Завдання № 99. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Один з катетів прямокутного трикутника на $7\text{ см}$ більший за інший, а гіпотенуза дорівнює $13\text{ см}$. Знайдіть площу трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної та геометричні зв’язки

Нехай у прямокутному трикутнику $ABC$ кут $\angle C=90^{\circ }$.
Позначимо довжину меншого катета через $x\text{ см}$ ($BC=x$, де $x>0$).
Оскільки другий катет на $7\text{ см}$ довший, то його довжина дорівнює:
$AC=(x+7)\text{ см}$
Гіпотенуза трикутника: $AB=13\text{ см}$.

2. Складання рівняння за теоремою Піфагора

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника $ABC$:
$B{C}^2+A{C}^2=A{B}^2$

Підставимо значення сторін у формулу:
$x^2+(x+7{)}^2=13^2$

Розкриємо дужки, застосувавши формулу квадрата суми:
$x^2+x^2+14\cdot x+49=169$
$2\cdot x^2+14\cdot x+49-169=0$
$2\cdot x^2+14\cdot x-120=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:
$x^2+7\cdot x-60=0$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
$D=7^2-4\cdot 1\cdot (-60)=49+240=289=17^2$

Обчислимо корені рівняння:
$x_1=\frac{-7+17}{2\cdot 1}=\frac{10}{2}=5$
$x_2=\frac{-7-17}{2\cdot 1}=\frac{-24}{2}=-12$

Оскільки довжина сторони геометричної фігури має бути додатним числом ($x>0$), корінь $x_2=-12$ не задовольняє умову задачі.

Отже, довжини катетів дорівнюють:
$BC=5\text{ см}$
$AC=5+7=12\text{ см}$

3. Обчислення площі прямокутного трикутника

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:
$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC$
$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30{\text{ см}}^2$

Відповідь:
$30{\text{ см}}^2$