7. Повторення та розширення відомостей про функцію

1. Що називають аргументом функції?

Аргументом функції називають незалежну змінну (зазвичай її позначають буквою $x$ ).

2. Що називають областю визначення функції?

Областю визначення функції називають множину всіх значень, яких набуває аргумент (незалежна змінна). Її позначають $D (f)$ або $D (y)$ .

3. Що називають областю значень функції?

Областю значень функції називають множину всіх значень, яких набуває залежна змінна (значення функції). Її позначають $E (f)$ або $E (y)$ .

4. Що треба вказати, щоб функція вважалася заданою?

Потрібно вказати її область визначення та правило, за яким для кожного значення незалежної змінної можна знайти єдине значення залежної змінної.

5. Які способи задання функції ви знаєте?

Функцію можна задати:

1) Описово (словами).

2) За допомогою формули (аналітично).

3) За допомогою таблиці.

4) Графічно.

ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

7.1.° Функцію задано формулою $f (x) = - 2 x^{2} + 5 x$ .

1) Знайдіть: $f (1)$ ; $f (0)$ ; $f (\frac{1}{2})$ ; $f (- 5)$ .

$f (1) = - 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 = - 2 + 5 = 3$

$f (0) = - 2 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 = 0$

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \cdot (\frac{1}{2})^{2} + 5 \cdot \frac{1}{2} = - 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$f (- 5) = - 2 \cdot (- 5)^{2} + 5 \cdot (- 5) = - 2 \cdot 25 - 25 = - 50 - 25 = - 75$

2) Знайдіть значення аргументу, при яких значення функції дорівнює: $0$ ; $2$ ; $- 3$ .

Якщо $f (x) = 0$ :
$- 2 x^{2} + 5 x = 0$
$x (- 2 x + 5) = 0$
$x = 0$ або $- 2 x + 5 = 0$
$x_{1} = 0$
$x_{2} = 2, 5$

Якщо $f (x) = 2$ :
$- 2 x^{2} + 5 x = 2$
$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$x_{1} = \frac{5 - 3}{4} = 0, 5$
$x_{2} = \frac{5 + 3}{4} = 2$

Якщо $f (x) = - 3$ :
$- 2 x^{2} + 5 x = - 3$
$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25 + 24 = 49$
$x_{1} = \frac{5 - 7}{4} = - 0, 5$
$x_{2} = \frac{5 + 7}{4} = 3$

3) Чи є правильною рівність: $f (- 1) = 7$ ; $f (4) = - 12$ ?

$f (- 1) = - 2 \cdot (- 1)^{2} + 5 \cdot (- 1) = - 2 - 5 = - 7 \neq = 7$ — рівність є неправильною.

$f (4) = - 2 \cdot 4^{2} + 5 \cdot 4 = - 32 + 20 = - 12$ — рівність є правильною.

7.2.° Функцію задано формулою $f (x) = 3 x - 2$ .

1) Знайдіть: $f (3)$ ; $f (0)$ ; $f (- 0, 2)$ ; $f (1, 6)$ .

$f (3) = 3 \cdot 3 - 2 = 9 - 2 = 7$

$f (0) = 3 \cdot 0 - 2 = - 2$

$f (- 0, 2) = 3 \cdot (- 0, 2) - 2 = - 0, 6 - 2 = - 2, 6$

$f (1, 6) = 3 \cdot 1, 6 - 2 = 4, 8 - 2 = 2, 8$

2) Знайдіть значення $x$ , при якому: $f (x) = 10$ ; $f (x) = - 6$ ; $f (x) = 0$ .

Якщо $f (x) = 10$ :
$3 x - 2 = 10$
$3 x = 12$
$x = 4$

Якщо $f (x) = - 6$ :
$3 x - 2 = - 6$
$3 x = - 4$
$x = - \frac{4}{3} = - 1 \frac{1}{3}$

Якщо $f (x) = 0$ :
$3 x - 2 = 0$
$3 x = 2$
$x = \frac{2}{3}$

7.3.° Кожному натуральному числу, більшому за 10, але меншому від 20, поставили у відповідність остачу при діленні цього числа на 5.

1) Яким способом задано цю функцію?

Описовим способом (словесним описом правила відповідності).

2) Яка область значень цієї функції?

Множина значень аргументу: ${11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}$ .
Остачі від ділення цих чисел на $5$ :
$11 = 5 \cdot 2 + 1$ (остача $1$ )
$12 = 5 \cdot 2 + 2$ (остача $2$ )
$13 = 5 \cdot 2 + 3$ (остача $3$ )
$14 = 5 \cdot 2 + 4$ (остача $4$ )
$15 = 5 \cdot 3 + 0$ (остача $0$ )
$16 = 5 \cdot 3 + 1$ (остача $1$ )
$17 = 5 \cdot 3 + 2$ (остача $2$ )
$18 = 5 \cdot 3 + 3$ (остача $3$ )
$19 = 5 \cdot 3 + 4$ (остача $4$ )
Область значень функції: ${0, 1, 2, 3, 4}$ .

3) Задайте цю функцію таблично.

$x$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$
$y$	$1$	$2$	$3$	$4$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

7.4.° Функцію задано формулою $y = 0, 4 x - 2$ . Заповніть таблицю відповідних значень $x$ і $y$ :

Покрокові обчислення невідомих значень:

якщо $x = 2$ , то $y = 0, 4 \cdot 2 - 2 = 0, 8 - 2 = - 1, 2$ ;
якщо $y = - 2$ , то $0, 4 x - 2 = - 2$ , звідки $0, 4 x = 0$ , отже $x = 0$ ;
якщо $x = - 2, 5$ , то $y = 0, 4 \cdot (- 2, 5) - 2 = - 1 - 2 = - 3$ ;
якщо $y = 0, 8$ , то $0, 4 x - 2 = 0, 8$ , звідки $0, 4 x = 2, 8$ , отже $x = 7$ .

$x$	$2$	$0$	$- 2, 5$	$7$
$y$	$- 1, 2$	$- 2$	$- 3$	$0, 8$

7.5.° Дано функцію $y = - \frac{16}{x}$ . Заповніть таблицю відповідних значень $x$ і $y$ :

Покрокові обчислення невідомих значень:

якщо $x = 2$ , то $y = - \frac{16}{2} = - 8$ ;
якщо $y = 0, 8$ , то $- \frac{16}{x} = 0, 8$ , звідки $x = - \frac{16}{0 , 8} = - 20$ ;
якщо $x = - 0, 4$ , то $y = - \frac{16}{- 0 , 4} = 40$ ;
якщо $y = - 32$ , то $- \frac{16}{x} = - 32$ , звідки $x = \frac{- 16}{- 32} = 0, 5$ .

$x$	$2$	$- 20$	$- 0, 4$	$0, 5$
$y$	$- 8$	$0, 8$	$40$	$- 32$

7.6.° На рисунку 7.1 зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на проміжку $[- 4; 5]$ . Користуючись графіком, знайдіть:

1) $f (- 3, 5)$ ; $f (- 2, 5)$ ; $f (- 1)$ ; $f (2)$ ;

За графіком (ціна однієї поділки сітки дорівнює $0, 5$ ):
$f (- 3, 5) = - 1$
$f (- 2, 5) = 2$
$f (- 1) = 0$
$f (2) = - 1$

2) значення $x$ , при яких $f (x) = - 2, 5$ ; $f (x) = - 2$ ; $f (x) = 0$ ; $f (x) = 2$ ;

$f (x) = - 2, 5$ при $x = 4, 5$
$f (x) = - 2$ при $x = - 4$ та $x = 3, 5$
$f (x) = 0$ при $x = - 3$ , $x = - 1$ та $x = 1, 5$
$f (x) = 2$ при $x = - 2, 5$ , $x = - 1, 5$ та $x = 0$

3) область значень функції.

Найменше значення функції дорівнює $- 2, 5$ , а найбільше — $3$ .
$E (f) = [- 2, 5; 3]$

7.7.° На рисунку 7.2 зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на проміжку $[- 4; 4]$ . Користуючись графіком, знайдіть:

1) $f (- 4)$ ; $f (- 1)$ ; $f (1)$ ; $f (2, 5)$ ;

За графіком:
$f (- 4) = - 1$
$f (- 1) = 1$
$f (1) = 1$
$f (2, 5) = - 0, 5$

2) значення $x$ , при яких $f (x) = - 1$ ; $f (x) = 0$ ; $f (x) = 1, 5$ ;

$f (x) = - 1$ при $x = - 4$ та $x = 2$
$f (x) = 0$ при $x = - 3, 5$ , $x = - 1, 5$ , $x = 1, 5$ та $x = 3$
$f (x) = 1, 5$ при $x = - 0, 5$ та $x = 0, 5$

3) область значень функції.

Найменше значення функції дорівнює $- 1$ , а найбільше — $2$ .
$E (f) = [- 1; 2]$

7.8.° Знайдіть область визначення функції:

1) $f (x) = 7 x - 15$ ;

Вираз має зміст при будь-якому значенні змінної:
$D (f) = (- \infty; + \infty)$ (або $R$ ).

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

2) $f (x) = \frac{8}{x + 5}$ ;

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x + 5 \neq = 0$
$x \neq = - 5$

Відповідь: $(- \infty; - 5) \cup (- 5; + \infty)$ .

3) $f (x) = \frac{x - 10}{6}$ ;

Знаменник не містить змінної, вираз має зміст при будь-якому $x$ :
$D (f) = (- \infty; + \infty)$ .

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

4) $f (x) = x - 9$ ;

Підкореневий вираз має бути невід’ємним:
$x - 9 \geq 0$
$x \geq 9$

Відповідь: $[9; + \infty)$ .

5) $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ ;

Підкореневий вираз у знаменнику має бути строго додатним:
$1 - x > 0$
$- x > - 1$
$x < 1$

Відповідь: $(- \infty; 1)$ .

6) $f (x) = \frac{10}{x ^{2} - 4}$ ;

Знаменник дробу не дорівнює нулю:
$x^{2} - 4 \neq = 0$
$(x - 2) (x + 2) \neq = 0$
$x \neq = 2$ і $x \neq = - 2$

Відповідь: $(- \infty; - 2) \cup (- 2; 2) \cup (2; + \infty)$ .

7) $f (x) = \frac{6 x + 11}{x ^{2} - 2 x}$ ;

Знаменник дробу не дорівнює нулю:
$x^{2} - 2 x \neq = 0$
$x (x - 2) \neq = 0$
$x \neq = 0$ і $x \neq = 2$

Відповідь: $(- \infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; + \infty)$ .

8) $f (x) = x + 6 + 4 - x$ .

Обидва підкореневі вирази мають бути невід’ємними:
${x + 6 \geq 0 4 - x \geq 0$

${x \geq - 6 - x \geq - 4$

${x \geq - 6 x \leq 4$

$x \in [- 6; 4]$

Відповідь: $[- 6; 4]$ .

7.9.° Знайдіть область визначення функції:

1) $f (x) = \frac{x + 3}{x - 4}$ ;

Знаменник дробу не дорівнює нулю:
$x - 4 \neq = 0$
$x \neq = 4$

Відповідь: $(- \infty; 4) \cup (4; + \infty)$ .

2) $f (x) = \frac{9}{x ^{2} + 16}$ ;

Для будь-якого дійсного числа $x$ значення виразу $x^{2} + 16 \geq 16 \neq = 0$ , отже знаменник ніколи не перетворюється на нуль:
$D (f) = (- \infty; + \infty)$ .

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

3) $f (x) = \frac{5 x + 1}{x ^{2} - 6 x + 8}$ ;

Знаменник дробу не дорівнює нулю:
$x^{2} - 6 x + 8 \neq = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} \neq = 2$
$x_{2} \neq = 4$

Відповідь: $(- \infty; 2) \cup (2; 4) \cup (4; + \infty)$ .

4) $f (x) = x - 1 + x - 3$ ;

Складемо й розв’яжемо систему нерівностей:
${x - 1 \geq 0 x - 3 \geq 0$

${x \geq 1 x \geq 3$

Спільним розв’язком є $x \geq 3$ .

Відповідь: $[3; + \infty)$ .

5) $f (x) = x - 5 + 5 - x$ ;

Складемо й розв’яжемо систему нерівностей:
${x - 5 \geq 0 5 - x \geq 0$

${x \geq 5 x \leq 5$

Єдине число, яке задовольняє обидві умови: $x = 5$ .

Відповідь: ${5}$ .

6) $f (x) = x^{2} + 1$ .

Для будь-якого дійсного значення $x$ виконується нерівність $x^{2} \geq 0$ , звідки $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ . Підкореневий вираз завжди додатний.

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

7.10.° Побудуйте графік функції:

1) $f (x) = - 2 x + 3$ ;

Графіком є пряма. Складемо таблицю значень для двох точок:

$x$	$0$	$2$
$y$	$3$	$- 1$

2) $f (x) = - \frac{1}{4} x$ ;

Графіком є пряма, що проходить через початок координат:

$x$	$0$	$4$
$y$	$0$	$- 1$

3) $f (x) = 3$ ;

Графіком є пряма, паралельна осі $O x$ , яка проходить через точку $(0; 3)$ .

4) $f (x) = - \frac{6}{x}$ .

Графіком є гіпербола з вітками у II та IV координатних чвертях ( $D (f) : x \neq = 0$ ).

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$1$	$2$	$3$	$6$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$

7.11.° Побудуйте графік функції:

1) $f (x) = 4 - \frac{1}{3} x$ ;

Графіком лінійної функції є пряма. Для її побудови знайдемо координати двох точок:

$x$	$0$	$6$
$y$	$4$	$2$

2) $f (x) = \frac{8}{x}$ .

Графіком функції є гіпербола, вітки якої розміщені в I і III координатних чвертях. Область визначення: $x \neq = 0$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 4$	$- 8$	$8$	$4$	$2$	$1$

7.12.° Знайдіть, не виконуючи побудови, точки перетину з осями координат графіка функції:

1) $f (x) = \frac{1}{6} x - 7$ ;

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = \frac{1}{6} \cdot 0 - 7 = - 7$
Точка $(0; - 7)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$\frac{1}{6} x - 7 = 0$
$\frac{1}{6} x = 7$
$x = 42$
Точка $(42; 0)$ .

Відповідь: $(42; 0)$ і $(0; - 7)$ .

2) $f (x) = \frac{20 + 4 x}{3 x - 5}$ ;

Область визначення: $3 x - 5 \neq = 0$ , тобто $x \neq = \frac{5}{3}$ .

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = \frac{20 + 4 \cdot 0}{3 \cdot 0 - 5} = \frac{20}{- 5} = - 4$
Точка $(0; - 4)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$\frac{20 + 4 x}{3 x - 5} = 0$
$20 + 4 x = 0$
$4 x = - 20$
$x = - 5$
Точка $(- 5; 0)$ .

Відповідь: $(- 5; 0)$ і $(0; - 4)$ .

3) $g (x) = 9 - x^{2}$ ;

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = 9 - 0^{2} = 9$
Точка $(0; 9)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$9 - x^{2} = 0$
$x^{2} = 9$
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 3$
Точки $(- 3; 0)$ і $(3; 0)$ .

Відповідь: $(- 3; 0)$ , $(3; 0)$ і $(0; 9)$ .

4) $φ (x) = x^{2} + 2 x - 3$ .

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 3 = - 3$
Точка $(0; - 3)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$x^{2} + 2 x - 3 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 1$
Точки $(- 3; 0)$ і $(1; 0)$ .

Відповідь: $(- 3; 0)$ , $(1; 0)$ і $(0; - 3)$ .

7.13.° Знайдіть, не виконуючи побудови, точки перетину з осями координат графіка функції:

1) $h (x) = 9 - 10 x$ ;

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = 9 - 10 \cdot 0 = 9$
Точка $(0; 9)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$9 - 10 x = 0$
$10 x = 9$
$x = 0, 9$
Точка $(0, 9; 0)$ .

Відповідь: $(0, 9; 0)$ і $(0; 9)$ .

2) $p (x) = 4 x^{2} + x - 3$ ;

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = 4 \cdot 0^{2} + 0 - 3 = - 3$
Точка $(0; - 3)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$4 x^{2} + x - 3 = 0$
$D = 1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3) = 1 + 48 = 49$
$x_{1} = \frac{- 1 - 7}{8} = - 1$
$x_{2} = \frac{- 1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = 0, 75$
Точки $(- 1; 0)$ і $(0, 75; 0)$ .

Відповідь: $(- 1; 0)$ , $(0, 75; 0)$ і $(0; - 3)$ .

3) $s (x) = \frac{x ^{2} - 2}{x ^{2} + 2}$ .

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = \frac{0 ^{2} - 2}{0 ^{2} + 2} = \frac{- 2}{2} = - 1$
Точка $(0; - 1)$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$\frac{x ^{2} - 2}{x ^{2} + 2} = 0$
Оскільки знаменник $x^{2} + 2 > 0$ при всіх $x$ :
$x^{2} - 2 = 0$
$x^{2} = 2$
$x_{1} = - 2$
$x_{2} = 2$
Точки $(- 2; 0)$ і $(2; 0)$ .

Відповідь: $(- 2; 0)$ , $(2; 0)$ і $(0; - 1)$ .

7.14.• Дано функцію $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 1, x^{2} - 5, 11, якщо x \leq - 1; якщо - 1 < x < 4; якщо x \geq 4.$ Знайдіть: 1) $f (- 3)$ ; 2) $f (- 1)$ ; 3) $f (2)$ ; 4) $f (6, 4)$ .

1) $f (- 3)$ ;

Число $- 3 \leq - 1$ , тому підставляємо значення у першу формулу:
$f (- 3) = 3 \cdot (- 3) - 1 = - 9 - 1 = - 10$

Відповідь: $- 10$ .

2) $f (- 1)$ ;

Число $- 1 \leq - 1$ , тому підставляємо значення у першу формулу:
$f (- 1) = 3 \cdot (- 1) - 1 = - 3 - 1 = - 4$

Відповідь: $- 4$ .

3) $f (2)$ ;

Число $2$ задовольняє умову $- 1 < 2 < 4$ , тому підставляємо значення у другу формулу:
$f (2) = 2^{2} - 5 = 4 - 5 = - 1$

Відповідь: $- 1$ .

4) $f (6, 4)$ .

Число $6, 4 \geq 4$ , тому значення функції є сталим:
$f (6, 4) = 11$

Відповідь: $11$ .

7.15.• Побудуйте графік функції $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 6, x^{2}, x, якщо x \leq - 3; якщо - 3 < x < 1; якщо x \geq 1.$

Графік функції складається з трьох частин:

1) Горизонтальний промінь прямої $y = 6$ для $x \leq - 3$ із зафарбованою кінцевою точкою $(- 3; 6)$ .

2) Частина параболи $y = x^{2}$ для $- 3 < x < 1$ . При $x = - 3$ точка $(- 3; 9)$ є виколотою; вершина параболи лежить у точці $(0; 0)$ ; проміжні точки: $(- 2; 4)$ , $(- 1; 1)$ .

3) Промінь прямої $y = x$ для $x \geq 1$ , що починається в зафарбованій точці $(1; 1)$ (у якій парабола неперервно з’єднується з прямою) і проходить через точку $(4; 4)$ .

7.16. Побудуйте графік функції $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - \frac{4}{x}, - x, x, якщо x < - 2; якщо - 2 \leq x \leq 0; якщо x > 0.$

Функція складається з трьох частин:

1) При $x < - 2$ : частина гіперболи $y = - \frac{4}{x}$ .
Складемо таблицю точок:

$x$	$- 4$	$- 2$
$y$	$1$	$2$ (точка виколота для цієї частини)

2) При $- 2 \leq x \leq 0$ : відрізок прямої $y = - x$ .
Складемо таблицю точок:

$x$	$- 2$	$0$
$y$	$2$	$0$

Точка $(- 2; 2)$ є спільною для першої та другої частин (графік неперервний у цій точці).

3) При $x > 0$ : частина вітки параболи $y = x$ .
Складемо таблицю точок:

$x$	$0$	$1$	$4$
$y$	$0$ (спільний початок)	$1$	$2$

Точка $(0; 0)$ є спільною для другої та третьої частин.

7.17. Знайдіть область визначення функції:

1) $f (x) = x - 2 + \frac{x + 2}{x - 5}$ ;

Вираз під знаком квадратного кореня має бути невід’ємним, а знаменник дробу — не дорівнювати нулю:

${x - 2 \geq 0 x - 5 \neq = 0$

${x \geq 2 x \neq = 5$

$x \in [2; 5) \cup (5; + \infty)$

Відповідь: $[2; 5) \cup (5; + \infty)$ .

2) $f (x) = \frac{x}{∣ x ∣ - 7}$ ;

Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:

$∣ x ∣ - 7 \neq = 0$

$∣ x ∣ \neq = 7$

$x \neq = 7$ і $x \neq = - 7$

$x \in (- \infty; - 7) \cup (- 7; 7) \cup (7; + \infty)$

Відповідь: $(- \infty; - 7) \cup (- 7; 7) \cup (7; + \infty)$ .

3) $f (x) = x + 3 + \frac{1}{x ^{2} - 9}$ ;

Підкореневий вираз має бути невід’ємним, а знаменник — відмінним від нуля:

${x + 3 \geq 0 x^{2} - 9 \neq = 0$

${x \geq - 3 (x - 3) (x + 3) \neq = 0$

$⎩ ⎨ ⎧ x \geq - 3 x \neq = 3 x \neq = - 3$

$x > - 3$ і $x \neq = 3$

$x \in (- 3; 3) \cup (3; + \infty)$

Відповідь: $(- 3; 3) \cup (3; + \infty)$ .

4) $f (x) = \frac{x - 4}{x + 2} + \frac{4 x - 3}{x ^{2} - 7 x + 6}$ .

Складемо систему умов:

$⎩ ⎨ ⎧ x - 4 \geq 0 x + 2 > 0 x^{2} - 7 x + 6 \neq = 0$

$⎩ ⎨ ⎧ x \geq 4 x > - 2 (x - 1) (x - 6) \neq = 0$

$⎩ ⎨ ⎧ x \geq 4 x \neq = 1 x \neq = 6$

Оскільки $x \geq 4$ , умова $x \neq = 1$ виконується автоматично. Залишається:

${x \geq 4 x \neq = 6$

$x \in [4; 6) \cup (6; + \infty)$

Відповідь: $[4; 6) \cup (6; + \infty)$ .

7.18. Знайдіть область визначення функції:

1) $f (x) = x + 4 + \frac{2}{x + 1}$ ;

${x + 4 \geq 0 x + 1 \neq = 0$

${x \geq - 4 x \neq = - 1$

$x \in [- 4; - 1) \cup (- 1; + \infty)$

Відповідь: $[- 4; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .

2) $f (x) = 8 - x + \frac{4}{x ^{2} - 8 x}$ .

${8 - x \geq 0 x^{2} - 8 x \neq = 0$

${x \leq 8 x (x - 8) \neq = 0$

$⎩ ⎨ ⎧ x \leq 8 x \neq = 0 x \neq = 8$

${x < 8 x \neq = 0$

$x \in (- \infty; 0) \cup (0; 8)$

Відповідь: $(- \infty; 0) \cup (0; 8)$ .

7.19. Знайдіть область значень функції:

1) $f (x) = x - 1$ ;

Оскільки $x \geq 0$ для всіх $x \geq 0$ , то:

$x - 1 \geq 0 - 1$

$x - 1 \geq - 1$

Отже, $E (f) = [- 1; + \infty)$ .

Відповідь: $[- 1; + \infty)$ .

2) $f (x) = 5 - x^{2}$ ;

Оскільки $x^{2} \geq 0$ для будь-якого $x \in R$ , то:

$- x^{2} \leq 0$

$5 - x^{2} \leq 5$

Отже, $E (f) = (- \infty; 5]$ .

Відповідь: $(- \infty; 5]$ .

3) $f (x) = - 7$ ;

Значення функції не залежить від аргументу і для будь-якого $x$ дорівнює $- 7$ .

Отже, $E (f) = {- 7}$ .

Відповідь: ${- 7}$ .

4) $f (x) = ∣ x ∣ + 2$ ;

Оскільки $∣ x ∣ \geq 0$ , то:

$∣ x ∣ + 2 \geq 2$

Отже, $E (f) = [2; + \infty)$ .

Відповідь: $[2; + \infty)$ .

5) $f (x) = - x^{2}$ ;

Підкореневий вираз має задовольняти нерівність $- x^{2} \geq 0$ , що можливо лише при $x = 0$ .

Область визначення складається з єдиного числа: $D (f) = {0}$ .

Обчислимо значення функції:

$f (0) = - 0^{2} = 0$

Отже, $E (f) = {0}$ .

Відповідь: ${0}$ .

6) $f (x) = x - 2 + 2 - x$ .

Знайдемо спочатку область визначення функції:

${x - 2 \geq 0 2 - x \geq 0$

${x \geq 2 x \leq 2$

$x = 2$

Область визначення складається з єдиного числа $x = 2$ .

Знайдемо значення функції:

$f (2) = 2 - 2 + 2 - 2 = 0$

Отже, $E (f) = {0}$ .

Відповідь: ${0}$ .

7.20. Знайдіть область значень функції:

1) $f (x) = x^{2} + 3$ ;

Оскільки $x^{2} \geq 0$ для всіх $x \in R$ , маємо:

$x^{2} + 3 \geq 3$

Отже, $E (f) = [3; + \infty)$ .

Відповідь: $[3; + \infty)$ .

2) $f (x) = 6 - x$ ;

Оскільки $x \geq 0$ для всіх $x \geq 0$ , маємо:

$- x \leq 0$

$6 - x \leq 6$

Отже, $E (f) = (- \infty; 6]$ .

Відповідь: $(- \infty; 6]$ .

3) $f (x) = x \cdot x$ .

Область визначення функції визначається умовою $x \geq 0$ .

При всіх $x \geq 0$ :

$x \cdot x = (x)^{2} = x$

Оскільки $x \geq 0$ , то значення функції можуть набувати будь-яких невід’ємних значень.

Отже, $E (f) = [0; + \infty)$ .

Відповідь: $[0; + \infty)$ .

7.21.

1) Задайте формулою яку-небудь функцію, областю визначення якої є множина дійсних чисел, крім чисел 1 і 2.

Знаменник дробу перетворюється на нуль при $x = 1$ та $x = 2$ :

$f (x) = \frac{1}{( x - 1 ) ( x - 2 )}$

2) Задайте формулою яку-небудь функцію, областю визначення якої є множина всіх чисел, не менших від 5.

Підкореневий вираз має бути невід’ємним при $x \geq 5$ :

$f (x) = x - 5$

3) Задайте формулою яку-небудь функцію, областю визначення якої є множина всіх чисел, не більших за 10, крім числа –1.

Підкореневий вираз визначає умову $x \leq 10$ , а знаменник виключає число $- 1$ :

$f (x) = \frac{10 - x}{x + 1}$

4) Задайте формулою яку-небудь функцію, областю визначення якої є множина, яка складається з одного числа –4.

Сума арифметичних квадратних коренів визначена лише тоді, коли обидва вирази під коренем одночасно невід’ємні: $x \geq - 4$ та $x \leq - 4$ , тобто тільки при $x = - 4$ :

$f (x) = x + 4 + - 4 - x$

7.22.

1) Задайте формулою яку-небудь функцію, областю визначення якої є множина дійсних чисел, крім чисел –4 і 4.

Знаменник не може дорівнювати нулю, тому $x^{2} - 16 \neq = 0$ :

$f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 16}$

2) Задайте формулою яку-небудь функцію, областю визначення якої є множина всіх чисел, не менших від 2, крім числа 4.

Арифметичний корінь у чисельнику дає умову $x \geq 2$ , а знаменник виключає число $4$ :

$f (x) = \frac{x - 2}{x - 4}$

7.23.

1) Як ви думаєте, чи існує функція, область визначення та область значень якої складається з одного числа?

Так, існує. Прикладом є функція $f (x) = x + - x$ . Її область визначення складається лише з числа $0$ ( $D (f) = {0}$ ), і значення функції при цьому дорівнює $0$ ( $E (f) = {0}$ ).

2) Як ви думаєте, чи існує функція, область визначення якої — множина дійсних чисел, а область значень складається лише з одного числа?

Так, існує. Це будь-яка стала функція вигляду $f (x) = c$ , наприклад $f (x) = 5$ . Її аргументом може бути будь-яке дійсне число ( $D (f) = (- \infty; + \infty)$ ), а значення функції завжди одне й те саме: $y = 5$ ( $E (f) = {5}$ ).

7.24.

1) Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік: $f (x) = \frac{x ^{2} - 16}{x + 4}$ .

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x + 4 \neq = 0$
$x \neq = - 4$
$D (f) = (- \infty; - 4) \cup (- 4; + \infty)$

Спростимо формулу функції для всіх значень $x$ з області визначення:

$f (x) = \frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x + 4} = x - 4, де x \neq = - 4$

Графіком є пряма $y = x - 4$ з виколотою точкою $(- 4; - 8)$ .

$x$	$0$	$4$
$y$	$- 4$	$0$

2) Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік: $f (x) = \frac{12 x - 72}{x ^{2} - 6 x}$ .

Знаменник не може дорівнювати нулю:
$x^{2} - 6 x \neq = 0$
$x (x - 6) \neq = 0$
$x \neq = 0$ та $x \neq = 6$
$D (f) = (- \infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; + \infty)$

Спростимо дріб:

$f (x) = \frac{12 ( x - 6 )}{x ( x - 6 )} = \frac{12}{x}, де x \neq = 0 та x \neq = 6$

Графіком є гіпербола $y = \frac{12}{x}$ з виколотою точкою $(6; 2)$ .

$x$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$- 2$	$- 3$	$- 4$	$- 6$	$6$	$4$	$3$	виколота $(2)$

3) Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік: $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 9}$ .

Знаменник не дорівнює нулю:
$x^{2} - 9 \neq = 0$
$x \neq = - 3$ та $x \neq = 3$
$D (f) = (- \infty; - 3) \cup (- 3; 3) \cup (3; + \infty)$

При всіх допустимих значеннях $x$ дріб дорівнює одиниці:

$f (x) = 1, де x \neq = - 3 та x \neq = 3$

Графіком є горизонтальна пряма $y = 1$ з двома виколотими точками $(- 3; 1)$ і $(3; 1)$ .

7.25.

1) Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік: $f (x) = \frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x + 2}$ .

Знаменник не може дорівнювати нулю:
$x + 2 \neq = 0$
$x \neq = - 2$
$D (f) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; + \infty)$

Згорнемо чисельник за формулою квадрата суми:

$f (x) = \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x + 2} = x + 2, де x \neq = - 2$

Графіком є пряма $y = x + 2$ з виколотою точкою $(- 2; 0)$ .

$x$	$0$	$2$
$y$	$2$	$4$

2) Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік: $f (x) = \frac{x ^{3}}{x}$ .

Знаменник не дорівнює нулю:
$x \neq = 0$
$D (f) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$

Скоротимо дріб:

$f (x) = x^{2}, де x \neq = 0$

Графіком є парабола $y = x^{2}$ з виколотим початком координат $(0; 0)$ .

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	виколота $(0)$	$1$	$4$	$9$

УЧИМОСЯ ЗАСТОСОВУВАТИ МАТЕМАТИКУ

7.26. Ціна двох шаф була однаковою. Ціну першої шафи спочатку підвищили на 20 %, а потім знизили на 10 %. Ціну другої шафи, навпаки, спочатку знизили на 10 %, а потім підвищили на 20 %. Ціна якої шафи стала більшою?

Нехай початкова ціна кожної шафи становила $x грн$ ( $x > 0$ ).

1) Ціна першої шафи після підвищення на $20%$ стала дорівнювати:
$x + 0, 2 x = 1, 2 x (грн)$
Після наступного зниження на $10%$ вона склала:
$1, 2 x - 0, 1 \cdot 1, 2 x = 1, 2 x \cdot 0, 9 = 1, 08 x (грн)$

2) Ціна другої шафи після зниження на $10%$ стала дорівнювати:
$x - 0, 1 x = 0, 9 x (грн)$
Після наступного підвищення на $20%$ вона склала:
$0, 9 x + 0, 2 \cdot 0, 9 x = 0, 9 x \cdot 1, 2 = 1, 08 x (грн)$

Оскільки $1, 08 x = 1, 08 x$ , кінцеві ціни обох шаф виявилися рівними.

Відповідь: ціни шаф стали однаковими.

7.27. До розчину масою 200 г, який містив 12 % солі, додали 20 г солі. Яким став відсотковий вміст солі в новому розчині?

Дано:

$m_{1} = 200 г$ — початкова маса розчину
$ω_{1} = 12%$ — початкова концентрація солі
$m_{солі_дод} = 20 г$ — маса доданої солі

Знайти:

$ω_{2} - ?$

Розв’язання:

1) Знайдемо масу чистої солі в початковому розчині:
$m_{солі} = 200 \cdot 0, 12 = 24 (г)$

2) Знайдемо масу солі в новому розчині:
$24 + 20 = 44 (г)$

3) Знайдемо загальну масу нового розчину:
$200 + 20 = 220 (г)$

4) Обчислимо відсотковий вміст солі в утвореному розчині:
$ω_{2} = \frac{44}{220} \cdot 100% = \frac{1}{5} \cdot 100% = 20%$

Відповідь: $20%$ .

7.28. У саду ростуть яблуні та вишні, причому вишні становлять 20 % усіх дерев. Скільки відсотків становить кількість яблунь від кількості вишень?

1) Усі дерева в саду становлять $100%$ . Тоді частка яблунь дорівнює:
$100% - 20% = 80%$

2) Знайдемо, скільки відсотків становить кількість яблунь від кількості вишень:
$\frac{80%}{20%} \cdot 100% = 4 \cdot 100% = 400%$

Відповідь: $400%$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

7.29. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1) $x^{2} - x - 12$
Знайдемо корені тричлена за теоремою Вієта:
$x_{1} + x_{2} = 1$
$x_{1} \cdot x_{2} = - 12$
Звідси:
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 4$
Розклад має вигляд:
$x^{2} - x - 12 = (x + 3) (x - 4)$

2) $- x^{2} + 2 x + 35$
Розв’яжемо рівняння $- x^{2} + 2 x + 35 = 0$ :
$x^{2} - 2 x - 35 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 5$
$x_{2} = 7$
Розклад має вигляд:
$- x^{2} + 2 x + 35 = - (x + 5) (x - 7) = (7 - x) (x + 5)$

3) $6 x^{2} + 11 x - 2$
Розв’яжемо рівняння $6 x^{2} + 11 x - 2 = 0$ :
$D = 1 1^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 2) = 121 + 48 = 169 = 1 3^{2}$
$x_{1} = \frac{- 11 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{- 24}{12} = - 2$
$x_{2} = \frac{- 11 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
Розклад має вигляд:
$6 x^{2} + 11 x - 2 = 6 (x + 2) (x - \frac{1}{6}) = (x + 2) (6 x - 1)$

4) $\frac{2}{3} x^{2} + 3 x - 6$
Розв’яжемо рівняння $\frac{2}{3} x^{2} + 3 x - 6 = 0$ :
Помножимо обидві частини на $3$ :
$2 x^{2} + 9 x - 18 = 0$
$D = 9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18) = 81 + 144 = 225 = 1 5^{2}$
$x_{1} = \frac{- 9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{- 24}{4} = - 6$
$x_{2} = \frac{- 9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1, 5$
Розклад має вигляд:
$\frac{2}{3} x^{2} + 3 x - 6 = \frac{2}{3} (x + 6) (x - \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} (x + 6) (2 x - 3)$

Відповідь:

1) $(x + 3) (x - 4)$ ;

2) $- (x + 5) (x - 7)$ ;

3) $(x + 2) (6 x - 1)$ ;

4) $\frac{1}{3} (x + 6) (2 x - 3)$ .

7.30. Відстань між містами A і B становить 120 км. Через 2 год після виїзду з міста A вантажний автомобіль затримався біля залізничного переїзду на 6 хв. Щоби прибути в місто B у запланований час, він збільшив швидкість на 12 км/год. З якою швидкістю рухався автомобіль після затримки?

Дано:

$S = 120 км$
$t_{1} = 2 год$ — час руху до затримки
$t_{затримки} = 6 хв = \frac{6}{60} год = \frac{1}{10} год$
$v_{2} = v_{1} + 12 км / год$ — швидкість після затримки

Знайти:

$v_{2} - ?$

Розв’язання:
Нехай початкова швидкість вантажного автомобіля становила $x км / год$ ( $x > 0$ ).

За перші $2 год$ автомобіль проїхав $2 x км$ .

Залишок шляху дорівнює:
$120 - 2 x (км)$

За графіком цей залишок шляху автомобіль мав подолати за $\frac{120 - 2 x}{x} год$ .

Після затримки швидкість автомобіля склала $(x + 12) км / год$ , тому фактично залишок шляху він проїхав за $\frac{120 - 2 x}{x + 12} год$ .

Оскільки затримка становила $6 хв = \frac{1}{10} год$ , складаємо рівняння:

$\frac{120 - 2 x}{x} - \frac{120 - 2 x}{x + 12} = \frac{1}{10}$

Винесемо спільний множник $(120 - 2 x)$ :

$(120 - 2 x) \cdot (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 12}) = \frac{1}{10}$

$(120 - 2 x) \cdot \frac{x + 12 - x}{x ( x + 12 )} = \frac{1}{10}$

$\frac{12 ( 120 - 2 x )}{x ( x + 12 )} = \frac{1}{10}$

За основною властивістю пропорції:
$x (x + 12) = 120 (120 - 2 x)$
$x^{2} + 12 x = 14400 - 240 x$
$x^{2} + 252 x - 14400 = 0$

Знайдемо корені через дискримінант:
$D_{1} = (\frac{252}{2})^{2} - (- 14400) = 12 6^{2} + 14400 = 15876 + 14400 = 30276 = 17 4^{2}$
$x_{1} = - 126 - 174 = - 300$ (не задовольняє умову задачі, бо $x > 0$ )
$x_{2} = - 126 + 174 = 48$

Отже, запланована початкова швидкість становила $48 км / год$ .

Знайдемо швидкість автомобіля після затримки:
$v_{2} = 48 + 12 = 60 (км / год)$

Відповідь: $60 км / год$ .

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

7.31. Натуральне число $n$ має рівно 100 різних натуральних дільників (включаючи 1 і $n$ ). Знайдіть їхній добуток.

Позначимо всі дільники числа $n$ у порядку зростання:
$d_{1}, d_{2}, d_{3}, \dots, d_{100}$ , де $d_{1} = 1$ , а $d_{100} = n$ .

Усі натуральні дільники будь-якого числа розбиваються на пари, добуток у кожній з яких дорівнює самому числу $n$ :
$d_{1} \cdot d_{100} = n$
$d_{2} \cdot d_{99} = n$
$d_{3} \cdot d_{98} = n$
$\dots$
$d_{50} \cdot d_{51} = n$

Оскільки число $n$ має $100$ різних дільників, утворюється рівно $50$ таких пар:

$100 : 2 = 50 пар$

Добуток усіх $100$ дільників дорівнює добутку цих $50$ пар:

$P = (d_{1} \cdot d_{100}) \cdot (d_{2} \cdot d_{99}) \cdot \dots \cdot (d_{50} \cdot d_{51}) = 50 множників n \cdot n \cdot \dots \cdot n = n^{50}$

Відповідь: $n^{50}$ .

7. Повторення та розширення відомостей про функцію

Теги статті:

До уроку