Завдання № 9. Завдання для перевірки знань за курс геометрії 9 класу (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Дві сторони трикутника дорівнюють $1 см$ і $42 см$ . Знайдіть третю сторону, якщо вона у $2$ разів більша за радіус кола, описаного навколо трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Покроковий розв’язок:

Позначимо вершини трикутника як $A$ , $B$ і $C$ . Нехай відомі сторони дорівнюють $b = A C = 1 см$ та $c = A B = 42 см$ , а невідома третя сторона — $a = B C$ . Нехай $R$ — радіус кола, описаного навколо трикутника $A B C$ . За умовою задачі $a = R 2 см$ .

1. Визначення кута між відомими сторонами

За наслідком з теореми синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу описаного кола:

\frac{a}{sin ∠ A} = 2 R

Підставимо у формулу вираз для невідомої сторони $a = R 2$ :

\frac{R 2}{sin ∠ A} = 2 R

Поділимо обидві частини рівності на $R$ ( $R > 0$ ):

sin ∠ A = \frac{R 2}{2 R} = \frac{2}{2}

Оскільки кут трикутника задовольняє умову $0^{\circ} < ∠ A < 18 0^{\circ}$ , рівняння $sin ∠ A = \frac{2}{2}$ має два можливі корені:

1) Гострий кут: $∠ A = 4 5^{\circ}$ ;

2) Тупий кут: $∠ A = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ .

Розглянемо обидва випадки для знаходження третьої сторони $B C$ .

2. Обчислення третьої сторони (Випадок 1: $∠ A = 4 5^{\circ}$ )

За теоремою косинусів:

B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 \cdot A C \cdot A B \cdot cos 4 5^{\circ}

Підставимо значення сторін та косинуса $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ :

B C^{2} B C^{2} B C^{2} B C = 1^{2} + (42)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 42 \cdot \frac{2}{2} = 1 + 32 - 82 \cdot \frac{2}{2} = 33 - 8 = 25 = 25 = 5 см

Перевіримо нерівність трикутника для сторін $1$ , $42 \approx 5, 66$ та $5$ :

1 + 5 = 6 > 42 \approx 5, 66

Нерівність трикутника справджується, тому такий трикутник існує.

3. Обчислення третьої сторони (Випадок 2: $∠ A = 13 5^{\circ}$ )

За теоремою косинусів:

B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 \cdot A C \cdot A B \cdot cos 13 5^{\circ}

Оскільки $cos 13 5^{\circ} = - cos (18 0^{\circ} - 13 5^{\circ}) = - cos 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ , отримуємо:

B C^{2} B C^{2} B C^{2} B C = 1^{2} + (42)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 42 \cdot (- \frac{2}{2}) = 1 + 32 + 82 \cdot \frac{2}{2} = 33 + 8 = 41 = 41 см

Перевіримо нерівність трикутника для сторін $1$ , $42 \approx 5, 66$ та $41 \approx 6, 40$ :

1 + 42 \approx 6, 66 > 41 \approx 6, 40

Нерівність трикутника справджується, тому такий трикутник також існує.

Таким чином, задача має два розв’язки.

Відповідь: $5 см$ або $41 см$ ; задача має $2$ розв’язки.

Завдання № 9. Завдання для перевірки знань за курс геометрії 9 класу (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку