4. Нерівності з однією змінною

Назад до змісту

1. Що називають розв’язком нерівності з однією змінною?

Розв’язком нерівності з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює її в правильну числову нерівність.

2. Що означає розв’язати нерівність?

Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків не існує.

3. Які нерівності називають рівносильними?

Нерівності називають рівносильними, якщо вони мають одну й ту саму множину розв’язків.

ВПРАВИ

4.1.° Чи є розв’язком нерівності $x<6$ число: 1) 5; 2) 6; 3) 6,5; 4) –2?

Підставимо кожне із запропонованих чисел замість змінної $x$ у нерівність $x<6$:

1. При $x=5$: $5<6$ — числова нерівність є правильною, отже, число $5$ є розв’язком нерівності.
2. При $x=6$: $6<6$ — числова нерівність є неправильною, отже, число $6$ не є розв’язком нерівності.
3. При $x=6,5$: $6,5<6$ — числова нерівність є неправильною, отже, число $6,5$ не є розв’язком нерівності.
4. При $x=-2$: $-2<6$ — числова нерівність є правильною, отже, число $-2$ є розв’язком нерівності.

Відповідь: 1) так; 2) ні; 3) ні; 4) так.

4.2.° Чи є розв’язком нерівності $x>-4$ число: 1) –3; 2) –5; 3) –4; 4) 2?

Підставимо кожне із запропонованих чисел замість змінної $x$ у нерівність $x>-4$:

1. При $x=-3$: $-3>-4$ — числова нерівність є правильною, отже, число $-3$ є розв’язком нерівності.
2. При $x=-5$: $-5>-4$ — числова нерівність є неправильною, отже, число $-5$ не є розв’язком нерівності.
3. При $x=-4$: $-4>-4$ — числова нерівність є неправильною, отже, число $-4$ не є розв’язком нерівності.
4. При $x=2$: $2>-4$ — числова нерівність є правильною, отже, число $2$ є розв’язком нерівності.

Відповідь: 1) так; 2) ні; 3) ні; 4) так.

4.3.° Які із чисел –3; 0; 7 є розв’язками нерівності: 1) $x\le 7$; 2) $3x>x-1$; 3) $x^2-9\ge 0$?

Підставимо кожне із запропонованих чисел у нерівності та перевіримо правильність отриманих числових нерівностей:

1. Для нерівності $x\le 7$:

• при $x=-3$: $-3\le 7$ — правильна числова нерівність, тому число $-3$ є розв’язком;
• при $x=0$: $0\le 7$ — правильна числова нерівність, тому число $0$ є розв’язком;
• при $x=7$: $7\le 7$ — правильна числова нерівність, тому число $7$ є розв’язком.

Відповідь: розв’язками є числа $-3$, $0$ і $7$.

2. Для нерівності $3x>x-1$:

• при $x=-3$: $3\cdot (-3)>-3-1⟹-9>-4$ — неправильна числова нерівність, тому число $-3$ не є розв’язком;
• при $x=0$: $3\cdot 0>0-1⟹0>-1$ — правильна числова нерівність, тому число $0$ є розв’язком;
• при $x=7$: $3\cdot 7>7-1⟹21>6$ — правильна числова нерівність, тому число $7$ є розв’язком.

Відповідь: розв’язками є числа $0$ і $7$.

3. Для нерівності $x^2-9\ge 0$:

• при $x=-3$: $(-3{)}^2-9=9-9=0\ge 0$ — правильна числова нерівність, тому число $-3$ є розв’язком;
• при $x=0$: $0^2-9=-9\ge 0$ — неправильна числова нерівність, тому число $0$ не є розв’язком;
• при $x=7$: $7^2-9=49-9=40\ge 0$ — правильна числова нерівність, тому число $7$ є розв’язком.

Відповідь: розв’язками є числа $-3$ і $7$.

4.4.° Чи є розв’язком нерівності $6x+1\le 2+7x$ число: 1) –0,1; 2) –2; 3) 0; 4) –1; 5) 2?

Спростимо нерівність:

$6x-7x\le 2-1$

$-x\le 1$

$x\ge -1$

Перевіримо кожне з поданих чисел:

1. Число $-0,1$: оскільки $-0,1\ge -1$ (або $6\cdot (-0,1)+1\le 2+7\cdot (-0,1)⟹0,4\le 1,3$ — правильно), то число $-0,1$ є розв’язком нерівності.
2. Число $-2$: оскільки $-2\ge -1$ є неправильним твердженням (або $6\cdot (-2)+1\le 2+7\cdot (-2)⟹-11\le -12$ — неправильно), то число $-2$ не є розв’язком нерівності.
3. Число $0$: оскільки $0\ge -1$ (або $1\le 2$ — правильно), то число $0$ є розв’язком нерівності.
4. Число $-1$: оскільки $-1\ge -1$ (або $-5\le -5$ — правильно), то число $-1$ є розв’язком нерівності.
5. Число $2$: оскільки $2\ge -1$ (або $13\le 16$ — правильно), то число $2$ є розв’язком нерівності.

Відповідь: числа $-0,1$, $0$, $-1$ і $2$ є розв’язками нерівності; число $-2$ не є розв’язком нерівності.

4.5.° Назвіть будь-які три розв’язки нерівності $x\ge -2$.

Розв’язком цієї нерівності є будь-яке дійсне число, яке не менше від $-2$, тобто належить числовому проміжку $[-2;+\infty )$.

Трьома розв’язками даної нерівності можуть бути, наприклад, числа: $-2$, $0$, $5$.

Відповідь: $-2$, $0$, $5$.

4.6.° Назвіть будь-які два розв’язки нерівності $x+5>2x$.

Розв’яжемо нерівність:

$x-2x>-5$

$-x>-5$

$x<5$

Розв’язками нерівності є всі дійсні числа, менші від $5$, тобто числа з проміжку $(-\infty ;5)$.

Двома розв’язками даної нерівності можуть бути, наприклад, числа: $0$ та $1$.

Відповідь: $0$ та $1$.

4.7.° Запишіть будь-які три розв’язки нерівності $x\le 3$.

Розв’язками цієї нерівності є всі дійсні числа, що не перевищують $3$, тобто належать числовому проміжку $(-\infty ;3]$.

Трьома розв’язками даної нерівності можуть бути, наприклад, числа: $3$, $0$, $-5$.

Відповідь: $3$, $0$, $-5$.

4.8.° Чи є число 1,99 розв’язком нерівності $x<2$? Чи існують розв’язки даної нерівності, більші за 1,99? У разі ствердної відповіді наведіть приклад такого розв’язку. Поміркуйте, скільки розв’язків, кожен з яких більший за 1,99, має ця нерівність. Обговоріть це питання у класі.

1. Перевіримо число $1,99$, підставивши його замість змінної $x$:

$1,99<2$
Ця числова нерівність є правильною, отже, число $1,99$ є розв’язком даної нерівності.

2. Розв’язками нерівності $x<2$, які є більшими за $1,99$, є будь-які дійсні числа $x$, що задовольняють подвійну нерівність:

$1,99<x<2$
Такі числа існують, наприклад, число $1,995$. Перевірка: $1,99<1,995<2$.

3. Оскільки між будь-якими двома дійсними числами міститься нескінченна кількість інших дійсних чисел, нерівність $x<2$ має безліч (нескінченно багато) розв’язків, кожен з яких більший за $1,99$.

Відповідь: Число $1,99$ є розв’язком; так, більші розв’язки існують (наприклад, $1,995$); нерівність має безліч таких розв’язків.

4.9.° Чи є число 4,001 розв’язком нерівності $x>4$? Чи існують розв’язки даної нерівності, менші від 4,001? У разі ствердної відповіді наведіть приклад такого розв’язку.

1. Підставимо число $4,001$ замість змінної $x$:

$4,001>4$
Нерівність є правильною, отже, число $4,001$ є розв’язком нерівності $x>4$.

2. Розв’язками нерівності $x>4$, які є меншими від $4,001$, є всі числа $x$, що задовольняють умову:

$4<x<4,001$
Такі числа існують, наприклад, $4,0005$. Перевірка: $4<4,0005<4,001$.

Відповідь: Число $4,001$ є розв’язком; так, менші розв’язки існують (наприклад, $4,0005$).

4.10.° Як ви думаєте, множиною розв’язків якої з даних нерівностей є порожня множина: 1) $(x-3{)}^2>0$; 2) $(x-3{)}^2\ge 0$; 3) $(x-3{)}^2<0$; 4) $(x-3{)}^2\le 0$? Обговоріть це питання у класі.

Для будь-якого дійсного числа $x$ вираз у квадраті є невід’ємним: $(x-3{)}^2\ge 0$.

Проаналізуємо кожну нерівність:

1. $(x-3{)}^2>0$ — правильна для всіх дійсних чисел, крім $x=3$. Множина розв’язків: $(-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$.
2. $(x-3{)}^2\ge 0$ — правильна для будь-якого дійсного числа $x$. Множина розв’язків: $(-\infty ;+\infty )$.
3. $(x-3{)}^2<0$ — квадрат будь-якого дійсного числа не може бути строго меншим від нуля. Жодне дійсне число не задовольняє цю умову, тому множиною розв’язків є порожня множина ($\varnothing$).
4. $(x-3{)}^2\le 0$ — нерівність виконується лише тоді, коли $(x-3{)}^2=0$, тобто $x=3$. Множина розв’язків складається з одного числа: $\{3\}$.

Відповідь: 3) $(x-3{)}^2<0$.

4.11.° Які з наведених нерівностей не мають розв’язків: 1) $0x>-2$; 2) $0x<2$; 3) $0x<-2$; 4) $0x>2$?

Для будь-якого дійсного значення $x$ добуток $0\cdot x=0$.

Перевіримо кожну нерівність:

1. $0x>-2⟹0>-2$ — числова нерівність є правильною при будь-якому $x$. Множина розв’язків — усі дійсні числа.
2. $0x<2⟹0<2$ — числова нерівність є правильною при будь-якому $x$. Множина розв’язків — усі дійсні числа.
3. $0x<-2⟹0<-2$ — числова нерівність є неправильною для будь-якого $x$. Нерівність не має розв’язків.
4. $0x>2⟹0>2$ — числова нерівність є неправильною для будь-якого $x$. Нерівність не має розв’язків.

Відповідь: 3) $0x<-2$; 4) $0x>2$.

4.12.° Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є множина дійсних чисел: 1) $0x>1$; 2) $0x>0$; 3) $0x>-1$; 4) $x+1>0$?

Оскільки $0\cdot x=0$ при будь-якому $x\in \mathbb{R}$:

1. $0x>1⟹0>1$ — хибне твердження, нерівність не має розв’язків ($\varnothing$).
2. $0x>0⟹0>0$ — хибне твердження, нерівність не має розв’язків ($\varnothing$).
3. $0x>-1⟹0>-1$ — правильне твердження при будь-якому значенні $x$. Розв’язком є будь-яке дійсне число ($x\in \mathbb{R}$).
4. $x+1>0⟹x>-1$ — розв’язком є проміжок $(-1;+\infty )$, а не вся множина дійсних чисел.

Відповідь: 3) $0x>-1$.

4.13.° Розв’язком якої з даних нерівностей є будь-яке дійсне число: 1) $x^2>0$; 2) $x^2+1>0$; 3) $\sqrt{x}\ge 0$?

Проаналізуємо кожну з нерівностей:

1. $x^2>0$: квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним ($x^2\ge 0$). При $x=0$ отримуємо $0>0$, що є неправильною нерівністю. Отже, розв’язками є всі дійсні числа, крім нуля ($x\ne 0$).
2. $x^2+1>0$: оскільки $x^2\ge 0$ для будь-якого дійсного числа $x$, то $x^2+1\ge 1>0$. Ця нерівність є правильною для будь-якого дійсного числа ($x\in \mathbb{R}$).
3. $\sqrt{x}\ge 0$: арифметичний квадратний корінь визначений лише для невід’ємних чисел, тобто при $x\ge 0$. Отже, розв’язком є проміжок $[0;+\infty )$, а не вся множина дійсних чисел.

Відповідь: 2) $x^2+1>0$.

4.14.• Укажіть найбільший розв’язок нерівності $x\le 5$. Як ви думаєте, чи має найбільший розв’язок нерівність $x<5$? Обговоріть це питання з однокласниками й однокласницями.

Множиною розв’язків нерівності $x\le 5$ є числовий проміжок $(-\infty ;5]$. Оскільки число $5$ належить цьому проміжку і є більшим за всі інші його елементи, найбільшим розв’язком нерівності є число $5$.

Множиною розв’язків строгої нерівності $x<5$ є відкритий числовий проміжок $(-\infty ;5)$. Число $5$ не належить цій множині. Для будь-якого числа $a<5$ завжди можна знайти більше за нього число, яке також менше від $5$ (наприклад, їхнє середнє арифметичне $\frac{a+5}{2}$). Отже, найбільшого розв’язку нерівність $x<5$ не має.

Відповідь: найбільшим розв’язком нерівності $x\le 5$ є число $5$; нерівність $x<5$ найбільшого розв’язку не має.

4.15.• Укажіть найменший розв’язок нерівності $x\ge 4$. Як ви думаєте, чи має найменший розв’язок нерівність $x>4$?

Множиною розв’язків нерівності $x\ge 4$ є числовий проміжок $[4;+\infty )$. Число $4$ належить цій множині і є меншим за будь-яке інше число з цього проміжку, тому найменшим розв’язком є число $4$.

Множиною розв’язків строгої нерівності $x>4$ є числовий проміжок $(4;+\infty )$. Число $4$ не є розв’язком цієї нерівності. Для будь-якого числа $b>4$ завжди існує число, менше від нього, яке водночас є більшим за $4$ (наприклад, $\frac{4+b}{2}$). Отже, найменшого розв’язку нерівність $x>4$ не має.

Відповідь: найменшим розв’язком нерівності $x\ge 4$ є число $4$; нерівність $x>4$ найменшого розв’язку не має.

4.16.• Серед зазначених нерівностей укажіть нерівність, розв’язком якої є будь-яке дійсне число, і нерівність, що не має розв’язків: 1) $\frac{x^2+1}{x^2}\ge 0$; 2) $\frac{x^2+1}{x^2+1}<1$; 3) $\frac{x^2-1}{x^2-1}\ge 1$; 4) $\frac{x^2}{x^2+1}\ge 0$.

Дослідимо кожну нерівність:

1. $\frac{x^2+1}{x^2}\ge 0$: область допустимих значень (ОДЗ) вимагає $x^2\ne 0$, тобто $x\ne 0$. При $x\ne 0$ чисельник $x^2+1>0$ і знаменник $x^2>0$, тому дріб завжди додатний. Розв’язком є $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$ (усі числа, крім $0$).
2. $\frac{x^2+1}{x^2+1}<1$: знаменник $x^2+1\ge 1>0$ для всіх $x\in \mathbb{R}$, тому ОДЗ — уся множина дійсних чисел. Оскільки чисельник і знаменник тотожно рівні, значення дробу дорівнює $1$ для будь-якого $x$. Отримуємо числову нерівність $1<1$, яка є хибною. Отже, нерівність не має розв’язків.
3. $\frac{x^2-1}{x^2-1}\ge 1$: ОДЗ: $x^2-1\ne 0⟹x\ne \pm 1$. При $x\ne \pm 1$ дріб дорівнює $1$, тобто нерівність $1\ge 1$ є правильною. Множина розв’язків — усі дійсні числа, крім $1$ та $-1$.
4. $\frac{x^2}{x^2+1}\ge 0$: знаменник $x^2+1>0$ для будь-якого $x\in \mathbb{R}$. Чисельник $x^2\ge 0$ для будь-якого $x\in \mathbb{R}$. Частка двох невід’ємних величин є невід’ємною для будь-якого дійсного числа $x$. Отже, розв’язком є будь-яке дійсне число.

Відповідь: розв’язком нерівності 4) $\frac{x^2}{x^2+1}\ge 0$ є будь-яке дійсне число; нерівність 2) $\frac{x^2+1}{x^2+1}<1$ не має розв’язків.

4.17.• Знайдіть множину розв’язків нерівності: 1) $|x|>0$; 2) $|x|\le 0$; 3) $|x|<0$; 4) $|x|\le -1$; 5) $|x|>-3$; 6) $\left|\frac{1}{x}\right|>-3$.

За означенням модуля дійсного числа, для будь-якого $x\in \mathbb{R}$ виконується нерівність $|x|\ge 0$.

1. $|x|>0$:
   Нерівність є правильною для всіх значень $x$, крім $x=0$ (оскільки $|0|=0$).
   Множина розв’язків: $(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.

2. $|x|\le 0$:
   Оскільки $|x|\ge 0$, нерівність можлива лише за умови $|x|=0$, звідки $x=0$.
   Множина розв’язків: $\{0\}$.

3. $|x|<0$:
   Модуль числа не може бути від’ємним, тому нерівність не має розв’язків.
   Множина розв’язків: $\varnothing$.

4. $|x|\le -1$:
   Оскільки $|x|\ge 0$, воно не може бути меншим або рівним за від’ємне число $-1$.
   Множина розв’язків: $\varnothing$.

5. $|x|>-3$:
   Невід’ємне число завжди строго більше за будь-яке від’ємне число, тому нерівність виконується для будь-якого дійсного числа $x$.
   Множина розв’язків: $(-\infty ;+\infty )$ (або $\mathbb{R}$).

6. $\left|\frac{1}{x}\right|>-3$:
   ОДЗ: $x\ne 0$. При всіх $x\ne 0$ дріб $\left|\frac{1}{x}\right|>0$, тому значення виразу завжди більше за $-3$.
   Множина розв’язків: $(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.

Відповідь:

1. $(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$;
2. $\{0\}$;
3. $\varnothing$;
4. $\varnothing$;
5. $(-\infty ;+\infty )$;
6. $(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.

4.18. Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{2}{x^2}+2>0$

ОДЗ: $x\ne 0$.
Для будь-якого допустимого значення $x\ne 0$ вираз $x^2>0$, тому дріб $\frac{2}{x^2}>0$. Сума двох додатних чисел завжди більша за нуль: $\frac{2}{x^2}+2>0$.

**Відповідь:** $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

**2)** $(x + 2)^2 > 0$

Квадрат будь-якого дійсного виразу є невід'ємним: $(x + 2)^2 \ge 0$. Строга нерівність не виконується лише тоді, коли $x + 2 = 0$, тобто при $x = -2$.

Відповідь: $x\in (-\infty ;-2)\cup (-2;+\infty )$.

3) $(x+2{)}^2\le 0$

Оскільки $(x+2{)}^2\ge 0$ для всіх дійсних $x$, нерівність може виконуватися лише у випадку рівності нулю:

$(x+2{)}^2=0⟹x+2=0⟹x=-2$

**Відповідь:** $x = -2$.

**4)** $\dfrac{x + 2}{x + 2} > 0$

**ОДЗ:** $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
При всіх $x \neq -2$ дріб скорочується: $\dfrac{x + 2}{x + 2} = 1$. Оскільки $1 > 0$ є правильною числовою нерівністю, розв'язками є всі допустимі значення $x$.

Відповідь: $x\in (-\infty ;-2)\cup (-2;+\infty )$.

5) ${\left(\frac{x+2}{x-2}\right)}^2>0$

ОДЗ: $x-2\ne 0⟹x\ne 2$.
Квадрат дробу строго більший за нуль, якщо чисельник не дорівнює нулю:

$x+2\ne 0⟹x\ne -2$
Отже, розв’язком є всі дійсні числа, крім $-2$ та $2$.

**Відповідь:** $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

**6)** $\left(\dfrac{x + 2}{x - 2}\right)^2 \ge 0$

**ОДЗ:** $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Квадрат будь-якого дійсного виразу завжди $\ge 0$. Тому нерівність є правильною для всіх значень $x$ з області визначення.

Відповідь: $x\in (-\infty ;2)\cup (2;+\infty )$.

4.19. Чи рівносильні нерівності:

1) $\frac{1}{x}<1$ і $x>1$

Розв’яжемо першу нерівність:

$\frac{1}{x}-1<0⟹\frac{1-x}{x}<0$
Застосувавши метод інтервалів, маємо $x\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$.
Розв’язком другої нерівності є числовий проміжок $x\in (1;+\infty )$.
Множини розв’язків не співпадають.

Відповідь: Ні, нерівності не рівносильні.

2) $x^2\ge x$ і $x\ge 1$

Розв’яжемо першу нерівність:

$x^2-x\ge 0⟹x(x-1)\ge 0⟹x\in (-\infty ;0]\cup [1;+\infty )$
Розв’язком другої нерівності є числовий проміжок $x\in [1;+\infty )$.
Множини розв’язків не співпадають.

Відповідь: Ні, нерівності не рівносильні.

3) $(x+5{)}^2<0$ і $|x-4|<0$

Оскільки квадрат дійсного числа $(x+5{)}^2\ge 0$, перша нерівність не має розв’язків ($\varnothing$).
Оскільки модуль дійсного числа $|x-4|\ge 0$, друга нерівність також не має розв’язків ($\varnothing$).
Обидві нерівності мають однакову множину розв’язків — порожню множину.

Відповідь: Так, нерівності рівносильні.

4) $\sqrt{x}\le 0$ і $x^4\le 0$

Для першої нерівності: арифметичний квадратний корінь визначений при $x\ge 0$ і набуває тільки невід’ємних значень ($\sqrt{x}\ge 0$). Тому $\sqrt{x}\le 0$ виконується лише при $x=0$.
Для другої нерівності: вираз $x^4\ge 0$ для будь-якого $x$, тому $x^4\le 0$ виконується лише при $x=0$.
Обидві нерівності мають єдиний однаковий розв’язок $x=0$.

Відповідь: Так, нерівності рівносильні.

4.20. Чи рівносильні нерівності:

1) $|x|>-x^2$ і $x^2>0$

Для першої нерівності: при $x=0$ маємо $0>0$ (неправильно). При $x\ne 0$ ліва частина строго додатна ($|x|>0$), а права — строго від’ємна ($-x^2<0$), тому нерівність правильна для всіх $x\ne 0$. Множина розв’язків: $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.
Для другої нерівності: $x^2>0$ виконується для всіх $x\ne 0$, тобто $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.
Множини розв’язків збігаються.

Відповідь: Так, нерівності рівносильні.

2) $|x|\ge -x^2$ і $|x|\le 0$

Для першої нерівності: оскільки для будь-якого дійсного $x$ виконується $|x|\ge 0$ та $-x^2\le 0$, нерівність $|x|\ge -x^2$ є правильною для всіх дійсних чисел ($x\in \mathbb{R}$).
Для другої нерівності: $|x|\le 0$ має єдиний розв’язок $x=0$.
Множини розв’язків не співпадають.

Відповідь: Ні, нерівності не рівносильні.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

4.21. Розшифруйте прізвище канадського математика, засновника найпрестижнішої міжнародної премії за видатні досягнення в математиці. Номер прикладу відповідає місцю, на якому стоїть буква у слові.

Спростимо вирази:

1. $a^{15}\cdot a^{-4}\cdot a^{-8}=a^{15+(-4)+(-8)}=a^3$ (Буква Ф);
2. $a^{-14}\cdot a^6:a^{-10}=a^{-14+6-(-10)}=a^{-8+10}=a^2$ (Буква І);
3. $a^{-1}:a^{-3}:a=a^{-1-(-3)-1}=a^1=a$ (Буква Л);
4. $(a^{-3}{)}^4:a^{-9}=a^{-12}:a^{-9}=a^{-12-(-9)}=a^{-3}$ (Буква Д);
5. $(a^{-2}{)}^5\cdot (a^{-4}{)}^{-2}=a^{-10}\cdot a^8=a^{-2}$ (Буква С).

Зашифроване прізвище: ФІЛДС (Джон Чарлз Філдс).

Відповіді на додаткові запитання:

1. Медаль Філдса у 2022 році було присуджено українській математикині Марині Вязовській за розв’язання задачі про найщільніше пакування куль у 8-вимірному просторі.
2. На лицьовій стороні медалі зображено профіль давньогрецького вченого Архімеда. Напис латиною: «TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI», що перекладається як «Перевершити свою людську обмеженість і оволодіти Всесвітом».

4.22. Велосипедист проїхав із села до озера й повернувся назад, витративши на весь шлях 1 год. Із села до озера він їхав зі швидкістю 15 км/год, а повертався зі швидкістю 10 км/год. Знайдіть відстань від села до озера.

Нехай відстань від села до озера дорівнює $s$ км.
Час руху велосипедиста із села до озера становить $\frac{s}{15}$ год, а час руху на зворотному шляху — $\frac{s}{10}$ год.
Загальний час руху дорівнює 1 год. Складемо рівняння:

$\frac{s}{15}+\frac{s}{10}=1$
Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник 30:

$2s+3s=30$

$5s=30$

$s=6$

Відповідь: 6 км.