Завдання № 95. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Бісектриса $A K$ кута прямокутника $A B C D$ поділяє сторону $B C$ на відрізки $B K = 7 см$ і $K C = 3 см$ . Знайдіть площу прямокутника.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення виду трикутника $△ A B K$

Оскільки $A B C D$ — прямокутник, його протилежні сторони паралельні ( $B C ∥ A D$ ), а кути дорівнюють $9 0^{\circ}$ .

Відрізок $A K$ — бісектриса прямого кута $A$ , отже, вона ділить кут навпіл:
$∠ B A K = ∠ K A D = \frac{9 0 ^{\circ}}{2} = 4 5^{\circ}$
Кути $∠ B K A$ та $∠ K A D$ є внутрішніми різносторонніми при паралельних прямих $B C$ і $A D$ та січній $A K$ , тому:
$∠ B K A = ∠ K A D = 4 5^{\circ}$

Оскільки в трикутнику $△ A B K$ кути при основі рівні ( $∠ B A K = ∠ B K A = 4 5^{\circ}$ ), він є рівнобедреним з основою $A K$ .

Звідси випливає рівність бічних сторін:
$A B = B K = 7 см$

2. Знаходження сторони $B C$

Точка $K$ належить стороні $B C$ , тому довжина сторони $B C$ дорівнює сумі довжин її відрізків:
$B C = B K + K C = 7 + 3 = 10 см$

3. Обчислення площі прямокутника

Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін:
$S_{A B C D} = A B \cdot B C = 7 \cdot 10 = 70 см^{2}$

Відповідь: $70 см^{2}$ .