13. Системи рівнянь з двома змінними

1. Які методи розв’язування систем рівнянь ви знаєте?

Графічний метод, метод підстановки, метод додавання та метод заміни змінних.

2. Поясніть сутність графічного методу розв’язування систем рівнянь.

Сутність методу полягає в тому, щоб побудувати на одній координатній площині графіки кожного з рівнянь системи та знайти координати спільних точок (точок перетину) цих графіків. Координати $(x; y)$ знайдених точок і є розв’язками системи.

3. У яких випадках графічний метод є найбільш ефективним?

Графічний метод найбільш ефективний тоді, коли потрібно з’ясувати кількість розв’язків системи рівнянь або коли достатньо визначити ці розв’язки наближено.

13.1.° Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) ${x + y = 5, x y = 6$

Запишемо рівняння у вигляді функцій:
$y = 5 - x$ — лінійна функція, графіком є пряма.

$x$	$0$	$5$
$y$	$5$	$0$

$y = \frac{6}{x}$ — обернена пропорційність, графіком є гіпербола, вітки якої розміщені в I та III координатних чвертях.

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 6$	$6$	$3$	$2$	$1$

Пряма та гіпербола перетинаються у двох точках із координатами $(2; 3)$ та $(3; 2)$ .

Перевірка підтверджує:
${2 + 3 = 5, 2 \cdot 3 = 6;$ та ${3 + 2 = 5, 3 \cdot 2 = 6.$

Відповідь: $(2; 3)$ , $(3; 2)$ .

2) ${y + x^{2} = 3, y = x + 1$

Запишемо перше рівняння у вигляді функції:
$y = - x^{2} + 3$ — квадратична функція, графіком є парабола з вершиною в точці $(0; 3)$ , вітки якої напрямлені вниз.

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 6$	$- 1$	$2$	$3$	$2$	$- 1$	$- 6$

$y = x + 1$ — лінійна функція, графіком є пряма.

$x$	$- 2$	$1$
$y$	$- 1$	$2$

Графіки перетинаються у двох точках: $(- 2; - 1)$ та $(1; 2)$ .

Перевірка підтверджує:
${- 1 + (- 2)^{2} = 3, - 1 = - 2 + 1;$ та ${2 + 1^{2} = 3, 2 = 1 + 1.$

Відповідь: $(- 2; - 1)$ , $(1; 2)$ .

3) ${x^{2} + y^{2} = 25, x y = - 12$

Графіком рівняння $x^{2} + y^{2} = 25$ є коло радіуса $R = 25 = 5$ із центром у початку координат $(0; 0)$ .
Графіком рівняння $y = - \frac{12}{x}$ є гіпербола, вітки якої розміщені в II та IV чвертях.

$x$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$2$	$3$	$4$	$6$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$

Коло та гіпербола перетинаються в чотирьох точках: $(- 4; 3)$ , $(- 3; 4)$ , $(3; - 4)$ , $(4; - 3)$ .

Відповідь: $(- 4; 3)$ , $(- 3; 4)$ , $(3; - 4)$ , $(4; - 3)$ .

13.2.° Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) ${y = x + 2, x y = 8$

$y = x + 2$ — лінійна функція, графіком є пряма.

$x$	$- 2$	$0$
$y$	$0$	$2$

$y = \frac{8}{x}$ — обернена пропорційність, графіком є гіпербола, вітки якої розміщені в I та III чвертях.

$x$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 4$	$- 8$	$8$	$4$	$2$	$1$

Пряма та гіпербола перетинаються у двох точках: $(2; 4)$ та $(- 4; - 2)$ .

Перевірка підтверджує:
${4 = 2 + 2, 2 \cdot 4 = 8;$ та ${- 2 = - 4 + 2, - 4 \cdot (- 2) = 8.$

Відповідь: $(2; 4)$ , $(- 4; - 2)$ .

2) ${y = x^{2} - 4, 2 x + y = - 1$

$y = x^{2} - 4$ — квадратична функція, графіком є парабола з вершиною в точці $(0; - 4)$ , вітки якої напрямлені вгору.

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

$y = - 2 x - 1$ — лінійна функція, графіком є пряма.

$x$	$- 3$	$1$
$y$	$5$	$- 3$

Графіки перетинаються у двох точках: $(- 3; 5)$ та $(1; - 3)$ .

Перевірка підтверджує:
${5 = (- 3)^{2} - 4, 2 \cdot (- 3) + 5 = - 1;$ та ${- 3 = 1^{2} - 4, 2 \cdot 1 + (- 3) = - 1.$

Відповідь: $(- 3; 5)$ , $(1; - 3)$ .

3) ${x + y = 3, x^{2} + y^{2} = 9$

$y = 3 - x$ — лінійна функція, графіком є пряма.

$x$	$0$	$3$
$y$	$3$	$0$

Графіком другого рівняння $x^{2} + y^{2} = 9$ є коло радіуса $R = 9 = 3$ із центром у початку координат $(0; 0)$ .

Пряма та коло перетинаються у двох точках: $(0; 3)$ та $(3; 0)$ .

Перевірка підтверджує:
${0 + 3 = 3, 0^{2} + 3^{2} = 9;$ та ${3 + 0 = 3, 3^{2} + 0^{2} = 9.$

Відповідь: $(0; 3)$ , $(3; 0)$ .

ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

13.3.° Розв’яжіть методом підстановки систему рівнянь:

1) ${y = x + 3, x^{2} - 2 y = 9$

Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння:
$x^{2} - 2 (x + 3) = 9$
$x^{2} - 2 x - 6 - 9 = 0$
$x^{2} - 2 x - 15 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 5$
$x_{2} = - 3$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 5 + 3 = 8$
$y_{2} = - 3 + 3 = 0$

Відповідь: $(5; 8)$ , $(- 3; 0)$ .

2) ${x + y = 5, x y = 4$

Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:
$y = 5 - x$

Підставимо у друге рівняння:
$x (5 - x) = 4$
$5 x - x^{2} = 4$
$x^{2} - 5 x + 4 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 1$
$x_{2} = 4$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 5 - 1 = 4$
$y_{2} = 5 - 4 = 1$

Відповідь: $(1; 4)$ , $(4; 1)$ .

3) ${y - x = 2, x^{2} - 2 x y = 3$

Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:
$y = x + 2$

Підставимо у друге рівняння:
$x^{2} - 2 x (x + 2) = 3$
$x^{2} - 2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$
$- x^{2} - 4 x - 3 = 0$
$x^{2} + 4 x + 3 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$
$x_{2} = - 3$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = - 1 + 2 = 1$
$y_{2} = - 3 + 2 = - 1$

Відповідь: $(- 1; 1)$ , $(- 3; - 1)$ .

4) ${x - 4 y = 2, x y + 2 y = 8$

Виразимо $x$ через $y$ з першого рівняння:
$x = 4 y + 2$

Підставимо у друге рівняння:
$(4 y + 2) y + 2 y = 8$
$4 y^{2} + 2 y + 2 y - 8 = 0$
$4 y^{2} + 4 y - 8 = 0$
$y^{2} + y - 2 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 1$
$y_{2} = - 2$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
$x_{1} = 4 \cdot 1 + 2 = 6$
$x_{2} = 4 \cdot (- 2) + 2 = - 6$

Відповідь: $(6; 1)$ , $(- 6; - 2)$ .

5) ${x y = 15, 2 x - y = 7$

Виразимо $y$ через $x$ з другого рівняння:
$y = 2 x - 7$

Підставимо у перше рівняння:
$x (2 x - 7) = 15$
$2 x^{2} - 7 x - 15 = 0$

$D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15) = 49 + 120 = 169 = 1 3^{2}$
$x_{1} = \frac{7 + 13}{4} = 5$
$x_{2} = \frac{7 - 13}{4} = - 1, 5$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 2 \cdot 5 - 7 = 3$
$y_{2} = 2 \cdot (- 1, 5) - 7 = - 10$

Відповідь: $(5; 3)$ , $(- 1, 5; - 10)$ .

6) ${x - y = 4, x^{2} + y^{2} = 8$

Виразимо $x$ через $y$ з першого рівняння:
$x = y + 4$

Підставимо у друге рівняння:
$(y + 4)^{2} + y^{2} = 8$
$y^{2} + 8 y + 16 + y^{2} = 8$
$2 y^{2} + 8 y + 8 = 0$
$y^{2} + 4 y + 4 = 0$
$(y + 2)^{2} = 0$
$y = - 2$

Знайдемо значення $x$ :
$x = - 2 + 4 = 2$

Відповідь: $(2; - 2)$ .

13.4.° Розв’яжіть методом підстановки систему рівнянь:

1) ${x - y = 3, x y = 28$

Виразимо $x$ через $y$ з першого рівняння:
$x = y + 3$

Підставимо у друге рівняння:
$(y + 3) y = 28$
$y^{2} + 3 y - 28 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 4$
$y_{2} = - 7$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
$x_{1} = 4 + 3 = 7$
$x_{2} = - 7 + 3 = - 4$

Відповідь: $(7; 4)$ , $(- 4; - 7)$ .

2) ${y^{2} - x = 14, x - y = - 2$

Виразимо $x$ через $y$ з другого рівняння:
$x = y - 2$

Підставимо у перше рівняння:
$y^{2} - (y - 2) = 14$
$y^{2} - y + 2 - 14 = 0$
$y^{2} - y - 12 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 4$
$y_{2} = - 3$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
$x_{1} = 4 - 2 = 2$
$x_{2} = - 3 - 2 = - 5$

Відповідь: $(2; 4)$ , $(- 5; - 3)$ .

3) ${y - 2 x^{2} = 2, 3 x + y = 1$

Виразимо $y$ через $x$ з другого рівняння:
$y = 1 - 3 x$

Підставимо у перше рівняння:
$(1 - 3 x) - 2 x^{2} = 2$
$- 2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$
$2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

$D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
$x_{1} = \frac{- 3 + 1}{4} = - 0, 5$
$x_{2} = \frac{- 3 - 1}{4} = - 1$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 1 - 3 \cdot (- 0, 5) = 2, 5$
$y_{2} = 1 - 3 \cdot (- 1) = 4$

Відповідь: $(- 0, 5; 2, 5)$ , $(- 1; 4)$ .

4) ${x^{2} - 2 y^{2} = 8, x + y = 6$

Виразимо $x$ через $y$ з другого рівняння:
$x = 6 - y$

Підставимо у перше рівняння:
$(6 - y)^{2} - 2 y^{2} = 8$
$36 - 12 y + y^{2} - 2 y^{2} = 8$
$- y^{2} - 12 y + 28 = 0$
$y^{2} + 12 y - 28 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 2$
$y_{2} = - 14$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
$x_{1} = 6 - 2 = 4$
$x_{2} = 6 - (- 14) = 20$

Відповідь: $(4; 2)$ , $(20; - 14)$ .

13.5.• Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:

1) ${x^{2} + y^{2} = 3, y = x$

Графіком рівняння $x^{2} + y^{2} = 3$ є коло з центром у початку координат $(0; 0)$ і радіусом $R = 3 \approx 1, 73$ .
Графіком другого рівняння є пряма $y = x$ , яка проходить через початок координат.

$x$	$- 2$	$0$	$2$
$y$	$- 2$	$0$	$2$

Пряма перетинає коло у двох точках.

Відповідь: 2 розв’язки.

2) ${x^{2} + y^{2} = 4, y = 2 - x^{2}$

Графіком першого рівняння є коло з центром $(0; 0)$ і радіусом $R = 2$ .
Графіком другого рівняння є парабола з вершиною $(0; 2)$ , вітки якої напрямлені вниз.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 2$	$1$	$2$	$1$	$- 2$

Графіки мають 3 спільні точки: $(0; 2)$ , $(- 3; - 1)$ та $(3; - 1)$ .

Відповідь: 3 розв’язки.

3) ${y = x, x - y = 2$

Графіком функції $y = x$ є вітка параболи при $x \geq 0$ .
Друге рівняння зводиться до прямої $y = x - 2$ .

$x$	$0$	$1$	$4$
$y = x$	$0$	$1$	$2$

$x$	$0$	$2$	$4$
$y = x - 2$	$- 2$	$0$	$2$

Графіки мають одну спільну точку $(4; 2)$ .

Відповідь: 1 розв’язок.

4) ${y = x^{2} - 3, y = 6 - x^{2}$

Перший графік — парабола з вершиною $(0; - 3)$ , вітки напрямлені вгору.
Другий графік — парабола з вершиною $(0; 6)$ , вітки напрямлені вниз.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = x^{2} - 3$	$1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$	$1$
$y = 6 - x^{2}$	$2$	$5$	$6$	$5$	$2$

Параболи перетинаються у двох точках.

Відповідь: 2 розв’язки.

5) ${x y = - 6, 2 x - y = 3$

Перше рівняння задає гіперболу $y = - \frac{6}{x}$ у II та IV координатних чвертях.
Друге рівняння задає пряму $y = 2 x - 3$ .

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y = - \frac{6}{x}$	$1$	$2$	$3$	$6$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$

$x$	$0$	$1$	$3$
$y = 2 x - 3$	$- 3$	$- 1$	$3$

Графіки не мають спільних точок.

Відповідь: немає розв’язків (0 розв’язків).

6) ${x^{2} - 4 x + y = - 1, x y = 4$

Перше рівняння задає параболу $y = - x^{2} + 4 x - 1$ з вершиною $(2; 3)$ , вітки напрямлені вниз.
Друге рівняння задає гіперболу $y = \frac{4}{x}$ у I та III чвертях.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y = - x^{2} + 4 x - 1$	$- 1$	$2$	$3$	$2$	$- 1$

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y = \frac{4}{x}$	$- 1$	$- 2$	$- 4$	$4$	$2$	$1$

Графіки перетинаються у трьох точках (дві точки в I чверті та одна точка в III чверті).

Відповідь: 3 розв’язки.

13.6.• Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:

1) ${y = (x - 5)^{2}, x y = 5$

Перше рівняння задає параболу з вершиною $(5; 0)$ , вітки якої напрямлені вгору.
Друге рівняння задає гіперболу $y = \frac{5}{x}$ у I та III координатних чвертях.

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$y = (x - 5)^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

$x$	$1$	$2$	$5$
$y = \frac{5}{x}$	$5$	$2, 5$	$1$

Графіки перетинаються у двох точках у I координатній чверті.

Відповідь: 2 розв’язки.

2) ${x^{2} + y^{2} = 1, y - x = 3$

Перше рівняння задає коло радіуса $R = 1$ із центром у початку координат $(0; 0)$ .
Друге рівняння — пряма $y = x + 3$ .

$x$	$- 3$	$0$
$y = x + 3$	$0$	$3$

Пряма і коло не мають спільних точок.

Відповідь: немає розв’язків (0 розв’язків).

3) ${y - x^{2} = 1, x^{2} + y = 4 x$

Перше рівняння — парабола $y = x^{2} + 1$ з вершиною $(0; 1)$ , вітки напрямлені вгору.
Друге рівняння — парабола $y = - x^{2} + 4 x$ з вершиною $(2; 4)$ , вітки напрямлені вниз.

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = x^{2} + 1$	$2$	$1$	$2$	$5$

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y = - x^{2} + 4 x$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$

Параболи перетинаються у двох точках.

Відповідь: 2 розв’язки.

4) ${x^{2} + y^{2} = 6, x y = 1$

Перше рівняння задає коло з центром $(0; 0)$ і радіусом $R = 6 \approx 2, 45$ .
Друге рівняння задає гіперболу $y = \frac{1}{x}$ у I та III чвертях.

$x$	$0, 5$	$1$	$2$
$y = \frac{1}{x}$	$2$	$1$	$0, 5$

Гіпербола і коло перетинаються у чотирьох точках (дві точки в I чверті та дві точки в III чверті).

Відповідь: 4 розв’язки.

13.7.• Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${3 x + 4 y = 24, x y = 12$

Виразимо $y$ через $x$ з другого рівняння:
$y = \frac{12}{x}$

Підставимо у перше рівняння:
$3 x + 4 \cdot \frac{12}{x} = 24$
$3 x + \frac{48}{x} = 24$

Помножимо обидві частини на $x \neq = 0$ :
$3 x^{2} - 24 x + 48 = 0$
$x^{2} - 8 x + 16 = 0$
$(x - 4)^{2} = 0$
$x = 4$

Знайдемо відповідне значення $y$ :
$y = \frac{12}{4} = 3$

Відповідь: $(4; 3)$ .

2) ${x^{2} - x y - y^{2} = 19, x - y = 7$

Виразимо $x$ через $y$ з другого рівняння:
$x = y + 7$

Підставимо у перше рівняння:
$(y + 7)^{2} - (y + 7) y - y^{2} = 19$
$y^{2} + 14 y + 49 - y^{2} - 7 y - y^{2} = 19$
$- y^{2} + 7 y + 49 - 19 = 0$
$- y^{2} + 7 y + 30 = 0$
$y^{2} - 7 y - 30 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 10$
$y_{2} = - 3$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
$x_{1} = 10 + 7 = 17$
$x_{2} = - 3 + 7 = 4$

Відповідь: $(17; 10)$ , $(4; - 3)$ .

3) ${x + y = 5, (x - 3) (y + 5) = 6$

Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:
$y = 5 - x$

Підставимо вираз замість $y$ у друге рівняння:
$(x - 3) (5 - x + 5) = 6$
$(x - 3) (10 - x) = 6$
$10 x - x^{2} - 30 + 3 x = 6$
$- x^{2} + 13 x - 36 = 0$
$x^{2} - 13 x + 36 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 4$
$x_{2} = 9$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 5 - 4 = 1$
$y_{2} = 5 - 9 = - 4$

Відповідь: $(4; 1)$ , $(9; - 4)$ .

4) ${4 y - 3 x = 4, 5 x^{2} + 16 y = 60$

Виразимо $4 y$ з першого рівняння:
$4 y = 3 x + 4$

Оскільки $16 y = 4 \cdot (4 y)$ , підставимо цей вираз у друге рівняння:
$5 x^{2} + 4 (3 x + 4) = 60$
$5 x^{2} + 12 x + 16 - 60 = 0$
$5 x^{2} + 12 x - 44 = 0$

$D = 1 2^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 44) = 144 + 880 = 1024 = 3 2^{2}$
$x_{1} = \frac{- 12 + 32}{10} = 2$
$x_{2} = \frac{- 12 - 32}{10} = - 4, 4$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$4 y_{1} = 3 \cdot 2 + 4 = 10 ⟹ y_{1} = 2, 5$
$4 y_{2} = 3 \cdot (- 4, 4) + 4 = - 13, 2 + 4 = - 9, 2 ⟹ y_{2} = - 2, 3$

Відповідь: $(2; 2, 5)$ , $(- 4, 4; - 2, 3)$ .

13.8. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${x^{2} - x y + y^{2} = 63, y - x = 3;$

Виразимо $y$ через $x$ із другого рівняння:
$y = x + 3$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:
$x^{2} - x (x + 3) + (x + 3)^{2} = 63$
$x^{2} - x^{2} - 3 x + x^{2} + 6 x + 9 = 63$
$x^{2} + 3 x + 9 - 63 = 0$
$x^{2} + 3 x - 54 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 9$
$x_{2} = 6$

Обчислимо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = - 9 + 3 = - 6$
$y_{2} = 6 + 3 = 9$

Відповідь: $(- 9; - 6)$ , $(6; 9)$ .

2) ${x + 2 y = 1, x^{2} + x y + 2 y^{2} = 1;$

Виразимо $x$ через $y$ із першого рівняння:
$x = 1 - 2 y$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$(1 - 2 y)^{2} + (1 - 2 y) y + 2 y^{2} = 1$
$1 - 4 y + 4 y^{2} + y - 2 y^{2} + 2 y^{2} = 1$
$4 y^{2} - 3 y + 1 - 1 = 0$
$4 y^{2} - 3 y = 0$
$y (4 y - 3) = 0$

$y_{1} = 0$
$y_{2} = \frac{3}{4} = 0, 75$

Обчислимо відповідні значення $x$ :
$x_{1} = 1 - 2 \cdot 0 = 1$
$x_{2} = 1 - 2 \cdot \frac{3}{4} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2} = - 0, 5$

Відповідь: $(1; 0)$ , $(- 0, 5; 0, 75)$ .

3) ${(x - 1) (y - 2) = 2, x + y = 6;$

Виразимо $y$ через $x$ із другого рівняння:
$y = 6 - x$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:
$(x - 1) (6 - x - 2) = 2$
$(x - 1) (4 - x) = 2$
$4 x - x^{2} - 4 + x = 2$
$- x^{2} + 5 x - 6 = 0$
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 2$
$x_{2} = 3$

Обчислимо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 6 - 2 = 4$
$y_{2} = 6 - 3 = 3$

Відповідь: $(2; 4)$ , $(3; 3)$ .

4) ${5 x - 2 y = 3, 3 x^{2} - 8 y = - 5.$

Виразимо $2 y$ із першого рівняння:
$2 y = 5 x - 3$

Помножимо цей вираз на $4$ , щоб отримати $8 y$ :
$8 y = 4 (5 x - 3) = 20 x - 12$

Підставимо у друге рівняння системи:
$3 x^{2} - (20 x - 12) = - 5$
$3 x^{2} - 20 x + 12 + 5 = 0$
$3 x^{2} - 20 x + 17 = 0$

Оскільки сума коефіцієнтів $3 - 20 + 17 = 0$ :
$x_{1} = 1$
$x_{2} = \frac{17}{3} = 5 \frac{2}{3}$

Обчислимо відповідні значення $y$ :
$2 y_{1} = 5 \cdot 1 - 3 = 2$
$y_{1} = 1$

$2 y_{2} = 5 \cdot \frac{17}{3} - 3 = \frac{85 - 9}{3} = \frac{76}{3}$
$y_{2} = \frac{38}{3} = 12 \frac{2}{3}$

Відповідь: $(1; 1)$ , $(5 \frac{2}{3}; 12 \frac{2}{3})$ .

13.9. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину:

1) прямої $3 x - y = 1$ і параболи $y = 3 x^{2} + 8 x - 3$ ;

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
${y = 3 x - 1, y = 3 x^{2} + 8 x - 3$

Прирівняємо вирази для $y$ :
$3 x^{2} + 8 x - 3 = 3 x - 1$
$3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$
$D = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 25 + 24 = 49$

$x_{1} = \frac{- 5 - 7}{6} = - 2$
$x_{2} = \frac{- 5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Обчислимо ординати:
$y_{1} = 3 \cdot (- 2) - 1 = - 7$
$y_{2} = 3 \cdot \frac{1}{3} - 1 = 0$

Відповідь: $(- 2; - 7)$ , $(\frac{1}{3}; 0)$ .

2) прямої $2 x - y = 2$ і гіперболи $y = \frac{4}{x}$ ;

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
$⎩ ⎨ ⎧ y = 2 x - 2, y = \frac{4}{x}$

Прирівняємо вирази для $y$ ( $x \neq = 0$ ):
$2 x - 2 = \frac{4}{x}$
$2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$
$x^{2} - x - 2 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$
$x_{2} = 2$

Обчислимо ординати:
$y_{1} = \frac{4}{- 1} = - 4$
$y_{2} = \frac{4}{2} = 2$

Відповідь: $(- 1; - 4)$ , $(2; 2)$ .

3) прямої $x + y = 1$ і кола $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 16$ ;

Складемо систему рівнянь та виразимо $y$ через $x$ :
$y = 1 - x$

Підставимо у рівняння кола:
$(x - 1)^{2} + (1 - x + 4)^{2} = 16$
$(x - 1)^{2} + (5 - x)^{2} = 16$
$x^{2} - 2 x + 1 + 25 - 10 x + x^{2} = 16$
$2 x^{2} - 12 x + 10 = 0$
$x^{2} - 6 x + 5 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 1$
$x_{2} = 5$

Обчислимо ординати:
$y_{1} = 1 - 1 = 0$
$y_{2} = 1 - 5 = - 4$

Відповідь: $(1; 0)$ , $(5; - 4)$ .

4) парабол $y = x^{2} - 4 x + 7$ і $y = 3 + 4 x - 2 x^{2}$ .

Прирівняємо праві частини рівнянь:
$x^{2} - 4 x + 7 = 3 + 4 x - 2 x^{2}$
$3 x^{2} - 8 x + 4 = 0$
$D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$

$x_{1} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$x_{2} = \frac{8 + 4}{6} = 2$

Обчислимо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = (\frac{2}{3})^{2} - 4 \cdot \frac{2}{3} + 7 = \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 7 = \frac{4 - 24 + 63}{9} = \frac{43}{9} = 4 \frac{7}{9}$
$y_{2} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$

Відповідь: $(\frac{2}{3}; 4 \frac{7}{9})$ , $(2; 3)$ .

13.10. Доведіть, що пряма $y - x = 3$ є дотичною до кола $(x + 5)^{2} + y^{2} = 2$ , і знайдіть координати точки дотику.

Пряма є дотичною до кола, якщо вона має з колом рівно одну спільну точку. Складемо систему рівнянь:
${y - x = 3, (x + 5)^{2} + y^{2} = 2$

Виразимо $y$ через $x$ :
$y = x + 3$

Підставимо у рівняння кола:
$(x + 5)^{2} + (x + 3)^{2} = 2$
$x^{2} + 10 x + 25 + x^{2} + 6 x + 9 = 2$
$2 x^{2} + 16 x + 32 = 0$
$x^{2} + 8 x + 16 = 0$
$(x + 4)^{2} = 0$
$x = - 4$

Оскільки рівняння має єдиний корінь ( $D = 0$ ), пряма та коло мають лише одну спільну точку. Отже, пряма є дотичною до кола.

Знайдемо ординату точки дотику:
$y = - 4 + 3 = - 1$

Відповідь: $(- 4; - 1)$ .

13.11. Доведіть, що:

1) пряма $y = - 2 x - 4$ і парабола $y = 6 x^{2} - 7 x - 2$ не перетинаються;

Складемо рівняння для знаходження спільних точок:
$6 x^{2} - 7 x - 2 = - 2 x - 4$
$6 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 25 - 48 = - 23$

Оскільки $D < 0$ , рівняння не має дійсних коренів. Отже, графіки не мають спільних точок, тобто не перетинаються.

2) парабола $y = 4 x^{2} - 3 x + 6$ і пряма $y = x + 5$ мають одну спільну точку, знайдіть координати цієї точки;

Складемо рівняння для спільних точок:
$4 x^{2} - 3 x + 6 = x + 5$
$4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$
$(2 x - 1)^{2} = 0$
$x = 0, 5$

Оскільки $D = 0$ , квадратне рівняння має один корінь, тому графіки мають рівно одну спільну точку.

Знайдемо ординату цієї точки:
$y = 0, 5 + 5 = 5, 5$

Відповідь: $(0, 5; 5, 5)$ .

3) параболи $y = 4 x^{2} - 3 x - 24$ і $y = 2 x^{2} - 5 x$ мають дві спільні точки, знайдіть їхні координати.

Прирівняємо вирази для $y$ :
$4 x^{2} - 3 x - 24 = 2 x^{2} - 5 x$
$2 x^{2} + 2 x - 24 = 0$
$x^{2} + x - 12 = 0$

Дискримінант $D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 49 > 0$ , отже, рівняння має два різні корені, а параболи мають дві спільні точки.

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4$
$x_{2} = 3$

Обчислимо відповідні ординати:
$y_{1} = 2 \cdot (- 4)^{2} - 5 \cdot (- 4) = 32 + 20 = 52$
$y_{2} = 2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 = 18 - 15 = 3$

Відповідь: $(- 4; 52)$ , $(3; 3)$ .

13.12. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}, 2 x - y = 2;$

Область допустимих значень: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .

Виразимо $y$ через $x$ із другого рівняння:
$y = 2 x - 2 = 2 (x - 1)$

Підставимо у перше рівняння:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{2 ( x - 1 )} = \frac{1}{12}$

Помножимо обидві частини на $12 x (x - 1) \neq = 0$ :
$12 (x - 1) - 6 x = x (x - 1)$
$12 x - 12 - 6 x = x^{2} - x$
$6 x - 12 = x^{2} - x$
$x^{2} - 7 x + 12 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 3$
$x_{2} = 4$

Обидва корені задовольняють ОДЗ. Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 2 \cdot 3 - 2 = 4$
$y_{2} = 2 \cdot 4 - 2 = 6$

Відповідь: $(3; 4)$ , $(4; 6)$ .

2) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1, x + 5 y = 3.$

Область допустимих значень: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .

Виразимо $x$ через $y$ із другого рівняння:
$x = 3 - 5 y$

Підставимо у перше рівняння:
$\frac{4}{3 - 5 y} + \frac{3}{y} = 1$

Помножимо обидві частини на $y (3 - 5 y) \neq = 0$ :
$4 y + 3 (3 - 5 y) = y (3 - 5 y)$
$4 y + 9 - 15 y = 3 y - 5 y^{2}$
$9 - 11 y = 3 y - 5 y^{2}$
$5 y^{2} - 14 y + 9 = 0$

Оскільки $5 - 14 + 9 = 0$ :
$y_{1} = 1$
$y_{2} = \frac{9}{5} = 1, 8$

Обидва корені задовольняють ОДЗ. Знайдемо відповідні значення $x$ :
$x_{1} = 3 - 5 \cdot 1 = - 2$
$x_{2} = 3 - 5 \cdot 1, 8 = 3 - 9 = - 6$

Відповідь: $(- 2; 1)$ , $(- 6; 1, 8)$ .

13.13. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}, x - y = 1;$

2) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5}, 3 x + y = 8.$

1) Обмеження: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .
З другого рівняння виразимо $x$ :
$x = y + 1$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:
$\frac{1}{y + 1} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}$
$\frac{y + y + 1}{y ( y + 1 )} = \frac{3}{2}$
$\frac{2 y + 1}{y ^{2} + y} = \frac{3}{2}$
$2 (2 y + 1) = 3 (y^{2} + y)$
$4 y + 2 = 3 y^{2} + 3 y$
$3 y^{2} - y - 2 = 0$
$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 1 + 24 = 25$
$y_{1} = \frac{1 + 5}{6} = 1$
$y_{2} = \frac{1 - 5}{6} = - \frac{2}{3}$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
$x_{1} = 1 + 1 = 2$
$x_{2} = - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$

Обидві пари задовольняють обмеження $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .

Відповідь: $(2; 1)$ , $(\frac{1}{3}; - \frac{2}{3})$ .

2) Обмеження: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .
З другого рівняння виразимо $y$ :
$y = 8 - 3 x$

Підставимо у перше рівняння:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{8 - 3 x} = \frac{4}{5}$
$\frac{8 - 3 x - x}{x ( 8 - 3 x )} = \frac{4}{5}$
$\frac{8 - 4 x}{8 x - 3 x ^{2}} = \frac{4}{5}$

Поділимо чисельники обох частин на $4$ :
$\frac{2 - x}{8 x - 3 x ^{2}} = \frac{1}{5}$
$5 (2 - x) = 8 x - 3 x^{2}$
$10 - 5 x = 8 x - 3 x^{2}$
$3 x^{2} - 13 x + 10 = 0$
$D = (- 13)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 - 120 = 49$
$x_{1} = 1$
$x_{2} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 8 - 3 \cdot 1 = 5$
$y_{2} = 8 - 3 \cdot \frac{10}{3} = 8 - 10 = - 2$

Обидва розв’язки задовольняють початкові обмеження.

Відповідь: $(1; 5)$ , $(3 \frac{1}{3}; - 2)$ .

13.14. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${x + y - x y = 1, x y (x + y) = 20;$

2) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{21}{10}, x + y = 3;$

3) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{y} + \frac{6 y}{x} = 5, x^{2} + 4 x y - 3 y^{2} = 18;$

4) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}, \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6};$

5) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{y}{x} + x y = - 10, \frac{5 y}{x} - 2 x y = 13;$

6) ${x^{2} y^{2} + x y = 6, 2 x - y = 3.$

1) Застосуємо заміну змінних: нехай $u = x + y$ , $v = x y$ .
Отримуємо систему:
${u - v = 1, uv = 20$

З першого рівняння: $u = v + 1$ .
Підставимо у друге:
$(v + 1) v = 20$
$v^{2} + v - 20 = 0$
За теоремою Вієта:
$v_{1} = 4$ , тоді $u_{1} = 5$
$v_{2} = - 5$ , тоді $u_{2} = - 4$

Повертаємося до змінних $x$ і $y$ :
Перший випадок:
${x + y = 5, x y = 4$
За теоремою Вієта коренями є:
$(1; 4)$ та $(4; 1)$ .

Другий випадок:
${x + y = - 4, x y = - 5$
За теоремою Вієта коренями є:
$(1; - 5)$ та $(- 5; 1)$ .

Відповідь: $(1; 4)$ , $(4; 1)$ , $(1; - 5)$ , $(- 5; 1)$ .

2) Обмеження: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .
У першому рівнянні виконаємо заміну $\frac{y}{x} = t$ , тоді $\frac{x}{y} = \frac{1}{t}$ :
$t - \frac{1}{t} = \frac{21}{10}$
$10 t^{2} - 21 t - 10 = 0$
$D = (- 21)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 10) = 441 + 400 = 841 = 2 9^{2}$
$t_{1} = \frac{21 + 29}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$
$t_{2} = \frac{21 - 29}{20} = - \frac{8}{20} = - \frac{2}{5}$

Розглянемо два випадки:
Перший випадок: $\frac{y}{x} = \frac{5}{2} ⟹ y = \frac{5}{2} x$ .
Підставимо в друге рівняння $x + y = 3$ :
$x + \frac{5}{2} x = 3$
$\frac{7}{2} x = 3$
$x = \frac{6}{7}$
$y = \frac{5}{2} \cdot \frac{6}{7} = \frac{15}{7} = 2 \frac{1}{7}$

Другий випадок: $\frac{y}{x} = - \frac{2}{5} ⟹ y = - \frac{2}{5} x$ .
Підставимо в друге рівняння:
$x - \frac{2}{5} x = 3$
$\frac{3}{5} x = 3$
$x = 5$
$y = - \frac{2}{5} \cdot 5 = - 2$

Відповідь: $(5; - 2)$ , $(\frac{6}{7}; 2 \frac{1}{7})$ .

3) Обмеження: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .
У першому рівнянні зробимо заміну $\frac{x}{y} = t$ :
$t + \frac{6}{t} = 5$
$t^{2} - 5 t + 6 = 0$
$t_{1} = 2$ або $t_{2} = 3$

Перший випадок: $\frac{x}{y} = 2 ⟹ x = 2 y$ .
Підставимо у друге рівняння:
$(2 y)^{2} + 4 (2 y) y - 3 y^{2} = 18$
$4 y^{2} + 8 y^{2} - 3 y^{2} = 18$
$9 y^{2} = 18$
$y^{2} = 2$
$y_{1} = 2$ , тоді $x_{1} = 22$
$y_{2} = - 2$ , тоді $x_{2} = - 22$

Другий випадок: $\frac{x}{y} = 3 ⟹ x = 3 y$ .
Підставимо у друге рівняння:
$(3 y)^{2} + 4 (3 y) y - 3 y^{2} = 18$
$9 y^{2} + 12 y^{2} - 3 y^{2} = 18$
$18 y^{2} = 18$
$y^{2} = 1$
$y_{3} = 1$ , тоді $x_{3} = 3$
$y_{4} = - 1$ , тоді $x_{4} = - 3$

Відповідь: $(3; 1)$ , $(- 3; - 1)$ , $(22; 2)$ , $(- 22; - 2)$ .

4) Обмеження: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .
Розв’яжемо систему методом додавання:
Додамо ліві та праві частини обох рівнянь:
$\frac{2}{x} = \frac{5}{6} + \frac{1}{6}$
$\frac{2}{x} = 1$
$x = 2$

Віднімемо друге рівняння від першого:
$\frac{2}{y} = \frac{5}{6} - \frac{1}{6}$
$\frac{2}{y} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$y = 3$

Відповідь: $(2; 3)$ .

5) Обмеження: $x \neq = 0$ .
Зробимо заміну: нехай $u = \frac{y}{x}$ , $v = x y$ .
${u + v = - 10, 5 u - 2 v = 13$

З першого рівняння: $v = - 10 - u$ .
Підставимо в друге рівняння:
$5 u - 2 (- 10 - u) = 13$
$5 u + 20 + 2 u = 13$
$7 u = - 7$
$u = - 1$
$v = - 10 - (- 1) = - 9$

Повертаємося до заміни:
${\frac{y}{x} = - 1, x y = - 9$
З першого рівняння: $y = - x$ .
Підставимо в друге:
$x (- x) = - 9$
$x^{2} = 9$
$x_{1} = 3$ , тоді $y_{1} = - 3$
$x_{2} = - 3$ , тоді $y_{2} = 3$

Відповідь: $(3; - 3)$ , $(- 3; 3)$ .

6) У першому рівнянні виконаємо заміну $t = x y$ :
$t^{2} + t - 6 = 0$
$t_{1} = 2$ або $t_{2} = - 3$

З другого рівняння системи виразимо $y$ :
$y = 2 x - 3$

Перший випадок: $x y = 2$ .
$x (2 x - 3) = 2$
$2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$
$D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 25$
$x_{1} = \frac{3 + 5}{4} = 2$ , тоді $y_{1} = 2 \cdot 2 - 3 = 1$
$x_{2} = \frac{3 - 5}{4} = - 0, 5$ , тоді $y_{2} = 2 \cdot (- 0, 5) - 3 = - 4$

Другий випадок: $x y = - 3$ .
$x (2 x - 3) = - 3$
$2 x^{2} - 3 x + 3 = 0$
$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = - 15 < 0$
Дійсних коренів немає.

Відповідь: $(2; 1)$ , $(- 0, 5; - 4)$ .

13.15. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2, 5, 2 x - 3 y = 3;$

2) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - 2 y}{x + y} + \frac{x + y}{x - 2 y} = \frac{15}{4}, 4 x + 5 y = 3;$

3) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 4, \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 10;$

4) ${4 (x - y)^{2} + 7 (x - y) = 15, 2 x + 5 y = 1.$

1) Обмеження: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .
У першому рівнянні виконаємо заміну $\frac{x}{y} = t$ :
$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$
$2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$
$D = 25 - 16 = 9$
$t_{1} = 2$ або $t_{2} = 0, 5$

Перший випадок: $\frac{x}{y} = 2 ⟹ x = 2 y$ .
Підставимо в друге рівняння $2 x - 3 y = 3$ :
$2 (2 y) - 3 y = 3$
$y = 3$
$x = 2 \cdot 3 = 6$

Другий випадок: $\frac{x}{y} = 0, 5 ⟹ y = 2 x$ .
Підставимо в друге рівняння:
$2 x - 3 (2 x) = 3$
$- 4 x = 3$
$x = - 0, 75$
$y = 2 \cdot (- 0, 75) = - 1, 5$

Відповідь: $(6; 3)$ , $(- 0, 75; - 1, 5)$ .

(У першому рівнянні відповідно до авторської відповіді підручника між дробами має стояти знак мінус: $\frac{x - 2 y}{x + y} - \frac{x + y}{x - 2 y} = \frac{15}{4}$ ).
Обмеження: $x + y \neq = 0$ , $x - 2 y \neq = 0$ .
Зробимо заміну: нехай $t = \frac{x - 2 y}{x + y}$ .
$t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}$
$4 t^{2} - 15 t - 4 = 0$
$D = (- 15)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 4) = 225 + 64 = 289 = 1 7^{2}$
$t_{1} = \frac{15 + 17}{8} = 4$
$t_{2} = \frac{15 - 17}{8} = - \frac{1}{4}$

Перший випадок: $\frac{x - 2 y}{x + y} = 4$ .
$x - 2 y = 4 x + 4 y$
$- 3 x = 6 y$
$x = - 2 y$
Підставимо в друге рівняння системи $4 x + 5 y = 3$ :
$4 (- 2 y) + 5 y = 3$
$- 3 y = 3$
$y = - 1$
$x = - 2 \cdot (- 1) = 2$

Другий випадок: $\frac{x - 2 y}{x + y} = - \frac{1}{4}$ .
$4 (x - 2 y) = - (x + y)$
$4 x - 8 y = - x - y$
$5 x = 7 y$
$x = \frac{7}{5} y$
Підставимо в друге рівняння системи:
$4 \cdot \frac{7}{5} y + 5 y = 3$
$\frac{53}{5} y = 3$
$y = \frac{15}{53}$
$x = \frac{7}{5} \cdot \frac{15}{53} = \frac{21}{53}$

Відповідь: $(2; - 1)$ , $(\frac{21}{53}; \frac{15}{53})$ .

3) Обмеження: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .
Зробимо заміну: нехай $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ .
${u + 4 v = 4, - 2 u + v = 10$

Помножимо перше рівняння на $2$ :
$2 u + 8 v = 8$
Додамо друге рівняння:
$9 v = 18$
$v = 2$
$u = 4 - 4 \cdot 2 = - 4$

Повертаємося до змінних $x$ і $y$ :
$\frac{1}{x} = - 4 ⟹ x = - \frac{1}{4} = - 0, 25$
$\frac{1}{y} = 2 ⟹ y = \frac{1}{2} = 0, 5$

Відповідь: $(- 0, 25; 0, 5)$ .

4) У першому рівнянні виконаємо заміну $t = x - y$ :
$4 t^{2} + 7 t - 15 = 0$
$D = 49 - 4 \cdot 4 \cdot (- 15) = 49 + 240 = 289 = 1 7^{2}$
$t_{1} = \frac{- 7 + 17}{8} = \frac{10}{8} = 1, 25$
$t_{2} = \frac{- 7 - 17}{8} = - 3$

Перший випадок: $x - y = - 3 ⟹ x = y - 3$ .
Підставимо в друге рівняння $2 x + 5 y = 1$ :
$2 (y - 3) + 5 y = 1$
$7 y - 6 = 1$
$7 y = 7$
$y = 1$
$x = 1 - 3 = - 2$

Другий випадок: $x - y = \frac{5}{4} ⟹ x = y + \frac{5}{4}$ .
Підставимо в друге рівняння:
$2 (y + \frac{5}{4}) + 5 y = 1$
$7 y + \frac{5}{2} = 1$
$7 y = - \frac{3}{2}$
$y = - \frac{3}{14}$
$x = - \frac{3}{14} + \frac{5}{4} = \frac{29}{28} = 1 \frac{1}{28}$

Відповідь: $(- 2; 1)$ , $(1 \frac{1}{28}; - \frac{3}{14})$ .

13.16. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${x^{3} + y^{3} = 1, x + y = 1;$

2) ${x^{3} - y^{3} = 28, x^{2} + x y + y^{2} = 7;$

3) ${x^{2} - y^{2} = 7, x y = 12;$

4) ${3 x^{2} - 2 y^{2} = 19, x y = - 6.$

1) Застосуємо формулу суми кубів: $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ .
Оскільки $x + y = 1$ , перше рівняння набуває вигляду:
$1 \cdot (x^{2} - x y + y^{2}) = 1$
Запишемо $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ :
$(x + y)^{2} - 3 x y = 1$
$1^{2} - 3 x y = 1$
$- 3 x y = 0$
$x y = 0$

Маємо просту систему:
${x + y = 1, x y = 0$
Якщо $x = 0$ , то $y = 1$ .
Якщо $y = 0$ , то $x = 1$ .

Відповідь: $(0; 1)$ , $(1; 0)$ .

2) За формулою різниці кубів: $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ .
Підставимо друге рівняння в перше:
$(x - y) \cdot 7 = 28$
$x - y = 4$

Виразимо $x = y + 4$ та підставимо у друге рівняння системи:
$(y + 4)^{2} + (y + 4) y + y^{2} = 7$
$y^{2} + 8 y + 16 + y^{2} + 4 y + y^{2} = 7$
$3 y^{2} + 12 y + 9 = 0$
Поділимо обидві частини на $3$ :
$y^{2} + 4 y + 3 = 0$
$y_{1} = - 1 ⟹ x_{1} = - 1 + 4 = 3$
$y_{2} = - 3 ⟹ x_{2} = - 3 + 4 = 1$

Відповідь: $(3; - 1)$ , $(1; - 3)$ .

3) Обмеження: $x \neq = 0$ .
З другого рівняння: $y = \frac{12}{x}$ .
Підставимо в перше рівняння:
$x^{2} - (\frac{12}{x})^{2} = 7$
$x^{2} - \frac{144}{x ^{2}} = 7$
$x^{4} - 7 x^{2} - 144 = 0$

Нехай $t = x^{2}$ ( $t > 0$ ):
$t^{2} - 7 t - 144 = 0$
$D = 49 + 576 = 625 = 2 5^{2}$
$t_{1} = \frac{7 + 25}{2} = 16$
$t_{2} = \frac{7 - 25}{2} = - 9 < 0$ (не задовольняє умову $t > 0$ )

Повертаємося до $x$ :
$x^{2} = 16$
$x_{1} = 4 ⟹ y_{1} = \frac{12}{4} = 3$
$x_{2} = - 4 ⟹ y_{2} = \frac{12}{- 4} = - 3$

Відповідь: $(4; 3)$ , $(- 4; - 3)$ .

4) Обмеження: $x \neq = 0$ .
З другого рівняння: $y = - \frac{6}{x}$ .
Підставимо в перше рівняння:
$3 x^{2} - 2 (- \frac{6}{x})^{2} = 19$
$3 x^{2} - \frac{72}{x ^{2}} = 19$
$3 x^{4} - 19 x^{2} - 72 = 0$

Нехай $t = x^{2}$ ( $t > 0$ ):
$3 t^{2} - 19 t - 72 = 0$
$D = (- 19)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 72) = 361 + 864 = 1225 = 3 5^{2}$
$t_{1} = \frac{19 + 35}{6} = 9$
$t_{2} = \frac{19 - 35}{6} = - \frac{8}{3} < 0$ (не задовольняє умову $t > 0$ )

Повертаємося до $x$ :
$x^{2} = 9$
$x_{1} = 3 ⟹ y_{1} = - \frac{6}{3} = - 2$
$x_{2} = - 3 ⟹ y_{2} = - \frac{6}{- 3} = 2$

Відповідь: $(3; - 2)$ , $(- 3; 2)$ .

13.17. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${x^{3} - y^{3} = 56, x - y = 2;$

2) ${5 x^{2} - y^{2} = - 4, x y = 3.$

1) За формулою різниці кубів: $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = 56$ .
Підставимо $x - y = 2$ :
$2 (x^{2} + x y + y^{2}) = 56$
$x^{2} + x y + y^{2} = 28$

З другого рівняння виразимо $x = y + 2$ і підставимо у здобуте рівняння:
$(y + 2)^{2} + (y + 2) y + y^{2} = 28$
$y^{2} + 4 y + 4 + y^{2} + 2 y + y^{2} = 28$
$3 y^{2} + 6 y + 4 = 28$
$3 y^{2} + 6 y - 24 = 0$
Поділимо обидві частини на $3$ :
$y^{2} + 2 y - 8 = 0$
За теоремою Вієта:
$y_{1} = 2 ⟹ x_{1} = 2 + 2 = 4$
$y_{2} = - 4 ⟹ x_{2} = - 4 + 2 = - 2$

Відповідь: $(4; 2)$ , $(- 2; - 4)$ .

2) Обмеження: $x \neq = 0$ .
З другого рівняння: $y = \frac{3}{x}$ .
Підставимо в перше рівняння:
$5 x^{2} - (\frac{3}{x})^{2} = - 4$
$5 x^{2} - \frac{9}{x ^{2}} = - 4$
$5 x^{4} + 4 x^{2} - 9 = 0$

Нехай $t = x^{2}$ ( $t > 0$ ):
$5 t^{2} + 4 t - 9 = 0$
$D = 16 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9) = 16 + 180 = 196 = 1 4^{2}$
$t_{1} = \frac{- 4 + 14}{10} = 1$
$t_{2} = \frac{- 4 - 14}{10} = - 1, 8 < 0$ (не задовольняє умову $t > 0$ )

Повертаємося до $x$ :
$x^{2} = 1$
$x_{1} = 1 ⟹ y_{1} = \frac{3}{1} = 3$
$x_{2} = - 1 ⟹ y_{2} = \frac{3}{- 1} = - 3$

Відповідь: $(1; 3)$ , $(- 1; - 3)$ .

13.18. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${3 y - 2 x y = 2, x + 2 x y = 5;$

Додамо почленно ліві та праві частини обох рівнянь:
$(3 y - 2 x y) + (x + 2 x y) = 2 + 5$
$x + 3 y = 7$
$x = 7 - 3 y$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:
$3 y - 2 (7 - 3 y) y = 2$
$3 y - 14 y + 6 y^{2} = 2$
$6 y^{2} - 11 y - 2 = 0$
$D = (- 11)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 2) = 121 + 48 = 169 = 1 3^{2}$
$y_{1} = \frac{11 + 13}{12} = 2$
$y_{2} = \frac{11 - 13}{12} = - \frac{1}{6}$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
$x_{1} = 7 - 3 \cdot 2 = 1$
$x_{2} = 7 - 3 \cdot (- \frac{1}{6}) = 7 + \frac{1}{2} = 7, 5$

Відповідь: $(1; 2)$ , $(7 \frac{1}{2}; - \frac{1}{6})$ .

2) ${x y + y = 30, x y + x = 28;$

Віднімемо почленно друге рівняння від першого:
$(x y + y) - (x y + x) = 30 - 28$
$y - x = 2$
$y = x + 2$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$x (x + 2) + x = 28$
$x^{2} + 2 x + x - 28 = 0$
$x^{2} + 3 x - 28 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 4$
$x_{2} = - 7$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 4 + 2 = 6$
$y_{2} = - 7 + 2 = - 5$

Відповідь: $(4; 6)$ , $(- 7; - 5)$ .

3) ${x^{2} + y^{2} + x + y = 18, x^{2} - y^{2} + x - y = 6;$

Додамо почленно обидва рівняння:
$2 x^{2} + 2 x = 24$
$x^{2} + x - 12 = 0$
$x_{1} = 3$
$x_{2} = - 4$

Віднімемо почленно друге рівняння від першого:
$2 y^{2} + 2 y = 12$
$y^{2} + y - 6 = 0$
$y_{1} = 2$
$y_{2} = - 3$

Кожне зі значень $x$ комбінується з кожним зі значень $y$ :
$(3; 2)$ , $(3; - 3)$ , $(- 4; 2)$ , $(- 4; - 3)$ .

Відповідь: $(3; 2)$ , $(3; - 3)$ , $(- 4; 2)$ , $(- 4; - 3)$ .

4) ${2 x^{2} - 5 x y + 3 x - 2 y = 10, 5 x y - 2 x^{2} + 7 x - 8 y = 10;$

Додамо почленно обидва рівняння:
$10 x - 10 y = 20$
$x - y = 2$
$x = y + 2$

Підставимо $x = y + 2$ у перше рівняння:
$2 (y + 2)^{2} - 5 (y + 2) y + 3 (y + 2) - 2 y = 10$
$2 (y^{2} + 4 y + 4) - 5 y^{2} - 10 y + 3 y + 6 - 2 y - 10 = 0$
$2 y^{2} + 8 y + 8 - 5 y^{2} - 9 y - 4 = 0$
$- 3 y^{2} - y + 4 = 0$
$3 y^{2} + y - 4 = 0$
$D = 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4) = 1 + 48 = 49 = 7^{2}$
$y_{1} = \frac{- 1 + 7}{6} = 1$
$y_{2} = \frac{- 1 - 7}{6} = - \frac{4}{3} = - 1 \frac{1}{3}$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
$x_{1} = 1 + 2 = 3$
$x_{2} = - \frac{4}{3} + 2 = \frac{2}{3}$

Відповідь: $(3; 1)$ , $(\frac{2}{3}; - 1 \frac{1}{3})$ .

13.19. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${x + y - x y = 1, x + y + x y = 9;$

Зробимо заміну: $u = x + y$ , $v = x y$ .
${u - v = 1, u + v = 9;$

Додамо обидва рівняння:
$2 u = 10$
$u = 5$
$v = 9 - 5 = 4$

Повернемося до змінних $x$ і $y$ :
${x + y = 5, x y = 4;$

За теоремою Вієта числа $x$ і $y$ є коренями рівняння $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ :
$t_{1} = 1$
$t_{2} = 4$

Відповідь: $(1; 4)$ , $(4; 1)$ .

2) ${3 x y + 2 x = - 4, 3 x y + y = - 8;$

Віднімемо почленно друге рівняння від першого:
$2 x - y = 4$
$y = 2 x - 4$

Підставимо вираз у перше рівняння:
$3 x (2 x - 4) + 2 x = - 4$
$6 x^{2} - 12 x + 2 x + 4 = 0$
$6 x^{2} - 10 x + 4 = 0$
$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$
$x_{1} = \frac{5 + 1}{6} = 1$
$x_{2} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 2 \cdot 1 - 4 = - 2$
$y_{2} = 2 \cdot \frac{2}{3} - 4 = - \frac{8}{3} = - 2 \frac{2}{3}$

Відповідь: $(1; - 2)$ , $(\frac{2}{3}; - 2 \frac{2}{3})$ .

3) ${x y - x = 24, x y - y = 25;$

Віднімемо почленно друге рівняння від першого:
$- x + y = - 1$
$y = x - 1$

Підставимо у перше рівняння:
$x (x - 1) - x = 24$
$x^{2} - 2 x - 24 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 6$
$x_{2} = - 4$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
$y_{1} = 6 - 1 = 5$
$y_{2} = - 4 - 1 = - 5$

Відповідь: $(6; 5)$ , $(- 4; - 5)$ .

4) ${2 x^{2} + y^{2} = 66, 2 x^{2} - y^{2} = 34;$

Додамо почленно обидва рівняння:
$4 x^{2} = 100$
$x^{2} = 25$
$x_{1} = 5$
$x_{2} = - 5$

Віднімемо почленно друге рівняння від першого:
$2 y^{2} = 32$
$y^{2} = 16$
$y_{1} = 4$
$y_{2} = - 4$

Усі можливі комбінації знаків утворюють 4 пари чисел.

Відповідь: $(5; 4)$ , $(5; - 4)$ , $(- 5; 4)$ , $(- 5; - 4)$ .

13.20. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${x^{2} - 12 x y + 36 y^{2} = 36, x + 6 y = 8;$

Згорнемо ліву частину першого рівняння за формулою квадрата різниці:
$(x - 6 y)^{2} = 36$
$x - 6 y = 6$ або $x - 6 y = - 6$

Розв’яжемо першу систему:
${x - 6 y = 6, x + 6 y = 8;$
$2 x = 14 ⟹ x = 7$
$6 y = 8 - 7 ⟹ y = \frac{1}{6}$

Розв’яжемо другу систему:
${x - 6 y = - 6, x + 6 y = 8;$
$2 x = 2 ⟹ x = 1$
$6 y = 8 - 1 ⟹ y = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$

Відповідь: $(7; \frac{1}{6})$ , $(1; 1 \frac{1}{6})$ .

2) ${y^{2} - 2 x y = 32, x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} = 100;$

Згорнемо друге рівняння:
$(x + 3 y)^{2} = 100$
$x + 3 y = 10$ або $x + 3 y = - 10$

1) Якщо $x = 10 - 3 y$ , підставимо у перше рівняння:
$y^{2} - 2 (10 - 3 y) y = 32$
$7 y^{2} - 20 y - 32 = 0$
$D = 400 + 896 = 1296 = 3 6^{2}$
$y_{1} = \frac{20 + 36}{14} = 4 ⟹ x_{1} = 10 - 3 \cdot 4 = - 2$
$y_{2} = \frac{20 - 36}{14} = - \frac{8}{7} = - 1 \frac{1}{7} ⟹ x_{2} = 10 - 3 \cdot (- \frac{8}{7}) = \frac{94}{7} = 13 \frac{3}{7}$

2) Якщо $x = - 10 - 3 y$ , підставимо у перше рівняння:
$y^{2} - 2 (- 10 - 3 y) y = 32$
$7 y^{2} + 20 y - 32 = 0$
$D = 400 + 896 = 1296 = 3 6^{2}$
$y_{3} = \frac{- 20 + 36}{14} = \frac{8}{7} = 1 \frac{1}{7} ⟹ x_{3} = - 10 - 3 \cdot \frac{8}{7} = - \frac{94}{7} = - 13 \frac{3}{7}$
$y_{4} = \frac{- 20 - 36}{14} = - 4 ⟹ x_{4} = - 10 - 3 \cdot (- 4) = 2$

Відповідь: $(- 2; 4)$ , $(2; - 4)$ , $(13 \frac{3}{7}; - 1 \frac{1}{7})$ , $(- 13 \frac{3}{7}; 1 \frac{1}{7})$ .

3) ${x^{2} + y^{2} = 25, x y = 12;$

Помножимо друге рівняння на 2:
$2 x y = 24$

Додамо його до першого рівняння:
$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 49$
$(x + y)^{2} = 49 ⟹ x + y = 7$ або $x + y = - 7$

Віднімемо від першого рівняння:
$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 1$
$(x - y)^{2} = 1 ⟹ x - y = 1$ або $x - y = - 1$

Розв’яжемо можливі системи додаванням:

1) $x + y = 7$ та $x - y = 1 ⟹ x = 4, y = 3$

2) $x + y = 7$ та $x - y = - 1 ⟹ x = 3, y = 4$

3) $x + y = - 7$ та $x - y = 1 ⟹ x = - 3, y = - 4$

4) $x + y = - 7$ та $x - y = - 1 ⟹ x = - 4, y = - 3$

Відповідь: $(4; 3)$ , $(3; 4)$ , $(- 3; - 4)$ , $(- 4; - 3)$ .

4) ${9 x^{2} + y^{2} = 10, x y = - 1;$

Помножимо друге рівняння на 6:
$6 x y = - 6$

Додамо його до першого рівняння:
$9 x^{2} + 6 x y + y^{2} = 4$
$(3 x + y)^{2} = 4 ⟹ 3 x + y = 2$ або $3 x + y = - 2$

Віднімемо від першого рівняння:
$9 x^{2} - 6 x y + y^{2} = 16$
$(3 x - y)^{2} = 16 ⟹ 3 x - y = 4$ або $3 x - y = - 4$

Розв’яжемо системи:

1) $3 x + y = 2$ та $3 x - y = 4 ⟹ 6 x = 6 ⟹ x = 1, y = - 1$

2) $3 x + y = 2$ та $3 x - y = - 4 ⟹ 6 x = - 2 ⟹ x = - \frac{1}{3}, y = 3$

3) $3 x + y = - 2$ та $3 x - y = 4 ⟹ 6 x = 2 ⟹ x = \frac{1}{3}, y = - 3$

4) $3 x + y = - 2$ та $3 x - y = - 4 ⟹ 6 x = - 6 ⟹ x = - 1, y = 1$

Відповідь: $(1; - 1)$ , $(- 1; 1)$ , $(- \frac{1}{3}; 3)$ , $(\frac{1}{3}; - 3)$ .

13.21. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${x^{2} + 10 x y + 25 y^{2} = 49, x - 5 y = - 3;$

Згорнемо ліву частину першого рівняння:
$(x + 5 y)^{2} = 49$
$x + 5 y = 7$ або $x + 5 y = - 7$

1) ${x + 5 y = 7, x - 5 y = - 3; ⟹ 2 x = 4 ⟹ x = 2, y = 1$

2) ${x + 5 y = - 7, x - 5 y = - 3; ⟹ 2 x = - 10 ⟹ x = - 5, y = - 0, 4$

Відповідь: $(2; 1)$ , $(- 5; - 0, 4)$ .

2) ${x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} = 4 x + 2 y, x + 2 y = 4;$

Згорнемо ліву частину першого рівняння:
$(x + 2 y)^{2} = 4 x + 2 y$

Підставимо значення $x + 2 y = 4$ у ліву частину:
$4^{2} = 4 x + 2 y$
$4 x + 2 y = 16$
$2 x + y = 8$

Розв’яжемо отриману систему:
${x + 2 y = 4, 2 x + y = 8;$
$x = 4 - 2 y$
$2 (4 - 2 y) + y = 8$
$8 - 3 y = 8$
$y = 0$
$x = 4 - 2 \cdot 0 = 4$

Відповідь: $(4; 0)$ .

3) ${x^{2} + y^{2} = 10, x y = 3;$

Помножимо друге рівняння на 2:
$2 x y = 6$

Додамо та віднімемо від першого рівняння:
$(x + y)^{2} = 16 ⟹ x + y = 4$ або $x + y = - 4$
$(x - y)^{2} = 4 ⟹ x - y = 2$ або $x - y = - 2$

Комбінуємо можливі випадки:

1) $x + y = 4$ та $x - y = 2 ⟹ x = 3, y = 1$

2) $x + y = 4$ та $x - y = - 2 ⟹ x = 1, y = 3$

3) $x + y = - 4$ та $x - y = 2 ⟹ x = - 1, y = - 3$

4) $x + y = - 4$ та $x - y = - 2 ⟹ x = - 3, y = - 1$

Відповідь: $(3; 1)$ , $(1; 3)$ , $(- 1; - 3)$ , $(- 3; - 1)$ .

4) ${x^{2} + 25 y^{2} = 104, x y = - 4;$

Помножимо друге рівняння на 10:
$10 x y = - 40$

Додамо та віднімемо від першого рівняння:
$(x + 5 y)^{2} = 64 ⟹ x + 5 y = 8$ або $x + 5 y = - 8$
$(x - 5 y)^{2} = 144 ⟹ x - 5 y = 12$ або $x - 5 y = - 12$

Комбінуємо випадки:

1) $x + 5 y = 8$ та $x - 5 y = 12 ⟹ 2 x = 20 ⟹ x = 10, y = - 0, 4$

2) $x + 5 y = 8$ та $x - 5 y = - 12 ⟹ 2 x = - 4 ⟹ x = - 2, y = 2$

3) $x + 5 y = - 8$ та $x - 5 y = 12 ⟹ 2 x = 4 ⟹ x = 2, y = - 2$

4) $x + 5 y = - 8$ та $x - 5 y = - 12 ⟹ 2 x = - 20 ⟹ x = - 10, y = 0, 4$

Відповідь: $(10; - 0, 4)$ , $(- 2; 2)$ , $(2; - 2)$ , $(- 10; 0, 4)$ .

13.22. При яких значеннях $a$ система рівнянь ${x^{2} + y^{2} = 9, x - y = a$ :*

Виразимо $x$ через $y$ з другого рівняння:
$x = y + a$

Підставимо у перше рівняння системи:
$(y + a)^{2} + y^{2} = 9$
$y^{2} + 2 a y + a^{2} + y^{2} - 9 = 0$
$2 y^{2} + 2 a y + (a^{2} - 9) = 0$

Кількість розв’язків системи визначається дискримінтом отриманого квадратного рівняння:
$D = (2 a)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} - 9) = 4 a^{2} - 8 a^{2} + 72 = 72 - 4 a^{2} = 4 (18 - a^{2})$

1) має один розв’язок;

Система має один розв’язок, коли $D = 0$ :
$18 - a^{2} = 0$
$a^{2} = 18$
$a = 32$ або $a = - 32$

Відповідь: $a = 32$ або $a = - 32$ .

2) має два розв’язки;

Система має два розв’язки, коли $D > 0$ :
$18 - a^{2} > 0$
$a^{2} < 18$
$- 32 < a < 32$

Відповідь: $a \in (- 32; 32)$ .

3) не має розв’язків?

Система не має розв’язків, коли $D < 0$ :
$18 - a^{2} < 0$
$a^{2} > 18$
$a < - 32$ або $a > 32$

Відповідь: $a \in (- \infty; - 32) \cup (32; + \infty)$ .

13.23. При яких значеннях $k$ система рівнянь ${y - x^{2} = 4, y = k x + 3$ *
1) має один розв’язок;
2) має два розв’язки;
3) не має розв’язків?

Підставимо вираз $y = k x + 3$ у перше рівняння системи:
$(k x + 3) - x^{2} = 4$
$- x^{2} + k x - 1 = 0$
$x^{2} - k x + 1 = 0$

Кількість розв’язків системи дорівнює кількості коренів отриманого квадратного рівняння, яку визначає дискримінант:
$D = (- k)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^{2} - 4$

1) Рівняння має один корінь, коли $D = 0$ :
$k^{2} - 4 = 0$
$k^{2} = 4$
$k = - 2$ або $k = 2$

2) Рівняння має два корені, коли $D > 0$ :
$k^{2} - 4 > 0$
$(k - 2) (k + 2) > 0$
$k < - 2$ або $k > 2$

3) Рівняння не має коренів, коли $D < 0$ :
$k^{2} - 4 < 0$
$(k - 2) (k + 2) < 0$
$- 2 < k < 2$

Відповідь: 1) $k = - 2$ або $k = 2$ ; 2) $k < - 2$ або $k > 2$ ; 3) $- 2 < k < 2$ .

13.24. Скільки розв’язків залежно від значення $a$ має система рівнянь:*
1) ${y = ∣ x ∣, x^{2} + y = a;$
2) ${x^{2} + y^{2} = a^{2}, ∣ x ∣ = 4 ?$

1) Підставимо $∣ x ∣ = y$ (де $y \geq 0$ ) у друге рівняння, враховуючи, що $x^{2} = ∣ x ∣^{2} = y^{2}$ :
$y^{2} + y - a = 0$

Графічно перше рівняння задає кут з вершиною в початку координат, вітки якого спрямовані вгору, а друге рівняння $y = a - x^{2}$ задає параболу з вершиною в точці $(0; a)$ , вітки якої спрямовані вниз.

Якщо $a < 0$ , парабола розміщена нижче осі абсцис і не перетинає графік $y = ∣ x ∣$ : розв’язків немає (0 розв’язків).
Якщо $a = 0$ , парабола має вершину $(0; 0)$ і перетинає графік тільки в одній точці $(0; 0)$ : 1 розв’язок.
Якщо $a > 0$ , рівняння $y^{2} + y - a = 0$ має дискримінант $D = 1 + 4 a > 0$ та добуток коренів $- a < 0$ , тому воно має рівно один додатний корінь $y > 0$ . Цьому значенню $y$ відповідають два значення $x$ ( $x = y$ та $x = - y$ ): 2 розв’язки.

2) Перше рівняння за $a \neq = 0$ задає коло з центром у початку координат радіуса $R = ∣ a ∣$ , а за $a = 0$ — точку $(0; 0)$ .
Друге рівняння задає дві вертикальні прямі $x = 4$ та $x = - 4$ . Відстань від центру кола до кожної з прямих дорівнює $4$ .

Якщо $∣ a ∣ < 4$ , тобто $- 4 < a < 4$ , радіус кола менший за 4, тому коло не перетинає прямі: 0 розв’язків.
Якщо $∣ a ∣ = 4$ , тобто $a = 4$ або $a = - 4$ , коло дотикається до обох прямих у точках $(4; 0)$ та $(- 4; 0)$ : 2 розв’язки.
Якщо $∣ a ∣ > 4$ , тобто $a < - 4$ або $a > 4$ , коло перетинає кожну з двох прямих у двох точках: 4 розв’язки.

Відповідь: 1) якщо $a < 0$ — розв’язків немає; якщо $a = 0$ — 1 розв’язок; якщо $a > 0$ — 2 розв’язки;
2) якщо $- 4 < a < 4$ — розв’язків немає; якщо $a = 4$ або $a = - 4$ — 2 розв’язки; якщо $a < - 4$ або $a > 4$ — 4 розв’язки.

13.25. Скільки розв’язків залежно від значення $a$ має система рівнянь:*
1) ${x^{2} + y^{2} = 9, y = a - ∣ x ∣;$
2) ${x^{2} + y^{2} = a^{2}, x y = 4 ?$

1) Перше рівняння задає коло радіуса $R = 3$ з центром $(0; 0)$ .
Друге рівняння задає кут із вершиною $(0; a)$ , вітки якого спрямовані вниз під кутом $4 5^{\circ}$ до осі абсцис: прямі $y = - x + a$ при $x \geq 0$ та $y = x + a$ при $x < 0$ .

Знайдемо дотичні $x + y = a$ до кола $x^{2} + y^{2} = 9$ :
Відстань від початку координат $(0; 0)$ до прямої $x + y - a = 0$ дорівнює $\frac{∣ - a ∣}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣ a ∣}{2}$ .
Для дотику: $\frac{∣ a ∣}{2} = 3$ , звідки $∣ a ∣ = 32$ .
Оскільки вітки спрямовані вниз, прямі дотикаються до кола у верхній півплощині при $a = 32$ . При цьому точки дотику лежать на колі: для $x > 0$ це точка $(\frac{3 2}{2}; \frac{3 2}{2})$ , а для $x < 0$ симетрична точка $(- \frac{3 2}{2}; \frac{3 2}{2})$ .
Нижня гранична точка кола $(0; - 3)$ досягається, коли вершина кута опускається до $a = - 3$ .

Якщо $a > 32$ або $a < - 3$ : кут не перетинає коло (0 розв’язків).
Якщо $a = 32$ : графік дотикається до кола у двох точках (2 розв’язки).
Якщо $a = - 3$ : кут торкається вершиною найнижчої точки кола $(0; - 3)$ (1 розв’язок).
Якщо $- 3 < a < 3$ : вітки кута перетинають коло в двох точках нижньої півплощини (2 розв’язки).
Якщо $a = 3$ : вершина лежить у найвищій точці кола $(0; 3)$ , а вітки додатково перетинають коло ще у двох точках (3 розв’язки).
Якщо $3 < a < 32$ : кожна з двох віток перетинає верхнє півколо двічі (4 розв’язки).

2) Перше рівняння за $a \neq = 0$ задає коло з центром у $(0; 0)$ радіуса $∣ a ∣$ (при $a = 0$ — точка $(0; 0)$ ).
Друге рівняння $x y = 4$ задає гіперболу у I та III координатних чвертях.

Найближчі точки гіперболи до початку координат лежать на прямій $y = x$ :
$x^{2} = 4 ⟹ x = \pm 2$ , тобто точки $(2; 2)$ та $(- 2; - 2)$ .
Відстань від початку координат до цих точок становить $R_{m i n} = 2^{2} + 2^{2} = 8 = 22$ .

Якщо $∣ a ∣ < 22$ , тобто $- 22 < a < 22$ , радіус кола менший за мінімальну відстань, ліній перетину немає: 0 розв’язків.
Якщо $∣ a ∣ = 22$ , тобто $a = 22$ або $a = - 22$ , коло дотикається до обох віток гіперболи у вершинах $(2; 2)$ та $(- 2; - 2)$ : 2 розв’язки.
Якщо $∣ a ∣ > 22$ , тобто $a < - 22$ або $a > 22$ , коло радіуса більше за $22$ перетинає кожну з двох віток гіперболи у двох точках: 4 розв’язки.

Відповідь: 1) якщо $a < - 3$ або $a > 32$ — розв’язків немає; якщо $a = - 3$ — 1 розв’язок; якщо $- 3 < a < 3$ або $a = 32$ — 2 розв’язки; якщо $a = 3$ — 3 розв’язки; якщо $3 < a < 32$ — 4 розв’язки;
2) якщо $- 22 < a < 22$ — розв’язків немає; якщо $a = - 22$ або $a = 22$ — 2 розв’язки; якщо $a < - 22$ або $a > 22$ — 4 розв’язки.

13.26. Дано два рівняння $a x^{2} + x + 1 = 0$ і $x^{2} + a x + 1 = 0$ . Знайдіть усі значення $a$ , при яких ці рівняння мають принаймні один спільний корінь.*

Нехай $x_{0}$ — спільний корінь обох рівнянь. Тоді:
$a x_{0}^{2} + x_{0} + 1 = 0$
$x_{0}^{2} + a x_{0} + 1 = 0$

Віднімемо друге рівняння від першого:
$(a - 1) x_{0}^{2} + (1 - a) x_{0} = 0$
$(a - 1) (x_{0}^{2} - x_{0}) = 0$
$(a - 1) x_{0} (x_{0} - 1) = 0$

Розглянемо можливі випадки:

1) $a - 1 = 0$ , тобто $a = 1$ :
Підставимо $a = 1$ в обидва рівняння:
$x^{2} + x + 1 = 0$
Дискримінант $D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = - 3 < 0$ , отже, дійсних коренів немає. Значення $a = 1$ не підходить.

2) $x_{0} = 0$ :
Підставимо $x_{0} = 0$ у рівняння:
$0 + 0 + 1 = 0$ , тобто $1 = 0$ — неможливо.

3) $x_{0} - 1 = 0$ , тобто $x_{0} = 1$ :
Підставимо спільний корінь $x_{0} = 1$ у перше рівняння:
$a \cdot 1^{2} + 1 + 1 = 0$
$a + 2 = 0$
$a = - 2$

Перевіримо $a = - 2$ :
Перше рівняння: $- 2 x^{2} + x + 1 = 0 ⟹ 2 x^{2} - x - 1 = 0$ , корені $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 0, 5$ .
Друге рівняння: $x^{2} - 2 x + 1 = 0 ⟹ (x - 1)^{2} = 0$ , корінь $x = 1$ .
Рівняння мають спільний корінь $x = 1$ .

Відповідь: $a = - 2$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

13.27. Спростіть вираз $\frac{5 a + 5}{a ^{2} - a} : (\frac{a + 3}{a ^{2} - 1} - \frac{1}{a ^{2} + a})$ .

1) Виконаємо віднімання дробів у дужках:
Розкладемо знаменники на множники:
$a^{2} - 1 = (a - 1) (a + 1)$
$a^{2} + a = a (a + 1)$

Спільний знаменник: $a (a - 1) (a + 1)$

$\frac{a + 3}{( a - 1 ) ( a + 1 )} - \frac{1}{a ( a + 1 )} = \frac{a ( a + 3 ) - ( a - 1 )}{a ( a - 1 ) ( a + 1 )}$
$= \frac{a ^{2} + 3 a - a + 1}{a ( a - 1 ) ( a + 1 )}$
$= \frac{a ^{2} + 2 a + 1}{a ( a - 1 ) ( a + 1 )}$
$= \frac{( a + 1 ) ^{2}}{a ( a - 1 ) ( a + 1 )}$
$= \frac{a + 1}{a ( a - 1 )}$

2) Виконаємо ділення:
$\frac{5 a + 5}{a ^{2} - a} = \frac{5 ( a + 1 )}{a ( a - 1 )}$

$\frac{5 ( a + 1 )}{a ( a - 1 )} : \frac{a + 1}{a ( a - 1 )} = \frac{5 ( a + 1 )}{a ( a - 1 )} \cdot \frac{a ( a - 1 )}{a + 1} = 5$

Відповідь: $5$ .

13.28. Відомо, що $x_{1}$ і $x_{2}$ — корені рівняння $x^{2} + 6 x - 2 = 0$ . Знайдіть значення виразу $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ .

За теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння $x^{2} + 6 x - 2 = 0$ :
$x_{1} + x_{2} = - 6$
$x_{1} x_{2} = - 2$

Виділимо повний квадрат у виразі:
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$

Підставимо знайдені значення:
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (- 6)^{2} - 2 \cdot (- 2) = 36 + 4 = 40$

Відповідь: $40$ .

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

13.29. (Зі старовинного китайського трактату «Дев’ять відділів мистецтва рахунку») 5 волів і 2 барани коштують 11 таелів, а 2 воли та 8 баранів — 8 таелів. Скільки коштують окремо віл і баран?

Нехай один віл коштує $x$ таелів, а один баран — $y$ таелів. Складемо систему рівнянь:

${5 x + 2 y = 11 2 x + 8 y = 8$

Поділимо обидві частини другого рівняння на $2$ :
$x + 4 y = 4$
$x = 4 - 4 y$

Підставимо вираз для $x$ у перше рівняння:
$5 (4 - 4 y) + 2 y = 11$
$20 - 20 y + 2 y = 11$
$- 18 y = 11 - 20$
$- 18 y = - 9$
$y = 0, 5$

Знайдемо вартість вола:
$x = 4 - 4 \cdot 0, 5 = 4 - 2 = 2$

Відповідь: віл коштує $2$ таелі, баран — $0, 5$ таеля.

13.30. (Задача Леонардо Пізанського (Фібоначчі)) Один говорить другому: «Дай мені 7 динаріїв, і я буду в 5 разів багатшим за тебе». А другий говорить: «Дай мені 5 динаріїв, і я буду в 7 разів багатшим за тебе». Скільки грошей у кожного?

Нехай у першого чоловіка $x$ динаріїв, а в другого — $y$ динаріїв.

Якщо другий віддасть $7$ динаріїв, то в першого стане $(x + 7)$ динаріїв, а в другого залишиться $(y - 7)$ динаріїв:
$x + 7 = 5 (y - 7)$
$x + 7 = 5 y - 35$
$x = 5 y - 42$

Якщо перший віддасть другому $5$ динаріїв, то в другого стане $(y + 5)$ динаріїв, а в першого залишиться $(x - 5)$ динаріїв:
$y + 5 = 7 (x - 5)$
$y + 5 = 7 x - 35$
$7 x - y = 40$

Підставимо вираз $x = 5 y - 42$ у друге рівняння:
$7 (5 y - 42) - y = 40$
$35 y - 294 - y = 40$
$34 y = 334$
$y = \frac{334}{34} = \frac{167}{17} = 9 \frac{14}{17}$

Знайдемо кількість грошей у першого:
$x = 5 \cdot \frac{167}{17} - 42 = \frac{835 - 714}{17} = \frac{121}{17} = 7 \frac{2}{17}$

Відповідь: $7 \frac{2}{17}$ динарія та $9 \frac{14}{17}$ динарія.

13.31. Із села A в село B, відстань між якими дорівнює 140 км, виїхав мотоцикліст. За 20 хв до цього назустріч йому із села B у село A виїхала велосипедистка, яка зустрілася з мотоциклістом через 2 год після свого виїзду. Знайдіть швидкість кожного з них, якщо мотоцикліст за 2 год проїжджає на 104 км більше, ніж велосипедистка за 4 год.

Нехай швидкість мотоцикліста дорівнює $x км / год$ , а швидкість велосипедистки — $y км / год$ .

Велосипедистка до зустрічі їхала $2 год$ . Мотоцикліст виїхав на $20 хв = \frac{1}{3} год$ пізніше, тому його час у дорозі становить:
$t_{м} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} (год)$

Разом вони подолали всю відстань $140 км$ :
$\frac{5}{3} x + 2 y = 140$
Помножимо рівняння на $3$ :
$5 x + 6 y = 420$

За $2 год$ мотоцикліст проїжджає на $104 км$ більше, ніж велосипедистка за $4 год$ :
$2 x - 4 y = 104$
Поділимо рівняння на $2$ :
$x - 2 y = 52$
$x = 2 y + 52$

Підставимо цей вираз у перше рівняння:
$5 (2 y + 52) + 6 y = 420$
$10 y + 260 + 6 y = 420$
$16 y = 160$
$y = 10$

Обчислимо швидкість мотоцикліста:
$x = 2 \cdot 10 + 52 = 72$

Відповідь: $72 км / год$ і $10 км / год$ .

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

13.32. Чи існують 100 таких натуральних чисел, що будь-яка сума кількох із них не є квадратом натурального числа?

Так, існують.

Візьмемо перші 100 натуральних чисел: $1, 2, 3, \dots, 100$ .

Сума всіх цих чисел дорівнює:
$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = 5050$

Будь-яка сума кількох чисел із цього набору є натуральним числом, що не перевищує $5050$ .

Візьмемо будь-яке просте число $p$ , більше за $5050$ (наприклад, $p = 5051$ ), і помножимо кожне з обраних чисел на $p$ :
$a_{1} = 1 \cdot p, a_{2} = 2 \cdot p, \dots, a_{100} = 100 \cdot p$

Будь-яка сума кількох чисел із нового набору має вигляд:
$S = p \cdot B$ , де $B$ — сума відповідних чисел з першого набору ( $1 \leq B \leq 5050$ ).

Оскільки $1 \leq B < p$ , число $B$ не ділиться на просте число $p$ .

Якщо припустити, що $S$ є квадратом деякого натурального числа $k$ ( $S = k^{2}$ ), то $k^{2}$ ділиться на $p$ . Оскільки $p$ — просте, то й $k$ має ділитися на $p$ , а отже, $k^{2}$ мусить ділитися на $p^{2}$ . Тоді й вираз $p \cdot B$ повинен ділитися на $p^{2}$ , звідки випливає, що $B$ має ділитися на $p$ . Це суперечить нерівності $1 \leq B < p$ .

Жодна така сума не може бути квадратом натурального числа.

Відповідь: так, існують.

13. Системи рівнянь з двома змінними

Теги статті:

До уроку