11. Квадратична функція, її графік і властивості

📋 Швидка навігація по вправах:

10.19. Запишіть у порядку зростання числа $0, 5292$ В, $0, 17000$ Б, $53$ З, $62$ Е. Букви, що відповідають даним числам, утворюють прізвище видатного українського педагога, математика-методиста, літератора, автора багатьох шкільних підручників і посібників. Автори цього підручника пишаються тим, що навчалися у ЗВО (закладі вищої освіти) у цієї непересічної людини. Знайдіть в інтернеті інформацію про життя, наукову, педагогічну та літературну діяльність цього педагога, ознайомтеся з його творами.

Внесемо множники під знак квадратного кореня для кожного числа:

$0, 17000 = 0, 01 \cdot 7000 = 70$ (Б)

$62 = 36 \cdot 2 = 72$ (Е)

$0, 5292 = 0, 25 \cdot 292 = 73$ (В)

$53 = 25 \cdot 3 = 75$ (З)

Порівняємо підкореневі вирази:

$70 < 72 < 73 < 75$

Числа в порядку зростання:
$0, 17000$ ; $62$ ; $0, 5292$ ; $53$ .

Відповідні літери утворюють прізвище: БЕВЗ.

Григорій Петрович Бевз (1926–2021) — видатний український учений-педагог, математик-методист, кандидат педагогічних наук, професор. Він є автором понад пів сотні шкільних підручників і методичних посібників з алгебри й геометрії, за якими навчалися мільйони українських школярів. Окрім математичної спадщини, Григорій Бевз писав художні та публіцистичні твори, вірші, історико-краєзнавчі нариси, а також присвятив значну частину життя підготовці вчителів у Київському педагогічному інституті (нині УДУ імені Михайла Драгоманова).

1. Яку функцію називають квадратичною?

Квадратичною називають функцію, яку можна задати формулою виду $y = a x^{2} + b x + c$ , де $x$ — незалежна змінна, $a$ , $b$ і $c$ — деякі числа, причому $a \neq = 0$ .

2. Яка фігура є графіком квадратичної функції?

Графіком квадратичної функції є парабола.

3. За якою формулою можна знайти абсцису вершини параболи $y = a x^{2} + b x + c$ ?

$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$

4. Який напрямок мають вітки параболи $y = a x^{2} + b x + c$ залежно від значення $a$ ?

Якщо $a > 0$ , то вітки параболи напрямлені вгору; якщо $a < 0$ , то вітки параболи напрямлені вниз.

5. Опишіть схему побудови графіка квадратичної функції.

Побудова графіка квадратичної функції $y = a x^{2} + b x + c$ виконується за такими кроками:

1) Знайти абсцису вершини параболи за формулою $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .

2) Знайти ординату вершини параболи, підставивши $x_{0}$ у формулу функції: $y_{0} = f (x_{0})$ , і позначити точку $(x_{0}; y_{0})$ на координатній площині.

3) Визначити напрямок віток параболи: якщо $a > 0$ , вітки напрямлені вгору, а якщо $a < 0$ — вниз.

4) Знайти точки перетину параболи з осями координат: з віссю $O y$ у точці $(0; c)$ та з віссю $O x$ , розв’язавши рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ (якщо корені існують), а також за потреби знайти ще кілька симетричних точок для точності.

5) Сполучити позначені точки плавною неперервною лінією.

11.1.° Які з даних функцій є квадратичними:
1) $y = 4 x^{2} + 3 x + 6$ ;
2) $y = 4 x + 3$ ;
3) $y = \frac{1}{2 x ^{2} - 3 x + 2}$ ;
4) $y = 6 x^{2} - 5 x$ ?

Квадратичними є функції 1) та 4).

1) Функція є квадратичною, оскільки задана у вигляді $y = a x^{2} + b x + c$ , де $a = 4$ , $b = 3$ , $c = 6$ ( $a \neq = 0$ ).

2) Не є квадратичною, оскільки це лінійна функція (відсутній доданок зі змінною у другому степені $x^{2}$ ).

3) Не є квадратичною, оскільки змінна $x^{2}$ міститься в знаменнику дробу (це дробово-раціональна функція).

4) Функція є квадратичною, оскільки задана формулою $y = a x^{2} + b x + c$ , де $a = 6$ , $b = - 5$ , $c = 0$ ( $a \neq = 0$ ).

Відповідь: 1) і 4).

11.2.° Обчисліть значення функції $f (x) = 5 x^{2} - 7 x + 2$ , якщо аргумент $x$ дорівнює $1$ ; $- 2$ ; $4$ .

Підставимо кожне значення аргументу у формулу функції:

При $x = 1$ :
$f (1) = 5 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2$
$f (1) = 5 - 7 + 2$
$f (1) = 0$

При $x = - 2$ :
$f (- 2) = 5 \cdot (- 2)^{2} - 7 \cdot (- 2) + 2$
$f (- 2) = 5 \cdot 4 + 14 + 2$
$f (- 2) = 20 + 14 + 2$
$f (- 2) = 36$

При $x = 4$ :
$f (4) = 5 \cdot 4^{2} - 7 \cdot 4 + 2$
$f (4) = 5 \cdot 16 - 28 + 2$
$f (4) = 80 - 28 + 2$
$f (4) = 54$

Відповідь: $f (1) = 0$ ; $f (- 2) = 36$ ; $f (4) = 54$ .

11.3.° Дано функцію $f (x) = x^{2} - 2 x - 15$ . Знайдіть значення аргументу $x$ , при якому:
1) $f (x) = 0$ ;
2) $f (x) = - 7$ ;
3) $f (x) = 33$ .

1) Підставимо значення $0$ замість $f (x)$ :
$x^{2} - 2 x - 15 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 5$

2) Підставимо значення $- 7$ замість $f (x)$ :
$x^{2} - 2 x - 15 = - 7$
$x^{2} - 2 x - 8 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 2$
$x_{2} = 4$

3) Підставимо значення $33$ замість $f (x)$ :
$x^{2} - 2 x - 15 = 33$
$x^{2} - 2 x - 48 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 6$
$x_{2} = 8$

Відповідь: 1) $- 3; 5$ ; 2) $- 2; 4$ ; 3) $- 6; 8$ .

11.4.° Не виконуючи побудови, знайдіть точки перетину з осями координат параболи:
1) $y = x^{2} + 3 x - 4$ ;
2) $y = - 2 x^{2} + 3 x - 1$ .

1) Для параболи $y = x^{2} + 3 x - 4$ :
З віссю ординат ( $O y$ ), поклавши $x = 0$ :
$y = 0^{2} + 3 \cdot 0 - 4 = - 4$
Точка перетину з віссю $O y$ : $(0; - 4)$ .

З віссю абсцис ( $O x$ ), поклавши $y = 0$ :
$x^{2} + 3 x - 4 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4$
$x_{2} = 1$
Точки перетину з віссю $O x$ : $(- 4; 0)$ і $(1; 0)$ .

2) Для параболи $y = - 2 x^{2} + 3 x - 1$ :
З віссю ординат ( $O y$ ), поклавши $x = 0$ :
$y = - 2 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 - 1 = - 1$
Точка перетину з віссю $O y$ : $(0; - 1)$ .

З віссю абсцис ( $O x$ ), поклавши $y = 0$ :
$- 2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$
$2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$
$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
$x_{1} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = 1$
$x_{2} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0, 5$
Точки перетину з віссю $O x$ : $(1; 0)$ і $(0, 5; 0)$ .

Відповідь:

1) з віссю $O y$ : $(0; - 4)$ ; з віссю $O x$ : $(- 4; 0)$ і $(1; 0)$ ;

2) з віссю $O y$ : $(0; - 1)$ ; з віссю $O x$ : $(1; 0)$ і $(0, 5; 0)$ .

11.5.° Графік функції $y = - 6 x^{2} + x + c$ перетинає вісь ординат у точці $M (0; - 8)$ . Знайдіть значення $c$ .

Оскільки графік проходить через точку $M (0; - 8)$ , підставимо її координати $x = 0$ та $y = - 8$ у формулу функції:

$- 8 = - 6 \cdot 0^{2} + 0 + c$

$c = - 8$

Відповідь: $c = - 8$ .

11.6.° Не виконуючи побудови, знайдіть точки перетину з осями координат параболи: 1) $y = x^{2} - 8 x + 7$ ; 2) $y = 5 - x - 6 x^{2}$ .

1) $y = x^{2} - 8 x + 7$

Точка перетину з віссю ординат ( $x = 0$ ):
$y = 0^{2} - 8 \cdot 0 + 7 = 7$
Отримуємо точку $(0; 7)$ .

Точки перетину з віссю абсцис ( $y = 0$ ):
$x^{2} - 8 x + 7 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = 1$
$x_{2} = 7$
Отримуємо точки $(1; 0)$ та $(7; 0)$ .

2) $y = 5 - x - 6 x^{2}$

Точка перетину з віссю ординат ( $x = 0$ ):
$y = 5 - 0 - 6 \cdot 0^{2} = 5$
Отримуємо точку $(0; 5)$ .

Точки перетину з віссю абсцис ( $y = 0$ ):
$- 6 x^{2} - x + 5 = 0$
$6 x^{2} + x - 5 = 0$
$D = 1^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 5) = 1 + 120 = 121 = 1 1^{2}$
$x_{1} = \frac{- 1 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{- 12}{12} = - 1$
$x_{2} = \frac{- 1 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$
Отримуємо точки $(- 1; 0)$ та $(\frac{5}{6}; 0)$ .

Відповідь:

1) з віссю абсцис: $(1; 0)$ , $(7; 0)$ ; з віссю ординат: $(0; 7)$ ;

2) з віссю абсцис: $(- 1; 0)$ , $(\frac{5}{6}; 0)$ ; з віссю ординат: $(0; 5)$ .

11.7.° Визначте напрямок віток і координати вершини параболи: 1) $y = x^{2} - 12 x + 3$ ; 2) $y = - x^{2} + 4 x - 6$ ; 3) $y = 0, 3 x^{2} + 2, 4 x - 5$ ; 4) $y = - 5 x^{2} + 10 x + 2$ .

1) $y = x^{2} - 12 x + 3$
Коефіцієнт $a = 1 > 0$ , тому вітки напрямлені вгору.
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 12}{2 \cdot 1} = 6$
$y_{0} = 6^{2} - 12 \cdot 6 + 3 = 36 - 72 + 3 = - 33$
Вершина: $(6; - 33)$ .

2) $y = - x^{2} + 4 x - 6$
Коефіцієнт $a = - 1 < 0$ , тому вітки напрямлені вниз.
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = 2$
$y_{0} = - (2)^{2} + 4 \cdot 2 - 6 = - 4 + 8 - 6 = - 2$
Вершина: $(2; - 2)$ .

3) $y = 0, 3 x^{2} + 2, 4 x - 5$
Коефіцієнт $a = 0, 3 > 0$ , тому вітки напрямлені вгору.
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2 , 4}{2 \cdot 0 , 3} = - \frac{2 , 4}{0 , 6} = - 4$
$y_{0} = 0, 3 \cdot (- 4)^{2} + 2, 4 \cdot (- 4) - 5 = 4, 8 - 9, 6 - 5 = - 9, 8$
Вершина: $(- 4; - 9, 8)$ .

4) $y = - 5 x^{2} + 10 x + 2$
Коефіцієнт $a = - 5 < 0$ , тому вітки напрямлені вниз.
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{10}{2 \cdot ( - 5 )} = 1$
$y_{0} = - 5 \cdot 1^{2} + 10 \cdot 1 + 2 = - 5 + 10 + 2 = 7$
Вершина: $(1; 7)$ .

Відповідь:

1) вітки вгору, вершина $(6; - 33)$ ;

2) вітки вниз, вершина $(2; - 2)$ ;

3) вітки вгору, вершина $(- 4; - 9, 8)$ ;

4) вітки вниз, вершина $(1; 7)$ .

11.8.° Визначте напрямок віток і координати вершини параболи: 1) $y = 0, 2 x^{2} - 4 x + 1$ ; 2) $y = - 3 x^{2} + 18 x + 2$ .

1) $y = 0, 2 x^{2} - 4 x + 1$
Коефіцієнт $a = 0, 2 > 0$ , тому вітки напрямлені вгору.
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 4}{2 \cdot 0 , 2} = \frac{4}{0 , 4} = 10$
$y_{0} = 0, 2 \cdot 1 0^{2} - 4 \cdot 10 + 1 = 20 - 40 + 1 = - 19$
Вершина: $(10; - 19)$ .

2) $y = - 3 x^{2} + 18 x + 2$
Коефіцієнт $a = - 3 < 0$ , тому вітки напрямлені вниз.
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{18}{2 \cdot ( - 3 )} = 3$
$y_{0} = - 3 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3 + 2 = - 27 + 54 + 2 = 29$
Вершина: $(3; 29)$ .

Відповідь:

1) вітки вгору, вершина $(10; - 19)$ ;

2) вітки вниз, вершина $(3; 29)$ .

11.9.° Користуючись графіком квадратичної функції $y = a x^{2} + b x + c$ , зображеним на рисунку 11.3, визначте: 1) знаки старшого коефіцієнта і дискримінанта квадратного тричлена $a x^{2} + b x + c$ ; 2) координати вершини параболи; 3) нулі функції; 4) проміжки знакосталості функції; 5) проміжок зростання та проміжок спадання функції.

Для рисунка 11.3, а:

1) Вітки параболи напрямлені вниз, тому $a < 0$ . Графік перетинає вісь абсцис у двох точках, отже квадратний тричлен має два корені, тому $D > 0$ .

2) Вершина параболи має координати $(- 1; 4)$ .

3) Нулі функції: $x = - 3$ та $x = 1$ .

4) Проміжки знакосталості:
$y > 0$ при $x \in (- 3; 1)$ ;
$y < 0$ при $x \in (- \infty; - 3) \cup (1; + \infty)$ .

5) Функція зростає на проміжку $(- \infty; - 1]$ і спадає на проміжку $[- 1; + \infty)$ .

Для рисунка 11.3, б:

1) Вітки параболи напрямлені вгору, тому $a > 0$ . Графік перетинає вісь абсцис у двох точках, тому тричлен має два корені, отже $D > 0$ .

2) Вершина параболи має координати $(1; - 4)$ .

3) Нулі функції: $x = - 1$ та $x = 3$ .

4) Проміжки знакосталості:
$y > 0$ при $x \in (- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$ ;
$y < 0$ при $x \in (- 1; 3)$ .

5) Функція спадає на проміжку $(- \infty; 1]$ і зростає на проміжку $[1; + \infty)$ .

11.10.° Користуючись графіком квадратичної функції $y = a x^{2} + b x + c$ , зображеним на рисунку 11.4, визначте: 1) знаки старшого коефіцієнта і дискримінанта квадратного тричлена $a x^{2} + b x + c$ ; 2) координати вершини параболи; 3) нулі функції; 4) проміжки знакосталості функції; 5) проміжок зростання та проміжок спадання функції.

Для графіка на рисунку 11.4, а:

1) Старший коефіцієнт $a < 0$ , оскільки вітки параболи напрямлені вниз; дискримінант $D > 0$ , оскільки графік перетинає вісь абсцис у двох точках.

2) Координати вершини параболи: $(- 2; 4)$ .

3) Нулі функції: $x = - 4$ та $x = 0$ .

4) $y > 0$ при $x \in (- 4; 0)$ ; $y < 0$ при $x \in (- \infty; - 4) \cup (0; + \infty)$ .

5) Функція зростає на проміжку $(- \infty; - 2]$ і спадає на проміжку $[- 2; + \infty)$ .

Для графіка на рисунку 11.4, б:

1) Старший коефіцієнт $a > 0$ , оскільки вітки параболи напрямлені вгору; дискримінант $D > 0$ , оскільки парабола перетинає вісь абсцис у двох точках.

2) Координати вершини параболи: $(3; - 1)$ .

3) Нулі функції: $x = 2$ та $x = 4$ .

4) $y > 0$ при $x \in (- \infty; 2) \cup (4; + \infty)$ ; $y < 0$ при $x \in (2; 4)$ .

5) Функція спадає на проміжку $(- \infty; 3]$ і зростає на проміжку $[3; + \infty)$ .

11.11.• Побудуйте графік функції:

1) $y = x^{2} - 4 x - 5$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ .
Ордината вершини: $y_{0} = 2^{2} - 4 \cdot 2 - 5 = - 9$ .
Вершина параболи: $(2; - 9)$ .

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$0$	$- 5$	$- 8$	$- 9$	$- 8$	$- 5$	$0$

2) $y = - x^{2} + 2 x + 3$

Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = 1$ .
Ордината вершини: $y_{0} = - 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = 4$ .
Вершина параболи: $(1; 4)$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$- 5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$- 5$

3) $y = 6 x - x^{2}$

Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 1 )} = 3$ .
Ордината вершини: $y_{0} = 6 \cdot 3 - 3^{2} = 9$ .
Вершина параболи: $(3; 9)$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$0$	$5$	$8$	$9$	$8$	$5$	$0$

4) $y = 2 x^{2} - 8 x + 8$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 8}{2 \cdot 2} = 2$ .
Ордината вершини: $y_{0} = 2 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8 = 0$ .
Вершина параболи: $(2; 0)$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$8$	$2$	$0$	$2$	$8$

5) $y = x^{2} - 2 x + 4$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$ .
Ордината вершини: $y_{0} = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 4 = 3$ .
Вершина параболи: $(1; 3)$ .

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$7$	$4$	$3$	$4$	$7$

6) $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 4$

Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - \frac{1}{2} < 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{3}{2 \cdot ( - 0 , 5 )} = 3$ .
Ордината вершини: $y_{0} = - 0, 5 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 - 4 = 0, 5$ .
Вершина параболи: $(3; 0, 5)$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$- 4$	$- 1, 5$	$0$	$0, 5$	$0$	$- 1, 5$	$- 4$

7) $y = x^{2} - 6 x + 5$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ .
Ордината вершини: $y_{0} = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 5 = - 4$ .
Вершина параболи: $(3; - 4)$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

8) $y = 2 x^{2} - 5 x + 2$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 5}{2 \cdot 2} = 1, 25$ .
Ордината вершини: $y_{0} = 2 \cdot (1, 25)^{2} - 5 \cdot 1, 25 + 2 = - 1, 125$ .
Вершина параболи: $(1, 25; - 1, 125)$ .

$x$	$- 1$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 25$	$2$	$3$
$y$	$9$	$2$	$0$	$- 1$	$- 1, 125$	$0$	$5$

11.12.• Побудуйте графік функції:

1) $y = x^{2} + 2 x - 8$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{2}{2 \cdot 1} = - 1$ .
Ордината вершини: $y_{0} = (- 1)^{2} + 2 (- 1) - 8 = - 9$ .
Вершина параболи: $(- 1; - 9)$ .

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$0$	$- 5$	$- 8$	$- 9$	$- 8$	$- 5$	$0$

2) $y = x^{2} - 2 x$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$ .
Ордината вершини: $y_{0} = 1^{2} - 2 \cdot 1 = - 1$ .
Вершина параболи: $(1; - 1)$ .

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$

3) $y = - x^{2} + 4 x - 5$

Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = 2$ .
Ордината вершини: $y_{0} = - 2^{2} + 4 \cdot 2 - 5 = - 1$ .
Вершина параболи: $(2; - 1)$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$- 5$	$- 2$	$- 1$	$- 2$	$- 5$

4) $y = 2 x^{2} - 2 x - 4$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 2}{2 \cdot 2} = 0, 5$ .
Ордината вершини: $y_{0} = 2 \cdot (0, 5)^{2} - 2 \cdot 0, 5 - 4 = - 4, 5$ .
Вершина параболи: $(0, 5; - 4, 5)$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$0, 5$	$1$	$2$	$3$
$y$	$8$	$0$	$- 4$	$- 4, 5$	$- 4$	$0$	$8$

11.13.• Побудуйте графік функції $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$ . Користуючись графіком, знайдіть: 1) $f (6)$ ; $f (1)$ ; 2) значення $x$ , при яких $f (x) = 8$ ; $f (x) = - 1$ ; $f (x) = - 2$ ; 3) найбільше і найменше значення функції; 4) область значень функції; 5) проміжок зростання та проміжок спадання функції; 6) при яких значеннях аргументу функція набуває додатних значень, а при яких — від’ємних.

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ .
Ордината вершини: $y_{0} = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 8 = - 1$ .
Вершина параболи: $(3; - 1)$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f (x)$	$8$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$	$8$

За графіком:

1) $f (6) = 8$ ; $f (1) = 3$ .

2) $f (x) = 8$ при $x = 0$ або $x = 6$ ;
$f (x) = - 1$ при $x = 3$ ;
$f (x) = - 2$ — таких значень $x$ не існує (графік не опускається нижче ординати $- 1$ ).

3) Найменше значення функції: $- 1$ (досягається при $x = 3$ );
найбільшого значення не існує.

4) Область значень функції: $E (f) = [- 1; + \infty)$ .

5) Функція зростає на проміжку $[3; + \infty)$ і спадає на проміжку $(- \infty; 3]$ .

6) $f (x) > 0$ при $x \in (- \infty; 2) \cup (4; + \infty)$ ;
$f (x) < 0$ при $x \in (2; 4)$ .

11.14.• Побудуйте графік функції $f (x) = - x^{2} - 6 x - 5$ . Користуючись графіком, знайдіть: 1) область значень функції; 2) проміжок зростання функції; 3) множину розв’язків нерівності $f (x) > 0$ .

Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot ( - 1 )} = - 3$ .
Ордината вершини: $y_{0} = - (- 3)^{2} - 6 (- 3) - 5 = 4$ .
Вершина параболи: $(- 3; 4)$ .

$x$	$- 6$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$f (x)$	$- 5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$- 5$

За графіком:

1) Область значень функції: $E (f) = (- \infty; 4]$ .

2) Функція зростає на проміжку $(- \infty; - 3]$ .

3) Множина розв’язків нерівності $f (x) > 0$ : $x \in (- 5; - 1)$ .

11.15.

Побудуйте графік функції $f (x) = x - 0, 5 x^{2}$ . Користуючись графіком, знайдіть:
1) область значень функції;
2) проміжок зростання функції;
3) при яких значеннях $x$ виконується нерівність $f (x) \leq 0$ .

Графіком функції $f (x) = - 0, 5 x^{2} + x$ є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 0, 5 < 0$ ).

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{1}{2 \cdot ( - 0 , 5 )} = 1$
$y_{0} = f (1) = 1 - 0, 5 \cdot 1^{2} = 0, 5$

Вершина параболи — точка $(1; 0, 5)$ .

Складемо таблицю значень функції для побудови графіка:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$- 4$	$- 1, 5$	$0$	$0, 5$	$0$	$- 1, 5$	$- 4$

1) Область значень функції: $E (f) = (- \infty; 0, 5]$ .

2) Функція зростає на проміжку $(- \infty; 1]$ .

3) Нерівність $f (x) \leq 0$ виконується при $x \in (- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ .

11.16.

Побудуйте графік функції $f (x) = 3 x^{2} - 6 x$ . Користуючись графіком, знайдіть:
1) область значень функції;
2) проміжок спадання функції;
3) при яких значеннях $x$ виконується нерівність $f (x) \geq 0$ .

Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 3 > 0$ ).

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot 3} = 1$
$y_{0} = f (1) = 3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 = - 3$

Вершина параболи — точка $(1; - 3)$ .

Складемо таблицю значень функції:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$9$	$0$	$- 3$	$0$	$9$

1) Область значень функції: $E (f) = [- 3; + \infty)$ .

2) Функція спадає на проміжку $(- \infty; 1]$ .

3) Нерівність $f (x) \geq 0$ виконується при $x \in (- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ .

11.17.

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій $y = f (x)$ і $y = g (x)$ та визначте кількість коренів рівняння $f (x) = g (x)$ :

1) $f (x) = x^{2} - 6 x + 7$ , $g (x) = x$ ;

Графіком $y = x^{2} - 6 x + 7$ є парабола з вершиною у точці:
$x_{0} = - \frac{- 6}{2} = 3$
$y_{0} = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 7 = - 2$

Таблиця для параболи $y = x^{2} - 6 x + 7$ :

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$7$	$2$	$- 1$	$- 2$	$- 1$	$2$	$7$

Таблиця для функції $g (x) = x$ ( $x \geq 0$ ):

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Графіки перетинаються у двох точках.

Відповідь: 2 корені.

2) $f (x) = 4 x - 2 x^{2}$ , $g (x) = - \frac{4}{x}$ .

Графіком функції $f (x) = - 2 x^{2} + 4 x$ є парабола з вершиною у точці:
$x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 2 )} = 1$
$y_{0} = 4 \cdot 1 - 2 \cdot 1^{2} = 2$

Таблиця для $f (x) = 4 x - 2 x^{2}$ :

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 6$	$0$	$2$	$0$	$- 6$

Графіком функції $g (x) = - \frac{4}{x}$ є гіпербола, розміщена в II та IV координатних чвертях.

Таблиця для $g (x) = - \frac{4}{x}$ :

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y$	$1$	$2$	$4$	$- 4$	$- 2$	$- 1$

При $x < 0$ парабола лежить нижче осі абсцис ( $f (x) < 0$ ), а гіпербола — вище осі ( $g (x) > 0$ ), тому спільних точок немає.
При $x > 0$ графіки перетинаються в одній точці (у четвертій чверті).

Відповідь: 1 корінь.

11.18.

Побудувавши в одній системі координат графіки функцій $y = x^{2} + 4 x + 1$ і $y = \frac{6}{x}$ , визначте кількість коренів рівняння $x^{2} + 4 x + 1 = \frac{6}{x}$ .

Графіком квадратичної функції $y = x^{2} + 4 x + 1$ є парабола з вершиною:
$x_{0} = - \frac{4}{2} = - 2$
$y_{0} = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 1 = 4 - 8 + 1 = - 3$

Таблиця значень для параболи $y = x^{2} + 4 x + 1$ :

$x$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$6$	$1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$	$1$	$6$

Графіком функції $y = \frac{6}{x}$ є гіпербола, вітки якої розташовані в I та III координатних чвертях.

Таблиця значень для гіперболи $y = \frac{6}{x}$ :

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 6$	$6$	$3$	$2$	$1$

Графіки перетинаються у трьох спільних точках: $(- 3; - 2)$ , $(- 2; - 3)$ та $(1; 6)$ .

Відповідь: 3 корені.

11.19.

Знайдіть область значень і проміжки зростання та спадання функції:

1) $f (x) = 4 x^{2} - 8 x + 3$ ;

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 4 > 0$ ).
Знайдемо вершину параболи:
$x_{0} = - \frac{- 8}{2 \cdot 4} = 1$
$y_{0} = f (1) = 4 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 3 = - 1$

Область значень функції: $E (f) = [- 1; + \infty)$ .
Функція спадає на проміжку $(- \infty; 1]$ .
Функція зростає на проміжку $[1; + \infty)$ .

2) $f (x) = - \frac{1}{5} x^{2} + 2 x - 6$ ;

Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - \frac{1}{5} < 0$ ).
Знайдемо вершину параболи:
$x_{0} = - \frac{2}{2 \cdot ( - \frac{1}{5} )} = 5$
$y_{0} = f (5) = - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2 \cdot 5 - 6 = - 5 + 10 - 6 = - 1$

Область значень функції: $E (f) = (- \infty; - 1]$ .
Функція зростає на проміжку $(- \infty; 5]$ .
Функція спадає на проміжку $[5; + \infty)$ .

3) $f (x) = 4 - 12 x - 0, 3 x^{2}$ ;

Запишемо у стандартному вигляді: $f (x) = - 0, 3 x^{2} - 12 x + 4$ .
Вітки параболи напрямлені вниз ( $a = - 0, 3 < 0$ ).
Знайдемо вершину параболи:
$x_{0} = - \frac{- 12}{2 \cdot ( - 0 , 3 )} = - 20$
$y_{0} = f (- 20) = - 0, 3 \cdot (- 20)^{2} - 12 \cdot (- 20) + 4 = - 120 + 240 + 4 = 124$

Область значень функції: $E (f) = (- \infty; 124]$ .
Функція зростає на проміжку $(- \infty; - 20]$ .
Функція спадає на проміжку $[- 20; + \infty)$ .

4) $f (x) = 7 x^{2} + 21 x$ ;

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 7 > 0$ ).
Знайдемо вершину параболи:
$x_{0} = - \frac{21}{2 \cdot 7} = - 1, 5$
$y_{0} = f (- 1, 5) = 7 \cdot (- 1, 5)^{2} + 21 \cdot (- 1, 5) = 15, 75 - 31, 5 = - 15, 75$

Область значень функції: $E (f) = [- 15, 75; + \infty)$ .
Функція спадає на проміжку $(- \infty; - 1, 5]$ .
Функція зростає на проміжку $[- 1, 5; + \infty)$ .

Як ви вважаєте, чи треба для розв’язання цієї задачі будувати графік функції? Обговоріть це питання у класі.

Ні, будувати графік не потрібно. Достатньо знати напрямок віток параболи (знак коефіцієнта $a$ ) та координати її вершини $(x_{0}; y_{0})$ :

Якщо $a > 0$ , то найменшим значенням є $y_{0}$ , область значень становить $[y_{0}; + \infty)$ , функція спадає на $(- \infty; x_{0}]$ і зростає на $[x_{0}; + \infty)$ .
Якщо $a < 0$ , то найбільшим значенням є $y_{0}$ , область значень становить $(- \infty; y_{0}]$ , функція зростає на $(- \infty; x_{0}]$ і спадає на $[x_{0}; + \infty)$ .

11.20. Знайдіть область значень і проміжки зростання та спадання функції:
1) $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 8$ ;
2) $f (x) = 9 + 8 x - 0, 2 x^{2}$ .

1) Графіком функції $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 8$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).
Знайдемо координати вершини параболи:
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 12}{2 \cdot 2} = 3$
$y_{0} = f (3) = 2 \cdot 3^{2} - 12 \cdot 3 + 8 = 18 - 36 + 8 = - 10$
Вершина параболи — точка $(3; - 10)$ .
Оскільки вітки напрямлені вгору, найменшим значенням функції є $- 10$ .
Область значень: $E (f) = [- 10; + \infty)$ .
Функція спадає на проміжку $(- \infty; 3]$ і зростає на проміжку $[3; + \infty)$ .

2) Графіком функції $f (x) = - 0, 2 x^{2} + 8 x + 9$ є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 0, 2 < 0$ ).
Знайдемо координати вершини параболи:
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{8}{2 \cdot ( - 0 , 2 )} = \frac{8}{0 , 4} = 20$
$y_{0} = f (20) = 9 + 8 \cdot 20 - 0, 2 \cdot 2 0^{2} = 9 + 160 - 80 = 89$
Вершина параболи — точка $(20; 89)$ .
Оскільки вітки напрямлені вниз, найбільшим значенням функції є $89$ .
Область значень: $E (f) = (- \infty; 89]$ .
Функція зростає на проміжку $(- \infty; 20]$ і спадає на проміжку $[20; + \infty)$ .

11.21. Знайдіть найменше значення функції $y = 3 x^{2} - 18 x + 2$ на проміжку:
1) $[- 1; 4]$ ;
2) $[- 4; 1]$ ;
3) $[4; 5]$ .

Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 3 > 0$ ).
Знайдемо абсцису вершини параболи:
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 18}{2 \cdot 3} = 3$
Знайдемо ординату вершини:
$y (3) = 3 \cdot 3^{2} - 18 \cdot 3 + 2 = 27 - 54 + 2 = - 25$

1) Число $x_{0} = 3$ належить проміжку $[- 1; 4]$ . Оскільки вітки параболи напрямлені вгору, найменшого значення функція набуває у вершині:
$[- 1; 4] min y = y (3) = - 25$ .

2) Число $x_{0} = 3$ не належить проміжку $[- 4; 1]$ . На проміжку $(- \infty; 3]$ функція спадає, тому на відрізку $[- 4; 1]$ вона набуває найменшого значення на правому кінці, тобто при $x = 1$ :
$y (1) = 3 \cdot 1^{2} - 18 \cdot 1 + 2 = 3 - 18 + 2 = - 13$ .
$[- 4; 1] min y = - 13$ .

3) Число $x_{0} = 3$ не належить проміжку $[4; 5]$ . На проміжку $[3; + \infty)$ функція зростає, тому на відрізку $[4; 5]$ вона набуває найменшого значення на лівому кінці, тобто при $x = 4$ :
$y (4) = 3 \cdot 4^{2} - 18 \cdot 4 + 2 = 48 - 72 + 2 = - 22$ .
$[4; 5] min y = - 22$ .

Відповідь: 1) $- 25$ ; 2) $- 13$ ; 3) $- 22$ .

11.22. Знайдіть найбільше значення функції $y = - x^{2} - 8 x + 10$ на проміжку:
1) $[- 5; - 3]$ ;
2) $[- 1; 0]$ ;
3) $[- 11; - 10]$ .

Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Знайдемо абсцису вершини параболи:
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 8}{2 \cdot ( - 1 )} = - 4$
Знайдемо ординату вершини:
$y (- 4) = - (- 4)^{2} - 8 \cdot (- 4) + 10 = - 16 + 32 + 10 = 26$

1) Число $x_{0} = - 4$ належить проміжку $[- 5; - 3]$ . Оскільки вітки параболи напрямлені вниз, свого найбільшого значення функція досягає у вершині:
$[- 5; - 3] max y = y (- 4) = 26$ .

2) Число $x_{0} = - 4$ не належить проміжку $[- 1; 0]$ . На проміжку $[- 4; + \infty)$ функція спадає, тому на відрізку $[- 1; 0]$ вона набуває найбільшого значення на лівому кінці, тобто при $x = - 1$ :
$y (- 1) = - (- 1)^{2} - 8 \cdot (- 1) + 10 = - 1 + 8 + 10 = 17$ .
$[- 1; 0] max y = 17$ .

3) Число $x_{0} = - 4$ не належить проміжку $[- 11; - 10]$ . На проміжку $(- \infty; - 4]$ функція зростає, тому на відрізку $[- 11; - 10]$ вона набуває найбільшого значення на правому кінці, тобто при $x = - 10$ :
$y (- 10) = - (- 10)^{2} - 8 \cdot (- 10) + 10 = - 100 + 80 + 10 = - 10$ .
$[- 11; - 10] max y = - 10$ .

Відповідь: 1) $26$ ; 2) $17$ ; 3) $- 10$ .

11.23. При яких значеннях $p$ і $q$ графік функції $y = x^{2} + p x + q$ проходить через точки $M (- 1; 4)$ і $K (2; 10)$ ?

Підставимо координати точок $M$ і $K$ у формулу функції:
Для точки $M (- 1; 4)$ :
$4 = (- 1)^{2} + p \cdot (- 1) + q$
$4 = 1 - p + q$
$- p + q = 3$

Для точки $K (2; 10)$ :
$10 = 2^{2} + p \cdot 2 + q$
$10 = 4 + 2 p + q$
$2 p + q = 6$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
${- p + q = 3 2 p + q = 6$

Віднімемо перше рівняння від другого:
$(2 p + q) - (- p + q) = 6 - 3$
$3 p = 3$
$p = 1$

Підставимо $p = 1$ у перше рівняння:
$- 1 + q = 3$
$q = 4$

Відповідь: $p = 1$ , $q = 4$ .

11.24. При яких значеннях $a$ і $b$ нулями функції $y = a x^{2} + b x + 7$ є числа $- 2$ і $3$ ?

Якщо числа $- 2$ і $3$ є нулями функції, то при цих значеннях аргументу значення функції дорівнює нулю:
$y (- 2) = 0$
$y (3) = 0$

Підставимо ці значення у формулу функції:
$a \cdot (- 2)^{2} + b \cdot (- 2) + 7 = 0$
$4 a - 2 b = - 7$

$a \cdot 3^{2} + b \cdot 3 + 7 = 0$
$9 a + 3 b = - 7$

Складемо систему рівнянь:
${4 a - 2 b = - 7 9 a + 3 b = - 7$

Помножимо перше рівняння на $3$ , а друге — на $2$ :
${12 a - 6 b = - 21 18 a + 6 b = - 14$

Додамо почленно обидва рівняння:
$30 a = - 35$
$a = - \frac{35}{30}$
$a = - \frac{7}{6} = - 1 \frac{1}{6}$

Знайдемо $b$ , підставивши значення $a$ у друге рівняння ( $3 a + b = - \frac{7}{3}$ ):
$b = - \frac{7}{3} - 3 a$
$b = - \frac{7}{3} - 3 \cdot (- \frac{7}{6})$
$b = - \frac{7}{3} + \frac{7}{2}$
$b = - \frac{14}{6} + \frac{21}{6} = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$

Відповідь: $a = - 1 \frac{1}{6}$ , $b = 1 \frac{1}{6}$ .

11.25. При яких значеннях $a$ і $b$ парабола $y = a x^{2} + b x - 4$ проходить через точки $C (- 3; 8)$ і $D (1; 4)$ ?

Підставимо координати точок $C (- 3; 8)$ і $D (1; 4)$ у формулу функції:

Для точки $C (- 3; 8)$ :
$8 = a \cdot (- 3)^{2} + b \cdot (- 3) - 4$
$9 a - 3 b - 4 = 8$
$9 a - 3 b = 12$
$3 a - b = 4$

Для точки $D (1; 4)$ :
$4 = a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 - 4$
$a + b - 4 = 4$
$a + b = 8$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

${3 a - b = 4 a + b = 8$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$4 a = 12$
$a = 3$

Підставимо значення $a = 3$ у друге рівняння:
$3 + b = 8$
$b = 5$

Відповідь: $a = 3$ , $b = 5$ .

11.26. Нехай $D$ — дискримінант квадратного тричлена $a x^{2} + b x + c$ . Зобразіть схематично графік квадратичної функції $y = a x^{2} + b x + c$ , якщо:
1) $a > 0$ , $D > 0$ , $c > 0$ , $- \frac{b}{2 a} > 0$ ;
2) $a > 0$ , $D = 0$ , $- \frac{b}{2 a} < 0$ ;
3) $a < 0$ , $D < 0$ , $- \frac{b}{2 a} > 0$ ;
4) $a < 0$ , $c = 0$ , $- \frac{b}{2 a} < 0$ .

1) Оскільки $a > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору.
$D > 0$ означає, що графік перетинає вісь $O x$ у двох різних точках.
Абсциса вершини $x_{0} = - \frac{b}{2 a} > 0$ , отже, вершина лежить праворуч від осі $O y$ у IV чверті.
$c > 0$ показує, що графік перетинає вісь $O y$ вище від початку координат.

2) Оскільки $a > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору.
$D = 0$ означає, що парабола дотикається до осі $O x$ своєю вершиною.
Абсциса вершини $x_{0} = - \frac{b}{2 a} < 0$ , тому точка дотику лежить на від’ємній півосі $O x$ .

3) Оскільки $a < 0$ , вітки параболи напрямлені вниз.
$D < 0$ означає, що графік не має спільних точок з віссю $O x$ і повністю розташований нижче від неї.
Абсциса вершини $x_{0} = - \frac{b}{2 a} > 0$ , тому вершина лежить у IV чверті.

4) Оскільки $a < 0$ , вітки напрямлені вниз.
$c = 0$ означає, що графік проходить через початок координат $(0; 0)$ .
Абсциса вершини $x_{0} = - \frac{b}{2 a} < 0$ , отже, вершина розташована ліворуч від осі $O y$ у II чверті ( $x_{0} < 0, y_{0} > 0$ ).

11.27. Нехай $D$ — дискримінант квадратного тричлена $a x^{2} + b x + c$ . Зобразіть схематично графік квадратичної функції $y = a x^{2} + b x + c$ , якщо:
1) $a > 0$ , $D < 0$ , $- \frac{b}{2 a} < 0$ ;
2) $a < 0$ , $D > 0$ , $c < 0$ , $- \frac{b}{2 a} > 0$ ;
3) $a < 0$ , $D = 0$ , $- \frac{b}{2 a} < 0$ .

1) Оскільки $a > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору.
$D < 0$ означає відсутність перетинів з віссю $O x$ (парабола лежить повністю над віссю абсцис).
Абсциса вершини $x_{0} = - \frac{b}{2 a} < 0$ , отже, вершина лежить у II чверті ( $x_{0} < 0, y_{0} > 0$ ).

2) Оскільки $a < 0$ , вітки параболи напрямлені вниз.
$D > 0$ означає, що графік перетинає вісь $O x$ у двох точках.
Абсциса вершини $x_{0} = - \frac{b}{2 a} > 0$ , тому вершина лежить у I чверті ( $x_{0} > 0, y_{0} > 0$ ).
$c < 0$ показує, що графік перетинає вісь $O y$ нижче від нуля.

3) Оскільки $a < 0$ , вітки параболи напрямлені вниз.
$D = 0$ означає, що парабола дотикається до осі $O x$ своєю вершиною.
Абсциса вершини $x_{0} = - \frac{b}{2 a} < 0$ , отже, вершина лежить на від’ємній півосі $O x$ .

11.28. При якому значенні $b$ проміжок $(- \infty; 2]$ є проміжком зростання функції $y = - 4 x^{2} - b x + 5$ ?

Для квадратичної функції $y = - 4 x^{2} - b x + 5$ старший коефіцієнт $a = - 4 < 0$ , тому вітки параболи напрямлені вниз.
Функція з вітками вниз зростає на проміжку $(- \infty; x_{0}]$ , де $x_{0}$ — абсциса вершини параболи.

Знайдемо абсцису вершини за формулою:
$x_{0} = - \frac{- b}{2 \cdot ( - 4 )} = - \frac{b}{8}$

За умовою проміжком зростання є $(- \infty; 2]$ , отже:
$- \frac{b}{8} = 2$
$b = - 16$

Відповідь: $b = - 16$ .

11.29. При якому значенні $b$ проміжок $(- \infty; - 3]$ є проміжком спадання функції $y = 3 x^{2} + b x - 8$ ?

Для квадратичної функції $y = 3 x^{2} + b x - 8$ старший коефіцієнт $a = 3 > 0$ , тому вітки параболи напрямлені вгору.
Функція з вітками вгору спадає на проміжку $(- \infty; x_{0}]$ , де $x_{0}$ — абсциса вершини параболи.

Знайдемо абсцису вершини за формулою:
$x_{0} = - \frac{b}{2 \cdot 3} = - \frac{b}{6}$

За умовою проміжком спадання є $(- \infty; - 3]$ , отже:
$- \frac{b}{6} = - 3$
$b = 18$

Відповідь: $b = 18$ .

[!ERROR] Не вдалося обробити партію запитань №8.

[!ERROR] Не вдалося обробити партію запитань №9.

11.40.•• Побудуйте графік функції:

1) $y = x ∣ x ∣$ ;

Розкриємо модуль за означенням:

якщо $x \geq 0$ , то $∣ x ∣ = x$ , тому $y = x \cdot x = x^{2}$ ;
якщо $x < 0$ , то $∣ x ∣ = - x$ , тому $y = x \cdot (- x) = - x^{2}$ .

Отримуємо:
$y = {x^{2}, - x^{2}, якщо x \geq 0 якщо x < 0$

Складемо таблицю опорних точок:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 9$	$- 4$	$- 1$	$0$	$1$	$4$	$9$

2) $y = x^{2} + 3 x \cdot \frac{∣ x - 3∣}{x - 3} - 4$ .

Область визначення: $x - 3 \neq = 0 ⟹ x \neq = 3$ .

Розкриємо модуль для двох випадків:

якщо $x > 3$ , то $∣ x - 3∣ = x - 3$ , отже:
$\frac{∣ x - 3∣}{x - 3} = 1$
$y = x^{2} + 3 x \cdot 1 - 4 = x^{2} + 3 x - 4$
якщо $x < 3$ , то $∣ x - 3∣ = - (x - 3)$ , отже:
$\frac{∣ x - 3∣}{x - 3} = - 1$
$y = x^{2} + 3 x \cdot (- 1) - 4 = x^{2} - 3 x - 4$

Точка $x = 3$ є виколотою:

при наближенні справа ( $x \to 3^{+}$ ): $y \to 3^{2} + 3 \cdot 3 - 4 = 14$ ;
при наближенні зліва ( $x \to 3^{-}$ ): $y \to 3^{2} - 3 \cdot 3 - 4 = - 4$ .
Точка $(3; - 4)$ на графіку є виколотою.

Вершина параболи $y = x^{2} - 3 x - 4$ (при $x < 3$ ):
$x_{0} = - \frac{- 3}{2} = 1, 5$
$y_{0} = 1, 5^{2} - 3 \cdot 1, 5 - 4 = - 6, 25$

Таблиця точок для $y = x^{2} - 3 x - 4$ при $x < 3$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$1, 5$	$2$	$3$ (виколота)
$y$	$6$	$0$	$- 4$	$- 6$	$- 6, 25$	$- 6$	$- 4$

Таблиця точок для $y = x^{2} + 3 x - 4$ при $x > 3$ :

$x$	$3, 5$	$4$
$y$	$18, 75$	$24$

11.41.•• Побудуйте графік функції $y = \frac{x ^{3}}{∣ x ∣} + 4 x$ .

Область визначення: $∣ x ∣ \neq = 0 ⟹ x \neq = 0$ .

Розкриємо модуль за означенням:

якщо $x > 0$ , то $∣ x ∣ = x$ :
$y = \frac{x ^{3}}{x} + 4 x = x^{2} + 4 x$
якщо $x < 0$ , то $∣ x ∣ = - x$ :
$y = \frac{x ^{3}}{- x} + 4 x = - x^{2} + 4 x$

Графік не містить точки при $x = 0$ (точка $(0; 0)$ виколота).

Знайдемо вершини парабол:

для $y = x^{2} + 4 x$ : $x_{0} = - 2$ , але $x > 0$ , тому на проміжку $(0; + \infty)$ графік є правою віткою параболи;
для $y = - x^{2} + 4 x$ : $x_{0} = 2$ , але $x < 0$ , тому на проміжку $(- \infty; 0)$ графік є лівою віткою параболи.

Складемо таблицю точок:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$ (вик.)	$1$	$2$
$y$	$- 32$	$- 21$	$- 12$	$- 5$	$0$	$5$	$12$

11.42. Побудуйте графік функції $y = x^{2} + 2 x - 3$ . Користуючись побудованим графіком, установіть, при яких значеннях $a$ рівняння $x^{2} + 2 x - 3 = a$ :*

Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо координати вершини:
$x_{0} = - \frac{2}{2 \cdot 1} = - 1$
$y_{0} = (- 1)^{2} + 2 (- 1) - 3 = 1 - 2 - 3 = - 4$
Вершина: $(- 1; - 4)$ .

Нулі функції:
$x^{2} + 2 x - 3 = 0 ⟹ x_{1} = - 3, x_{2} = 1$ .
Точка перетину з віссю $O y$ : $(0; - 3)$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Кількість коренів рівняння $x^{2} + 2 x - 3 = a$ дорівнює кількості точок перетину параболи з горизонтальною прямою $y = a$ :

1) має два корені;

Пряма перетинає параболу у двох точках, коли вона лежить вище за вершину: $a > - 4$ .

2) має один корінь;

Пряма дотикається до параболи у вершині: $a = - 4$ .

3) не має коренів.

Пряма лежить нижче за вершину і не перетинає параболу: $a < - 4$ .

11.43. Побудуйте графік функції $y = - x^{2} - 4 x + 5$ . Користуючись побудованим графіком, установіть, скільки коренів має рівняння $- x^{2} - 4 x + 5 = a$ залежно від значення $a$ .*

Графіком є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Знайдемо координати вершини:
$x_{0} = - \frac{- 4}{2 \cdot ( - 1 )} = - 2$
$y_{0} = - (- 2)^{2} - 4 (- 2) + 5 = - 4 + 8 + 5 = 9$
Вершина: $(- 2; 9)$ .

Нулі функції:
$- x^{2} - 4 x + 5 = 0 ⟹ x^{2} + 4 x - 5 = 0 ⟹ x_{1} = - 5, x_{2} = 1$ .
Точка перетину з віссю $O y$ : $(0; 5)$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$0$	$5$	$8$	$9$	$8$	$5$	$0$

За графіком кількість коренів залежить від розташування прямої $y = a$ :

якщо $a > 9$ , пряма не перетинає параболу, тому рівняння не має коренів;
якщо $a = 9$ , пряма дотикається до параболи у вершині, тому рівняння має один корінь;
якщо $a < 9$ , пряма перетинає параболу у двох точках, тому рівняння має два корені.

Відповідь: якщо $a > 9$ — коренів немає; якщо $a = 9$ — один корінь; якщо $a < 9$ — два корені.

УЧИМОСЯ ЗАСТОСОВУВАТИ МАТЕМАТИКУ

11.44. Із пункту B у пункт A, відстань між якими дорівнює 13 км, вирушив турист зі швидкістю 6 км/год. Одночасно з ним із пункту A в перпендикулярному напрямку (рис. 11.9) вирушила зі швидкістю 4 км/год туристка. Через який час після початку руху відстань між ними буде найменшою?

Дано:

$A B = 13 км$
$v_{1} = 6 км / год$ (швидкість туриста з $B$ до $A$ )
$v_{2} = 4 км / год$ (швидкість туристки з $A$ )
$∠ A = 9 0^{\circ}$

Знайти:

$t$ (час, за якого відстань $d$ буде найменшою) — ?

Розв’язання:
Нехай через $t год$ після початку руху турист пройде відстань $6 t км$ , тоді відстань від нього до пункту $A$ становитиме $(13 - 6 t) км$ .

Туристка за цей самий час віддалиться від пункту $A$ на відстань $4 t км$ .

Оскільки напрямки руху утворюють прямий кут, за теоремою Піфагора квадрат відстані $d$ між ними дорівнює:
$d^{2} (t) = (13 - 6 t)^{2} + (4 t)^{2}$
$d^{2} (t) = 169 - 156 t + 36 t^{2} + 16 t^{2}$
$d^{2} (t) = 52 t^{2} - 156 t + 169$

Відстань $d (t)$ буде найменшою тоді, коли набуває найменшого значення квадрат відстані $d^{2} (t)$ .

Отримана функція є квадратичною з додатним старшим коефіцієнтом ( $a = 52 > 0$ ), тому її вітки напрямлені вгору, а найменшого значення вона набуває у вершині параболи:
$t = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 156}{2 \cdot 52} = \frac{156}{104} = 1, 5 (год)$

$1, 5 год = 1 год 30 хв$ .

Відповідь: через $1, 5 год$ (або $1 год 30 хв$ ).

11.45. Ділянку землі прямокутної форми треба обгородити парканом завдовжки 160 м. Яку найбільшу площу може мати ця ділянка?

Дано:

$P = 160 м$

Знайти:

$S_{max} - ?$

Розв’язання:
Півпериметр ділянки дорівнює:
$160 : 2 = 80 (м)$

Нехай довжина однієї сторони дорівнює $x м$ ( $0 < x < 80$ ), тоді довжина сусідньої сторони становить $(80 - x) м$ .

Площу прямокутника задає квадратична функція:
$S (x) = x (80 - x) = - x^{2} + 80 x$

Графіком цієї функції є парабола з вітками, напрямленими вниз ( $a = - 1 < 0$ ). Свого найбільшого значення функція набуває у вершині параболи:
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{80}{2 \cdot ( - 1 )} = 40$

Отже, найбільшу площу ділянка має тоді, коли вона є квадратом зі стороною $40 м$ .

Обчислимо найбільшу площу:
$S (40) = 40 \cdot (80 - 40) = 40 \cdot 40 = 1600 (м^{2})$

Відповідь: $1600 м^{2}$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

11.46. Розв’яжіть рівняння: 1) $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ ; 2) $x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$ .

1) $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$
Нехай $x^{2} = t$ , де $t \geq 0$ .
Отримуємо квадратне рівняння:
$t^{2} - 13 t + 36 = 0$
За теоремою Вієта:
$t_{1} = 4$
$t_{2} = 9$
Повернемося до змінної $x$ :
$x^{2} = 4$ або $x^{2} = 9$
$x_{1} = - 2$
$x_{2} = 2$
$x_{3} = - 3$
$x_{4} = 3$

2) $x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$
Нехай $x^{2} = t$ , де $t \geq 0$ .
Отримуємо квадратне рівняння:
$t^{2} - 5 t - 6 = 0$
За теоремою Вієта:
$t_{1} = 6$
$t_{2} = - 1$ (не задовольняє умову $t \geq 0$ )
Повернемося до змінної $x$ :
$x^{2} = 6$
$x_{1} = - 6$
$x_{2} = 6$

Відповідь: 1) $- 3; - 2; 2; 3$ ; 2) $- 6; 6$ .

11.47. Знайдіть суму та добуток коренів рівняння: 1) $x^{2} - 5 x - 10 = 0$ ; 2) $2 x^{2} + 6 x - 7 = 0$ ; 3) $- \frac{1}{3} x^{2} + 8 x - 1 = 0$ .

За теоремою Вієта для рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ , якщо $D \geq 0$ , сума коренів дорівнює $- \frac{b}{a}$ , а добуток дорівнює $\frac{c}{a}$ .

1) $x^{2} - 5 x - 10 = 0$
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10) = 25 + 40 = 65 > 0$
Сума коренів:
$x_{1} + x_{2} = 5$
Добуток коренів:
$x_{1} \cdot x_{2} = - 10$

2) $2 x^{2} + 6 x - 7 = 0$
$D = 6^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 7) = 36 + 56 = 92 > 0$
Сума коренів:
$x_{1} + x_{2} = - \frac{6}{2} = - 3$
Добуток коренів:
$x_{1} \cdot x_{2} = - \frac{7}{2} = - 3, 5$

3) $- \frac{1}{3} x^{2} + 8 x - 1 = 0$
$D = 8^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{3}) \cdot (- 1) = 64 - \frac{4}{3} = 62 \frac{2}{3} > 0$
Сума коренів:
$x_{1} + x_{2} = - \frac{8}{- \frac{1}{3}} = 24$
Добуток коренів:
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} = 3$

Відповідь: 1) сума $5$ , добуток $- 10$ ; 2) сума $- 3$ , добуток $- 3, 5$ ; 3) сума $24$ , добуток $3$ .

11.48. Через одну з двох труб можна наповнити бак водою на 10 хв швидше, ніж через другу. Якщо одночасно відкрити обидві труби, то за 8 хв буде заповнено 2/3 бака. За який час можна заповнити цей бак через кожну з труб?

Дано:

$t_{1} = x хв$
$t_{2} = (x + 10) хв$
$t_{спільний} = 8 хв$
$V = \frac{2}{3} бака$

Знайти:

$t_{1}$ , $t_{2} - ?$

Розв’язання:
Нехай перша труба наповнює бак за $x хв$ ( $x > 0$ ), тоді другій трубі потрібно $(x + 10) хв$ .

За $1 хв$ перша труба наповнює $\frac{1}{x}$ частину бака, а друга — $\frac{1}{x + 10}$ частину бака. Працюючи разом протягом $8 хв$ , вони наповнюють $\frac{2}{3}$ бака:

$8 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10}) = \frac{2}{3}$

Поділимо обидві частини на $2$ :

$4 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10}) = \frac{1}{3}$

$\frac{4}{x} + \frac{4}{x + 10} = \frac{1}{3}$

Помножимо обидві частини на спільний знаменник $3 x (x + 10) \neq = 0$ :

$12 (x + 10) + 12 x = x (x + 10)$

$12 x + 120 + 12 x = x^{2} + 10 x$

$x^{2} - 14 x - 120 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 20$
$x_{2} = - 6$ (не задовольняє умову $x > 0$ )

Отже, перша труба наповнює бак за $20 хв$ .

Знайдемо час роботи другої труби:
$20 + 10 = 30 (хв)$

Відповідь: $20 хв$ і $30 хв .$

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

11.49. На дошці записано число 1001. Двоє грають у таку гру. За один хід гравець стирає записане на дошці число, а замість нього записує різницю цього числа й будь-якого його дільника. Гравці роблять ходи по черзі. Програє той, після ходу якого на дошці буде записано число 0. Хто з гравців може забезпечити собі виграш?

Виграш може забезпечити собі другий гравець.

Початкове число 1001 є непарним. Усі дільники непарного числа є непарними. Тому після ходу першого гравця різниця непарного числа та його непарного дільника завжди буде числом парним.

Другий гравець, отримавши парне число, завжди може вибрати непарний дільник $1$ (оскільки $1$ є дільником будь-якого натурального числа) і записати різницю, яка знову стане непарним числом.

Дотримуючись такої стратегії, другий гравець після кожного свого ходу залишатиме на дошці непарне число, а перший — парне. Оскільки числа щоразу зменшуються, врешті-решт перший гравець опиниться перед найменшим додатним непарним числом $1$ . Єдиним дільником числа $1$ є $1$ , тому перший гравець буде змушений виконати дію $1 - 1 = 0$ і програє.

Відповідь: другий гравець.

11. Квадратична функція, її графік і властивості

Теги статті:

До уроку