§2. Основна властивість раціонального дробу (2.1-2.31)

Назад до змісту

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

2.1. Скоротіть дріб (Усно)

$\frac{7 x}{7 y}$ = $\frac{x}{y}$
$\frac{3 a}{15 b}$ = $\frac{a}{5 b}$
$\frac{x y}{x m}$ = $\frac{y}{m}$
$\frac{ab}{b ^{2}}$ = $\frac{a}{b}$
$\frac{5 a c}{4 ab}$ = $\frac{5 c}{4 b}$
$\frac{10 x y}{10 m y}$ = $\frac{x}{m}$

2.2. Скоротіть дріб

$\frac{3 m}{3 p}$ = $\frac{m}{p}$
$\frac{4 x}{12 y}$ = $\frac{x}{3 y}$
$\frac{ab}{a p}$ = $\frac{b}{p}$
$\frac{t ^{2}}{t x}$ = $\frac{t}{x}$
$\frac{9 x y}{8 x z}$ = $\frac{9 y}{8 z}$
$\frac{4 mn}{4 p n}$ = $\frac{m}{p}$

2.3. Скоротіть дріб

$\frac{15 ab}{20 am}$ = $\frac{3 b}{4 m}$
$\frac{- 2 a ^{2} m}{5 a p}$ = $- \frac{2 am}{5 p}$
$\frac{16 a x ^{2}}{20 x b}$ = $\frac{4 a x}{5 b}$
$\frac{- 8 m ^{2} n}{- 2 n ^{3}}$ = $\frac{4 m ^{2}}{n ^{2}}$
$\frac{- a p ^{2}}{p ^{3} c}$ = $- \frac{a}{p c}$
$\frac{4 ab c}{12 a c ^{3}}$ = $\frac{b}{3 c ^{2}}$
$\frac{26 m ^{2} n}{39 m n ^{2}}$ = $\frac{2 m}{3 n}$
$\frac{a ^{5} c ^{4}}{- c ^{3} a ^{6}}$ = $- \frac{c}{a}$

2.4. Скоротіть дріб

$\frac{8 a t}{12 a p}$ = $\frac{2 t}{3 p}$
$\frac{- 3 x y}{7 x ^{2} y}$ = $- \frac{3}{7 x}$
$\frac{12 m ^{2} n}{20 x m}$ = $\frac{3 mn}{5 x}$
$\frac{- 6 p ^{3} c}{- 3 p ^{4}}$ = $\frac{2 c}{p}$
$\frac{- k p ^{3}}{p ^{4} t}$ = $- \frac{k}{pt}$
$\frac{5 x y z}{15 y ^{2} z}$ = $\frac{x}{3 y}$
$\frac{22 x ^{2} y}{- 33 y ^{2} x}$ = $- \frac{2 x}{3 y}$
$\frac{t ^{7} p ^{8}}{p ^{6} t ^{9}}$ = $\frac{p ^{2}}{t ^{2}}$

2.5. Подайте частку у вигляді дробу і скоротіть цей дріб:

$12 x^{2} y : (4 x y^{3})$ = $\frac{12 x ^{2} y}{4 x y ^{3}} = \frac{3 x}{y ^{2}}$
$3 a^{2} b c : (- 18 a b^{2} c^{2})$ = $\frac{3 a ^{2} b c}{- 18 a b ^{2} c ^{2}} = - \frac{a}{6 b c}$
$- 10 a p^{3} : (- 15 a^{2})$ = $\frac{- 10 a p ^{3}}{- 15 a ^{2}} = \frac{2 p ^{3}}{3 a}$
$- 14 x^{9} : (2 x^{7} y)$ = $\frac{- 14 x ^{9}}{2 x ^{7} y} = - \frac{7 x ^{2}}{y}$

2.6. Зведіть дріб:

1) $\frac{5}{4 m}$ до знаменника $20 m$

Щоб отримати знаменник $20 m$ , потрібно домножити дріб на $5$ .

$\frac{5 \cdot 5}{4 m \cdot 5} = \frac{25}{20 m}$

2) $\frac{p}{a ^{2}}$ до знаменника $a^{5}$

Щоб отримати знаменник $a^{5}$ , потрібно домножити дріб на $a^{3}$ .

$\frac{p \cdot a ^{3}}{a ^{2} \cdot a ^{3}} = \frac{p a ^{3}}{a ^{5}}$

2.7. Зведіть дріб:

1) $\frac{4}{3 p}$ до знаменника $15 p$

Домножимо чисельник і знаменник на $5$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3 p \cdot 5} = \frac{20}{15 p}$

2) $\frac{x}{y ^{3}}$ до знаменника $y^{7}$

Домножимо чисельник і знаменник на $y^{4}$ .

$\frac{x \cdot y ^{4}}{y ^{3} \cdot y ^{4}} = \frac{x y ^{4}}{y ^{7}}$

2.8. Скоротіть дріб:

$\frac{m ( a - 2 )}{p ( a - 2 )}$ = $\frac{m}{p}$
$\frac{4 ( x + 2 ) ^{2}}{( x + 2 ) ^{3}}$ = $\frac{4}{x + 2}$
$\frac{mn ( p + 7 )}{m ^{2} n ( p + 7 ) ^{2}}$ = $\frac{1}{m ( p + 7 )}$
$\frac{16 m ^{3} ( a + 3 ) ^{2}}{20 m ^{4} ( a + 3 )}$ = $\frac{4 ( a + 3 )}{5 m}$

2.9. Скоротіть дріб:

$\frac{x ( b + 7 )}{y ( b + 7 )}$ = $\frac{x}{y}$
$\frac{5 ( m - 3 ) ^{3}}{( m - 3 ) ^{4}}$ = $\frac{5}{m - 3}$
$\frac{a ^{2} y ( x - 2 ) ^{2}}{a y ( x - 2 )}$ = $a (x - 2)$
$\frac{12 x ^{3} ( y - 7 )}{16 x ^{2} ( y - 7 ) ^{2}}$ = $\frac{3 x}{4 ( y - 7 )}$

2.10. Розкладіть на множники чисельник і знаменник і скоротіть дріб:

$\frac{4 a + 12 b}{16 ab}$ = $\frac{4 ( a + 3 b )}{16 ab} = \frac{a + 3 b}{4 ab}$
$\frac{5 x - 5 y}{7 ( x - y )}$ = $\frac{5 ( x - y )}{7 ( x - y )} = \frac{5}{7}$
$\frac{3 m ( x + 2 )}{x ^{2} + 2 x}$ = $\frac{3 m ( x + 2 )}{x ( x + 2 )} = \frac{3 m}{x}$
$\frac{a x - a}{a}$ = $\frac{a ( x - 1 )}{a} = x - 1$
$\frac{y}{y ^{2} - y x}$ = $\frac{y}{y ( y - x )} = \frac{1}{y - x}$
$\frac{2 x - 6 y}{5 x - 15 y}$ = $\frac{2 ( x - 3 y )}{5 ( x - 3 y )} = \frac{2}{5}$
$\frac{a + 2 b}{a ^{2} + 2 ab}$ = $\frac{a + 2 b}{a ( a + 2 b )} = \frac{1}{a}$
$\frac{2 x ^{2} - 10 x y}{x - 5 y}$ = $\frac{2 x ( x - 5 y )}{x - 5 y} = 2 x$

2.11. Скоротіть дріб, попередньо розклавши його чисельник і знаменник на множники:

$\frac{3 a + 15 b}{9 ab}$ = $\frac{3 ( a + 5 b )}{9 ab} = \frac{a + 5 b}{3 ab}$
$\frac{mn - m}{4 ( n - 1 )}$ = $\frac{m ( n - 1 )}{4 ( n - 1 )} = \frac{m}{4}$
$\frac{p ^{2} - 3 p}{4 k ( p - 3 )}$ = $\frac{p ( p - 3 )}{4 k ( p - 3 )} = \frac{p}{4 k}$
$\frac{x y - 2 x}{x}$ = $\frac{x ( y - 2 )}{x} = y - 2$
$\frac{m}{m ^{2} + mn}$ = $\frac{m}{m ( m + n )} = \frac{1}{m + n}$
$\frac{4 a - 12 c}{7 a - 21 c}$ = $\frac{4 ( a - 3 c )}{7 ( a - 3 c )} = \frac{4}{7}$

2.12. Скоротіть дріб:

$\frac{a ( x - y )}{5 ( y - x )}$ = $\frac{a ( x - y )}{- 5 ( x - y )} = - \frac{a}{5}$
$\frac{3 a - 9 b}{15 b - 5 a}$ = $\frac{3 ( a - 3 b )}{5 ( 3 b - a )} = \frac{3 ( a - 3 b )}{- 5 ( a - 3 b )} = - \frac{3}{5}$
$\frac{7 y - 14}{y ^{2} - 4}$ = $\frac{7 ( y - 2 )}{( y - 2 ) ( y + 2 )} = \frac{7}{y + 2}$
$\frac{m ^{2} - 9}{m ^{2} - 6 m + 9}$ = $\frac{( m - 3 ) ( m + 3 )}{( m - 3 ) ^{2}} = \frac{m + 3}{m - 3}$
$\frac{p ^{2} - 1}{p ^{3} - p ^{2}}$ = $\frac{( p - 1 ) ( p + 1 )}{p ^{2} ( p - 1 )} = \frac{p + 1}{p ^{2}}$
$\frac{x ^{2} + 10 x + 25}{m x + 5 m}$ = $\frac{( x + 5 ) ^{2}}{m ( x + 5 )} = \frac{x + 5}{m}$

2.13. Скоротіть дріб:

$\frac{m ( p - 2 )}{a ( 2 - p )}$ = $\frac{m ( p - 2 )}{- a ( p - 2 )} = - \frac{m}{a}$
$\frac{3 a + 12}{a ^{2} - 16}$ = $\frac{3 ( a + 4 )}{( a - 4 ) ( a + 4 )} = \frac{3}{a - 4}$
$\frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 4}$ = $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 2}{x + 2}$
$\frac{m c + 4 c}{m ^{2} + 8 m + 16}$ = $\frac{c ( m + 4 )}{( m + 4 ) ^{2}} = \frac{c}{m + 4}$

2.14. Спростіть вираз:

$\frac{a ^{5} - a ^{3}}{a ^{4} - a ^{2}}$ = $\frac{a ^{3} ( a ^{2} - 1 )}{a ^{2} ( a ^{2} - 1 )} = a$
$\frac{p ^{9} + p ^{7}}{p ^{5} + p ^{7}}$ = $\frac{p ^{7} ( p ^{2} + 1 )}{p ^{5} ( p ^{2} + 1 )} = p^{2}$
$\frac{2 a ^{2} - a ^{3}}{a ^{6} - 2 a ^{5}}$ = $\frac{a ^{2} ( 2 - a )}{a ^{5} ( a - 2 )} = \frac{- a ^{2} ( a - 2 )}{a ^{5} ( a - 2 )} = - \frac{1}{a ^{3}}$
$\frac{5 c ^{5} - 10 c ^{4}}{12 c ^{5} - 6 c ^{6}}$ = $\frac{5 c ^{4} ( c - 2 )}{6 c ^{5} ( 2 - c )} = \frac{- 5 c ^{4} ( 2 - c )}{6 c ^{5} ( 2 - c )} = - \frac{5}{6 c}$

2.15. Спростіть вираз:

$\frac{t ^{9} - t ^{8}}{t ^{8} - t ^{7}}$ = $\frac{t ^{8} ( t - 1 )}{t ^{7} ( t - 1 )} = t$
$\frac{a ^{6} + a ^{3}}{a ^{9} + a ^{6}}$ = $\frac{a ^{3} ( a ^{3} + 1 )}{a ^{6} ( a ^{3} + 1 )} = \frac{1}{a ^{3}}$
$\frac{3 b ^{2} - b ^{3}}{b ^{8} - 3 b ^{7}}$ = $\frac{b ^{2} ( 3 - b )}{b ^{7} ( b - 3 )} = \frac{- b ^{2} ( b - 3 )}{b ^{7} ( b - 3 )} = - \frac{1}{b ^{5}}$
$\frac{4 a ^{4} - 8 a ^{3}}{12 a ^{2} - 6 a ^{3}}$ = $\frac{4 a ^{3} ( a - 2 )}{6 a ^{2} ( 2 - a )} = \frac{- 4 a ^{3} ( 2 - a )}{6 a ^{2} ( 2 - a )} = - \frac{2 a}{3}$

2.16. Скоротіть дріб:

$\frac{m ^{2} n - m}{m ^{2} - m ^{3} n}$ = $\frac{m ( mn - 1 )}{m ^{2} ( 1 - mn )} = \frac{- m ( 1 - mn )}{m ^{2} ( 1 - mn )} = - \frac{1}{m}$
$\frac{15 m ^{3} - 15 mn}{10 n ^{2} - 10 n m ^{2}}$ = $\frac{15 m ( m ^{2} - n )}{10 n ( n - m ^{2} )} = \frac{- 15 m ( n - m ^{2} )}{10 n ( n - m ^{2} )} = - \frac{3 m}{2 n}$
$\frac{m ^{3} + 27}{m ^{2} - 3 m + 9}$ = $\frac{( m + 3 ) ( m ^{2} - 3 m + 9 )}{m ^{2} - 3 m + 9} = m + 3$
$\frac{20 + 10 a + 5 a ^{2}}{a ^{3} - 8}$ = $\frac{5 ( 4 + 2 a + a ^{2} )}{( a - 2 ) ( a ^{2} + 2 a + 4 )} = \frac{5}{a - 2}$
$\frac{3 p + p n - 3 y - y n}{7 p - 7 y}$ = $\frac{p ( 3 + n ) - y ( 3 + n )}{7 ( p - y )} = \frac{( p - y ) ( n + 3 )}{7 ( p - y )} = \frac{n + 3}{7}$
$\frac{am + an - bm - bn}{am - an - bm + bn}$ = $\frac{a ( m + n ) - b ( m + n )}{a ( m - n ) - b ( m - n )} = \frac{( a - b ) ( m + n )}{( a - b ) ( m - n )} = \frac{m + n}{m - n}$

2.17. Скоротіть дріб:

$\frac{16 p ^{3} - 16 pq}{12 p ^{3} q - 12 p q ^{2}}$ = $\frac{16 p ( p ^{2} - q )}{12 pq ( p ^{2} - q )} = \frac{16 p}{12 pq} = \frac{4}{3 q}$
$\frac{a ^{2} - 2 a + 4}{a ^{3} + 8}$ = $\frac{a ^{2} - 2 a + 4}{( a + 2 ) ( a ^{2} - 2 a + 4 )} = \frac{1}{a + 2}$
$\frac{7 + 7 a + 7 a ^{2}}{a ^{3} - 1}$ = $\frac{7 ( 1 + a + a ^{2} )}{( a - 1 ) ( a ^{2} + a + 1 )} = \frac{7}{a - 1}$
$\frac{5 m + an - 5 n - am}{a ^{2} - 10 a + 25}$ = $\frac{( m - n ) ( 5 - a )}{( a - 5 ) ^{2}} = \frac{- ( m - n ) ( a - 5 )}{( a - 5 ) ^{2}} = \frac{n - m}{a - 5}$

2.18. Зведіть дріб:

1) $\frac{5}{a - b}$ до знаменника $a^{2} - ab$

Розкладемо знаменник на множники: $a^{2} - ab = a (a - b)$ .

Щоб отримати новий знаменник, потрібно домножити початковий дріб на $a$ .

$\frac{5 \cdot a}{( a - b ) \cdot a} = \frac{5 a}{a ^{2} - ab}$

2) $\frac{4}{m + n}$ до знаменника $m^{2} + 2 mn + n^{2}$

Згорнемо знаменник за формулою квадрата суми: $m^{2} + 2 mn + n^{2} = (m + n)^{2}$ .

Домножимо дріб на $(m + n)$ .

$\frac{4 \cdot ( m + n )}{( m + n ) \cdot ( m + n )} = \frac{4 ( m + n )}{( m + n ) ^{2}}$

3) $\frac{9}{x - y}$ до знаменника $x^{2} - y^{2}$

Розкладемо знаменник за формулою різниці квадратів: $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$ .

Домножимо дріб на $(x + y)$ .

$\frac{9 \cdot ( x + y )}{( x - y ) \cdot ( x + y )} = \frac{9 ( x + y )}{x ^{2} - y ^{2}}$

4) $\frac{4}{k - 1}$ до знаменника $k^{3} - 1$

Розкладемо знаменник за формулою різниці кубів: $k^{3} - 1 = (k - 1) (k^{2} + k + 1)$ .

Домножимо дріб на $(k^{2} + k + 1)$ .

$\frac{4 \cdot ( k ^{2} + k + 1 )}{( k - 1 ) \cdot ( k ^{2} + k + 1 )} = \frac{4 ( k ^{2} + k + 1 )}{k ^{3} - 1}$

5) $\frac{a}{a - b}$ до знаменника $b - a$

Зауважимо, що $b - a = - (a - b)$ . Отже, потрібно домножити дріб на $- 1$ .

$\frac{a \cdot ( - 1 )}{( a - b ) \cdot ( - 1 )} = \frac{- a}{b - a}$

6) $\frac{p}{p - 2}$ до знаменника $4 - p^{2}$

Розкладемо знаменник: $4 - p^{2} = (2 - p) (2 + p)$ . Також $p - 2 = - (2 - p)$ .

Домножимо дріб на $- (p + 2)$ .

$\frac{p \cdot ( - ( p + 2 ))}{( p - 2 ) \cdot ( - ( p + 2 ))} = \frac{- p ( p + 2 )}{( 2 - p ) ( p + 2 )} = \frac{- p ( p + 2 )}{4 - p ^{2}}$

2.19. Зведіть дріб:

1) $\frac{7}{m + n}$ до знаменника $m^{2} + mn$

Розкладемо знаменник: $m^{2} + mn = m (m + n)$ .

Домножимо дріб на $m$ .

$\frac{7 \cdot m}{( m + n ) \cdot m} = \frac{7 m}{m ^{2} + mn}$

2) $\frac{4}{x - y}$ до знаменника $x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Згорнемо знаменник: $x^{2} - 2 x y + y^{2} = (x - y)^{2}$ .

Домножимо дріб на $(x - y)$ .

$\frac{4 \cdot ( x - y )}{( x - y ) \cdot ( x - y )} = \frac{4 ( x - y )}{( x - y ) ^{2}}$

3) $\frac{a}{a + b}$ до знаменника $a^{2} - b^{2}$

Розкладемо знаменник: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Домножимо дріб на $(a - b)$ .

$\frac{a \cdot ( a - b )}{( a + b ) \cdot ( a - b )} = \frac{a ( a - b )}{a ^{2} - b ^{2}}$

4) $\frac{c}{c - 7}$ до знаменника $7 - c$

Зауважимо, що $7 - c = - (c - 7)$ . Домножимо дріб на $- 1$ .

$\frac{c \cdot ( - 1 )}{( c - 7 ) \cdot ( - 1 )} = \frac{- c}{7 - c}$

2.20. Знайдіть значення виразу

Спростимо вираз:

$- \frac{( c ^{3} ) ^{5} ( x ^{12} ) ^{2}}{9 ( c ^{6} ) ^{2} ( x ^{3} ) ^{8}} = - \frac{c ^{15} x ^{24}}{9 c ^{12} x ^{24}} = - \frac{c ^{3}}{9}$

Якщо $c = - 3, x = 2025$ , то

$- \frac{( - 3 ) ^{3}}{9} = - \frac{- 27}{9} = \frac{27}{9} = 3$

Представники від України вигравали пісенний конкурс «Євробачення» 3 рази.

2.21. Обчисліть значення дробу

Спочатку спростимо дріб, винісши спільні множники за дужки:

$\frac{6 x ^{2} - 3 x y}{8 x y - 4 y ^{2}} = \frac{3 x ( 2 x - y )}{4 y ( 2 x - y )} = \frac{3 x}{4 y}$

Тепер підставимо значення $x = - 4$ та $y = - \frac{1}{4}$ :

$\frac{3 \cdot ( - 4 )}{4 \cdot ( - \frac{1}{4} )} = \frac{- 12}{- 1} = 12$

Перша письмова згадка про місто Кам’янець-Подільський датується 12 століттям.

