§1. Раціональні вирази. Раціональні дроби

Назад до змісту

1.1 Які з виразів є цілими, а які – дробовими?

Цілі вирази не містять ділення на змінну, тому цілими є вирази: 1, 3, 4, 6, 7.

Дробові вирази містять ділення на змінну, тому дробовими є вирази: 2, 5, 8.

1.2. Серед раціональних виразів знайдіть і випишіть ті, що є: 1) цілими; 2) дробовими.

1. Цілими є вирази: $a^3 - ab$; $\dfrac{m}{17}$; $\dfrac{1}{9}a - \dfrac{1}{8}b$.
2. Дробовими є вирази: $\dfrac{17}{a}$; $t(t-1) + \dfrac{t}{p}$; $\dfrac{7}{x^2+1} - 5$.

1.3. Які з дробів є раціональними дробами?

1. У дробі $\dfrac{a}{a^2-3}$ чисельник ($a$) і знаменник ($a^2-3$) є многочленами. Отже, цей дріб є раціональним.
2. У дробі $\dfrac{m(n+\dfrac{1}{k})}{p^2-2}$ чисельник $m(n+\dfrac{1}{k})$ не є многочленом, оскільки він містить ділення на змінну $k$. Отже, цей дріб не є раціональним.
3. У дробі $\dfrac{x^2-4x+5}{y^2-9}$ чисельник ($x^2-4x+5$) і знаменник ($y^2-9$) є многочленами. Отже, цей дріб є раціональним.
4. У дробі $\dfrac{\dfrac{x}{x+2}}{m-3}$ чисельник ($\dfrac{x}{x+2}$) не є многочленом, а є іншим дробом. Отже, цей дріб не є раціональним.

Відповідь: Раціональними дробами є вирази 1 та 3

1.4. Знайдіть значення виразу:

Для виразу $\dfrac{3a+9}{a^2}$:

• якщо $a = 1$, то значення виразу дорівнює 12.
• якщо $a = -2$, то значення виразу дорівнює $\dfrac{3}{4}$.
• якщо $a = -3$, то значення виразу дорівнює 0.

Для виразу $\dfrac{x+3}{x} - \dfrac{x}{x-2}$:

• якщо $x = 4$, то значення виразу дорівнює $-\dfrac{1}{4}$.
• якщо $x = -1$, то значення виразу дорівнює $-2\dfrac{1}{3}$.

1.5. Дізнайтеся прізвище видатного українського авіаконструктора.

Прізвище авіаконструктора – Антонов.

Якщо x = -3, то вираз дорівнює -0,5 (літера Т).

Якщо x = -1, то вираз дорівнює 0 (літера В).

Якщо x = 0, то вираз дорівнює 1 (літера А).

Якщо x = 2, то вираз дорівнює -3 (літера О).

Якщо x = 3, то вираз дорівнює -2 (літера Н).

Підставивши літери замість чисел у другій таблиці (1, -2, -0,5, -3, -2, -3, 0), отримаємо прізвище АНТОНОВ.

1.6. Складіть дріб:

• чисельником якого є різниця змінних $a$ і $b$, а знаменником – їх сума: $\dfrac{a-b}{a+b}$.
• чисельником якого є добуток змінних $x$ і $y$, а знаменником – сума їх квадратів: $\dfrac{xy}{x^2+y^2}$.

1.7. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

• $m^2-5$: $m$ – будь-яке число.
• $\dfrac{3a-5}{a}$: $a$ – будь-яке число, крім $a=0$.
• $\dfrac{7b+9}{8}$: $b$ – будь-яке число.
• $\dfrac{t-9}{t+1}$: $t$ – будь-яке число, крім $t=-1$.
• $\dfrac{x^2+1}{x} + \dfrac{2}{x-7}$: $x$ – будь-яке число, крім $x=0$ та $x=7$.
• $\dfrac{p+2}{p(p-1)}$: $p$ – будь-яке число, крім $p=0$ та $p=1$.
• $\dfrac{3}{x^2+1}$: $x$ – будь-яке число.
• $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{|m|+5}$: $m$ – будь-яке число, крім $m=0$.

