Завдання № 98. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює $8\text{ см}$, а інший — на $4\text{ см}$ менший від гіпотенузи. Знайдіть площу трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної та геометрична інтерпретація
Нехай дано прямокутний трикутник $△ABC$ із прямим кутом $\angle C=90^{\circ }$.
Позначимо довжини сторін:

• катет $AC=8\text{ см}$;
• гіпотенуза $AB=x\text{ см}$ (де $x>4$);
• другий катет $BC=(x-4)\text{ см}$.

2. Складання рівняння за теоремою Піфагора
За теоремою Піфагора у прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи:
$A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2$

Підставимо значення сторін у рівняння:
$8^2+(x-4{)}^2=x^2$

Розкриємо дужки за формулою квадрата різниці:
$64+x^2-8\cdot x+16=x^2$

Зведемо подібні доданки:
$80-8\cdot x=0$
$8\cdot x=80$
$x=10$

Отже, довжина гіпотенузи $AB=10\text{ см}$.

3. Обчислення невідомого катета
Знайдемо довжину другого катета $BC$:
$BC=x-4=10-4=6\text{ см}$

4. Знаходження площі прямокутного трикутника
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:
$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC$
$S=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24{\text{ см}}^2$

Відповідь: $24{\text{ см}}^2$.