2.22. Скоротіть дріб:

1) $\frac{( x + 2 ) ^{2} - ( x - 2 ) ^{2}}{48 x}$

Розкладемо чисельник за формулою різниці квадратів:

$\frac{( x + 2 - ( x - 2 )) ( x + 2 + x - 2 )}{48 x} = \frac{( x + 2 - x + 2 ) ( 2 x )}{48 x} = \frac{4 \cdot 2 x}{48 x} = \frac{8 x}{48 x} = \frac{1}{6}$

2) $\frac{x ^{3} - y ^{3}}{x ^{4} - y ^{4}}$

Розкладемо чисельник і знаменник на множники:

$\frac{( x - y ) ( x ^{2} + x y + y ^{2} )}{( x ^{2} - y ^{2} ) ( x ^{2} + y ^{2} )} = \frac{( x - y ) ( x ^{2} + x y + y ^{2} )}{( x - y ) ( x + y ) ( x ^{2} + y ^{2} )} = \frac{x ^{2} + x y + y ^{2}}{( x + y ) ( x ^{2} + y ^{2} )}$

3) $\frac{( 3 b - 9 c ) ^{2}}{5 b - 15 c}$

Винесемо спільні множники:

$\frac{( 3 ( b - 3 c ) ) ^{2}}{5 ( b - 3 c )} = \frac{9 ( b - 3 c ) ^{2}}{5 ( b - 3 c )} = \frac{9 ( b - 3 c )}{5}$

Ось розв’язки до завдань.

2.23. Скоротіть дріб:

** $\frac{( m + 5 ) ^{2} + ( m - 5 ) ^{2}}{m ^{2} + 25}$ **Розкриємо дужки в чисельнику за формулами скороченого множення: $\frac{( m ^{2} + 10 m + 25 ) + ( m ^{2} - 10 m + 25 )}{m ^{2} + 25} = \frac{2 m ^{2} + 50}{m ^{2} + 25} = \frac{2 ( m ^{2} + 25 )}{m ^{2} + 25} = 2$
** $\frac{a ^{4} - b ^{4}}{a ^{3} + b ^{3}}$ **Розкладемо чисельник і знаменник на множники, використовуючи формули різниці квадратів та суми кубів: $\frac{( a ^{2} - b ^{2} ) ( a ^{2} + b ^{2} )}{( a + b ) ( a ^{2} - ab + b ^{2} )} = \frac{( a - b ) ( a + b ) ( a ^{2} + b ^{2} )}{( a + b ) ( a ^{2} - ab + b ^{2} )} = \frac{( a - b ) ( a ^{2} + b ^{2} )}{a ^{2} - ab + b ^{2}}$
** $\frac{6 m + 2 n}{( 12 m + 4 n ) ^{2}}$ **Винесемо спільні множники в чисельнику та знаменнику: $\frac{2 ( 3 m + n )}{( 4 ( 3 m + n ) ) ^{2}} = \frac{2 ( 3 m + n )}{16 ( 3 m + n ) ^{2}} = \frac{1}{8 ( 3 m + n )}$

2.24. Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік:

1) $y = \frac{x ^{2} + 6 x}{6 x + 36}$

Область визначення: Знаменник не може дорівнювати нулю.

$6 x + 36 \neq = 0 ⟹ 6 x \neq = - 36 ⟹ x \neq = - 6$ .

Отже, область визначення: $D (y) = (- \infty; - 6) \cup (- 6; + \infty)$ .

Побудова графіка: Спростимо функцію.

$y = \frac{x ( x + 6 )}{6 ( x + 6 )} = \frac{x}{6}$ при умові, що $x \neq = - 6$ .

Графіком є пряма $y = \frac{x}{6}$ з точкою, абсциса якої дорівнює $- 6$ .

Знайдемо ординату цієї точки: $y = \frac{- 6}{6} = - 1$ .

При x= 6 $y = 1$

$y = \dfrac{x^2+6x}{6x+36}$

2) $y = \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{2 - x}$

Область визначення: $2 - x \neq = 0 ⟹ x \neq = 2$ .

$D (y) = (- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$ .

Побудова графіка: Спростимо функцію.

$y = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{- ( x - 2 )} = - (x - 2) = - x + 2$ при умові, що $x \neq = 2$ .

Графіком є пряма $y = - x + 2$ з виколотою точкою при $x = 2$ .

Ордината точки: $y = - 2 + 2 = 0$ .

При $x = 0$ то $y = 2$

$y = \dfrac{x^2-4x+4}{2-x}$

2.25. Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік:

1) $y = \frac{x ^{2} - 5 x}{25 - 5 x}$

Область визначення: $25 - 5 x \neq = 0 ⟹ 5 x \neq = 25 ⟹ x \neq = 5$ .

$D (y) = (- \infty; 5) \cup (5; + \infty)$ .

Побудова графіка: Спростимо функцію.

$y = \frac{x ( x - 5 )}{5 ( 5 - x )} = \frac{x ( x - 5 )}{- 5 ( x - 5 )} = - \frac{x}{5}$ при умові, що $x \neq = 5$ .

Графіком є пряма $y = - \frac{x}{5}$ при $x = 5$ .

Ордината точки: $y = - \frac{5}{5} = - 1$ .

Отже, графік — пряма $y = - \frac{x}{5}$ з точкою $(5; - 1)$ .

$y = \dfrac{x^2-5x}{25-5x}$

2) $y = \frac{x ^{2} + 6 x + 9}{3 + x}$

Область визначення: $3 + x \neq = 0 ⟹ x \neq = - 3$ .

$D (y) = (- \infty; - 3) \cup (- 3; + \infty)$ .

Побудова графіка: Спростимо функцію.

$y = \frac{( x + 3 ) ^{2}}{3 + x} = x + 3$ при умові, що $x \neq = - 3$ .

Графіком є пряма $y = x + 3$ з точкою при $x = - 3$ .

Ордината точки: $y = - 3 + 3 = 0$ .

З точкою при $x = 0$ $y = 3$ .

$y = \dfrac{x^2+6x+9}{3+x}$

Вправи для повторення

2.26. Обчисліть значення виразу:

$\frac{2 ^{12}}{2 ^{14}}$ = $2^{12 - 14} = 2^{- 2} = \frac{2}{2 ^{2}} = \frac{1}{4}$
$\frac{3 ^{9}}{3 ^{6}}$ = $3^{9 - 6} = 3^{3} = 27$
$\frac{7 ^{4}}{49}$ = $\frac{7 ^{4}}{7 ^{2}} = 7^{4 - 2} = 7^{2} = 49$
$\frac{125}{5 ^{5}}$ = $\frac{5 ^{3}}{5 ^{5}} = 5^{3 - 5} = 5^{- 2} = \frac{1}{25}$

2.27. Розв’яжіть систему рівнянь:

$⎩ ⎨ ⎧ x + 3 y = 2 3 x - 2 y = 17$

З першого рівняння виразимо $x$ :

$x = 2 - 3 y$ .

Підставимо у друге рівняння:

$3 (2 - 3 y) - 2 y = 17$
$6 - 9 y - 2 y = 17$
$- 11 y = 11$
$y = - 1$ .
$x = 2 - 3 (- 1) = 5$ .

Відповідь: $(5; - 1)$ .

$⎩ ⎨ ⎧ 3 x + 2 y = 2 7 x - 2 y = - 22$

Додамо перше рівняння до другого:

$(3 x + 7 x) + (2 y - 2 y) = 2 - 22$
$10 x = - 20$
$x = - 2$

Підставимо $x$ у перше рівняння:

$3 (- 2) + 2 y = 2$
$- 6 + 2 y = 2$
$2 y = 8$
$y = 4$ .

Відповідь: $(- 2; 4)$ .

2.28. Спростіть вираз:

1) $(2 x + 3 y)^{2} - (x + 7 y) (4 x - y)$

$= (4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}) - (4 x^{2} - x y + 28 x y - 7 y^{2})$
$= 4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2} - 4 x^{2} - 27 x y + 7 y^{2}$
$= 16 y^{2} - 15 x y$

2) $(m + 3) (m^{2} - 5) - m (m - 4)^{2}$

$= (m^{3} - 5 m + 3 m^{2} - 15) - m (m^{2} - 8 m + 16)$
$= m^{3} + 3 m^{2} - 5 m - 15 - m^{3} + 8 m^{2} - 16 m$
$= 11 m^{2} - 21 m - 15$

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

2.29. Обчисліть:

$\frac{1}{7} + \frac{3}{7}$ $= \frac{1 + 3}{7} = \frac{4}{7}$
$\frac{7}{13} + \frac{8}{13}$ $= \frac{7 + 8}{13} = \frac{15}{13} = 1 \frac{2}{13}$
$\frac{9}{11} - \frac{5}{11}$ $= \frac{9 - 5}{11} = \frac{4}{11}$
$\frac{3}{17} - \frac{9}{17}$ $= \frac{3 - 9}{17} = - \frac{6}{17}$
$\frac{4}{5} + \frac{1}{5}$ $= \frac{4 + 1}{5} = \frac{5}{5} = 1$
$- \frac{11}{15} + \frac{2}{15}$ $= \frac{- 11 + 2}{15} = \frac{- 9}{15} = - \frac{3}{5}$
$- \frac{3}{10} - \frac{7}{10}$ $= \frac{- 3 - 7}{10} = \frac{- 10}{10} = - 1$
$- \frac{2}{7} - (- \frac{1}{7})$ $= - \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{- 2 + 1}{7} = - \frac{1}{7}$

Життєва математика

2.30. На 1 січня 2016 року сільського населення в Україні було на 38,375094% менше, ніж міського. Знайдіть кількість міського і кількість сільського населення в Україні станом на 1 січня 2016 року, якщо загальна кількість населення на цю дату складала 42 760 516 осіб.

Розв’язок:

Позначимо кількість міського населення через x.

Кількість сільського населення була на 38,375094% меншою, що в десятковому дробі становить 0,38375094. Отже, кількість сільського населення дорівнює

x-0,38375094x = 0,61624906x.

Складемо рівняння, додавши міське та сільське населення:

$x + 0, 61624906 x = 42760516$

$1, 61624906 x = 42760516$

Знайдемо x (кількість міського населення):

$x = \frac{42760516}{1 , 61624906} \approx 26456638$ (осіб)-міське населення.

Знайдемо кількість сільського населення:

$42760516 - 26456638 = 16303878$ (осіб)-сільське населення.

Відповідь: Кількість міського населення становила приблизно 26 456 638 осіб, а сільського — 16 303 878 осіб.

Цікаві задачі – поміркуй одначе

2.31. Катер за течією річки долає відстань від пункту А до пункту В за 2 год, а проти течії — за 3 год. За який час від пункту А до пункту В пропливе пліт?

Розв’язок:

Позначимо відстань між А і В як S, власну швидкість катера як $v_{к}$ , а швидкість течії як $v_{т}$ .

Швидкість катера за течією: $v_{к} + v_{т} = \frac{S}{2}$ .

Швидкість катера проти течії: $v_{к} - v_{т} = \frac{S}{3}$ .

Маємо систему з двох рівнянь:

$\left\{\begin{array}{l}v_{\mathrm{k}} + v_{\mathrm{t}} = \dfrac{S}{2} \v_{\mathrm{k}}-v_{\mathrm{t}} = \dfrac{S}{3}\end{array}\right.$

Віднімемо друге рівняння від першого, щоб знайти швидкість течії:

$(v_{к} + v_{т}) - (v_{к} - v_{т}) = \frac{S}{2} - \frac{S}{3}$

$2 v_{т} = \frac{3 S - 2 S}{6} = \frac{S}{6}$

$v_{т} = \frac{S}{12}$

Пліт рухається зі швидкістю течії. Щоб знайти час (t), за який пліт пропливе відстань S, треба відстань поділити на швидкість течії:

$t = \frac{S}{v _{т}} = \frac{S}{\frac{S}{12}} = S \cdot \frac{12}{S} = 12$ (год).

Відповідь: Пліт пропливе відстань від пункту А до пункту В за 12 годин.

§2. Основна властивість раціонального дробу (2.1-2.31)

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

Вправи для повторення

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

Життєва математика

Цікаві задачі – поміркуй одначе

Теги статті:

До уроку