6. Системи лінійних нерівностей з однією змінною

Назад до змісту

1. Що називають областю визначення виразу?

Областю визначення виразу називають множину всіх допустимих значень змінної, тобто всіх значень змінної, при яких цей вираз має зміст.

2. У яких випадках говорять, що треба розв’язати систему нерівностей?

Якщо треба знайти всі спільні розв’язки двох або кількох нерівностей, то говорять, що треба розв’язати систему нерівностей.

3. Що називають розв’язком системи нерівностей з однією змінною?

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює кожну нерівність системи в правильну числову нерівність.

4. Що означає розв’язати систему нерівностей?

Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає (тобто знайти множину її розв’язків).

ВПРАВИ

6.1.° Які із чисел $-6$, $-5$, $0$, $2$, $4$ є розв’язками системи нерівностей:

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

З першої нерівності:

$x-2<0$

$x<2$

З другої нерівності (поділимо обидві частини на $-2$, змінивши знак нерівності на протилежний):

$-2x\le 10$

$x\ge -5$

Отримуємо систему:

Множиною розв’язків даної системи є числовий проміжок $[-5;2)$, тобто подвійна нерівність:

$-5\le x<2$

Зобразимо множину розв’язків на координатній прямій:

Перевіримо задані числа на належність проміжку $[-5;2)$:

• Число $-6$: $-6<-5$, отже, не належить проміжку.

• Число $-5$: $-5\le -5<2$, отже, належить проміжку (перетворює обидві нерівності у правильні: $-5-2=-7<0$ та $-2\cdot (-5)=10\le 10$).

• Число $0$: $-5\le 0<2$, отже, належить проміжку (перетворює обидві нерівності у правильні: $0-2=-2<0$ та $-2\cdot 0=0\le 10$).

• Число $2$: нерівність $2<2$ хибна, отже, не належить проміжку.

• Число $4$: нерівність $4<2$ хибна, отже, не належить проміжку.

Відповідь: розв’язками системи є числа $-5$ і $0$.

6.2.° Розв’язком якої із систем нерівностей є число $-3$:

1) $\{\begin{array}{l}x\ge -3,\\ x\ge 6;\end{array}$

2) $\{\begin{array}{l}x<-4,\\ x<8;\end{array}$

3) $\{\begin{array}{l}x>-4,\\ x<8;\end{array}$

4) $\{\begin{array}{l}x+1>-1,\\ x-2<0\text{?}\end{array}$

Підставимо значення $x=-3$ у кожну із систем нерівностей і перевіримо правильність числових нерівностей:

1) Для системи нерівностей:

Перша нерівність є правильною ($-3\ge -3$), а друга — неправильною ($-3\ge 6$). Отже, число $-3$ не є розв’язком даної системи.

2) Для системи нерівностей:

Перша нерівність є неправильною ($-3<-4$), друга — правильною ($-3<8$). Отже, число $-3$ не є розв’язком даної системи.

3) Для системи нерівностей:

Обидві нерівності є правильними ($-3>-4$ та $-3<8$). Отже, число $-3$ є розв’язком цієї системи.

4) Для системи нерівностей:

Перша нерівність є неправильною ($-2>-1$), друга — правильною ($-5<0$). Отже, число $-3$ не є розв’язком даної системи.

Відповідь: 3) $\{\begin{array}{l}x>-4,\\ x<8.\end{array}$

6.3.° Зобразіть на координатній прямій проміжок:
1) $(-3;4)$;
2) $[-3;4]$;
3) $[-3;4)$;
4) $(-3;4]$.

1) Проміжок $(-3;4)$ — інтервал (обидва кінці не належать проміжку, точки виколоті):

2) Проміжок $[-3;4]$ — відрізок (обидва кінці належать проміжку, точки зафарбовані):

3) Проміжок $[-3;4)$ — півінтервал (лівий кінець належить проміжку, правий — не належить):

4) Проміжок $(-3;4]$ — півінтервал (лівий кінець не належить проміжку, правий — належить):

№ 6.4. Зобразіть на координатній прямій проміжок:

1) $[-2;1]$;

2) $(0;2)$;

3) $(-5;6]$;

4) $[-7;-1)$.

1) Проміжок $[-2;1]$:

2) Проміжок $(0;2)$:

3) Проміжок $(-5;6]$:

4) Проміжок $[-7;-1)$:

6.5. Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задано нерівністю:

1) $0<x<5$;

2) $0,2\le x<102$;

3) $-2,4\le x\le -1$.

1) Нерівність $0<x<5$ задає інтервал $(0;5)$.

Відповідь: $(0;5)$.

2) Нерівність $0,2\le x<102$ задає півінтервал $[0,2;102)$.

Відповідь: $[0,2;102)$.

3) Нерівність $-2,4\le x\le -1$ задає відрізок $[-2,4;-1]$.

Відповідь: $[-2,4;-1]$.

6.6.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задано нерівністю:

1) $1\le x\le 3$;

2) $6<x\le 7$;

3) $-0,3<x<0,5$.

1) Нерівність $1\le x\le 3$ задає відрізок $[1;3]$.

Відповідь: $[1;3]$.

2) Нерівність $6<x\le 7$ задає півінтервал $(6;7]$.

Відповідь: $(6;7]$.

3) Нерівність $-0,3<x<0,5$ задає інтервал $(-0,3;0,5)$.

Відповідь: $(-0,3;0,5)$.

6.7.° Запишіть усі цілі числа, які належать проміжку:
1) $[3;7]$;
2) $(2,9;6]$;
3) $[-5,2;1)$;
4) $(-2;2)$.

1) Проміжок $[3;7]$ містить кінці відрізка. Цілі числа, що належать цьому проміжку: $3,4,5,6,7$.

2) Проміжок $(2,9;6]$ не містить число $2,9$, але містить число $6$. Найменшим цілим числом, більшим за $2,9$, є $3$. Цілі числа, що належать цьому проміжку: $3,4,5,6$.

3) Проміжок $[-5,2;1)$ містить числа від $-5,2$ включно до $1$ (не включаючи $1$). Цілі числа, що належать цьому проміжку: $-5,-4,-3,-2,-1,0$.

4) Інтервал $(-2;2)$ не містить кінці $-2$ та $2$. Цілі числа, що належать цьому проміжку: $-1,0,1$.

Відповідь:

1) $3,4,5,6,7$;

2) $3,4,5,6$;

3) $-5,-4,-3,-2,-1,0$;

4) $-1,0,1$.

6.8.° Укажіть найменше і найбільше цілі числа, які належать проміжку:

1) $[-12;-6]$;

2) $(5;11]$;

3) $(-10,8;1,6]$;

4) $[-7,8;-2,9]$.

1) Відрізок $[-12;-6]$: найменше ціле число дорівнює $-12$, найбільше ціле число дорівнює $-6$.

2) Проміжок $(5;11]$: число $5$ не належить проміжку, тому найменше ціле число дорівнює $6$; число $11$ належить проміжку, тому найбільше ціле число дорівнює $11$.

3) Проміжок $(-10,8;1,6]$: найменше ціле число, більше за $-10,8$, дорівнює $-10$; найбільше ціле число, що не перевищує $1,6$, дорівнює $1$.

4) Відрізок $[-7,8;-2,9]$: найменше ціле число, більше або рівне $-7,8$, дорівнює $-7$; найбільше ціле число, менше або рівне $-2,9$, дорівнює $-3$.

Відповідь:

1) найменше: $-12$, найбільше: $-6$;

2) найменше: $6$, найбільше: $11$;

3) найменше: $-10$, найбільше: $1$;

4) найменше: $-7$, найбільше: $-3$.

6.9.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть перетин проміжків:
1) $[-1;7]$ і $[4;9]$;
2) $[3;6]$ і $(3;8)$;
3) $(-\infty ;3,4)$ і $(2,5;+\infty )$;
4) $(-\infty ;2,6)$ і $(2,8;+\infty )$;
5) $[9;+\infty )$ і $[11,5;+\infty )$;
6) $(-\infty ;-4,2]$ і $(-\infty ;-1,3)$.

