Завдання № 9. Завдання для перевірки знань до §§ 11–14 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $62 см$ і $2 см$ . Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса описаного кола як $2 : 1$ . Скільки розв’язків має задача?

Покроковий розв’язок:

Позначимо відомі сторони трикутника як $a = 62 см$ та $b = 2 см$ , а невідому третю сторону — як $x см$ . Радіус кола, описаного навколо трикутника, позначимо як $R$ , а кут, що лежить проти шуканої сторони $x$ , — як $α$ .

1. Знаходження кута $α$ за теоремою синусів

За умовою відношення третьої сторони до радіуса описаного кола дорівнює:

\frac{x}{R} = 2 ⟹ x = R 2

За узагальненою теоремою синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу описаного кола:

\frac{x}{sin α} = 2 R

Підставимо вираз $x = R 2$ у формулу:

\frac{R 2}{sin α} = 2 R

Поділимо обидві частини рівності на $R$ ( $R \neq = 0$ ):

sin α = \frac{2}{2}

Оскільки кут трикутника може змінюватися в межах від $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ , рівняння має два можливих розв’язки:

$α_{1} = 4 5^{\circ}$ (гострий кут);
$α_{2} = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ (тупий кут).

2. Обчислення третьої сторони за теоремою косинусів

За теоремою косинусів для сторони $x$ :

x^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos α

Обчислимо суму квадратів відомих сторін та їх подвоєний добуток:

a^{2} + b^{2} = (62)^{2} + 2^{2} = 72 + 4 = 76

2 \cdot a \cdot b = 2 \cdot 62 \cdot 2 = 242

Отже:

x^{2} = 76 - 242 \cdot cos α

Розглянемо два випадки:

Випадок 1: $α = 4 5^{\circ}$

Значення косинуса: $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ .

x^{2} = 76 - 242 \cdot \frac{2}{2} = 76 - 24 = 52

x = 52 = 213 см

Перевіримо нерівність трикутника для сторін $2$ , $62 \approx 8, 49$ та $213 \approx 7, 21$ :

$2 + 213 \approx 9, 21 > 62 \approx 8, 49$ — виконується;
$62 + 2 > 213$ — виконується;
$62 + 213 > 2$ — виконується.
Трикутник існує.

Випадок 2: $α = 13 5^{\circ}$

Значення косинуса: $cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ .

x^{2} = 76 - 242 \cdot (- \frac{2}{2}) = 76 + 24 = 100

x = 100 = 10 см

Перевіримо нерівність трикутника для сторін $2$ , $62 \approx 8, 49$ та $10$ :

$2 + 62 \approx 10, 49 > 10$ — виконується;
$10 + 2 > 62$ — виконується;
$10 + 62 > 2$ — виконується.
Трикутник існує.

Обидва випадки задовольняють геометричні умови, тому задача має два розв’язки.

Відповідь:
$213 см$ або $10 см$ ; $2$ розв’язки.

Завдання № 9. Завдання для перевірки знань до §§ 11–14 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку