Завдання для перевірки знань до 1–4

Назад до змісту

1. Які з виразів є цілими, а які – дробовими:

• Цілі вирази: 1, 3, 4
• Дробові вирази: 2

2. Скоротіть дріб:

$\dfrac{m^2}{mn} = \dfrac{m}{n}$

$\dfrac{4ab}{4bc} = \dfrac{a}{c}$

3. Виконайте дію:

$\dfrac{a-b}{n} + \dfrac{b}{n} = \dfrac{a-b+b}{n} = \dfrac{a}{n}$

$\dfrac{x}{2} - \dfrac{3}{y} = \dfrac{xy-6}{2y}$

4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

$x(x-1) \ne 0$

$x \ne 0; x \ne 1$

$a+2 \ne 0; a-3 \ne 0$

$a \ne -2; a \ne 3$

5. Скоротіть дріб:

$\dfrac{16am}{20bm} = \dfrac{4a}{5b}$

$\dfrac{12am^2}{8mc} = \dfrac{3am}{2c}$

$\dfrac{2m-6}{m^2-9} = \dfrac{2(m-3)}{(m-3)(m+3)} = \dfrac{2}{m+3}$

$\dfrac{ax+2a}{x^2+4x+4} = \dfrac{a(x+2)}{(x+2)^2} = \dfrac{a}{x+2}$

6. Виконайте дію:

$\dfrac{3a}{a-b} + \dfrac{3b}{b-a} = \dfrac{3a}{a-b} - \dfrac{3b}{a-b} = \dfrac{3a-3b}{a-b} = \dfrac{3(a-b)}{a-b} = 3$

$\dfrac{5x+y}{x^2y} + \dfrac{x-5y}{xy^2} = \dfrac{y(5x+y)+x(x-5y)}{x^2y^2} = \dfrac{5xy+y^2+x^2-5xy}{x^2y^2} = \dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}$

7. Спростіть вираз:

$\dfrac{2b}{b-4} + \dfrac{b}{b+4} + \dfrac{2b^2}{16-b^2} = \dfrac{2b}{b-4} + \dfrac{b}{b+4} - \dfrac{2b^2}{b^2-16}$

$= \dfrac{2b(b+4)+b(b-4)-2b^2}{(b-4)(b+4)} = \dfrac{2b^2+8b+b^2-4b-2b^2}{(b-4)(b+4)}$

$= \dfrac{b^2+4b}{(b-4)(b+4)} = \dfrac{b(b+4)}{(b-4)(b+4)} = \dfrac{b}{b-4}$

8. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу:

$\dfrac{c^2-c^3+5}{c^2} = \dfrac{c^2}{c^2} - \dfrac{c^3}{c^2} + \dfrac{5}{c^2} = 1-c+\dfrac{5}{c^2}$

$\dfrac{p^2-p-2}{p-1} = \dfrac{p(p-1)-2}{p-1} = \dfrac{p(p-1)}{p-1} - \dfrac{2}{p-1} = p-\dfrac{2}{p-1}$

9. Побудуйте графік функції $y = \dfrac{x^2-4x}{16-4x}$

Спочатку спростимо вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники.

$y = \dfrac{x(x-4)}{4(4-x)} = \dfrac{x(x-4)}{-4(x-4)}$

Знайдемо область допустимих значень (ОДЗ). Знаменник не може дорівнювати нулю.

$16-4x \ne 0$

$4x \ne 16$

$x \ne 4$

Скоротимо дріб.

$y = -\dfrac{x}{4}$

Графіком функції є пряма $y = -\dfrac{x}{4}$ з “виколотою” точкою, абсциса якої дорівнює 4. Знайдемо ординату цієї точки, підставивши x = 4 у спрощену функцію.

$y = -\dfrac{4}{4} = -1$

Отже, графіком є пряма $y = -\dfrac{x}{4}$ з точкою (4; -1).

10. Знайдіть:

1) область визначення виразу $\dfrac{x^2-16}{|x+1|-5}$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю.

$|x+1|-5 \ne 0$

$|x+1| \ne 5$

Розв’яжемо два випадки:

$x+1 \ne 5 \Rightarrow x \ne 4$

$x+1 \ne -5 \Rightarrow x \ne -6$

Область визначення: усі числа, крім $x=4$ та $x=-6$.

2) значення х, для яких дріб $\dfrac{x^2-16}{|x+1|-5}$ дорівнює нулю.

Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник при цьому не дорівнює нулю.

$x^2-16 = 0$

$(x-4)(x+4) = 0$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Перевіримо, чи входять ці значення в область визначення. Значення $x=4$ не входить в область визначення, оскільки при ньому знаменник перетворюється на нуль. Значення $x=-4$ входить в область визначення.

Отже, дріб дорівнює нулю при $x = -4$.

11. Спростіть вираз $\dfrac{3(a-2b)}{(a-3)(b-4)} - \dfrac{a^2-6b}{(3-a)(4-b)}$

$\dfrac{3(a-2b)}{(a-3)(b-4)} - \dfrac{a^2-6b}{(a-3)(b-4)} = \dfrac{3(a-2b) - (a^2-6b)}{(a-3)(b-4)}$

$= \dfrac{3a-6b-a^2+6b}{(a-3)(b-4)} = \dfrac{3a-a^2}{(a-3)(b-4)} =$

$= \dfrac{a(3-a)}{(a-3)(b-4)} = \dfrac{-a(a-3)}{(a-3)(b-4)} = \dfrac{-a}{b-4} = \dfrac{a}{4-b}$