1) $[-1;7]\cap [4;9]=[4;7]$

2) $[3;6]\cap (3;8)=(3;6]$

3) $(-\infty ;3,4)\cap (2,5;+\infty )=(2,5;3,4)$

4) $(-\infty ;2,6)\cap (2,8;+\infty )=\varnothing$

5) $[9;+\infty )\cap [11,5;+\infty )=[11,5;+\infty )$

6) $(-\infty ;-4,2]\cap (-\infty ;-1,3)=(-\infty ;-4,2]$

Відповідь:

1) $[4;7]$;

2) $(3;6]$;

3) $(2,5;3,4)$;

4) $\varnothing$;

5) $[11,5;+\infty )$;

6) $(-\infty ;-4,2]$.

6.10.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть перетин проміжків:

1) $[-2;3)$ і $[-4;1)$;

2) $(-\infty ;5]$ і $(2;6)$;

3) $(10;+\infty )$ і $(12;+\infty )$;

4) $(-\infty ;8)$ і $(4;+\infty )$.

1) $[-2;3)\cap [-4;1)=[-2;1)$

2) $(-\infty ;5]\cap (2;6)=(2;5]$

3) $(10;+\infty )\cap (12;+\infty )=(12;+\infty )$

4) $(-\infty ;8)\cap (4;+\infty )=(4;8)$

Відповідь:

1) $[-2;1)$;

2) $(2;5]$;

3) $(12;+\infty )$;

4) $(4;8)$.

6.11.° Укажіть на рисунку 6.7 зображення множини розв’язків системи нерівностей $\{\begin{array}{l}x>-1\\ x\le 6\end{array}$

Розв’язком нерівності $x>-1$ є числовий проміжок $(-1;+\infty )$ (на координатній прямій точка $-1$ виколота, штриховка праворуч від $-1$).

Розв’язком нерівності $x\le 6$ є числовий проміжок $(-\infty ;6]$ (на координатній прямій точка $6$ зафарбована, штриховка ліворуч від $6$).

Множиною розв’язків системи є перетин даних проміжків:

$(-1;+\infty )\cap (-\infty ;6]=(-1;6]$

На рисунку 6.7 цьому відповідає варіант в, де точка $-1$ виколота, точка $6$ зафарбована, а штриховка показує спільну частину між ними.

Відповідь: рисунок 6.7, в.

6.12.° Укажіть на рисунку 6.8 зображення множини розв’язків подвійної нерівності $-4\le x\le 2$.

Подвійна нерівність $-4\le x\le 2$ задає числовий відрізок $[-4;2]$.

На координатній прямій обидва кінці проміжку позначаються зафарбованими точками, оскільки знаки нерівності є нестрогими ($\le$), а розв’язки знаходяться між ними (включаючи самі точки). Цьому опису відповідає рисунок під літерою б.

Відповідь: б.

6.13.° Який із наведених проміжків є множиною розв’язків системи нерівностей $\{\begin{array}{l}x>-1,\\ x>2\text{:}\end{array}$ 1) $(-\infty ;-1)$; 2) $(-1;2)$; 3) $(2;+\infty )$; 4) $(-1;+\infty )$?

Розв’язком першої нерівності $x>-1$ є проміжок $(-1;+\infty )$.

Розв’язком другої нерівності $x>2$ є проміжок $(2;+\infty )$.

Знайдемо перетин цих числових проміжків:

$(-1;+\infty )\cap (2;+\infty )=(2;+\infty )$

Відповідь: 3) $(2;+\infty )$.

6.14. Зобразіть на координатній прямій і запишіть множину розв’язків системи нерівностей:

1) Розв’яжемо систему нерівностей:

Перетином проміжків $(-\infty ;2]$ та $(-\infty ;-1]$ є проміжок $(-\infty ;-1]$.

Відповідь: $(-\infty ;-1]$.

2) Розв’яжемо систему нерівностей:

Перетином проміжків $(-\infty ;2]$ та $(-1;+\infty )$ є проміжок $(-1;2]$.

Відповідь: $(-1;2]$.

3) Розв’яжемо систему нерівностей:

Перетином проміжків $(-\infty ;2)$ та $[-1;+\infty )$ є проміжок $[-1;2)$.

Відповідь: $[-1;2)$.

4) Розв’яжемо систему нерівностей:

Перетином проміжків $(-\infty ;2]$ та $(-\infty ;-1)$ є проміжок $(-\infty ;-1)$.

Відповідь: $(-\infty ;-1)$.

5) Розв’яжемо систему нерівностей:

Перетином проміжків $(2;+\infty )$ та $[-1;+\infty )$ є проміжок $(2;+\infty )$.

Відповідь: $(2;+\infty )$.

6) Розв’яжемо систему нерівностей:

Проміжки $(2;+\infty )$ та $(-\infty ;-1]$ не мають спільних точок, тому система не має розв’язків.

Відповідь: $\varnothing$.

7) Розв’яжемо систему нерівностей:

Єдиним спільним значенням обох нерівностей є число $2$.

Відповідь: $\{2\}$.

8) Розв’яжемо систему нерівностей:

Проміжки $[2;+\infty )$ та $(-\infty ;2)$ не перетинаються, оскільки число $2$ не належить другому проміжку.

Відповідь: $\varnothing$.

6.15.° Розв’яжіть систему нерівностей:

1) Для системи нерівностей:

Розв’яжемо кожну нерівність:

Перетином проміжків $(-\infty ;4)$ та $[-3;+\infty )$ є числовий проміжок $[-3;4)$.

Відповідь: $[-3;4)$.

2) Для системи нерівностей:

Розв’яжемо кожну нерівність:

Перетином проміжків $(5;+\infty )$ та $(4;+\infty )$ є числовий проміжок $(5;+\infty )$.

Відповідь: $(5;+\infty )$.

3) Для системи нерівностей:

Розв’яжемо кожну нерівність:

Перетином проміжків $[-0,5;+\infty )$ та $(0;+\infty )$ є числовий проміжок $(0;+\infty )$.

Відповідь: $(0;+\infty )$.

4) Для системи нерівностей:

Розв’яжемо кожну нерівність:

Перетином проміжків $(-1,5;+\infty )$ та $(-\infty ;4]$ є числовий проміжок $(-1,5;4]$.

Відповідь: $(-1,5;4]$.

5) Для системи нерівностей:

Розв’яжемо кожну нерівність:

Перетином проміжків $(-\infty ;2,5]$ та $(-\infty ;-1)$ є числовий проміжок $(-\infty ;-1)$.

Відповідь: $(-\infty ;-1)$.

6) Для системи нерівностей:

Розв’яжемо кожну нерівність:

Оскільки проміжки $[20;+\infty )$ та $(-\infty ;3)$ не мають спільних точок, система не має розв’язків.

Відповідь: $\varnothing$.

6.16.° Розв’яжіть систему нерівностей:

1) Розв’яжемо систему нерівностей:

Перетином проміжків $[3;+\infty )$ та $(4;+\infty )$ є числовий проміжок $(4;+\infty )$.

Відповідь: $(4;+\infty )$.

2) Розв’яжемо систему нерівностей:

Перетином проміжків $(-\infty ;3]$ та $(-\infty ;9]$ є числовий проміжок $(-\infty ;3]$.

Відповідь: $(-\infty ;3]$.

3) Розв’яжемо систему нерівностей:

Перетином проміжків $(-1,5;+\infty )$ та $(-\infty ;5)$ є числовий проміжок $(-1,5;5)$.

Відповідь: $(-1,5;5)$.

4) Розв’яжемо систему нерівностей:

Перетином проміжків $(2;+\infty )$ та $[3;+\infty )$ є числовий проміжок $[3;+\infty )$.

Відповідь: $[3;+\infty )$.

6.17.° Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $-3<x-4<7$;

2) $-2,4\le 3x+0,6\le 3$;

3) $0,8\le 6-2x<1,4$;

4) $4<\frac{x}{5}-2\le 5$.
Як ви думаєте, скількома способами можна розв’язати кожну із цих нерівностей? Обговоріть це питання у класі.

1) Для нерівності $-3<x-4<7$ додамо до кожної частини нерівності число $4$:

$-3+4<x<7+4$

$1<x<11$

Множиною розв’язків є інтервал $(1;11)$.

2) Для нерівності $-2,4\le 3x+0,6\le 3$ віднімемо від кожної частини нерівності число $0,6$:

$-2,4-0,6\le 3x\le 3-0,6$

$-3\le 3x\le 2,4$

Поділимо всі частини нерівності на $3$:

$-1\le x\le 0,8$

Множиною розв’язків є відрізок $[-1;0,8]$.

