Завдання № 9. Завдання для перевірки знань до §§ 18–24 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій $3 x - 4 y - 24 = 0$ відносно початку координат.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість симетрії відносно початку координат
При центральній симетрії відносно початку координат $O (0; 0)$ кожна точка площини $M (x; y)$ переходить у точку $M^{'} (x^{'}; y^{'})$ , координати якої є протилежними до координат початкової точки:
$x^{'} = - x ⟹ x = - x^{'}$
$y^{'} = - y ⟹ y = - y^{'}$

2. Складання рівняння симетричної прямої
Точка $M (x; y)$ належить даній прямій, тому її координати задовольняють рівняння:
$3 x - 4 y - 24 = 0$

Підставимо вирази $x = - x^{'}$ та $y = - y^{'}$ у це рівняння:
$3 \cdot (- x^{'}) - 4 \cdot (- y^{'}) - 24 = 0$
$- 3 x^{'} + 4 y^{'} - 24 = 0$

Помножимо обидві частини рівняння на $- 1$ , щоб отримати загальний вигляд:
$3 x^{'} - 4 y^{'} + 24 = 0$

Оскільки позначення змінних $x^{'}$ та $y^{'}$ є довільними, записуємо рівняння для шуканої прямої:
$3 x - 4 y + 24 = 0$

3. Геометрична перевірка (через точки перетину з осями координат)
Знайдемо точки перетину початкової прямої з осями координат:

при $y = 0$ : $3 x - 24 = 0 ⟹ x = 8$ , тобто точка $A (8; 0)$ ;
при $x = 0$ : $- 4 y - 24 = 0 ⟹ y = - 6$ , тобто точка $B (0; - 6)$ .

При симетрії відносно початку координат:

точка $A (8; 0)$ переходить у точку $A^{'} (- 8; 0)$ ;
точка $B (0; - 6)$ переходить у точку $B^{'} (0; 6)$ .

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки $A^{'} (- 8; 0)$ та $B^{'} (0; 6)$ , скориставшись рівнянням прямої у відрізках на осях:
$\frac{x}{- 8} + \frac{y}{6} = 1$

Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник $24$ :
$24 \cdot (\frac{x}{- 8}) + 24 \cdot (\frac{y}{6}) = 24 \cdot 1$
$- 3 x + 4 y = 24$
$3 x - 4 y + 24 = 0$

Обидва способи дають однаковий результат.

Відповідь: $3 x - 4 y + 24 = 0$ .

Завдання № 9. Завдання для перевірки знань до §§ 18–24 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку