x)$ спадна, то для будь-яких значень аргументу $x_{2} > x_{1}$ виконується нерівність $f (x_{2}) < f (x_{1})$ .

1) $y = 3 f (x)$ — спадна.
Помножимо обидві частини нерівності $f (x_{2}) < f (x_{1})$ на додатне число $3$ :
$3 f (x_{2}) < 3 f (x_{1})$
Оскільки при $x_{2} > x_{1}$ значення функції зменшується, функція $y = 3 f (x)$ є спадною.

2) $y = \frac{1}{3} f (x)$ — спадна.
Помножимо обидві частини нерівності $f (x_{2}) < f (x_{1})$ на додатне число $\frac{1}{3}$ :
$\frac{1}{3} f (x_{2}) < \frac{1}{3} f (x_{1})$
Оскільки при $x_{2} > x_{1}$ значення функції зменшується, функція $y = \frac{1}{3} f (x)$ є спадною.

3) $y = - f (x)$ — зростаюча.
Помножимо обидві частини нерівності $f (x_{2}) < f (x_{1})$ на від’ємне число $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:
$- f (x_{2}) > - f (x_{1})$
Оскільки більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, функція $y = - f (x)$ є зростаючою.

8.23. Функція $y = f (x)$ зростає на деякому проміжку. Зростаючою чи спадною на цьому проміжку є функція (відповідь обґрунтуйте): 1) $y = \frac{1}{2} f (x)$ ; 2) $y = - 2 f (x)$ ?

Оскільки функція $y = f (x)$ зростає на проміжку, то для будь-яких $x_{2} > x_{1}$ із цього проміжку виконується нерівність $f (x_{2}) > f (x_{1})$ .

1) $y = \frac{1}{2} f (x)$ — зростаюча.
Помножимо нерівність $f (x_{2}) > f (x_{1})$ на додатне число $\frac{1}{2}$ :
$\frac{1}{2} f (x_{2}) > \frac{1}{2} f (x_{1})$
Знак нерівності не змінився, тому більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Функція $y = \frac{1}{2} f (x)$ зростає.

2) $y = - 2 f (x)$ — спадна.
Помножимо нерівність $f (x_{2}) > f (x_{1})$ на від’ємне число $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:
$- 2 f (x_{2}) < - 2 f (x_{1})$
Більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тому функція $y = - 2 f (x)$ спадає.

УЧИМОСЯ ЗАСТОСОВУВАТИ МАТЕМАТИКУ

8.24. Розглядаючи касовий чек після покупки в магазині, ви, мабуть, звертали увагу на рядочок у ньому: «ПДВ А = 20%». А чи знаєте ви, що таке ПДВ? Податок на додану вартість (ПДВ) є одним із ключових елементів системи оподаткування в Україні. Цей непрямий податок відіграє важливу роль у формуванні державного бюджету. Він включається в ціну товарів і послуг і сплачується кінцевим споживачем. Сума ПДВ додається до ціни товару чи послуги. За Податковим кодексом України у 2025 р. ставка ПДВ може становити 20%, або 14%, або 7%. Також існують операції, що оподатковуються за нульовою ставкою або звільнені від ПДВ. Уявімо, що ви купили пальто, яке без урахування ПДВ коштує 3200 грн. Скільки ви маєте заплатити за нього з урахуванням ПДВ, якщо цей товар підпадає під стандартну ставку цього податку в розмірі 20%?

Дано:

Ціна товару без ПДВ: $3200 грн$
Ставка ПДВ: $20%$

Знайти:

Вартість пальта з урахуванням ПДВ — ?

Розв’язання:

1) Знайдемо суму податку на додану вартість:
$3200 \cdot 0, 20 = 640 (грн)$

2) Знайдемо кінцеву суму до сплати разом із ПДВ:
$3200 + 640 = 3840 (грн)$

Відповідь: $3840 грн .$

8.25. Фірма продала лікарські засоби і товари медичного призначення, ставка ПДВ на які становить 7%, отримавши 560 000 грн. Скільки гривень податку на додану вартість має сплатити фірма?

Для знаходження суми податку на додану вартість обчислимо $7%$ від отриманої вартості проданих товарів ( $560000 грн$ ):

$560000 \cdot 0, 07 = 39200 (грн)$

Відповідь: $39200 грн .$

8.26. Ставка ПДВ на деякі види сільськогосподарської продукції становить 14%. Фірма, яка продає таку продукцію, сплатила 42 000 грн податку на додану вартість. Скільки гривень становить вартість проданої продукції без урахування ПДВ?

Сума ПДВ у $42000 грн$ становить $14%$ від вартості продукції без урахування податку.
Знайдемо повну вартість проданої продукції ( $100%$ ):

$42000 : 0, 14 = 300000 (грн)$

Відповідь: $300000 грн .$

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

8.27. Скоротіть дріб:
1) $\frac{x ^{2} + x - 6}{7 x + 21}$ ;
2) $\frac{2 y - 16}{8 + 7 y - y ^{2}}$ ;
3) $\frac{3 a ^{2} + a - 2}{4 - 9 a ^{2}}$ .

1) Розкладемо чисельник на лінійні множники за теоремою Вієта:
$x^{2} + x - 6 = 0$
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 2$
$x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$

У знаменнику винесемо спільний множник $7$ за дужки:
$7 x + 21 = 7 (x + 3)$

Скоротимо дріб:
$\frac{x ^{2} + x - 6}{7 x + 21} = \frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{7 ( x + 3 )} = \frac{x - 2}{7}$

2) У чисельнику винесемо спільний множник $2$ за дужки:
$2 y - 16 = 2 (y - 8)$

Розкладемо на множники знаменник:
$8 + 7 y - y^{2} = - (y^{2} - 7 y - 8)$
Корені рівняння $y^{2} - 7 y - 8 = 0$ :
$y_{1} = 8$
$y_{2} = - 1$
$- (y^{2} - 7 y - 8) = - (y - 8) (y + 1)$

Скоротимо дріб:
$\frac{2 y - 16}{8 + 7 y - y ^{2}} = \frac{2 ( y - 8 )}{- ( y - 8 ) ( y + 1 )} = - \frac{2}{y + 1}$

3) Розкладемо чисельник на множники через дискримінант:
$3 a^{2} + a - 2 = 0$
$D = 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 1 + 24 = 25$
$a_{1} = \frac{- 1 + 5}{6} = \frac{2}{3}$
$a_{2} = \frac{- 1 - 5}{6} = - 1$
$3 a^{2} + a - 2 = 3 (a - \frac{2}{3}) (a + 1) = (3 a - 2) (a + 1)$

Знаменник розкладемо за формулою різниці квадратів:
$4 - 9 a^{2} = (2 - 3 a) (2 + 3 a) = - (3 a - 2) (3 a + 2)$

Скоротимо дріб:
$\frac{3 a ^{2} + a - 2}{4 - 9 a ^{2}} = \frac{( 3 a - 2 ) ( a + 1 )}{- ( 3 a - 2 ) ( 3 a + 2 )} = - \frac{a + 1}{3 a + 2}$

Відповідь: 1) $\frac{x - 2}{7}$ ; 2) $- \frac{2}{y + 1}$ ; 3) $- \frac{a + 1}{3 a + 2}$ .

8.28. Два екскаватори різних моделей вирили котлован за 8 год. Перший екскаватор, працюючи самостійно, може вирити такий котлован у 4 рази швидше, ніж другий. За скільки годин може вирити такий котлован кожний екскаватор, працюючи самостійно?

Дано:

$t_{спільно} = 8 год$
$t_{1} = x год$
$t_{2} = 4 x год$
Вся виконана робота $A = 1$ котлован

Знайти:

$t_{1} - ?$
$t_{2} - ?$

Розв’язання:
Нехай перший екскаватор, працюючи самостійно, може вирити котлован за $x год$ ( $x > 0$ ), тоді другому для цього знадобиться $4 x год$ .

За $1 год$ перший екскаватор виконує $\frac{1}{x}$ частину всієї роботи, а другий — $\frac{1}{4 x}$ частину роботи.

Працюючи разом, за $1 год$ вони виконують $\frac{1}{8}$ частину котловану.

Складемо рівняння:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{4 x} = \frac{1}{8}$

Зведемо дроби в лівій частині до спільного знаменника $4 x$ :

$\frac{4 + 1}{4 x} = \frac{1}{8}$

$\frac{5}{4 x} = \frac{1}{8}$

За основною властивістю пропорції:

$4 x = 5 \cdot 8$

$4 x = 40$

$x = 10$

Перший екскаватор може вирити котлован за $10 год$ , а другий:

$4 \cdot 10 = 40 (год)$

Відповідь: $10 год$ , $40 год .$

8. Властивості функції

Теги статті:

До уроку