12. Розв’язування квадратних нерівностей

1. За допомогою якого символу записують об’єднання проміжків?

Об’єднання проміжків записують за допомогою символу $\cup$ .

2. Які нерівності називають квадратними?

Квадратними називають нерівності виду $a x^{2} + b x + c > 0$ , $a x^{2} + b x + c < 0$ , $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , де $x$ — змінна, $a$ , $b$ , $c$ — деякі числа, причому $a \neq = 0$ .

3. Які можливі випадки розміщення параболи y = ax² + bx + c відносно осі абсцис залежно від знаків a і D, де D — дискримінант квадратного тричлена ax² + bx + c? Зобразіть схематично ці випадки.

Розміщення параболи залежить від знаків коефіцієнта $a$ (напрямок віток) та дискримінанта $D$ (кількість точок перетину з віссю абсцис):

При $a > 0$ (вітки напрямлені вгору):

1) Якщо $D > 0$ , парабола перетинає вісь $O x$ у двох точках ( $x_{1}$ і $x_{2}$ ).

2) Якщо $D = 0$ , парабола дотикається до осі $O x$ в одній точці ( $x_{0}$ ).

3) Якщо $D < 0$ , парабола повністю лежить вище осі $O x$ і не перетинає її.

При $a < 0$ (вітки напрямлені вниз):
4. Якщо $D > 0$ , парабола перетинає вісь $O x$ у двох точках ( $x_{1}$ і $x_{2}$ ).
5. Якщо $D = 0$ , парабола дотикається до осі $O x$ в одній точці ( $x_{0}$ ).
6. Якщо $D < 0$ , парабола повністю лежить нижче осі $O x$ і не перетинає її.

D > 0

ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

12.1.° Які із чисел –2; 0; 1 є розв’язками нерівності:

1) $x^{2} - x - 2 < 0$

Підставимо кожне з чисел:

при $x = - 2$ : $(- 2)^{2} - (- 2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 < 0$ (хибно);
при $x = 0$ : $0^{2} - 0 - 2 = - 2 < 0$ (істинно);
при $x = 1$ : $1^{2} - 1 - 2 = - 2 < 0$ (істинно).

Відповідь: $0; 1$ .

2) $x^{2} + x \geq 0$

Підставимо кожне з чисел:

при $x = - 2$ : $(- 2)^{2} + (- 2) = 4 - 2 = 2 \geq 0$ (істинно);
при $x = 0$ : $0^{2} + 0 = 0 \geq 0$ (істинно);
при $x = 1$ : $1^{2} + 1 = 2 \geq 0$ (істинно).

Відповідь: $- 2; 0; 1$ .

3) $- 3 x^{2} - x + 2 > 0$

Підставимо кожне з чисел:

при $x = - 2$ : $- 3 \cdot (- 2)^{2} - (- 2) + 2 = - 12 + 2 + 2 = - 8 > 0$ (хибно);
при $x = 0$ : $- 3 \cdot 0^{2} - 0 + 2 = 2 > 0$ (істинно);
при $x = 1$ : $- 3 \cdot 1^{2} - 1 + 2 = - 3 - 1 + 2 = - 2 > 0$ (хибно).

Відповідь: $0$ .

12.2.° На рисунку 12.4 зображено графік функції y = x² + 2x – 3. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

За графіком нулями функції є точки $x = - 3$ та $x = 1$ . Парабола перетинає вісь $O x$ , набуваючи від’ємних значень нижче осі $O x$ , а додатних — вище.

1) $x^{2} + 2 x - 3 < 0$
Графік лежить нижче осі $O x$ на інтервалі $(- 3; 1)$ .
Відповідь: $(- 3; 1)$ .

2) $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$
Графік лежить нижче осі $O x$ або на ній на відрізку $[- 3; 1]$ .
Відповідь: $[- 3; 1]$ .

3) $x^{2} + 2 x - 3 > 0$
Графік лежить вище осі $O x$ при $x < - 3$ або $x > 1$ .
Відповідь: $(- \infty; - 3) \cup (1; + \infty)$ .

4) $x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$
Графік лежить вище осі $O x$ або на ній при $x \leq - 3$ або $x \geq 1$ .
Відповідь: $(- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$ .

12.3. На рисунку 12.5 зображено графік функції $y = - 3 x^{2} - 6 x$ . Знайдіть множину розв’язків нерівності:

Графіком є парабола з вітками, напрямленими вниз, яка перетинає вісь абсцис у точках $x = - 2$ та $x = 0$ .

1) $- 3 x^{2} - 6 x < 0$
Графік розташований нижче від осі абсцис при $x < - 2$ або $x > 0$ .
Відповідь: $(- \infty; - 2) \cup (0; + \infty)$ .

2) $- 3 x^{2} - 6 x \leq 0$
Графік розташований нижче від осі абсцис або на ній при $x \leq - 2$ або $x \geq 0$ .
Відповідь: $(- \infty; - 2] \cup [0; + \infty)$ .

3) $- 3 x^{2} - 6 x > 0$
Графік розташований вище за вісь абсцис на проміжку між нулями функції.
Відповідь: $(- 2; 0)$ .

4) $- 3 x^{2} - 6 x \geq 0$
Графік розташований вище за вісь абсцис або на ній при $x$ від $- 2$ до $0$ включно.
Відповідь: $[- 2; 0]$ .

12.4. На рисунку 12.6 зображено графік функції $y = x^{2} - 4 x + 4$ . Знайдіть множину розв’язків нерівності:

Графіком є парабола з вітками вгору, яка дотикається до осі абсцис у точці $x = 2$ і при всіх інших $x$ лежить вище від осі.

1) $x^{2} - 4 x + 4 < 0$
Графік не має точок нижче від осі абсцис.
Відповідь: розв’язків немає.

2) $x^{2} - 4 x + 4 \leq 0$
Графік має лише одну спільну точку з віссю абсцис — вершину параболи $x = 2$ .
Відповідь: $2$ .

3) $x^{2} - 4 x + 4 > 0$
Графік лежить вище від осі абсцис при всіх значеннях $x$ , крім точки дотику $x = 2$ .
Відповідь: $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$ .

4) $x^{2} - 4 x + 4 \geq 0$
Графік лежить вище від осі абсцис або на ній при будь-якому дійсному значенні $x$ .
Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

Як ви думаєте, чи можна розв’язати ці нерівності, не використовуючи графік функції? Обговоріть це питання з однокласниками й однокласницями.

Так, ці нерівності можна розв’язати аналітично, згорнувши квадратний тричлен за формулою квадрата двочлена:
$x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ .
Оскільки квадрат будь-якого виразу завжди невід’ємний ( $(x - 2)^{2} \geq 0$ при всіх $x$ ), то:

$(x - 2)^{2} < 0$ не має розв’язків;
$(x - 2)^{2} \leq 0$ виконується тільки коли $x - 2 = 0$ , тобто $x = 2$ ;
$(x - 2)^{2} > 0$ виконується при всіх $x \neq = 2$ ;
$(x - 2)^{2} \geq 0$ виконується при будь-якому дійсному $x$ .

12.5. На рисунку 12.7 зображено графік функції $y = - x^{2} + 2 x - 2$ . Знайдіть множину розв’язків нерівності:

Графіком є парабола з вітками вниз, вершина якої лежить у точці $(1; - 1)$ , тобто весь графік розташований строго нижче від осі абсцис і не перетинає її.

1) $- x^{2} + 2 x - 2 < 0$
Графік цілком лежить нижче від осі абсцис при будь-якому дійсному $x$ .
Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

2) $- x^{2} + 2 x - 2 \leq 0$
Графік лежить нижче від осі абсцис при всіх дійсних значеннях $x$ .
Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

3) $- x^{2} + 2 x - 2 > 0$
Графік не має точок вище за вісь абсцис.
Відповідь: розв’язків немає.

4) $- x^{2} + 2 x - 2 \geq 0$
Графік не має спільних точок з віссю абсцис і не лежить вище за неї.
Відповідь: розв’язків немає.

12.6. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} + 6 x - 7 < 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ :
$x_{1} = - 7$
$x_{2} = 1$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Тричлен набуває від’ємних значень між коренями.
Відповідь: $(- 7; 1)$ .

2) $x^{2} - 2 x - 48 \geq 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 2 x - 48 = 0$ :
$x_{1} = - 6$
$x_{2} = 8$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Тричлен набуває невід’ємних значень поза проміжком між коренями.
Відповідь: $(- \infty; - 6] \cup [8; + \infty)$ .

3) $- x^{2} - 6 x - 5 > 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} + 6 x + 5 < 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ :
$x_{1} = - 5$
$x_{2} = - 1$
Вітки параболи напрямлені вгору.
Відповідь: $(- 5; - 1)$ .

4) $3 x^{2} - 7 x + 4 \leq 0$
Знайдемо корені рівняння $3 x^{2} - 7 x + 4 = 0$ :
$D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$
$x_{1} = \frac{7 - 1}{6} = 1$
$x_{2} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 3 > 0$ ).
Відповідь: $[1; 1 \frac{1}{3}]$ .

5) $2 x^{2} + 3 x + 1 > 0$
Знайдемо корені рівняння $2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ :
$D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
$x_{1} = \frac{- 3 - 1}{4} = - 1$
$x_{2} = \frac{- 3 + 1}{4} = - 0, 5$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).
Відповідь: $(- \infty; - 1) \cup (- 0, 5; + \infty)$ .

6) $4 x^{2} - 12 x \leq 0$
Розкладемо ліву частину на множники:
$4 x (x - 3) \leq 0$
Корені рівняння $4 x (x - 3) = 0$ :
$x_{1} = 0$
$x_{2} = 3$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 4 > 0$ ).
Відповідь: $[0; 3]$ .

7) $4 x^{2} - 9 > 0$
Розкладемо ліву частину на множники:
$(2 x - 3) (2 x + 3) > 0$
Корені тричлена:
$x_{1} = - 1, 5$
$x_{2} = 1, 5$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 4 > 0$ ).
Відповідь: $(- \infty; - 1, 5) \cup (1, 5; + \infty)$ .

8) $x^{2} - 12 x + 36 > 0$
Згорнемо повний квадрат:
$(x - 6)^{2} > 0$
Квадрат виразу строго більший за нуль для всіх значень, крім $x = 6$ .
Відповідь: $(- \infty; 6) \cup (6; + \infty)$ .

9) $4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 0$
Згорнемо повний квадрат:
$(2 x - 3)^{2} \geq 0$
Квадрат будь-якого дійсного числа завжди більший або дорівнює нулю.
Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

10) $x^{2} + 4 x + 4 < 0$
Згорнемо повний квадрат:
$(x + 2)^{2} < 0$
Квадрат числа не може бути строго меншим від нуля.
Відповідь: розв’язків немає.

11) $49 x^{2} - 14 x + 1 \leq 0$
Згорнемо повний квадрат:
$(7 x - 1)^{2} \leq 0$
Квадрат числа не може бути від’ємним, тому нерівність виконується лише за умови:
$7 x - 1 = 0$
$x = \frac{1}{7}$
Відповідь: $\frac{1}{7}$ .

12) $2 x^{2} - x + 3 > 0$
Обчислимо дискримінант квадратного тричлена:
$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = - 23 < 0$
Оскільки $a = 2 > 0$ і $D < 0$ , парабола не перетинає вісь $O x$ і повністю лежить вище від неї.
Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

13) $3 x^{2} - 4 x + 5 \leq 0$
Обчислимо дискримінант квадратного тричлена:
$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = - 44 < 0$
Оскільки $a = 3 > 0$ і $D < 0$ , тричлен набуває тільки додатних значень при всіх $x$ .
Відповідь: розв’язків немає.

14) $- 4 x^{2} + 5 x - 7 > 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$4 x^{2} - 5 x + 7 < 0$
Обчислимо дискримінант:
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 25 - 112 = - 87 < 0$
Оскільки $a = 4 > 0$ і $D < 0$ , тричлен $4 x^{2} - 5 x + 7$ набуває тільки додатних значень при всіх $x$ .
Відповідь: розв’язків немає.

12.7. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} + 4 x + 3 > 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ :
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = - 1$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Відповідь: $(- \infty; - 3) \cup (- 1; + \infty)$ .

2) $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ :
$x_{1} = 1$
$x_{2} = 2$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Відповідь: $[1; 2]$ .

3) $- x^{2} + 12 x + 45 < 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} - 12 x - 45 > 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 12 x - 45 = 0$ :
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 15$
Вітки параболи напрямлені вгору.
Відповідь: $(- \infty; - 3) \cup (15; + \infty)$ .

4) $- 3 x^{2} - 5 x - 2 \geq 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$3 x^{2} + 5 x + 2 \leq 0$
Знайдемо корені рівняння $3 x^{2} + 5 x + 2 = 0$ :
$D = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$
$x_{1} = \frac{- 5 - 1}{6} = - 1$
$x_{2} = \frac{- 5 + 1}{6} = - \frac{2}{3}$
Вітки параболи напрямлені вгору.
Відповідь: $[- 1; - \frac{2}{3}]$ .

5) $x^{2} - 5 x > 0$
Розкладемо ліву частину на множники:
$x (x - 5) > 0$
Корені рівняння $x (x - 5) = 0$ :
$x_{1} = 0$
$x_{2} = 5$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Відповідь: $(- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$ .

6) $- 25 x^{2} + 16 \leq 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$25 x^{2} - 16 \geq 0$
Розкладемо на множники:
$(5 x - 4) (5 x + 4) \geq 0$
Корені тричлена:
$x_{1} = - 0, 8$
$x_{2} = 0, 8$
Вітки параболи напрямлені вгору.
Відповідь: $(- \infty; - 0, 8] \cup [0, 8; + \infty)$ .

7) $5 x^{2} - 3 x + 1 \geq 0$
Обчислимо дискримінант квадратного тричлена:
$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = - 11 < 0$
Оскільки $a = 5 > 0$ і $D < 0$ , графік лежить повністю вище від осі абсцис, тому нерівність правильна для будь-якого $x$ .
Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

8) $2 x^{2} - 2 x + 0, 5 < 0$
Помножимо обидві частини на $2$ :
$4 x^{2} - 4 x + 1 < 0$
Згорнемо повний квадрат:
$(2 x - 1)^{2} < 0$
Квадрат дійсного числа не може бути від’ємним.
Відповідь: розв’язків немає.

12.8.° Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $x^{2} \leq 49$

$x^{2} - 49 \leq 0$
$(x - 7) (x + 7) \leq 0$
Нулі функції: $x_{1} = - 7$ , $x_{2} = 7$ .
Вітки параболи напрямлені вгору, тому значення менші або рівні нулю між коренями.

Відповідь: $[- 7; 7]$ .

2) $x^{2} > 5$

$x^{2} - 5 > 0$
$(x - 5) (x + 5) > 0$
Нулі функції: $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 5$ .
Вітки параболи напрямлені вгору, тому значення більші за нуль за межами коренів.

Відповідь: $(- \infty; - 5) \cup (5; + \infty)$ .

3) $7 x^{2} \leq 4 x$

$7 x^{2} - 4 x \leq 0$
$x (7 x - 4) \leq 0$
Нулі функції: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = \frac{4}{7}$ .
Вітки параболи напрямлені вгору, тому розв’язком є проміжок між коренями.

Відповідь: $[0; \frac{4}{7}]$ .

4) $0, 9 x^{2} < - 27 x$

$0, 9 x^{2} + 27 x < 0$
Поділимо обидві частини нерівності на $0, 9$ :
$x^{2} + 30 x < 0$
$x (x + 30) < 0$
Нулі функції: $x_{1} = - 30$ , $x_{2} = 0$ .
Вітки параболи напрямлені вгору, тому значення менші за нуль між коренями.

Відповідь: $(- 30; 0)$ .

12.9.° Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $x^{2} > 1$

$x^{2} - 1 > 0$
$(x - 1) (x + 1) > 0$
Нулі функції: $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 1$ .
Вітки параболи напрямлені вгору, шукаємо проміжки додатних значень.

Відповідь: $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ .

2) $x^{2} < 3$

$x^{2} - 3 < 0$
$(x - 3) (x + 3) < 0$
Нулі функції: $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 3$ .
Вітки параболи напрямлені вгору, значення менші за нуль знаходяться між коренями.

Відповідь: $(- 3; 3)$ .

3) $- 3 x^{2} \geq - 12 x$

$- 3 x^{2} + 12 x \geq 0$
Поділимо обидві частини нерівності на $- 3$ , змінивши знак нерівності на протилежний:
$x^{2} - 4 x \leq 0$
$x (x - 4) \leq 0$
Нулі функції: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4$ .
Вітки параболи напрямлені вгору, розв’язком є відрізок між коренями.

Відповідь: $[0; 4]$ .

4) $- 2 x^{2} < - 128$

Поділимо обидві частини на $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:
$x^{2} > 64$
$x^{2} - 64 > 0$
$(x - 8) (x + 8) > 0$
Нулі функції: $x_{1} = - 8$ , $x_{2} = 8$ .
Вітки параболи напрямлені вгору, значення більші за нуль за межами коренів.

Відповідь: $(- \infty; - 8) \cup (8; + \infty)$ .

12.10.• Розв’яжіть нерівність:

1) $x (x + 5) - 2 < 4 x$

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:
$x^{2} + 5 x - 2 < 4 x$
$x^{2} + x - 2 < 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} + x - 2 = 0$ :
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 2$
$x_{2} = 1$
Оскільки вітки параболи напрямлені вгору, нерівність виконується між коренями.

Відповідь: $(- 2; 1)$ .

2) $11 - (x + 1)^{2} \leq x$

Застосуємо формулу квадрата суми:
$11 - (x^{2} + 2 x + 1) \leq x$
$11 - x^{2} - 2 x - 1 - x \leq 0$
$- x^{2} - 3 x + 10 \leq 0$
Помножимо на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} + 3 x - 10 \geq 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ :
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 5$
$x_{2} = 2$
Вітки параболи напрямлені вгору, розв’язком нерівності є проміжки поза коренями.

Відповідь: $(- \infty; - 5] \cup [2; + \infty)$ .

3) $(2 x + 1)^{2} - (x + 1) (x - 7) \leq 5$

Розкриємо дужки:
$4 x^{2} + 4 x + 1 - (x^{2} - 7 x + x - 7) \leq 5$
$4 x^{2} + 4 x + 1 - (x^{2} - 6 x - 7) \leq 5$
$4 x^{2} + 4 x + 1 - x^{2} + 6 x + 7 - 5 \leq 0$
$3 x^{2} + 10 x + 3 \leq 0$
Знайдемо корені рівняння $3 x^{2} + 10 x + 3 = 0$ :
$D = 1 0^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^{2}$
$x_{1} = \frac{- 10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{- 18}{6} = - 3$
$x_{2} = \frac{- 10 + 8}{6} = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}$
Вітки параболи напрямлені вгору, вираз набуває недодатних значень між коренями.

Відповідь: $[- 3; - \frac{1}{3}]$ .

4) $\frac{2 x ^{2} - 1}{4} - \frac{3 - 4 x}{6} + \frac{8 x - 5}{8} \leq \frac{19}{24}$

Помножимо обидві частини нерівності на спільний знаменник $24$ :
$6 (2 x^{2} - 1) - 4 (3 - 4 x) + 3 (8 x - 5) \leq 19$
$12 x^{2} - 6 - 12 + 16 x + 24 x - 15 \leq 19$
$12 x^{2} + 40 x - 33 \leq 19$
$12 x^{2} + 40 x - 52 \leq 0$
Поділимо обидві частини на $4$ :
$3 x^{2} + 10 x - 13 \leq 0$
Знайдемо корені рівняння $3 x^{2} + 10 x - 13 = 0$ :
$D = 1 0^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 13) = 100 + 156 = 256 = 1 6^{2}$
$x_{1} = \frac{- 10 - 16}{6} = - \frac{26}{6} = - \frac{13}{3} = - 4 \frac{1}{3}$
$x_{2} = \frac{- 10 + 16}{6} = \frac{6}{6} = 1$
Вітки параболи напрямлені вгору, розв’язком є відрізок між коренями.

Відповідь: $[- 4 \frac{1}{3}; 1]$ .

12.11.• Розв’яжіть нерівність:

1) $2 (x^{2} + 2) \geq x (x + 5)$

Розкриємо дужки:
$2 x^{2} + 4 \geq x^{2} + 5 x$
$2 x^{2} - x^{2} - 5 x + 4 \geq 0$
$x^{2} - 5 x + 4 \geq 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ :
За теоремою Вієта:
$x_{1} = 1$
$x_{2} = 4$
Вітки параболи напрямлені вгору, значення більші або рівні нулю за межами коренів.

Відповідь: $(- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$ .

2) $x - (x + 4) (x + 5) > - 5$

Розкриємо дужки:
$x - (x^{2} + 5 x + 4 x + 20) > - 5$
$x - (x^{2} + 9 x + 20) > - 5$
$x - x^{2} - 9 x - 20 + 5 > 0$
$- x^{2} - 8 x - 15 > 0$
Помножимо на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} + 8 x + 15 < 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 8 x + 15 = 0$ :
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 5$
$x_{2} = - 3$
Вітки параболи напрямлені вгору, розв’язок лежить строго між коренями.

Відповідь: $(- 5; - 3)$ .

3) $\frac{x - 1}{4} - \frac{2 x - 3}{2} < \frac{x ^{2} + 3 x}{8}$

Помножимо обидві частини нерівності на спільний знаменник $8$ :
$2 (x - 1) - 4 (2 x - 3) < x^{2} + 3 x$
$2 x - 2 - 8 x + 12 < x^{2} + 3 x$
$- 6 x + 10 < x^{2} + 3 x$
Перенесемо всі доданки в одну частину:
$- x^{2} - 9 x + 10 < 0$
Помножимо на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} + 9 x - 10 > 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 9 x - 10 = 0$ :
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 10$
$x_{2} = 1$
Вітки параболи напрямлені вгору, вираз додатний поза межами коренів.

Відповідь: $(- \infty; - 10) \cup (1; + \infty)$ .

12.12.• Знайдіть цілі розв’язки нерівності:

1) $x^{2} - 10 < 0$

Розкладемо на множники:
$(x - 10) (x + 10) < 0$
Розв’язком нерівності є числовий проміжок:
$x \in (- 10; 10)$
Оскільки $3 < 10 < 4$ (приблизно $10 \approx 3, 16$ ), проміжок має вигляд приблизно $(- 3, 16; 3, 16)$ .
Цілі числа з цього проміжку: $- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ .

Відповідь: $- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3$ .

2) $6 x^{2} + x - 2 \leq 0$

Знайдемо корені тричлена $6 x^{2} + x - 2$ :
$D = 1^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 2) = 1 + 48 = 49 = 7^{2}$
$x_{1} = \frac{- 1 - 7}{12} = - \frac{8}{12} = - \frac{2}{3}$
$x_{2} = \frac{- 1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Розв’язком нерівності є відрізок:
$x \in [- \frac{2}{3}; \frac{1}{2}]$
Оскільки $- \frac{2}{3} \approx - 0, 67$ , а $\frac{1}{2} = 0, 5$ , у проміжок $[- 0, 67; 0, 5]$ потрапляє лише одне ціле число: $0$ .

Відповідь: $0$ .

12.13. Скільки цілих розв’язків має нерівність:

1) $20 - 8 x - x^{2} > 0$

Помножимо обидві частини на $- 1$ :
$x^{2} + 8 x - 20 < 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} + 8 x - 20 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_{1} = - 10$
$x_{2} = 2$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ), тому розв’язком є проміжок:
$x \in (- 10; 2)$

Цілі розв’язки нерівності: $- 9, - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1$ .
Їхня кількість дорівнює: $1 - (- 9) + 1 = 11$ .

2) $4 x^{2} - 15 x - 4 < 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $4 x^{2} - 15 x - 4 = 0$ :
$D = (- 15)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 4) = 225 + 64 = 289 = 1 7^{2}$
$x_{1} = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = - \frac{2}{8} = - 0, 25$
$x_{2} = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 4 > 0$ ), тому розв’язком є проміжок:
$x \in (- 0, 25; 4)$

Цілі розв’язки нерівності: $0, 1, 2, 3$ .
Їхня кількість дорівнює $4$ .

Відповідь: 1) 11; 2) 4.

12.14. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

1) $42 - x^{2} - x > 0$

Помножимо обидві частини на $- 1$ :
$x^{2} + x - 42 < 0$

Знайдемо корені рівняння $x^{2} + x - 42 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_{1} = - 7$
$x_{2} = 6$

Оскільки $a = 1 > 0$ , розв’язком є проміжок:
$x \in (- 7; 6)$

Цілими розв’язками є числа: $- 6, - 5, \dots, 5$ .
Найменший цілий розв’язок — число $- 6$ .

2) $2 x^{2} - 3 x - 20 < 0$

Знайдемо корені рівняння $2 x^{2} - 3 x - 20 = 0$ :
$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 20) = 9 + 160 = 169 = 1 3^{2}$
$x_{1} = \frac{3 - 13}{4} = - \frac{10}{4} = - 2, 5$
$x_{2} = \frac{3 + 13}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Оскільки $a = 2 > 0$ , розв’язком є проміжок:
$x \in (- 2, 5; 4)$

Цілими розв’язками є числа: $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ .
Найменший цілий розв’язок — число $- 2$ .

Відповідь: 1) $- 6$ ; 2) $- 2$ .

12.15. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

1) $1, 5 x^{2} - 2 x - 2 < 0$

Помножимо обидві частини на $2$ :
$3 x^{2} - 4 x - 4 < 0$

Знайдемо корені рівняння $3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ :
$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4) = 16 + 48 = 64 = 8^{2}$
$x_{1} = \frac{4 - 8}{6} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3}$
$x_{2} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Оскільки $a = 3 > 0$ , розв’язком є проміжок:
$x \in (- \frac{2}{3}; 2)$

Цілими розв’язками є числа: $0, 1$ .
Найбільший цілий розв’язок — число $1$ .

2) $- 2 x^{2} - 15 x - 25 \geq 0$

Помножимо обидві частини на $- 1$ :
$2 x^{2} + 15 x + 25 \leq 0$

Знайдемо корені рівняння $2 x^{2} + 15 x + 25 = 0$ :
$D = 1 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 - 200 = 25 = 5^{2}$
$x_{1} = \frac{- 15 - 5}{4} = - \frac{20}{4} = - 5$
$x_{2} = \frac{- 15 + 5}{4} = - \frac{10}{4} = - 2, 5$

Оскільки $a = 2 > 0$ , розв’язком є відрізок:
$x \in [- 5; - 2, 5]$

Цілими розв’язками є числа: $- 5, - 4, - 3$ .
Найбільший цілий розв’язок — число $- 3$ .

Відповідь: 1) $1$ ; 2) $- 3$ .

12.16. Складіть яку-небудь квадратну нерівність, множина розв’язків якої:

1) є об’єднанням проміжків $(- \infty; - 4)$ і $(8; + \infty)$

Нерівність має вигляд $(x - x_{1}) (x - x_{2}) > 0$ при $a > 0$ :
$(x - (- 4)) (x - 8) > 0$
$(x + 4) (x - 8) > 0$
$x^{2} - 4 x - 32 > 0$

2) є проміжком $[- 2; 9]$

Нерівність має вигляд $(x - x_{1}) (x - x_{2}) \leq 0$ при $a > 0$ :
$(x - (- 2)) (x - 9) \leq 0$
$(x + 2) (x - 9) \leq 0$
$x^{2} - 7 x - 18 \leq 0$

3) складається з одного числа 7

Квадрат будь-якого виразу є невід’ємним, тому нерівність виду $(x - 7)^{2} \leq 0$ має єдиний розв’язок $x = 7$ :
$(x - 7)^{2} \leq 0$
$x^{2} - 14 x + 49 \leq 0$

Відповідь: 1) $x^{2} - 4 x - 32 > 0$ ; 2) $x^{2} - 7 x - 18 \leq 0$ ; 3) $x^{2} - 14 x + 49 \leq 0$ .

12.17. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = - x^{2} + 3 x + 4$

Підкореневий вираз має бути невід’ємним:
$- x^{2} + 3 x + 4 \geq 0$

Помножимо обидві частини на $- 1$ :
$x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$

Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$
$x_{2} = 4$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ), тому значення не перевищують нуля між коренями:
$x \in [- 1; 4]$

2) $y = \frac{1}{x ^{2} + 4 x - 12}$

Підкореневий вираз у знаменнику має бути строго додатним:
$x^{2} + 4 x - 12 > 0$

Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 4 x - 12 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_{1} = - 6$
$x_{2} = 2$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ), тому значення додатні зовні проміжку між коренями:
$x \in (- \infty; - 6) \cup (2; + \infty)$

Відповідь: 1) $[- 1; 4]$ ; 2) $(- \infty; - 6) \cup (2; + \infty)$ .

12.18.

1) $2 x^{2} - 9 x - 18$

Вираз має зміст, якщо підкореневий вираз є невід’ємним:
$2 x^{2} - 9 x - 18 \geq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$ :
$D = (- 9)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18) = 81 + 144 = 225 = 1 5^{2}$

$x_{1} = \frac{9 - 15}{2 \cdot 2} = - \frac{6}{4} = - 1, 5$

$x_{2} = \frac{9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

Оскільки старший коефіцієнт $a = 2 > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору. Значення тричлена невід’ємні поза проміжком коренів:
$x \leq - 1, 5$ або $x \geq 6$

Відповідь: $x \in (- \infty; - 1, 5] \cup [6; + \infty)$ .

2) $\frac{1}{15 + 2 x - x ^{2}}$

Вираз під коренем у знаменнику має бути строго додатним:
$15 + 2 x - x^{2} > 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ і змінимо знак нерівності:
$x^{2} - 2 x - 15 < 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ :
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 5$

Оскільки $a = 1 > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору. Значення тричлена від’ємні між коренями:
$- 3 < x < 5$

Відповідь: $x \in (- 3; 5)$ .

12.19.

1) $x^{2} - 2 x - 15 > 0$ і $x^{2} - 2 x - 15 \geq 0$

Ні, не рівносильні, оскільки вони мають різні множини розв’язків.
Коренями квадратного тричлена $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ є $x_{1} = - 3$ та $x_{2} = 5$ .
Розв’язком першої (строгої) нерівності є $(- \infty; - 3) \cup (5; + \infty)$ , а другої (нестрогої) — $(- \infty; - 3] \cup [5; + \infty)$ . Числа $- 3$ і $5$ задовольняють другу нерівність, але не є розв’язками першої.

2) $\frac{1}{x ^{2} - x - 20} < 0$ і $\frac{1}{x ^{2} - x - 20} \leq 0$

Так, рівносильні, оскільки вони мають однакову множину розв’язків.
Чисельник дробу дорівнює $1 > 0$ , тому дріб не може дорівнювати нулю за жодних значень змінної. Відповідно, знак « $\leq$ » рівносильний знаку « $<$ ». В обох випадках дріб від’ємний тоді й лише тоді, коли знаменник є від’ємним:
$x^{2} - x - 20 < 0$
Коренями знаменника є $x_{1} = - 4$ та $x_{2} = 5$ . Множиною розв’язків обох нерівностей є проміжок $(- 4; 5)$ .

12.20.

1) $x^{2} - a x + 4 = 0$

Квадратне рівняння не має коренів тоді й тільки тоді, коли його дискримінант є від’ємним ( $D < 0$ ):
$D = (- a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^{2} - 16$

Розв’яжемо нерівність:
$a^{2} - 16 < 0$
$(a - 4) (a + 4) < 0$
$- 4 < a < 4$

Відповідь: $a \in (- 4; 4)$ .

2) $x^{2} + (a - 2) x + 25 = 0$

Рівняння не має коренів, якщо $D < 0$ :
$D = (a - 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = (a - 2)^{2} - 100$

Розв’яжемо нерівність, розклавши ліву частину на множники за формулою різниці квадратів:
$((a - 2) - 10) ((a - 2) + 10) < 0$
$(a - 12) (a + 8) < 0$
$- 8 < a < 12$

Відповідь: $a \in (- 8; 12)$ .

12.21.

1) $x^{2} - 8 b x + 15 b + 1 = 0$

Квадратне рівняння має два різних корені тоді й тільки тоді, коли його дискримінант є додатним ( $D > 0$ ):
$D = (- 8 b)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (15 b + 1) = 64 b^{2} - 60 b - 4$

Розв’яжемо нерівність:
$64 b^{2} - 60 b - 4 > 0$

Поділимо обидві частини на $4$ :
$16 b^{2} - 15 b - 1 > 0$

Знайдемо корені рівняння $16 b^{2} - 15 b - 1 = 0$ :
Оскільки сума коефіцієнтів $16 + (- 15) + (- 1) = 0$ , то:
$b_{1} = 1$
$b_{2} = - \frac{1}{16}$

Оскільки $a = 16 > 0$ , нерівність виконується поза проміжком коренів:
$b < - \frac{1}{16}$ або $b > 1$

Відповідь: $b \in (- \infty; - \frac{1}{16}) \cup (1; + \infty)$ .

2) $2 x^{2} + 2 (b - 6) x + b - 2 = 0$

Рівняння є квадратним, оскільки старший коефіцієнт $2 \neq = 0$ . Воно має два різних корені, якщо $D > 0$ :
$D = (2 (b - 6))^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (b - 2) = 4 (b^{2} - 12 b + 36) - 8 (b - 2) = 4 b^{2} - 48 b + 144 - 8 b + 16 = 4 b^{2} - 56 b + 160$

Поділимо нерівність $4 b^{2} - 56 b + 160 > 0$ на $4$ :
$b^{2} - 14 b + 40 > 0$

Знайдемо корені рівняння $b^{2} - 14 b + 40 = 0$ :
За теоремою Вієта:
$b_{1} = 4$
$b_{2} = 10$

Оскільки старший коефіцієнт додатний, розв’язком нерівності є:
$b < 4$ або $b > 10$

Відповідь: $b \in (- \infty; 4) \cup (10; + \infty)$ .

12.22.

${x^{2} - x - 6 \leq 0 x > 0$

Розв’яжемо першу нерівність $x^{2} - x - 6 \leq 0$ :
Коренями рівняння $x^{2} - x - 6 = 0$ є $x_{1} = - 2$ та $x_{2} = 3$ .
Оскільки вітки напрямлені вгору, маємо:
$- 2 \leq x \leq 3$

Враховуючи другу нерівність $x > 0$ , знайдемо спільну частину:
$[- 2; 3] \cap (0; + \infty) = (0; 3]$

Відповідь: $x \in (0; 3]$ .

${2 x^{2} - 11 x - 6 \geq 0 x + 4 \geq 0$

Розв’яжемо першу нерівність $2 x^{2} - 11 x - 6 \geq 0$ :
Знайдемо корені рівняння $2 x^{2} - 11 x - 6 = 0$ :
$D = (- 11)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6) = 121 + 48 = 169 = 1 3^{2}$
$x_{1} = \frac{11 - 13}{4} = - 0, 5$
$x_{2} = \frac{11 + 13}{4} = 6$
Розв’язком є:
$x \leq - 0, 5 або x \geq 6$

Розв’яжемо другу нерівність:
$x \geq - 4$

Знайдемо переріз числових проміжків:
$((- \infty; - 0, 5] \cup [6; + \infty)) \cap [- 4; + \infty) = [- 4; - 0, 5] \cup [6; + \infty)$

Відповідь: $x \in [- 4; - 0, 5] \cup [6; + \infty)$ .

${x^{2} - 9 x - 10 \leq 0 6 x - x^{2} < 0$

Розв’яжемо першу нерівність $x^{2} - 9 x - 10 \leq 0$ :
Коренями рівняння $x^{2} - 9 x - 10 = 0$ є $x_{1} = - 1$ та $x_{2} = 10$ .
Розв’язок першої нерівності:
$- 1 \leq x \leq 10$

Розв’яжемо другу нерівність $6 x - x^{2} < 0$ :
Помножимо на $- 1$ :
$x^{2} - 6 x > 0$
$x (x - 6) > 0$
Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 6$ .
Розв’язок другої нерівності:
$x < 0 або x > 6$

Знайдемо спільні розв’язки системи:
$[- 1; 10] \cap ((- \infty; 0) \cup (6; + \infty)) = [- 1; 0) \cup (6; 10]$

Відповідь: $x \in [- 1; 0) \cup (6; 10]$ .

${x^{2} - x - 12 \geq 0 x^{2} + 3 x - 10 < 0$

Розв’яжемо першу нерівність $x^{2} - x - 12 \geq 0$ :
Коренями рівняння $x^{2} - x - 12 = 0$ за теоремою Вієта є $x_{1} = - 3$ та $x_{2} = 4$ .
Розв’язок:
$x \leq - 3 або x \geq 4$

Розв’яжемо другу нерівність $x^{2} + 3 x - 10 < 0$ :
Коренями рівняння $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ є $x_{1} = - 5$ та $x_{2} = 2$ .
Розв’язок:
$- 5 < x < 2$

Знайдемо спільні розв’язки обох нерівностей:
$((- \infty; - 3] \cup [4; + \infty)) \cap (- 5; 2) = (- 5; - 3]$

Відповідь: $x \in (- 5; - 3]$ .

12.23. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) ${- 6 x^{2} + 13 x - 5 \leq 0, 6 - 2 x > 0;$

Розв’яжемо першу нерівність системи:
$- 6 x^{2} + 13 x - 5 \leq 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$6 x^{2} - 13 x + 5 \geq 0$
Знайдемо корені квадратного тричлена:
$D = (- 13)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 = 7^{2}$
$x_{1} = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$x_{2} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$
Розв’язком першої нерівності є:
$x \in (- \infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; + \infty)$

Розв’яжемо другу нерівність системи:
$6 - 2 x > 0$
$- 2 x > - 6$
$x < 3$
Тобто $x \in (- \infty; 3)$ .

Знайдемо переріз розв’язків обох нерівностей:
$((- \infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; + \infty)) \cap (- \infty; 3) = (- \infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 3)$

Відповідь: $(- \infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 3)$ .

2) ${x^{2} - 7 x - 18 < 0, 5 x - x^{2} \leq 0;$

Розв’яжемо першу нерівність системи:
$x^{2} - 7 x - 18 < 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 7 x - 18 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_{1} = - 2$
$x_{2} = 9$
Розв’язком нерівності є проміжок між коренями:
$x \in (- 2; 9)$

Розв’яжемо другу нерівність системи:
$5 x - x^{2} \leq 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ :
$x^{2} - 5 x \geq 0$
$x (x - 5) \geq 0$
Корені:
$x = 0$ або $x = 5$
Розв’язком другої нерівності є:
$x \in (- \infty; 0] \cup [5; + \infty)$

Знайдемо переріз отриманих проміжків:
$(- 2; 9) \cap ((- \infty; 0] \cup [5; + \infty)) = (- 2; 0] \cup [5; 9)$

Відповідь: $(- 2; 0] \cup [5; 9)$ .

12.24. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = \frac{5}{x ^{2} - 4 x - 12} + x + 1$ ;

Область визначення функції задається системою:
${x^{2} - 4 x - 12 > 0 x + 1 \geq 0$

Розв’яжемо першу нерівність:
$x^{2} - 4 x - 12 > 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_{1} = - 2$
$x_{2} = 6$
Розв’язок нерівності:
$x \in (- \infty; - 2) \cup (6; + \infty)$

Розв’яжемо другу нерівність:
$x + 1 \geq 0$
$x \geq - 1$
Тобто $x \in [- 1; + \infty)$ .

Знайдемо спільну частину розв’язків:
$((- \infty; - 2) \cup (6; + \infty)) \cap [- 1; + \infty) = (6; + \infty)$

Відповідь: $(6; + \infty)$ .

2) $y = x^{2} - 5 x - 14 - \frac{9}{x ^{2} - 81}$ ;

Функція визначена, якщо підкореневий вираз невід’ємний, а знаменник дробу не дорівнює нулю:
${x^{2} - 5 x - 14 \geq 0 x^{2} - 81 \neq = 0$

Розв’яжемо нерівність:
$x^{2} - 5 x - 14 \geq 0$
Знайдемо корені тричлена $x^{2} - 5 x - 14 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_{1} = - 2$
$x_{2} = 7$
Розв’язок нерівності:
$x \in (- \infty; - 2] \cup [7; + \infty)$

Знайдемо значення, при яких знаменник перетворюється на нуль:
$x^{2} - 81 \neq = 0$
$(x - 9) (x + 9) \neq = 0$
$x \neq = - 9$
$x \neq = 9$

Вилучимо точки $- 9$ та $9$ із множини розв’язків нерівності:
$x \in (- \infty; - 9) \cup (- 9; - 2] \cup [7; 9) \cup (9; + \infty)$

Відповідь: $(- \infty; - 9) \cup (- 9; - 2] \cup [7; 9) \cup (9; + \infty)$ .

12.25. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = 20 + 4 x - 3 x^{2} + \frac{3}{8 - 4 x}$ ;

Функція визначена за умов:
${20 + 4 x - 3 x^{2} \geq 0 8 - 4 x > 0$

Розв’яжемо першу нерівність:
$- 3 x^{2} + 4 x + 20 \geq 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ :
$3 x^{2} - 4 x - 20 \leq 0$
Знайдемо корені квадратного тричлена:
$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 20) = 16 + 240 = 256 = 1 6^{2}$
$x_{1} = \frac{4 - 16}{6} = \frac{- 12}{6} = - 2$
$x_{2} = \frac{4 + 16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$
Розв’язок першої нерівності:
$x \in [- 2; \frac{10}{3}]$

Розв’яжемо другу нерівність:
$8 - 4 x > 0$
$- 4 x > - 8$
$x < 2$
Тобто $x \in (- \infty; 2)$ .

Знайдемо переріз отриманих проміжків:
$[- 2; \frac{10}{3}] \cap (- \infty; 2) = [- 2; 2)$

Відповідь: $[- 2; 2)$ .

2) $y = \frac{x + 5}{35 + 2 x - x ^{2}} + \frac{x - 1}{∣ x ∣ - 6}$ ;

Функція визначена за умов:
${35 + 2 x - x^{2} > 0 ∣ x ∣ - 6 \neq = 0$

Розв’яжемо першу нерівність:
$- x^{2} + 2 x + 35 > 0$
Помножимо на $- 1$ :
$x^{2} - 2 x - 35 < 0$
Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 2 x - 35 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_{1} = - 5$
$x_{2} = 7$
Розв’язок нерівності:
$x \in (- 5; 7)$

Знайдемо обмеження для знаменника:
$∣ x ∣ - 6 \neq = 0$
$∣ x ∣ \neq = 6$
$x \neq = - 6$
$x \neq = 6$

Оскільки число $- 6$ не належить проміжку $(- 5; 7)$ , вилучаємо лише число $6$ :
$x \in (- 5; 6) \cup (6; 7)$

Відповідь: $(- 5; 6) \cup (6; 7)$ .

12.26. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $x^{2} - 8∣ x ∣ - 33 < 0$ ;

Оскільки $x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ , зробимо заміну $∣ x ∣ = t$ , де $t \geq 0$ .
Отримаємо квадратну нерівність:
$t^{2} - 8 t - 33 < 0$

Знайдемо корені рівняння $t^{2} - 8 t - 33 = 0$ за теоремою Вієта:
$t_{1} = - 3$
$t_{2} = 11$
Розв’язком нерівності є:
$- 3 < t < 11$

Враховуючи умову $t \geq 0$ , маємо:
$0 \leq t < 11$

Повернемося до змінної $x$ :
$∣ x ∣ < 11$
$- 11 < x < 11$

Відповідь: $(- 11; 11)$ .

2) $8 x^{2} + 7∣ x ∣ - 1 \geq 0$ ;

Зробимо заміну $∣ x ∣ = t$ , де $t \geq 0$ , враховуючи, що $x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ .
Маємо нерівність:
$8 t^{2} + 7 t - 1 \geq 0$

Знайдемо корені рівняння $8 t^{2} + 7 t - 1 = 0$ :
$D = 7^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 1) = 49 + 32 = 81 = 9^{2}$
$t_{1} = \frac{- 7 - 9}{16} = \frac{- 16}{16} = - 1$
$t_{2} = \frac{- 7 + 9}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$
Розв’язком квадратної нерівності є:
$t \leq - 1$ або $t \geq \frac{1}{8}$

Оскільки $t \geq 0$ , нерівність $t \leq - 1$ не має розв’язків.
Залишається:
$t \geq \frac{1}{8}$

Повернемося до змінної $x$ :
$∣ x ∣ \geq \frac{1}{8}$
$x \leq - \frac{1}{8}$ або $x \geq \frac{1}{8}$

Відповідь: $(- \infty; - \frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{8}; + \infty)$ .

12.27. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $5 x^{2} - 7∣ x ∣ + 2 \geq 0$ ;

Нехай $∣ x ∣ = t$ , де $t \geq 0$ .
Отримаємо нерівність:
$5 t^{2} - 7 t + 2 \geq 0$

Знайдемо корені рівняння $5 t^{2} - 7 t + 2 = 0$ :
$D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^{2}$
$t_{1} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$t_{2} = \frac{7 + 3}{10} = \frac{10}{10} = 1$
Розв’язком є:
$t \leq \frac{2}{5}$ або $t \geq 1$

Враховуючи умову $t \geq 0$ :
$0 \leq t \leq \frac{2}{5}$ або $t \geq 1$

Повернемося до змінної $x$ :

1) $∣ x ∣ \leq \frac{2}{5}$
$- \frac{2}{5} \leq x \leq \frac{2}{5}$ , тобто $x \in [- \frac{2}{5}; \frac{2}{5}]$

2) $∣ x ∣ \geq 1$
$x \leq - 1$ або $x \geq 1$ , тобто $x \in (- \infty; - 1] \cup [1; + \infty)$

Об’єднаємо всі розв’язки:
$x \in (- \infty; - 1] \cup [- \frac{2}{5}; \frac{2}{5}] \cup [1; + \infty)$

Відповідь: $(- \infty; - 1] \cup [- \frac{2}{5}; \frac{2}{5}] \cup [1; + \infty)$ .

2) $x^{2} + 10∣ x ∣ - 24 \leq 0$ ;

Нехай $∣ x ∣ = t$ , де $t \geq 0$ .
Маємо нерівність:
$t^{2} + 10 t - 24 \leq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена за теоремою Вієта:
$t_{1} = - 12$
$t_{2} = 2$
Розв’язком нерівності є:
$- 12 \leq t \leq 2$

З огляду на умову $t \geq 0$ :
$0 \leq t \leq 2$

Повернемося до змінної $x$ :
$∣ x ∣ \leq 2$
$- 2 \leq x \leq 2$

Відповідь: $[- 2; 2]$ .

12.28. Розв’яжіть нерівність:
1) $(x + 4) x^{2} - 2 x - 15 > 0$ ;
Знайдемо область визначення (підкореневий вираз має бути невід’ємним):
$x^{2} - 2 x - 15 \geq 0$
$(x - 5) (x + 3) \geq 0$
$x \in (- \infty; - 3] \cup [5; + \infty)$

Оскільки корінь строго більший за нуль при всіх $x \in (- \infty; - 3) \cup (5; + \infty)$ , нерівність виконується, коли перший множник є додатним:
$x + 4 > 0$
$x > - 4$

Враховуючи область визначення та строгий знак нерівності ( $x \neq = - 3$ , $x \neq = 5$ ):
$x \in (- 4; - 3) \cup (5; + \infty)$

Відповідь: $(- 4; - 3) \cup (5; + \infty)$ .

2) $(x + 4) x^{2} - 2 x - 15 \geq 0$ ;
Добуток дорівнює нулю при нулях підкореневого виразу:
$x^{2} - 2 x - 15 = 0$
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 5$

Добуток строго більший за нуль, коли $x + 4 > 0$ на області строгої додатності кореня:
$x > - 4$ та $x \in (- \infty; - 3) \cup (5; + \infty)$
$x \in (- 4; - 3) \cup (5; + \infty)$

Об’єднаємо всі розв’язки:
$x \in [- 4; - 3] \cup [5; + \infty)$

Відповідь: $[- 4; - 3] \cup [5; + \infty)$ .

3) $(x + 4) x^{2} - 2 x - 15 < 0$ ;
Корінь не може бути від’ємним і не може дорівнювати нулю, тому $x^{2} - 2 x - 15 > 0$ , звідки $x \in (- \infty; - 3) \cup (5; + \infty)$ .
Перший множник має бути від’ємним:
$x + 4 < 0$
$x < - 4$

Перетнемо умову $x < - 4$ з областю $x \in (- \infty; - 3) \cup (5; + \infty)$ :
$x \in (- \infty; - 4)$

Відповідь: $(- \infty; - 4)$ .

4) $(x + 4) x^{2} - 2 x - 15 \leq 0$ .
Добуток дорівнює нулю при $x = - 3$ та $x = 5$ .
Добуток строго менший від нуля при $x < - 4$ .
Об’єднаємо ці розв’язки:
$x \in (- \infty; - 4] \cup {- 3; 5}$

Відповідь: $(- \infty; - 4] \cup {- 3; 5}$ .

12.29. Розв’яжіть нерівність:
1) $(x - 3) 14 + 5 x - x^{2} > 0$ ;
Знайдемо область визначення виразу:
$14 + 5 x - x^{2} \geq 0$
$x^{2} - 5 x - 14 \leq 0$
$(x - 7) (x + 2) \leq 0$
$x \in [- 2; 7]$

Оскільки знак строгий, підкореневий вираз не може дорівнювати нулю ( $x \neq = - 2$ , $x \neq = 7$ ), отже, $14 + 5 x - x^{2} > 0$ при $x \in (- 2; 7)$ .
Нерівність зводиться до:
$x - 3 > 0$
$x > 3$

З урахуванням інтервалу $(- 2; 7)$ :
$x \in (3; 7)$

Відповідь: $(3; 7)$ .

2) $(x - 3) 14 + 5 x - x^{2} \geq 0$ ;
Добуток дорівнює нулю, якщо:
$14 + 5 x - x^{2} = 0 ⟹ x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 7$
$x - 3 = 0 ⟹ x_{3} = 3$ (належить відрізку $[- 2; 7]$ )

Добуток строго додатний при:
$x - 3 > 0$ та $x \in (- 2; 7)$
$x \in (3; 7)$

Об’єднаємо знайдені точки та інтервал:
$x \in {- 2} \cup [3; 7]$

Відповідь: ${- 2} \cup [3; 7]$ .

3) $(x - 3) 14 + 5 x - x^{2} < 0$ ;
Корінь строго більший за нуль при $x \in (- 2; 7)$ .
Для від’ємності добутку необхідно:
$x - 3 < 0$
$x < 3$

Перетнемо з інтервалом $(- 2; 7)$ :
$x \in (- 2; 3)$

Відповідь: $(- 2; 3)$ .

4) $(x - 3) 14 + 5 x - x^{2} \leq 0$ .
Добуток дорівнює нулю при $x = - 2$ , $x = 3$ , $x = 7$ .
Добуток строго менший від нуля при $x \in (- 2; 3)$ .
Об’єднаємо всі значення:
$x \in [- 2; 3] \cup {7}$

Відповідь: $[- 2; 3] \cup {7}$ .

12.30. При яких значеннях $a$ дана нерівність виконується при всіх дійсних значеннях $x$ :
1) $x^{2} - 4 x + a > 0$ ;
Квадратична нерівність зі старшим коефіцієнтом $1 > 0$ виконується для всіх $x \in R$ , якщо дискримінант квадратного тричлена строго менший від нуля:
$D < 0$
$(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot a < 0$
$16 - 4 a < 0$
$- 4 a < - 16$
$a > 4$

Відповідь: $a > 4$ .

2) $x^{2} + (a - 1) x + 1 - a - a^{2} \geq 0$ ?
Квадратний тричлен зі старшим коефіцієнтом $1 > 0$ набуває невід’ємних значень при всіх $x \in R$ , якщо його дискримінант недодатний ( $D \leq 0$ ):
$D = (a - 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (1 - a - a^{2}) \leq 0$
$a^{2} - 2 a + 1 - 4 + 4 a + 4 a^{2} \leq 0$
$5 a^{2} + 2 a - 3 \leq 0$

Знайдемо корені рівняння $5 a^{2} + 2 a - 3 = 0$ :
$D_{1} = 2^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 3) = 4 + 60 = 64$
$a_{1} = \frac{- 2 - 8}{10} = - 1$
$a_{2} = \frac{- 2 + 8}{10} = 0, 6$

Розв’язком нерівності $5 a^{2} + 2 a - 3 \leq 0$ є відрізок:
$a \in [- 1; 0, 6]$

Відповідь: $a \in [- 1; 0, 6]$ .

12.31. При яких значеннях $a$ не має розв’язків нерівність:
1) $- x^{2} + 6 x - a > 0$ ;
Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} - 6 x + a < 0$

Ця нерівність не має розв’язків тоді, коли відповідний квадратний тричлен набуває невід’ємних значень при всіх $x \in R$ , тобто коли $D \leq 0$ :
$D = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot a \leq 0$
$36 - 4 a \leq 0$
$- 4 a \leq - 36$
$a \geq 9$

Відповідь: $a \geq 9$ .

2) $x^{2} - (a + 1) x + 3 a - 5 < 0$ ?
Нерівність зі старшим коефіцієнтом $1 > 0$ не має розв’язків тоді й лише тоді, коли тричлен $x^{2} - (a + 1) x + 3 a - 5 \geq 0$ при всіх значеннях $x$ , тобто коли $D \leq 0$ :
$D = (a + 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 a - 5) \leq 0$
$a^{2} + 2 a + 1 - 12 a + 20 \leq 0$
$a^{2} - 10 a + 21 \leq 0$

Знайдемо нулі функції:
$(a - 3) (a - 7) \leq 0$
$a \in [3; 7]$

Відповідь: $a \in [3; 7]$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

12.32. Спростіть вираз:
1) $\frac{x ^{2} + 3 x y}{x + 6} : \frac{x ^{2} - 9 y ^{2}}{2 x + 12}$ ;
Розкладемо чисельники та знаменники на множники та замінимо ділення множенням на обернений дріб:
$\frac{x ( x + 3 y )}{x + 6} \cdot \frac{2 ( x + 6 )}{( x - 3 y ) ( x + 3 y )}$

Скоротимо однакові множники $(x + 6)$ та $(x + 3 y)$ :
$\frac{2 x}{x - 3 y}$

Відповідь: $\frac{2 x}{x - 3 y}$ .

2) $\frac{4 a ^{2} - 12 ab + 9 b ^{2}}{2 a ^{2} - 8 b ^{2}} \cdot \frac{2 a ^{2} - 8 ab + 8 b ^{2}}{6 a - 9 b}$ .
Розкладемо вирази на множники за формулами скороченого множення:
$4 a^{2} - 12 ab + 9 b^{2} = (2 a - 3 b)^{2}$
$2 a^{2} - 8 b^{2} = 2 (a^{2} - 4 b^{2}) = 2 (a - 2 b) (a + 2 b)$
$2 a^{2} - 8 ab + 8 b^{2} = 2 (a^{2} - 4 ab + 4 b^{2}) = 2 (a - 2 b)^{2}$
$6 a - 9 b = 3 (2 a - 3 b)$

Підставимо у початковий вираз:
$\frac{( 2 a - 3 b ) ^{2}}{2 ( a - 2 b ) ( a + 2 b )} \cdot \frac{2 ( a - 2 b ) ^{2}}{3 ( 2 a - 3 b )}$

Скоротимо спільні множники $2$ , $(2 a - 3 b)$ та $(a - 2 b)$ :
$\frac{( 2 a - 3 b ) ( a - 2 b )}{3 ( a + 2 b )}$

Відповідь: $\frac{( 2 a - 3 b ) ( a - 2 b )}{3 ( a + 2 b )}$ .

12.33.

1) Знайдіть значення виразу: $20 \cdot 66 \cdot 330$

Розкладемо числа на зручні множники:
$20 \cdot 66 \cdot 330 = 20 \cdot 66 \cdot 33 \cdot 10 = (20 \cdot 10) \cdot (2 \cdot 33 \cdot 33) = 200 \cdot 2 \cdot 3 3^{2} = 400 \cdot 3 3^{2} = 20 \cdot 33 = 660$

Відповідь: $660$ .

2) Знайдіть значення виразу: $3^{5} \cdot 1 2^{3}$

Подамо число $12$ як $3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^{2}$ :
$3^{5} \cdot 1 2^{3} = 3^{5} \cdot (3 \cdot 2^{2})^{3} = 3^{5} \cdot 3^{3} \cdot 2^{6} = 3^{8} \cdot 2^{6} = 3^{4} \cdot 2^{3} = 81 \cdot 8 = 648$

Відповідь: $648$ .

3) Знайдіть значення виразу: $218 \cdot 330 \cdot 515$

Перемножимо коефіцієнти окремо, а підкореневі вирази об’єднаємо під один корінь:
$(2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot 18 \cdot 30 \cdot 15 = 30 \cdot (9 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 15) \cdot 15 = 30 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 1 5^{2} = 30 \cdot (3 \cdot 2 \cdot 15) = 30 \cdot 90 = 2700$

Відповідь: $2700$ .

4) Знайдіть значення виразу: $610 \cdot 45 \cdot 50$

Об’єднаємо корені та виділимо повні квадрати:
$6 \cdot 10 \cdot 45 \cdot 50 = 6 \cdot (10 \cdot 50) \cdot 45 = 6 \cdot 500 \cdot 45 = 6 \cdot 22500 = 6 \cdot 150 = 900$

Відповідь: $900$ .

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

12.34. Побудуйте графік рівняння:

1) $2 x - 3 y = 6$

Виразимо $y$ через $x$ :
$- 3 y = - 2 x + 6$
$y = \frac{2}{3} x - 2$

Графіком є пряма. Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$3$
$y$	$- 2$	$0$

2) $x y = - 8$

Виразимо $y$ через $x$ :
$y = - \frac{8}{x}$

Графіком є гіпербола, вітки якої розташовані в другій та четвертій координатних чвертях.

$x$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y$	$1$	$2$	$4$	$8$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$

3) $(x - 2)^{2} + y^{2} = 0$

Сума двох квадратів дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли кожен доданок одночасно дорівнює нулю:
$x - 2 = 0$ і $y = 0$
$x = 2$ , $y = 0$

Графіком рівняння є єдина точка $(2; 0)$ .

4) $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$

Рівняння задає коло із центром у точці $(2; - 1)$ і радіусом $R = 9 = 3$ .

5) $x^{2} + 2 x + y^{2} - 6 y + 10 = 0$

Виділимо повні квадрати:
$(x^{2} + 2 x + 1) + (y^{2} - 6 y + 9) = 0$
$(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 0$

Сума двох невід’ємних виразів дорівнює нулю тільки тоді, коли обидва одночасно дорівнюють нулю:
$x + 1 = 0 ⟹ x = - 1$
$y - 3 = 0 ⟹ y = 3$

Графіком рівняння є єдина точка $(- 1; 3)$ .

6) $(x - 3) (y - x) = 0$

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:
$x - 3 = 0$ або $y - x = 0$
$x = 3$ або $y = x$

Графіком рівняння є об’єднання двох прямих: вертикальної прямої $x = 3$ та прямої $y = x$ , що проходить через початок координат під кутом $4 5^{\circ}$ .

12.35. Яка з пар чисел (–2; 1), (2; –1), (6; 4) є розв’язком системи рівнянь:
${3 x - 8 y = - 14 4 x + y = 28$

Перевіримо кожну пару:

1) Для пари $(- 2; 1)$ :
$3 (- 2) - 8 \cdot 1 = - 6 - 8 = - 14$ — правильно
$4 (- 2) + 1 = - 8 + 1 = - 7 \neq = 28$ — неправильно

2) Для пари $(2; - 1)$ :
$3 \cdot 2 - 8 (- 1) = 6 + 8 = 14 \neq = - 14$ — неправильно

3) Для пари $(6; 4)$ :
$3 \cdot 6 - 8 \cdot 4 = 18 - 32 = - 14$ — правильно
$4 \cdot 6 + 4 = 24 + 4 = 28$ — правильно

Відповідь: $(6; 4)$ .

12.36. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) ${x - 2 y = 1 y - x = - 2$

Виразимо $y$ через $x$ для кожного рівняння:

1) $x - 2 y = 1 ⟹ 2 y = x - 1 ⟹ y = 0, 5 x - 0, 5$

2) $y - x = - 2 ⟹ y = x - 2$

Складемо таблиці опорних точок:

Для прямої $y = 0, 5 x - 0, 5$ :

$x$	$1$	$3$
$y$	$0$	$1$

Для прямої $y = x - 2$ :

$x$	$0$	$3$
$y$	$- 2$	$1$

Прямі перетинаються в точці $(3; 1)$ .

Відповідь: $(3; 1)$ .

2) ${x + y = - 5 4 x - y = - 5$

Виразимо $y$ через $x$ для кожного рівняння:

1) $x + y = - 5 ⟹ y = - x - 5$

2) $4 x - y = - 5 ⟹ y = 4 x + 5$

Складемо таблиці опорних точок:

Для прямої $y = - x - 5$ :

$x$	$0$	$- 5$
$y$	$- 5$	$0$

Для прямої $y = 4 x + 5$ :

$x$	$0$	$- 1$
$y$	$5$	$1$

Прямі перетинаються в точці $(- 2; - 3)$ .

Відповідь: $(- 2; - 3)$ .

12.37. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${2 x + y = 10 4 x - 7 y = 2$

Виразимо $y$ з першого рівняння:
$y = 10 - 2 x$

Підставимо у друге рівняння:
$4 x - 7 (10 - 2 x) = 2$
$4 x - 70 + 14 x = 2$
$18 x = 72$
$x = 4$

Знайдемо $y$ :
$y = 10 - 2 \cdot 4 = 2$

Відповідь: $(4; 2)$ .

2) ${2 x - 9 y = 11 7 x + 9 y = 25$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$(2 x + 7 x) + (- 9 y + 9 y) = 11 + 25$
$9 x = 36$
$x = 4$

Підставимо $x = 4$ у перше рівняння:
$2 \cdot 4 - 9 y = 11$
$8 - 9 y = 11$
$- 9 y = 3$
$y = - \frac{3}{9}$
$y = - \frac{1}{3}$

Відповідь: $(4; - \frac{1}{3})$ .

3) ${3 x - 2 y = 1 12 x + 7 y = - 26$

Помножимо перше рівняння на $- 4$ :
$- 12 x + 8 y = - 4$

Додамо почленно отримане рівняння до другого:
$(- 12 x + 12 x) + (8 y + 7 y) = - 4 + (- 26)$
$15 y = - 30$
$y = - 2$

Підставимо $y = - 2$ у перше рівняння:
$3 x - 2 (- 2) = 1$
$3 x + 4 = 1$
$3 x = - 3$
$x = - 1$

Відповідь: $(- 1; - 2)$ .

12. Розв’язування квадратних нерівностей

Теги статті:

До уроку