Завдання № 9. Завдання для перевірки знань до §§ 15–17 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобічну трапецію з основами $6\text{ см}$ і $10\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:
Нехай задано рівнобічну трапецію $ABCD$ з основами $BC=6\text{ см}$ і $AD=10\text{ см}$, бічними сторонами $AB=CD$, у яку вписано круг із центром у точці $O$.

1. Знаходження бічних сторін трапеції
За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола, суми його протилежних сторін рівні:
$AB+CD=BC+AD$

Підставимо відомі довжини основ:
$AB+CD=6+10=16\text{ см}$

Оскільки трапеція рівнобічна ($AB=CD$), маємо:
$AB=CD=\frac{16}{2}=8\text{ см}$

2. Обчислення висоти трапеції
Проведемо висоту $BK\perp AD$ ($K\in AD$).
У рівнобічній трапеції висота, опущена з вершини меншої основи на більшу основу, відтинає відрізок $AK$, що дорівнює піврізниці основ:
$AK=\frac{AD-BC}{2}=\frac{10-6}{2}=2\text{ см}$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABK$ ($\angle AKB=90^{\circ }$).
За теоремою Піфагора:
$BK=\sqrt{A{B}^2-A{K}^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{64-4}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\text{ см}$

3. Обчислення площі вписаного круга
Оскільки коло вписане в трапецію, його діаметр $d$ дорівнює висоті трапеції:
$d=BK=\sqrt{60}\text{ см}$

Радіус круга $r$ дорівнює половині діаметра, тому площу круга можна обчислити за формулою:
$S=\frac{\pi \cdot d^2}{4}$

Підставимо значення діаметра:
$S=\frac{\pi \cdot (\sqrt{60}{)}^2}{4}=\frac{60\pi }{4}=15\pi {\text{ см}}^2$

Відповідь:
$15\pi {\text{ см}}^2$