Завдання № 9. Завдання для перевірки знань до §§ 6–10 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник з вершинами в точках $A(4;8)$, $B(10;10)$, $C(16;8)$, $D(10;6)$ є ромбом.

Покроковий розв’язок:

Щоб довести, що чотирикутник $ABCD$ є ромбом за допомогою векторного методу, достатньо:

1) Довести, що чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом (перевірити рівність протилежних векторів сторін).

2) Довести, що його діагоналі взаємно перпендикулярні (скалярний добуток векторів діагоналей дорівнює нулю).

1. Доведення того, що чотирикутник $ABCD$ — паралелограм

Координати вектора знаходять відніманням відповідних координат початку від координат його кінця:

Оскільки координати векторів збігаються, то $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

З рівності векторів випливає, що:

• сторони паралельні: $AB\parallel DC$;
• сторони мають однакову довжину: $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$.

Якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні та паралельні, то цей чотирикутник — паралелограм. Отже, $ABCD$ — паралелограм.

2. Доведення перпендикулярності діагоналей

Знайдемо координати векторів діагоналей $\overrightarrow{AC}$ та $\overrightarrow{BD}$:

Обчислимо скалярний добуток векторів діагоналей за формулою $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2$:

Оскільки вектори діагоналей ненульові та їхній скалярний добуток дорівнює нулю, ці вектори є перпендикулярними:

3. Висновок

За ознакою ромба, паралелограм, діагоналі якого взаємно перпендикулярні, є ромбом. Отже, чотирикутник $ABCD$ — ромб, що й треба було довести.

Відповідь:
Доведено, що чотирикутник $ABCD$ є ромбом, оскільки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (чотирикутник — паралелограм) та $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ (його діагоналі взаємно перпендикулярні).