Завдання № 97. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Периметр ромба дорівнює $40\text{ см}$, а один з його кутів — $150^{\circ }$. Знайдіть площу ромба.

Покроковий розв’язок:

1. Знайдемо сторону ромба
Усі сторони ромба рівні між собою. Позначимо довжину сторони ромба $ABCD$ як $a$. Оскільки периметр $P=4\cdot a$, маємо:
$a=\frac{P}{4}=\frac{40}{4}=10\text{ см}$
Отже, $AB=BC=CD=AD=10\text{ см}$.

2. Знайдемо гострий кут ромба
Сума кутів ромба, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішні односторонні кути при паралельних прямих).
Якщо тупий кут $\angle B=150^{\circ }$, то гострий кут $\angle A$ дорівнює:
$\angle A=180^{\circ }-\angle B=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$

3. Знайдемо висоту ромба
Проведемо висоту $BP$ до сторони $AD$ ($BP\perp AD$, де точка $P$ лежить на стороні $AD$).
Розглянемо прямокутний трикутник $△ABP$ ($\angle APB=90^{\circ }$):
Катет $BP$ лежить навпроти кута $\angle A=30^{\circ }$, тому за властивістю прямокутного трикутника він дорівнює половині гіпотенузи $AB$:
$BP=\frac{1}{2}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 10=5\text{ см}$

4. Обчислимо площу ромба
Площа ромба обчислюється як добуток сторони на висоту, проведену до цієї сторони:
$S=AD\cdot BP=10\cdot 5=50{\text{ см}}^2$

(Зауваження: також площу можна знайти безпосередньо за формулою через сторони та кут між ними: $S=a^2\cdot \sin \angle A=10^2\cdot \sin 30^{\circ }=100\cdot \frac{1}{2}=50{\text{ см}}^2$).

Відповідь: $50{\text{ см}}^2$.