3) Для нерівності $0,8\le 6-2x<1,4$ віднімемо від кожної частини нерівності число $6$:

$0,8-6\le -2x<1,4-6$

$-5,2\le -2x<-4,6$

Поділимо всі частини нерівності на $-2$, змінюючи знаки нерівностей на протилежні:

$2,6\ge x>2,3$

$2,3<x\le 2,6$

Множиною розв’язків є напівінтервал $(2,3;2,6]$.

4) Для нерівності $4<\frac{x}{5}-2\le 5$ додамо до кожної частини нерівності число $2$:

$4+2<\frac{x}{5}\le 5+2$

$6<\frac{x}{5}\le 7$

Помножимо всі частини нерівності на $5$:

$30<x\le 35$

Множиною розв’язків є напівінтервал $(30;35]$.

Кожну з цих подвійних нерівностей можна розв’язати двома способами:
— За допомогою рівносильних перетворень безпосередньо подвійної нерівності (використовуючи властивості числових нерівностей одночасно для трьох частин).
— Шляхом переходу до рівносильної системи двох лінійних нерівностей з однією змінною та знаходження перетину їхніх множин розв’язків.

Відповідь:

1) $(1;11)$;

2) $[-1;0,8]$;

3) $(2,3;2,6]$;

4) $(30;35]$;
Нерівності можна розв’язати двома способами (шляхом прямого перетворення подвійної нерівності або зведенням до системи лінійних нерівностей).

6.18.° Розв’яжіть нерівність:
1) $2<x+10\le 14$;
2) $10<4x-2<18$;
3) $-1,8\le 1-7x\le 36$;
4) $1\le \frac{x+1}{4}<1,5$.

1) $2<x+10\le 14$

Віднімемо $10$ від усіх частин нерівності:

$2-10<x\le 14-10$

$-8<x\le 4$

$x\in (-8;4]$

2) $10<4x-2<18$

Додамо $2$ до усіх частин нерівності:

$10+2<4x<18+2$

$12<4x<20$

Поділимо всі частини на $4$:

$3<x<5$

$x\in (3;5)$

3) $-1,8\le 1-7x\le 36$

Віднімемо $1$ від усіх частин нерівності:

$-1,8-1\le -7x\le 36-1$

$-2,8\le -7x\le 35$

Поділимо всі частини на $-7$, змінивши знаки нерівностей:

$0,4\ge x\ge -5$

$-5\le x\le 0,4$

$x\in [-5;0,4]$

4) $1\le \frac{x+1}{4}<1,5$

Помножимо всі частини нерівності на $4$:

$4\le x+1<6$

Віднімемо $1$ від усіх частин:

$3\le x<5$

$x\in [3;5)$

Відповідь:

1) $(-8;4]$;

2) $(3;5)$;

3) $[-5;0,4]$;

4) $[3;5)$.

6.19. Скільки цілих розв’язків має система нерівностей:

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

1) Розв’яжемо першу нерівність:

$-2x\ge -15$

$x\le \frac{-15}{-2}$

$x\le 7,5$

2) Розв’яжемо другу нерівність:

$3x>-10$

$x>-\frac{10}{3}$

$x>-3\frac{1}{3}$

Маємо систему:

Спільним розв’язком системи є числовий проміжок:

$x\in \left(-3\frac{1}{3};7,5\right]$

Знайдемо цілі числа, які належать цьому проміжку:

$-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7$

Підрахуємо кількість цілих чисел:

$7-(-3)+1=11$

Відповідь: 11 цілих розв’язків.

6.20.• Знайдіть суму цілих розв’язків системи нерівностей $\{\begin{array}{l}x+8\ge 4,\\ 5x+1\le 9.\end{array}$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

1) $x+8\ge 4$

$x\ge 4-8$

$x\ge -4$

2) $5x+1\le 9$

$5x\le 9-1$

$5x\le 8$

$x\le 1,6$

Маємо систему:

Множина розв’язків системи:

$x\in [-4;1,6]$

Цілими розв’язками системи є числа: $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$.

Обчислимо суму цих чисел:

$(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1=-9$

Відповідь: $-9$.

6.21.• Скільки цілих розв’язків має нерівність $-3\le 7x-5<16$?

Додамо $5$ до всіх частин нерівності:

$-3+5\le 7x<16+5$

$2\le 7x<21$

Поділимо всі частини нерівності на $7$:

$\frac{2}{7}\le x<3$

Множина розв’язків нерівності:

$x\in \left[\frac{2}{7};3\right)$

Оскільки $0<\frac{2}{7}<1$, то цілими числами з проміжку $\left[\frac{2}{7};3\right)$ є тільки числа $1$ та $2$.

Кількість цілих розв’язків дорівнює $2$.

Відповідь: 2 цілих розв’язки.

6.22.• Знайдіть найменший цілий розв’язок системи нерівностей

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

1) $x+8\ge 17$

$x\ge 17-8$

$x\ge 9$

2) $\frac{x}{2}>4,5$

Помножимо обидві частини нерівності на $2$:

$x>4,5\cdot 2$

$x>9$

Отримуємо рівносильну систему:

Знайдемо перетин числових проміжків $[9;+\infty )$ та $(9;+\infty )$:

$x\in (9;+\infty )$

Цілими розв’язками нерівності $x>9$ є числа $10,11,12,\dots$. Найменшим серед них є число $10$.

Відповідь: $10$.

6.23.• Знайдіть найбільший цілий розв’язок системи нерівностей:

1) Розв’яжемо першу нерівність системи:

$2x+1<-4$

$2x<-4-1$

$2x<-5$

$x<-2,5$

2) Розв’яжемо другу нерівність системи:

$3x-6\le -12$

$3x\le -12+6$

$3x\le -6$

$x\le -2$

Отримуємо систему:

Звідси маємо:

$x\in (-\infty ;-2,5)$

Цілими розв’язками системи є числа $-3,-4,-5,\dots$, серед яких найбільшим є $-3$.

Відповідь: $-3$.

6.24. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) Розв’яжемо систему:

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

Розкриємо дужки у першій нерівності:

$16-8x-2x>3$

$16-10x>3$

$-10x>3-16$

$-10x>-13$

$x<1,3$

Розкриємо дужки у другій нерівності:

$-18x+3-x<2x$

$-19x+3<2x$

$-19x-2x<-3$

$-21x<-3$

$x>\frac{1}{7}$

Отримуємо систему:

Множиною розв’язків є перетин проміжків:

$x\in \left(\frac{1}{7};1,3\right)$

Відповідь: $\left(\frac{1}{7};1,3\right)$.

2) Розв’яжемо систему:

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

Помножимо обидві частини першої нерівності на спільний знаменник $12$:

$3(x+1)-4(2x+3)>12$

$3x+3-8x-12>12$

$-5x-9>12$

$-5x>21$

$x<-4,2$

Розкриємо дужки у другій нерівності:

$12x-6<5x-20-7$

$12x-5x<-27+6$

$7x<-21$

$x<-3$

Отримуємо систему:

Множиною розв’язків є перетин проміжків:

$x\in (-\infty ;-4,2)$

Відповідь: $(-\infty ;-4,2)$.

3) Розв’яжемо систему:

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

Розкриємо дужки у першій нерівності:

$2x+22\ge 18-3x$

$2x+3x\ge 18-22$

$5x\ge -4$

$x\ge -0,8$

Розкриємо дужки у другій нерівності:

$x^2+6x-3x-18\ge x^2-4x+5x-20$

$x^2+3x-18\ge x^2+x-20$

$3x-x\ge -20+18$

$2x\ge -2$

$x\ge -1$

Отримуємо систему:

Множиною розв’язків є перетин проміжків:

$x\in [-0,8;+\infty )$

Відповідь: $[-0,8;+\infty )$.

4) Розв’яжемо систему:

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

Помножимо обидві частини першої нерівності на $6$:

$12x-3(x+1)\le 2(x+1)$

$12x-3x-3\le 2x+2$

$9x-2x\le 2+3$

$7x\le 5$

$x\le \frac{5}{7}$

Розкриємо дужки та застосуємо формули скороченого множення у другій нерівності:

$x^2-3x+5x-15+41\ge x^2-12x+36$

$x^2+2x+26\ge x^2-12x+36$

$2x+12x\ge 36-26$

$14x\ge 10$

$x\ge \frac{10}{14}$

$x\ge \frac{5}{7}$

Отримуємо систему:

Єдиним спільним значенням є $x=\frac{5}{7}$.

Відповідь: $\frac{5}{7}$.

5) Розв’яжемо систему:

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

Помножимо обидві частини першої нерівності на $28$:

$4(x+2)<7(x+1)$

$4x+8<7x+7$

$4x-7x<7-8$

$-3x<-1$

$x>\frac{1}{3}$

Розкриємо дужки у другій нерівності:

$x^2+2x-6x-12+4x<x^2-49$

$x^2-12<x^2-49$

$0\cdot x<-49+12$

$0\cdot x<-37$

Ця нерівність не має розв’язків, оскільки числова нерівність $0<-37$ є хибною.

Оскільки друга нерівність не має розв’язків, уся система розв’язків не має.

Відповідь: розв’язків немає ($\varnothing$).

6.25. Знайдіть множину розв’язків системи нерівностей:

1) Для системи:

Розв’яжемо першу нерівність, помноживши обидві її частини на спільний знаменник $30$:

$6(2x-3)-5(4x-9)>30$

$12x-18-20x+45>30$

$-8x+27>30$

$-8x>3$

$x<-\frac{3}{8}$

Розкриємо дужки у другій нерівності:

$5x-5+7x+14>3$

$12x+9>3$

$12x>-6$

$x>-\frac{6}{12}$

$x>-\frac{1}{2}$

Отримуємо систему:

Множина розв’язків:

$x\in \left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{8}\right)$

Відповідь: $\left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{8}\right)$.

2) Для системи:

Помножимо обидві частини першої нерівності на $6$:

$3(x+1)-2(x+2)<x+12$

$3x+3-2x-4<x+12$

$x-1<x+12$

$0\cdot x<13$

Нерівність є правильною при будь-якому значенні $x$, тобто $x\in (-\infty ;+\infty )$.

Розв’яжемо другу нерівність:

$0,3x-1,7x\le -5+19$

$-1,4x\le 14$

$x\ge \frac{14}{-1,4}$

$x\ge -10$

Перетином множин $(-\infty ;+\infty )$ та $[-10;+\infty )$ є проміжок $[-10;+\infty )$.

Відповідь: $[-10;+\infty )$.

3) Для системи:

Застосуємо формулу квадрата двочлена в першій нерівності:

$x^2-12x+36<x^2-4x+4-8$

$x^2-12x+36<x^2-4x-4$

$-12x+4x<-4-36$

$-8x<-40$

$x>5$

Розкриємо дужки у другій нерівності:

$6x-3-8<34-15x+27$

$6x-11<61-15x$

$6x+15x<61+11$

$21x<72$

$x<\frac{72}{21}$

$x<\frac{24}{7}$

$x<3\frac{3}{7}$

Отримуємо систему:

Оскільки $3\frac{3}{7}<5$, числові проміжки $(5;+\infty )$ та $\left(-\infty ;3\frac{3}{7}\right)$ не мають спільних точок.

Відповідь: розв’язків немає ($\varnothing$).

4) Для системи:

Помножимо обидві частини першої нерівності на $12$:

$4(3x-2)-3(4x+1)\le 12$

$12x-8-12x-3\le 12$

$-11\le 12$

Отримана числова нерівність є правильною для будь-якого значення $x$, отже, $x\in (-\infty ;+\infty )$.

Розкриємо дужки у другій нерівності:

$x^2-3x+2>x^2-3x-28$

$x^2-3x+2-x^2+3x>-28$

$2>-28$

Отримана числова нерівність є правильною для будь-якого значення $x$, отже, $x\in (-\infty ;+\infty )$.

Перетином множин розв’язків є множина всіх дійсних чисел.

Відповідь: $(-\infty ;+\infty )$.

6.26. Знайдіть цілі розв’язки системи нерівностей:

1) Для системи нерівностей:

Розв’яжемо окремо кожну нерівність:

$2x+x<1,7+1$

$3x<2,7$

$x<0,9$

$3x-x\ge -8+2$

$2x\ge -6$

$x\ge -3$

Отримуємо систему:

$-3\le x<0,9$

$x\in [-3;0,9)$

Цілі числа, що належать проміжку $[-3;0,9)$: $-3,-2,-1,0$.

Відповідь: $-3;-2;-1;0$.

2) Для системи нерівностей:

Помножимо обидві частини першої нерівності на $12$:

$4x-3x<12$

$x<12$

Помножимо обидві частини другої нерівності на $2$:

$4x-x\ge 20$

$3x\ge 20$

$x\ge \frac{20}{3}$

$x\ge 6\frac{2}{3}$

Отримуємо систему:

$6\frac{2}{3}\le x<12$

$x\in \left[6\frac{2}{3};12\right)$

Цілі числа, що належать проміжку $\left[6\frac{2}{3};12\right)$: $7,8,9,10,11$.

Відповідь: $7;8;9;10;11$.

6.27. Скільки цілих розв’язків має система нерівностей:

1) $\{\begin{array}{l}4x+3\ge 6x-7,\\ 3(x+8)\ge 4(8-x);\end{array}$

Розв’яжемо окремо кожну нерівність системи.

Для першої нерівності:

$4x-6x\ge -7-3$

$-2x\ge -10$

$x\le 5$

Для другої нерівності:

$3x+24\ge 32-4x$

$3x+4x\ge 32-24$

$7x\ge 8$

$x\ge \frac{8}{7}\left(x\ge 1\frac{1}{7}\right)$

Отримуємо систему:

Цілі числа, які належать проміжку $\left[1\frac{1}{7};5\right]$: $2,3,4,5$.

Кількість цілих розв’язків: $4$.

Відповідь: 4.

2) $\{\begin{array}{l}x-\frac{x+1}{3}-\frac{x-2}{6}<2,\\ \frac{2x-5}{3}\ge -3;\end{array}$

Розв’яжемо окремо кожну нерівність системи.

Для першої нерівності помножимо обидві частини на $6$:

$6x-2(x+1)-(x-2)<12$

$6x-2x-2-x+2<12$

$3x<12$

$x<4$

Для другої нерівності помножимо обидві частини на $3$:

$2x-5\ge -9$

$2x\ge -4$

$x\ge -2$

Отримуємо систему:

Цілі числа, які належать проміжку $[-2;4)$: $-2,-1,0,1,2,3$.

Кількість цілих розв’язків: $6$.

Відповідь: 6.

6.28. Знайдіть область визначення виразу:

1) $\sqrt{6x-9}+\sqrt{2x-5}$

Область визначення виразу визначається умовою невід’ємності підкореневих виразів:

Отже, $x\in [2,5;+\infty )$.

Відповідь: $[2,5;+\infty )$.

2) $\sqrt{3x+5}-\frac{1}{\sqrt{15-5x}}$

Підкореневий вираз у чисельнику має бути невід’ємним, а підкореневий вираз у знаменнику — строго додатним:

Відповідь: $\left[-1\frac{2}{3};3\right)$.

3) $\sqrt{2x-4}+\sqrt{1-x}$

Складемо систему нерівностей для підкореневих виразів:

Система не має спільних розв’язків, оскільки не існує числа, яке одночасно більше або дорівнює $2$ і менше або дорівнює $1$.

Отже, область визначення є порожньою множиною ($\varnothing$).

Відповідь: $\varnothing$ (вираз не має змісту при жодному значенні $x$).

4) $\sqrt{12-3x}-\frac{5}{x-4}$

Підкореневий вираз має бути невід’ємним, а знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:

Отже, $x\in (-\infty ;4)$.

Відповідь: $(-\infty ;4)$.

6.29. При яких значеннях змінної має зміст вираз:

1) $\sqrt{8-x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Вираз має зміст, якщо підкореневий вираз першого кореня невід’ємний, а підкореневий вираз у знаменнику другого дробу строго додатний:

$x\in (0;8]$

Відповідь: $x\in (0;8]$.

2) $\sqrt{7x-35}+\frac{1}{x^2-5x}$

Підкореневий вираз має бути невід’ємним, а знаменник другого дробу не повинен дорівнювати нулю:

$x>5$

Отже, $x\in (5;+\infty )$.

Відповідь: $x\in (5;+\infty )$.

6.30. Розв’яжіть нерівність:

1) Розв’яжемо подвійну нерівність:

$-3<\frac{2x-5}{2}<4$

Помножимо всі частини подвійної нерівності на $2$:

$-6<2x-5<8$

Додамо $5$ до всіх частин нерівності: