§ 1. НЕРІВНОСТІ

Назад до змісту

1. У якому разі число $a$ вважають більшим за число $b$? меншим від числа $b$?

Число $a$ вважають більшим за число $b$, якщо різниця $a-b$ є додатним числом. Число $a$ вважають меншим від числа $b$, якщо різниця $a-b$ є від’ємним числом.

2. Як розташована на координатній прямій точка, яка зображає число $a$, відносно точки, яка зображає число $b$, якщо $a>b$?

Якщо $a>b$, то точка, яка зображає число $a$ на координатній прямій, лежить праворуч від точки, яка зображає число $b$.

3. Який символ використовують для вислову «не більше» та як цей символ читають?

Для вислову «не більше» використовують символ $\le$ (читають: «менше або дорівнює»).

4. Який символ використовують для вислову «не менше» та як цей символ читають?

Для вислову «не менше» використовують символ $\ge$ (читають: «більше або дорівнює»).

ВПРАВИ

1.1.° Порівняйте числа $a$ і $b$, якщо: 1) $a-b=0,4$; 2) $a-b=-3$; 3) $a-b=0$; 4) $a+5=b$.

1) Оскільки різниця $a-b=0,4>0$ (є додатним числом), то $a>b$.

Відповідь: $a>b$.

2) Оскільки різниця $a-b=-3<0$ (є від’ємним числом), то $a<b$.

Відповідь: $a<b$.

3) Оскільки різниця $a-b=0$, то $a=b$.

Відповідь: $a=b$.

4) Перенесемо $b$ у ліву частину, а $5$ — у праву:

$a-b=-5$

Оскільки різниця $a-b=-5<0$ (є від’ємним числом), то $a<b$.

Відповідь: $a<b$.

1.2.° Яке із чисел, $x$ або $y$, є більшим, якщо:
1) $x-y=-8$;
2) $y-x=10$;
3) $x-6=y$?

1) Оскільки різниця $x-y=-8<0$, то $x<y$.

Відповідь: більшим є число $y$.

2) Оскільки різниця $y-x=10>0$, то $y>x$.

Відповідь: більшим є число $y$.

3) Перенесемо змінну $y$ у ліву частину, а число $-6$ — у праву:

$x-y=6$

Оскільки різниця $x-y=6>0$, то $x>y$.

Відповідь: більшим є число $x$.

1.3.° Відомо, що $m<n$. Чи може різниця $m-n$ дорівнювати числу:
1) $4,6$;
2) $-5,2$;
3) $0$?

За означенням, якщо $m<n$, то різниця $m-n$ є від’ємним числом ($m-n<0$).

1) Число $4,6>0$, тому різниця $m-n$ не може дорівнювати $4,6$.

Відповідь: ні.

2) Число $-5,2<0$, тому різниця $m-n$ може дорівнювати $-5,2$.

Відповідь: так.

3) Якщо $m-n=0$, то $m=n$, що суперечить умові $m<n$.

Відповідь: ні.

1.4.° Відомо, що $b>c$. Чи може різниця $b-c$ дорівнювати числу:
1) $-1,6$;
2) $2,7$?

За означенням, якщо $b>c$, то різниця $b-c$ є додатним числом ($b-c>0$).

1) Число $-1,6<0$, тому різниця $b-c$ не може дорівнювати $-1,6$.

Відповідь: ні.

2) Число $2,7>0$, тому різниця $b-c$ може дорівнювати $2,7$.

Відповідь: так.

1.5.° Як розташована на координатній прямій точка $A(a)$ відносно точки $B(b)$, якщо:
1) $a-b=2$;
2) $a-b=-6$;
3) $a-b=0$;
4) $b-a=\sqrt{2}$?

1) Оскільки $a-b=2>0$, то $a>b$. Точка $A(a)$ розташована праворуч від точки $B(b)$ на відстані $2$ одиничних відрізки.

Відповідь: точка $A(a)$ розташована праворуч від точки $B(b)$.

2) Оскільки $a-b=-6<0$, то $a<b$. Точка $A(a)$ розташована ліворуч від точки $B(b)$ на відстані $6$ одиничних відрізків.

Відповідь: точка $A(a)$ розташована ліворуч від точки $B(b)$.

3) Оскільки $a-b=0$, то $a=b$. Точки $A(a)$ та $B(b)$ збігаються.

Відповідь: точки $A(a)$ і $B(b)$ збігаються.

4) Оскільки $b-a=\sqrt{2}>0$, то $b>a$, тобто $a<b$. Точка $A(a)$ розташована ліворуч від точки $B(b)$ на відстані $\sqrt{2}$ одиничних відрізка.

Відповідь: точка $A(a)$ розташована ліворуч від точки $B(b)$.

1.6.° На координатній прямій позначено числа $a$, $b$ і $c$ (рис. 1.4). Чи є правильною нерівність:
1) $a<b$;
2) $c\ge 0$;
3) $b>c$;
4) $a>c$?
Обговоріть свою думку з однокласниками й однокласницями.

Згідно з рисунком 1.4, точки на координатній прямій розташовані зліва направо у такому порядку: $a$, $b$, $0$, $c$. Отже, справджується нерівність: $a<b<0<c$.

1) Точка $a$ лежить лівіше від точки $b$, тому $a<b$.

Відповідь: нерівність є правильною.

2) Точка $c$ лежить праворуч від початку відліку $0$, отже, $c>0$, тому нестрога нерівність $c\ge 0$ також виконується.

Відповідь: нерівність є правильною.

3) Точка $b$ лежить лівіше від початку відліку ($b<0$), а точка $c$ — праворуч ($c>0$). Від’ємне число завжди менше від додатного ($b<c$).

Відповідь: нерівність є неправильною.

4) Точка $a$ лежить лівіше від точки $c$, тому $a<c$.

Відповідь: нерівність є неправильною.

1.7.° На координатній прямій позначили числа $m$, $n$, $p$ і $k$ (рис. 1.5). Порівняйте числа:
1) $m$ і $k$;
2) $p$ і $n$;
3) $n$ і $k$;
4) $p$ і $m$.

На координатній прямій із двох чисел більшим є те, яке розташоване праворуч, а меншим — те, яке розташоване ліворуч. За рисунком 1.5 точки розташовані в порядку зростання зліва направо: $m$, $n$, $p$, $k$.

1) $m<k$, оскільки точка $m$ лежить лівіше від точки $k$;

2) $p>n$, оскільки точка $p$ лежить правіше від точки $n$;

3) $n<k$, оскільки точка $n$ лежить лівіше від точки $k$;

4) $p>m$, оскільки точка $p$ лежить правіше від точки $m$.

Відповідь:

1) $m<k$;

2) $p>n$;

3) $n<k$;

4) $p>m$.

1.8.° Чи можуть одночасно виконуватися нерівності: 1) $a>b$ і $a<b$; 2) $a\ge b$ і $a\le b$?

1) Нерівності $a>b$ і $a<b$ одночасно виконуватися не можуть, оскільки для будь-яких двох дійсних чисел $a$ і $b$ справедливе лише одне з трьох співвідношень: $a>b$, $a<b$ або $a=b$.

2) Нерівності $a\ge b$ і $a\le b$ можуть виконуватися одночасно у випадку, коли $a=b$.

Відповідь: 1) ні; 2) так, за умови $a=b$.

1.9.° Як ви думаєте, чи можна стверджувати, що при будь-якому значенні змінної є правильною нерівність: 1) $a^2>0$; 2) $a^2+2>0$; 3) $-a<0$; 4) $(a+2{)}^2\ge 0$? Обговоріть свою думку з однокласниками й однокласницями.

1) Стверджувати не можна. Якщо $a=0$, то $a^2=0$, а нерівність $0>0$ є неправильною. Правильною для будь-якого $a$ є нестрога нерівність $a^2\ge 0$.

2) Стверджувати можна. Для будь-якого дійсного числа $a$ значення $a^2\ge 0$, тому $a^2+2\ge 2>0$.

3) Стверджувати не можна. Якщо $a\le 0$, нерівність стає неправильною (наприклад, при $a=-3$ маємо $-(-3)=3>0$, а при $a=0$ маємо $0<0$ — хибне висловлювання).

4) Стверджувати можна. Квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним числом, тобто $(a+2{)}^2\ge 0$ при всіх дійсних значеннях $a$.

Відповідь:

1) ні;

2) так;

3) ні;

4) так.

1.10.° Порівняйте значення виразів $4(b+1)$ і $b-2$ при значенні $b$, що дорівнює: 1) $-1$; 2) $0$; 3) $3$. Як ви думаєте, чи можна стверджувати, що при будь-якому значенні $b$ значення виразу $4(b+1)$ більше за відповідне значення виразу $b-2$? Обговоріть це питання у класі.

1) При $b=-1$:

$4(b+1)=4(-1+1)=4\cdot 0=0$

$b-2=-1-2=-3$

Оскільки $0>-3$, то $4(b+1)>b-2$.

2) При $b=0$:

$4(b+1)=4(0+1)=4\cdot 1=4$

$b-2=0-2=-2$

Оскільки $4>-2$, то $4(b+1)>b-2$.

3) При $b=3$:

$4(b+1)=4(3+1)=4\cdot 4=16$

$b-2=3-2=1$

Оскільки $16>1$, то $4(b+1)>b-2$.

Дослідимо різницю виразів при довільному значенні змінної $b$:

$4(b+1)-(b-2)=4b+4-b+2=3b+6$

Знак різниці залежить від значення $b$:

• якщо $3b+6>0$, тобто $b>-2$, то $4(b+1)>b-2$;
• якщо $b=-2$, то вирази рівні: $4(-2+1)=-4$ та $-2-2=-4$;
• якщо $3b+6<0$, тобто $b<-2$ (наприклад, при $b=-3$: $4(-3+1)=-8$, а $-3-2=-5$, отже, $-8<-5$), то $4(b+1)<b-2$.

Отже, стверджувати, що при будь-якому значенні $b$ значення виразу $4(b+1)$ більше за відповідне значення виразу $b-2$, не можна.

Відповідь:

1) $4(b+1)>b-2$;

2) $4(b+1)>b-2$;

3) $4(b+1)>b-2$.
Ні, стверджувати не можна.

1.11.° Доведіть, що при будь-якому значенні змінної є правильною нерівність:

1) $6x-5<3(2x-1)$;

2) $(a+3)(a+1)>a(a+4)$;

3) $(c-4)(c+4)>c^2-20$;

4) $3(b-4)+2b<5b-10$;

5) $x(x+6)-x^2<2(3x+1)$;

6) $(y+5)(y-2)\ge 3y-10$;

7) $a(a-2)\ge -1$;

8) $(b+7{)}^2>14b+40$.

Для доведення нерівностей знайдемо різницю між їхніми лівими та правими частинами й визначимо її знак.

1) Розглянемо різницю лівої і правої частин:

$(6x-5)-3(2x-1)=6x-5-6x+3=-2$

Оскільки $-2<0$, то різниця є від’ємною при будь-якому $x$. Отже, нерівність $6x-5<3(2x-1)$ є правильною при будь-якому значенні $x$.

2) Розглянемо різницю лівої і правої частин:

$(a+3)(a+1)-a(a+4)=a^2+a+3a+3-a^2-4a=3$

Оскільки $3>0$, то різниця є додатною при будь-якому $a$. Отже, нерівність $(a+3)(a+1)>a(a+4)$ є правильною при будь-якому значенні $a$.

3) Розглянемо різницю лівої і правої частин:

$(c-4)(c+4)-(c^2-20)=c^2-16-c^2+20=4$

Оскільки $4>0$, то різниця є додатною при будь-якому $c$. Отже, нерівність $(c-4)(c+4)>c^2-20$ є правильною при будь-якому значенні $c$.

4) Розглянемо різницю лівої і правої частин:

$(3(b-4)+2b)-(5b-10)=3b-12+2b-5b+10=-2$

Оскільки $-2<0$, то різниця є від’ємною при будь-якому $b$. Отже, нерівність $3(b-4)+2b<5b-10$ є правильною при будь-якому значенні $b$.

5) Розглянемо різницю лівої і правої частин:

$(x(x+6)-x^2)-2(3x+1)=x^2+6x-x^2-6x-2=-2$

Оскільки $-2<0$, то різниця є від’ємною при будь-якому $x$. Отже, нерівність $x(x+6)-x^2<2(3x+1)$ є правильною при будь-якому значенні $x$.

6) Розглянемо різницю лівої і правої частин:

$(y+5)(y-2)-(3y-10)=y^2-2y+5y-10-3y+10=y^2$

Оскільки $y^2\ge 0$ для будь-якого дійсного числа $y$, то різниця є невід’ємною. Отже, нерівність $(y+5)(y-2)\ge 3y-10$ є правильною при будь-якому значенні $y$.

7) Розглянемо різницю лівої і правої частин:

$a(a-2)-(-1)=a^2-2a+1=(a-1{)}^2$

Оскільки $(a-1{)}^2\ge 0$ для будь-якого дійсного числа $a$, то різниця є невід’ємною. Отже, нерівність $a(a-2)\ge -1$ є правильною при будь-якому значенні $a$.

8) Розглянемо різницю лівої і правої частин:

$(b+7{)}^2-(14b+40)=b^2+14b+49-14b-40=b^2+9$

Оскільки $b^2\ge 0$ при будь-якому значенні $b$, то $b^2+9\ge 9>0$. Отже, різниця є додатною при будь-якому $b$, що доводить правильність нерівності $(b+7{)}^2>14b+40$.

1.12.° Доведіть, що при будь-якому значенні змінної є правильною нерівність:

1) $5a+12>5(a+2)$;

2) $(p-3)(p+4)<p(p+1)$;

3) $(x+1{)}^2>x(x+2)$;

4) $y(y+8)<(y+4{)}^2$;

5) $(2a-5{)}^2\le 6a^2-20a+25$;

6) $a^2+4\ge 4a$.

1) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$(5a+12)-5(a+2)=5a+12-5a-10=2$

Оскільки $2>0$, різниця є додатною при будь-якому значенні $a$. Отже, нерівність $5a+12>5(a+2)$ є правильною при будь-якому значенні змінної.

2) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$(p-3)(p+4)-p(p+1)=p^2+4p-3p-12-p^2-p=-12$

Оскільки $-12<0$, різниця є від’ємною при будь-якому значенні $p$. Отже, нерівність $(p-3)(p+4)<p(p+1)$ є правильною при будь-якому значенні змінної.

3) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$(x+1{)}^2-x(x+2)=x^2+2x+1-x^2-2x=1$

Оскільки $1>0$, різниця є додатною при будь-якому значенні $x$. Отже, нерівність $(x+1{)}^2>x(x+2)$ є правильною при будь-якому значенні змінної.

4) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$y(y+8)-(y+4{)}^2=y^2+8y-(y^2+8y+16)=y^2+8y-y^2-8y-16=-16$

Оскільки $-16<0$, різниця є від’ємною при будь-якому значенні $y$. Отже, нерівність $y(y+8)<(y+4{)}^2$ є правильною при будь-якому значенні змінної.

5) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$(2a-5{)}^2-(6a^2-20a+25)=4a^2-20a+25-6a^2+20a-25=-2a^2$

Оскільки $a^2\ge 0$ для будь-якого дійсного $a$, то $-2a^2\le 0$. Різниця є недодатною при будь-якому значенні $a$. Отже, нерівність $(2a-5{)}^2\le 6a^2-20a+25$ є правильною при будь-якому значенні змінної.

6) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$a^2+4-4a=a^2-4a+4=(a-2{)}^2$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, то $(a-2{)}^2\ge 0$ при будь-якому значенні $a$. Отже, нерівність $a^2+4\ge 4a$ є правильною при будь-якому значенні змінної.

1.13.• Як ви думаєте, чи є правильним твердження:
1) якщо $a>b$, то $\frac{a}{b}>1$;
2) якщо $a<1$, то $\frac{2}{a}>2$;
3) якщо $\frac{a}{b}>1$, то $a>b$;
4) якщо $a^2>1$, то $a>1$?
Обговоріть це питання у класі.

1) Твердження є неправильним.

Якщо числа мають різні знаки або є від’ємними, нерівність не виконується. Наприклад, при $a=2$ та $b=-3$ маємо $2>-3$, але $\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}<1$. Також при $a=-2$ та $b=-5$ маємо $-2>-5$, але $\frac{-2}{-5}=0,4<1$.

2) Твердження є неправильним.

Якщо число $a$ є від’ємним, то частка буде від’ємною. Наприклад, при $a=-1<1$ маємо $\frac{2}{-1}=-2<2$. Крім того, при $a=0$ вираз $\frac{2}{a}$ взагалі не має змісту.

3) Твердження є неправильним.

Якщо знаменник $b$ є від’ємним числом, то при множенні обох частин нерівності на $b$ знак нерівності змінюється на протилежний. Наприклад, при $a=-4$ та $b=-2$ маємо $\frac{-4}{-2}=2>1$, проте $-4<-2$, тобто $a<b$.

4) Твердження є неправильним.

Нерівність $a^2>1$ виконується не лише для $a>1$, а й для чисел, менших від $-1$. Наприклад, при $a=-3$ маємо $(-3{)}^2=9>1$, проте $-3<1$.

Відповідь: 1) ні; 2) ні; 3) ні; 4) ні.

1.14.• Доведіть нерівність:
1) $(3a+2)(2a-4)-(2a-5{)}^2>3(4a-12)$;
2) $(a-b)(a+5b)\le (2a+b)(a+4b)+ab$;
3) $4b^2+4b+3>0$;
4) $a(a-3)>5(a-4)$;
5) $2a^2-8a+16>0$;
6) $a^2+ab+b^2\ge 0$.

1) Розглянемо різницю лівої та правої частин:

$(3a+2)(2a-4)-(2a-5{)}^2-3(4a-12)$

$=(6a^2-12a+4a-8)-(4a^2-20a+25)-(12a-36)$

$=6a^2-8a-8-4a^2+20a-25-12a+36=2a^2+3$

Оскільки $a^2\ge 0$, то $2a^2+3\ge 3>0$ при будь-якому значенні $a$. Різниця є строго додатною, отже, нерівність доведено.

2) Розглянемо різницю лівої та правої частин:

$(a-b)(a+5b)-((2a+b)(a+4b)+ab)$

$=(a^2+5ab-ab-5b^2)-(2a^2+8ab+ab+4b^2+ab)$

$=(a^2+4ab-5b^2)-(2a^2+10ab+4b^2)$

$=a^2+4ab-5b^2-2a^2-10ab-4b^2=-a^2-6ab-9b^2$

$=-(a^2+6ab+9b^2)=-(a+3b{)}^2$

Оскільки $(a+3b{)}^2\ge 0$ для будь-яких дійсних чисел $a$ і $b$, то $-(a+3b{)}^2\le 0$. Різниця є недодатною, отже, нерівність доведено.

3) Виділимо квадрат двочлена у виразі:

$4b^2+4b+3=(4b^2+4b+1)+2=(2b+1{)}^2+2$

Оскільки $(2b+1{)}^2\ge 0$, то $(2b+1{)}^2+2\ge 2>0$ при будь-якому значенні $b$. Нерівність доведено.

4) Розглянемо різницю лівої та правої частин:

$a(a-3)-5(a-4)=a^2-3a-5a+20=a^2-8a+20=(a^2-8a+16)+4=(a-4{)}^2+4$

Оскільки $(a-4{)}^2\ge 0$, то $(a-4{)}^2+4\ge 4>0$ при будь-якому значенні $a$. Нерівність доведено.

5) Виділимо квадрат двочлена:

$2a^2-8a+16=2(a^2-4a+8)=2((a^2-4a+4)+4)=2(a-2{)}^2+8$

Оскільки $2(a-2{)}^2\ge 0$, то $2(a-2{)}^2+8\ge 8>0$ при будь-якому значенні $a$. Нерівність доведено.

6) Виділимо повний квадрат відносно змінної $a$:

$a^2+ab+b^2=a^2+2\cdot a\cdot \frac{b}{2}+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{b}^2={\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{b}^2$

Оскільки ${\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2\ge 0$ та $\frac{3}{4}{b}^2\ge 0$ при будь-яких значеннях $a$ і $b$, сума двох невід’ємних чисел є невід’ємною: ${\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{b}^2\ge 0$. Нерівність доведено.

1.15.• Доведіть нерівність:
1) $9x^2-6xy+4y^2\ge 0$;
2) $28a-32\le 7a^2-4$;
3) $3(b-1)<b(b+1)$.

1) Виділимо повний квадрат у виразі:

$9x^2-6xy+4y^2=(9x^2-6xy+y^2)+3y^2=(3x-y{)}^2+3y^2$

Оскільки $(3x-y{)}^2\ge 0$ та $3y^2\ge 0$ для всіх дійсних чисел $x$ і $y$, сума двох невід’ємних виразів є невід’ємною:

$(3x-y{)}^2+3y^2\ge 0$

Нерівність доведено.

2) Знайдемо різницю лівої та правої частин:

$(28a-32)-(7a^2-4)=28a-32-7a^2+4=-7a^2+28a-28=-7(a^2-4a+4)=-7(a-2{)}^2$

Оскільки $(a-2{)}^2\ge 0$, то $-7(a-2{)}^2\le 0$ для будь-якого значення $a$. Різниця є недодатною, отже, $28a-32\le 7a^2-4$. Нерівність доведено.

3) Знайдемо різницю лівої та правої частин:

$3(b-1)-b(b+1)=3b-3-b^2-b=-b^2+2b-3=-(b^2-2b+1)-2=-(b-1{)}^2-2$

Оскільки $-(b-1{)}^2\le 0$, то $-(b-1{)}^2-2\le -2<0$ при будь-якому значенні $b$. Різниця є від’ємною, отже, $3(b-1)<b(b+1)$. Нерівність доведено.

1.16. Порівняйте суму квадратів двох довільних чисел та їхній подвоєний добуток.

Нехай задано два довільних дійсних числа $a$ і $b$.

Сума їхніх квадратів дорівнює $a^2+b^2$, а подвоєний добуток — $2ab$.

Знайдемо різницю між сумою квадратів і подвоєним добутком:

$(a^2+b^2)-2ab=a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним для будь-яких $a$ і $b$:

$(a-b{)}^2\ge 0$

Звідси випливає:

$a^2+b^2-2ab\ge 0$

$a^2+b^2\ge 2ab$

Рівність $a^2+b^2=2ab$ досягається тоді й тільки тоді, коли $a=b$.

Відповідь: сума квадратів двох довільних чисел не менша від їхнього подвоєного добутку ($a^2+b^2\ge 2ab$).

1.17.•• Дано три послідовних натуральних числа. Порівняйте:
1) квадрат середнього із цих чисел і добуток двох інших;
2) подвоєний квадрат середнього із цих чисел і суму квадратів двох інших.

Позначимо три послідовних натуральних числа як $n-1$, $n$ та $n+1$, де $n\ge 2$, $n\in \mathbb{N}$. Середнім із цих чисел є $n$.

1) Порівняємо квадрат середнього числа $n^2$ та добуток двох інших чисел $(n-1)(n+1)$. Знайдемо їхню різницю:

$n^2-(n-1)(n+1)=n^2-(n^2-1)=n^2-n^2+1=1$

Оскільки різниця $1>0$, то $n^2>(n-1)(n+1)$.

Відповідь: квадрат середнього із цих чисел більший за добуток двох інших на $1$.

2) Порівняємо подвоєний квадрат середнього числа $2n^2$ та суму квадратів двох інших чисел $(n-1{)}^2+(n+1{)}^2$. Знайдемо їхню різницю:

$2n^2-\left((n-1{)}^2+(n+1{)}^2\right)=2n^2-\left(n^2-2n+1+n^2+2n+1\right)=2n^2-(2n^2+2)=-2$

Оскільки різниця $-2<0$, то $2n^2<(n-1{)}^2+(n+1{)}^2$.

Відповідь: подвоєний квадрат середнього із цих чисел менший від суми квадратів двох інших на $2$.

1.18.•• Порівняйте суму квадратів двох додатних чисел і квадрат їхньої суми.

Нехай задано два додатних числа $a>0$ і $b>0$.

Сума їхніх квадратів дорівнює $a^2+b^2$, а квадрат їхньої суми — $(a+b{)}^2$.

Знайдемо різницю між сумою квадратів і квадратом суми:

$(a^2+b^2)-(a+b{)}^2=a^2+b^2-(a^2+2ab+b^2)=-2ab$

Оскільки за умовою $a>0$ і $b>0$, то добуток $ab>0$, а отже:

$-2ab<0$

Оскільки різниця є від’ємною, то:

$a^2+b^2<(a+b{)}^2$

Відповідь: сума квадратів двох додатних чисел менша від квадрата їхньої суми ($a^2+b^2<(a+b{)}^2$).

1.19.•• Як зміниться — збільшиться чи зменшиться — правильний дріб $\frac{a}{b}$, де $a>0$, $b>0$, якщо його чисельник і знаменник збільшити на одне й те саме число?

Оскільки дріб $\frac{a}{b}$ є правильним і $a>0$, $b>0$, то виконується нерівність $a<b$, звідки $b-a>0$.

Нехай чисельник і знаменник збільшили на деяке додатне число $c>0$. Отримали новий дріб $\frac{a+c}{b+c}$.

Порівняємо новий дріб із початковим, склавши їхню різницю:

$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)-a(b+c)}{b(b+c)}=\frac{ab+bc-ab-ac}{b(b+c)}=\frac{c(b-a)}{b(b+c)}$

Оскільки $c>0$, $b-a>0$, $b>0$ та $b+c>0$, то чисельник і знаменник дробу є додатними, а отже:

$\frac{c(b-a)}{b(b+c)}>0⟹\frac{a+c}{b+c}>\frac{a}{b}$

Відповідь: збільшиться.

1.20.•• Як зміниться — збільшиться чи зменшиться — неправильний дріб $\frac{a}{b}$, де $a>0$, $b>0$, якщо його чисельник і знаменник збільшити на одне й те саме число?

Оскільки дріб $\frac{a}{b}$ є неправильним (і $\frac{a}{b}\ne 1$), то $a>b$, звідки $b-a<0$.

Нехай чисельник і знаменник збільшили на додатне число $c>0$. Отримали дріб $\frac{a+c}{b+c}$.

Знайдемо різницю між новим і початковим дробами:

$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)-a(b+c)}{b(b+c)}=\frac{ab+bc-ab-ac}{b(b+c)}=\frac{c(b-a)}{b(b+c)}$

Оскільки $c>0$, $b-a<0$, $b>0$ та $b+c>0$, чисельник дробу є від’ємним, а знаменник — додатним:

$\frac{c(b-a)}{b(b+c)}<0$

Отже:

$\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}$

(Якщо $a=b$, тобто дріб дорівнює $1$, то значення дробу не зміниться).

Відповідь: неправильний дріб (не рівний $1$) зменшиться (якщо дріб дорівнює $1$, то не зміниться).

1.21.•• Доведіть, що сума будь-яких двох взаємно обернених додатних чисел не менша від 2.

Нехай дано додатне число $a>0$. Взаємно оберненим до нього є число $\frac{1}{a}$.

Потрібно довести, що для будь-якого $a>0$ виконується нерівність:

$a+\frac{1}{a}\ge 2$

Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2-2a+1}{a}=\frac{(a-1{)}^2}{a}$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, тобто $(a-1{)}^2\ge 0$, а знаменник $a>0$ за умовою, то дріб $\frac{(a-1{)}^2}{a}\ge 0$.

Звідси випливає:

$a+\frac{1}{a}-2\ge 0⟹a+\frac{1}{a}\ge 2$

Нерівність доведено (рівність досягається при $a=1$).

1.22.•• Доведіть, що сума будь-яких двох взаємно обернених від’ємних чисел не більша за –2.

Нехай $a$ — довільне від’ємне число ($a<0$). Тоді числом, взаємно оберненим до нього, є $\frac{1}{a}$.

Потрібно довести, що:

$a+\frac{1}{a}\le -2$

Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$a+\frac{1}{a}-(-2)=a+\frac{1}{a}+2=\frac{a^2+2a+1}{a}=\frac{(a+1{)}^2}{a}$

Проаналізуємо знаки чисельника та знаменника отриманого дробу:

• Чисельник $(a+1{)}^2\ge 0$ для будь-якого дійсного числа $a$;
• Знаменник $a<0$ за умовою.

Частка невід’ємного числа й від’ємного числа є недодатним числом, тобто:

$\frac{(a+1{)}^2}{a}\le 0$

Оскільки різниця лівої та правої частин є недодатною, то:

$a+\frac{1}{a}\le -2$

Нерівність доведено.

1.23.•• Чи є правильною дана нерівність при будь-яких значеннях $a$ і $b$:

1) $\frac{a^2-b^2}{a^2+1}>1$;

2) $\frac{a^2-b^2}{b^2+1}>-1$?

1) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$\frac{a^2-b^2}{a^2+1}-1=\frac{a^2-b^2-(a^2+1)}{a^2+1}=\frac{a^2-b^2-a^2-1}{a^2+1}=\frac{-b^2-1}{a^2+1}=-\frac{b^2+1}{a^2+1}$

Оскільки для будь-яких дійсних значень $a$ і $b$ маємо $a^2\ge 0$ та $b^2\ge 0$, то $a^2+1>0$ і $b^2+1>0$. Отже:

$-\frac{b^2+1}{a^2+1}<0$

Різниця лівої та правої частин є строго від’ємною при всіх значеннях $a$ і $b$, тому $\frac{a^2-b^2}{a^2+1}<1$.

Відповідь: ні (нерівність не є правильною).

2) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$\frac{a^2-b^2}{b^2+1}-(-1)=\frac{a^2-b^2+(b^2+1)}{b^2+1}=\frac{a^2-b^2+b^2+1}{b^2+1}=\frac{a^2+1}{b^2+1}$

Оскільки $a^2\ge 0$ та $b^2\ge 0$, то $a^2+1\ge 1>0$ і $b^2+1\ge 1>0$. Частка двох строго додатних чисел завжди більша за нуль:

$\frac{a^2+1}{b^2+1}>0$

Оскільки різниця завжди є додатною, нерівність $\frac{a^2-b^2}{b^2+1}>-1$ виконується при будь-яких значеннях $a$ і $b$.

Відповідь: так (нерівність є правильною).

1.24.•• Доведіть, що при всіх значеннях змінної є правильною нерівність:

1) $\frac{a^2}{a^4+1}\le \frac{1}{2}$;

2) $\frac{(5a+1{)}^2}{5}\ge 4a$.

1) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$\frac{a^2}{a^4+1}-\frac{1}{2}=\frac{2a^2-(a^4+1)}{2(a^4+1)}=\frac{-(a^4-2a^2+1)}{2(a^4+1)}=-\frac{(a^2-1{)}^2}{2(a^4+1)}$

Для будь-якого дійсного значення $a$:

Чисельник $(a^2-1{)}^2\ge 0$.

Знаменник $2(a^4+1)>0$, оскільки $a^4\ge 0$, отже $a^4+1\ge 1$.

Звідси:

$-\frac{(a^2-1{)}^2}{2(a^4+1)}\le 0$

Оскільки різниця лівої та правої частин недодатна, то $\frac{a^2}{a^4+1}\le \frac{1}{2}$. Нерівність доведено.

2) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$\frac{(5a+1{)}^2}{5}-4a=\frac{25a^2+10a+1-20a}{5}=\frac{25a^2-10a+1}{5}=\frac{(5a-1{)}^2}{5}$

Оскільки $(5a-1{)}^2\ge 0$ при будь-якому значенні $a$ і знаменник $5>0$, маємо:

$\frac{(5a-1{)}^2}{5}\ge 0$

Оскільки різниця невід’ємна, то $\frac{(5a+1{)}^2}{5}\ge 4a$. Нерівність доведено.

1.25.•• Доведіть нерівність:

1) $a^2+b^2+6a-4b+13\ge 0$;

2) $x^2-2x+y^2+10y+28>0$;

3) $a^2+b^2+c^2+12\ge 4(a+b+c)$;

4) $a^2{b}^2+a^2+b^2+1\ge 4ab$.

1) Виділимо повні квадрати в лівій частині нерівності:

$a^2+b^2+6a-4b+13=(a^2+6a+9)+(b^2-4b+4)=(a+3{)}^2+(b-2{)}^2$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, то $(a+3{)}^2\ge 0$ та $(b-2{)}^2\ge 0$. Сума двох невід’ємних чисел є невід’ємною:

$(a+3{)}^2+(b-2{)}^2\ge 0$

Отже, $a^2+b^2+6a-4b+13\ge 0$. Нерівність доведено.

2) Виділимо повні квадрати в лівій частині нерівності:

$x^2-2x+y^2+10y+28=(x^2-2x+1)+(y^2+10y+25)+2=(x-1{)}^2+(y+5{)}^2+2$

Оскільки $(x-1{)}^2\ge 0$ та $(y+5{)}^2\ge 0$ для всіх дійсних значень $x$ і $y$, то:

$(x-1{)}^2+(y+5{)}^2+2\ge 0+0+2=2>0$

Отже, $x^2-2x+y^2+10y+28>0$. Нерівність доведено.

3) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$a^2+b^2+c^2+12-4(a+b+c)=a^2-4a+b^2-4b+c^2-4c+12$

Подамо число $12$ як суму трьох четвірок ($4+4+4$) та згрупуємо доданки:

$(a^2-4a+4)+(b^2-4b+4)+(c^2-4c+4)=(a-2{)}^2+(b-2{)}^2+(c-2{)}^2$

Оскільки $(a-2{)}^2\ge 0$, $(b-2{)}^2\ge 0$ та $(c-2{)}^2\ge 0$, сума квадратів є невід’ємною:

$(a-2{)}^2+(b-2{)}^2+(c-2{)}^2\ge 0$

Отже, $a^2+b^2+c^2+12\ge 4(a+b+c)$. Нерівність доведено.

4) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$a^2{b}^2+a^2+b^2+1-4ab=(a^2{b}^2-2ab+1)+(a^2-2ab+b^2)=(ab-1{)}^2+(a-b{)}^2$

Оскільки $(ab-1{)}^2\ge 0$ та $(a-b{)}^2\ge 0$ при будь-яких дійсних значеннях $a$ і $b$, їх сума є невід’ємною:

$(ab-1{)}^2+(a-b{)}^2\ge 0$

Отже, $a^2{b}^2+a^2+b^2+1\ge 4ab$. Нерівність доведено.

1.26.•• Доведіть нерівність:

1) $a^2+b^2-16a+14b+114>0$

Виділимо повні квадрати у лівій частині нерівності:

$a^2+b^2-16a+14b+114=(a^2-16a+64)+(b^2+14b+49)+1=(a-8{)}^2+(b+7{)}^2+1$

Оскільки $(a-8{)}^2\ge 0$ та $(b+7{)}^2\ge 0$ при будь-яких дійсних значеннях $a$ і $b$, то:

$(a-8{)}^2+(b+7{)}^2+1\ge 0+0+1=1>0$

Отже, $a^2+b^2-16a+14b+114>0$.

2) $x^2+y^2+10\ge 6x-2y$

Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$x^2+y^2+10-(6x-2y)=x^2-6x+y^2+2y+10$

Подамо число $10$ як суму $9+1$ і виділимо повні квадрати:

$(x^2-6x+9)+(y^2+2y+1)=(x-3{)}^2+(y+1{)}^2$

Оскільки $(x-3{)}^2\ge 0$ та $(y+1{)}^2\ge 0$ для будь-яких дійсних значень $x$ і $y$, маємо:

$(x-3{)}^2+(y+1{)}^2\ge 0$

Оскільки різниця лівої та правої частин є невід’ємною, то $x^2+y^2+10\ge 6x-2y$.

1.27. Як ви думаєте, чи виконується нерівність $\frac{a^2+4}{2}\ge \sqrt{a^2+3}$ при всіх значеннях $a$? Обговоріть це питання з однокласниками й однокласницями.*

Нерівність виконується при всіх дійсних значеннях $a$.

Для доведення розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$\frac{a^2+4}{2}-\sqrt{a^2+3}$

Подамо чисельник $a^2+4$ у вигляді $(a^2+3)+1$:

$\frac{(a^2+3)+1}{2}-\sqrt{a^2+3}=\frac{(a^2+3)-2\sqrt{a^2+3}+1}{2}$

Оскільки $a^2+3=(\sqrt{a^2+3}{)}^2$, згорнемо чисельник за формулою квадрата різниці:

$\frac{(\sqrt{a^2+3}{)}^2-2\sqrt{a^2+3}+1}{2}=\frac{(\sqrt{a^2+3}-1{)}^2}{2}$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, тобто $(\sqrt{a^2+3}-1{)}^2\ge 0$, а знаменник $2>0$, то весь дріб $\frac{(\sqrt{a^2+3}-1{)}^2}{2}\ge 0$.

Різниця лівої та правої частин є невід’ємною, отже, нерівність $\frac{a^2+4}{2}\ge \sqrt{a^2+3}$ є правильною при всіх значеннях $a$.

Відповідь: так, нерівність виконується при всіх значеннях $a$.

1.28. Доведіть, що при всіх значеннях змінної є правильною нерівність $\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge 2$.*

Оскільки для будь-якого дійсного значення $a$ виконується $a^2+1\ge 1>0$, то вираз $\sqrt{a^2+1}$ визначений і набуває строго додатних значень при всіх $a\in \mathbb{R}$.