1.8. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

• $p+9$: $p$ – будь-яке число.
• $\dfrac{a-7}{a+4}$: $a$ – будь-яке число, крім $a=-4$.
• $\dfrac{b-9}{4}$: $b$ – будь-яке число.
• $\dfrac{x^2-3}{x(x+2)}$: $x$ – будь-яке число, крім $x=0$ та $x=-2$.
• $\dfrac{2y}{y-1} + \dfrac{3}{y+6}$: $y$ – будь-яке число, крім $y=1$ та $y=-6$.
• $\dfrac{4}{m^2+2}$: $m$ – будь-яке число.

1.9. За t год автомобіль подолав 240 км. Складіть вираз для обчислення швидкості автомобіля (у км/год). Знайдіть значення цього виразу, якщо t = 3; 4.

Для знаходження швидкості ($v$) потрібно відстань ($s$) поділити на час ($t$).

Вираз: $v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{240}{t}$.

Якщо $t = 3$, то $v = \dfrac{240}{3} = 80$ (км/год).

Якщо $t = 4$, то $v = \dfrac{240}{4} = 60$ (км/год).

1.10. Пенсіонерка для потреб мечеті витратила 48 грн на придбання n ручок. Складіть вираз для обчислення ціни ручки (у грн) та обчисліть його значення, якщо n = 8; 10.

Щоб знайти ціну однієї ручки, потрібно загальну вартість поділити на кількість ручок ($n$).

Вираз: ціна = $\dfrac{48}{n}$.

Якщо $n=8$, то ціна $= \dfrac{48}{8} = 6$ (грн).

Якщо $n=10$, то ціна $= \dfrac{48}{10} = 4,8$ (грн).

1.11. Для якого значення змінної значення дробу $\dfrac{x+2}{8}$ дорівнює:

1. $\dfrac{x+2}{8} = -2$
   $x+2 = -2 \cdot 8$
   $x+2 = -16$
   $x = -18$.

2. $\dfrac{x+2}{8} = 9$
   $x+2 = 9 \cdot 8$
   $x+2 = 72$
   $x = 70$.

3. $\dfrac{x+2}{8} = 0,01$
   $x+2 = 0,01 \cdot 8$
   $x+2 = 0,08$
   $x = -1,92$.

4. $\dfrac{x+2}{8} = -4,9$
   $x+2 = -4,9 \cdot 8$
   $x+2 = -39,2$
   $x = -41,2$.

1.12. Для якого значення змінної значення дробу $\dfrac{m-1}{10}$ дорівнює:

1. $\dfrac{m-1}{10} = -8$
   $m-1 = -8 \cdot 10$
   $m-1 = -80$
   $m = -79$.

2. $\dfrac{m-1}{10} = 0,25$
   $m-1 = 0,25 \cdot 10$
   $m-1 = 2,5$
   $m = 3,5$.

1.13. Для якого значення x дорівнює нулю дріб:

1) Для рівняння $\dfrac{4x-8}{x}=0$

$4x-8=0$
$4x=8$
$x=2$.

Відповідь: $x \ne 0$, $x=2$

2) Для рівняння $\dfrac{x(x+3)}{x^2}=0$

$x(x+3)=0$
$x=0$
$x=-3$.

Відповідь: $x=-3$, $x \ne 0$

3) Для рівняння $\dfrac{(x-1)(x+7)}{x+5}=0$

$(x-1)(x+7)=0$
$x=1$ або $x=-7$.

Відповідь: $x=1$ або $x=-7$, $x \ne -5$

4) Для рівняння $\dfrac{3x-6}{8-4x}=0$

$3x-6=0$
$3x=6$
$x=2$.

Перевіримо знаменник при $x=2$: $8-4(2) = 8-8=0$.
Оскільки знаменник дорівнює нулю при $x=2$, то це значення не є коренем рівняння.

Відповідь: розв’язків немає.

1.14. Для якого значення y дорівнює нулю дріб:

1) Для рівняння $\dfrac{y}{5y-7}=0$

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.

$y = 0$
$5y-7 \ne 0 \implies y \ne \dfrac{7}{5}$

Відповідь: $y = 0$, $y \ne \dfrac{7}{5}$

2) Для рівняння $\dfrac{(y+1)y}{y^7}=0$

Чисельник дорівнює нулю, коли $y+1=0$ або $y=0$. Це дає $y=-1$ або $y=0$.
Знаменник не може бути нулем, тому $y \ne 0$.

Відповідь: $y = -1$, $y \ne 0$.

3) Для рівняння $\dfrac{(y+2)(y-3)}{y+4}=0$

Чисельник дорівнює нулю, коли $y+2=0$ або $y-3=0$. Це дає $y=-2$ або $y=3$.
Знаменник не може бути нулем, тому $y+4 \ne 0$, тобто $y \ne -4$.

Відповідь: $y = -2$, $y = 3$, $y \ne -4$.

4) Для рівняння $\dfrac{y+1}{5y+5}=0$

Чисельник дорівнює нулю, коли $y+1=0$. Це дає $y=-1$.
Знаменник не може бути нулем, тому $5y+5 \ne 0$, що означає $y \ne -1$.
Оскільки умови суперечать одна одній ($y$ має дорівнювати $-1$ і не дорівнювати $-1$ одночасно), розв’язків немає.

Відповідь: розв’язків немає.

1.15. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

Допустимі значення змінної (Область допустимих значень, ОДЗ) для дробового виразу — це всі значення змінної, при яких знаменник дробу не дорівнює нулю.

1) $\dfrac{a+1}{(a-1)(2a+7)}$

Знайдемо значення a, при яких знаменник дорівнює нулю:

$(a-1)(2a+7) = 0$
$a-1=0$ або $2a+7=0$
$a=1$ або $2a=-7$, звідки $a=-3.5$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $1$ та $-3.5$.

2) $\dfrac{t+2}{t^2-7t}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$t^2-7t = 0$
$t(t-7) = 0$
$t=0$ або $t-7=0$, звідки $t=7$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $0$ та $7$.

3) $\dfrac{m}{m^2-25}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$m^2-25 = 0$
$(m-5)(m+5) = 0$
$m-5=0$ або $m+5=0$
$m=5$ або $m=-5$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $5$ та $-5$.

4) $\dfrac{5}{(x-9)^2}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$(x-9)^2 = 0$
$x-9 = 0$
$x=9$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $9$.

1.16. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

1) $\dfrac{p-7}{(9-p)(4p+10)}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$(9-p)(4p+10)=0$
$9-p=0$ або $4p+10=0$
$p=9$ або $4p=-10$, звідки $p=-2.5$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $9$ та $-2.5$.

2) $\dfrac{a+2}{5a-a^2}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$5a-a^2=0$
$a(5-a)=0$
$a=0$ або $5-a=0$, звідки $a=5$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $0$ та $5$.

3) $\dfrac{c}{4-c^2}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$4-c^2=0$
$(2-c)(2+c)=0$
$2-c=0$ або $2+c=0$
$c=2$ або $c=-2$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $2$ та $-2$.

4) $\dfrac{a}{(a+1)^2}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$(a+1)^2=0$
$a+1=0$
$a=-1$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $-1$.

1.17. Складіть вираз зі змінною x, що мав би зміст для будь-яких значень x, крім:

1) $x=2$

Потрібно, щоб при $x=2$ знаменник дорівнював нулю. Таким виразом може бути $x-2$.

Приклад: $\dfrac{1}{x-2}$.

2) $x=1$ і $x=-4$

Потрібно, щоб при $x=1$ та $x=-4$ знаменник дорівнював нулю. Для цього в знаменнику мають бути множники $(x-1)$ та $(x+4)$.

Приклад: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}$.

1.18. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

1) $\dfrac{37}{a(a-2)-3a + 6}$

Розв’язання:

Допустимі значення змінної — це всі значення, за яких знаменник дробу не дорівнює нулю. Прирівняємо знаменник до нуля і знайдемо значення, які потрібно виключити.

$a(a-2)-3a + 6 = 0$
$a^2-2a - 3a + 6 = 0$
$a^2-5a + 6 = 0$

За теоремою Вієта:

$a_1 + a_2 = 5$
$a_1 \cdot a_2 = 6$
Отже, $a_1 = 2$, $a_2 = 3$.

Вираз має зміст при всіх значеннях $a$, крім 2 та 3.

Відповідь: $a\neq2, a\neq3$.

2) $\dfrac{x}{|x| - 1}$

Розв’язання:

Знаменник не може дорівнювати нулю.

$|x|-1 \neq 0$
$|x| \neq 1$

Це означає, що $x$ не може дорівнювати 1 або -1.

Відповідь: $x\neq1, x\neq-1$.

3) $\dfrac{5m}{1 - \dfrac{1}{m}}$

Розв’язання:

У цьому виразі є два знаменники. По-перше, знаменник внутрішнього дробу m не може дорівнювати нулю. По-друге, знаменник основного дробу 1 - 1/m не може дорівнювати нулю.

1. $m \neq 0$
2. $1 - \dfrac{1}{m} \neq 0 \implies 1 \neq \dfrac{1}{m} \implies m \neq 1$Отже, m не може дорівнювати 0 та 1.

Відповідь:

$m\neq0, m\neq1$.

4) $\dfrac{4k}{4 - |k - 2|}$

Розв’язання:

Знаменник не може дорівнювати нулю.

$4-|k-2| \neq 0$
$|k-2| \neq 4$

Це рівняння розпадається на два:

$k - 2 \neq 4 \implies k \neq 6$
$k - 2 \neq -4 \implies k \neq -2$

Відповідь: $k\neq6, k\neq-2$.

1.19. Знайдіть область визначення виразу:

1) $\dfrac{12}{x(x + 2) - 4x - 8}$

Розв’язання:

Прирівняємо знаменник до нуля.

$x(x + 2)-4x - 8 = 0$
$x^2 + 2x - 4x - 8 = 0$
$x^2-2x - 8 = 0$

За теоремою Вієта:

$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -8$
Отже, $x_1 = 4$, $x_2 = -2$.

Область визначення — усі числа, крім 4 та -2.

2) $\dfrac{m}{4 - |m|}$

Розв’язання:

Знаменник не дорівнює нулю.

$4-|m| \neq 0$
$|m| \neq 4$
Отже, $m \neq 4$ і $m \neq -4$.

3) $\dfrac{7}{\dfrac{1}{x} + 1}$

Розв’язання:

Маємо два обмеження:

Знаменник внутрішнього дробу: $x \neq 0$.

Знаменник основного дробу:

$\dfrac{1}{x} + 1 \neq 0 \implies \dfrac{1}{x} \neq -1 \implies x \neq -1$.

Відповідь: $x\neq0, x\neq-1$.

4) $\dfrac{2a}{|a + 2| - 3}$

Розв’язання:

Знаменник не дорівнює нулю.

$|a + 2|-3 \neq 0$
$|a + 2| \neq 3$

Розв’язуємо два випадки:

$a + 2 \neq 3 \implies a \neq 1$
$a + 2 \neq -3 \implies a \neq -5$

Відповідь: $a\neq1, a\neq-5$.

1.20. Визначте знак дробу:

1) $\dfrac{x^7}{y^8}$, якщо $x > 0, y < 0$

Чисельник: $x > 0$, тому $x^7 > 0$ (додатне число в будь-якому степені є додатним).

Знаменник: $y < 0$, але $y^8 > 0$ (від’ємне число в парному степені є додатним).

Дріб має вигляд $\dfrac{+}{+}$, отже, його знак додатний.

Відповідь: $\dfrac{x^7}{y^8}>0$.

2) $\dfrac{m + 1}{n^7}$, якщо $m > 0, n < 0$

Чисельник: $m > 0$, тому $m+1 > 1$, тобто $m+1 > 0$ (додатний).

Знаменник: $n < 0$, тому $n^7 < 0$ (від’ємне число в непарному степені є від’ємним).

Дріб має вигляд $\dfrac{+}{-}$, отже, його знак від’ємний.

Відповідь: $\dfrac{m + 1}{n^7}<0$.

3) $\dfrac{|p - 1|}{n^{19}}$, якщо $p < 0, n > 0$

Чисельник: $|p-1|$. Оскільки $p<0$, то $p-1$ є від’ємним, але модуль будь-якого числа (крім нуля) є додатним. Отже, $|p-1| > 0$.

Знаменник: $n > 0$, тому $n^{19} > 0$.Дріб має вигляд $\dfrac{+}{+}$, отже, його знак додатний.

Відповідь: $\dfrac{|p-1|}{n^{19}}>0$.

4) $\dfrac{|a| + 1}{c^8}$, якщо $a < 0, c < 0$

Чисельник: $|a| > 0$ (оскільки $a \neq 0$), тому $|a| + 1 > 1$, тобто чисельник додатний.

Знаменник: $c < 0$, тому $c^8 > 0$ (від’ємне число в парному степені є додатним).

Дріб має вигляд $\dfrac{+}{+}$, отже, його знак додатний.

Відповідь: $\dfrac{|a| + 1}{c^8}>0$.

1.21. Доведіть, що для будь-якого значення змінної значення дробу:

1) $\dfrac{7}{a^2+1}$ є додатним

Чисельник $7$ є додатним числом.

Знаменник $a^2+1$. Оскільки $a^2 \ge 0$ для будь-якого $a$, то $a^2+1 \ge 1$, тобто знаменник завжди є додатним.

Частка двох додатних чисел є числом додатним. Отже, дріб завжди додатний.

2) $\dfrac{4}{-p^2-2}$ є від’ємним

Чисельник $4$ є додатним числом.

Знаменник $-p^2-2 = -(p^2+2)$. Оскільки $p^2 \ge 0$, то $p^2+2 \ge 2$, а $-(p^2+2) \le -2$. Тобто знаменник завжди є від’ємним.

Частка додатного і від’ємного числа є числом від’ємним. Отже, дріб завжди від’ємний.

3) $\dfrac{(a+1)^2}{a^2+7}$ є невід’ємним

“Невід’ємний” означає більший або рівний нулю ($\ge 0$).

Чисельник $(a+1)^2 \ge 0$, оскільки квадрат будь-якого виразу є невід’ємним.

Знаменник $a^2+7 \ge 7$, оскільки $a^2 \ge 0$. Знаменник завжди додатний.

Частка невід’ємного і додатного числа є невід’ємним числом. Отже, дріб завжди невід’ємний.

4) $\dfrac{-(p^2-4)^2}{p^4+1}$ є недодатним

“Недодатний” означає менший або рівний нулю ($\le 0$).

Чисельник $-(p^2-4)^2$. Вираз $(p^2-4)^2 \ge 0$. Зі знаком мінус попереду, весь чисельник $-(p^2-4)^2 \le 0$.

Знаменник $p^4+1 \ge 1$, оскільки $p^4 \ge 0$. Знаменник завжди додатний.

Частка недодатного і додатного числа є недодатним числом. Отже, дріб завжди недодатний.

1.22. Перетворіть вираз на многочлен:

1. $(a^2+2a-7) - (a^2-4a-9) = a^2+2a-7 - a^2+4a+9 = 6a+2$
2. $3x^2y(2x-3y+7) = 6x^3y - 9x^2y^2 + 21x^2y$
3. $(x^2-2x)(x+9) = x^3 + 9x^2 - 2x^2 - 18x = x^3 + 7x^2 - 18x$
4. $(x^2-5)^2 + 10x^2 = (x^4 - 10x^2 + 25) + 10x^2 = x^4 + 25$

1.23. Розв’яжіть рівняння:

$4x(2x-7) + 3x(5-2x) = 2x^2 + 39$

$8x^2 - 28x + 15x - 6x^2 = 2x^2 + 39$
$2x^2 - 13x = 2x^2 + 39$
$-13x = 39$
$x = -3$

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

1.24. Скоротіть дріб:

1. $\dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}$
2. $\dfrac{25}{35} = \dfrac{5}{7}$
3. $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$
4. $\dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$
5. $\dfrac{36}{48} = \dfrac{3}{4}$
6. $\dfrac{51}{85} = \dfrac{3}{5}$

1.25. Зведіть дріб:

1. $\dfrac{1}{8}$ до знаменника 24: $\dfrac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{3}{24}$
2. $\dfrac{2}{7}$ до знаменника 28: $\dfrac{2 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \dfrac{8}{28}$
3. $\dfrac{4}{15}$ до знаменника 30: $\dfrac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \dfrac{8}{30}$
4. $\dfrac{8}{9}$ до знаменника 63: $\dfrac{8 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \dfrac{56}{63}$

1.26. Подайте у вигляді степеня вираз:

1. $m^3m^4 = m^{3+4} = m^7$
2. $pp^7 = p^{1+7} = p^8$
3. $x^9 : x^3 = x^{9-3} = x^6$
4. $(a^3)^7 = a^{3 \cdot 7} = a^{21}$
5. $b^2 \cdot (b^3)^4 = b^2 \cdot b^{12} = b^{2+12} = b^{14}$
6. $(c^4)^5 : c^{12} = c^{20} : c^{12} = c^{20-12} = c^8$

1.27. На який вираз треба помножити одночлен $2a^2b$, щоб отримати:

1. $2a^3b$: на $a$
2. $2a^2b^4$: на $b^3$
3. $4a^5b$: на $2a^3$
4. $16a^4b^3$: на $8a^2b^2$

1.28. Розкладіть на множники многочлен:

1. $ab - b^2 = b(a-b)$
2. $m^7 + m^5 = m^5(m^2+1)$
3. $8m^2 - 4mn = 4m(2m-n)$
4. $6a^3b - 15a^2b^2 = 3a^2b(2a-5b)$
5. $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$
6. $c^2 - 10c + 25 = (c-5)^2$
7. $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$
8. $p^4 - 49m^2 = (p^2-7m)(p^2+7m)$
9. $a^2 + ab + 7a + 7b = a(a+b) + 7(a+b) = (a+7)(a+b)$

Життєва математика

1.29. Лікарка Наталя Борисівна веде здоровий спосіб життя, тому на роботу і з роботи їздить на велосипеді. Вранці вона дістається до роботи за 15 хв, рухаючись зі швидкістю 12 км/год. З роботи повертається зі швидкістю 10 км/год. Скільки часу витрачає Наталя Борисівна на шлях з роботи додому?

Спочатку знайдемо відстань від дому до роботи. Для цього потрібно перевести час із хвилин у години та помножити на швидкість.

Переведемо час у години:

15 хв = $\dfrac{15}{60}$ год = 0,25 год.

Знайдемо відстань (s):

$s = v \cdot t = 12 \text{ км/год} \cdot 0,25 \text{ год} = 3$ км.

Знайдемо час на шлях додому (t):

$t = \dfrac{s}{v} = \dfrac{3 \text{ км}}{10 \text{ км/год}} = 0,3$ год.

Переведемо години у хвилини:

$0,3 \text{ год} \cdot 60 \text{ хв/год} = 18$ хв.

Відповідь: Наталя Борисівна витрачає на шлях з роботи додому 18 хвилин.

Цікаві задачі – поміркуй одначе

1.30. Скільки існує двоцифрових натуральних чисел, які дорівнюють сумі добутку й суми своїх цифр?

Давайте позначимо двоцифрове число як $10a + b$, де $a$ – це цифра десятків (від 1 до 9), а $b$ – цифра одиниць (від 0 до 9).

За умовою задачі, число повинно дорівнювати сумі добутку його цифр і суми його цифр. Складемо рівняння:

$10a + b = (a \cdot b) + (a + b)$

Тепер спростимо це рівняння. Ми можемо відняти $b$ від обох частин:

$10a = ab + a$
$10a - a = ab$
$9a = ab$
$9 = b$

Це означає, що умова виконується для будь-якого двоцифрового числа, у якого цифра одиниць дорівнює 9. Цифра десятків ($a$) може бути будь-якою від 1 до 9.

Перелічимо ці числа:

19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.

Всього таких чисел 9.