10. Побудова графіків функцій y = x² + b і y = (x + b)²

Назад до змісту

9.15.•• Побудуйте графік функції:
$y = ⎩ ⎨ ⎧ - 2, - 2 x^{2}, 2 x^{2}, якщо x < - 1; якщо - 1 \leq x \leq 0; якщо x > 0.$
Користуючись побудованим графіком, знайдіть проміжки зростання та проміжки спадання функції.

Для побудови графіка складемо таблицю значень для кожної частини функції:

1) Промінь $y = - 2$ при $x < - 1$ : значення $y = - 2$ для будь-якого $x < - 1$ .

2) Частина параболи $y = - 2 x^{2}$ при $- 1 \leq x \leq 0$ :

$x$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$
$y$	$- 2$	$- 0, 5$	$0$

3) Частина параболи $y = 2 x^{2}$ при $x > 0$ :

$x$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$
$y$	$0, 5$	$2$	$4, 5$	$8$

За графіком визначаємо:

Функція зростає на проміжку $[- 1; + \infty)$ (при зростанні $x$ від $- 1$ до $0$ значення $y$ збільшуються від $- 2$ до $0$ , а при $x > 0$ значення $y$ зростають від $0$ до $+ \infty$ ).
Проміжків спадання функція не має (на проміжку $(- \infty; - 1]$ функція є постійною: $y = - 2$ ).

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

9.16. Доведіть тотожність:
$(\frac{m - n}{m ^{2} + mn} - \frac{m}{mn + n ^{2}}) : (\frac{n ^{2}}{m ^{3} - m n ^{2}} + \frac{1}{m + n}) = \frac{n - m}{n}$

1) Виконаємо віднімання у перших дужках:

$\frac{m - n}{m ( m + n )} - \frac{m}{n ( m + n )}$

Спільний знаменник дорівнює $mn (m + n)$ :

$\frac{( m - n ) n - m \cdot m}{mn ( m + n )} = \frac{mn - n ^{2} - m ^{2}}{mn ( m + n )} = - \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{mn ( m + n )}$

2) Виконаємо додавання у других дужках:

$\frac{n ^{2}}{m ( m ^{2} - n ^{2} )} + \frac{1}{m + n} = \frac{n ^{2}}{m ( m - n ) ( m + n )} + \frac{1}{m + n}$

Спільний знаменник дорівнює $m (m - n) (m + n)$ :

$\frac{n ^{2} + m ( m - n )}{m ( m - n ) ( m + n )} = \frac{n ^{2} + m ^{2} - mn}{m ( m - n ) ( m + n )} = \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{m ( m - n ) ( m + n )}$

3) Виконаємо ділення:

$- \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{mn ( m + n )} : \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{m ( m - n ) ( m + n )} = - \frac{m ^{2} - mn + n ^{2}}{mn ( m + n )} \cdot \frac{m ( m - n ) ( m + n )}{m ^{2} - mn + n ^{2}}$

Скоротимо дріб на $(m^{2} - mn + n^{2})$ , на $m$ та на $(m + n)$ :

$= - \frac{m - n}{n} = \frac{- ( m - n )}{n} = \frac{n - m}{n}$

Отримали $\frac{n - m}{n} = \frac{n - m}{n}$ . Тотожність доведено.

9.17. Якого найменшого значення може набути даний вираз і при якому значенні змінної:
1) $(x - 6)^{2} + 3$ ;
2) $(x + 4)^{2} - 5$ ;
3) $x^{2} + 2 x - 6$ ;
4) $x^{2} - 10 x + 18$ ?

1) Оскільки $(x - 6)^{2} \geq 0$ для будь-якого $x$ , то найменше значення виразу дорівнює $3$ при $x - 6 = 0$ , тобто при $x = 6$ .

2) Оскільки $(x + 4)^{2} \geq 0$ для будь-якого $x$ , то найменше значення виразу дорівнює $- 5$ при $x + 4 = 0$ , тобто при $x = - 4$ .

3) Виділимо повний квадрат:
$x^{2} + 2 x - 6 = (x^{2} + 2 x + 1) - 1 - 6$
$= (x + 1)^{2} - 7$
Оскільки $(x + 1)^{2} \geq 0$ , найменше значення виразу дорівнює $- 7$ при $x + 1 = 0$ , тобто при $x = - 1$ .

4) Виділимо повний квадрат:
$x^{2} - 10 x + 18 = (x^{2} - 10 x + 25) - 25 + 18$
$= (x - 5)^{2} - 7$
Оскільки $(x - 5)^{2} \geq 0$ , найменше значення виразу дорівнює $- 7$ при $x - 5 = 0$ , тобто при $x = 5$ .

Відповідь:

1) найменше значення $3$ при $x = 6$ ;

2) найменше значення $- 5$ при $x = - 4$ ;

3) найменше значення $- 7$ при $x = - 1$ ;

4) найменше значення $- 7$ при $x = 5$ .

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

9.18. Щоби пофарбувати одну грань кубика, потрібно 10 с. За який найменший час 6 людей можуть пофарбувати 101 кубик? (Двоє людей не можуть одночасно фарбувати один кубик.)

Кожен кубик має 6 граней, тому всього потрібно пофарбувати:

$101 \cdot 6 = 606 (граней)$

На фарбування всіх граней необхідно:

$606 \cdot 10 = 6060 (людино - секунд)$

Оскільки працюють 6 людей, мінімально можливий час за відсутності простоїв становить:

$\frac{6060}{6} = 1010 (с)$

Організувати роботу без простоїв так, щоб двоє людей ніколи не фарбували один кубик одночасно, можна в такий спосіб:

1) Спочатку кожен із 6 робітників фарбує окремо по 15 кубиків повністю. Разом вони пофарбують $6 \cdot 15 = 90$ кубиків за $15 \cdot 6 \cdot 10 = 900 с$ .

2) Залишається пофарбувати $101 - 90 = 11$ кубиків. На це залишається $1010 - 900 = 110 с$ , тобто 11 інтервалів по 10 секунд.

3) В 11 кубиках потрібно пофарбувати $11 \cdot 6 = 66$ граней. Оскільки кубиків 11, а людей 6, у кожні 10 секунд кожна людина бере свій окремий кубик із цих 11. За 11 інтервалів кожен кубик буде фарбуватися рівно 6 разів (оскільки $6 \cdot 11 = 66$ операцій фарбування), причому в будь-який момент часу кожен кубик обробляє не більше ніж одна людина.

Відповідь: $1010 с$ (або $16 хв 50 с$ ).

1. Як можна отримати графік функції y = x² + b, використовуючи графік функції y = x²?

Графік функції $y = x^{2} + b$ можна отримати в результаті паралельного перенесення графіка функції $y = x^{2}$ уздовж осі ординат ( $O y$ ) на $b$ одиниць угору, якщо $b > 0$ , і на $- b$ одиниць униз, якщо $b < 0$ .

2. Яка фігура є графіком функції $y = x^{2} + b$ ?

Парабола, яка дорівнює параболі $y = x^{2}$ (з вершиною в точці $(0; b)$ ).

3. Як можна отримати графік функції $y = (x + b)^{2}$ , використовуючи графік функції $y = x^{2}$ ?

Графік функції $y = (x + b)^{2}$ можна отримати в результаті паралельного перенесення графіка функції $y = x^{2}$ уздовж осі абсцис на $b$ одиниць уліво, якщо $b > 0$ , і на $- b$ одиниць управо, якщо $b < 0$ .

4. Яка фігура є графіком функції $y = (x + b)^{2}$ ?

Парабола, яка дорівнює параболі $y = x^{2}$ (з вершиною в точці $(- b; 0)$ ).

ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

10.1.° Графік якої функції отримаємо, якщо графік функції $y = x^{2}$ паралельно перенесемо:

1) на 6 одиниць угору вздовж осі ординат;

$y = x^{2} + 6$

2) на 9 одиниць управо вздовж осі абсцис;

$y = (x - 9)^{2}$

3) на 12 одиниць униз уздовж осі ординат;

$y = x^{2} - 12$

4) на 7 одиниць уліво вздовж осі абсцис?

$y = (x + 7)^{2}$

10.2.° Графік якої з наведених функцій отримаємо, якщо паралельно перенесемо графік функції $y = x^{2}$ уздовж осі абсцис на 4 одиниці вправо: 1) $y = x^{2} + 4$ ; 2) $y = x^{2} - 4$ ; 3) $y = (x + 4)^{2}$ ; 4) $y = (x - 4)^{2}$ ?

При паралельному перенесенні графіка функції $y = x^{2}$ уздовж осі абсцис на 4 одиниці вправо отримуємо графік функції $y = (x - 4)^{2}$ .

Відповідь: 4.

10.3.° Графік якої з наведених функцій отримаємо, якщо паралельно перенесемо графік функції $y = x^{2}$ уздовж осі ординат на 5 одиниць угору: 1) $y = x^{2} + 5$ ; 2) $y = x^{2} - 5$ ; 3) $y = (x + 5)^{2}$ ; 4) $y = (x - 5)^{2}$ ?

При паралельному перенесенні графіка функції $y = x^{2}$ уздовж осі ординат на $5$ одиниць угору до значення функції додається число $5$ , тобто утворюється формула $y = x^{2} + 5$ .

Відповідь: 1) $y = x^{2} + 5$ .

10.4.° Які координати має вершина параболи:

1) $y = x^{2} + 8$

Графік отримано зміщенням параболи $y = x^{2}$ на $8$ одиниць угору вздовж осі ординат. Вершина змістилася з точки $(0; 0)$ у точку $(0; 8)$ .

Відповідь: $(0; 8)$ .

2) $y = x^{2} - 8$

Графік отримано зміщенням параболи $y = x^{2}$ на $8$ одиниць униз уздовж осі ординат. Вершина має координати $(0; - 8)$ .

Відповідь: $(0; - 8)$ .

3) $y = (x + 8)^{2}$

Графік отримано зміщенням параболи $y = x^{2}$ на $8$ одиниць уліво вздовж осі абсцис. Вершина має координати $(- 8; 0)$ .

Відповідь: $(- 8; 0)$ .

4) $y = (x - 8)^{2}$

Графік отримано зміщенням параболи $y = x^{2}$ на $8$ одиниць управо вздовж осі абсцис. Вершина має координати $(8; 0)$ .

Відповідь: $(8; 0)$ .

10.5.• Графік якої функції отримаємо, якщо графік функції $y = x^{2}$ паралельно перенесемо:

1) На 2 одиниці вправо вздовж осі абсцис і на 3 одиниці вниз уздовж осі ординат?

Зсув на $2$ одиниці вправо вздовж осі $O x$ задається виразом $(x - 2)^{2}$ , а зсув на $3$ одиниці вниз уздовж осі $O y$ додає віднімання числа $3$ . Утворюється функція $y = (x - 2)^{2} - 3$ .

Відповідь: $y = (x - 2)^{2} - 3$ .

2) На 1 одиницю вліво вздовж осі абсцис і на 1 одиницю вгору вздовж осі ординат?

Зсув на $1$ одиницю вліво вздовж осі $O x$ відповідає формулі $(x + 1)^{2}$ , а зсув на $1$ одиницю вгору вздовж осі $O y$ відповідає додаванню числа $1$ . Утворюється функція $y = (x + 1)^{2} + 1$ .

Відповідь: $y = (x + 1)^{2} + 1$ .

10.6.• Які координати має вершина параболи:

1) $y = (x - 4)^{2} + 3$

Парабола вигляду $y = (x - m)^{2} + n$ має вершину в точці $(m; n)$ . Для даної функції $m = 4$ , $n = 3$ .

Відповідь: $(4; 3)$ .

2) $y = (x + 4)^{2} + 3$

Оскільки $x + 4 = x - (- 4)$ , то $m = - 4$ , $n = 3$ .

Відповідь: $(- 4; 3)$ .

3) $y = (x - 4)^{2} - 3$

Тут $m = 4$ , $n = - 3$ .

Відповідь: $(4; - 3)$ .

4) $y = (x + 4)^{2} - 3$

Тут $m = - 4$ , $n = - 3$ .

Відповідь: $(- 4; - 3)$ .

10.7.• У якій координатній чверті знаходиться вершина параболи:

1) $y = (x + 10)^{2} - 16$

Вершина параболи має координати $(- 10; - 16)$ . Обидві координати від’ємні ( $x < 0, y < 0$ ).

Відповідь: у III чверті.

2) $y = (x - 11)^{2} + 15$

Вершина параболи має координати $(11; 15)$ . Обидві координати додатні ( $x > 0, y > 0$ ).

Відповідь: у I чверті.

3) $y = (x + 15)^{2} + 4$

Вершина параболи має координати $(- 15; 4)$ . Абсциса від’ємна, а ордината додатна ( $x < 0, y > 0$ ).

Відповідь: у II чверті.

4) $y = (x - 11)^{2} - 9$

Вершина параболи має координати $(11; - 9)$ . Абсциса додатна, а ордината від’ємна ( $x > 0, y < 0$ ).

Відповідь: у IV чверті.

10.8. Побудуйте графік функції $y = x^{2}$ . Використовуючи цей графік, побудуйте графік функції:

1) $y = x^{2} - 3$ ;

2) $y = x^{2} + 4$ ;

3) $y = (x - 5)^{2}$ ;

4) $y = (x + 2)^{2}$ .

Складемо таблицю значень для базової параболи $y = x^{2}$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Геометричні перетворення:

1) Графік функції $y = x^{2} - 3$ отримуємо в результаті паралельного перенесення графіка $y = x^{2}$ уздовж осі ординат на $3$ одиниці вниз. Вершина — точка $(0; - 3)$ .

2) Графік функції $y = x^{2} + 4$ отримуємо в результаті паралельного перенесення графіка $y = x^{2}$ уздовж осі ординат на $4$ одиниці вгору. Вершина — точка $(0; 4)$ .

3) Графік функції $y = (x - 5)^{2}$ отримуємо в результаті паралельного перенесення графіка $y = x^{2}$ уздовж осі абсцис на $5$ одиниць праворуч. Вершина — точка $(5; 0)$ .

4) Графік функції $y = (x + 2)^{2}$ отримуємо в результаті паралельного перенесення графіка $y = x^{2}$ уздовж осі абсцис на $2$ одиниці ліворуч. Вершина — точка $(- 2; 0)$ .

10.9. Побудуйте графік функції $y = - x^{2}$ . Використовуючи цей графік, побудуйте графік функції:

1) $y = - x^{2} + 1$ ;

2) $y = - x^{2} - 2$ ;

3) $y = - (x - 2)^{2}$ ;

4) $y = - (x + 4)^{2}$ .

Складемо таблицю значень для базової параболи $y = - x^{2}$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 9$	$- 4$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 4$	$- 9$

Геометричні перетворення:

1) Графік функції $y = - x^{2} + 1$ отримуємо перенесенням графіка $y = - x^{2}$ на $1$ одиницю вгору вздовж осі $O y$ . Вершина — точка $(0; 1)$ .

2) Графік функції $y = - x^{2} - 2$ отримуємо перенесенням графіка $y = - x^{2}$ на $2$ одиниці вниз вздовж осі $O y$ . Вершина — точка $(0; - 2)$ .

3) Графік функції $y = - (x - 2)^{2}$ отримуємо перенесенням графіка $y = - x^{2}$ на $2$ одиниці вправо вздовж осі $O x$ . Вершина — точка $(2; 0)$ .

4) Графік функції $y = - (x + 4)^{2}$ отримуємо перенесенням графіка $y = - x^{2}$ на $4$ одиниці вліво вздовж осі $O x$ . Вершина — точка $(- 4; 0)$ .

10.10. Побудуйте графік функції $y = x^{2}$ . Використовуючи цей графік, побудуйте графік функції:

1) $y = (x - 1)^{2} + 2$ ;

2) $y = (x + 3)^{2} - 2$ .

Геометричні перетворення:

1) Графік функції $y = (x - 1)^{2} + 2$ отримуємо паралельним перенесенням параболи $y = x^{2}$ на $1$ одиницю праворуч уздовж осі $O x$ та на $2$ одиниці вгору уздовж осі $O y$ . Вершина розташована в точці $(1; 2)$ .

2) Графік функції $y = (x + 3)^{2} - 2$ отримуємо паралельним перенесенням параболи $y = x^{2}$ на $3$ одиниці ліворуч уздовж осі $O x$ та на $2$ одиниці вниз уздовж осі $O y$ . Вершина розташована в точці $(- 3; - 2)$ .

Таблиця координат вершин та опорних точок:

Функція	Вершина	Точки ліворуч	Точки праворуч
$y = x^{2}$	$(0; 0)$	$(- 2; 4)$ , $(- 1; 1)$	$(1; 1)$ , $(2; 4)$
$y = (x - 1)^{2} + 2$	$(1; 2)$	$(- 1; 6)$ , $(0; 3)$	$(2; 3)$ , $(3; 6)$
$y = (x + 3)^{2} - 2$	$(- 3; - 2)$	$(- 5; 2)$ , $(- 4; - 1)$	$(- 2; - 1)$ , $(- 1; 2)$

10.11. Побудуйте графік функції $y = - x^{2}$ . Використовуючи цей графік, побудуйте графік функції:

1) $y = - (x + 1)^{2} - 1$ ;

2) $y = - (x - 3)^{2} + 4$ .

Геометричні перетворення:

1) Графік функції $y = - (x + 1)^{2} - 1$ отримуємо перенесенням параболи $y = - x^{2}$ на $1$ одиницю ліворуч уздовж осі $O x$ та на $1$ одиницю вниз уздовж осі $O y$ . Вершина — точка $(- 1; - 1)$ .

2) Графік функції $y = - (x - 3)^{2} + 4$ отримуємо перенесенням параболи $y = - x^{2}$ на $3$ одиниці праворуч уздовж осі $O x$ та на $4$ одиниці вгору уздовж осі $O y$ . Вершина — точка $(3; 4)$ .

Таблиця координат вершин та опорних точок:

Функція	Вершина	Опорні точки
$y = - x^{2}$	$(0; 0)$	$(- 2; - 4)$ , $(- 1; - 1)$ , $(1; - 1)$ , $(2; - 4)$
$y = - (x + 1)^{2} - 1$	$(- 1; - 1)$	$(- 3; - 5)$ , $(- 2; - 2)$ , $(0; - 2)$ , $(1; - 5)$
$y = - (x - 3)^{2} + 4$	$(3; 4)$	$(1; 0)$ , $(2; 3)$ , $(4; 3)$ , $(5; 0)$ , $(0; - 5)$

10.12. Побудуйте графік функції $y = (x + 5)^{2} - 9$ . Користуючись графіком, знайдіть:

1) нулі функції;

2) при яких значеннях аргументу функція набуває додатних значень;

3) проміжок зростання та проміжок спадання функції;

4) область значень функції.

Графіком функції $y = (x + 5)^{2} - 9$ є парабола з гілками, напрямленими вгору, і вершиною в точці $(- 5; - 9)$ , отримана паралельним перенесенням параболи $y = x^{2}$ на $5$ одиниць ліворуч і на $9$ одиниць униз.

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 8$	$- 7$	$- 6$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$
$y$	$0$	$- 5$	$- 8$	$- 9$	$- 8$	$- 5$	$0$

1) Знайдіть нулі функції.

Це абсциси точок перетину графіка з віссю $O x$ :
$x = - 8$ та $x = - 2$ .

2) При яких значеннях аргументу функція набуває додатних значень?

Графік розташований вище від осі абсцис ( $y > 0$ ) при:
$x \in (- \infty; - 8) \cup (- 2; + \infty)$ .

3) Знайдіть проміжок зростання та проміжок спадання функції.

Функція спадає на проміжку $(- \infty; - 5]$ і зростає на проміжку $[- 5; + \infty)$ .

4) Знайдіть область значень функції.

Найменше значення функції дорівнює $- 9$ (ордината вершини параболи), тому:
$E (y) = [- 9; + \infty)$ .

10.13.•• Побудуйте графік функції $y = (x -4)^{2} -4$ . Користуючись графіком, знайдіть: 1) нулі функції; 2) при яких значеннях аргументу функція набуває від’ємних значень; 3) проміжок зростання та проміжок спадання функції; 4) область значень функції.

Графіком функції $y = (x - 4)^{2} - 4$ є парабола з вершиною в точці $(4; - 4)$ , вітки якої напрямлені вгору. Графік отримуємо паралельним перенесенням параболи $y = x^{2}$ на $4$ одиниці вправо вздовж осі абсцис і на $4$ одиниці вниз вздовж осі ординат.

Складемо таблицю значень функції за опорними точками:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

За графіком знаходимо властивості:

1) Нулі функції (значення $x$ , при яких $y = 0$ ):
$x = 2$ та $x = 6$

2) Функція набуває від’ємних значень ( $y < 0$ ) при:
$x \in (2; 6)$

3) Проміжок зростання: $[4; + \infty)$ ;
проміжок спадання: $(- \infty; 4]$

4) Область значень функції:
$E (y) = [- 4; + \infty)$

10.14.•• Задайте формулою виду $y = a x^{2} + n$ функцію, графік якої зображено на рисунку 10.7.

а) Вершина параболи лежить на осі $O y$ у точці $(0; - 3)$ , отже, $n = - 3$ .
Графік проходить через точку $(2; 1)$ . Підставимо її координати у формулу:
$1 = a \cdot 2^{2} - 3$
$4 a - 3 = 1$
$4 a = 4$
$a = 1$
Функція має вигляд: $y = x^{2} - 3$ .

б) Вершина параболи лежить на осі $O y$ у точці $(0; - 1)$ , отже, $n = - 1$ .
Графік проходить через точку $(1; - 3)$ . Підставимо її координати у формулу:
$- 3 = a \cdot 1^{2} - 1$
$a - 1 = - 3$
$a = - 2$
Функція має вигляд: $y = - 2 x^{2} - 1$ .

Відповідь: а) $y = x^{2} - 3$ ; б) $y = - 2 x^{2} - 1$ .

10.15.•• Задайте формулою виду $y = a x^{2} + n$ функцію, графік якої зображено на рисунку 10.8.

а) Вершина параболи лежить на осі $O y$ у точці $(0; - 6)$ , отже, $n = - 6$ .
Графік проходить через точку $(2; 2)$ . Підставимо її координати у формулу:
$2 = a \cdot 2^{2} - 6$
$4 a - 6 = 2$
$4 a = 8$
$a = 2$
Функція має вигляд: $y = 2 x^{2} - 6$ .

б) Вершина параболи лежить на осі $O y$ у точці $(0; 4)$ , отже, $n = 4$ .
Графік проходить через точку $(2; 0)$ . Підставимо її координати у формулу:
$0 = a \cdot 2^{2} + 4$
$4 a + 4 = 0$
$4 a = - 4$
$a = - 1$
Функція має вигляд: $y = - x^{2} + 4$ .

Відповідь: а) $y = 2 x^{2} - 6$ ; б) $y = - x^{2} + 4$ .

10.16.•• Задайте формулою виду $y = a (x + m)^{2}$ функцію, графік якої зображено на рисунку 10.9.

а) Вершина параболи лежить на осі $O x$ у точці $(2; 0)$ , отже:
$- m = 2$
$m = - 2$
Графік проходить через точку $(0; 4)$ . Підставимо її координати у формулу:
$4 = a (0 - 2)^{2}$
$4 a = 4$
$a = 1$
Функція має вигляд: $y = (x - 2)^{2}$ .

б) Вершина параболи лежить на осі $O x$ у точці $(- 3; 0)$ , отже:
$- m = - 3$
$m = 3$
Графік проходить через точку $(- 2; - 1)$ . Підставимо її координати у формулу:
$- 1 = a (- 2 + 3)^{2}$
$a \cdot 1^{2} = - 1$
$a = - 1$
Функція має вигляд: $y = - (x + 3)^{2}$ .

Відповідь: а) $y = (x - 2)^{2}$ ; б) $y = - (x + 3)^{2}$ .

10.17.•• Задайте формулою виду $y = a (x + m)^{2}$ функцію, графік якої зображено на рисунку 10.10.

а) Вершина параболи лежить на осі $O x$ у точці $(- 4; 0)$ , отже:
$- m = - 4$
$m = 4$
Графік проходить через точку $(0; 8)$ . Підставимо її координати у формулу:
$8 = a (0 + 4)^{2}$
$16 a = 8$
$a = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
Функція має вигляд: $y = \frac{1}{2} (x + 4)^{2}$ .

б) Вершина параболи лежить на осі $O x$ у точці $(1; 0)$ , отже:
$- m = 1$
$m = - 1$
Графік проходить через точку $(0; - 2)$ . Підставимо її координати у формулу:
$- 2 = a (0 - 1)^{2}$
$a \cdot 1 = - 2$
$a = - 2$
Функція має вигляд: $y = - 2 (x - 1)^{2}$ .

Відповідь: а) $y = \frac{1}{2} (x + 4)^{2}$ ; б) $y = - 2 (x - 1)^{2}$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

10.18. Спростіть вираз:

1) $\frac{5 a - 3}{8 a} + \frac{a + 9}{4 a}$

Зведемо дроби до спільного знаменника $8 a$ :

$\frac{5 a - 3 + 2 ( a + 9 )}{8 a} = \frac{5 a - 3 + 2 a + 18}{8 a} = \frac{7 a + 15}{8 a}$

2) $\frac{5 a - 6 b}{ab} + \frac{5 b - 5 c}{b c}$

Зведемо дроби до спільного знаменника $ab c$ :

$\frac{c ( 5 a - 6 b ) + a ( 5 b - 5 c )}{ab c} = \frac{5 a c - 6 b c + 5 ab - 5 a c}{ab c} = \frac{5 ab - 6 b c}{ab c} = \frac{b ( 5 a - 6 c )}{ab c} = \frac{5 a - 6 c}{a c}$

3) $\frac{8 a + 5 b}{5 a b ^{2}} - \frac{2 a - 7 b}{2 a ^{2} b}$

Зведемо дроби до спільного знаменника $10 a^{2} b^{2}$ :

$\frac{2 a ( 8 a + 5 b ) - 5 b ( 2 a - 7 b )}{10 a ^{2} b ^{2}} = \frac{16 a ^{2} + 10 ab - 10 ab + 35 b ^{2}}{10 a ^{2} b ^{2}} = \frac{16 a ^{2} + 35 b ^{2}}{10 a ^{2} b ^{2}}$

4) $\frac{m ^{2} + 4 n ^{2}}{8 m ^{4} n ^{4}} - \frac{3 m + 4 n}{6 m ^{5} n ^{2}}$

Зведемо дроби до спільного знаменника $24 m^{5} n^{4}$ :

$\frac{3 m ( m ^{2} + 4 n ^{2} ) - 4 n ^{2} ( 3 m + 4 n )}{24 m ^{5} n ^{4}} = \frac{3 m ^{3} + 12 m n ^{2} - 12 m n ^{2} - 16 n ^{3}}{24 m ^{5} n ^{4}} = \frac{3 m ^{3} - 16 n ^{3}}{24 m ^{5} n ^{4}}$

10.19. Запишіть у порядку зростання числа $0, 5292$ (В), $0, 17000$ (Б), $53$ (З), $62$ (Е) та визначте зашифроване прізвище.

Внесемо множники під знак квадратного кореня:

$0, 17000 = 0, 01 \cdot 7000 = 70$ (Б)
$62 = 36 \cdot 2 = 72$ (Е)
$0, 5292 = 0, 25 \cdot 292 = 73$ (В)
$53 = 25 \cdot 3 = 75$ (З)

Оскільки $70 < 72 < 73 < 75$ , порядок зростання чисел такий:
$0, 17000 < 62 < 0, 5292 < 53$

Зашифроване прізвище: БЕВЗ.

Знайдіть в інтернеті інформацію про життя, наукову, педагогічну та літературну діяльність цього педагога, ознайомтеся з його творами.

Григорій Петрович Бевз (1926–2021) — український математик-методист, педагог, кандидат педагогічних наук, багаторічний професор Національного педагогічного університету імені М. П. Драгоманова. Він є автором і співавтором понад сорока класичних шкільних підручників та посібників з геометрії й алгебри для 7–11 класів. Окрім наукової та викладацької праці, Григорій Бевз займався літературною діяльністю, публікував автобіографічні нариси, поезії та краєзнавчі твори про рідний край і історію вітчизняної освіти.

10. Побудова графіків функцій y = x² + b і y = (x + b)²

Теги статті:

До уроку