14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі

1. Що називають математичною моделлю задачі?

Математичною моделлю задачі називають переклад реальної ситуації математичною мовою — за допомогою формул, рівнянь, нерівностей, функцій або графіків.

2. Яку задачу називають прикладною?

Прикладною називають задачу з реального життя чи будь-якої іншої галузі знань, яку розв’язують математичними методами.

3. Що називають математичним моделюванням?

Математичним моделюванням називають розділ математики, який займається побудовою та дослідженням математичних моделей.

ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

14.1.° Навколо прямокутної ділянки землі площею 2400 м² поставили огорожу завдовжки 220 м. Знайдіть довжину та ширину ділянки.

Дано:

Форма ділянки — прямокутник
$S = 2400 м^{2}$
$P = 220 м$

Знайти:

довжину та ширину ділянки

Розв’язання:
Нехай довжина ділянки дорівнює $x м$ , а ширина — $y м$ ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

Довжина огорожі є периметром прямокутника:
$2 (x + y) = 220$
$x + y = 110$

Площа прямокутника становить:
$x y = 2400$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
${x + y = 110 x y = 2400$

Виразимо $y$ через $x$ із першого рівняння:
$y = 110 - x$

Підставимо у друге рівняння:
$x (110 - x) = 2400$
$110 x - x^{2} = 2400$
$x^{2} - 110 x + 2400 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = (- 110)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 12100 - 9600 = 2500 = 5 0^{2}$

Знайдемо корені рівняння:
$x_{1} = \frac{110 + 50}{2} = \frac{160}{2} = 80$
$x_{2} = \frac{110 - 50}{2} = \frac{60}{2} = 30$

Якщо $x = 80$ , то $y = 110 - 80 = 30$ .
Якщо $x = 30$ , то $y = 110 - 30 = 80$ .

Отже, виміри ділянки становлять $80 м$ і $30 м$ .

Відповідь: $80 м$ , $30 м$ .

14.2.° Периметр прямокутника дорівнює 32 см, а сума площ квадратів, побудованих на двох його сусідніх сторонах, — 130 см². Знайдіть сторони прямокутника.

Дано:

Фігура — прямокутник
$P = 32 см$
$S_{1} + S_{2} = 130 см^{2}$ (сума площ квадратів на сусідніх сторонах)

Знайти:

сторони прямокутника

Розв’язання:
Нехай сусідні сторони прямокутника дорівнюють $x см$ та $y см$ ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

Периметр прямокутника дорівнює $32 см$ :
$2 (x + y) = 32$
$x + y = 16$

Площі квадратів, побудованих на цих сторонах, дорівнюють відповідно $x^{2}$ та $y^{2}$ . За умовою:
$x^{2} + y^{2} = 130$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
${x + y = 16 x^{2} + y^{2} = 130$

Виразимо $y$ через $x$ із першого рівняння:
$y = 16 - x$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$x^{2} + (16 - x)^{2} = 130$
$x^{2} + 256 - 32 x + x^{2} = 130$
$2 x^{2} - 32 x + 126 = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$ :
$x^{2} - 16 x + 63 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} + x_{2} = 16$
$x_{1} \cdot x_{2} = 63$
$x_{1} = 9$
$x_{2} = 7$

Якщо $x = 9$ , то $y = 16 - 9 = 7$ .
Якщо $x = 7$ , то $y = 16 - 7 = 9$ .

Отже, сторони прямокутника дорівнюють $9 см$ та $7 см$ .

Відповідь: $9 см$ , $7 см$ .

14.3.• Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 13 см, а його площа — 30 см². Знайдіть катети цього трикутника.

Дано:

$c = 13 см$ — гіпотенуза
$S = 30 см^{2}$ — площа

Знайти:

$a$ , $b$ — катети трикутника

Розв’язання:
Нехай катети прямокутного трикутника дорівнюють $a см$ і $b см$ ( $a > 0$ , $b > 0$ ).

За теоремою Піфагора:
$a^{2} + b^{2} = 1 3^{2}$
$a^{2} + b^{2} = 169$

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:
$\frac{1}{2} ab = 30$
$ab = 60$

Складемо систему рівнянь:
${a^{2} + b^{2} = 169 ab = 60$

Помножимо друге рівняння на $2$ і додамо до першого:
$a^{2} + 2 ab + b^{2} = 169 + 120$
$(a + b)^{2} = 289$

Оскільки $a > 0$ і $b > 0$ , маємо:
$a + b = 17$
$b = 17 - a$

Підставимо вираз для $b$ у рівняння $ab = 60$ :
$a (17 - a) = 60$
$17 a - a^{2} - 60 = 0$
$a^{2} - 17 a + 60 = 0$

За теоремою Вієта:
$a_{1} = 5$
$a_{2} = 12$

Якщо $a = 5$ , то $b = 17 - 5 = 12$ .
Якщо $a = 12$ , то $b = 17 - 12 = 5$ .

В обох випадках катети трикутника дорівнюють $5 см$ та $12 см$ .

Відповідь: $5 см$ , $12 см$ .

14.4.• Периметр прямокутного трикутника дорівнює 40 см, а один із катетів — 8 см. Знайдіть другий катет трикутника та його гіпотенузу.

Дано:

$P = 40 см$ — периметр
$a = 8 см$ — один із катетів

Знайти:

$b$ — другий катет
$c$ — гіпотенуза

Розв’язання:
Нехай другий катет дорівнює $b см$ ( $b > 0$ ), а гіпотенуза — $c см$ ( $c > 0$ ).

Периметр прямокутного трикутника:
$a + b + c = 40$
$8 + b + c = 40$
$b + c = 32$
$c = 32 - b$

За теоремою Піфагора:
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
$8^{2} + b^{2} = c^{2}$
$64 + b^{2} = c^{2}$

Підставимо вираз для $c$ :
$64 + b^{2} = (32 - b)^{2}$
$64 + b^{2} = 1024 - 64 b + b^{2}$
$64 b = 1024 - 64$
$64 b = 960$
$b = 15$

Знайдемо довжину гіпотенузи:
$c = 32 - 15 = 17 (см)$

Відповідь: $15 см$ , $17 см$ .

14.5.• Площа прямокутника дорівнює 180 см². Якщо одну його сторону зменшити на 3 см, а другу — на 2 см, то його площа дорівнюватиме 120 см². Знайдіть початкові розміри прямокутника.

Дано:

$S_{1} = 180 см^{2}$ — початкова площа
$S_{2} = 120 см^{2}$ — площа після зменшення сторін на $3 см$ і $2 см$

Знайти:

$x$ , $y$ — початкові сторони прямокутника

Розв’язання:
Нехай початкові сторони прямокутника дорівнюють $x см$ та $y см$ ( $x > 3$ , $y > 2$ ).

Площа прямокутника:
$x y = 180$

Після зменшення однієї сторони на $3 см$ , а другої на $2 см$ , сторони дорівнюють $(x - 3) см$ та $(y - 2) см$ . Нова площа:
$(x - 3) (y - 2) = 120$

Складемо систему рівнянь:
${x y = 180 (x - 3) (y - 2) = 120$

Розкриємо дужки в другому рівнянні:
$x y - 2 x - 3 y + 6 = 120$

Підставимо значення $x y = 180$ :
$180 - 2 x - 3 y + 6 = 120$
$186 - 2 x - 3 y = 120$
$2 x + 3 y = 66$
$2 x = 66 - 3 y$
$x = 33 - 1, 5 y$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:
$(33 - 1, 5 y) y = 180$
$33 y - 1, 5 y^{2} = 180$
$- 1, 5 y^{2} + 33 y - 180 = 0$

Поділимо обидві частини на $- 1, 5$ :
$y^{2} - 22 y + 120 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 10$
$y_{2} = 12$

Знайдемо відповідні значення $x$ :

1) Якщо $y = 10$ :
$x = 33 - 1, 5 \cdot 10 = 18$
(сторони $18 см$ і $10 см$ )

2) Якщо $y = 12$ :
$x = 33 - 1, 5 \cdot 12 = 15$
(сторони $15 см$ і $12 см$ )

Відповідь: $12 см$ і $15 см$ або $10 см$ і $18 см$ .

14.6.• Якщо довжину прямокутника зменшити на 3 см, а ширину збільшити на 2 см, то його площа збільшиться на 6 см². Якщо довжину прямокутника зменшити на 5 см, а ширину збільшити на 3 см, то площа прямокутника не зміниться. Знайдіть сторони даного прямокутника.

Дано:

Початкові сторони: $x см$ (довжина), $y см$ (ширина)
Зміна 1: довжина $(x - 3) см$ , ширина $(y + 2) см$ , площа $(x y + 6) см^{2}$
Зміна 2: довжина $(x - 5) см$ , ширина $(y + 3) см$ , площа $x y см^{2}$

Знайти:

$x$ , $y$ — сторони прямокутника

Розв’язання:
Нехай довжина прямокутника дорівнює $x см$ , а ширина — $y см$ ( $x > 5$ , $y > 0$ ). Тоді початкова площа дорівнює $x y см^{2}$ .

За першою умовою:
$(x - 3) (y + 2) = x y + 6$

За другою умовою:
$(x - 5) (y + 3) = x y$

Складемо систему рівнянь:
${(x - 3) (y + 2) = x y + 6 (x - 5) (y + 3) = x y$

Розкриємо дужки в обох рівняннях:
${x y + 2 x - 3 y - 6 = x y + 6 x y + 3 x - 5 y - 15 = x y$

Спростимо кожне рівняння:
${2 x - 3 y = 12 3 x - 5 y = 15$

Помножимо перше рівняння на $3$ , а друге — на $- 2$ :
${6 x - 9 y = 36 - 6 x + 10 y = - 30$

Додамо почленно рівняння системи:
$y = 6$

Підставимо $y = 6$ у перше рівняння:
$2 x - 3 \cdot 6 = 12$
$2 x - 18 = 12$
$2 x = 30$
$x = 15$

Відповідь: $15 см$ , $6 см$ .

14.7.• Із металевого листа прямокутної форми виготовили відкриту коробку. Для цього в кутах листа вирізали квадрати зі стороною 4 см. Знайдіть довжину та ширину листа, якщо його периметр дорівнює 60 см, а об’єм коробки — 160 см³.

Дано:

$P = 60 см$ — периметр прямокутного листа
Сторона вирізаних квадратів: $h = 4 см$ (висота коробки)
$V = 160 см^{3}$ — об’єм коробки

Знайти:

$x$ , $y$ — довжина та ширина листа

Розв’язання:
Нехай довжина листа дорівнює $x см$ , а ширина — $y см$ ( $x > 8$ , $y > 8$ ).

Периметр листа:
$2 (x + y) = 60$
$x + y = 30$
$y = 30 - x$

Після вирізання квадратів зі стороною $4 см$ розміри дна коробки становлять $(x - 8) см$ та $(y - 8) см$ , а висота коробки дорівнює $4 см$ .

Об’єм коробки:
$4 (x - 8) (y - 8) = 160$

Поділимо обидві частини на $4$ :
$(x - 8) (y - 8) = 40$

Складемо систему рівнянь:
${x + y = 30 (x - 8) (y - 8) = 40$

Підставимо $y = 30 - x$ у друге рівняння:
$(x - 8) (30 - x - 8) = 40$
$(x - 8) (22 - x) = 40$
$22 x - x^{2} - 176 + 8 x = 40$
$- x^{2} + 30 x - 216 = 0$
$x^{2} - 30 x + 216 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = (- 30)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 216 = 900 - 864 = 36$

Корені рівняння:
$x_{1} = \frac{30 - 6}{2} = 12$
$x_{2} = \frac{30 + 6}{2} = 18$

Якщо $x = 18$ , то $y = 30 - 18 = 12$ .
Якщо $x = 12$ , то $y = 30 - 12 = 18$ .

Обидва значення задовольняють геометричні умови задачі. Отже, довжина та ширина листа становлять $18 см$ і $12 см$ .

Відповідь: $18 см$ , $12 см$ .

14.8. Із міста Умань до міста Біла Церква на екскурсію в Державний дендрологічний парк «Олександрія» виїхала на автомобілі сім’я Петренків. Одночасно з цим із міста Біла Церква тією самою дорогою в місто Умань на екскурсію в Національний дендрологічний парк «Софіївка» виїхала на автомобілі сім’я Дмитренків. Через годину після виїзду вони зустрілися та, не зупиняючись, продовжили їхати з тією самою швидкістю. Сім’я Петренків приїхала до парку «Олександрія» на 35 хв раніше, ніж сім’я Дмитренків до парку «Софіївка». З якою швидкістю їхала кожна із цих родин, якщо дорога, якою вони рухалися, завдовжки 140 км?

Дано:

$S = 140 км$
$t_{зустр} = 1 год$
$t_{Дмитр} - t_{Петр} = 35 хв = \frac{35}{60} год = \frac{7}{12} год$

Знайти:

$v_{Петр} - ?$
$v_{Дмитр} - ?$

Розв’язання:
Нехай швидкість сім’ї Петренків дорівнює $x км / год$ , а швидкість сім’ї Дмитренків — $y км / год$ ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

Оскільки вони виїхали одночасно назустріч одне одному і зустрілися через $1 год$ , сума їхніх швидкостей дорівнює усій відстані:

$x + y = 140 ⟹ y = 140 - x$

Усю відстань ( $140 км$ ) сім’я Петренків подолала за $\frac{140}{x} год$ , а сім’я Дмитренків — за $\frac{140}{y} год$ .

За умовою задачі сім’я Петренків прибула на $\frac{7}{12} год$ раніше. Складемо рівняння:

$\frac{140}{y} - \frac{140}{x} = \frac{7}{12}$

Підставимо вираз $y = 140 - x$ :

$\frac{140}{140 - x} - \frac{140}{x} = \frac{7}{12}$

Поділимо обидві частини рівняння на $7$ :

$\frac{20}{140 - x} - \frac{20}{x} = \frac{1}{12}$

Зведемо дроби до спільного знаменника:

$\frac{20 x - 20 ( 140 - x )}{x ( 140 - x )} = \frac{1}{12}$

$\frac{40 x - 2800}{140 x - x ^{2}} = \frac{1}{12}$

За основною властивістю пропорції при $x \neq = 0$ та $x \neq = 140$ :

$12 (40 x - 2800) = 140 x - x^{2}$

$480 x - 33600 = 140 x - x^{2}$

$x^{2} + 340 x - 33600 = 0$

Знайдемо дискримінант:

$D_{1} = 17 0^{2} - (- 33600) = 28900 + 33600 = 62500 = 25 0^{2}$

$x_{1} = - 170 - 250 = - 420$ (не підходить за змістом задачі, оскільки $x > 0$ )
$x_{2} = - 170 + 250 = 80$

Отже, швидкість сім’ї Петренків становить $80 км / год$ .

Знайдемо швидкість сім’ї Дмитренків:

$y = 140 - 80 = 60 (км / год)$

Відповідь: $80 км / год$ , $60 км / год$ .

14.9. Із села Вишневе до села Грушеве, відстань між якими 36 км, вирушив турист. Через годину після цього із Грушевого до Вишневого виїхала велосипедистка, яка зустрілася з туристом через 2 год після свого виїзду. Турист долає відстань між цими селами на 2 год довше, ніж велосипедистка. Знайдіть швидкість кожного з них.

Дано:

$S = 36 км$
$t_{тур} = 1 + 2 = 3 год$ (до зустрічі)
$t_{вел} = 2 год$ (до зустрічі)
$t_{тур (весь)} - t_{вел (весь)} = 2 год$

Знайти:

$v_{тур} - ?$
$v_{вел} - ?$

Розв’язання:
Нехай швидкість туриста дорівнює $x км / год$ , а швидкість велосипедистки — $y км / год$ ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

До зустрічі турист ішов $1 + 2 = 3 год$ і подолав $3 x км$ , а велосипедистка їхала $2 год$ і подолала $2 y км$ . Разом вони пройшли та проїхали $36 км$ :

$3 x + 2 y = 36 ⟹ 2 y = 36 - 3 x ⟹ y = 18 - 1, 5 x$

На весь шлях турист витрачає $\frac{36}{x} год$ , а велосипедистка — $\frac{36}{y} год$ .

Оскільки турист долає шлях на $2 год$ довше, маємо:

$\frac{36}{x} - \frac{36}{y} = 2$

Поділимо обидві частини на $2$ :

$\frac{18}{x} - \frac{18}{y} = 1$

Підставимо вираз $y = 18 - 1, 5 x$ :

$\frac{18}{x} - \frac{18}{18 - 1 , 5 x} = 1$

Поділимо чисельник і знаменник другого дробу на $1, 5$ :

$\frac{18}{x} - \frac{12}{12 - x} = 1$

Помножимо обидві частини на $x (12 - x) \neq = 0$ :

$18 (12 - x) - 12 x = x (12 - x)$

$216 - 18 x - 12 x = 12 x - x^{2}$

$x^{2} - 42 x + 216 = 0$

Знайдемо дискримінант:

$D_{1} = (- 21)^{2} - 216 = 441 - 216 = 225 = 1 5^{2}$

$x_{1} = 21 - 15 = 6$
$x_{2} = 21 + 15 = 36$

Якщо $x = 36$ , то $y = 18 - 1, 5 \cdot 36 = - 36 < 0$ (не задовольняє умову задачі).

Якщо $x = 6$ , то:

$y = 18 - 1, 5 \cdot 6 = 18 - 9 = 9 (км / год)$

Відповідь: $6 км / год$ , $9 км / год$ .

14.10. З одного міста в друге, відстань між якими дорівнює 240 км, виїхали одночасно автобус і автомобіль. Автобус прибув до пункту призначення на 1 год пізніше за автомобіль. Знайдіть швидкість автомобіля та швидкість автобуса, якщо за 2 год автобус проїжджає на 40 км більше, ніж автомобіль за одну годину, а їхні швидкості не перевищують 90 км/год.

Дано:

$S = 240 км$
$t_{авт} - t_{машина} = 1 год$
$2 v_{авт} - v_{машина} = 40 км$
$v_{машина} \leq 90 км / год$ , $v_{авт} \leq 90 км / год$

Знайти:

$v_{машина} - ?$
$v_{авт} - ?$

Розв’язання:
Нехай швидкість автомобіля дорівнює $x км / год$ , а швидкість автобуса — $y км / год$ .

За умовою, за $2 год$ автобус проїжджає на $40 км$ більше, ніж автомобіль за $1 год$ :

$2 y - x = 40 ⟹ x = 2 y - 40$

Час руху автомобіля становить $\frac{240}{x} год$ , а автобуса — $\frac{240}{y} год$ .

Оскільки автобус прибув на $1 год$ пізніше, складемо рівняння:

$\frac{240}{y} - \frac{240}{x} = 1$

Підставимо вираз $x = 2 y - 40$ :

$\frac{240}{y} - \frac{240}{2 y - 40} = 1$

$\frac{240}{y} - \frac{120}{y - 20} = 1$

Помножимо обидві частини на $y (y - 20) \neq = 0$ :

$240 (y - 20) - 120 y = y (y - 20)$

$240 y - 4800 - 120 y = y^{2} - 20 y$

$y^{2} - 140 y + 4800 = 0$

Знайдемо дискримінант:

$D_{1} = (- 70)^{2} - 4800 = 4900 - 4800 = 100 = 1 0^{2}$

$y_{1} = 70 + 10 = 80$
$y_{2} = 70 - 10 = 60$

Перевіримо обидва значення:

1) Якщо $y = 80 км / год$ , то $x = 2 \cdot 80 - 40 = 120 км / год$ , що суперечить умові $x \leq 90 км / год$ .

2) Якщо $y = 60 км / год$ , то:

$x = 2 \cdot 60 - 40 = 80 (км / год)$

Обидві швидкості ( $80 км / год$ і $60 км / год$ ) додатні та не перевищують $90 км / год$ .

Відповідь: $80 км / год$ , $60 км / год$ .

14.11. Дві бригади, працюючи разом, можуть виконати виробниче завдання за 8 днів. Якщо перша бригада, працюючи самостійно, виконає 1/3 завдання, а потім її змінить друга бригада, то завдання буде виконане за 20 днів. За скільки днів кожна бригада може виконати дане виробниче завдання, працюючи самостійно?

Дано:

$t_{разом} = 8 днів$
$t = \frac{1}{3} t_{1} + \frac{2}{3} t_{2} = 20 днів$

Знайти:

$t_{1} - ?$
$t_{2} - ?$

Розв’язання:
Приймемо все виробниче завдання за одиницю ( $1$ ).
Нехай перша бригада може виконати завдання самостійно за $x$ днів, а друга — за $y$ днів ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

Тоді за один день перша бригада виконує $\frac{1}{x}$ частину завдання, а друга — $\frac{1}{y}$ частину.
Працюючи разом, вони виконують роботу за $8$ днів:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$

Перша бригада виконує $\frac{1}{3}$ роботи за $\frac{1}{3} x$ днів, а друга доробляє решту $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ роботи за $\frac{2}{3} y$ днів. Увесь процес зайняв $20$ днів:

$\frac{1}{3} x + \frac{2}{3} y = 20 ⟹ x + 2 y = 60 ⟹ x = 60 - 2 y$

Підставимо вираз $x = 60 - 2 y$ у перше рівняння:

$\frac{1}{60 - 2 y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$

$\frac{y + 60 - 2 y}{y ( 60 - 2 y )} = \frac{1}{8}$

$\frac{60 - y}{60 y - 2 y ^{2}} = \frac{1}{8}$

За основною властивістю пропорції:

$8 (60 - y) = 60 y - 2 y^{2}$

$480 - 8 y = 60 y - 2 y^{2}$

$2 y^{2} - 68 y + 480 = 0$

Поділимо рівняння на $2$ :

$y^{2} - 34 y + 240 = 0$

Знайдемо корені через половинний дискримінант:

$D_{1} = (- 17)^{2} - 240 = 289 - 240 = 49 = 7^{2}$

$y_{1} = 17 + 7 = 24$
$y_{2} = 17 - 7 = 10$

Обчислимо відповідні значення $x$ :

1) Якщо $y_{1} = 24$ , то $x_{1} = 60 - 2 \cdot 24 = 12$ .

2) Якщо $y_{2} = 10$ , то $x_{2} = 60 - 2 \cdot 10 = 40$ .

Обидва варіанти задовольняють умову задачі.

Відповідь: $12 днів$ і $24 дні$ або $40 днів$ і $10 днів$ .

14.12. Вікторія і Віра, працюючи разом, можуть набрати деякий текст за 4 год. Якщо Вікторія, працюючи самостійно, набере половину тексту, а потім її замінить Віра, то весь текст буде набрано за 9 год. Скільки часу потрібно кожній із них, щоб самостійно набрати весь текст?

Дано:

$t_{разом} = 4 год$
$t = \frac{1}{2} t_{1} + \frac{1}{2} t_{2} = 9 год$

Знайти:

$t_{1} - ?$
$t_{2} - ?$

Розв’язання:
Приймемо весь обсяг тексту за одиницю ( $1$ ).
Нехай Вікторія може самостійно набрати весь текст за $x$ годин, а Віра — за $y$ годин ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

За одну годину Вікторія набирає $\frac{1}{x}$ частину тексту, а Віра — $\frac{1}{y}$ частину тексту.
Працюючи разом, дівчата набирають текст за $4$ години:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

Вікторія набирає половину тексту ( $\frac{1}{2}$ ) за $\frac{1}{2} x$ годин, а Віра другу половину — за $\frac{1}{2} y$ годин. На весь текст витрачено $9$ годин:

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = 9 ⟹ x + y = 18 ⟹ y = 18 - x$

Підставимо вираз $y = 18 - x$ у перше рівняння:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{18 - x} = \frac{1}{4}$

$\frac{18 - x + x}{x ( 18 - x )} = \frac{1}{4}$

$\frac{18}{18 x - x ^{2}} = \frac{1}{4}$

За основною властивістю пропорції при $x \neq = 0$ та $x \neq = 18$ :

$18 x - x^{2} = 72$

$x^{2} - 18 x + 72 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 6$
$x_{2} = 12$

Якщо $x = 6$ , то $y = 18 - 6 = 12$ .
Якщо $x = 12$ , то $y = 18 - 12 = 6$ .

Отже, одній із дівчат потрібно $6 год$ , а іншій — $12 год$ .

Відповідь: $6 год$ і $12 год$ (або $12 год$ і $6 год$ ).

14.13. Якщо відкрити одночасно дві труби, то басейн буде наповнено водою за 12 год. Якщо спочатку наповнювати басейн тільки через першу трубу протягом 5 год, а потім тільки через другу протягом 9 год, то водою буде наповнено половину басейну. За скільки годин можна наповнити басейн через кожну трубу?

Нехай перша труба наповнює весь басейн за $x$ год, а друга — за $y$ год ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

Тоді за 1 год перша труба наповнює $\frac{1}{x}$ частину басейну, а друга — $\frac{1}{y}$ частину басейну. Працюючи разом, за 1 год вони наповнюють $\frac{1}{12}$ частину басейну:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

За 5 год перша труба наповнить $\frac{5}{x}$ басейну, а друга за 9 год — $\frac{9}{y}$ басейну. Разом це становить половину басейну, тобто $\frac{1}{2}$ :

$\frac{5}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2}$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \frac{5}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2}$

Виконаємо заміну змінних: $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ :

$⎩ ⎨ ⎧ u + v = \frac{1}{12} 5 u + 9 v = \frac{1}{2}$

Помножимо перше рівняння на 5:

$5 u + 5 v = \frac{5}{12}$

Віднімемо отримане рівняння від другого:

$4 v = \frac{1}{2} - \frac{5}{12}$

$4 v = \frac{1}{12}$

$v = \frac{1}{48}$

Знайдемо $u$ :

$u = \frac{1}{12} - \frac{1}{48}$

$u = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$

Повернемося до початкових змінних:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{16} ⟹ x = 16$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{48} ⟹ y = 48$

Відповідь: за 16 год і 48 год.

14.14. Два трактористи, працюючи разом, можуть зорати поле за 6 год. Якщо перший тракторист працюватиме самостійно 4 год, а потім його змінить другий, то цей тракторист закінчить оранку за 9 год. За який час, працюючи самостійно, може зорати поле кожен тракторист?

Нехай перший тракторист може зорати все поле за $x$ год, а другий — за $y$ год ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

За 1 год перший тракторист виконує $\frac{1}{x}$ частину всієї роботи, а другий — $\frac{1}{y}$ частину роботи. Працюючи разом, за 1 год вони виконують $\frac{1}{6}$ частину роботи:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Перший тракторист за 4 год зорав $\frac{4}{x}$ поля, а другий за 9 год — $\frac{9}{y}$ поля, разом зоравши все поле (1):

$\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 1$

Отримуємо систему рівнянь:

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 1$

Зробимо заміну: $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ :

$⎩ ⎨ ⎧ u + v = \frac{1}{6} 4 u + 9 v = 1$

Помножимо перше рівняння на 4:

$4 u + 4 v = \frac{2}{3}$

Віднімемо його від другого рівняння:

$5 v = 1 - \frac{2}{3}$

$5 v = \frac{1}{3}$

$v = \frac{1}{15}$

Підставимо значення $v$ у перше рівняння:

$u = \frac{1}{6} - \frac{1}{15}$

$u = \frac{5 - 2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

Повертаємося до змінних $x$ та $y$ :

$\frac{1}{x} = \frac{1}{10} ⟹ x = 10$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{15} ⟹ y = 15$

Відповідь: за 10 год і 15 год.

14.15. При послідовному з’єднанні двох провідників опір в електричному колі становитиме 150 Ом, а при паралельному — 36 Ом. Знайдіть опір кожного провідника.

Дано:

$R_{посл} = 150 Ом$
$R_{пар} = 36 Ом$

Знайти:

$R_{1}$ , $R_{2}$ — ?

Розв’язання:
Нехай опір першого провідника дорівнює $R_{1} Ом$ , а другого — $R_{2} Ом$ ( $R_{1} > 0$ , $R_{2} > 0$ ).

При послідовному з’єднанні загальний опір дорівнює сумі опорів:

$R_{1} + R_{2} = 150$

При паралельному з’єднанні загальний опір визначається за формулою $\frac{1}{R _{пар}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ , звідки:

$\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = 36$

Підставимо $R_{1} + R_{2} = 150$ у друге рівняння:

$\frac{R _{1} R _{2}}{150} = 36$

$R_{1} R_{2} = 36 \cdot 150$

$R_{1} R_{2} = 5400$

Отримуємо систему рівнянь:

${R_{1} + R_{2} = 150 R_{1} R_{2} = 5400$

За теоремою, оберненою до теореми Вієта, $R_{1}$ та $R_{2}$ є коренями квадратного рівняння:

$t^{2} - 150 t + 5400 = 0$

$D = (- 150)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5400 = 22500 - 21600 = 900 = 3 0^{2}$

$t_{1} = \frac{150 + 30}{2} = 90$

$t_{2} = \frac{150 - 30}{2} = 60$

Отже, опір одного з провідників становить $90 Ом$ , а іншого — $60 Ом$ .

Відповідь: $60 Ом$ і $90 Ом$ .

14.16. При послідовному з’єднанні трьох провідників одного виду та одного провідника другого виду опір в електричному колі становитиме 18 Ом. Якщо паралельно з’єднати по одному провіднику першого та другого видів, то за напруги 24 В сила струму в електричному колі становитиме 10 А. Знайдіть опір провідника кожного виду.

Дано:

$3 R_{1} + R_{2} = 18 Ом$
$U = 24 В$
$I = 10 А$

Знайти:

$R_{1}$ , $R_{2}$ — ?

Розв’язання:
Нехай опір провідника першого виду дорівнює $R_{1} Ом$ , а другого — $R_{2} Ом$ ( $R_{1} > 0$ , $R_{2} > 0$ ).

З першої умови послідовного з’єднання:

$3 R_{1} + R_{2} = 18 ⟹ R_{2} = 18 - 3 R_{1}$

Знайдемо загальний опір кола при паралельному з’єднанні двох провідників за законом Ома:

$R_{пар} = \frac{U}{I} = \frac{24}{10} = 2, 4 (Ом)$

За формулою паралельного з’єднання:

$\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = 2, 4$

Підставимо вираз $R_{2} = 18 - 3 R_{1}$ :

$\frac{R _{1} ( 18 - 3 R _{1} )}{R _{1} + ( 18 - 3 R _{1} )} = 2, 4$

$\frac{18 R _{1} - 3 R _{1}^{2}}{18 - 2 R _{1}} = 2, 4$

$18 R_{1} - 3 R_{1}^{2} = 2, 4 (18 - 2 R_{1})$

$18 R_{1} - 3 R_{1}^{2} = 43, 2 - 4, 8 R_{1}$

$3 R_{1}^{2} - 22, 8 R_{1} + 43, 2 = 0$

Поділимо обидві частини на 3:

$R_{1}^{2} - 7, 6 R_{1} + 14, 4 = 0$

$D = (- 7, 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14, 4 = 57, 76 - 57, 60 = 0, 16 = 0, 4^{2}$

$R_{1} = \frac{7 , 6 \pm 0 , 4}{2}$

Знайдемо значення опорів:

1) $R_{1} = \frac{7 , 6 + 0 , 4}{2} = 4 Ом$ , тоді $R_{2} = 18 - 3 \cdot 4 = 6 Ом$ .

2) $R_{1} = \frac{7 , 6 - 0 , 4}{2} = 3, 6 Ом$ , тоді $R_{2} = 18 - 3 \cdot 3, 6 = 7, 2 Ом$ .

Обидві пари значень задовольняють умову задачі.

Відповідь: $4 Ом$ і $6 Ом$ або $3, 6 Ом$ і $7, 2 Ом$ .

14.17. Човен проплив по річці від пристані A до пристані B і повернувся назад за 6 год. Знайдіть швидкість течії річки, якщо 2 км за течією річки човен пропливає за той самий час, що й 1 км проти течії, а відстань між пристанями A і B становить 16 км.

Дано:

$S_{A B} = 16 км$
$t_{заг} = 6 год$
$t (2 км за теч .) = t (1 км проти теч .)$

Знайти:

$u_{теч}$ — ?

Розв’язання:
Нехай власна швидкість човна дорівнює $v км / год$ , а швидкість течії річки — $u км / год$ ( $v > u > 0$ ).
Тоді швидкість човна за течією становить $(v + u) км / год$ , а проти течії — $(v - u) км / год$ .

За умовою, час руху на дистанції $2 км$ за течією дорівнює часу руху на дистанції $1 км$ проти течії:

$\frac{2}{v + u} = \frac{1}{v - u}$

$2 (v - u) = v + u$

$2 v - 2 u = v + u$

$v = 3 u$

Загальний час руху туди й назад на відстані $16 км$ становить $6 год$ :

$\frac{16}{v + u} + \frac{16}{v - u} = 6$

Підставимо $v = 3 u$ :

$v + u = 3 u + u = 4 u$

$v - u = 3 u - u = 2 u$

Отримуємо рівняння:

$\frac{16}{4 u} + \frac{16}{2 u} = 6$

$\frac{4}{u} + \frac{8}{u} = 6$

$\frac{12}{u} = 6$

$u = 2$

Швидкість течії річки становить $2 км / год$ .

Відповідь: $2 км / год$ .

14.18. Катер проходить 48 км проти течії річки та 30 км за течією річки за 3 год, а 15 км за течією — на 1 год швидше, ніж 36 км проти течії. Знайдіть власну швидкість катера та швидкість течії.

Дано:

$s_{1} = 48 км$ (проти течії), $s_{2} = 30 км$ (за течією), $t = 3 год$
$s_{3} = 15 км$ (за течією), $s_{4} = 36 км$ (проти течії), $Δ t = 1 год$

Знайти:

власну швидкість катера $v_{вл} - ?$
швидкість течії річки $v_{т} - ?$

Розв’язання:
Нехай власна швидкість катера дорівнює $x км / год$ , а швидкість течії річки — $y км / год$ ( $x > y > 0$ ). Тоді швидкість катера за течією річки становить $(x + y) км / год$ , а проти течії — $(x - y) км / год$ .

За умовою задачі складаємо систему рівнянь:
$⎩ ⎨ ⎧ \frac{48}{x - y} + \frac{30}{x + y} = 3 \frac{36}{x - y} - \frac{15}{x + y} = 1$

Виконаємо заміну змінних. Нехай $\frac{1}{x - y} = u$ , а $\frac{1}{x + y} = v$ . Отримуємо систему лінійних рівнянь:
${48 u + 30 v = 3 36 u - 15 v = 1$

Помножимо друге рівняння на $2$ :
${48 u + 30 v = 3 72 u - 30 v = 2$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$120 u = 5$
$u = \frac{5}{120}$
$u = \frac{1}{24}$

Підставимо значення $u$ у друге рівняння:
$36 \cdot \frac{1}{24} - 15 v = 1$
$1, 5 - 15 v = 1$
$15 v = 0, 5$
$v = \frac{0 , 5}{15} = \frac{1}{30}$

Повернемося до початкових змінних:
${x - y = 24 x + y = 30$

Додамо почленно рівняння:
$2 x = 54$
$x = 27$

Віднімемо перше рівняння від другого:
$2 y = 6$
$y = 3$

Власна швидкість катера дорівнює $27 км / год$ , а швидкість течії — $3 км / год$ .

Відповідь: $27 км / год$ , $3 км / год$ .

14.19. Модуль рівнодійної двох сил, що прикладені до однієї точки під прямим кутом, дорівнює 25 Н. Якщо модуль однієї сили зменшити на 8 Н, а другої збільшити на 4 Н, то модуль їхньої рівнодійної не зміниться. Знайдіть модулі даних сил.

Дано:

$R_{1} = 25 Н$
$α = 9 0^{\circ}$
$F_{1}^{'} = F_{1} - 8$
$F_{2}^{'} = F_{2} + 4$
$R_{2} = 25 Н$

Знайти:

$F_{1} - ?$
$F_{2} - ?$

Розв’язання:
Нехай модуль першої сили дорівнює $x Н$ ( $x > 8$ ), а модуль другої сили — $y Н$ ( $y > 0$ ). Оскільки сили напрямлені під прямим кутом, за теоремою Піфагора квадрат модуля їхньої рівнодійної дорівнює сумі квадратів модулів сил:
$x^{2} + y^{2} = 2 5^{2}$
$x^{2} + y^{2} = 625$

Після зміни модулів сил нова рівнодійна також дорівнює $25 Н$ :
$(x - 8)^{2} + (y + 4)^{2} = 625$

Отримуємо систему рівнянь:
${x^{2} + y^{2} = 625 (x - 8)^{2} + (y + 4)^{2} = 625$

Прирівняємо ліві частини рівнянь:
$(x - 8)^{2} + (y + 4)^{2} = x^{2} + y^{2}$
$x^{2} - 16 x + 64 + y^{2} + 8 y + 16 = x^{2} + y^{2}$
$- 16 x + 8 y + 80 = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на $8$ :
$- 2 x + y + 10 = 0$
$y = 2 x - 10$

Підставимо отриманий вираз для $y$ у перше рівняння системи:
$x^{2} + (2 x - 10)^{2} = 625$
$x^{2} + 4 x^{2} - 40 x + 100 = 625$
$5 x^{2} - 40 x - 525 = 0$

Поділимо обидві частини на $5$ :
$x^{2} - 8 x - 105 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 15$
$x_{2} = - 7$ (не задовольняє умову задачі, оскільки модуль сили є додатним числом)

Знайдемо значення $y$ :
$y = 2 \cdot 15 - 10 = 20$

Отже, модулі даних сил становлять $15 Н$ та $20 Н$ .

Відповідь: $15 Н$ , $20 Н$ .

14.20. Два автомобілі виїхали одночасно з одного міста в одному напрямку. Швидкість першого автомобіля 50 км/год, а другого — 40 км/год. Через 0,5 год з того самого міста в тому самому напрямку виїхав третій автомобіль, який наздогнав перший на 1,5 год пізніше, ніж другий. Знайдіть швидкість третього автомобіля.

Дано:

$v_{1} = 50 км / год$
$v_{2} = 40 км / год$
затримка виїзду третього автомобіля $Δ t = 0, 5 год$
різниця часу між моментами обгону $t_{1} - t_{2} = 1, 5 год$

Знайти:

швидкість третього автомобіля $v_{3} - ?$

Розв’язання:
Нехай швидкість третього автомобіля дорівнює $v км / год$ . Щоб наздогнати перший і другий автомобілі, його швидкість має бути більшою за швидкість першого: $v > 50 км / год$ .

Нехай від моменту виїзду третього автомобіля до моменту, коли він наздогнав другий автомобіль, минуло $t_{2} год$ . За цей час третій автомобіль подолав відстань $v t_{2} км$ , а другий рухався протягом $(t_{2} + 0, 5) год$ і проїхав $40 (t_{2} + 0, 5) км$ .

Оскільки шляхи рівні:
$v t_{2} = 40 (t_{2} + 0, 5)$
$v t_{2} - 40 t_{2} = 20$
$t_{2} (v - 40) = 20$
$t_{2} = \frac{20}{v - 40}$

Аналогічно, якщо $t_{1}$ — час руху третього автомобіля до моменту обгону першого:
$v t_{1} = 50 (t_{1} + 0, 5)$
$v t_{1} - 50 t_{1} = 25$
$t_{1} (v - 50) = 25$
$t_{1} = \frac{25}{v - 50}$

За умовою, третій автомобіль наздогнав перший на $1, 5 год$ пізніше, ніж другий:
$t_{1} - t_{2} = 1, 5$
$\frac{25}{v - 50} - \frac{20}{v - 40} = 1, 5$

Помножимо обидві частини рівняння на $2$ :
$\frac{50}{v - 50} - \frac{40}{v - 40} = 3$

Помножимо обидві частини на спільний знаменник $(v - 50) (v - 40) \neq = 0$ :
$50 (v - 40) - 40 (v - 50) = 3 (v - 50) (v - 40)$
$50 v - 2000 - 40 v + 2000 = 3 (v^{2} - 90 v + 2000)$
$10 v = 3 v^{2} - 270 v + 6000$
$3 v^{2} - 280 v + 6000 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = (- 280)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 6000 = 78400 - 72000 = 6400 = 8 0^{2}$
$v_{1} = \frac{280 + 80}{6} = \frac{360}{6} = 60$
$v_{2} = \frac{280 - 80}{6} = \frac{200}{6} = 33 \frac{1}{3} (не задовольняє умову v > 50)$

Отже, швидкість третього автомобіля дорівнює $60 км / год$ .

Відповідь: $60 км / год$ .

14.21. З одного села одночасно в одному напрямку вирушили пішки Петро та Василь. Швидкість руху Петра становила 3 км/год, а Василя — 4 км/год. Через півтори години із цього села виїхала на велосипеді Ірина, яка наздогнала Василя через 15 хв після того, як наздогнала Петра. Знайдіть швидкість руху Ірини.

Дано:

$v_{П} = 3 км / год$
$v_{В} = 4 км / год$
час фори пішоходів $t_{0} = 1, 5 год$
різниця часу зустрічей $Δ t = 15 хв = \frac{1}{4} год$

Знайти:

швидкість руху Ірини $v - ?$

Розв’язання:
Нехай швидкість руху Ірини дорівнює $v км / год$ . Щоб наздогнати хлопців, її швидкість має перевищувати швидкість Василя: $v > 4 км / год$ .

Нехай $t_{П}$ — час (у годинах), за який Ірина наздогнала Петра. За цей час вона проїхала $v t_{П} км$ , а Петро йшов протягом $(t_{П} + 1, 5) год$ і пройшов $3 (t_{П} + 1, 5) км$ .

Складемо рівняння:
$v t_{П} = 3 (t_{П} + 1, 5)$
$v t_{П} - 3 t_{П} = 4, 5$
$t_{П} (v - 3) = 4, 5$
$t_{П} = \frac{4 , 5}{v - 3}$

Нехай $t_{В}$ — час (у годинах), за який Ірина наздогнала Василя:
$v t_{В} = 4 (t_{В} + 1, 5)$
$v t_{В} - 4 t_{В} = 6$
$t_{В} (v - 4) = 6$
$t_{В} = \frac{6}{v - 4}$

За умовою задачі, Василя Ірина наздогнала на $15 хв = \frac{1}{4} год$ пізніше:
$t_{В} - t_{П} = \frac{1}{4}$
$\frac{6}{v - 4} - \frac{4 , 5}{v - 3} = \frac{1}{4}$

Помножимо обидві частини рівняння на $4$ :
$\frac{24}{v - 4} - \frac{18}{v - 3} = 1$

Помножимо обидві частини на $(v - 4) (v - 3) \neq = 0$ :
$24 (v - 3) - 18 (v - 4) = (v - 4) (v - 3)$
$24 v - 72 - 18 v + 72 = v^{2} - 7 v + 12$
$6 v = v^{2} - 7 v + 12$
$v^{2} - 13 v + 12 = 0$

За теоремою Вієта:
$v_{1} = 12$
$v_{2} = 1$ (не задовольняє умову $v > 4$ )

Швидкість руху Ірини становить $12 км / год$ .

Відповідь: $12 км / год$ .

14.22. Із міст A і B, відстань між якими 40 км, одночасно назустріч одна одній виїхали на велосипедах Галина та Катерина. Галина прибула до міста B через 40 хв, а Катерина — до міста A через 1,5 год після зустрічі. Знайдіть швидкість руху кожної дівчини.

Дано:

$s = 40 км$
час Галини після зустрічі $t_{1} = 40 хв = \frac{2}{3} год$
час Катерини після зустрічі $t_{2} = 1, 5 год = \frac{3}{2} год$

Знайти:

швидкість Галини $v_{1} - ?$
швидкість Катерини $v_{2} - ?$

Розв’язання:
Нехай швидкість Галини дорівнює $x км / год$ , а швидкість Катерини — $y км / год$ ( $x > 0, y > 0$ ). Нехай до моменту зустрічі дівчата їхали $t год$ .

До зустрічі Галина проїхала відрізок від міста A до точки зустрічі завдовжки $x t км$ , а Катерина від міста B до точки зустрічі — $y t км$ .

Після зустрічі:

Галина подолала шлях, який до зустрічі проїхала Катерина ( $y t км$ ), за $40 хв = \frac{2}{3} год$ :
$y t = \frac{2}{3} x ⟹ t = \frac{2 x}{3 y}$
Катерина подолала шлях, який до зустрічі проїхала Галина ( $x t км$ ), за $1, 5 год = \frac{3}{2} год$ :
$x t = \frac{3}{2} y ⟹ t = \frac{3 y}{2 x}$

Прирівняємо обидва вирази для $t$ :
$\frac{2 x}{3 y} = \frac{3 y}{2 x}$
$4 x^{2} = 9 y^{2}$

Оскільки швидкості є додатними числами:
$2 x = 3 y$
$x = 1, 5 y$

Знайдемо час руху дівчат до зустрічі:
$t = \frac{2 \cdot 1 , 5 y}{3 y} = 1 (год)$

Весь шлях між містами A і B становить $40 км$ . Загальний час руху Галини:
$t_{Г} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} (год)$

Швидкість Галини:
$x = \frac{40}{\frac{5}{3}} = \frac{40 \cdot 3}{5} = 24 (км / год)$

Загальний час руху Катерини:
$t_{К} = 1 + 1, 5 = 2, 5 = \frac{5}{2} (год)$

Швидкість Катерини:
$y = \frac{40}{\frac{5}{2}} = \frac{40 \cdot 2}{5} = 16 (км / год)$

Відповідь: $24 км / год$ , $16 км / год$ .

14.23.•• Із двох пунктів, відстань між якими 180 км, одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі. Перший автомобіль прибув до другого пункту через 1 год 36 хв після зустрічі, а другий автомобіль прибув до першого пункту через 2,5 год після зустрічі. Знайдіть швидкість кожного автомобіля.

Дано:

$S = 180 км$
$t_{зустр}$ — час руху обох автомобілів до зустрічі
$t_{1} = 1 год 36 хв = 1 \frac{36}{60} год = 1, 6 год$ — час першого після зустрічі
$t_{2} = 2, 5 год$ — час другого після зустрічі

Знайти:

$v_{1}, v_{2} - ?$

Розв’язання:
Нехай $v_{1} (км / год)$ — швидкість першого автомобіля, а $v_{2} (км / год)$ — швидкість другого автомобіля. До зустрічі вони рухалися однаковий час $t (год)$ .

Перший автомобіль до зустрічі проїхав $v_{1} t км$ , а другий — $v_{2} t км$ .

Після зустрічі перший автомобіль проїхав відстань, яку до зустрічі подолав другий, тобто $v_{2} t км$ , за $1, 6 год$ :
$v_{2} t = 1, 6 v_{1} ⟹ t = \frac{1 , 6 v _{1}}{v _{2}}$

Другий автомобіль після зустрічі проїхав відстань першого, тобто $v_{1} t км$ , за $2, 5 год$ :
$v_{1} t = 2, 5 v_{2} ⟹ t = \frac{2 , 5 v _{2}}{v _{1}}$

Прирівняємо вирази для часу $t$ :
$\frac{1 , 6 v _{1}}{v _{2}} = \frac{2 , 5 v _{2}}{v _{1}}$

$\frac{v _{1}^{2}}{v _{2}^{2}} = \frac{2 , 5}{1 , 6} = \frac{25}{16}$

Оскільки швидкості додатні:
$\frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{5}{4} = 1, 25 ⟹ v_{1} = 1, 25 v_{2}$

Знайдемо час $t$ до зустрічі:
$t = 1, 6 \cdot 1, 25 = 2 (год)$

Загальний час руху першого автомобіля:
$2 + 1, 6 = 3, 6 (год)$

Загальний час руху другого автомобіля:
$2 + 2, 5 = 4, 5 (год)$

Обчислимо швидкість кожного автомобіля:
$v_{1} = \frac{180}{3 , 6} = 50 (км / год)$

$v_{2} = \frac{180}{4 , 5} = 40 (км / год)$

Відповідь: $50 км / год$ , $40 км / год$ .

14.24. Відстань між пристанями A і B дорівнює 28 км. Вирушивши від пристані A до пристані B, через 2 год після початку руху катер зустрів пліт, відправлений від пристані B за течією річки за 2 год до початку руху катера. Знайдіть швидкість течії річки та власну швидкість катера, якщо катер проходить відстань від A до B і повертається назад за 4 год 48 хв.*

Дано:

$S = 28 км$
$t_{кат} = 2 год$ — час руху катера до зустрічі
$t_{плота} = 2 + 2 = 4 год$ — час руху плота до зустрічі
$t_{разом} = 4 год 48 хв = 4 \frac{48}{60} год = 4, 8 год$ — час руху катера туди й назад

Знайти:

$v_{кат}, v_{течії} - ?$

Розв’язання:
Оскільки пліт рухається за течією від $B$ до $A$ , то течія спрямована від $B$ до $A$ . Отже, від $A$ до $B$ катер рухається проти течії, а від $B$ до $A$ — за течією.

Нехай власна швидкість катера дорівнює $v км / год$ , а швидкість течії річки — $u км / год$ ( $v > u > 0$ ).
Швидкість катера проти течії становить $(v - u) км / год$ , за течією — $(v + u) км / год$ , а швидкість плота дорівнює $u км / год$ .

Пліт рухався до зустрічі $2 + 2 = 4 год$ і проплив $4 u км$ .
Катер рухався до зустрічі проти течії $2 год$ і проплив $2 (v - u) км$ .
Разом вони подолали всю відстань $28 км$ :
$2 (v - u) + 4 u = 28$
$2 v - 2 u + 4 u = 28$
$2 v + 2 u = 28$
$v + u = 14$

Катер витратив на шлях від $A$ до $B$ і назад $4, 8 год$ :
$\frac{28}{v - u} + \frac{28}{v + u} = 4, 8$

Підставимо $v + u = 14$ у рівняння:
$\frac{28}{v - u} + \frac{28}{14} = 4, 8$
$\frac{28}{v - u} + 2 = 4, 8$
$\frac{28}{v - u} = 2, 8$
$v - u = \frac{28}{2 , 8}$
$v - u = 10$

Маємо лінійну систему рівнянь:
${v + u = 14 v - u = 10$

Додамо обидва рівняння:
$2 v = 24$
$v = 12 (км / год)$

Знайдемо швидкість течії:
$u = 14 - 12 = 2 (км / год)$

Відповідь: швидкість течії річки — $2 км / год$ , власна швидкість катера — $12 км / год$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

14.25. Група школярів і школярок очищують берег річки від пластикового сміття. Якщо 6 дітей працюватимуть 4 год, то вони очистять 120 м берегу. Скільки метрів зможуть очистити 10 школярів і школярок за 5 год, працюючи з тією самою продуктивністю?

1) Знайдемо, скільки метрів берега очищує 1 дитина за 1 годину:
$120 : (6 \cdot 4) = 120 : 24 = 5 (м / год)$

2) Знайдемо, скільки метрів очистять 10 школярів і школярок за 5 годин:
$10 \cdot 5 \cdot 5 = 250 (м)$

Відповідь: $250 м .$

14.26. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності (2x + 1)(x + 4) – 3x (x + 2)>0.

Розкриємо дужки у лівій частині нерівності:
$2 x^{2} + 8 x + x + 4 - 3 x^{2} - 6 x > 0$

Зведемо подібні доданки:
$- x^{2} + 3 x + 4 > 0$

Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} - 3 x - 4 < 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$
$x_{2} = 4$

Розв’язком нерівності є числовий проміжок:
$x \in (- 1; 4)$

Цілими розв’язками нерівності є числа: $0, 1, 2, 3$ .
Найбільший із них — число $3$ .

Відповідь: $3$ .

14.27. При яких значеннях змінної має зміст вираз √(12 – 5x) + √(2x + 1)?

Вираз має зміст тоді, коли кожен із підкореневих виразів є невід’ємним:
${12 - 5 x \geq 0 2 x + 1 \geq 0$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

1) $12 - 5 x \geq 0$
$- 5 x \geq - 12$
$x \leq \frac{- 12}{- 5}$
$x \leq 2, 4$

2) $2 x + 1 \geq 0$
$2 x \geq - 1$
$x \geq - 0, 5$

Отримуємо спільний розв’язок системи:
${x \leq 2, 4 x \geq - 0, 5$

$x \in [- 0, 5; 2, 4]$

Відповідь: $x \in [- 0, 5; 2, 4]$ .

14.28. Знайдіть проміжок спадання функції:
1) $y = 2 x^{2} + 10 x - 9$ ;
2) $y = 5 x - 3 x^{2}$ .

1) Графіком функції $y = 2 x^{2} + 10 x - 9$ є парабола з вітками, напрямленими вгору ( $a = 2 > 0$ ).
Знайдемо абсцису вершини параболи:
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{10}{2 \cdot 2} = - \frac{10}{4} = - 2, 5$
Оскільки вітки напрямлені вгору, функція спадає на проміжку $(- \infty; - 2, 5]$ .

2) Графіком функції $y = - 3 x^{2} + 5 x$ є парабола з вітками, напрямленими вниз ( $a = - 3 < 0$ ).
Знайдемо абсцису вершини параболи:
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{5}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{5}{6}$
Оскільки вітки напрямлені вниз, функція спадає на проміжку $[\frac{5}{6}; + \infty)$ .

Відповідь: 1) $(- \infty; - 2, 5]$ ; 2) $[\frac{5}{6}; + \infty)$ .

14.29. 14 грудня 1840 року в Парижі комісія у складі академіків-математиків зібралася для вивчення математичних здібностей хлопчика Анрі Мондьо, який феноменально виконував обчислення. Розв’яжіть одну із запропонованих Мондьо задач, яку хлопчик розв’язав усно: «Які два натуральних числа треба взяти, щоб різниця їхніх квадратів дорівнювала 133?»

Нехай шукані натуральні числа дорівнюють $x$ та $y$ , причому $x > y$ .
За умовою задачі:
$x^{2} - y^{2} = 133$
$(x - y) (x + y) = 133$

Оскільки $x$ і $y$ — натуральні числа, то множники $(x - y)$ та $(x + y)$ також є натуральними числами, причому $x - y < x + y$ .
Число $133$ можна розкласти на добуток двох натуральних множників двома способами: $1 \cdot 133$ або $7 \cdot 19$ .

Розглянемо два випадки:

1) ${x - y = 1 x + y = 133$
Додамо рівняння системи:
$2 x = 134$
$x = 67$
Тоді:
$y = 67 - 1 = 66$

2) ${x - y = 7 x + y = 19$
Додамо рівняння системи:
$2 x = 26$
$x = 13$
Тоді:
$y = 19 - 13 = 6$

Відповідь: $67$ і $66$ або $13$ і $6$ .

14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі

Теги статті:

До уроку